逻辑代数初步
逻辑代数基础
第一章逻辑代数基
础
教学要求：
理解数制与编码，掌握数制间的转换；
熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式；
理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数；
掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。
教学重点：
数制与编码。
逻辑函数及其表示。
逻辑函数的化简。
1.1 概述
布尔：英国数学家， 1941 年提出变量“ 0” 和“ 1” 代表不同状态。
本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的代数化简法
和卡诺图化简法。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。
1.2逻辑函数及其表示法
1 .
2 . 1 基本逻辑运算
1 、与运算———所有条例都具备事件才发生
开关：“ 1” 闭合，“ 0” 断开；灯：“ 1” 亮，“ 0” 灭真值表：把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。
逻辑表达式： L=K1*K2 ( 逻辑乘 )
逻辑符号：原有符号：
讨论与逻辑运算的逻辑口诀
逻辑功能口决：有“ 0” 出“ 0” ，全“ 1” 出“ 1” 。
2 、或运算———至少有一个条件具备，事件就会发生。
逻辑表达式： L=K1+K2 （逻辑加）
逻辑符号：
讨论或逻辑运算的逻辑口诀
逻辑功能口决：有“ 1” 出“ 1” 全“ 0” 出“ 0”
3 、非运算：—结果与条件相反
逻辑表达
式：
逻辑符号：讨论非逻辑运算的逻辑口诀
1.2.2 几种导出的逻辑运算
一、与非运算、或非运算、与或非运算
二、异或运算和同或运算
逻辑表达式：相同为“ 1”，不同为“ 0”
1. 3 逻辑代数的基本定律和规则
逻辑代数初步
二进制及其转换
目标导航：
1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间的换算．2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运算．
学习重点：
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．
学习难点：
二进制数与十进制数的相互换算
过程探究：
人们最常用、最熟悉的进位制是十进制. 十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十个数码符号（或叫数码）放到相应的位置来表示数，如3135．
数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号（或叫数码），因此，十进制的基数为10．
每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表11-1所示．
表11-1
十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如
3210
=⨯+⨯+⨯+⨯．
3135310110310510
学时诊断：
将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示
在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．
二进制的基数为2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1．进位规则为“逢2进1”．各数位的位权数如表11-2所示．
表
11-2
例如，二进制数1100100
的意义是
654321012120202120202⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．
逻辑代数基础知识讲解
❖ 在逻辑函数中，如果一个与项包括该逻辑函数的 全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只 出现一次，则该与项称为最小项。
如Ｆ是Ａ、Ｂ、Ｃ的函数，则这三个变量有8种组合： 000、001、010、011、100、101、110、111，相应
的乘积项为： ABC 、ABC 、ABC 、ABC 、ABC、 ABC、 ABC、ABC，此每一项都称为最小项。
或逻辑举例：
若用逻辑表达式
来描述，则可写为： L＝A+B
2007、3、7
＋
A F
B (a)
A B
F
(b)
A ≥1 F
B
(c)
图 2-4 或门的逻辑符号
V1 A
B
F
V2
R
3.9k
图 2-5 二极管或门
2007、3、7
3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而 且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生； 条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例： 若用逻辑表达式来描述， 则可写为：
例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中 的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C AB C ABC
2007、3、7
2. 反演规则
对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的 算符“·”换成“+”， “+”换成“·”，常量“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则 所得到的结果F 就F是 。 称为原函数F的反函数，或称为补函 数。
逻辑代数入门基础
第2章逻辑代数基础
2.1 概述
一、算术运算和逻辑运算
在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。
当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。
二、几个基本概念
1、逻辑状态表示法
一种状态高电位有真是美生 1 0
另一种状态低电位无假非丑死 0 1
2、两种逻辑体制
1 高电位低电位
0 低电位高电位
正逻辑负逻辑
3、高低电平的规定
正逻辑负逻辑
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)
