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2019届高考理科数学知识点题组训练题5

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2019年高三数学(理科)试卷及答案(含解析)

2019年高三数学(理科)试卷及答案(含解析)

2019年高三数学（理科）试卷及答案(WORD版本试卷+名师解析答案，建议下载练习)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.下面是关于复数的四个命题：；；的虚部为2；的共轭复数为.其中真命题为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；故选：A．【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（）万元A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．【详解】由题意，，，代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，所以a＝0.75，所以0.6x+0.75，所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；则f（2019）＝﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期．6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．7.设，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ，可得结果.【详解】由（1，），（1，0），．则（1+k，），由，则0，即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），设与的夹角为θ，则cosθ，又θ∈[0，π]，所以，故选：A．【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．14.设，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】分别令x=0和x=-1，即可得到所求.【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题. 15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形P AB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．（2）先利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单调递增区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时取得等号.∴面积，故面积的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.设是等差数列，前项和为，是等比数列，已知，，，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{b n}的通项公式；（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，。

2019数学(理科)高考题分类(高考真题+模拟题) 数列

2019数学(理科)高考题分类(高考真题+模拟题) 数列

D单元数列D1 数列的概念与简单表示法20.D1,D5,M2[2019·北京卷]已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m),若a i1<a i2<…<a im,则称新数列a i1,a i2,…,a im为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证:a m<a n.(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.20.解:(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明:设长度为q末项为a n0的一个递增子列为a r1,a r2,…,a rq-1,a n.由p<q,得a rp ≤a rq-1<a n.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为a m0,又a r1,a r2,…,a rp是{a n}的长度为p的递增子列,所以a m0≤a rp.所以a m<a n.(3)由题设知,所有正奇数都是{a n}中的项.先证明:若2m是{a n}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1是数列{a n}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1,2m是数列{a n}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{a n}中的项.假设存在正偶数不是{a n}中的项,设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{a n}的同一个递增子列中.又{a n}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2⏟(m-1)个×1×1=2m-1<2m.与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2且m为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{a n}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以a n={n+1,n为奇数, n-1,n为偶数.D2 等差数列及等差数列前n项和9.D2[2019·全国卷Ⅰ]记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n9.A[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由题意有{4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得{a1=-3,d=2,所以a n=-3+(n-1)×2=2n-5,S n=-3n+n(n-1)2×2=n2-4n,对比选项可知只有A正确.19.D2,D3[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.19.解:(1)证明:由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列. 由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8,即a n+1-b n+1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n-1,所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n-12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n+12.14.D2[2019·全国卷Ⅲ] 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .14.4 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+d=3a 1,即d=2a 1,则S 5=5a 1+5×42d=25a 1,S 10=10a 1+10×92d=100a 1,所以S 10S 5=100a 125a 1=4.10.D2[2019·北京卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .10.0 -10 [解析] 方法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由已知可得{a 1+d =-3,5a 1+10d =-10,解得{a 1=-4,d =1,所以a 5=a 1+4d=-4+4×1=0,S n =-4n+12n (n-1)=12n 2-92n=12(n -92)2-818.因为n ∈N *,故当n=4或n=5时,S n 取得最小值-10.方法二:设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=-10,所以a 3=-2,又因为a 2=-3,所以d=a 3-a 2=1,所以a 1=a 2-d=-4,a 5=a 3+2d=0,S n =-4n+12n (n-1)=12n 2-92n=12(n -92)2-818.因为n ∈N *,故当n=4或n=5时,S n 取得最小值-10.8.D2[2019·江苏卷] 已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .8.16 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,由S 9=9a 5=27,得a 5=3,从而3a 2+a 8=0,即3(a 5-3d )+(a 5+3d )=0,解得d=23a 5=2,所以S 8=S 9-a 9=S 9-(a 5+4d )=27-11=16.20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ), 当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1.设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.(i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1.(ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n ×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n =27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ), 解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +2√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c1+c2+…+c n<2√n对任意n∈N*成立.D3 等比数列及等比数列前n项和14.D3[2019·全国卷Ⅰ]记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.14.1213[解析]因为a42=a2a6=a6,所以a2=1,所以公比为a2a1=3,所以S5=13×(1-35)1-3=1213.21.D3,K6[2019·全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.21.解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i+1-p i=4(p i-p i-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1p1.3,所以由于p8=1,故p1=348-1p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-1p13.=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257试验方案合理.19.D2,D3[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.19.解:(1)证明:由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a1+b1=1,所以{a n+b n}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n-b n)+8,即a n+1-b n+1=a n-b n+2.又因为a1-b1=1,所以{a n-b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,a n+b n=12n-1,a n-b n=2n-1,所以a n=12[(a n+b n)+(a n-b n)]=12n+n-12,b n=12[(a n+b n)-(a n-b n)]=12n-n+12.5.D3[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.25.C[解析]设数列{a n}的公比为q,由题知a1>0,q>0且q≠1,则{a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得{a1=1,q=2,所以a3=a1q2=4.9.D3,L1[2019·全国卷Ⅲ]执行图1-3的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于()图1-3A .2-124B .2-125C .2-126D .2-1279.C [解析] x=1,s=0,s=0+1=1,x=12,12>0.01;s=1+12,x=14,14>0.01;s=1+12+14,x=18,18>0.01;s=1+12+14+18,x=116,116>0.01;s=1+12+14+18+116,x=132,132>0.01;s=1+12+14+18+116+132,x=164,164>0.01;s=1+12+14+18+116+132+164,x=1128,1128<0.01,输出s=1+12+14+18+116+132+164=1×[1-(12)7]1-12=2-126.20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ), 当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1. 设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;(ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n)1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ), 解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.D4 数列求和20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ),当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1. 设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n)1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ),解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n 2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.D5 单元综合20.D1,D5,M2[2019·北京卷] 已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m ),若a i 1<a i 2<…<a i m ,则称新数列a i 1,a i 2,…,a i m 为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a m 0,长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n 0.若p<q ,求证:a m 0<a n 0.(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明:设长度为q 末项为a n 0的一个递增子列为a r 1,a r 2,…,a r q -1,a n 0.由p<q,得a rp ≤a rq-1<a n.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为a m0,又a r1,a r2,…,a rp是{a n}的长度为p的递增子列,所以a m0≤a rp.所以a m<a n.(3)由题设知,所有正奇数都是{a n}中的项.先证明:若2m是{a n}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1是数列{a n}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1,2m是数列{a n}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{a n}中的项.假设存在正偶数不是{a n}中的项,设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{a n}的同一个递增子列中.又{a n}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2⏟(m-1)个×1×1=2m-1<2m.与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2且m为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{a n}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以a n={n+1,n为奇数, n-1,n为偶数.10.D5[2019·浙江卷]设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=a n2+b,n∈N*,则()A.当b=12时,a10>10B.当b=14时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>1010.A[解析]a2=a2+b≥b,a n+1=a n2+b,所以当b越大时,a10越大.四个选项中A中的b最大,当b=12时,a n+1=a n2+12,所以a2≥12,a3≥34,a4≥1716,a5≥417256>32,a6>114,a7>12916>8,a8>64,所以a10>a9>a8>10.故选A.9.[2019·南昌模拟]已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-8,且(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-9n2+21n-10,则a n=()A.-4nB.3n-5C.(3n-5)(5-n)D.5-n9.C[解析]∵(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-9n2+21n-10,∴(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-(9n2-21n+10),即(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-(3n-5)(3n-2),∵n∈N*,∴a n+13n-2=a n3n-5-1,∴数列{a n3n-5}为等差数列,其首项为a13-5=4,公差d=-1,∴a n3n-5=4-(n-1)=5-n,∴a n=(3n-5)(5-n),故选C.3.[2019·山东淄博模拟]已知在等比数列{a n}中,a1=2,且a1,a2,a3-2成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=1a n+2log2a n-1,求数列{b n}的前n项和S n.3.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q.∵a 1,a 2,a 3-2成等差数列,a 1=2, ∴2a 2=a 1+(a 3-2)=2+(a 3-2)=a 3, ∴q=a3a 2=2,∴a n =a 1q n-1=2n (n ∈N *).(2)b n =1a n+2log 2a n -1=(12)n +2log 22n -1=(12)n +2n-1,则S n =(12+1)+[(12)2+3]+[(12)3+5]+…+[(12)n+(2n -1)]=12+(12)2+(12)3+…+(12)n +[1+3+5+…+(2n-1)]=12[1-(12)n]1-12+n ·[1+(2n -1)]2=n 2-(12)n+1(n ∈N *).6.[2019·河北石家庄质检] 已知{a n }是首项为1的等比数列,各项均为正数,且a 2+a 3=12. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1(n+2)log3a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n .6.解:(1)设数列{a n }的公比为q , 由a 2+a 3=12得q+q 2=12, 解得q=3或q=-4,因为数列{a n }的各项都为正数,所以q>0,所以q=3,所以a n =3n-1. (2)由(1)知b n =1(n+2)log3a n+1=1n(n+2)=12(1n -1n+2),∴S n =12×1-13+12-14+…+1n -1-1n+1+1n -1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).。

