关于一致收敛
一致收敛性及其判别法(22页)
单调递减且当 y ? ?? 时，对参量 x ,g (x, y) 一致
???
地收敛于 0 ， 则 f(x,y)g(x,y)dy c
在 [a,b ] 上一致收敛.
首页 ×
阿贝尔判别法 设
? ⑴
??
f(x,y)dy 在 [ a,b ] 上一致收敛.
c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[a, b]，函数 g (x, y) 为 y
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定理19.12 设 f(x,y)在
[a,?? )? [c,?? )上连续.若
??? f(x,y)dx 关于 y在任何闭区间
[c,d ]上一致收敛，
a
??? f(x,y)dy 关于 x在任何闭区间 [a ,b]上一致收敛， c
? ? ? ? ??
??
积分 dx | f(x,y)|dy
a
c
与
?? dy ?? | f(x,y)|d x
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且
? ? ? ? ??
??
??
??
dx f(x,y)dy ? dy f(x,y)dx
a
c
c
a
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例5 计算
? I ?
?? 0
e? px
sinbx ? sinax x
dx
(p ? 0,b ? a)
例6 计算
? I ?
?? sinax dx 0x
例7 计算
? ? (r)? ?? e? x2 cosrxdx 0
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
? ? ? 0,?N (?,x)? c, 使得 ? M ? N ,
?| M c
f(x,y)dy ? I(x)|? ?
高等数学：一致收敛
2n
2
xe
n2 x 2
2(n 1) xe
2
( n 1) 2 x 2
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
由于
S ( x) S ( x0 )
x x0
[Sn ( x) rn ( x)] [Sn ( x0 ) rn ( x0 )] Sn ( x) Sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
n 1
un ( x) 一致收敛于和函数S(x)
部分和序列 S n ( x) 一致收敛于S(x)
余项 rn ( x) 一致收敛于 0
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几何解释 : (如图)
0, N Z , 当n > N 时, S ( x) S n ( x) 表示 曲线 y S n ( x) 总位于曲线 y S ( x) 与 y S ( x)
之间.
y S ( x)
y S ( x)
y S ( x)
y S n ( x)
I
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x
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例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x n)( x n 1)
在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: (k 1,2,) ( x k )( x k 1) x k x k 1 1 1 1 1 S n ( x) ( )( ) x 1 x 2 x2 x3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1
一致收敛基础问题
一致收敛基础问题一致收敛基础问题是数学分析学科中的一个非常重要的问题。
它是指当一个函数序列逐渐趋近于一个函数时，这个函数序列是否能够一致地收敛于这个函数。
这个问题对于数学分析的其他方面有着非常重要的影响，因此它被广泛地研究和探讨。
下面我们将分步骤地来了解和探讨这个问题。
第一步，了解基本概念。
在探讨一致收敛基础问题之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是函数序列，它是指一系列函数在一定条件下的排列。
其次是收敛，即当一个函数序列趋近于一个函数时，我们称这个序列是收敛的。
最后是一致收敛，这指的是函数序列内的每个函数，在给定的区间内都与该函数的极限函数趋近相同。
第二步，了解一致收敛的定义。
根据上面的基本概念，我们可以得出一致收敛的定义。
一致收敛的定义是指如果存在一个函数f(x)，使得在该函数的定义区间上，函数序列f_n(x)的极限函数为f(x)，那么称函数序列f_n(x)在该区间上一致收敛于函数f(x)。
第三步，了解比较原理。
比较原理是判断一个函数序列是否一致收敛的一个非常重要的原则。
比较原理可以分为两个部分。
首先是正方向的比较原理，即如果有一个函数序列f_n(x)一致收敛于f(x)，而另一个函数序列g_n(x)在该区间上所有的函数都小于f_n(x)，那么函数序列g_n(x)也一致收敛于 f(x)。
其次是反方向的比较原理，如果存在一个函数序列f_n(x)和g_n(x)，且g_n(x)一致收敛于f(x)，同时f_n(x)在函数的定义区间上的绝对值都小于等于g_n(x)在该区间上的绝对值，那么函数序列f_n(x)也一致收敛于f(x)。
第四步，了解一致收敛和点收敛之间的区别。
