大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型

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钢管订购和运输优化模型

钢管运输问题（CUMCM-2000B)
290 S4 S3 S2 690 1200 720 170 520 88 462 S5 S1 20 12 195 3060 1150 600 5 10 10 31 680 201 A8 480 300 A11 70 42 10 220 A12 10 A13 210 62 160 70 30 70 S6 110 420 A14 A15 500 20 30 S7 20
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）
问题：（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
符号说明：
结点； Aj：主管道与公路的第i个交点，称为结点结点 Si ：第i个钢厂； si ：钢厂Si在指定期限内生产钢管的最大数量； pi ：由钢厂Si 生产的单位钢管的出厂销价； Xij ：从钢厂Si运到主管道结点Aj的钢管数量； Cij ：从钢厂Si运一单位钢管到主管道结点Aj的最小费用； Ti1 ：从主管道结点Ai向左端铺管道所用钢管的数量； Ti2 ：从主管道结点Ai向右端铺管道所用钢管的数量； Ti,j ：从主管道结点Ai向Aj方向铺管道所用钢管的数量； H ：公路单位运费； Mat(i,j)：结点i到结点j的距离。钢管的铺设是全线的，而不只是运到点A1,A2,…, A15 。

数学建模案例分析管道运输与订购优化模型(cai)

钢管订购和运输优化模型要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图1所示(见反面).经挑选后可以消费这种主管道钢管的钢厂有127,,,S S S .图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位：km).为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管.一个钢厂假设承担制造这种钢管，至少需要消费500个单位.钢厂i S 在指定期限内能消费该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：i1 2 3 4 5 6 7 i s800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p1601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 运价(万元) 2023262932里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000运价(万元) 37445055601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元.公路运输费用为1单位钢管每千米万元〔缺乏整千米部分按整千米计算〕. 钢管可由铁路、公路运往铺设地点〔不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线〕.问题：〔1〕请制定一个主管道钢管的订购和运输方案，使总费用最小〔给出总费用).考虑题：〔2〕请就〔1〕的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运方案和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运方案和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果.〔3〕假设要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决方法，并对图2按〔1〕的要求给出模型和结果.71一、根本假设1．沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路. 2．在主管道上，每千米卸1单位的钢管.3．公路运输费用为1单位钢管每千米万元〔缺乏整千米部分按整千米计算〕 4．在计算总费用时，只考虑运输费和购置钢管的费用，而不考虑其他费用. 5．在计算钢厂的产量对购运方案影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量不受限制.6．假设钢管在铁路运输路程超过1000km 时，铁路每增加1至100km ，1单位钢管17的运价增加5万元.二、符号说明：i S ：第i 个钢厂； 7,,2,1 =i i s ：第i 个钢厂的最大产量； 7,,2,1 =ij A ：输送管道〔主管道〕上的第j 个点； 15,,2,1 =j i p ：第i 个钢厂1单位钢管的销价； 7,,2,1 =iij x ：钢厂i S 向点j A 运输的钢管量； 7,,2,1 =i 15,,2,1 =jj t ：在点j A 与点1+j A 之间的公路上，运输点j A 向点1+j A 方向铺设的钢管量；14,,3,2,1 =j (01=t )ij a ：1单位钢管从钢厂i S 运到结点j A 的最少总费用，即公路运费﹑铁路运费和钢管销价之和； 7,,2,1 =i 15,,2,1 =jj b ：与点j A 相连的公路和铁路的相交点； 15,,3,2 =j1.+j j A ：相邻点j A 与1+j A 之间的间隔； 14,,2,1 =j三、模型的建立与求解问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小由题意可知，钢管从钢厂i S 到运输结点j A 的费用ij a 包括钢管的销价﹑钢管的铁路运输费用和钢管的公路运输费用.在费用ij a 最小时，对钢管的订购和运输进展分配，可得出本问题的最正确方案.1. 求钢管从钢厂i S 运到运输点j A 的最小费用1〕将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图.由于钢管从钢厂i S 运到运输点j A 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总间隔有关.又由于钢厂i S 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最短途径.如图3图3 铁路网络图根据钢管的铁路运价表，算出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂i S 到j b 的边.再将与j b 相连的公路、运输点i A 及其与之相连的要铺设管道的线路〔也是公路〕添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边.以1S 为例得图4.图4 钢管从钢厂1S 运到各运输点j A 的铁路运输与公路运输费用权值图2〕计算单位钢管从1S 到j A 的最少运输费用根据图4，借助图论软件包中求最短路的方法求出单位钢管从1S 到j A 的最少运输费用依次为：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142〔单位：万元〕.加上单位钢管的销售价i p ，得出从钢厂1S 购置单位钢管运输到点j A 的最小费用j a 1依次为：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302〔单位：万元〕.同理，可用同样的方法求出钢厂2S ﹑3S ﹑4S ﹑5S ﹑6S ﹑7S 到点j A 的最小费用，从而得出钢厂到点的最小总费用〔单位：万元〕为：表1 i S 到点j A 最小费用A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 S 1198 163 252 256 266 288 302 2S266 241 297 301 311 333 347 3S 276 251 237 241 251 273 287 4S316 291 222 211 221 243 257 5S 301 276 212 188 206 228 242 6S306281212 201 195161 1782. 建立模型运输总费用可分为两部分：运输总费用=钢厂到各点的运输费用+铺设费用.运输费用：假设运输点j A 向钢厂i S 订购ij x 单位钢管，那么钢管从钢厂i S 运到运输点j A 所需的费用为ij ij x a .由于钢管运到1A 必须经过2A ，所以可不考虑1A ，那么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为：∑∑==15271j i ijij a x.铺设费用：当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管就要向运输点j A 的两边1+j j A A 段和j j A A 1-段运输〔铺设〕管道.设j A 向1+j j A A 段铺设的管道长度为j y ，那么j A 向1+j j A A 段的运输费用为()201)21(1.0+=+++⨯j j j t t y 〔万元〕；由于相邻运输点j A 与1+j A 之间的间隔为1.+j j A ，那么1+j A 向1+j j A A 段铺设的管道长为j j j t A -+1.，所对应的铺设费用为()()2011.1.jj j j j j t A t A-+-++〔万元〕.所以，主管道上的铺设费用为：()()()∑=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-++1411.1.201201j j j j j j j j j t A t A t t总费用为：()()()∑∑∑===++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++=711521411.1.201201i j j j j j j j j j j ij ij t A t A t t a x f又因为一个钢厂假设承担制造钢管任务，至少需要消费500个单位，钢厂i S 在指定期限内最大消费量为i s 个单位，故i j ijs x≤≤∑=152500 或0152=∑=j ij x 因此本问题可建立如下的非线性规划模型：14157.1.112171151522.1(1)()(1)min (2020j 2,3,,15500 0s.t. 0 1,,7,2,,150j j j j j j j j ij ijj j i ij j i ij i ij j j ij j j j t t A t A t f x a x n x s x x i j t A ++======++-+-=++⋅⎧==⎪⎪⎪⎪≤≤=⎨⎪⎪≥==⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑或3. 模型求解：由于MATLAB 不能直接处理约束条件：i j ijs x≤≤∑=152500或0152=∑=j ij x ，我们可先将此条件改为i j ijs x≤∑=152，得到如下模型：用MATLAB 求解，分析结果后发现购运方案中钢厂7S 的消费量缺乏500单位，下面我们采用不让钢厂7S 消费和要求钢厂7S 的产量不小于500个单位两种方法计算：1〕不让钢厂7S 消费计算结果：=1f 1278632〔万元〕〔此时每个钢厂的产量都满足条件〕. 2〕要求钢厂7S 的产量不小于500个单位计算结果：=2f 1279664 〔万元〕〔此时每个钢厂的产量都满足条件〕. 比较这两种情况，得最优解为， 121),min(min f f f f ===1278632〔万元〕详细的购运方案如表2：表2 问题一的订购和调运方案14157.1.112171152.1(1)()(1)min (2020j 2,3,,15 s.t. 0 1,,7,2,,150j j j j j j j j ij ijj j i ij j i ij ij ij j j j t t A t A t f x a x n x s x i j t A ++=====++-+-=++⋅⎧==⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≥==⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑。