2019年高考(理科)数学总复习解答题75分钟集训(5套)含答案及解析

2019年高考(理科)数学总复习解答题75分钟集训(5套)含答案及解析

2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 01时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)19．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB＝2EA＝2ED，EF∥BD．(1)证明：AE⊥CD；(2)在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为63？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；(2)已知正实数a，b，且h＝min{a，ba2＋b2}，求证：0＜h≤22．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训02时间：75分钟满分：70分17．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos 2C＋22cos C＋2＝0．(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为22sin A sin B，求c的值．18．(12分)如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB＝AF＝BC＝2．(1)当GB＝GF时，求证：EG∥平面ABC；(2)求二面角E-BF-A的余弦值．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5＜Z＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X的分布列．附：210≈14.5若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜Z＜μ＋δ)＝0.682 6，P(μ－2δ＜Z＜μ＋2δ)＝0.954 4．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的周长为12，AB ， AC 边的中点分别为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|．(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 03时间：75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．[选修4－5：不等式选讲] 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 04时间：75分钟 满分：70分17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝PC＝1，PB ＝PD＝2，E为线段PD上一点，且PE＝2ED．(1)若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；(2)求二面角P-AC-E的余弦值．20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln 2(x －1)－1x －1－x ＋3．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若当x ≥1时，不等式(x ＋1)x ＋m≤e x x＋m恒成立，求实数m 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求1|PM|＋1|PN|的值．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|．(1)求不等式－2＜f(x)＜0的解集A；(2)若m，n∈A，证明：|1－4mn|＞2|m－n|．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 05时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X 的分布列和数学期望．19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．(1)求证：平面PCD⊥平面PBD；(2)求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A(－2，0)，B(2，0)，离心率为22.设点P(a，t)(t≠0)，连接P A交椭圆于点C，坐标原点是O．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |；(2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．[选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．答案及解析部分2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 01时间：75分钟 满分：70分17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ． 解：(1)∵向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12， ∴f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵ω＝2，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π； (2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π3，∴由f (A )＝3得：A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴12＝b 2＋1 6－4b ，即(b －2)2＝0， ∴b ＝2．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)由题意知列联表为：K 2＝100(45×25－15×15)260×40×60×40≈14.063＞10.828，∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，∴X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65．19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ＝2EA ＝2ED ，EF ∥BD ．(1)证明：AE ⊥CD ；(2)在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面AED ，∵AE ⊂平面AED ， ∴AE ⊥CD ．(2)解：取AD 的中点O ，过O 作ON ∥AB 交BC 于N ，连接EO ，∵EA ＝ED ，∴OE ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面AED ，∴OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示：设正方形ABCD 的边长为2，EMED＝λ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D (－1,0,0)，E (0,0,1)，M (－λ，0，λ) ∴AM →＝(－λ－1,0，λ)，DE →＝(1,0,1)，DB →＝(2,2,0)， 设平面BDEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈AM →，n 〉＝AM →·n |AM →||n |＝－2λ－13×2λ2＋2λ＋1， 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2λ－13×2λ2＋2λ＋1＝63，方程无解， ∴棱ED 上不存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63．20．(12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1、C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围． 解：(1)因为C 1、C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )分别和C 1、C 2的方程联立， 求得A (t ，aba 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A 、y B 表示A 、B 的纵坐标，∴|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34． |BC |与|AD |的比值34；(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a ． 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1， 所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1．∴当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1， ∴椭圆离心率e 的取值范围⎝⎛⎭⎫22，1．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e－2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋a ln x －(2x ＋a )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，∴f ′(e)＝a －2e ＋2e ＝2e －2e ，∴a ＝0，∴f (x )＝2ln x －x 2＋1，∴f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，函数f (x )递增， 令f ′(x )＜0，解得x ＞1，函数f (x )递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝0，无极小值，(2)由(1)可知f ′(x )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，令g (x )＝a ln x －2x ＋2x，∴g ′(x )＝a x －2－2x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫a －2x －2x ， 当x ＞1时，x ＋1x ＞2，有a －2x －2x＜a －4，①若a －4≤0，即a ≤4时，g ′(x )＜0，故g (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 则当x ＞1时，g (x )＜g (1)＝0，即f ′(x )＜0，故f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，f (x )＜f (1)＝0，故当a ≤4，x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴的下方，②若a －4＞0，即a ＞4时，令g ′(x )＞0，可得1＜x ＜a ＋a 2－164，故g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋ a 2－164上单调递减，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，g (x )＞g (1)＝0，故f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a ＋a 2－164上单调递增，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，f (x )＞f (1)＝0，故当a ＞4，x ＞1时，函数f (x )的图象不可恒在x 轴下方， 综上可知，a 的取值范围是(－∞，4]．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴点P (1,1)．∵直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32，展开为 12ρsin θ－32ρcos θ＝－32， ∴y －3x ＝－3，令y ＝0，则x ＝1，∴直线与x 轴的交点为C (1,0)． ∴圆C 的半径r ＝|PC |＝(1－1)2＋(1－0)2＝1．∴圆C 的方程为：(x －1)2＋y 2＝1，展开为：x 2－2x ＋1＋y 2＝1，化为极坐标方程：ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ．∴圆C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ． 选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min{a ，b a 2＋b 2}，求证：0＜h ≤22．(1)解：∵|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当且仅当－3≤x ≤2时，等号成立，故|x ＋3|＋|x －2|的最小值为5， 如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，则a ＞5． (2)证明：∵已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，∴0＜h ≤a,0＜h ≤ba 2＋b2，∴0＜h 2≤ab a 2＋b 2≤ab 2ab ＝12，∴0＜h ≤22．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 02时间： 75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值． 解：(1)由cos 2C ＝2cos 2C －1， 则2cos 2C －1＋22cos C ＋2＝0， ∴(2cos C ＋1)2＝0，cos C ＝－22， 由0＜C ＜π，则C ＝3π4，∴∠C 为3π4；(2)由△ABC 的面积为12ab sin C ＝22sin A sin B ，则12ab ×22＝22sin A sin B ， 整理得：a sin A ×b sin B＝2由正弦定理可知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，(R 为外接圆半径)，则4R 2＝2，解得R ＝22，c ＝2R sin C ＝2×22×22＝1， ∴c 的值为1．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．(1)证明：取AB 的中点D ，连接GD ，CD ， ∵G 是FB 的中点，D 是AB 的中点，∴GD 綊12AF ，又CE 綊12AF ，∴GD 綊CE ，∴四边形CEGD 是平行四边形，∴EG ∥CD ，又CD ⊂平面ABC ，GE ⊄平面ABC ， ∴EG ∥平面ABC ．(2)解：∵AF ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABC ，平面ACEF ∩平面ABC ＝AC ，AF ⊂平面ACEF ，∴AF ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴AF ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面ABF ，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则B (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,2)， ∴BE →＝(2,0,1)，BF →＝(0,2,2)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0n ·BF →＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1,2，－2)， 又BC ⊥平面ABF ，∴m ＝(1,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×3＝13，∵二面角E -BF -A 为锐二面角， ∴二面角E -BF -A 的余弦值为13．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P (50.5＜Z ＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； ②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X 的分布列．附：210≈14.5若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4． 解：(1)E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，∴μ＝65，δ＝210≈14.5，∴P (50.5＜Z ＜79.5)＝0.682 6，P (36＜Z ＜94)＝0.954 4， ∴P (79.5＜Z ＜94)＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9，∴P (50.5＜Z ＜94)＝P (50.5＜Z ＜79.5)＋P (79.5＜Z ＜94)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5． (2)P (Z ＜μ)＝P (Z ≥μ)＝12，X 的可能取值为{10,20,30,40}，P (X ＝10)＝12×23＝13，P (X ＝20)＝12×13＋12×23×23＝718，P (X ＝30)＝12×23×13＋12×13×23＝29，P (X ＝40)＝12×13×13＝118．∴X 的分布列为：F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．解：(1)由题意，|MF 1|＋|MF 2|＝6－2＝4＞2＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1(－1,0)和F 2(1,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点)，a ＝2，c ＝1， ∴b ＝3，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由题意，设直线MN 的方程为x ＝my －1， 代入椭圆方程，整理可得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|＝6 m 2＋1(3m 2＋4)2，令t ＝3m 2＋4≥4，则S ＝6 t －13t 2， ∴t ＝4，S 的最大值为32．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．