一致收敛和点收敛是两个不同的概念，他们之间的区别在于，点收敛与极限函数的点相关，而一致收敛是与函数序列的整体相关。
如果一个函数序列f_n(x)在一个定义区间上逐点收敛于函数f(x)，那么f_n(x)在该区间上一致收敛于函数f(x)的充分必要条件是函数序列f_n(x)满足列紧原理。
一致收敛的概念和判别法
7.1第7讲 一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1. 收敛区域，即对于函数项级数：()1n n a x ∞=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。
2. 设()()1n n S x a x ∞==∑是收敛的，若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？回答是不一定。
例如：当1x <时，()1n n a x x −=，则有()11S x x=−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。
问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？4. 可积性问题。
即：若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？ 为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。
7.2§1 一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程()()lim n n S x S x →∞=的性质。
上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。
另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
一致收敛通俗解释_解释说明
一致收敛通俗解释解释说明1. 引言1.1 概述在数学和应用领域中，一致收敛是一个重要概念。
它与函数序列或级数的性质有关，经常被用于分析和解释各种问题。
然而，对于非专业人士来说，一致收敛可能是一个陌生而抽象的概念。
因此，本文旨在通俗地解释一致收敛，帮助读者理解其含义及其在数学和应用领域的重要性。
1.2 文章结构本文将首先给出一般的定义和解释，并介绍为什么我们需要关注一致收敛。
随后，我们将详细探讨一致收敛的重要性，并通过实例分析来进一步说明其应用领域。
最后，在结论部分对文章进行总结，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的目标是以通俗易懂的方式解释一致收敛这个概念，并说明它在数学和应用领域中所扮演的角色。
通过阐明一致收敛的定义、重要性以及实例分析，读者将能够更好地理解该概念并认识到它的广泛应用价值。
同时，本文将为未来研究提供展望，希望激发更多人对一致收敛及其相关领域的兴趣和研究。
2. 正文正文部分将深入探讨一致收敛的概念、原理和相关内容。
我们将从数学领域中的一致收敛概念开始，然后转向应用领域中对一致收敛的解释与说明，并通过实例分析和案例说明来加深理解。
在正文部分，我们将全面介绍一致收敛的概念及其意义。
首先，我们将阐述一致收敛的定义和基本思想，解释它与其他收敛性概念之间的区别。
接下来，我们将讨论为什么要关注一致收敛以及在不同领域中对它的重视程度。
随后，我们将从数学领域出发，详细解释一致收敛在数学问题中的作用和应用。
这包括使用极限理论进行函数序列或级数求和时的一致收敛条件、使用一致收敛可以交换极限操作符次序等方面。
我们还会探讨一些经典定理如Weierstrass 定理等与一致收敛相关的研究成果。
接着，我们将深入探究应用领域中对于一致收敛解释与说明。
例如，在计算机科学领域，我们将探讨一致收敛在数值计算和算法设计中的应用，以及如何利用一致收敛来优化算法的性能。
在物理学、经济学等其他领域中，我们将探讨一致收敛的重要意义和实际应用。
§13..2一致收敛性质
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
第1节一致收敛性
0, f ( x) 1,
x 1 x 1
n
证明 : 0, ( 1),当0 x 1时， f n ( x ) f ( x ) x
ln 取N ,当n N时， 有 f n ( x ) f ( x ) ln x n N ,当x 0有 f n (0) f (0) 0 ,
sin nx 例2 : 求f n 的收敛域以及极限函数 f ( x ). n 解 : x ( ,), sin nx 1 n n
1 0, N ,当n N时, 有 sin nx 1 0 n n sin nx 的收敛域为R， 极限函数为f ( x ) 0. n
2.用拉贝判别法判别下列 级数的敛散性 :
1 3( 2n 1) 1 (1) 2 4( 2n) 2n 1
解:
un1 ( 2n 1)!! 2n 1 ( 2n)!! n(1 ) n 1 un ( 2 n 2 )! ! 2 n 3 ( 2 n 1 )! !
当n N (, x )时， 总有 f n ( x ) f ( x ) .
注：使函数列 f n
收敛的全体收敛点的集合为收敛域
例1 : 设f n ( x ) x n , n 1,2,为定义在 ( , )
上的函数列, 则其收敛域为( 1,1], 且有极限函数 :
n(6n 5) 3 (n ) ( 2n 2)( 2n 3) 2
由拉贝判别法知 : 原级数收敛 .
3.设an 0, 证明数列1 a1 1 a2 1 an
与级数 an同敛散 . 证明 : 原命题等价于证明 ln(1 an )与 an同敛散 .