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解
钢管订购与运输问题是一种组合优化问题，它涉及到钢管的订购和运输，旨在找到最佳的订购和运输方案，以最小的成本获得最大的收益。

这个问题通常可以用数学模型来表示。

设 n 个工地需要订购 m 根钢管，钢管订购和运输费用分别为
c1(订购费用)、c2(运输费用),订购钢管的最早时间 t0 为早订购时间，最迟时间为 t1 为晚订购时间，运输时间不计费用。

则钢管订购与运输问题的数学模型可以表示为:
minimize Σi=1~n c1(t1-t0) + Σj=i+1~n c2(t2-t1)
subject to:
t1≤t0
t2≥t1
t1+t2≤t0+30
x1=1, x2=1, ..., xnm=1
其中，x1、x2、...、xnm 是订购钢管的数量，1 表示订购，0 表示不订购。

通过这个数学模型，我们可以制定出钢管订购与运输问题的求解方法，以找到最佳的订购和运输方案。

在实际问题中，我们通常需要对求解结果进行评估和优化，以便找到更加优秀的方案。

因此，钢管订购与运输问题的数学模型和求解方法只是问题的第一步，实际应用中还需要进行进一步的分析和优化。

管道钢管订购运输最优化模型

=
li

j=1

m , m (l ) ( r)
ji
ji
≥
0

其中
( j = 1...7) (i = 1...n)
n
∑(
m(l ji
)
+
m(r ji
)
)为钢厂S
的钢管产量
j
i =1
称之为产量约束
li为第i段管道所需钢管数量
称之为销量约束
2
作者雷波 98109 董斐 98406 王双红 98404
设沿管道或者原来有公路或者建有施工公路）圆圈表示火车站每段铁路公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位ｋｍ）
为方便计１ｋｍ主管道钢管称为１单位钢管
一个钢厂如果承担制造这种钢管至少需要生产５００个单位钢厂 Si 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为 si 个单位钢管出厂销价１单位钢管为 pi 万元如下表
m
(r ji
)
(1
+
m
(r ji
)
)
m(j
l i
)
(1
+
m
(l) ji
)
∑ ∑ ∑ (w m (l ) (l ) ji ji
+
w(r ji
)
m(r ji
)
)
+
g( j=1
j =1 i =1
i=1
j=1
2
+ j=1
j =1
)
2
决策变量Ｓ．Ｔ．
( (
m( l ) 11
m( l ) 21
, ,
m( r ) 11