解：(1)当a ＝－1，b ＝1时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1，定义域为{x |x ＜1}，当x ≤0时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1＞0，所以函数f (x )在(－∞，0]内无零点；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1x －1＋e x －1，因为1x －1＜－1，e x －1＜1，所以f ′(x )＝1x －1＋e x －1＜0，说明函数f (x )在(0,1)上单调递减，又f (0)＝e －1＞0，当x ＝1－1e 时，f (x )＝e －1e －1＜e 0－1＝0，所以函数f (x )在(0,1)内有且只有一个零点； 综上，函数f (x )的零点个数是1；(2)若ln (ax ＋b )＋e x －1≤e x －1＋x ＋1，即ln(ax ＋b )≤x ＋1，设g (x )＝ln (ax ＋b )－x －1，若a ＜0，则当x →－∞时，显然g (x )＞0，故不符合题意，所以a ＞0． g ′(x )＝aax ＋b －1＝－ax ＋a －b ax ＋b(ax ＋b ＞0)，当－b a ＜x ＜1－ba 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，1－b a 上单调递增； 当x ＞1－ba 时，g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1－b a ，＋∞上单调递减； 从而g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba－2， 由题意可知g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba －2≤0，所以b ≤2a －a ln a ， 此时ab ≤2a 2－a 2ln a ，令h (a )＝2a 2－a 2ln a ，h ′(a )＝3a －2a ln a ，可知h (a )在⎝⎛⎭⎫0，e 32上单调增，在⎝⎛⎭⎫e 32，＋∞上单调减，所以h (a )max ＝12e 3，故ab 的最大值为12e 3．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝12y 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2cos θy 1＝2sin θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)； ∴x 24＋y 2＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＋2y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．化为极坐标方程得：4ρcos θ－2ρsin θ－3＝0，即 ρ＝34cos θ－2sin θ． [选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|． (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ＜03，0≤x ≤32x －3，x ＞3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜03－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x －3≥x ＋5， 解之得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3，由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )， 且m ≥3，n ≥3，所以m －2＞0,2－n ＜0， 即(m －2)(2－n )＜0， 所以2(m ＋n )＜mn ＋4．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 03时间：75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围． 解：(1)由b cos C ＝(2a －c )cos B 得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(2a －c )a 2＋c 2－b 22ac，化简得a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3．(2)设BD 为AC 边上的高为h ，∵S ＝12ac sin B ＝12bh ，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝3⇒3≥2ac －ac ， ∴ac ≤3，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ≤32． 故BD 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32． 18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．解：(1)由题意，x －＝6.5，y －＝80，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝3 050－6×6.5×80271－6×6.52＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝80－(－4)×6.5＝106， ∴y ^＝－4x ＋106，x ＝10时，y ^＝－40＋106＝66，即预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为66件； (2)从6天中随机抽取2天的选法有C 26＝15种，至少有1天的价格高于700元的选法有C 14C 12＋C 22＝9种，∴概率为915＝35． 由题意，X ＝0,1,2,3,4．P (X ＝0)＝(1－0.6)2×(1－0.5)2＝0.04，P (X ＝1)＝C 12×(1－0.6)×(1－0.5)2＋C 12×(1－0.6)2×0.5×(1－0.5)＝0.2，P (X ＝2)＝C 12×0.6×(1－0.6)×C 12×0.5×(1－0.5)＋0.62×(1－0.5)2＋(1－0.6)2×0.52＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.6×(1－0.6)×0.52＋C 12×0.62×0.5×(1－0.5)＝0.3，P (X ＝4)＝0.62×0.52＝0.09． X 的分布列故E (X )＝0×0.04＋1×0.2＋2×0.37＋3×0.3＋4×0.09＝2.2．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．(1)证明： ∵几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ， AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．∴以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,1)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1A 1→＝(2,0，－1)，C 1B 1→＝(0,2,1)，AA 1→＝(0,0,1)，AB →＝(－2,2,0)， 设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1A 1→＝2x －z ＝0n ·C 1B 1→＝2y ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1,2)，设平面A 1ABB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AA 1→＝c ＝0m ·AB →＝－2a ＋2b ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,0)，∵m ·n ＝1－1＋0＝0， ∴平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1． (2)解：平面ABC 的法向量p ＝(0,0,1)， 平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(1，－1,2)， 则cos 〈p ，n 〉＝p ·n |p ||n |＝26＝63．∴平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值为63． 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由内切圆性质得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b3，解得c a ＝12，将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)当直线l 垂直于x 轴时，x 轴上任意一点都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， 当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t,0)满足条件， 设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①，其中Δ＞0，∵TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， ∴y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，② ∵R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，∴y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得： k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，∴2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③，得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④要使得④与k 的取值无关，则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋2x －2，x ＞0，∴f ′(x )＝－1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1e ， 当f ′(x )＞0时，即0＜x ＜1e ，函数单调递增，当f ′(x )＜0时，即x ＞1e，函数单调递减，∴当x ＝1e 时，函数f (x )有极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2，无极小值； (2)原不等式等价于f (x )x －1＋a x ＞0，即xf (x )＋a (x －1)x －1＞0，∴1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， 令g (x )＝ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)，g (1)＝0， ∴g ′(x )＝1x ＋2ax －2＝2ax 2－2x ＋1x ，∵1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， g (2)＝ln 2＋3a －2＞0⇒a ＞2－ln 23＞0，①当a ≥12时，2ax 2－2x ＋1≥x 2－2x ＋1≥(x －1)2＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ∈(0,1)，g (x )＜0，x ∈(1，＋∞)，g (x )＞0， ∴1x －1g (x )＞0， ②当0＜a ＜12时，令2ax 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1＋1－a 2a＞1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1－a 2a 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，∴g (x )＜g (1)＝0， ∴1x －1g (x )＜0，不合题意，舍去，综上所述a ≥12．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．解：解法一：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，…(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4．(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cosπ4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0．Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0． 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1852＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1852．解法二：(1)同解法一．(2)直线l 的普通方程为y ＝x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 2＋9y 2＝9消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0， 于是Δ＝362－4×10×27＝216＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－185＜0，x 1x 2＝2710＞0，所以x 1＜0，x 2＜0，故|P A |＋|PB |＝2|x 1－0|＋2|x 2－0|＝2|x 1＋x 2|＝1825． [选修4－5：不等式选讲] 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．(1)解：不等式f (x )＜|2x ＋1|－1，即|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1－x －1＜－2x －1－1①，或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤－12x ＋1＜－2x －1－1②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＋1＜2x ＋1－1③． 解①求得x ＜－1；解②求得x ∈∅；解③求得x ＞1． 故要求的不等式的解集M ＝{x |x ＜－1或 x ＞1}． (2)证明：设a ，b ∈M ，∴|a ＋1|＞0，|b |－1＞0， 则 f (ab )＝|ab ＋1|，f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|．∴f (ab )－[f (a )－f (－b )]＝f (ab )＋f (－b )－f (a )＝|ab ＋1|＋|1－b |－|a ＋1| ＝|ab ＋1|＋|b －1|－|a ＋1|≥|ab ＋1＋b －1|－|a ＋1|＝|b (a ＋1)|－|a ＋1| ＝|b |·|a ＋1|－|a ＋1|＝|a ＋1|·(|b |－1)＞0， 故f (ab )＞f (a )－f (－b )成立．2019年高考（理科）数学总复习解答题75分钟集训 04时间：75分钟 满分：70分17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)a 3＝2b 32b 2＝2b 3－b 2＝8，又由a 1＝2得8＝2q 2，∴q 2＝4，解得q ＝2或q ＝－2， 因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ＞0(n ∈N *)，故舍去q ＝－2，所以a n ＝2n ， 则a 1a 2a 3…a n ＝2(1＋2＋3＋…＋n )＝2n (n ＋1)2，所以b n ＝n (n ＋1)2．(2)由(1)知c n ＝n ＋1n ＝1＋1n，假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m ＝c 2＋c n ，即2⎝⎛⎭⎫1＋1m ＝32＋1＋1n ， 所以2m ＝12＋1n ，故n ＝2m4－m ，由 n ＞0，得0＜m ＜4，因为m ，n 为正整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝6，所以存在正整数m ＝3，n ＝6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K 2＝50×(30×5－10×5)235×15×40×10≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．(2)根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X ，则X 的可能取值为2,3,4；所以P (X ＝2)＝C 14C 25·C 15C 26＝215，P (X ＝3)＝C 24C 25·C 15C 26＋C 14C 25·C 25C 26＝715，P (X ＝4)＝C 24C 25·C 25C 26＝615；∴随机变量X 的分布列为：数学期望为E (X )＝2×215＋3×715＋4×615＝4915．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝PC ＝1，PB ＝PD ＝2，E 为线段PD 上一点，且PE ＝2ED ．(1)若F 为PE 的中点，证明：BF ∥平面ACE ； (2)求二面角P -AC -E 的余弦值．(1)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为BD 的中点． 又∵PE ＝2ED ，F 为PE 的中点， ∴E 为DF 的中点，得OE ∥BF ， 又∵BF 平面ACE ，OE 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE ；(2)解：连接PO ，∵P A ＝PC ，∴PO ⊥AC ，∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，得PO ⊥平面ABCD ． 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°，∴△ACD 是等边三角形． 设AB ＝a ，则OD ＝32a ，PO 2＝PC 2－OC 2＝1－a 24，在Rt △POD 中，由PO 2＋OD 2＝PD 2，得1－a 24＋3a 24＝2，解得a ＝2．分别以直线OC ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角标系，由题意得A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，C ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，D ⎝⎛⎭⎫0，62，0，由PE →＝2ED →，得E ⎝⎛⎭⎫0，63，26．设平面ACE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝0n ·OE →＝0得⎩⎨⎧22x ＝063y ＋26z ＝0令y ＝1，得n 1＝(0,1，－23)，取平面P AC 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝113＝1313，∴二面角P -AC -E 的余弦值为1313． 20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值． 解：(1)由题意知：c ＝2， b 2＝a 2－4，代入P 点的坐标得4a 2＋2a 2－4＝1，解得a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)e ＝c a ＝222＝22，所以k OA ·k OB ＝e 2－1＝－12，将y ＝kx ＋m 代入x 28＋y 24＝1.化得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，因为k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，所以y 1y 2x 1x 2＝－12，所以y 1y 2＝－12x 1x 2＝4m 21＋2k 2，而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝…＝m 21－8k21＋2k 2，所以m 2＝4k 2＋2，设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|m |k 2＋1＝4k 2＋2k 2＋1， 而|AB |＝k 2＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝…＝k 2＋11＋2k 264k 2－8m 2＋32，。

