全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(48)
加试模拟训练题（48）（附详细答案）
的面积相等；与点，证明四边形的外接圆于交，延长是垂足、，作，满足、边上有两点的在锐角如图ABC AMDN D ABC AE N M AC FN AB FM CAF BAE F E BC ABC ∆∆⊥⊥∠=∠∆)(,,.1
2. 证明：对于正数a 、b 、c ，下述不等式成立：
a 3+
b 3+
c 3+3abc ≥ab （a+b ）+bc （b+c ）+ac （a+c ）
（1）
3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子．这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色．
1．如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？
2．如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？
4.试证：1．如果正整数n使方程x3－3xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个
方程至少有三
组整数解；
（2）当n=2891时，上述方程无整数解．
从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（y－x，－x）或（－y，x－y）代替（x，y）．因此可以假定x、y都不被3整除，
从而
x3≡±1，y3≡±1，－3xy2≡±3（mod9）
（2）不能成立，这表明当n=2891时，（1）无解．
加试模拟训练题（48）
的面积相等；与点，证明四边形的外接圆于交，延长是垂足、，作，满足、边上有两点的在锐角如图ABC AMDN D ABC AE N M AC FN AB FM CAF BAE F E BC ABC ∆∆⊥⊥∠=∠∆)(,,.1AMDN
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)
加试模拟训练题（55）（附详细答案）
1.
H
ED
AB
CF
AD
ABC
O
如图，M
BE
∆
和
交于点
，
，直线
交于点
为外心，三条高
、
、
中，
FD⊥
AC
N
⊥
OB
交于点
。求证：
⊥
和
)1(MN
;
)2(
;
DF
,
OH
OC
DE
2. 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则
3.在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．
4.设a,b为正整数，且4ab-1︱(4a2-1)2 求证:a=b（2007年IM O试题）
加试模拟训练题（55）
1.
，
交于点和，直线交于点、、为外心，三条高中，如图，M AB ED H CF BE AD O ABC ∆ ;)2(;,)1(MN OH DE OC DF OB N AC FD ⊥⊥⊥。求证：交于点和
2. 证明：若a 、b 、c 为三角形三边的长，且a+b+c=1，则
【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克九年级题2．1990年意大利数学奥林匹克题4．
MN
OH NH NO MH MO OM ON MH NH OD OM CD CM DE
OC OD ON BD BN DF
OB AC BA CD BD BC
DA AH AB NH NB NA
BE AH AC MH MC MA
CF DE OC DF OB BAC
BOC OBC BAC
BDF F D C A ⊥∴-=--=--
+
+-
-=-∴⊥-=-∴⊥-=-∴⊥-=-∴⊥-=-∴⊥⊥⊥∴∠-︒=∠-︒=∠∠=∠∴2222222222222222222222222222,)2(90)180(2
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(93)
加试模拟训练题（93）
1．设∆ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，X 是∆ABC 内的一点，∆XBC 的内切圆也在点D 处与BC 相切，并与CX 、XB 分别切于点Y 、Z ，证明，EFZY 是圆内接四边形．
分析：圆幂定理的逆定理与Menelaus 定理．
证明：延长FE 、BC 交于Q ．
AF FB ·BD DC ·CE EA =1，XZ ZB ·BD DC ·CY YA =1，⇒AF FB ·CE EA =XZ ZB ·CY YA
． 由Menelaus 定理，有AF FB · BQ QC · CE EA
=1． 于是得XZ ZB ·BQ QC ·CY YA