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不
一致收敛性
这就证明了 { f n } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当 | x | 1 时, 有 | x |n (n ), 当 x 1 时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以
函数列 { x n } 在区间 (1, 1] 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 (1, 1].
lim f n ( x ) f ( x ) ,
n
xD
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或
f n ( x ) f ( x ) ( n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
N ( ).
显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛.
sin nx 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意 n
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给定的 正数 , 不论 x 取(-,+) 上什么值, 都有
| f n ( x ) f ( x ) || x n |,
ln 只要取 N ( , x ) , 当 n N ( , x ) 时,就有 ln | x |
| f n ( x ) f ( x ) || x |n | x | N .
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当 x 0 和 x 1 时, 则对任何正整数 n, 都有 | f n (0) f (0) | 0 ， | f n (1) f (1) | 0 .
浅析一致收敛在数学中的应用与作用
浅析一致收敛在数学中的应用与作用一致收敛是数学分析中一个重要的概念，它描述了一列函数或数列在定义域内逐点收敛的程度。
一致收敛在数学中具有广泛的应用和作用，本文将从几个方面来进行浅析。
首先，一致收敛在函数序列的收敛性质证明中起着重要作用。
在分析中，我们经常需要证明一列函数的极限函数的连续性、可积性等性质。
一致收敛给了我们一个有力的工具，它提供了一种较强的收敛性条件。
具体来说，若一列函数在定义域内一致收敛于极限函数，则可以保证极限函数具有与原函数相似的性质。
例如，我们知道连续函数的一致收敛极限函数仍然是连续的，可积函数的一致收敛极限函数仍然是可积的，这些性质的证明往往需要借助一致收敛来完成。
其次，一致收敛在微积分中的应用尤为显著。
微积分中的基本问题之一就是求函数的导数和积分。
对于导函数，一致收敛的函数序列可以保证极限函数的导函数存在并且与原函数的导函数相关。
对于积分，一致收敛函数序列的极限函数可以保证积分中的极限运算与积分符号之间的交换。
这在定义一些特殊函数的时候非常有帮助，例如常见的幂级数如正弦函数、指数函数等。
此外，一致收敛还在偏微分方程的研究中具有重要作用。
偏微分方程是研究自然现象中的变化规律的数学工具，也广泛应用在物理、工程等领域中。
对于偏微分方程的数值解法，往往需要构造一列近似解函数来逼近真解，然后研究这些近似解函数的性质。
一致收敛给出了这种逼近的准确性条件，可以保证所构造的近似解函数在逼近真解时具有较好的准确性和稳定性。
最后，一致收敛还在函数级数的收敛性质中发挥着重要作用。
如幂级数、傅里叶级数等在数学分析和物理学中都有重要的应用。
一致收敛给出了级数收敛的一个更强的条件，它保证级数的极限函数在定义域内连续、可微、可积等性质。
这使得我们可以对级数的性质进行更加深入的研究和应用，例如在泰勒级数中，我们可以通过研究级数的一致收敛性质来推导函数的解析表达式，从而得到更精确的近似。
综上所述，一致收敛在数学中具有广泛的应用与作用。
一致收敛与点态收敛的区别与应用
一致收敛与点态收敛的区别与应用收敛是数学中一个重要的概念，用于描述函数序列或数列逐渐趋近于某个极限值的过程。
在收敛的过程中，常常涉及到一致收敛和点态收敛两个概念。
本文将详细介绍一致收敛与点态收敛的区别，并探讨它们在数学和其他领域中的应用。
一致收敛与点态收敛的定义与区别一致收敛和点态收敛都是用来描述一个函数序列{$f_n(x)$}或数列{$a_n$}趋近于极限值的过程，但两者在描述方式上有所不同。
一致收敛是指在函数序列{$f_n(x)$}的定义域D上，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N且对于所有的x∈D，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。
换句话说，一致收敛要求函数序列在整个定义域上的误差都能被限制在一个给定的范围内。
点态收敛是指对于函数序列{$f_n(x)$}的某个特定的点a，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|f_n(a)-f(a)|<ε成立。
换句话说，点态收敛只要求在特定的点上函数序列的误差被限制在一个给定的范围内。
可以看出，一致收敛要求函数序列在整个定义域上的误差都趋近于零，而点态收敛只要求在某个特定的点上的误差趋近于零。
一致收敛与点态收敛的应用一致收敛和点态收敛在数学和其他科学领域中有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
一致收敛的应用一致收敛对于研究函数序列的性质和极限的存在性有着重要的作用。
通过研究一致收敛，可以得到以下定理和应用：1. 一致收敛的函数序列在其定义域上连续。
2. 一致收敛的函数序列可以对极限运算进行交换。
3. 一致收敛的函数序列可以进行逐项积分和逐项求导。
此外，一致收敛还广泛应用于数值计算、数学分析、微分方程等领域，尤其在数值逼近和数值解法中起到重要的作用。
点态收敛的应用点态收敛在数学和实际应用中也有重要的作用。
下面介绍其中的两个应用：1. 柯西收敛准则：柯西收敛准则是指一个数列或函数序列收敛的充要条件是，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m、n>N时，|f_m(a) - f_n(a)|<ε。
一致收敛
定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对
rn ( x) S ( x) S n ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上
an x n an r n
(n 0 ,1, 2 ,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 an r n
n 0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间可包含此端点.