2019年理科数学高考重点题1097

2019年理科数学高考重点题1097

2019年理科数学高考重点题单选题（共5道）1、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和42、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和43、已知平面上四个点，，，，设是四边形及其内部的点构成的点的集合，点是四边形对角线的交点，若集合，则集合S所表示的平面区域的面积为A2B4C8D164、中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的（）A有一个解B有两个解C无解D不能确定5、如图是一个算法的流程图，若输入的值为，则输出的值是A0B-1C-2D-3简答题（共5道）6、，，为的中点，，且面（1）求证：（2）求二面角的余弦值大小7、设（1）求证：是一个自然数；（2）求的个位数。

8、已知向量当时，有函数9、，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期．例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。

（1）设数列满足（），（不同时为0），求证:数列是周期为的周期数列，并求数列的前2013项的和;（2）设数列的前项和为，且．①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列满足（），，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由．10、如图，∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F。

（1）求证：；（2）若，求的值。

书面表达（共5道）11、阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

一家人晚饭后边看电视边聊节目。

爷爷说：“还是京剧好啊。

一招一式、一颦一蹙都是真功夫，都是美呀！祖宗留下的东西就是好哇！”孙子听了，抢着说：“爷爷，流行音乐也挺好的，不管是中国的还是外国的。

2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线

2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则A．B．C．D．2．若，则z=A．B．C．D．3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．245．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A．16B．8C．4D．26．已知曲线在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，7．函数在的图象大致为A．B．C．D．8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于A. B. C. D.10．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．11．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）12．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题1. 已知集合A={−1, 0, 1, 2}, B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1}D.{0,1,2}2. 若z(1+i)=2i，则z=( )A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校小学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84. (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.245. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( )A.16B.8C.4D.26. 已知曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e, b=−1B.a=e, b=1C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−17. 函数y=2x32x+2−x在[−6,6]的图象大致为()A. B.C. D.8. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△EDC为正三角形，平面EDC⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9. 执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出的值等于()A.2−124B.2−125C.2−126D.2−12710. 双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO|=|PF|，则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√211. 设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则( ) A.f (log 314)>f (2−32)>f (2−23) B.f (log 314)>f (2−23)>f (2−32) C.f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)D.f (2−23)>f (2−32)>f (log 314)12. 设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论： ①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点， ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点， ③f(x)在(0，π10)单调递增，④ω的取值范围是[125，2910). 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④二、填空题13. 已知a →，b →为单位向量，且a →⋅b →=0，若c →=2a →−√5b →，则cos (a →,c →)=________.14. 记S n 为等差数列{a n }项和，若a 1≠0，a 2=3a 1，则S 10S 5=________.15. 设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ，3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g .三、解答题 17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图： 记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A+C 2=b sin A .(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围.19. 图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60∘，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B −CG −A 的大小.20. 已知函数f(x)=2x 3−ax 2+b . (1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b ，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为−1且最大值为1？若存在，求出a,b 的所有值；若不存在，说明理由.21. 已知曲线C ：y =x 22,D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A,B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22. 如图，在极坐标系Ox 中，A(2，0)，B(√2，π4)，C(√2，3π4)，D(2，π），弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，π2)，(1，π)，曲线M 1是弧AB̂，曲线M 2是弧BC ̂，曲线M 3是弧CD ̂.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|=√3，求P 的极坐标.23. 设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥13成立，证明：a ≤−3或a ≥−1.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x2≤1,∴−1≤x≤1,∴B={x|−1≤x≤1},∴A∩B={−1,0,1}.故选A.2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：z(1+i)=2i，z=2i1+i，z=2i(1−i)(1+i)(1−i)，z=1+i，故选D.3.【答案】C【考点】生活中概率应用【解析】此题暂无解析【解答】解：只阅读过《红楼梦》或《西游记》的人数为：90−60=30，只阅读过《红楼梦》的人数为：80−60=20，只阅读过《西游记》的人数为30−20=10，阅读过《西游记》的人数为：10+60=70，与该校学生总数比值为70100=0.7.故选C.4.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1+x)4展开式中x3项的系数：C43=4；(1+x)4展开式中x项的系数：C41=4；所以(1+2x2)(1+x)4展开式中x3项的系数为：4+2×4=12. 故选A.5.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：a1q4=3a1q2+4a1，q4−3q2−4=0，解得q=2或−2（舍）a1(1−q4)1−q=15，解得a1=1，所以a3=a1q2=4.故选C.6.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：y′=ae x+ln x+1,∵曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，∴ae+ln1+1=2,解得a=e−1.∴切线方程为y=2x−1，解得b=−1.故选D.7.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：将−x代入题中函数，可得y1=2(−x)32−x+2−(−x)=−y，故原函数为奇函数，关于原点对称，因此排除选项C.将x=1代入函数，得y=45>0，排除选项D.将x=4代入函数，得y=2⋅4324+2−4≈23=8，排除选项A. 故选B.8.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：连接M，N,∵ MN为△DBE的中位线，∴ MN//EB，∴ M，N，E，B四点共线，∴ BM，EN相交；设AB=4，则AD=DC=CB=DE=CE=4；设P为CD中点，Q为DP中点，连接EP，MQ；∵ EP⊥DC，平面ECD⊥平面ABCD，EP⊂平面ECD，平面ECD∩平面ABCD=CD；∴ EP⊥平面ABCD，∴ EP⊥PN，同理MQ⊥QB，在△EPN中，EP=2√3，PN=2，则EN=4；在△MQB中，MQ=√3，BQ=5，则BM=2√7.∴ BM≠EN；故选B.9.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ε=0.01,①输入x=1,s=0,有s=1+0=1，x=12，x>ε;②输入x=12，s=1+12=2−12，x=122，x>ε；③输入x=122，s=2−12+122=2−122，x=123，x>ε;④输入x=123，s=2−122+123=2−123，x=124，x>ε;⑤输入x=124，s=2−123+124=2−124，x=125，x>ε;⑥输入x=125，s=2−124+125=2−125，x=126，x>ε;⑦输入x=126，s=2−125+126=2−126，x=127<ε，此时输出s=2−126.故选C . 10.【答案】 A【考点】双曲线的渐近线 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设点P =(x 0，y 0)， ∵ a =2，b =√2， ∴ c =√6.由题知x 02+y 02=(x 0−√6)2+y 02，解得x 0=√62， 由于双曲线的渐近线方程为y =±√22， ∴ y 0=√32， ∴ S △PFO =12×√6×√32=3√24. 故选A. 11.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：|log 34−1|=|−log 34|>1， 2−32=√23<23=2−23，又∵ f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减， ∴ f (2−32)>f (2−23)>f (log 314). 故选C.12.【答案】D【考点】正弦函数的周期性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出f(x)的大致图像，由图知f(x)在(0，2π)上有3个极大值点，①对；f(x)在(0，2π)上有2个或3个极小值点，②错； 5π−π5≤2πω<6π−π5，解得125≤ω<2910，④对；24π100≤π10ω<29100π，∵ π2−π5=310π.∴ f(x)在(0，π10)单调递增，③对.故选D .二、填空题 13.【答案】23【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 数量积表示两个向量的夹角 单位向量 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题可知， ∵ a →⋅b →=0，∴ a →⊥b →， ∵ c →=2a →−√5b →,∴ |c →|=√22+(√5)2=3,且c →与a →夹角小于π2,故cos (a →,c →)=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=(2a →−√5b →)⋅a →|a →|⋅|c →|=23，故答案为：23. 14.【答案】 4【考点】等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 数列{a n }为等差数列，a 2=3a 1， ∴ a 1+d =3a 1, 即d =2a 1， S n =na 1+n(n−1)d2, ∴S 10S 5=10a 1+(10×9)2d 5a 1+(5×4)2d,将d =2a 1代入，得S10S 5=4.故答案为：4. 15. 【答案】 (3，√15)【考点】 椭圆的应用 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为M 在椭圆上，设M 横坐标为t ，则M(t,√180−5t 29)；又因为△MF 1F 2为等腰三角形且M 在第一象限， 则MF 1=F 1F 2， 由题意得F 1F 2=8. (t +4)2+(√180−5t 29)2=64，解得t =3或t =−21(舍去). 当t =3时，M 的坐标为(3，√15).故答案为：(3，√15). 16.【答案】 118.8 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：模型的体积为长方体的体积减去四棱锥的体积， 正方体的体积为：6×6×4=144cm 3， 四棱锥的体积为：13×6×4×12×3=12cm 3. 模型的体积为：144−12=132cm 3. 模型的质量为：132×0.9=118.8g . 故答案为：118.8. 三、解答题17.【答案】解：(1)由题意得：0.7=a +0.2+0.15， 解得：a =0.35.b =1−0.05−0.15−0.7=0.1.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【考点】众数、中位数、平均数 频率分布直方图【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意得：0.7=a +0.2+0.15，解得：a=0.35.b=1−0.05−0.15−0.7=0.1.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.18.【答案】解：(1)由题设及正弦定理可得，sin A sin A+C2=sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin A+C2=sin B，∵ A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2.∵cos B2≠0,故sin B2=12,∴ B=60∘.(2)由题设及(1)可知，S△ABC=12ac sin B=√34a，由正弦定理得a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，∵ △ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘，∴30∘<C<90∘，故12<a<2,从而√38<S△ABC<√32.答：△ABC面积的取值范围为(√38，√32).【考点】解三角形三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设及正弦定理可得，sin A sin A+C2=sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin A+C2=sin B，∵ A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2.∵cos B2≠0,故sin B2=12,∴ B=60∘.(2)由题设及(1)可知，S△ABC=12ac sin B=√34a，由正弦定理得a=c sin Asin C=sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，∵ △ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘，∴30∘<C<90∘，故12<a<2,从而√38<S△ABC<√32.答：△ABC面积的取值范围为(√38，√32).19.【答案】(1)证明：由已知得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG，故AD，CG确定一平面，从而A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)解：作EH ⊥BC ，垂足为H ， 因为EH ⊂平面BCGE ， 平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60∘， 可求得BH =1，EH =√3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz ，则A （−1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，√3）， CG →=（1，0，√3），AC →=（2，−1，0）， 设平面ACGD 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{CG →⋅n →=0，AC →⋅n →=0，即{x +√3z =0,2x −y =0.所以可取n →=(3，6，−√3).又平面BCGE 的法向量可取为m →=(0，1，0)， 所以cos <n →，m →>=n →⋅m→|n →||m →|=√32. 因此二面角B −CG −A 的大小为30∘. 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：由已知得AD//BE ，CG//BE ， 所以AD//CG ， 故AD ，CG 确定一平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面， 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ， 故AB ⊥平面BCGE ， 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)解：作EH ⊥BC ，垂足为H ， 因为EH ⊂平面BCGE ， 平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60∘，可求得BH =1，EH =√3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz ，则A （−1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，√3）， CG →=（1，0，√3），AC →=（2，−1，0）， 设平面ACGD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{CG →⋅n →=0，AC →⋅n →=0，即{x +√3z =0,2x −y =0.所以可取n →=(3，6，−√3).又平面BCGE 的法向量可取为m →=(0，1，0)， 所以cos <n →，m →>=n →⋅m→|n →||m →|=√32. 因此二面角B −CG −A 的大小为30∘. 20.【答案】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a). 令f ′(x)=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减； 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)单调递增；若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)满足题设条件的a,b 存在.i 当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2−a +b ， 此时a ，b 满足题设条件当且仅当b =−1, 2−a +b =1，即a =0,b =−1. ii 当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2−a +b . 此时a,b 满足题设条件当且仅当2−a +b =−1, b =1，即a =4,b =1.iii 当0<a <3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+b ，最大值为b 或2−a +b . 若−a 327+b =−1, b =1，则a =3√23，与0<a <3矛盾.若−a 327+b =−1,2−a +b =1，则a =3√3或a =−3√3或a =0，与0<a <3矛盾.综上，当且仅当a =0, b =−1或a =4, b =1时， f(x)在[0,1]的最小值为−1，最大值为1.【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a). 令f ′(x)=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减； 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)单调递增；若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,a 3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减. (2)满足题设条件的a,b 存在.i 当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2−a +b ，此时a ，b 满足题设条件当且仅当b =−1, 2−a +b =1， 即a =0,b =−1.ii 当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2−a +b . 此时a,b 满足题设条件当且仅当2−a +b =−1, b =1，即a =4,b =1. iii 当0<a <3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+b ，最大值为b 或2−a +b . 若−a 327+b =−1, b =1，则a =3√23，与0<a <3矛盾. 若−a 327+b =−1,2−a +b =1，则a =3√3或a =−3√3或a =0，与0<a <3矛盾. 综上，当且仅当a =0, b =−1或a =4, b =1时， f(x)在[0,1]的最小值为−1，最大值为1. 21. 【答案】解：(1)设D (t,−12), A (x 1,y 1)，则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1.整理得2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12.由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0. 于是x 1+x 2=2t, x 1x 2=−1, y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB|=√1+t 2|x 1−x 2| =√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1).设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离， 则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1.因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点，则M (t,t 2+12).由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0， 解得t =0或t =±1.当t =0时，S =3；当t =±1时S =4√2， 因此，四边形ADBE 的面积为3或4√2. 【考点】 直线恒过定点利用导数研究曲线上某点切线方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设D (t,−12), A (x 1,y 1)，则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1.整理得2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12.由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0. 于是x 1+x 2=2t, x 1x 2=−1, y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1). 设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离，则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1.因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.设M 为线段AB 的中点，则M (t,t 2+12).由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0， 解得t =0或t =±1.当t =0时，S =3；当t =±1时S =4√2， 因此，四边形ADBE 的面积为3或4√2. 22. 【答案】解：(1)由题设可得，弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的极坐标方程分别为， ρ=2cos θ, ρ=2sin θ, ρ=−2cos θ， 所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤θ≤π4)，M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cos θ(3π4≤θ≤π). (2)设P(ρ,θ)，由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cos θ=√3， 解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cos θ=√3，解得θ=5π6.综上，P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6). 【考点】圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1)由题设可得，弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的极坐标方程分别为， ρ=2cos θ, ρ=2sin θ, ρ=−2cos θ， 所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤θ≤π4)，M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cos θ(3π4≤θ≤π).(2)设P(ρ,θ)，由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cos θ=√3，解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cos θ=√3，解得θ=5π6.综上，P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).23.【答案】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2 =(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)] ≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43,当且仅当x =53, y =−13, z =−13时等号成立.(2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)] ≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3, y =1−a 3, z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1.【考点】 柯西不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2 =(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)] ≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43, 当且仅当x =53, y =−13, z =−13时等号成立. (2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2 =(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)] ≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3, y =1−a 3, z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1.。

