中值定理习题

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中值定理练习题

中值定理练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家Cauchy在19世纪初提出的。

中值定理可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

在实际应用中，中值定理常常用于证明其他定理，或者用于解决一些实际问题。

首先，让我们回顾一下中值定理的表述。

中值定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这三种形式都是基于相同的思想，即在一个区间内，如果函数连续且可导，那么一定存在一个点，使得函数在该点的瞬时变化率等于函数在整个区间内的平均变化率。

以拉格朗日中值定理为例，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。

那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

接下来，我们来看几个关于中值定理的练习题。

练习题一：证明函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上满足中值定理的条件，并找出满足中值定理的点。

解答：首先，我们可以验证函数f(x)=x^3在闭区间[-1, 1]上是连续的。

因为多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)=x^3在[-1, 1]上也是连续的。

其次，我们需要证明函数f(x)=x^3在开区间(-1, 1)上是可导的。

对于f(x)=x^3，我们可以直接求导得到f'(x)=3x^2。

因为3x^2在整个实数域上都是连续的，所以f'(x)=3x^2在(-1, 1)上也是连续的。

由于函数f(x)=x^3满足中值定理的条件，根据中值定理，存在一个点c∈(-1, 1)，使得f'(c)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))。

将函数f(x)=x^3代入上式，得到3c^2=(1^3-(-1)^3)/(1-(-1))=1。

解方程3c^2=1，我们可以得到c=±1/√3。

因此，满足中值定理的点c分别为c=1/√3和c=-1/√3。

中值定理习题

）找到两点
x 2 , x 1 ，使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成立 .
（ A）必能；
（ B）可能；
（ C）不能；（ D）无法确定能 . 5 、若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，在( a , b ) 内可导，且
32
）.
8 、若在 ( a , b ) 内，函数 f ( x ) 的一阶导数 f ( x ) 0 ，二阶导数 f ( x ) 0 , 则函数 f ( x ) 在此区间内 ( ). （A）单调减少，曲线是凹的；（B）单调减少，曲线是凸的；（C）单调增加，曲线是凹的；（D）单调增加，曲线是凸的 . a 9 、设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点
11
定理. 设函数且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)Βιβλιοθήκη 在上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时则当证: 令 ( x)

(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明在
在
内可导, 且内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点

中值定理证明练习题

中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。

在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。

题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。

解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。

这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。

因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。

接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。

根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。

因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。

各种中值定理习题

题目1证明题一般。

使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bbdx x f dx x f dx x f b a b a x f aa)(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。

又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbxQ题目2证明题一般。

证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。

有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M ,(x)f x)(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a -=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题。

证明：上连续，，在设⎰⎰-+=>aadx x a f x f dx x f a a x f 02 0)]2()([)( )0( ]2,0[ )(解答_。

，则令由于⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-=-=+=a aaaaaaadx x a f x f dtt a f dx x f dx x f dtdx t a x dxx f dx x f dx x f 02 02 02 0)]2()([ )2( )( )(2)()()(题目5证明题。

数学《中值定理》练习题

第六章中值定理与泰勒公式1. 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中.2.证明：若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.3. 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,4. 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.5．考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.6. 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.7. 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.8. 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.9. 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+10. 1）证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.2）证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.11.证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.12. 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.13. 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.14. 用中值定理证明：sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.15. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.16. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >，证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.17. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到相应的结论, 为什么?18. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f ha f h a f h a f θθ-''++''=--++.19. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.20. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈,存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.21. 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根.22. 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx x π→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e xx x -→---（过程不要，直接写答案）23. 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１ 3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→24. 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.25. 1) 111lim xx x-→ 2) ()21lim cos x x x →.26. 1） ln lim ()xx x →+∞+１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.27. 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.28 1） 011lim()1x x x e →-- 2） 111lim x x x -→3） sin 0lim(tan )x x x → 4） 22011lim()sin x x x→- 29.3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x→+- 8) 10lim()x xx x e →+必须记住的泰勒公式（peano 型）1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 习题：1．求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式;2．当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤3. 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.4. 、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证''(0)()f f a Ma +≤.5. ．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?6. 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。

中值定理的参考题(有分析和解答)

2
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1）中的，而（1）中的是由ex 求导而得到的，故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ，故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ，则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ，由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ，即e[ f ()f ()]0 ，由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。

第十五讲中值定理习题

第十五讲中值定理习题一、选择题1. 1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【】A. πB. 2πC. 3πD. 4π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【】A. x lnB. x ln lnC. xln 1 D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【】 A. 0 B.12 C. 52 D. 2 6. 函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B.12 C. 1 D. 27. 函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B.12 C. 1 D. 2 13. 方程410x x --=至少有一个根的区间是【】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2)14. 函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【】A. 0B. 12-C. 1D. 12 15. 已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【】 A.B. C. - D. 13± 二、证明题1. 证明：当+∞<≤x 0时，x x ≤arctan 。