钢管运输和订购优化的数学模型

钢管运输和订购优化的数学模型摘要本文根据题目的条件和要求，建立两个单目标非线性规划模型，并通过这两个模型，完整的解决了问题。

针对问题一，我们将管道铺设划分为两个过程。

过程一为钢管从钢管厂运到管道与道路的交叉口；过程二为钢管从管道与道路的交叉口运到管道线的过程。

求出铁路网与公路网中任意两点的最短路线，再转化为最少的运输费用。

那么，总运输费用就是两个过程运输费用的和。

这样，就使运输网络变成了供需运输价格表，最后我们建立一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用lingo 软件求出最优解。

总费用最小为1278632万元。

结果如下：1S2S3S4S5S6S7S总费用 80080010001223.71347.21278632针对问题二，我们可以从模型一lingo 运行的结果分析，可以得出5S 钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，1S 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

针对问题三，当天然气管道为一个树状图时，分析方法与问题一相同。

利用lingo 软件求出最优解。

总费用最小为1406165万元。

结果如下：1S2S3S4S5S6S7S总费用 800 80010001411.71891.31406165关键字：Floyd 算法；非线性规划；影子价格AbstractBased on the title of the conditions and requirements, create two single objective linear programming model, and through these two models, a complete solution to the problem.For question one, we will be divided into two pipe-laying process. A process for the steel shipped from the factory to the steel pipe and road intersections; course of two for steel pipes shipped from the intersection with the road to the process pipe lines. Find the shortest route to the railway network and road network between any two points, and then converted to a minimum transportation costs.So, the total transportation cost is the cost of transportation and the two processes. Thus, to make the transport network into a transport supply and demand price list, and finally we build a nonlinear programming model based on the total cost of the objective function, using lingo software find the optimal solution.1S2S3S4S5S6S7SThe total cost 80080010001223.71347.21278632For the second question, we can learn from the results of the model runs a lingo analysis, we can draw the selling price of steel mills change the greatest impact on the total cost of purchase and transportation planning, change the upper limit of steel pipe production plans and to share transport the biggest impact of the total cost.Third, when a natural gas pipeline as a tree, an analytical method with the same problem for the problem. Use lingo software find the optimal solution.1S2S3S4S5S6S7SThe total cost 800 80010001411.71891.31406165Keywords: Floyd algorithm ；Nonlinear Programming ；Dual Price一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。