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编18个专题(解析版)

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编18个专题(解析版)

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编（解析版）专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123专题一 集合（2019·全国Ⅰ理科）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅱ理科）设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅲ理科）已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. （2019·天津理科）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A CB =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D【分析】先求A B ⋂，再求()A C B 。

(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档

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解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。

2019年理科数学重点题7805.docx

2019年理科数学重点题7805.docx

2019年理科数学重点题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D123、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D124、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D12多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、、、（1）若的值；（2）若13、、、（1）若的值；（2）若14、、、（1）若的值；（2）若15、、、（1）若的值；（2）若书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

一方面是诸多管理的必要，一方面是便捷出行的需求；事实上要彻底禁行这几万辆超标电动车，管理者和骑行者都会感到很不容易。

假定你也是在该市市区生活的市民，请以管理部门代言人或超标电动车骑行者身份就禁行超标电动车这事表达你的看法。

要求选定你的写作身份，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

17、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

专题05 等比数列-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)

专题05 等比数列-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，联立等比数列的通项公式和前n 项和公式构成方程组，可以知其三求其二，属于基础题．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= ．（2）6m =．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．专题05 等比数列（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】1．熟练掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式．2．掌握与等比数列有关的数列求和的常见方法.3.了解等比数列与指数函数的关系．【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等比数列通项形如指数函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【方法总结】1．等比数列的判定与证明常用方法如下： （1）定义法．1n n a a +=q （q 为常数且q ≠0）或-1n n aa =q （q 为常数且q ≠0，n ≥2）⇔{a n }为等比数列； （2）等比中项法．21n a +=a n ·a n+2（a n ≠0，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（3）通项公式法．a n =a 1q n –1（其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（4）前n 项和公式法．若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n =–aq n +a （a ≠0，q ≠0，q ≠1），则数列{a n }是公比为q 的等比数列．由a n+1=qa n ，q ≠0，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足22a ≠a 1·a 3，或者存在一个正整数m ，使得21m a +≠a m ·a m+2即可．2．等比数列的基本运算方法：（1）通项法：等比数列由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．（2）对于等比数列的相关问题，一般给出两个条件就可以通过列方程（组）求出a 1，q ．如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题． 例如：①若已知n ，a n ，S n ，先验证q=1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程组-111,(1-),1-n n n n a a q a q S q ⎧=⎪⎨=⎪⎩求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．②若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组-11-11,,n n m ma a q a a q ⎧=⎨=⎩两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n ．另外，还可以利用公式a n =a m ·q n –m 直接求得q ，可减少运算量．（3）对称设元法：一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为…，xq，x ，xq ，…；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为…，3x q ，x q，xq ，xq 3，…（注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况）．这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 3．错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求解，一般是在等式的两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．若{b n }的公比为参数（字母），则应对公比分等于1和不等于1两种情况讨论．1．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若23a =，524a =-，则1a =A ．23 B ．23- C ．32-D ．32【答案】C 【解析】因为3528a q a ==-，所以2q =-，从而132a =-．故选C ． 【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．2．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若22a =，554a =-，则1a = A ．23B ．23-C ．32-D ．32【答案】B 【解析】因为35227a q a ==-，所以3q =-，从而2123a a q ==-．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．3．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 中，512a =，()26753a a a q q +=+=，∴26q q +=． ∵0q >，解得，2q =或3q =-（舍），∴1132a =，∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-，∴()1221123232n n nn -->⨯．整理得，()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，∴112n <≤，经检验12n =满足题意，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．4．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】记n S 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6．则{a n }的通项公式为A ．(2)nn a =- B ．2nn a =- C ．(3)nn a =-D ．3nn a =-【答案】A【解析】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得12a =-，2q =-，则()2nn a =-，故选A ． 【名师点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题．5．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】已知等比数列{}n a 中的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则101189a a a a +=+ A．1+B．1C．3+D．3-【答案】C【解析】因为等比数列{a n }中的各项都是正数，设公比为q ，得q >0， 且1321,,22a a a 成等差数列，可得3122a a a =+，即a 1q 2＝a 1+2a 1q ， 因为10a ≠，得q 2–2q –1＝0，解得q ＝或q ＝1（舍），则101189a a a a +=+()28989q a a a a +=+q 2＝C ． 【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则64a a = A ．1 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q >0） 由题意可得2312a ⨯＝13a +22a ，即q 2–2q –3＝0， 解得q ＝–1（舍去），或q ＝3，故64a a =q 2＝9．故选D ．【名师点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．7．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ．若639S S =，562S =，则1a =A ．3 BC D ．2【答案】D【解析】等比数列{a n }中，若S 6＝9S 3，则q ≠±1， 若S 6＝9S 3，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得q 3＝8，则q ＝2，又由S 5＝62，则有S 5＝()5111a q q--＝31a 1＝62，解得a 1＝2，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．8．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，∴47a a +56a a ＝4， 由等比数列的性质可得：110a a ＝…＝47a a ＝56a a ＝2， 则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．【名师点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N *），其中a 是常数，则a =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】n =1时，a 1=S 1=2a +1．n ≥2时，a n =S n –S n –1=a •2n +1–（a •2n –1+1），化为a n =a •2n –1， 对于上式n =1时也成立， ∴2a +1=a ，解得a =–1．故选B ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．【河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =A ．90B ．125C ．155D ．180【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=⨯=， 故1512530155.S =+=故选C ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n nS S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题．11．【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =A ．–60B ．–40C ．20D ．40【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由12232,6a a a a -=-=，可得1121126a a q a q a q -=⎧⎨-=⎩，解得131q a =⎧⎨=-⎩， 故()441134013S -⨯-==--，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 12．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =A ．16B ．13C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+，所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝–5（舍），所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 故选B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础．13．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S = A ．10 B ．7 C ．8 D ．4【答案】C【解析】由题意得13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，38S ∴=，故选C ． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题．14．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为A ．1B ．1或12CD．±【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因为{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C ． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q m n p q ∈+=+N ，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --为等比数列（0n S ≠）且公比为nq ．15．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学】已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或【答案】C【解析】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．等比数列基本量的运算是等比11数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．16．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学】已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a = A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】由已知1291a a a =，又2192837465a a a a a a a a a ====，所以951a =，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a =，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型．17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T = A ．1024 B ．2048 C ．4096 D ．8192【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =．又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．故选C ．【点睛】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，考查计算化简的能力，属中档题．。

