不等式恒成立、能成立、恰成立问题
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理
函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
1、函数法
（1）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数有：
],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=
⎩⎨
⎧<<⇔<⎩
⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0
)(0
)(0)(;
0)(0
)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式对满足的所有都成立，求的范 围。
m mx x ->-2
1222≤≤-m m x
解析：将不等式化为：，
0)12()1(2
<---x x m 构造一次型函数：)
12()1()(2
---=x m x m g 原命题等价于对满足的，使恒成立。
22≤≤-m m 0)(<m g
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨
⎧<<-0
)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22
x x x x g g 解得
，所以的范围是。
231271+<<+-x x )2
31,271(++-∈x 小结：解题的关键是将看来是解关于的不等式问题转化为以为变量，为参数x m x 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
人教版数学-备课资料 恒成立_能成立_恰成立.
恒成立·能成立·恰成立
在平时的学习中，我们经常会遇到“已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围”.这个问题如何解呢?
1.恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于
A ,
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .
例1 （2006江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．
的是 （ ）.
A.||||||c b c a b a -+-≤-
B.a
a a a 1
12
2+
≥+ C.21
||≥-+
-b
a b a D.a a a a -+≤+-+213 【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立； 在（B ）两侧同时乘以2
,a 得
()()()()()()2
434332*********
a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥所以（B ）恒成立；
（C ）中，当a>b 时，恒成立，a<b 时，不成立； （D
≤C ）
也可运用排除法，C 选项21
≥-+
-b
a b a ，当a-b<0时不成立。 【解后反思】本题主要考查不等式的相关知识，运用公式一定要注意公式成立的条件 如果)""(2R,,2
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，作者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。
一、“恒成立”问题
)(4)1()(4)(2m f x f x f m m
x f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 。 【解析】(分离变量法) 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立，即12341222+--≤-x x m m 在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。 当23=x 时函数1232+--=x x y 取得最小值35-，所以3
54122-≤-m m ， 即0)34)(13(22≥-+m m ，解得23-
≤m 或2
3≥m 。 另解（函数法）： 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立， 即≤-++--22214123m m x x 0在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。 令x t 1=,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t ∴014123222≥-++--m m t t 在⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈32,0t 上恒成立，令=)(t g 2
2214123m m t t -++-- ∴0)0(≥g 且0)3
不等式恒成立能成立恰成立问题经典教程
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f
-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22x
a
x x x f ++=
对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例
3、R
上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πθ时，有()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；
（3）若对任意0>x ，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -
例6、若对于任意1a ≤，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
例7、已知函数32
3()(1)132
a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
1.恒成立问题：
恒成立问题的基本类型
类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
⎩
⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(
⎨
⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈
)(0)(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立⎩
⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12
不等式中恒成立能成立恰成立问题
不等式中恒成立能成立恰成立问题数学组；执教教师：上海市闵行中学郭岩岩
教材分析：恒成立能成立恰成立问题涉及到一次函数、二次函数及其它函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
学情分析：学生对恒成立、能成立、恰成立问题时常有接触，但都是零星的杂乱的，有必要归类分头系统的复习。
教学目标：（1）了解“不等式中恒成立”问题的三种常见类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型。掌握不等式恒成立问题的解题方法，对恒成立能成立恰成立问题对比学习，掌握其本质区别。
（2）运用函数与方程、转化与化归、数形结合，分类讨论等数学思想和数学方法，从不同的角度来研究不等式中的恒成立问题，促进学生对不等式中恒成立问题的深入理解
（3）通过师生互动，引导学生探究解决不等式问题的思维方法，加强思维的发散性与聚合性训练，体验探究之乐。
教学重点：不等式中恒成立问题的解题方法
教学难点：从不同角度来剖析同一问题的思维方式。
教学方法：师生互动、探究发现。
教学过程：
一、引入：
恒成立问题，能成立问题涉及到一次函数、二次函数及其它函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也
成为历年高考的一个热点。
二、师生共同研究不等式关系中的恒成立问题，形成解决问题的一般方法 例1、若x ∈R ，当1≤x ≤3时，不等式ax+1>2x 恒成立，求a 的取值范围。 研究方法一、以a 做为研究对象，将不等式看作以a 作为变量的不等式，将a 进行分离。问题转化为21a x x -> x ∈[1，3]时恒成立，得到a 大于x
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
问题引入：
例1 ：已知不等式0122
>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2
+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+
(x
x a +<。 思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12
+=x y 图像在ax y 2=的上方．
小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
⑴若不等式
()A f x
⑵若不等式()B f x >
在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()max
g f x λ≥ (或()()
min
g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题
⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
⑵若不等式()()f x g x
【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？
例2：已知函数12)(2
高一数学知识点 不等式的恒成立及有解问题—教师版
在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、恰成立及有解。这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅。这类问题综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。在分析这类问题中要注意区分不等式恒成立、能成立、恰成立：①恒成立问题（关键词：对所有，任意、恒）；①能成立问题（关键词：有解，存在，解集非空，能）；①恰成立问题（关键词：定义域，值域，方程有解）。解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法、构造函数的方法等等。
一.不等式恒成立
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1.变量分离：
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。这类题型的基本解题思路如下：
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g a f x ≥（或()()g a f x ≤）恒成立的形式；
（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式max ()()g a f x ≥ (或min ()()g a f x ≤) ，得a 的取值范围.
【例1】当[]1,2x ∈时，不等式240x mx ++
【难度】①①
【答案】5m <-.
【解析】 当[]1,2x ∈时，由2
40x mx ++
【例2】已知函数时恒成立，求实数的取值范
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题
若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题
若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题
例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一
1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________
3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______
4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________
5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6.函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2
5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立
高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法
1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，
2、若不等式
()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,
二、不等式能成立问题的处理方法
1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上
()max f x A
>；
2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上
()min f x B
<.
三、不等式恰成立问题的处理方法
1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；
2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122
>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；
（11<<-a ）
变式：若0122
>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122
>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）
（函数最值法） （分离系数法）
变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45
>a ）
（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2
高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（参变分离）
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A
（2）若不等式()B x f
1..当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++
.
2.设2)(2+-=ax x x f ,当[]+∞∈,0x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
3.．已知(],1x ∈-∞时，不等式(
)2
124
0x
x
a a
++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
4．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是(
)
－23
5，＋ B.－23
5，1
C ．(1，＋∞)
∞，－
23
5
6、已知(),22x
a
x x x f ++=
对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围？2、主参换位法
1、若不等式a 10x -
2.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
3.若不等式()
2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
3、数形结合
1、当)2,1(∈x 时，不等式2(1)x -
2.若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-
3.已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.
专题3.2不等式中恒成立、能成立、恰成立通关
1 第一类
不等式恒成立1．已知函数2ln R 1m
f x x m m x ．
（1）试讨论函数f x 的极值点情况；
（2）当m 为何值时，不等式
21ln 101x x m x x （0x 且1x ）恒成立？【答案】(1)见解析;(2) ,2．
【解析】试题分析：（1）由题得，求得2
22111x m x f x x x ，设2211g x x m x ，由42m m ，分0m 、02m 、2m 三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况．
（2）不等式21ln 1
01x x m x x 可化为101f x x ，再由（1）函数的性质，即
可得到实数m 的取值范围．
②当02m 时，0，22110g x x m x 恒成立，
高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（参变分离）
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A
（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A
1..当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是
.
2.设2)(2+-=ax x x f ,当[]+∞∈,0x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求
a 的取值范围。
3.．已知(],1x ∈-∞时，不等式(
)2
124
0x
x
a a
++-?>恒成立，求a 的取值范围。
4．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是(
)
－23
5，＋ B.－23
5，1
C ．(1，＋∞)
∞，－
23
5
6、已知(),22x
a
x x x f ++=
对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围？2、主参换位法
1、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围？
2.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
【高中数学考点精讲】考点一 单变量不等式恒成立问题
考点15 任意性和存在性问题
“任意性问题”与“存在性问题”是一类形同质异的问题，同时也是各类考试的高频考点，求解这两类问题的策略是转化为等价问题，恒成立问题与能成立问题，而后进行求解.