钢管订购与运输的优化模型

钢管订购与运输的优化模型钢管订购与运输是现代经济中的一个重要问题。

钢管是建筑、制造、输送等多个领域必不可少的材料，一般情况下我们需要从厂家或供应商那里订购所需钢管，并通过运输将其送到指定地点。

在订购和运输的过程中，我们需要考虑许多因素，如运输距离、交通方式、需求量、时间限制、价格等等。

针对这些问题，我们需要使用优化模型来提高订购和运输的效率和经济性。

一、钢管需求模型在实际工作中，我们需要尽可能准确地了解钢管的需求情况。

这样才能更好地制定订购和运输计划。

钢管需求模型是一个重要的决策工具，可以帮助我们进行有效的决策。

其主要内容如下：（一）需求量需求量是指市场中对钢管的总需求量。

建立需求量模型需要考虑市场状况、产品质量、价格、季节等因素。

我们可以通过市场调研、历史销售数据等途径进行预测。

需求结构是指不同规格的钢管在市场中的占比情况。

了解需求结构可以帮助我们更好地制定订购方案，避免过度订购或订购不足情况的发生。

需求时间是指市场上对钢管的需求时间分布。

了解需求时间可以帮助我们更好地制定订购和运输计划，减少废弃和过度库存，提高物流效率。

在了解钢管需求的情况之后，我们需要制定订购计划。

为了提高采购效率，我们需要采用优化模型。

该模型的主要内容包括：订购量是指在一定时间内企业需要订购的钢管数量。

订购量的大小直接影响企业的成本和库存水平。

因此，我们需要根据实际需求，结合采购成本、库存水平等因素进行考虑，制定出合理的订购量。

（二）订购频率订购频率是指企业在一段时间内订购钢管的次数。

频繁而杂乱的订购计划会耗费大量的人力、物力和财力，同时也增加了库存和物流的费用。

因此，我们需要根据实际情况，制定出合适的订购频率。

（三）订购价格订购价格是采购者与供应商之间协商的价格。

采购者需要确保订购价格与采购成本相符，同时也要考虑到供应商的利润。

因此，合理的订购价格既要考虑到采购方的利益，也要考虑到供应商的利益。

订购钢管需要通过运输将其送到指定地点。

全国数模竞赛优秀论文钢管订购与运输的优化模型(浙江师范大学胡国英柯懿张惠锋) 精品

（1）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二（见附录一）按（1）的要求给出模型和结果。

（二）问题的分析本题要铺设一条A1~A15的天然气管道，使得总费用最小。

可以这样考虑问题：我们可以先把钢厂生产的钢管运到各个站点Ai(i≠1)再往两边运送，再计算出总的费用使之最小。

事实上我们并不知道每个站点上要运去多少货，所以设每个钢厂运往站点的数量为一变量及站点运往两边的钢管量也为变量，再通过图中已知信息相应的列出一些恒等式和约束条件。

为了使问题便于求解，我们把铁路费用及销价相应转换为公路费用（其简化的图示见附录一的图三），又因为铁路运费为一分段函数，故要对一些点之间加线使运费相当。

转换完毕后再利用赋权图的性质求出厂到站点的最短路。

（其具体数据见附录三）（三）模型的假设（１）运钢管过程中若用火车则可直接把钢管运到公路与铁路交接处,即下了火车不上火车。

（２）假设运输单位可提供足够的火车与汽车。

（３）费用计算时按照钢管数量来算，不考虑其他计费方法及因素。

（４）运费中不足整公里部分按整公里计。

（５）假设向每个钢管厂都订购钢管。

（６）设１Ｋm主管道钢管为１单位钢管。

（７）路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。

（８）不计各个环节中的装卸费用。

（四）符号说明Ｓi: 表示生产钢管的钢厂（i=1,2…7）。

Ai：表示暂存钢管的站点。

(i=1,2…15)Ｘ1,+kk 与Ｘ1,-kk：分别表示Ａk运往Ａ1+k方向的钢管的数量和Ａk运往Ａ1-k方向的钢管的数量。

（其中Ｋ=2,3…15 X21=104, X16,15=0）Ｂk ：表示存放在Ａk处的钢管数量（k=2,3…15）.Yij : 表示从Ｓi－>Aj所运的钢管数量。

Ｆ(Xij ,Yij): 表示总的费用。

（单位:万元）△Ｐi :表示钢管销价的变化量。

（五）模型的建立与求解题Ⅰ：为了使问题简化，我们可采取如下原则：(1)总费用公路化原则：就是将铁路运费及钢管销价恰当的转换为公路运费。

2000年数学建模B题钢管订购和运输

钢管订购和运输摘要本文根据问题的条件和要求，建立两个模型，两个模型均为单目标非线性规划模型，并通过求解这两个模型，完整地解决了问题。

由于铁路运输费用函数具有不可加性，不能直接应用现有的最短路算法来求解铁路和公路交通网中任意两点间最小费用路问题。

本文采用了一种分步递推算法，巧妙解决了这一问题。

1278632万元。

.15A →(假1单位钢管的铁路运价如下表：1000km 以上每增加1至100km 运价增加5公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（315A ，的每单i ，j V 的任意两点ik C =运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

问题三，利用同问题一一样的方法，从而可求出某钢厂到某某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。

（具体算法及程序见附录）模型的假设与符号说明1) 基本假设:○1要铺设的管道侧有公路，可运送所需钢管。

1521,,,A A A○2钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转（换车）费用； ○3所需钢管均由)7,...,1(=i S i 钢厂提供； ④假设运送的钢管路途中没有损耗。

2) 符号说明:iS : 钢厂i S 的最大生产能力;ip : 钢厂iS 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;d e ijc jb ijx y j jZ i t W 费用，具体数据如下表1：表1 单位钢管从iS 运输到jA 的最小运输费用（单位：万元）对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：目标函数是总费用W , 它包含三项: 钢管出厂总价Q , 运输费P , 及铺设费T. 即 W = Q + P + T其中iji j i x p Q ∙=∑∑==71151 ，iji j ij x c P ∙=∑∑==71151，铺设费T 可以如下来确定：jA 开始从左右两个方向铺设，j y 与z j 单位长钢管的费用为(1)12 (2)j jj y y d d d y d++++=与(1)2j jz z d +故 ()()1511122j j j j j y y z z T d =⎡⎤++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑目标函数为：约束条件为:① ② ③④ ⑤0,0,0j ij j x y z ≥≥≥, )15,...,1,7,...,1(==j i i t =0或1 (i=1,..,7)d=0.05;根据模型二编写Lingo 程序，程序运行后，得到最优最小费用为1282142W =万元。

数学建模：钢管订购和运输

钢管订购和运输摘要：本文运用线性规划理论建立了钢管订购和运输计划问题的数学模型。

在求解时分别利用了图论中求最短路长的算法、整数规划中的0—1规划的解法及运输问题的表上作业法。

关键词：线性规划,运输问题一、问题重述有一条从A1→A2→ →A15的天然气管道需要铺设，如图1。

经筛选，只有7家厂商获得认可，分别记为S1，S2，，S7。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示管道（假设管道沿线有公路或建有施工公路）。