2019届高考理科数学知识点题

2019届高考理科数学知识点题

题组层级快练(十二)1．函数y ＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )答案 D2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )答案 B解析 方法一：y ＝1－1x －1的图像可以看成由y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的． 方法二：由于x ≠1，故排除C ，D.又函数在(－∞，1)及(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．(2018·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝lnx －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x)＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0，1)时，f ′(x)>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f(1)＝－12<0，故选B.4．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.5．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图像可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x ＞b 时，f(x)＞0，由此可以排除A ，B 选项．又当x ≤b 时，f(x)≤0，从而可以排除D.故选择C.6．(2018·《高考调研》原创题)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像如图所示，给出下列四个命题：p 1：函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)； p 2：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(－x)；p 3：函数y ＝f(x)满足f(x)＝f(－x)； p 4：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 4答案 C解析 从函数图像上可以看出函数的图像关于原点对称，所以是奇函数，函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，p 1为真命题，p 3为假命题；从函数图像上可以看出函数的周期为4，由p 2：f(x ＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x ＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以p 2为真命题，p 4为假命题，选择C.7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x<0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )答案 B解析 当x<0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x<0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.8．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x·sinx ，②y ＝x·cosx ，③y ＝x·|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x·sinx 在定义域上是偶函数，其图像关于y 轴对称；②y ＝x·cosx 在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称；③y ＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称，且当x>0时，其函数值y ≥0；④y ＝x·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.9．(2018·北京海淀一模)下列函数f(x)图像中，满足f(14)>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D解析 因为f(14)>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A ，B.又C 中，f(14)<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f(14)<f(3)，所以不选C ，选D. 10．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )答案 A解析 易探索知x ＝2和4是函数的两个零点，故排除B ，C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D ，选A. 11．函数f(x)＝4x －12x 的图像关于( ) A ．原点对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．直线y ＝－x 对称 D ．y 轴对称答案 A解析 由题意可知，函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝4x －12x ＝2x －2－x，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.12．(2018·福建)若函数y ＝log a x(a ＞0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析因为函数y＝log a x过点(3，1)，所以1＝log a3，解得a＝3，所以y＝3－x不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B. 13．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()答案 B14．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝(12)x(x ≤0)，若g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________． 答案 g(x)＝2|x|解析 画出函数f(x)＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g(x)的图像，由图可知：函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|.15．若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝|x|和函数y ＝－x ＋a 的图像，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a －x 只有一个解．16．(2018·安徽文)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，则a 的值为________． 答案 －12解析 函数y ＝|x －a|－1的大致图像如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.17．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．答案 (1)增区间[1，2]，[3，＋∞) 减区间(－∞，1]，[2，3] (2)[－1，－34] 解析f(x)＝⎩⎨⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）.作出图像如图所示．(1)递增区间为[1，2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．函数y ＝lg|x|x 的图像大致是( )答案 D2．设a>1，对于实数x ，y 满足：|x|－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x|，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1a ）x ，x ≥0，（1a ）－x ，x<0.∵a>1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0，1)，且函数为偶函数．故图像关于y 轴对称．故选B. 3．函数y ＝lnxx 的图像大致是( )答案 A解析函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，令y＝0，得x＝1.所以函数y＝lnxx只有一个零点．当0<x<1时，lnx<0，所以y＝lnxx<0；当x>1时，lnx>0，所以y＝lnx x>0.结合图中四个选项，可知应选A.4．(2018·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则方程y＝f(2－x)的曲线是()答案 C解析先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像，再向右平移两个单位，即可得到y＝f(－(x－2))＝f(2－x)的图像．所以答案为C.注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化．5．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是( )答案 C解析 当0<a<1时，y ＝a －x 为增函数且过点(0，1)，y ＝log a x 为减函数且过点(1，0)，故应选C.6．(2018·东北三校联考)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，43] C ．[0，32) D ．[1，2)答案 D解析 方法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1，2)上单调递增，故选D.方法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)的区间[1，2)上为增函数，故选D.7．(2018·华东师大附中调研)若函数y＝f(x)的图像上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是()A．f(x)＝e x－1 B．f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝sinx D．f(x)＝tanx答案 C解析不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f(x)具有性质S，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝e x－1的图像分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图像分布在区域②和④内，f(x)＝sinx的图像分布在区域①和②内，f(x)＝tanx在每个区域都有图像，故选C.8．函数y＝5x与函数y＝－15x的图像关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案 C9．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图像大致是()答案 B10．(2018·石家庄二中月考)函数y ＝e lnx －|x －1|的图像大致是( )答案 D11．函数y ＝x2－2sinx 的图像大致是( )答案 C解析 易知函数y ＝x2－2sinx 为奇函数，排除A ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除D ；令y ′＝12－2cosx ＝0，得cosx ＝14，可知y ′有无穷多个零点，即f(x)有无穷多个极值点，排除B ，选C.12．(2018·山东)函数y ＝cos6x2x －2－x的图像大致为( )答案 D解析 令f(x)＝cos6x2x －2－x ，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝cos （－6x ）2－x －2x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A 项．又因为当x ∈(0，16)时，cos6x>0，2x －2－x >0，即f(x)>0，故排除B 项，而f(x)＝0有无数个根，所以排除C 项，D 项正确．13．(2018·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则f(x)的图像大致为( )答案 B解析 由题意可得f(π2)＝22，f(π4)＝5＋1⇒f(π2)<f(π4)，由此可排除C ，D 项，当3π4≤x ≤π时f(x)＝－tanx ＋tan 2x ＋4，可知x ∈[3π4，π]时图像不是线段，可排除A 项，故选B 项．14．(2018·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (0，1)∪(1，4)解析y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x>1，－x －1，－1<x<1，函数y ＝kx －2恒过定点M(0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x>1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0，1)∪(1，4)，两函数图像恰有两个交点．。

2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题五 第3讲圆锥曲线中的定点与定值

2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题五 第3讲圆锥曲线中的定点与定值

第3讲圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题[真题再现］1．(2017·课标Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

[解析](1）设P(x，y），M(x0，y0），设N(x0,0)，错误!＝（x－x0，y)，错误!＝（0，y0)．由NP，→＝ 2 错误!得x0＝x，y0＝错误!y0.因为M（x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F（－1，0)．设Q（－3，t），P(m，n),则错误!＝（－3,t），错误!＝（－1－m,－n），错误!·错误!＝3＋3m－tn,错误!＝(m,n)，错误!＝(－3－m，t－n）．由错误!·错误!＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。

所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!。

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

2．(2018·已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A,PB的中点均在C上．(1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2）若P是半椭圆x2＋错误!＝1（x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．［解]（1）解：设P（x0,y0),A错误!,B错误!。

因为P A，PB的中点在抛物线上，所以y1,y2为方程错误!2＝4·错误!即y2－2y0y＋8x0－y错误!＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．（2）解:由(1)可知错误!所以|PM|＝错误!(y错误!＋y错误!)－x0＝错误!y错误!－3x0，|y1－y2|＝2错误!。

