计量经济学数学基础

线性函数的基本性质：
不管x的初始值是什么，x每变化一个单位都导致y同样
的变化。x对y的边际效应是常数，这对许多经济关系来说多 少有点不真实。例如，边际报酬递减这个重要的经济概念就
不符合线性关系。
为了建立各种经济现象的模型，我们需要研究一些非线 性函数（nonlinear function）。
非线性函数的特点是，给定x的变化，y的变化依赖于x
是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很
方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们 对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于
log y logx
因此，一个常弹性模型（constant elasticity model）可近似 描述为方程
1 为y对x的弹性（假定x，y>0）。 式中，
样本中位数就是按顺序居中的那个数，例如，给定一组
数字 4， 8， 2， 0， 21 ， 10， 18 小）值的变化没那么敏感。 若n是偶数，则居中数字便有两个，此时定义中位数 的方法就不是唯一的。通常把中位数定义为两个居中数 字的均值（仍指从小到大排序的数列）。
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一般说来，中位数和均值相比，对数列中级（大或
计量经济学
2.自然对数
对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。
1.对于x≈0，有log（1+x）≈x。这个近似计算随着x变
大而越来越不精确。 2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和x1为两
个正数，可以证明（利用微积分），对x的微小变化，有
logx1 logx0 x1 x0 x0 x x0
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例2.1.2 对CD的需求
quantity 150 100 50 0 0 5 10 15 price
quantity 9.8 price
图2.1.2 quantity=120-9.8price+0.03income 在income固定为900元时的图形
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例2.1.2 对CD的需求
零，所以更不会是负的。
3. log（x）可正可负：log（x）<0，0<x<1； log（1）=0；log（x）>0，x>1 4.一些有用的性质（牢记）： log（x1· x2）=log（x1）+log（x2），x1，x2>0 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x2>0
log（xc）=c· log（x），x>0，c为任意实数
的初始值。
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1.二次函数
刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系
中添加一个二次项。 考虑方程式
y 0 1 x 2 x
2
1和 2为参数。当 2 0时，y和x之间的关 式中， 0 ，
系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在
x 1 22
由于这个函数的图形是三维的，所以相当难以想象， 不过 0仍然是截距（即x1=0和 x2 =0时y的取值），且1和 2 都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，给定x1 和x2 的改变量，y的改变量是
若 x2不改变，即x2 0 ，则有 y x ，x 1 1 2 因此 1是关系式在 x1 坐标上的斜率：
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均值的性质
假设我们取x的每次观测值并从中减去其均值：
di xi x （这里“d”表示对均值的离差）。那么，这
些离差之和必为零：
d x x
i 1 i
n
n
xi x
i 1 n
i
n
xi nx
i 1 n
i 1
nx nx 0
（MPC）是0.27。它不同于平均消费倾向（APC）：
hou sin g 164 0.27 income income
APC并非常数，它总比MPC大，但随着收入的增加 越来越接近MPC。
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线性函数的性质
多于两个变量的线性函数： 假定y与两个变量 x1 和 x2 有一般形式的关系：
y 0 1 x1 2 x2
如果我们用100乘以上述方程，并记 logx logx1 logx0 那么，对x的微小变化，便有
100 logx %x
“微小”的含义取决于具体情况。
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2.自然对数
近似计算的作用：
定义y对x的弹性（elasticity）为
y x % y x y % x
y 1x1 2 x2
0
y 1 ，x2 0 x1
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线性函数的性质
因为它度量了保持 x2 固定时，y如何随 x1 而变，所 以常把 1 叫做 x1 对y的偏效应（Partial Effect）。由于偏 效应涉及保持其他因素不变，所以它与其他条件不变 （Ceteris Paribus）的概念有密切联系，参数 2 可作类似 解释：即若 x1 0 ，则
图2.1.2 描绘了在收入水平为900元时的二维图形。需求
曲线的斜率-9.8是价格对数量的偏效应：保持收入固定不变， 如果CD碟的价格增加1元，那么需求量就下跌9.8。（我们把
CD碟只能离散购买的事实抽象化。）收入增加只是使需求
曲线向上移动（改变了截距），但斜率仍然不变。
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三、若干特殊函数及其性质
y 2 x2
2 是 x2 对y的偏效应。 因此，
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例2.1.2 对CD的需求
假定大学生每月对CD的需求量与CD的价格和每个月
的零花钱有如下关系：
quantity 120 9.8 price 0.03income
式中，price为每张碟的价格，income以元计算。需
求曲线表示在保持收入（和其他因素）不变的情况下， quantity和price的关系。
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例2.1.1 线性住房支出函数
housing 2000
1000
hou sin g 0.27 income
0 0 2000 4000 6000 8000 income
图2.1.1 Housing=164+0.27income 的图形
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例2.1.1 线性住房支出函数
在上述方程中，把收入用于住房边际消费倾向
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i 1
均值离差的重要性质
离差平方和等于 x i 的平方和减去 x 平方的n倍:
n 2 n
x x x
i 1 i i 1
2 i
nx
2
请加以证明。
另请证明：给定两个变量的数据集
n
xi，yi ： i 1 ， 2， ， n
n
x x y y x y nx y
换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。 若y是x的线性函数：y 0 1 x ，则这个弹性是
y x x x 1 1 x y y 0 1 x 它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不
变）。
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2.自然对数
不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都
x 1 22 处。
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2.自然对数
在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是
自然对数（nature logarithm），或简称为对数函数（log
function），记为
y logx
lnx
还有几种不同符号可以表示自然对数，最常用的是 或
loge 。当对数使用几个不同的底数时，这些不同的 x
第二章 回顾：《计量经济学》的基本数学工具
代数知识
主 要 内 容
计量经济学
概率论基础
数理统计基础
第一节 代数知识
一、求和运算子与描述统计量 1、求和运算子
求和运算子（Summation Operator）是用以表示多 个数求和运算的一个缩略符号。
2， ， n表示n个数的一个序列，那么我 如果x i：i 1， 们就把这n个数的总和写为：
i 1 i i i 1 i i
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集中趋势的另一种表达：中位数
均值是我们所关注的集中趋势指标，但有时用中位
数（Median）或样本中位数表示中心值也有价值。
为了得到n个数
把 x i 的值按从小到大的顺序排列。然后，若n是奇数，则
x1，x2， ，xn 的中位数，我们先
，中位数就是2。
对方程式
2 0 意味着x对y的边际效应递减（diminishing
marginal effect），这从图中清晰可见，应用微积分知识， 也可以通过求这个二次函数的一阶导数得出。 斜率=
y 0 1 x 2 x 2
y 1 2 2 x x
方程右端是此二次函数对x的导数（derivative）。 同样， 2 0 则意味着x对y的边际效应递增 （increasing marginal effect），二次函数的图形就呈U行， 函数的最小值出现在点
符号是有作用的。目前，只有自然对数最重要，因此我 们都用 logx 表示自然对数。
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2.自然对数
y
y logx
x
图2.1.4 y=log（x） 的图形
计量经济学
2.自然对数
从图能看出如下性质：
1.当y=log（x）时，y和x的关系表现出边际报酬递减。
2. 当y=log（x）时，x对y永远没有负效应：函数的斜 率随着x的增大越来越接近零，然而这个斜率永远到不了
ax by a x b y
i 1 i i
n
n
i 1
i
i 1
i
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2、平均数