高等数学等价无穷小替换
高等数学中的等价替换公式
高等数学中的等价替换公式
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna(（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
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高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学中，求极限时等价无穷小替换是一个十分重要的技巧。它可以帮助我们方便快捷地解决极值问题，为本科学生的学习和考试提供便利。在本文中，我们将讨论求极限时等价无穷小替换的技，并且运用它来解决相关问题。
首先，让我们来介绍一下什么是求极限。求极限是数学用来描述某个变量朝特定方向发散时的行为特征的技巧。当我们求极限时，我们就是想要描述某个变量在靠近特定点时变化的规律。例如，当我们求给定函数f(x)在x=a处的极限时，我们就想要描述x靠近a时f(x)的变化趋势。
然而，有时我们会遇到一些极限中的极限无法用定义的形式求出。在这种情况下，我们就要使用求极限时等价无穷小替换的技巧。
在这里，我们先要介绍一下什么是无穷小。无穷小是整个实数范围中正数的一种特殊集合，该集合中的任何一个正数都可以无限接近0，但永远不能等于0。
接下来，我们再来讨论一下求极限时等价无穷小替换的技巧。这一技巧要求用无穷小替换极限表达式中的变量，然后运用定义求极限的方法来求出原极限的值。不仅如此，我们还可以借助这一技巧来简化一些复杂的极限表达式。
…
- 1 -
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是很常见的概念。等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数和它的无穷小表达式之间的关系。在本文中，我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。
一、等价无穷小的定义
在函数f(x)中，当x趋于a时，如果存在一个函数g(x)，满足当x 趋于a时，f(x)与g(x)的差趋于0，那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。使用符号记作f(x)≈g(x)。
二、常用的等价无穷小公式
1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：
- sin(x)≈x
- tan(x)≈x
- arcsin(x)≈x
- arctan(x)≈x
- ln(1+x)≈x
- e^x-1≈x
2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：
- e^x-1≈x
- ln(1+x)≈x
- sin(x)≈x
- tan(x)≈x
- arcsin(x)≈x
- arctan(x)≈x
三、等价无穷小的应用
等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用，特别是在极限计算中。通过将函数替换为与其等价的无穷小形式，可以简化复杂的计算
过程。
举个例子来说明，我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。由于sin(x)在x
趋于0时与x是等价无穷小，因此可以将sin(x)替换为x。这样，我们
的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x)，结果为1。
四、高等数学等价无穷小的注意事项
在使用等价无穷小公式时，需要注意以下几个问题：
1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。
2. 当使用等价无穷小公式进行计算时，需要满足等价无穷小的定义，即两个函数的差趋于0。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了n fg数列x n的极限、x fs（x T+s、x T +g ）函数f （x）的极限、x T x（x T x +、x T n x -）函数f（x）的极限这七种趋近方式。下面0 0 0我们用
t
x T大表示上述七种的某一种趋近方式，即
* e n T g x T g x T +s x T —g x T x x T x + x T x -）
0 0 0
定义：当在给定的x T大下，f （x）以零为极限，则称f （x）是x T *下的无
穷小，即lim f Q)= 0。
x f 大
例如，「limsin x = 0,「.函数sin x是当x f 0时的无穷小.
x f 0
「lim1=0,「.函数1是当x f 8时的无穷小. x f8 x x
「lim( " = 0,「.数列｛( "｝是当n f 8时的无穷小. n f8 n n
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1. 定义
前面我们研究了n 数列X n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x0（ x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。下面我们用
x 文表示上述七种的某一种趋近方式，即
n x x x x x o x x o x x o
定义：当在给定的x 文下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x 大下的无
穷小，艮P lim f x 0。x *
例如，lim sinx 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小.
x 0
1 1 一，_____ ___ ___
[im - 0, 函数一是当x 时的无为小.