圆圈表示公路，每段铁路公路和管道旁的数字表示管道的里程（单位km），记1km为一个单位。

一个钢厂如果承担这种钢管的生产，则最少需要500个单位。

钢厂Si在制定期内最多能生产钢管的数量记为si个单位，钢管出场售价为每单位Pi万元，如下表。

一单位钢管的铁路运价如下表：1000km每增加100km运费增加5万元公路运输费为每公里0.1万元（不足整公里部分按1公里计算）。

1：制定一个主管道的订购和运输计划，市总费用最小（给出总费用）。

2：就问题1的模型进行分析，那个钢管厂的钢管销售价格变化对够运计划和总费用影响最大；哪个钢管厂钢管的产量上限的变化对够运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

3：如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，对这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图2按问题1的要求给出模型和结果。

二、基本假设假设铺设钢管可从Aj向前后两个方向铺设或向同一方向铺设和不考虑火车运载与汽车运载的装卸费。

三、符号说明1 第Si 个钢管厂承担制造钢管的任务。

0 - 1变量Ri, Ri=0 第Si 个钢管厂不承担制造钢管的任务。

ai 表示向第Si 个钢管厂订购的钢管的数量。

xij 表示从钢管厂Si 沿着费用最小的路线运输到火车站Aj 点的钢管的数量。

bj 表示从各个钢管厂运输到Aj 点的钢管的总数。

cij 表示从钢管厂Si 运输单位钢管到Aj 的最小费用。

钢管的订购和运输解答模型

第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l131　N o11　Jan.2001　钢管的订购和运输解答模型邵　铮,　周天凌,　马健兵指导老师:　扈志明(清华大学,北京　100084)编者按:　本文把B题的问题1和3归结为网络最小费用流问题,建立了线性和非线性最小费用流模型,并运用相应的解法和分支定界法求解,叙述清晰,简洁,层次分明.本刊予以部分发表.我们指出:本文的网络流模型和线性规划中标号运输问题模型是等价的.摘要:　首先通过最短路算法简化了供需距离网络,去掉了铁路、公路等边的性质,使供需距离网络简化为一个供需运输价格表.在此基础上构造了三个模型:线性费用的网络流模型、改进的线性费用的网络流模型和具有非线性费用的网络流模型.通过改进传统的最小费用最大流算法,解决了本题的非线性费用网络流模型,并给出了算法的正确性证明与复杂度分析.关键词:　运输问题;网络流;树形网络;分支定界1　问题的提出(略)2　基本假设和符号说明2.1　基本假设1.原图是一个连通的简单图;2.铁路、公路的运量没有限制;3.为了满足费用最小的要求,允许出现生产过剩现象;4.工厂的数目(图中S点的个数)不太多,约在10个以下;5.待铺设的钢管长度不太长,约在10000公里以下;6.待铺设的线路的段数不太多,约在40段以下;7.公路运输不足整公里部分按整公里算.2.2　符号说明1.工厂(图中S点),设有n个,记作S1、S2,…S n;2.在不至于混淆的情况下,S i同时用来表示每个工厂的产量,i=1,…n;3.待铺设线路的端点(图中A点,以后简称关节点),设有m个,记作A1、A2,…A m;4.在不至于混淆的情况下,A j同时用来表示从各个工厂运到A j的钢管总数量,j=1,…m;5.待铺设的管道,记作P jk(j≠k),表示A j与A k之间有一条待铺设的管道,它的长度也用P jk来表示,如果A j与A k之间没有待铺设的管道,则P jk=0;6.SA Q ij表示从S i到A j的运输量,i=1,…n,j=1,…m;7.SA P ij表示从S i到A j运输单位长度钢管的最小费用,i=1,…n,j=1,…m;8.A A Q jk表示A j提供的用于铺设A j与A k之间管道的长度,j,k=1,…m.显然有A A Q jk +A A Q k j =P jk ;9.下文所有费用的单位均为千元.3　问题的分析与简化3.1　问题的分析整个铺设管道的工程看似错综复杂,其实可分为三个部分:1.各个工厂(S 点)生产一定数量的钢管2.把钢管从工厂(S 点)运送到铺设管道的关节点(A 点)3.从关节点(A 点)将管道运至铺设地点这三个部分是相互依赖的,不能简单地把三个部分孤立开来讨论.但是通过仔细观察,我们发现第二部分中的运费事实上只与出发点(S 点)、目标点(A 点)和运量有关,并且是运量的线性函数,具备可叠加性.运输总费用:W =∑ni =1∑mj =1SA Qij×SA P ij .因此,我们可以简化第二部分的计算,即先从铁路与公路网络得出SA P 矩阵.3.2　问题的简化求SA P 矩阵的基本思路是图的最短路算法.由于铁路的运输费用与线路的长度不是线性关系,必须对铁路网做一些预处理才能套用图的标准最短路算法.下面叙述求SA P 矩阵的过程:1.利用图的标准最短路算法,从铁路网络得出图中任两个点之间的最短路径表T (如果两个点之间不连通,认为它们之间的最短路长度为+∞).2.利用题中的铁路运价表将T 中的每个元素(即最短距离)转化为运输费用,将运输费用表记为C .3.将公路的长度换算为运输费用,由公路路程图(包括要沿线铺设管道的公路)得出公路费用图G ,若i ,j 不连通,则令G ij =+∞.4.对于任一组(i ,j )∈{1,…n }×{1,…m }如果C ij <+∞,且小于G ij ,那么就在公路费用图中加一条边.即令G ij =m in {C ij ,G ij }.5.利用图的标准最短路算法,求公路费用图中任一个S 点到任一个A 点的最小费用路径,得出SA P 矩阵.如表1所示:表1　图1的SA P 矩阵S A 1234567891011121314151170716031402986380205312126429209601060121212801420221572053190217161110955860712114214201460156017121780192032307220320021816121010559608624828208609601112118013204260725032352216615601405131011628426205106107628309705255724532252206614601305121011127925703305107127308706265725532352216615601405131012128426205104502621102807275726532452226616601505141013129927606605603822602086数　学　的　实　践　与　认　识31卷经过这一变换,问题大大简化,下面将原问题用纯数学语言做一个描述.3.3　问题的数学描述常量:R i :第i 个工厂的钢管单价,L i :第i 个工厂的产量上限.