第3章习题及答案

第三章中值定理与导数应用§1 中值定理一、是非判定题一、假设0)('),,(,),(,],[)(=∈ξξf b a b a b a x f 使且必存在可导在有定义在（×）二、假设0)('),,(),()(,],[)(=∈=ξξf b a b f a f b a x f 使则必存在在连续在（×）3、假设0)('),,(),(lim )(lim ,],[)(00=∈=-→+→ξξf b a x f x f b a x f b x a x 使则存在且内可导在（√）4、假设))((')()(),,(,],[)(a b f a f b f b a b a x f -=-∈ξξ使则必存在内可导在（√）五、假设使内至少存在一点则在可导在上连续在与,),(,),(,],[)()(ξb a b a b a x g x f )(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- （×）（提示：柯西中值定理，少条件0)('≠ξg ）六、假设对任意,0)('),,(=∈x f b a x 都有那么在(a,b)内f(x)恒为常数（√）二．单项选择题一、设1.0,(),()()'()()ab f x a x b f b f a f b a xξξ<=<<-=-则在内,使成立的有 C 。

（A ）只有一点（B ）有两个点（C ）不存在（D ）是不是存在与a,b 取值有关二、设],[)(b a x f 在上持续，(,),()(()()a b I f a f b =内可导则与 Ⅱ)0)(',),((≡x f b a 内在之间关系是 B 。

(A) (I)是（Ⅱ）的充分但非必要条件；（B ）（I ）是（Ⅱ）的必要但非充分条件；（C ）（I ）是（Ⅱ）的充分必要条件；（D ）（I ）不是（Ⅱ）的充分条件，也不是必要条件。

【2019年整理】中值定理-XT

F (a) F (b) 0 Fx在[a,b]上满足R定理，
(a,b)使F( ) 0
F() [ f (x)g( x) f ( x)g( x)]x 0
例5 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1)内可导,且 f (0) 0, f (1) 1,试证 : 对任意给定的正数 a,b
注意到 f (0) f (1), 则有
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
(
x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
(
x0
)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
f ( ) f (0) ( 0) f ( ), (0, )
(1)
f (1) f ( ) (1 ) f (), ( ,1)
(2)
注意到 f (0) 0, f (1) 1, 由 , 有
a
b
f ( ) f ( )
ab
f ( )
(3) 1 1 f ( ) a b f () f ( )
于是 1[ f ( x) f ( y)] f ( x y)
2
2
即 1[ x ln x y ln y] x y ln x y ,
2
2
2
即 x ln x y ln y ( x y)ln x y . 2
例10 设f (x)在x0的邻域内有直到n 1阶的导数,且 f (x0 ) f (x0 ) f (n1) (x0 ) 0, f (n) (x0 ) 0. 证明: n为偶数时, f (x0 )是极值; n为奇数时, f (x0 )不是极值.

中值定理练习题

中值定理练习题一、基本概念题1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：若函数f(x)在[a, b]上连续，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。

若函数f(x)在[a, b]上可导，且f'(x) = 0，则f(x)在[a, b]上恒为常数。

2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。

3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。

二、应用题1. 利用罗尔定理证明下列等式：sinπ = sin2πe^a = e^b，其中a = b2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = 0，f(b) = 1。

证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 1/(b a)。

3. 设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1。

证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 1。

三、综合题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)。

证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = f'(η)，其中η∈(a, b)。

证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。

3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≤ 0。

证明至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(ba)。

四、拓展题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0。

第四章中值定理与导数的应用习题

第四章中值定理与导数的应用一、填空题1、函数4)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.2、设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____个根，它们分别在区间_________上3.如果函数)(x f 在区间I 上的导数__________，那么)(x f 在区间I 上是一个常数.4、xx y 82+=(0>x )在区间_____单调减少，在区间_____单调增加. 5、.曲线)1ln(2x y +=在区间_____上是凸的,在区间_____上是凹的,拐点为_____6、若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且 _____ ，则)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的.7、若()bx ax x x f ++=35在x = 1时有极值56，则a = ，b = . 8、()x f 二阶可导，()0x f '' = 0是曲线()x f y =上点_____为拐点的条件.9、函数y=sinx-cosx 在区间(0,2π)内的极大值点是_____,极小值点是_____.10、函数2x y e -=的单调递增区间为_____，最大值为11、设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则该函数在0x 处的导数()='0x f 。

12、()x x f ln =在[1，e ]上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e ）内存在一点=ξ ，使()()11=-⋅'e f ξ13、若()x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且()00=f ，()11=f ，由拉格朗日定理，必存在点∈ξ（0，1），使()()='⋅ξξf e f .14、()()()()321---=x x x x x f ，则方程()0='x f ，有个实根。