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n
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用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
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un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) an 1 an 2 an p 2 令 p , 则由上式得 rn (x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .
一致收敛的定义
一致收敛的定义
“一致收敛”是高等数学中的一个重要概念，又称均匀收敛。
一致收敛是一个区间（或点集）相联系，而不是与某单独的点相联系。
函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定义区间A上收敛于极限函数f(x)，若对于任意给定的正实数ε，都存在一个只与ε有关与x无关的正整数N，使得对于任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) Ui(x)|<ε，则称函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)
在定义区间A上一致收敛。
在数学中，一致收敛性(或称均匀收敛)
是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质(如连续性)。
收敛和一致收敛的关系
收敛和一致收敛的关系收敛和一致收敛是微积分中重要的概念。
它们被广泛应用于分析函数和构造函数等领域。
本文旨在阐明收敛和一致收敛的概念及其关系，并探讨它们在实际中的应用。
一、概念1、收敛在函数序列$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$中，当$x$趋近于$c$时，如果存在一个函数$F(x)$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=F(x)$，那么我们称函数序列$f_n(x)$在$x$趋近于$c$时收敛于函数$F(x)$。
其中，$c$可以是实数或无穷远处。
2、一致收敛如果存在一个函数$F(x)$，使得当$n$趋近于无穷大时，函数序列$f_n(x)$在全体$x\in S$上一致收敛于$F(x)$，即$\lim\limits\sup_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-F(x)|=0$，我们称函数序列$f_n(x)$在$S$上一致收敛于函数$F(x)$。
二、比较从定义可以发现，一致收敛在某种程度上是强于收敛的，因为一致收敛要求在定义域的每个点上，函数序列必须以相同的速度收敛于极限函数。
而收敛只需要在大多数点上满足这个条件即可。
因此，我们可以认为收敛是一种局部性质，而一致收敛则是全局性质。
另外，在一致收敛中，极限函数$F(x)$必须在定义域上有一个上限和下限，而在收敛中并不一定要有这个性质。
因此，也可以说，一致收敛收敛更快，而且更稳定。
三、应用1、函数极限在函数极限中，一致收敛常常被用于证明极限存在。
因为一致收敛要求在全体$x\in S$上都有相同的速度收敛，因此，我们可以剔除函数序列中的一小部分，使得它们不会对极限产生影响。
这就让我们在判断极限存在时更加方便。
2、傅里叶级数在傅里叶分析中，一致收敛是极其重要的工具。
因为在傅里叶级数中，每一项都是一条正弦或余弦曲线，而这些曲线虽然是收敛的，但并不一定一致收敛。
因此，如果没有一致收敛这个概念，我们将很难正确地表示一个周期函数为一个级数。
一致收敛和绝对收敛的关系
一致收敛和绝对收敛的关系
一致收敛和绝对收敛是函数级数收敛的两种不同方式。
一致收敛指的是函数级数在给定区间内，对于每个自变量都有相同的极限。
也就是说，对于任何给定的ε>0，都可以找到一个整数N，对于所有n>N和所有x属于区间，都有|fn(x)-f(x)|<ε。
也就是说ε与x无关，而只与n有关。
绝对收敛则是指函数级数的每一项都为正数，并且级数的正项级数收敛。
也就是说，正级数和收敛的同时，绝对值级数和也必定收敛。
即∑|fn(x)|级数收敛。
它们的关系是：若一个函数级数在某一区间内绝对收敛，则该级数在该区间内一致收敛。
原因是在绝对收敛的条件下，每一项都为正，并且正项级数收敛，因此每个函数项的差值不大于对应绝对值级数项之差，所以级数收敛更快。
这使得在每个自变量值上，级数之差都小于某个固定的正数，从而导致一致收敛。
但是，反之未必成立，即一致收敛并不意味着绝对收敛。
§2一致收敛级数及其性质