变量表:S i ,SA Q ij ,A j ,A A Q jk m in (c 1+c 2+c 3)s .t .　c 1=∑ni =1Si×R ic 2=∑ni =1∑m j =1SA Qij×SA P ijc 3=∑mj =1∑mk =1(A A Q jk×(A A Q jk +1) 2)S i =∑mj =1SA QijA j =∑ni =1SA QijA j =∑mk =1A A QjkA A Q jk +A A Q k j =P jk S i <=LiS i =0o r S i >=5004　问题的求解上面的数学描述中,最难处理的是S i =0o r S i >=500这个条件.求解过程分为三步:A .假设工厂的产量只有上限,下面的三个流网络模型都是针对这种情况的.B .假设工厂的产量有上下限,“产量有下限的模型”一节讨论这种情况.C .工厂的产量∈{0,[500,L i ]},“基于分支定界搜索的求解过程”一节讨论这种情况.4.1　线性费用流网络模型一下面建立一个线性费用流网络的模型(图1):图中边上的(A ,B ),A 表示边的流量限制,B 表示边的单位流量的费用,下同.1)网络有一个源点Sou rce ,从Sou rce 到每个S 点有一条边,边的流量限制为S i 的最大产量L i ,单位费用为S i 生产钢管的单价R i .2)从S i 到A j 有一条边,边的流量限制为+∞,单位费用为SA P ij ,即从S i 到A j 运输单位长度钢管的费用.3)对于每一条要铺设的管道P ,设其长度为L en ,两端点为A j ,A k ,则P 对应着L en 个点,分别表示要铺设的一个单位长度的钢管(如图中P 11,P 12,P 13),从A j 到这L en 个点各有一条边,边的流量限制为1,单位费用分别为1,2,3…,L en ,从A k 到这L en 个点也各有一条边,边的流量限制为1,单位费用分别为L en ,L en -1,…3,2,1.4)从3)中的点(代表每单位长度的钢管的点)到图的汇点T arget 各有一条边,流量限961期邵　铮等:钢管的订购和运输解答模型图1　线性费用流网络模型一制为1,单位费用为0.这种流网络模型最简单,效率也较低.设铺设的管道共有T l 公里,显然T l >>n 与m .网络中的点数大约为T l 个,边数大约为3×T l ,最大流量为T l .标准的网络流算法的时间复杂度为O (V 3×M ax F lo w ),因此,这个模型的复杂度为O (T l 4).对于题中的数据,T l 大约在5000左右,T l 4≈1015,不可承受.4.2　线性费用流网络模型二(图2)模型一之所以效率低,最主要的问题是流网络中的点太多了.通过点的合并,可以大幅减小流网络中点的个数.将线性费用流网络模型一中对应同一段要铺设的管道的点合并成一个点(即模型一图中的P 11,P 12,P 13合并为P 1),从A 点到这些点的边现在全部转到一个点上(如图),从这些点到T a rg et 的边合并为流量限制为P i (P i 即要铺设的管道的长度),单位费用为0的一条边.模型二中的点数为n +m +P coun t +2,边数大约为2×T l 个.均比模型一有了大幅减小.然而边数仍然太多,而且这张流网络不是一张简单图(A 层与P 层中两个点之间的边数>1),因此,不能直接套用标准最小费用最大流的复杂度计算公式.4.3　非线性费用流网络模型(图3)第三种模型是非线性费用网络流模型.1)模型中所有的点与模型二相同;2)模型中除了A 层与P 层之间的边以外,均与模型二相同;3)A 层与P 层之间的边的流量限制与模型二相同,但是没有单位费用的概念,因为费用是非线性的,费用=流量×(流量+1) 2.07数　学　的　实　践　与　认　识31卷图2　线性费用流网络模型二图3　非线性费用流网络模型线性费用流网络模型一可用标准的最小费用最大流算法(如最小费用路算法)来求解.而非线性费用流网络模型不能直接套用标准算法.下面我们先叙述一下最小费用路算法,171期邵　铮等:钢管的订购和运输解答模型再提出非线性模型的求解算法.标准的最小费用最大流算法——最小费用路算法:Step 0:取零流f 为初始可行流.Step 1:如果v (f )=最大流量v m ax ,则f 为D 中流值为v m ax 的最小费用流;否则转Step 2;Step 2:构造增量网络D (f ).如果D (f )中不存在(Sou rce ,T arget )路,则D (f )中没有流值为v m ax 的可行流,停止,否则在D (f )中找一条最小费用路U ,转Step 3.Step 3:用c (U )表示U 的容量,对f 沿U 增广流值,增广量为c (U ),得到新流f ,转Step 1.最小费用路算法在找最小费用路时要用到边的单位费用,而非线性模型中的非线性费用边没有单位费用的概念.为此,将最小费用路算法做一点修改:定义非线性费用边的上下边际费用:上边际费用定义为:流量增加1,非线性费用边的费用的增加值下边际费用定义为:流量减小1,非线性费用边的费用的减小值当最小费用路算法查询正向流过这条边的单位费用时,用上边际费用作为单位费用;当最小费用路算法查询负向流过这条边的单位费用时,用下边际费用作为单位费用;经过这个修改,最小费用路算法就能应用于本题的非线性模型了.4.4　有产量下限的模型下面考虑进一步的模型.现在我们给定每个工厂的生产量范围[L ow i ,H igh i ],求最小费用方案.为了解决这个问题,我们要对原来的网络作一点修改(图4):图4　产量有上下限的非线性费用流网络模型1)为每个产量下限非0的工厂增加一个虚拟点,如图中的S 1’点,2)增加一条从Sou rce 到S 1’的边,流量限制为L ow 1,费用为0,3)增加一条从S 1’到S 1的边,流量限制为+∞,费用为0,4)将Sou rce 到S 1的边的流量限制改为H igh 12L ow 1这样的模型得出的最小费用要加上∑ni =1L ow i ×R i 才是原问题的解.