=1．即Z 、Y 、Q 三点共线． 但由切割线定理知，QE ·QF =QD 2=QY ·QZ ．
故由圆幂定理的逆定理知E 、F 、Z 、Y 四点共
圆．即EFZY 是圆内接四边形．
2. 若实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax 2+by 2=7，ax 3+by 3=16，ax 4+by 4=42，求ax 5+by
5
的值．
【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题15．
【解】由ax 3+by 3=（ax 2+by 2）（x+y ）－（ax+by ）xy
得 16=7（x+y ）－xy （1）
由 ax 4+by 4=（ax 3+by 3）（x+y ）－（ax 2+by 2）xy
得42=16（x+y ）－7xy （2）
由（1）、（2）解得x+y=－14，xy=－38．因此，
ax 5+by 5=（ax 4+by 4）（x+y ）－（ax 3+by 3）xy
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)参考答案与评分标准B1卷
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2022年全国高中数学联合竞赛（B1卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设10分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9、10小题5分为一个档次，第11、12小题10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题10分，满分80分．
1. 若等差数列{}n a 的各项非零，且
1234a a a +=，则567a a a +的值为 ． 答案：45
． 解：设{}n a 的公差为d ，则
111()42a a d a d ++=+，即127
d a =-． 令17,2(0)a t d t t ==-¹，从而5
6171291418467125a a a d t t a a d t t ++-===+-． 2. 在平面直角坐标系中，圆W 的方程为22202220220x y x y +---=，则圆W 的面积为 ．
答案：2243p ．
解：易知2222:(10)(11)202210112243x y W -+-=++=．
设圆W 的半径为r ，则22243r =，于是圆W 的面积为22243r p p =．
3. 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为 ．
答案：712
． 解：连续掷两次骰子共有2636=种情况，其中对每个{1,2,,6}k Î ，当第一次掷骰子所得点数为k 时，第二次掷骰子所得点数不小于k 的情况数为7k -． 从而所求概率611217(7)363612
第二届全国中学生数理化学科能力竞赛
第二届全国中学生数理化学科能力竞赛
七年级数学试题评析
第二届全国中学生数理化学科能力竞赛七年级数学试题的命制严格按照新课程改革的相关要求，充分体现和落实新课程改革的理念和精神．整套试题覆盖面广，题量适当，结构合理，难度适中，内容新颖，表述科学．在考查方向上，体现了突出基础，注重能力的思想；在考查内容上，体现了基础性、开放性、应用性、探究性和综合性。
1 从全新角度考查基础知识和基本技能
纵观整套试题，所关注的内容，是支撑学科的基本知识、基本技能和基本思想．强调考查学生在这一学段所必须掌握的通法通则，淡化繁杂的运算和技巧性很强的方法。同时关注了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，以及特殊与一般、运动与变化、矛盾与转化等数学观念。试题突出了对学生研究问题的策略和运用数学知识解决实际问题能力的考查。如：
(第二届·七·4)菅直人有两支口径不同但克数相同的牙膏，A牙膏的口径为7毫米，B牙膏的口径为10毫米，他每次刷牙总是挤出2厘米长的牙膏，他发现B牙膏大约用了98次，那么A牙膏大约能用次。
A、122
B、112
C、 138
D、200
(第二届·七·6)“宁神静泊”代表一个四位数，是一个正方形的边长，而这个正方形的周长恰好是“泊静神宁”所代表的四位数。那么“宁神静泊”代表的四位数是。
(第二届·七·11)如图E,F 是长方形ABCD的长和宽上。沿EF将ABCD对
折，将D点落在BC边上，这时∠CD’F=450 那么∠DEF= 。
由上术几例可以看出本套试题在关注对基础知识和基本技能考查的同
时，特别注意了考查方式的多样化和考查角度的新颖性。
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(39)
，所以 ，从而
由于此式对任意x∈R都成立，故t＝0，即f(0)＝0．于是(2)成为