2019年高考(理科)数学总复习综合试题(五)含答案及解析

2019年高考(理科)数学总复习综合试题(五)含答案及解析

绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（五）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A ＝{x |log 12(x －1)＞1}，B ＝{x |x 2－2x －3＞0}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于x 轴对称，且z 1＝1＋2i ，则z 1z 2＝( )A ．－45＋35iB ．－35＋45iC ．－12＋32iD ．－12－32i3．∫π40(sin x －a cos x )d x ＝－22，则实数a 等于( )A ．1B ． 2C ．－1D ．－ 34．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．－3B ．－12C ．13D ．25．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．2B ．23C ．4D ．436．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )和f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )＞f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m h 的人数为164，则m 的值约为( )A ．26.25B ．26.5C ．26.75D ．278．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( )A ．4 5B ．8 5C ．415D ．8159．已知△ABC 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝BC ＝AC ＝3，则球O 的体积是( )A ．163πB ．16πC ．323πD ．32π10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋y ≥6x －2y ≤0，所表示的平面区域为T ，若直线mx －y ＋m ＋1＝0与T 有公共点，实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞B ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)11．在2 016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为( )A ．216B ．108C ．432D ． 12012．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB →·AB →＝0，且|AF →|－|BF →|＝4，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ＜2)＝0.8，则P (0＜ξ＜1)的值为________．14．(1＋2x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 8的二项展开式中常数项是________．(用数字作答) 15．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则φ＝________．16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n 次“扩展”后所得数列为1，x 1，x 2，…，x m,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x m ·2)，则数列{a n }的通项公式为________．三、解答题：17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝PC＝1，PB ＝PD＝2，E为线段PD上一点，且PE＝2ED．(1)若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；(2)求二面角P -AC -E 的余弦值．20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln 2(x －1)－1x －1－x ＋3．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若当x ≥1时，不等式(x ＋1)x ＋m≤e x x＋m恒成立，求实数m 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|． (1)求不等式－2＜f (x )＜0的解集A ； (2)若m ，n ∈A ，证明：|1－4mn |＞2|m －n |．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（五）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A ＝{x |log 12(x －1)＞1}，B ＝{x |x 2－2x －3＞0}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x －1)＞1，可得：0＜x －1＜12，解得1＜x ＜32，即集合A ＝⎝⎛⎭⎫1，32.由x 2－2x －3＞0，解得：x ＞3，或x ＜－1.即B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)．则“x ∈A ”是“x ∈B ”的既不充分也不必要条件．故选D ．答案：D2．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于x 轴对称，且z 1＝1＋2i ，则z 1z 2＝( )A ．－45＋35iB ．－35＋45iC ．－12＋32iD ．－12－32i解析：∵z 1＝1＋2i ，又复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于x 轴对称，∴z 2＝1－2i ，则z 1z 2＝1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选B ． 答案：B3．∫π40(sin x －a cos x )d x ＝－22，则实数a 等于( )A ．1B ． 2C ．－1D ．－ 3解析：∫π40(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )|π40＝－22－22a ＋1，∴－22－22a ＋1＝－22，∴a ＝2， 故选B ． 答案：B4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C ．13D ．2解析：i ＝0，满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝1，S ＝13满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝2，S ＝－12满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝3，S ＝－3 满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝4，S ＝2 不满足条件i ＜4，退出循环体，此时S ＝2． 故选D ． 答案：D5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．2B ．23C ．4D ．43解析：由已知中的三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面为上下底分别为1和2，高为2的梯形，故底面面积S ＝12×(2＋1)×2＝3，棱锥的高为h ＝2，故棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×3×2＝2，故选A ．答案：A6．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )和f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )＞f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2． 又f (0)＝3，∴c ＝3．∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )． 若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f (3x )＞f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．故选A ． 答案：A7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m h 的人数为164，则m 的值约为( )A ．26.25B ．26.5C ．26.75D ．27解析：因为200名学生中每周的自习时间不超过m 小时的人数为164，则自习时间不超过m 小时的频率为164200＝0.82，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.25，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1，其中前三组的频率之和0.05＋0.25＋0.4＝0.7，其中前四组的频率之和0.7＋0. 2＝0.9，则0.82落在第四组，m ＝25＋0.82－0.70.2×2.5＝26.5，故选B ．答案：B8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( )A ．4 5B ．8 5C ．415D ．815解析：由题意，p ＝10，S ＝10(10－a )(10－b )(10－c )＝20(10－a )(10－b )≤20·10－a ＋10－b2＝85，∴此三角形面积的最大值为8 5.故选B ．答案：B9．已知△ABC 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝BC ＝AC ＝3，则球O 的体积是( )A ．163πB ．16πC ．323πD ．32π解析：由题意可得底面△ABC 所在圆的半径为r ＝33×3＝1，球心O 到平面ABC 的距离为d ＝32R ，且R 2＝r 2＋d 2＝1＋34R 2，可得R ＝2，则球O 的体积是43πR 3＝323π.故选C ．答案：C10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋y ≥6x －2y ≤0，所表示的平面区域为T ，若直线mx －y ＋m ＋1＝0与T 有公共点，实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞B ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋y ≥6x －2y ≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0x ＋y ＝6，解得A (4,2)，直线mx －y ＋m ＋1＝0过定点P (－1,1)，∵k P A ＝2－14－(－1)＝15.∴要使直线mx －y ＋m ＋1＝0与T 有公共点，则实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞.故选B ． 答案：B11．在2 016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为( )A ．216B ．108C ．432D ． 120解析：根据题意，最左边只能排甲或乙，则分2种情况讨论：①最左边排甲，则先在剩余5个位置选一个安排乙，乙有5种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有A 44＝24种安排方法，此时有5×24＝120种情况，②最左边排乙，由于最右端不能排甲，则甲有4个位置可选，有4种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有A 44＝24种安排方法，此时有4×24＝96种情况．则不同的排法种数为120＋96＝216种；故选A ． 答案：A12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB →·AB →＝0，且|AF →|－|BF →|＝4，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设两交点为A (x 2，y 2)，B (x 1，y 1)，假设k 存在，设AB 方程为：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，整理得 k 2x 2－(k 2＋2)px ＋k 2p 24＝0，∵NB →·AB →＝0，则∠NBA ＝90°，∴⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋y 21＝0，∴x 21＋y 21＝p 24，∴x 21＋2px 1－p 24＝0(x 1＞0)，∴x 1＝5－22p ， ∵x 1x 2＝p 24，∴x 2＝2＋52，∴|AF |－|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝2p ，即2p ＝4，则p ＝2，故选A ．答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ＜2)＝0.8，则P (0＜ξ＜1)的值为________． 解析：P (1＜ξ＜2)＝P (ξ＜2)－P (ξ＜1)＝0.8－0.5＝0.3， ∴P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)＝0.3． 答案：0.314．(1＋2x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 8的二项展开式中常数项是________．(用数字作答) 解析：⎝⎛⎭⎫x －1x 8的通项公式为 T r ＋1＝C r 8·(－1)r x 8－2r，∴(1＋2x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 8的二项展开式中常数项是1×C 48－2C 58＝－42． 答案：－4215．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则φ＝________．解析：由题设图象知，A ＝2，可得f (x )＝2sin(ωx ＋φ)图象过(0，－1)和⎝⎛⎭⎫5π6，0，可得：2sin φ＝－1，即sin φ＝－12⇒φ＝2k π－5π6(k ∈Z )， ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－5π6答案：－5π616．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n 次“扩展”后所得数列为1，x 1，x 2，…，x m,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x m ·2)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x m ·2)，可得a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1x 2)·x 2·…·x m (2x m )·2]＝log 2(13·x 31·x 32·…·x 3m ·22)＝3a n －1． 设a n ＋1＋t ＝3(a n ＋t )，即为a n ＋1＝3a n ＋2t ，可得t ＝－12，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是首项为2－12＝32，公比为3的等比数列，可得a n －12＝32·3n －1，即为a n ＝3n ＋12，n ∈N *．答案：a n ＝3n ＋12，n ∈N *三、解答题：17．(12分)数列{a n }和{b n }中，已知a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，且a 1＝2，b 3－b 2＝3，若数列{a n }为等比数列．(1)求a 3及数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2b nn 2，是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)a 3＝2b 32b 2＝2b 3－b 2＝8，又由a 1＝2得8＝2q 2，∴q 2＝4，解得q ＝2或q ＝－2， 因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ＞0(n ∈N *)，故舍去q ＝－2，所以a n ＝2n ， 则a 1a 2a 3…a n ＝2(1＋2＋3＋…＋n )＝2n (n ＋1)2，所以b n ＝n (n ＋1)2．(2)由(1)知c n ＝n ＋1n ＝1＋1n，假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m ＝c 2＋c n ，即2⎝⎛⎭⎫1＋1m ＝32＋1＋1n ， 所以2m ＝12＋1n ，故n ＝2m4－m，由 n ＞0，得0＜m ＜4，因为m ，n 为正整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝6，所以存在正整数m ＝3，n ＝6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．18．(12分)几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；(2)若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K 2＝50×(30×5－10×5)235×15×40×10≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．(2)根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X ，则X 的可能取值为2,3,4；所以P (X ＝2)＝C 14C 25·C 15C 26＝215，P (X ＝3)＝C 24C 25·C 15C 26＋C 14C 25·C 25C 26＝715，P (X ＝4)＝C 24C 25·C 25C 26＝615；∴随机变量X 的分布列为：数学期望为E (X )＝2×215＋3×715＋4×615＝4915．19．(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝PC ＝1，PB ＝PD ＝2，E 为线段PD 上一点，且PE ＝2ED ．(1)若F 为PE 的中点，证明：BF ∥平面ACE ； (2)求二面角P -AC -E 的余弦值．(1)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为BD 的中点． 又∵PE ＝2ED ，F 为PE 的中点， ∴E 为DF 的中点，得OE ∥BF ， 又∵BF 平面ACE ，OE 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE ；(2)解：连接PO ，∵P A ＝PC ，∴PO ⊥AC ，∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，得PO ⊥平面ABCD ． 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°，∴△ACD 是等边三角形． 设AB ＝a ，则OD ＝32a ，PO 2＝PC 2－OC 2＝1－a 24，在Rt △POD 中，由PO 2＋OD 2＝PD 2，得1－a 24＋3a 24＝2，解得a ＝2．分别以直线OC ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角标系，由题意得A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，C ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，D ⎝⎛⎭⎫0，62，0， 由PE →＝2ED →，得E ⎝⎛⎭⎫0，63，26．设平面ACE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝0n ·OE →＝0得⎩⎨⎧22x ＝063y ＋26z ＝0令y ＝1，得n 1＝(0,1，－23)，取平面P AC 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝113＝1313， ∴二面角P -AC -E 的余弦值为1313． 20．(2017·广元一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (2，2)，一个焦点为F (2,0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，椭圆E 的离心率为e ，若k OA ·k OB ＝e 2－1．求证：△AOB 的面积为定值． 解：(1)由题意知：c ＝2， b 2＝a 2－4，代入P 点的坐标得4a 2＋2a 2－4＝1，解得a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)e ＝c a ＝222＝22，所以k OA ·k OB ＝e 2－1＝－12，将y ＝kx ＋m 代入x 28＋y 24＝1.化得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，因为k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，所以y 1y 2x 1x 2＝－12，所以y 1y 2＝－12x 1x 2＝4m 21＋2k 2，而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝…＝m 21－8k21＋2k 2，所以m 2＝4k 2＋2，设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|m |k 2＋1＝4k 2＋2k 2＋1， 而|AB |＝k 2＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝…＝k 2＋11＋2k 264k 2－8m 2＋32，代入m 2＝4k 2＋2得|AB |＝k 2＋142k 2＋11＋2k 2，所以S △AOB ＝12·4k 2＋2k 2＋1·k 2＋1·42k 2＋11＋2k 2＝22， 所以△AOB 的面积为定值22．21．(12分)已知函数f (x )＝ln 2(x －1)－1x －1－x ＋3．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若当x ≥1时，不等式(x ＋1)x ＋m≤e x x＋m恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝ln 2(x －1)－1x －1－x ＋3， 得f ′(x )＝2x －1·ln (x －1)＋1(x －1)2－1＝2(x －1)ln (x －1)＋1－x 2＋2x －1(x －1)2＝2(x －1)ln (x －1)－x 2＋2x (x －1)2(x －1＞0)，令g (x )＝2(x －1)ln (x －1)－x 2＋2x ，g ′(x )＝2ln (x －1)＋2－2x ＋2＝2ln (x －1)－2x ＋4， 再令t (x )＝2ln (x －1)－2x ＋4，t ′(x )＝2x －1－2＝4－2x x －1，当x ∈(1,2)时，t ′(x )＞0，t (x )为增函数，当x ∈(2，＋∞)时，t ′(x )＜0，t (x )为减函数， ∴t (x )max ＝t (2)＝0，∴g ′(x )≤0，则g (x )在(1，＋∞)上为减函数， 又当x →(1，＋∞)时，g (x )→－∞， ∴f ′(x )＜0，则f (x )在(1，＋∞)上为单调减函数； (2)由(x ＋1)x ＋m ≤e x x＋m恒成立，即(x ＋m )ln (x ＋1)≤1＋(x ＋m )ln x 恒成立，∴(x ＋m )ln x ＋1x ≤1，也即x ＋m ≤ln xx ＋1， ∴m ≤lnxx ＋1－x 对x ≥1恒成立． 令h (x )＝lnxx ＋1－x ， 则h ′(x )＝x ＋1x ·x ＋1－x (x ＋1)2－1＝1x (x ＋1)－1＝1－x －x 2x (x ＋1)＜0(x ≥1)，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 则h (x )≤h (1)＝－ln 2－1， 又当x →＋∞时，h (x )→－∞， ∴h (x )在[1，＋∞)上无最小值， 则满足m ≤lnxx ＋1－x 对x ≥1恒成立的m 不存在． 以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0， 即x 2＋y 2＝6y ，即ρ2＝6ρsin θ，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ．(2)设直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2＋y 2－6y ＝0中，化简可得t 2－22t －7＝0，显然Δ＞0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22t 1t 2＝－7，∴1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM |·|PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝67． [选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|． (1)求不等式－2＜f (x )＜0的解集A ； (2)若m ，n ∈A ，证明：|1－4mn |＞2|m －n |．(1)解：依题意，f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2－2x －1，－2＜x ＜1－3，x ≥1，由不等式－2＜f (x )＜0，可得－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，故A ＝⎝⎛⎭⎫－12，12． (2)证明：由(1)可知，m 2＜14，n 2＜14；因为|1－4mn |2－4|m －n |2＝(1－8mn ＋16m 2n 2)－4(m 2－2mn ＋n 2)＝(4m 2－1)(4n 2－1)＞0， 故|1－4mn |2＞4|m －n |2，故|1－4mn |＞2|m －n |．。