由于我们假设允许生产过剩现象,这种方法的正确性显而易见,这里不再证明.4.5　基于分支定界搜索的求解过程由于题中给出的工厂产量的范围{0,[500,L i ]}不是一个区间,我们需要用分支定界搜索来求解.下面以图1中的数据为例,分析分支定界搜索的求解过程.27数　学　的　实　践　与　认　识31卷1)将工厂产量的范围设定为(0-800,0-800,0-1000,0-2000,0-2000,0-2000,0-2000),求得一个解:费用为12753516,生产方案为=(800,800,1000,0,1366,960,245).2)由于1的解中第7个工厂的产量245∈(0,500),要将问题分解为两部分:i.范围:(0-800,0-800,0-1000,0-2000,0-2000,0-2000,0-0)解得:费用为12786316,生产方案为(800,800,1000,0,1366,1205,0),这个方案是合法的,将其作为当前最优解ii.范围:(0-800,0-800,0-1000,0-2000,0-2000,0-2000,500-2000)解得:费用为12796606,生产方案为(800,800,1000,0,1336,735,500)费用>当前最优解,舍弃当前节点搜索结束,最优解:费用为12786316,生产方案为(800,800,1000,0,1366,1205,0)至此,题中第一问与第三问都已被圆满的解决了.4.6　运行结果・图1的最优解:总费用12786316千元・S 1到S 7的产量=(800,800,1000,0,1366,1205,0)・图2的最优解:总费用:14066314千元・S 1到S 7的产量=(800,800,1000,0,1303,2000,0)4.7　算法的复杂度分析(V 指网络中的总点数,V =n +m +P coun t +2,T l 指待铺设的管道的总长度)i.预处理时用到的图的最短路算法的复杂度为O (V 3)ii.主程序外层是分支定界搜索算法,最坏情况的运行次数为2n .一般情况下运行次数不多iii.主程序内层是非线性费用网络流模型,使用非线性最小费用路算法,复杂度为O (V 3×T l ),;由此可见算法的时间复杂度在O (V 3×T l )到O (V 3×T l ×2n )之间.若数据规模如假设中所述,则运算量大约在1010以下.参考文献:[1]　徐俊明.《图论及其应用》.中国科学技术大学出版社,1998.[2]　谢　政,李建平.《网络算法与复杂性理论》.国防科技大学出版社,1995.M odel for Order i ng and Tran sportation of Steel P ipeSHAO Zheng ,　ZHOU T ian 2ling ,　M A J ian 2b ing(T singhua U niversity ,Beijing 100084)Abstract :　F irst w e si m p lified the supp ly 2dem and distance netw o rk by using the sho rtest 2path algo rithm .W e go t rid of the p roperties of the rail w ays and roads ,reduced the supp ly 2dem and371期邵　铮等:钢管的订购和运输解答模型第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l131　N o11　Jan.2001　distance netw o rk to a supp ly2dem and transpo rtati on p rice table.Based on th is,w e constructed th ree models:the linear2co st2netw o rk2flow model,the developed linear2co st2netw o rk2flow model and the non2linear2co st2netw o rk2flow model.By generlizing the traditi onal m ini m um2 co st2m axi m um2flow algo rithm,w e so lved the non2linear2co st2netw o rk2flow model.W e also gave the truth p roving and the comp lexity2analysis to our algo rithm.订购和运输钢管的最优方案陆维新,　林　皓,　陈晓东指导老师:　周　杰(四川大学,成都　610064)编者按:　该文建立了用于天燃气管道铺设的钢管订购和运输总费用最省的二次规划模型.总费用作为目标函数,钢管生产厂的产量限制等作为约束条件.所建模型通过定性分析与使用L ingo软件求解获得了满意的方案,并且计算量大大减少了.整篇文章理由描述充分,层次清楚,洞察力强而篇幅较短.摘要:　本文研究铺设天燃气钢管的最优方案问题.我们建立了一个以总费用为目标函数的二次规划模型. 1　问题的重述与分析(略)2　模型的假设与符号说明1)基本假设:①要铺设的管道侧有公路,可运送所需钢管;②钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计换车费用;③所需钢管均由S i(i=1,…,7)钢厂提供;④假设运送的钢管路途中没有损耗.2)符号说明(i=1,2,…,7,j=1,2,…,15):s i:钢厂S i的最大生产能力;p i:钢厂S i的出厂钢管单位价格(单位:万元);d:公路上一单位钢管的每公里运费(d=0.1万元);e:铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1);c ij:1单位钢管从钢厂S i运到A j的最小费用(单位:万元);b j:从A j到A j+1之间的距离(单位:千米);x ij:钢厂S i运到A j的钢管数;y j:运到A j地的钢管向左铺设的数目;z j:运到A j地的钢管向右铺设的数目;t i:=1,　钢厂S i提供钢管0,　钢厂S i不提供钢管;。