f(2)(y)＝y(y∈R) (3)
又对任意x≥0，由(1)、(3)有
令y＝0，得
所以f(x＋y)＝f(x)＋f(y)≥f(y)(x≥0)
这就是说，f(x)是R上的非减函数，即若x≥y，则f(x)≥f(y)．
最后证明，对一切x∈R，有f(x)＝x．事实上，若存在z∈R，使f(z)≠z．假如z＜f(z)，则f(z)≤f(2)(z)＝z，矛盾；假如f(z)＜z，则z＝f(2)(z)≤f(z)，也矛盾．
显然，函数f(x)＝x满足题设条件．
3、能否将1990×1990方格表的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且表的任意一行及任意一列中黑格和白格都各占一半？
【题说】第二十四届(1990年)全苏数学奥林匹克十年级题1．
【解】假设能按要求涂色．将黑格记为＋1，白格记为－1．将方格表分成四个995×995的正方形(如图)．因每个正方形含奇数个方格，故任一正方形各格上的数相加，和不为零．又因关于中心对称的方格涂有不同颜色．故正方形A1与A4，A2与A3各格的数相加的和均为零．因此，A1与A4，A2与A3中各有一个，其中各数之和为正，不妨设A1、A2中各数的和为正．这时A1∪A2中各数之和为正，但由已知，每行中黑格与白格各占一半．所以前995行各数之和为零，即A1与A2中各数之和为零．矛盾！所以，满足要求的涂色法不存在．
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(34)
加试模拟训练题（34）（附详细答案）
1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线．
2、 已知+
∈R c b a ,,,且1≤abc ,求证:≥+++++b
a
c a c b c b a )(2c b a ++
3、 有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目．求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目．
4．求不定方程1
2
(x +y )(y +z ) (z +x )+(x +y +z )3=1－xyz 的所有整数解。
加试模拟训练题（34）
1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线．
【题说】 第三十届(1989年)IMO 预选题14．本题由印度提供． 【证】 设四边形ABCD 为双心四边形，其外接圆圆心为O ，内切圆圆心为I ，对角线交点为K ，不难推出下列三个引理：
(1)对圆外切四边形ABCD ，设切点为P 、Q 、R 、S ，则PR 、QS 的交点就是对角线AC ，BD 的交点K ．
(2)若K 为⊙I 内一定点，则对K 点张直角的弦EF 的中点的轨迹是一个圆，圆心为IK 的中点M ．
(3)在(1)中若四边形ABCD 有外接圆，则PR ⊥QS ．
由(3)，PQ 、QR 、RS 、SP 对K 点张直角，因而它们的中点A '、B '、C '、D '均在以IK 的中点M 为圆心的圆上．
由于IA 与PQ 相交于A '，所以A '就是以I 为反演中心，⊙I 为反演圆时，A 经反演所得的像，同样B '、C '、D '分别为B 、C 、D 的像，因此⊙O 经过反演成为A 'B 'C 'D '的外接圆，从而O 与这圆的圆心M ，反演中心I 共线，所以O 在直线IM 上，即O 、M 、K 共线，从而问题得证．
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准
一试
一、填空题1已知m ,a ,b ,c 为正整数,且a log m 2+b log m 3+c log m 5=2024,求m +a +b +c 的最小值是.
2已知x >0,y >0,-log 3y +3x =y -2x =15⋅32x -1y ,则y +x =
3若A 、 B 为锐角且sin B ⋅sin A +B =sin A ,则tan A 的最大值为.4
数列a n 满足:对任意n ≥2,a n =2024a n -1-n . 如果该数列的每一项都是正数,则a 1的最小
值为5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第i 次投中得分为4-i 分(i =1,2,3), 若三次均未投中则得分为0分. 假设甲同学的投篮的命中率为p 0<p <1 ,若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56，则p = ，甲投篮测试的得分的均值为. 【答案】 2.376 .
6设x ,y 均为非零实数,且满足
x sin π12+y cos π12x cos π12-y sin π12=tan π3 . 在△ABC 中,若tan C =y x ,则sin3A +3sin2B 的最大值为
.