与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C
，…）均
满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Ｙ＝ＡＢＣ
2、或逻辑（或运算）
或逻辑的定义：当决定事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…
开关A ，B 并联控制灯泡Y
A 、
B 都断开，灯不亮。 A 断开、B 接通，灯亮。
A 接通、
B 断开，灯亮。 A 、B 都接通，灯亮。
两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝Ａ+Ｂ
真 值 表
实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：
3、非逻辑（非运算）
非逻辑指的是逻辑的否定。
当决定事件（Y ）
发生的条件（A ）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：
Y =A +B
Ｙ＝Ａ
开关A
功 能 表
4、复合逻辑运算
（1）与非运算：逻辑表达式为：
第1章 逻辑代数基础
30
第1章 逻辑代数基础---逻辑函数的描述方法
④波形图
波形图又称时序图，是用变量随时间变化的波形来反映输入、输出间对
应关系的一种图形表示方法。
0
1 1
1 1
0 0 0
0
1 1
1 0 1 0
0
0 0
31
第1章 逻辑代数基础---逻辑函数的描述方法
⑤卡诺图
是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
5、三个重要运算规则
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
功能表：
真值表：
9
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
逻辑符号:实现非逻辑的电路称为非门。
10
第1章 逻辑代数基础---复合逻辑
2、复合逻辑
①与非运算
逻辑表达式为： Y AB 真值表：
逻辑符号：
11
第1章 逻辑代数基础---复合逻辑
②或非运算： 逻辑表达式为： Y 真值表：
A B
逻辑符号：
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
逻辑代数初步
备注
§11.3 逻辑变量与基本运算
教学目标：
1.通过具体的问题情景，了解逻辑常量、逻辑变量及其取值的问题。
2.通过具体的电路图，理解三种基本的逻辑运算及相应的运算法则。
3.了解逻辑运算的运算顺序，能求出一些由逻辑常量组成的式子的运算结果。 培养学生用逻辑运算表示简单电路的能力。
教学重点：结合具体的电路图，理解相应的逻辑运算及其运算规则。 教学难点：结合具体的电路图，理解相应的逻辑运算 新课讲授： 一．导入：
在日常生产生活中，很多事物的变化只表现为两种状态，如开关的“断开” 与合上，灯的“熄”与“亮”。我们可以用0和1两个符号分别表示这些不 同的状态。习惯上，我们通常用0表示“错”“假”“关”“断开”“熄” 等，用1表示对“真”“开”“合上”“亮”等，借助0和1，就可以建立 两个开关并联和串联电路的数学模型。 探究
观察如图11-1所示的并联电路 （1）完成开关A,B 与灯L 的状态表
(2)如果规定“合上”用1
表示，“断开”用0表示；灯“亮”用1表 示，灯“熄”用0表示，那么请你将上表改写成下表
A
B
L
可以看到，灯L是否亮，取决于开关A,B的状态，它们之间具有因果逻辑备注关系，逻辑代数研究的就是这种逻辑关系。
逻辑变量：开关A,B，灯L的状态会发生变化，且只有两种变化的状态，
这样的量叫做逻辑变量。常用大写的字母A,B,…,L,…表示。
逻辑常量:0和1叫做逻辑常量。
（逻辑变量只有两种状态，只能取值0和1.这里的0和1只是一种符号，
表示两种对立的状态，它们之间没有数的大小关系。）
逻辑运算：或运算、与运算和非运算这三种运算统称为逻辑运算。
逻辑代数基础(课件)
16
4. 十六、八进制转换成二进制
• 方法：将十六、八进制数的每一位用等 值的4、3位二进制数代替即可。
例1.2.5 将下列十进制数转换成非十进制 数：
(89.875)10 =( 101100)21.111
=(
)8131.7
=(
)1659.E
17
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
• 互为反演的两式中，逻辑变量所规定的含义相同， 反演关系是对同一种逻辑关系的两种不同形式的 描述； • 互为对偶的两式中，逻辑变量所规定的含义相反。 对同一客观实际，当对所有的逻辑变量内容的含 义都作相反的表示时，得到两个不同的逻辑关系 式，且这两个关系式互为对偶。
逻辑代数基础
1.2 基本逻辑运算
1．“或”运算
对于某一逻辑问题，当决定一件事情发生的多个条件中， 只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生，我们把 这种因果关系称为“或”逻辑。
“或”运算的逻辑真值表如表1-6所示。
表1-6 “或”运算真值表
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F AB
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F A B
2．“或非”运算
“或非”运算是由或运算和非运算组合而成的，其真值表 如表1-10所示：
表1-10 “或非”运算真值表
A
B
F
0
0源自文库
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F A B
3．“异或”运算
“异或”是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时， 逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异 或的逻辑真值表如表1-11所示。
表1-7 “与”运算真值表
A
逻辑代数初步PPT课件
第7页/共24页
1、数制的概念
数制是用一组固定的数码（数字和符号）和 一套统一的规制（逢N进一）来表示数目的方法。
数位：数码所在的位置。 基数：每个数位上可以使用的数码的个数
叫做这种计数制的基数。 位权数：每个数位所代表的数叫做位权数。
第9页/共24页
第10页/共24页
进位规则：逢二进一
整体部分
位置
...
第三位
第二位
第一位
位权数 ...