§２ 一致收敛级数及其性质定义１ 若1()nn u x ∞=∑的部分和函数列{()}n S x 在D 上一致收敛于()S x ，则称1()nn u x ∞=∑在D 上一致收敛于()S x ．一 级数一致收敛判别法定理１（Cauchy 收敛原理）在D 上一致收敛于()S x 0,()N N εε⇔∀>∃=，..s t ,m n N x D ∀>>∀∈：1()()n m u x u x ε+++<．定理２（Weierstrass 判别法）若,n x D ∀∈∈满足()n n u x a ≤，则1nn a∞=∑收敛⇒1()n n u x ∞=∑绝对收敛；若1nn a∞=∑在D 上一致收敛，则1()n n u x ∞=∑一致收敛．证明：,x D m n ∀∈>有111()()()()n m n m n m u x u x u x u x a a +++++≤++≤++．例：若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n a nx ∞=∑，1sin nn ax ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛．定理２（A D -判别法）若下列条件之一满足，则函数项级数1n nn a b∞=∑在D 上一致收敛．（１）（Abel ）x D ∀∈，{()}n a x 单调，且一致有界，即()n a x M ≤，x D ∀∈，n ∀，1nn b∞=∑在D 上一致收敛．（２）（Dirichlet ）x D ∀∈，数列{()}n a x 单调且在D 上一致收敛于０，1nn b∞=∑的部分和函数列在D 上一致有界，即，1nkk bM =≤∑．证明：（１）1nn b∞=∑在D 上一致收敛，0,(),..N s t εε∴∀>∃,n N n m ∀>>，x D ∀∈：1()3mk k n b x Mε=+≤∑．∴11()()()()m mkkkmk n k n a x b x b x ax =+=+≤∑∑1111()()()m n kk k ik n i n a x a x b x --+=+=++-∑∑1(2()())3m n a x a x Mεε+<+≤．（２）Dirichlet 定理证明：{()}n a x 一致收敛于０，0,(),..N s t εε∴∀>∃n N ∀>，x D ∀∈： 16nkk aMε=≤∑，则n m N ∀>>，x D ∀∈：∴11()()()()m mkkkmk n k n a x b x b x ax =+=+≤∑∑1111()()()m kk k ik n i n a x a x b x -+=+=++-∑∑12(2()())m n M a x a x ε+<+≤．例：若1nn a∞=∑收敛，则1nn n a x∞=∑在[0,1]上一致收敛．1nn a∞=∑一致收敛，且nx 单调一致有界．例：12sin3n n n x∞=∑ 设()S x 为其和 （１）在(0,)+∞上，当2lnln 3x n π>时为正项凸，1212sin 2()33n n n n n a x x x π≥=，取2()3n n x =，则2()n n a x π=，部分和函数列2()n n n A x π=，263()()()2nn n n n A x A x ππ-=-→∞，∴0()n n a x ∞=∑非一致收敛．（２）1()23nn n u x δ≤．2()3n δ∑收敛．命题：1()n n u x ∞=∑为正项（或负项）级数，若x D ∀∈，n ∀∈有()()0n n u x a x ≥≥，则1nn a∞=∑在D 上非一致收敛⇒1()n n u x ∞=∑在D 上非一致收敛．证：0000,,N m n N ε∃>∀∃>>，0,..x D s t ∈00001()m k k n a x ε=+≥∑．则0000000111()()()m m m k k k k n k n k n u x u x a x ε=+=+=+=≥≥∑∑∑．二．一致收敛级数的性质定理１（极限交换性）若{()}n S x 在0(,)o x ρ上一致收敛于()S x 且0lim ()n n x x S x a →=，则lim ()n n a x →∞与0lim ()x x S x →存在相等，即00lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n S x S x →∞→→→∞=．证明：00,,,(,),3n N n N x O x a a εερ∀>∃∀≥∀∈-<：()()3n S x S x ε-<．()N N S x a →．对于同样的0,0ερδ>∃>>，当x δ∆<时，0()3N N S x x a ε+∆-<，3N a a ε-<．0000()()()()N N N N S x x a S x x S x x S x x a a a ε∴+∆-≤+∆-+∆++∆-+-<．定理２（连续性）若n ∀∈，()n S x 在区间上I 连续且，()()In S x S x ＝，则()()S x C I ∈． 定理２＇若n ∀∈，0()[,]n u x C a b ∈且1()n n u x ∞=∑在区间[,]I a b =上内闭一致收敛于()S x ，则0()()S x C I ∈．