7已知虚数z 满足z +2z
∈R ,则z 2+2z -3 的最大值为8n 是正整数, 3n -1没有12以上的质因子,则所有满足条件的n 和是9已知四面体PABC ,点A 1在△PBC 内,满足△A 1BP ,△A 1CP ,△A 1BC 的面积之比为3:2:1,
全国初中数学联赛试题详解
答（）
2．如果a＜b，那么 等于
（A）(x+a) ；（B）(x+a) ；
（C）-(x+a) ；（D）-(x+a) 。
答（）
3．若关于|x|的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的值是
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
答（）
4．记号[x]表示不超过x的最大整数（例如[ ]=2）。设n是自然数，且
答（）
6．△ABC的三条外角平分线相交成一个△LMN，则△LMN
（A）一定是直角三角形；（B）一定是钝角三角形；（C）一定是锐角三角形；（D）不一定是锐角三角形；（E）一定不是锐角三角形。
答（）
7．已知方程2x2+kx-2k+1=0的两实根的平方和为29/4，则k的值为
（A）3；（B）-11；（C）3或-11；（D）11；（E）以上结论都不对。
1．设a-b=2+ ，b-c=2- ，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）。
2．设方程x2-402x+k=0的一根加3，即为另一根的80倍。那么k=（）。
3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各1件共需（）元。
徐铭锐、黄昱天等——2021年全国高中数学联赛A2卷加试解答
徐铭锐、黄昱天等——2021年全国高中数学联赛A2卷加试
解答
****************，*****************
许康华老师联系方式：微信（xkh3122）；QQ（1090841758）
2021-09-13 第一届“刘徽杯”数学竞赛试题
2021-09-13 第二届“刘徽杯”数学竞赛试题
2021-09-13 第三届“刘徽杯”数学竞赛试题
2021-09-13 第四届“刘徽杯”数学竞赛赞助征集启事
2021-09-13 第一、二、三届“刘徽杯”数学竞赛专集
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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(15)
加试模拟训练题（15）
1、已知圆O 外一点X ，由X 向圆O 引两条切线，切点分别为,A B ，过点X 作直线，与圆O 交于两点,C D ，且满足CA BD ⊥，若,CA BD 交于点F ，,CD AB 交于点G ，BD 与GX 的中垂线交于点H ，证明,,,X F G H 四点共圆。（05年日本）
2.设c b a ,,是正实数,且满足1=abc ,证明:1111111≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-a c c b b a
3、设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集m A A A ,,,21 两两互不包含，
试证：（1）;111||≤∑=m
i A n i
C （2）.21
|
|m C m
i A n i ≥∑=
其中||i A 表示i A 所含元素的个数，|
|i A n C 表示n 个不同元素取||i A 个的组合数.
4．设c b a ,,是直角三角形的三边长。如果c b a ,,是整数，求证：abc 可以被30整除。 证明：不妨设c 是直角三角形的斜边长，则222b a c +=。
加试模拟训练题（15）
1、已知圆O 外一点X ，由X 向圆O 引两条切线，切点分别为,A B ，过点X 作直线，与圆O 交于两点,C D ，且满足CA BD ⊥，若,CA BD 交于点F ，,CD AB 交于点G ，BD 与GX 的中垂线交于点H ，证明,,,X F G H 四点共圆。（05年日本）
证明 因为,,,X D G C 是调和点列，且90CFD ∠=︒，所以F 在关于点,X G 的阿波罗尼斯圆上。连,FG FX ，有GFD DFX ∠=∠。设GFX ∆的外接圆与BF 交于点H '，则有GH XH ''=，即H '在GX 的中垂线上，从而有H H '=，因此,,,X F G H 四点共圆。
完整版-2023年数学联赛试题及答案(学科竞赛圈)
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
一试（A 卷）参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1. 设复数910i z （i 为虚数单位）
，若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ．
答案：2．
解： 22910181n n
n n z z ．因21812023z ，而当3n 时， 181132023n
n n z ，故n 的最大值为2． 2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．
解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以
lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．
3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777
C C C x y z ”发生的概率为 ． 答案：127
． 解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{
1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(53)
加试模拟训练题（53）（附详细答案）
1．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.
2.设a 、b 、c 、d 是满足ab+bc+cd+da=1
的非负数．试证：
A B C
Q K P O O O ....S
123
3. 在大小为n ×n 的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0．对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i 个元素加上或减去行的第i 个元素．试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格．
4. 若p b
a b a b a p b a b a p
p 或者证明为奇素数,1),(,,1),(,1=+++=≠+。
加试模拟训练题（53）
1．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.
(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .
∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+
∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°
将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(35)
加试模拟训练题（35）（附详细答案）
1、 平面上给定一个锐角三角形ABC ．过顶点B 的高交以AC 为直径的圆于P ，Q ，过顶点
C 的高交以AB 为直径的圆于M 、N ．求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆．
2. 设c b a ,,是正实数,且满足1=abc ,证明:
1111111≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-a c c b b a (第41届国际数学奥林匹克试题)
3、某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队．根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛．比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．
4．求不定方程5x－3y=2的正整数解。
加试模拟训练题（35）
1、 平面上给定一个锐角三角形ABC ．过顶点B 的高交以AC 为直径的圆于P ，Q ，过顶点C 的高交以AB 为直径的圆于M 、N ．求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆． 【题说】 1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克(最后一轮)题6． 【证】 由于MN 和PQ 的垂直平分线分别是AB 和AC ．所以，AM ＝AN ，AP ＝AQ ．
设B '，C '分别是AC 与AB 边上高的垂足，于是由射影定理，得 AM 2＝AC '·AB ＝AB ·ACcos ∠BAC AP 2＝AC ·AB '＝AB ·ACcos ∠BAC
所以AM ＝AP ，从而M 、N 、P 、Q 四点在以A 为圆心的圆上．
2. 设c b a ,,是正实数,且满足1=abc ,证明:
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)
1、 已知△ABC，设I是它的内心，角A、B、C的内角平分线分别交其对边于A'、B'、C'．
求证：
2、设函数f：[0，1]→R满足：
(2)f(1)＝1；
(3)f(x)＋f(y)≤f(x＋y)，x，y，x＋y∈[0，1]．
求出最小的常数c，使f(x)≤cx对一切满足上述条件的函数f及一切x∈[0，1]都成立，并证明你的结论．
当 时，设u是不能整除奇数t的最小奇数，记
（1）若
（2）若
故
f(x)＜2x
又显然有f(0)＋f(1)≤f(0＋1)＝f(1)，所以由(1)，f(0)＝0
于是f(x)≤2x，x∈[0，1]．
另一方面，令
这函数显然满足(1)和(2)
f(x)＋f(y)＝f(y)≤f(x＋y)
即f(x)满足题述的所有条件．
最小常数．
3、在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1，按顺时针方向隔一点标上2，再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1，2，…，1993．有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数．问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？
加试模拟训练题（28）
1、已知△ABC，设I是它的内心，角A、B、Leabharlann Baidu的内角平分线分别交其对边于A'、B'、C'．求证：
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加试模拟训练题（42）
1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、
E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．
2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数
为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）
4、 试确定使72
++b ab 整除b a b a ++2
的全部正整数对).,(b a
加试模拟训练题（42）
1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ．
∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK
＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF
同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF
有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC
∠PFC
所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝AB
AC
即 PB AB ＝PC
AB
设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PB
AB
同样设CE 与AP 交于N ，则
PN AN ＝PC AC
由此，PM AM ＝PN
AN
，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点.
2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有
【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1．
【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n
故f(n)≥2kn/(k ＋1)
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数
为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）
【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符 合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中
),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有
∑==n
i i
X
1
,0 ①
∑==n
i i
Y
1
,0 ②
22
22222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③
不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.
当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.
当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数.
综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线. 4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2
的全部正整数对).,(b a
解：.7)7()(2
22a b b ab a b a b a b -=++-++ )7(722a b b ab -++∴
（i ）若072>-a b 则有：222
77.ab b b a b ++≤-<矛盾；
（ii ）若072<-a b 则.77722a b a b ab <-≤++ 72
<∴b ， 1=∴b 或.2=b
当1=b 时，题设成为8+a 整除57)8(717,17-+=--a a a 有 得293578⨯=+a ，
21a ∴=或49=a
当2=b 时，a a 7494-+ 由于)94(2470+<- （iii ）若072 =-a b 则2 7,7k a k b ==其中+ ∈Z k 此时b a b a ++2 除以 72++b ab 商恰为k ，题设条件满足。 综上：所有满足条件的正整数对为2 (,)(21,1),(49,1)(7,7)a b k k = )(+ ∈N k