22
21
20
第11页/共24页
备注：
1.二进制在后面的运用都仅和整数有关，因此教材 仅介绍二进制整数与十进制整数之间的转换。 2. 为了区别不同进位制的数，通常用下标指明基数。 例：
（101）10表示十进制的数； （101）2表示二进制的数。
第8页/共24页
2、十进制
特点：逢十进一
数位： 数码： 基数:
个位、十位、百位、千位、万位、亿位、十分位、百分位、千分位等
0、1、2、3、4、5、6、7、8、 910
十进制位权数：
位置 ...
位权数 ...
整数部分
小数部位
第三位 第二位 第一位 第一位 第二位 ...
102
101
100
10-1 10-2 ...
逻辑代数初步
11.1二进制及其转换
目标导航：
1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间的换算．
2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运算．
学习重点：
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．
学习难点：
二进制数与十进制数的相互换算
过程探究：
人们最常用、最熟悉的进位制是十进制.十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十个数码符号（或叫数码）放到相应的位置来表示数，如3135．数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号（或叫数码），因此，十进制的基数为10．
每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表11-1所示．
表11-1
十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如
3210
=⨯+⨯+⨯+⨯．
3135310110310510
学时诊断：
将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示
在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码0和1表示相互
对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．
二进制的基数为2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1．进位规则为“逢2进1”．各数位的位权数如表11-2所示．
例如，二进制数1100100的意义
是
6543210
12120202120202
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
．
将这些数字计算出来，就把二进
逻辑代数基础
式转化。
20
3.其它形式
• F=(AB+D)(AB+CD) • 显然，上式既不是“与或”表达式，也不是“或与”
表达式，但通过一定的运算，可以转换成“与或”表 达式或“或与”表达式。
F＝(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D) = (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D) = (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)
19
2. “和之积”
• 指一个函数表达式中包含着若干个“和”项， 每个“和”项中可有一个或多个以原变量或反 变量形式出现的字母，所有这些“和”项的 “积”就表示了一个函数。例如：(A+B)、 (B+C)、(A+B+D)均为“和”项，而它们的 “和”之“积”就构成了一个函数： F=(A+B)(B+C)(A+B+D)
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公里、定理及规则 2.3 逻辑代数的表达形式与转换 2.4 逻辑函数的化简
1
2.1 逻辑变量及基本逻辑运算
一、逻辑变量 取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代 表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立 的两种逻辑状态，如晶体管的导通与截止 。
逻辑代数基础
1.反码，补码：
a.正数的原码，反码和补码均相同；
b.负数的原码最高位为符号位且为1，其余位为绝对值所表示的正数原码；在
求负数的反码时，只把除符号位的其余位按位取反；在求负数的补码时，在负数反码的最低位加1，就可得到负数的补码，一定要注意负数有符号位，这是在转化和运算最容易出错的地方。
2. 补码运算：
A. 若操作数为十进制的数，首先要将十进制的数转换为二进制数，且转换格式有相应的要求，数据的有效位要根据结果的大小范围进行确定，以操作数（补码形式）和估计结果的最大范围确定有效位，比如运算13+10；-13-10 ，其中13=01101B，10=01010B，结果23=010111B，-13=10011B，-10=10110B，-23=101001B，由于13+10和-13-10的和绝对值为23，所以必须用有效数字为5位的二进制数才能表示，再加上一位符号位，就得到6位的二进制补码。需要强调指出，在两个相同符号数相加时，它们的绝对值之和不可超过有效位所能表示的最大值，否则会得出错误的计算结果。
B. 将操作数转换成符合要求的二进制数后按二进制的加法运算规则进行加法操作。
C. 对B步的结果进行处理转换成最终的结果，具体步骤如下:
1. 观察经加法运算的结果是否存在进位，如有进位，则将进位舍去，比如-13(1 10011)-10(1 10110)=-23(1(舍)1 01001)；；