定理３（可积性）设n ∀∈，0()[,]n S x C a b ∈，且[,]()()a bn S x S x ⇒，则()[,]S x Ra b ∈，且[,]()lim ()()a b bxx n aaan s x dx s t dt s t dt →∞=⇒⎰⎰⎰．证明：由定理２＇知：0()[,][,]S x C a b R a b ∈⊂．0,0N ε∀>∃>，n N ∀>，[,]x a b ∀∈ ()()n S t S t ε-<．则()()()()()()xx xn n aaas t dt s t dt s t s t dt x a b a εε-≤-<-<-⎰⎰⎰．定理３＇（逐项积分定理）设n ∀∈，0()[,]n u x C a b ∈且1()n n u x ∞=∑在区间[,]a b 上一致收敛于()S x ，则()[,]S x R a b ∈且11()()b bn n aan n u x dx u x dx ∞∞===∑∑⎰⎰．推论：在I 上内闭一致收敛，0x I ∀∈，则01()xn x n u x dx ∞=∑⎰一致收敛于0()xx S x dx ⎰在区间I 上．例：1211(1)21n n n xn -∞-=--∑．考虑1212111(1)()n n n n n x x ∞∞---==-=-∑∑在(1,1)-上一致收敛于211x +，则2101()x n n t dt ∞-=-∑⎰在(1,1)-上一致收敛于2011x dt x +⎰． 定理４（逐项求导定理）若级数1()n n u x ∞=∑满足（１）1()(,),(1,2,)n u x C a b n ∈=，（２）1()(),(,)n n u x S x x a b ∞==∀∈∑，（３）1()n n u x ∞='∑在(,)a b 上内闭一致收敛于()x σ，则()S x 在(,)a b 上可导且()()dS x x dxσ=． 证明：设1()()nn kk S x u x ==∑，()nu x '连续，则()x σ在I 上连续．a I ∀∈，()lim ()lim(()())()()xx nn n aan n t dt S t dt S x S a S x S a σ→∞→∞'==-=-⎰⎰，()xat dt σ⎰可导． ()S x ∴可导，且()()S x x σ'=．即11(())()n nn n u x u x ∞∞==''=∑∑． 例：求1nn nx∞=∑在(1,1)-．考虑11n n nx∞-=∑，()n n u x x =，1()n nu x nx -'=，11nn xx∞==-∑，11,01,[,]n n nx n x ρρρρ--<<<∈-．11n n nx ∞-=∴∑在(1,1)-上内闭一致收敛，12111(),(1,1)1(1)n n nxx x x ∞-='∴==∈---∑，21(1)nn x nx x ∞=∴=-∑． 定理５（Dini 定理）设lim ()()n n S x S x →∞=，[,]x a b ∈（１）0()[,](1,2,)n S x C a b n ∈=（一定要闭区间）， （２）0()[,]S x C a b ∈，（３）{()}n S x 关于n 单调，则[,]()()a b n S x S x ⇒，设()()()n n r x S x S x =-．证明：若[,]()()a b n S x S x ⇒/，则0,{},..k x s t ε∃()()()()N k k N S x S x S S ξξ-=-，0,K k K ∴∃>∀>，0()()()()k n k k N k k S x S x S x S x ε-≤-<．矛盾．例：若0()[,]n S x C ab ∈．(,)()()a b n S x S x ⇒，则()n S x 在,x a b =处收敛，且[,]()()a b n S x S x ⇒ 证明：0,0N ε∀>∃>，m n N ∀>>，(,)x a b ∀∈，()()2n m S x S x ε-<⇒lim ()()2n m x a S x S x ε+→-<⇒()()2n m S a S a εε-≤<．同理，()()2n m S b S b εε-≤<．从而[,]x a b ∀∈，()()2n m S x S x ε-<．。
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关于一致收敛，我提出了一些自然应该产生的问题，主要看定义和提出的问题，希望可以看完定义和从这个定义出发的许多问题，这里大部分比较简单，尤其是根据定义验证性质的希望可以验证一下，根据定义便可以得出的，其他的了解一下，可以等寒假或者以后再想。
尤其举反例部分不用着急想，比如weierstrass 函数的反例和最后的一段比较难，不用浪费精力去着急想，了解一下即可，但心里要装着这些问题，不要放弃。
1一致收敛的定义：关键是共同的N （与x 无关），任意号与存在号的选择与排序问题，比如有四个空，每个空填写任意与存在，一共有2^4种可能，另外还可以对这些做排序（4！），就有2^4*4！=384种不同的结果，但其中只有一种是可以描述一致收敛的定义，因而这样的话，定义的准确性就显得很是必要了，这里仅仅有一种正确刻画了一致收敛
0,,,.