专升本高等数学第三章中值定理与导数的应用练习题

第三章中值定理与导数的应用1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( )A ．18+=x yB ．142+=x yC ．21x y =D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,03．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( )A ．没有实根,B ．有且仅有一个实根,C ．有两个相异的实根,D ．有五个实根.4．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点. 5．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( )A ．17B ．11C ．10D ．96．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( )A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θB ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ.7．求极限x xx x sin 1sin lim 20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为x x 1lim 0→不存在，所以上述极限不存在C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x xxD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在8．设函数212x xy +=，在 ( )A ．()+∞∞-,单调增加B ．()+∞∞-,单调减少C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加9．曲线xe y x+=1 ( ) A ．有一个拐点 B ．有二个拐点 C ．有三个拐点 D ．无拐点10．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( )A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ．只有水平渐近线11．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 () A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值12．求()201ln lim x x x x +-→13．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 014．求x xx 3cos sin 21lim 6-→π15．求()xx x 1201lim +→16．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

第四章中值定理导数应用习题课(11级)

个实根 .
证: 令 F (x) a0 a1x an xn , 则可设
F ( x)
a0 x
a1 2
x2
an n 1
x n 1
显然, F (x) 在 [0,1]上连续, 在 (0,1)内可导, 且 F (0)
F (1) 0, 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 F ( ) 0,
即 a0 a1x an xn 0 在（0，1）内至少有一个实根 .
7. 有关中值问题旳解题措施利用逆向思维,设辅助函数.
8. 经典例题
【例1】若方程 a0 x n a1 x n1 an1 x 0有一种正根
x x0 ,证明方程 a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 0 必有一种不大于x0 旳正根.
分析假如令 f ( x) a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 ，无法鉴定 f (0) f (x0 ) 0 , 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。首先构造一种函数F ( x), 使F ( x) f ( x)，其中 f ( x)是欲证方程
处理措施:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例1. 求极限 lim 1 x tan x
x1
2
解
原式
1 x
lim
x1
cot
x
2
lim
x1
1
csc x
2
2
2
lim
x1
sin
2
x
2
2
2
1
例2. 求 lim x1 x .
( 1 )
解
x1

微积分中值定理习题

1第三章中值定理与导数的应用§1 中值定理一、证明：当1>x 时，x e e x ⋅>。

二、证明方程015=-+x x 只有一个正根。

三、设)()(x g x f 、在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使得 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-= 四、证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则x e x f =)(。

五、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且 )0()0()0()1(-=='=n f f f ，试用柯西中值定理证明：10 !)()()(<<=θθ，n x f xx f n n §2 洛必达法则一、求下列极限（1）2031)cos(sinlim xx x -→= （2）xx x x 30sin arcsin lim -→= （3）x x x 21sin 1)1cos(ln lim π--→= （4）x x x x 21cot ])1[ln( lim π--+→= （5）21)arcsin ( lim 0x xx x →= （6）x cb ac b a x x x x 1)( lim 1110+++++++→，其中0≠++c b a 。

§3 泰勒公式一、求函数x x f tan )(=的二阶麦克劳林公式。

二、求函数x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

、当40=x 时，求函数x y =的三阶泰勒公式。

三、当10=x 时，求函数x x x f ln )(2=的n 阶泰勒公式。

2§4 函数单调性的判定法一、确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln 22-=；（2）)0())(2(32>--=a x a a x y ，二、证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；三、设在],[b a 上0)(>''x f ，证明函数a x a f x f x --=)()()(ϕ在],(b a 上是单调增加的。

极品中值定理习题,包你学会中值定理!

x0
lim
e
lim
2 x s 2 x i n 4 x3
e
x0
lim
2 x sin 2 x 4x
3
e e e
x0
lim
2 2 cos 2 x 12 x 2
e
x0
lim
1cos 2 x 6 x2
2 sin 2 x lim x0 12 x
e
e
sin 2 x lim x0 6 x
( x) ex ( )[ f ( x) x] ex [ f ( x) 1] 而 e
x
x
{[ f ( x) 1] [ f ( x) x]}
由 ( ) e {[ f ( ) 1] [ f ( ) ]} 0 可得 f ( ) [ f ( ) ] 1,

b a
定理条件, 因此至少存在一点 (a, b) b a e e 使得 e 故 e [ f ( ) f ( )] e ba 即 e [ f ( ) f ( )] 1
1 例11 求 lim n tan n n
例4 设 f ( x ) 与 g (x) 在 [a , b] 上存在二阶导数, 若 g ( x) 0, 且 f (a) f (b) g (a) g (b) 0, ① 在 ( a , b ) 内 g ( x) 0 试证: ② 在 (a , b ) 内至少存在一点 ,
t t0 时 t t0 时
A(t ) 0 A(t ) 0
1 故 t0 2 是唯一极值点且为极大值点, 25r 1 从而是最大值点. 所以窖藏 t0 25r 2
年出售可使总收入的现值最大
1 100 r =0.06时 t0 11 年 2 25 0.06 9

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