2019年理科数学常考题5645

2019年理科数学常考题5645

2019年理科数学常考题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D123、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D124、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D12多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、已知，（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）若，求的最大值及取得最大值时对应的的取值。

13、19．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若求A、B、C的大小。

14、、、（1）若的值；（2）若15、、、（1）若的值；（2）若书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

一方面是诸多管理的必要，一方面是便捷出行的需求；事实上要彻底禁行这几万辆超标电动车，管理者和骑行者都会感到很不容易。

假定你也是在该市市区生活的市民，请以管理部门代言人或超标电动车骑行者身份就禁行超标电动车这事表达你的看法。

2019年理科数学常考题757

2019年理科数学常考题757

2019年理科数学常考题单选题（共5道）1、在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）ABCD2、函数的图象大致是（）ABCD3、，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．A①②④B①③C②③D③④4、（）的图象过点，如图，则的值为ABC或D或5、若全集,集合,则下图中阴影部分表示的集合是（）ABCD多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.12、中的内角、、的对边分别为，定义向量且（1）求的单调减区间；（2）如果求面积的最大值.13、本小题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（I）求；（II）求数列的前1000项和.14、是偶函数，是奇函数，正数数列满足（1）求的通项公式；（2）若的前项和为，求．15、设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集，（1）求A∩B；（2）若，求a的取值范围。

书面表达（共5道）16、阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

一家人晚饭后边看电视边聊节目。

爷爷说：“还是京剧好啊。

一招一式、一颦一蹙都是真功夫，都是美呀！祖宗留下的东西就是好哇！”孙子听了，抢着说：“爷爷，流行音乐也挺好的，不管是中国的还是外国的。

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题组层级快练(十六)1．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案 C解析y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x－3)(x＋1)，∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.∵－2<x<2，∴x＝－1时，y＝5.x＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值．2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B解析由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.∵2x＞0，∴x＝－1ln2. 3．函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在[0，3]上的最小值为() A．－8 B．－4C．0 D.427答案 B解析f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f′(x)＝0⇒x1＝43，x2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.故f(x)在[0，3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是()A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对答案 A解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减．∴x＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.5．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围()A．m>0 B．m<0C．m>1 D．m<1答案 B解析y′＝e x＋m，则e x＋m＝0必有根，∴m＝－e x<0.6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()答案 C解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0；当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.7．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.8．(2018·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1答案 D解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.9．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( )A ．6，9B ．9，6C ．4，2D ．8，6答案 A解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，设⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0， 可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)．10．(2018·昌平一模)若函数f(x)＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________． 答案 3解析 f ′(x)＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，由f(x)在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.11．下列关于函数f(x)＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②③解析 若f(x)＝(2x －x 2)e x >0，则0<x<2，①正确；∵f ′(x)＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确． 12．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f(x)在x ＝2处有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0 （x>2），f ′（x ）>0 （x<2）.解得c ＝6. 13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 答案 m<－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－12.14．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a>0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则 2a3<1，∴0<a<32.15．函数f(x)＝xlnx(x>0)的最小值是________． 答案 －1e解析 对函数f(x)＝xlnx 求导，得f ′(x)＝lnx ＋1.当0<x<1e 时，f ′(x)<0，即f(x)＝xlnx 在(0，1e )上单调递减；当x>1e 时，f ′(x)>0，即f(x)＝xlnx 在(1e ，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝xlnx 在x ＝1e 处取得最小值，即f(1e )＝1e ln 1e ＝－1e . 16．已知函数f(x)＝1＋lnxx .(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (1)13<a<1 (2)m ≤2解析 (1)因为函数f(x)＝1＋lnxx ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnxx 2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎨⎧a<1，a ＋23>1，解得13<a<1.(2)当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1，即为（x ＋1）（1＋lnx ）x ≥m. 记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x，∴g′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnxx 2.令h(x)＝x －lnx ，则h ′(x)＝1－1x ，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2. 17．(2018·江西文)已知函数f(x)＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a<0. (1)当a ＝－4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值． 答案 (1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞) (2)a ＝－10解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x)＝2（5x －2）（x －2）x ＝0，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x)>0，得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)．(2)f ′(x)＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a<0，由f ′(x)＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f(x)单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f(x)单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f(x)单调递增．易知f(x)＝(2x ＋a)2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有a ＝－10.1．函数f(x)＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2答案 B2．(2018·上海徐汇区诊断)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( ) A ．f(－a 2)≤f(－1) B ．f(－a 2)<f(－1)C ．f(－a 2)≥f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤f(－1)．3．若函数f(x)＝e －x ·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x)＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x 2x .令f ′(x)＝0，得x ＝12.当x>12时，f ′(x)<0；当x<12时，f ′(x)>0. ∴x ＝12时取极大值，f(12)＝1e·12＝12e. 4．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，令f ′(－3)＝0，得a ＝5.5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a<－13 B ．a>－13 C ．a<－3 D ．a>－3答案 C解析 ∵y ′＝ae ax＋3，由y ′＝0，得x ＝1a ln(－3a )．∴－3a >0，∴a<0.又∵y ＝e ax ＋3x ＝0有正根，∴必有⎩⎨⎧a<0，0<－3a <1，得a<－3.故选C. 6．若y ＝alnx ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________． 答案 －23 －16 解析 y ′＝ax ＋2bx ＋1.由已知⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.7．已知函数f(x)＝4lnx ＋ax 2－6x ＋b(a ，b 为常数)，且x ＝2为f(x)的一个极值点，则实数a 的值为________． 答案 1解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x)＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.8．(2018·保定调研卷)设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x ＋2，求g(x)在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋bx (x>0)，又f(x)过点P(1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f(x)＝x －x 2＋3lnx ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g(x)＝2－x －x 2＋3lnx ，x>0.则g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x . 当0<x<1时，g ′(x)>0；当x>1时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值． 9．设f(x)＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12 (2)(0，1]解析 对f(x)求导得f ′(x)＝e x ·1＋ax 2－2ax（1＋ax 2）2.(1)当a ＝43时，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 又当x 变化时，f ′(x)和f(x)的变化情况如下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号．结合(1)与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，得0<a ≤1.即实数a 的取值范围是(0，1]． 10．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案 (1)a ≤3 (2)a>2 2 解析 (1)f ′(x)＝－2x ＋a －1x ， ∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时，－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1x 恒成立． 设g(x)＝2x ＋1x ，则g ′(x)＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时，1x 2>4，∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(12)＝3，∴a ≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f ′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎨⎧Δ>0，a 2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0，a>0⇒a>22.∴当a>22时，f ′(x)＝0有两个不等的实数根．不妨设x 1<x 2，由f ′(x)＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x<x 1时f ′(x)<0，x1<x<x2时f′(x)>0，x>x2时f′(x)<0，∴当a>22时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．。

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