lim（ 1）0, 数列｛（ °｝是当n 时的无穷小. n n n
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
宏左，即lim f x 。显然，n 时，n、n2、n3、都是无穷大量，
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。 【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊{
}
-
+
→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00
x x x x x x x x x n
定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊
。
例如, ,0sin lim 0
=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x
,01lim
=∞→x x .1
时的无穷小是当函数∞→∴x x
,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n
n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何
高等数学等价替换公式
高等数学等价替换公式-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学等价替换公式
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
2
高等数学中的等价替换公式
当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1 （a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) （e^x）-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna （1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换, 在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别 代换）
高等数学等价替换公式
高等数学等价替换公式当X T 0时,
sinx~x
tanx~x
arcsin x~x
arcta nx~x
1-cosx~(1/2)* (x A2) ~secx-1
(aAx) -1~x*lna ( (aAx-1)/x~lna)
(eAx) -1~x
In (1+x)~x
(1+Bx)Aa-1~aBx
[(1+x)A1/n]-1~ (1/n ) *x loga(1+x)~x/l na
(1+x)Aa-1~ax(a 丰 0)
值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换
在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换
，不能单独代换或分别代换）
高等数学等价无穷小替换
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)
3、无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数与仍就是无穷小、
【注意】无穷多个无穷小的代数与未必就是无穷小、
定理3有界函数与无穷小的乘积就是无穷小、
如: , ,
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积就是无穷小、
推论2常数与无穷小的乘积就是无穷小、
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换;
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点就是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
6、 利用两个重要极限求极限(例题参见§1、4例3—例5)
7、 分段函数、复合函数求极限
例如,
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1:
解:
无界,
不就是无穷大.
结论:无穷大就是一种特殊的无界变量,但就是无界变量未必就是无穷大、
思考题2:若 ,且 ,问:能否保证有 的结论？试举例说明、
解:不能保证、例
思考题3:任何两个无穷小量都可以比较不？
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题
极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限
∫ x*dx
当x=1时，积分项为1/2
如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
高数等价无穷小替换公式
高数等价无穷小替换公式
高数中，等价无穷小替换公式是指在极限计算中将一个无穷小量替换为与它等价的另一个无穷小量的公式。
常见的等价无穷小替换公式有以下几种：
1. 当 x 趋于0时，可以将 sin(x) 替换为 x。
lim(x→0) sin(x) / x = 1
2. 当 x 趋于0时，可以将 tan(x) 替换为 x。
lim(x→0) tan(x) / x = 1
3. 当 x 趋于0时，可以将 arcsin(x) 替换为 x。
lim(x→0) arcsin(x) / x = 1
4. 当 x 趋于0时，可以将 arctan(x) 替换为 x。
lim(x→0) arctan(x) / x = 1
5. 当 x 趋于无穷大时，可以将 e^x - 1 替换为 x。
lim(x→∞) (e^x - 1) / x = 1
这些等价无穷小替换公式在极限计算中经常使用，可以简化计算过程，但需要注意使用的条件和适用范围。
高等数学中的等价替换公式
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高等数学中的等价替换公式
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
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高等数学中的等价替换公式
精品----
高等数学中的等价替换公式
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
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关于大学高等数学等价无穷小
关于大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：
f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！
问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
高等数学《无穷小的比较》
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1 lim 1 cos x 2 x0 x(1 cos x )
1 2
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4、lim 1 x sin x 1 =________. x0 x 2 arctan x
5、lim n
2
n
sin
x 2n
=________.
1
6、lim (1 ax)n 1=_________.
x0
x
7、当 x 0 时， a x 3 a(a 0)
对于 x 是_______阶无穷小 .
8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则
m _______, n _______ .
二、求下列各极限：
1、lim tan x sin x ； x0 sin3 x
2、lim e e ；
3、lim sinx sin x ；
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无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。 【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）
函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-
→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面
我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊{
}
-
+
→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00
x x x x x x x x x n
定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊
。
例如, ,0sin lim 0
=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x
,01lim
=∞→x x .1
时的无穷小是当函数∞→∴x x
,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n
n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何
非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无
穷大，即()∞=→x f x ＊
lim 。显然，∞→n 时， 、
、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
0lim =-∞
→x x e ， +∞=+∞
→x x e lim ，
所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则
()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()
x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 0
lim ()
()(),x x x
f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过
程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.
证：（必要性）设0
lim ()
,x
x f x A 令()(),x f x A α则有0
lim ()
0,x
x x α
).()(x A x f α+=∴
（充分性）设()
(),f x A x α其中()x α是当0x
x 时的无穷小，则
lim ()
lim(())x x x
x f x A x α )(lim 0
x A x x α→+= .A =
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为
3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
是无穷小，
时例如n n 1
,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n
n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞
→n n
n ，01sin lim 0=→x
x x ，0sin 1
lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，221
0,,,sin ,sin x
x x x x x
当时都是无穷小，观察各极限：
x
x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x x
x sin lim
0→,1=;sin 大致相同与x x
2
20
1
sin
lim
x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α
(1)lim
0,,();o ββαβαα
如果就说是比高阶的无穷小记作
;),0(lim
)2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ
≠=C C lim
1,~;ββααβα
特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作
(3)lim
(0,0),.k
C C k
k ββαα如果就说是的阶的无穷小
例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →
证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03
的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan lim
x x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,2
1=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴
2．常用等价无穷小:,0时当→x
（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x