n Given any there exists a capital N such that f f whenever n N εε-＞＜＞
0ε∀（任给，对任意固定的，对每个给定的）＞，N ∃（存在找得到）正整数， n N ∀使得对一切的(当……时)（或者用符号）＞，
,.(,)()()n x E s t such that f x f x ε∀∈-对一切的（）＜
（一致性体现在，有共同的N 不依赖于x ，试若把x E ∀∈对一切的（）放在，N ∃（存在找得到）正整数前，则是逐点收敛的定义（N 依赖于x ），从逻辑上完全不是同一句话）
注：n x ε∀（从“对一切的（）”开始的部分等价于用上确界范数的描述＜）2对定义的提问：
1 well-defined ？（是不是恰到好处的）比如对集合E 要有什么要求？
如果说函数列分别按照逐点收敛和按照一致所得的极限函数存在的话，这个极限函数唯一吗？
2如果是well-defined ，那么它的否定的正面描述是什么？并且举出一致收敛和不一致收敛的例子来体会定义（好例子的标准：1简洁（而并非去整自己去找很难的例子）2能反映一些重要性质体会到为什么一致收敛，为什么不一致收敛）既要有正面例子，又要有反面的例子
3一致收敛于逐点收敛的区别及其蕴含关系是什么？
4每一种收敛方式都对应于一个基本列的表述方式，对比于n 维实空间，连续函数空间也是一个距离空间，那么它的基本列是什么定义，基本列与收敛列之间的关系呢？即它完备吗？
注意到在考虑函数空间时候，我们考虑的是把函数作为一个“元素”放到整个函数空间中去看，因此我们在函数空间中引入了一致收敛的概念，注意力集中到函数作为一个元素上去，因而一致收敛的时候要求N 与x 要无关
5类似地可以问，连续函数空间中的子集有界是什么意思？也就有了一致有界的概念（感
觉上应该这个界也和x 无关） 类似有开球的概念(;){:,,0}E E B f g C f C f g δδδ=∈∈-＜＞
特别连续函数列是一致有界的如果它能包含在一个球里
为了强调这里的有界和x 无关，称其一致有界，可以证明函数列一致有界的定义的等价叙述如下：
.n M s t f M x E f M ∈存在一正数，对一切的正整数，＜（即对一切的，＜）
类似的拓扑的语言都合适地可以移到连续函数空间上来，如什么是开集，什么是闭集，什么是紧集（这个时候的有界[指的是一致有界]闭集是否还是紧致（等价于列紧[可以证明一般的距离空间中的紧致和列紧是一回事]）的呢？），什么是内点，孤立点，极限点，边界点，闭包
为了简便和具体些，下面函数列定义在一个实数的子集合I 上
6可以问一致收敛是否是一致有界的？
如果回答否定还可以问：有界函数列（对每个固定的n ，存在一个大M ，使得对一切()n x E f x M ∈，＜，这里是一致有界的意思吗？一致有界和普通的函数有界有什么区别？）一致收敛的话，极限函数有界吗，这些函数列在集合I 上一致有界吗？
进而如果在I 上考虑的函数列一致收敛，且它的极限函数有界，这个函数列是否一致有界呢？如果不是的话，这个函数列是否会从某项开始一致有界呢？
7可以考虑逐点收敛和一致收敛的函数列的代数性质（无论命题成立与否都要有一些适当的例子放在心里）
两个函数列逐点收敛，他们的和函数列与积函数列逐点收敛吗？
两个函数列一致收敛，他们的和函数列与积函数列一致收敛吗？
两个对了，那么有限个应该也对，为什么？
8一致有界函数列的和与积是否一致有界呢？
9设函数列定义在一个闭区间I （一般定义在一个紧致集合上）上
逐点收敛意义下的函数列与极限函数之间的关系有下面的问题可以问