2. 观察舍去进位的数的最高位，判断数据的符号，若最高位为0，表示正数，此时结果即为最后的真正结果，若为1，此时的数是真正结果的补码，需要进行反转换，先将结果减1，再将除最高位的其余位按位取反，此时的数即为所求。
逻辑代数基础
例如：A B A B 则 A B C D A B C D 由此反演律能推广到n个变量：
A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n
2、反演定理 对于任意一个逻辑式Y，若将其中的“ ” 换成“+”， “+”换成“ ”，原变量换 成反变量，反变量换成原变量，“1”换成 “0”， “0”换成“1”，则得到的结果 Y 就是
Y AC AB
AC( B B) AB(C C)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC m5 m6 m7
例1：画出 Y AC AB 的卡诺图
Y ABC ABC ABC m5 m6 m7
输入变量 BC 00 A 0 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 0
逻辑代数表示的是逻辑关系，而不是数量关系， 这是它与普通代数的本质区别。
返回
一、基本定律和公式 1、基本定律：
从三种基本的逻辑关系出发，我们 可以得到以下逻辑运算结果： 0• 0=0 • 1=1 • 0=0 1 • 1=1 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1 0
01
A+0=A
A· 0 =0 · A=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B相C 同，BC这两BC个逻B辑C 图叫 A BC 0做0 等效01逻辑1图1 ．显10 然， A 0 化0 简后1 的逻1辑图比0 原来 A 1 的0 要简0 洁．1 1
F AB AC
探究
上面两个有何不同？
实训
例2 在举重比赛中，有A，B，C三位裁判，当两位或
导学
例1 某跃层住宅一层和二层之间的楼梯口装有一盏电灯D．设 计电路用开关A、B控制电灯，即改变任意一个开关的状态，都能 改变电灯的状态．写出这个电路的逻辑表达式．
分析 列出开关A、B及电灯D的真值表进行分析． 解 列出真值表
A
B
D
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
由真值表中清楚地看到，电灯只在两种情况下，才被点亮；
（1）开关A闭合（A=1）开关B切断（B=0）时；
（2）开关A切断（A=0）开关B闭合（B=1）时．
也就是说，仅在两种情况下D=1成立： （1） AB 1成立；（2） AB 1 成立．
由此得到逻辑式 D AB AB.
可以用两个“一刀双掷开关”来实现这个线路，电路图如下页图．
导学
“一刀双掷开关”A的两种状态为A和A，如上图所示． 解决这类问题的主要步骤是：
2、实践作业： 实践指导4.5
E=AB+BC+CA．
画出逻辑图
＆
＆
≥1 E
＆
实训
例4 某机床电动机由电源开关S1、过载保护开关S2和安全 开关S3控制．三个开关同时闭合时，电动机转动；任何一个开 关断开时，电动机停转．写出该控制电路的逻辑关系式，画出 它的逻辑图．
解 设A，B，C为输入变量，分别代表S1，S2，S3三个开关． 由逻辑运算的定义知
两位以上裁判认为运动员动作合格，才可以发出举重成功 的信号．
（1）列出逻辑状态表并写出逻辑关系式；
（2）化简逻辑关系式，并画出逻辑图．
解 （1）每位裁判控制一个开关，如果他赞成，就按 开关，表示为1；如果不赞成，不按开关，表示为0．表决
结果用指示灯E来表示，如果多数赞成，则指示灯亮，E=1； 反之则灯不亮，E=0．按题目要求列出真值表．
导入
利用逻辑代数解决实际生产中应用问题 的方法和步骤．
预读
1、实例：在举重比赛中，通常设三名裁判：一名 为主裁判，另两名为副裁判．竞赛规则规定运动员 每次试举必须获得主裁判及至少一名副裁判的认可， 方算成功．裁判员的态度只有同意和不同意两种， 运动员的试举也只有成功和失败两种情况．试用逻 辑代数加以描述．
A
B
C
E
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1Hale Waihona Puke Baidu
1
1
1
1
实训
观察真值表，只在四种情况下指示灯亮，因此，逻辑
关系式为
E ABC ABC ABC ABC．
（2）画出对应的卡诺图
B C B C BC BC
ABC 00 01 11 10
A
A0 0 0 1 0
B
A10111
观察卡诺图，函数的最简表达式为 C
解 设A、B、C三个逻辑变量表示主、副裁判：取值1
表示成功，取值0表示失败．
举重运动员的成绩用F表示，则 F ABC ABC ABC
2、什么是等效逻辑图？
思议
请你总结出解决这类问题的解题步骤：
（1）分析问题，转化为数学模型； （2）画出真值表，写出逻辑表达式； （3）运用卡诺图，进行化简； （4）设计逻辑图．
P=ABC．
逻辑图如图所示．
练习与评价
用三个信号A，B，C（有信号为1，无信号为0）控制 一个灯（灯亮为1，不亮为0），至少要有两个信号，灯D 才能亮．试设计该开关电路图，并画出逻辑图．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题4.5（必做题） 习题集4.5（选做题） 学习与训练4.5（选做题）
（1）搞清楚全部已知条件（设计要求）； （2）列出相应的表格（真值表）； （3）导出符合要求的逻辑关系式，并进行化简； （4）设计开关电路图或逻辑图．
导学
例3 写出所给逻辑图的逻辑表达式，并将其化简，针对 化简后的逻辑表达式，再画出逻辑图．
解 观察图，得到逻辑表达式为
F AB AC BC