“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略：
1.任意性问题转化为恒成立问题
2.存在性问题转化为有解问题
3.等式问题转化为值域关系问题
4.不等式问题转化为最值关系问题
对于一个不等式一定要看清楚是对“”恒成立，还是对“”使之成立，同时还要看清楚不等式两边中同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件.
1、单函数恒成立、能成立、恰成立问题的求解
1.恒成立问题的转化：恒成立；恒成立
2.能成立问题的转化：能成立；能成立
·
3.恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为
另一转化方法：若，在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若,在D上恰成立，则等价于在D上的最大值
.
注：含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如函数性质、变换主元、分离参数、分类讨论、数形结合等来解题.
1、函数性质法
（1）一次函数——单调性法
给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成
同理,若在内恒有,则有
（2）二次函数——利用判别式
①一元二次不等式在R上的恒成立问题
设
上恒成立；（2）上恒成立
．
②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题
二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。
%81%92成立、能成立、恰成立问题分析大全
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f
小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),
22x a x x x f ++=对任意[
)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;
例3、R 上的函数
()x f 既是奇函数，又是减函数，且当
⎪
⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有
()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数
)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数
)(x f 的单调区间；
（3）若对任意0>x ，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -
1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围
例6、若对于任意1
a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
例7、已知函数323
()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式
2
()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，
都成立，求实数x 的取值范围．
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专题(17例题+15练习题+答案与解析)
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()
f x 的
下界大于A
（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界
小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),
22x a
x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;
例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪
⎭⎫
⎝⎛∈2,0πθ时，有()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数
)0
(
ln
)(4
4>
-
+
=x
c
bx
x
ax
x
f在1=x处取得极值3c
--，其中a、b为常
数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(x
f
的单调区间；
（3）若对任意0>x，不等式2
2
)(c
x
f-
≥
恒成立，求
c的取值范围。
2、主参换位法
例5、若不等式a10
x-<对[]
1,2
x∈
恒成立，求实数a的取值范围
例6、若对于任意
1
a≤
，不等式
2(4)420
x a x a
+-+->
恒成立，求实数x的取值范围
例7、已知函数
32
3
()(1)1
32
a
f x x x a x
=-+++
，其中
a为实数．若不等式2
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编号：2007-HX-001
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
[文档副标题]
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福建省长乐第一中学教科室
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不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2
-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22x
a
x x x f ++=
对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例
3、R
上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πθ时，有()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数. （1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围
例6、若对于任意1a ≤，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
例7、已知函数32
3()(1)132
a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当(1,2)x ∈时，不等式2
40x
mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
例9、已知函数3
21()33
f x ax bx x =
+++,其中0a ≠ （1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?
（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
4、数形结合
例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
例11、当x ∈(1,2)时，不等式2
(1)x - 二、不等式能成立问题的处理方法 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 例12、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______ 例13、若关于x 的不等式32 -≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 例14、已知函数()2 1ln 22 f x x ax x =- -（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围 三、不等式恰好成立问题的处理方法 例15、不等式2 ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 则a b ⋅=___________ 例16、已知(),22x a x x x f ++= 当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值. 例17、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2 +4x ，其中k 为实数。 （1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。 不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习 （请做在另外作业纸上） 1、若不等式2 (1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22 6 22 kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围 3、设函数3 2 9()62 f x x x x a =-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。 4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式2 12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。 5、已知不等式[]2 2023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。 6、对任意的[]2,2a ∈-，函数2 ()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围 7、 若不等式2 log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 内恒成立，则实数m 的取值范围 。 8、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。