函数列连续，极限函数连续吗？
函数列可导，极限函数也可导？如果可导的话，先对函数列求导，再求极限函数，与先求极限函数再求极限函数的导数是一回事吗？
类似的可积应该也有与可导的问题，这样已经有5个问题了
10如果收敛方式改为一致收敛呢？就得到10个问题了
（其中会遇到一个问题，例子不大好举，即是否有可导函数列一致收敛，它的极限函数处处连续，但是不可导，如果存在的话，不可导点是有限的，可数的，不可数，甚至处处不可导的例子又能否举出来？即weierstrass 函数，这样的函数有些病态，那么可以考察一些常见的病态函数（如黎曼函数R （x ），狄利克雷函数D(x)，n ()()()lim ()(),n n n n f x f x f x f x f x a →∞=逐点收敛到，记为且是一个收敛到0的数列，）的基本的解析性质，如连续性，可导性，可积性。
如果性质不太好的话，能不能适当地改造让它的性质变得好一些？又比如这些函数可能在一点处不连续或者不可导，那么我能不能利用
这些函数基础上造出一个函数，我想让它在哪点不连续或不可导，就让它在哪点不连续不可导？）
11 如果把闭区间I 改成开区间呢？又得到很多的问题，即函数列所定义的集合对这些问题的结果有没有影响？
12每当遇到一个定理时候要问它的逆定理是否成立？无论成立与否都要有典型的例子 之后还要考察这个定理中的哪些条件是不可或缺的，哪些条件是可以适当减弱或者替换的 比如闭区间上一致收敛连续函数的极限函数是连续的，反之对吗？如果不对在什么条件下对？于是就得到迪尼定理，于是迪尼定理给了一个判别一致收敛的充分条件，
下面要问什么条件下一个函数列是一致收敛的？
1按照定义或者其柯西准则（即基本列等价于收敛列）
2迪尼定理（注意定理中紧致的条件）
3如果连续函数列的极限函数不连续，必定不一致收敛
4所谓的优数列的充分条件（请找一个例子说明它是非必要的）
证明：
证明fn 一致收敛到f
自然地有一个问题可以问：任何函数列都有优数列吗？
例如(),[0,1]n n f x x x =∈，或者改成开区间，都是不一致收敛的
利用这个例子可以给出很多反例，这个例子虽然简单，貌似不起眼，但能找到一些问题的症结之处，到底哪里出了问题使得极限函数的解析性质不是那么好
1逐点收敛的连续函数列的极限函数不连续
2逐点收敛的可导函数列的极限函数不可导，事实上它连连续都不连续
那么自然可以问存在着可导函数列，它的极限函数存在连续，但是却不可导的反例吗？这个例子的解决是比较棘手的，但是自然就引出了weierstrass 函数的例子
3 可以注意到迪尼定理中极限函数连续的条件是必要的，如果改为开区间，可以看出迪尼定理中紧致的条件也是很必要的，不能缺少。
最后一部分
4 可以验证(),[0,1]n n f x x εε=-任给一个正数，它在上一致收敛，直观上可以理解为它在除去一个长度可以任意小的集合上是一致收敛的（叫作几乎处处一致收敛），
另外它在除去x=1这个长度为0的集合外都逐点收敛到0函数，直观上可以理解为除了在一个长度为0的集合外，它逐点收敛到一个极限函数（这样的收敛叫作几乎处处收敛）， 问：红线部分是一个意思吗？又例如两点距离任意小于两点距离为0是一个意思吗？
这样的一个例子可以作为以后叶果洛夫定理的一个例子，反映了几乎处处收敛和几乎处处一致收敛的关系。
n ()(),lim ()(),n ,()()n n n n n
n n f x f x x D f x f x a x D f x f x a a a →∞
∈=∈-逐点收敛到，记为且是一个收敛到0的数列，且每个固定的，对一切的＜（差式被控制了，被称为优数列）。