钢管订购和运输优化模型

钢管订购和运输优化模型随着建筑业的发展和需求的增长，钢管的订购和运输变得越来越重要。

订购和运输钢管需要考虑多个因素，如钢管的大小、数量、运输距离、交货时间和成本等。

因此，建立一个钢管订购和运输优化模型是必要的。

钢管订购模型的核心是确定订购的数量和尺寸。

在决定订购数量方面，需要考虑建筑项目的规模和时间需求。

在结合成本分析之后，可以确定最佳订购数量。

对于钢管尺寸的选择，可以通过查询标准规格和建立自定义规格，确保订购的钢管尺寸与建筑项目相匹配。

最终，可以采用传统的电话和电子邮件方式与供应商联系，完成钢管订购。

钢管运输模型需要考虑的主要因素是物流成本和运输时间。

为了优化物流成本和运输时间，需要考虑订购数量，运输距离和交货时间。

这可以通过选择合适的物流公司和运输方式来实现。

选择物流公司时，应该考虑价格、服务质量、沟通能力和运输速度。

提前规划运输路线和预估交货时间，可以降低运输成本和提高运输效率。

为了优化钢管订购和运输过程，可以将以上两个模型结合使用。

通过综合考虑订购数量、尺寸和物流成本、运输时间等因素，可以得出最佳的方案。

在实施钢管订购和运输模型时，还需要注意以下几点：1. 建立准确的模型。

模型中的参数应该经过充分的调研和估计，以确保模型的准确性和可靠性。

此外，模型应该具有良好的扩展性，以适应不同规模和类型的建筑项目。

2. 加强沟通。

在订购和运输钢管的过程中，需要与供应商、物流公司和建筑项目组沟通，及时解决问题，并确保交货时间和质量。

3. 适当的风险管理。

在实施钢管订购和运输模型时，需要识别和管理相关的风险。

这可以通过建立风险管理计划和应急预案来实现。

总之，建立钢管订购和运输优化模型，可以帮助建筑项目组更好地管理和控制钢管的订购和运输。

通过综合考虑多个因素，可以降低成本、提高效率并保证物流质量。

2000年数学建模B题钢管订购和运输全解答

钢管订购和运输摘要：本文建立了一个运输问题的最优化模型。

通过分析题图一，我们利用Floyd 算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo 软件，求出问题一的最优解为1278632万元通过对问题一中lingo 运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo 软件，求得最优解为1407149万元.关键词：Floyd 算法，非线性规划，0-1规划一问题重述有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管721,,S S S 。

要沿着1521A A A →→→ 的主管道铺设, 如题图一所示。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：123456780080010002000200020003000160155155160155150160iis ip1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400401～450451～500 运价(万元) 2023262932里程(km) 501～600601～700 701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型

钢管订购和运输优化模型

数学建模案例分析管道运输与订购优化模型(cai)

钢管订购与运输问题一的数学模型与求解

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2000年数学建模B题钢管订购和运输

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