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三维形体的表示
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1 表示形体的两种模型 2 实体的定义 3 正则集合运算 4 特征表示 5 空间分割表示 6 推移表示 7 边界表示 8 构造实体几何表示 9 不规则形体的建模方法 10 L系统系统
1 表示形体的两种模型
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模型分类
数据模型
5 空间分割表示
目录
在空间分割表示中，实体被分割表示为
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互不相交的“粘合“在一起的更基本的体素 (voxel)。基本体素的大小、位置、类型可以多种多样。
空间位置枚举表示
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选择一个立方体空间，将他均匀划分
用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应当C[I][j][k] = 1时，表示对应的小立方体被物体占据当C[I][j][k] = 0时，表示对应的小立方体没有被物体占据
8 构造实体几何表示
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将物体表示成一棵二叉树，称为将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树树其基本思想：其基本思想：将一些简单的基本体素通过正
则集合运算来构造、表示新的实体。
叶节点----基本体素，如立方体、圆柱体等中间节点----正则集合运算
构造实体几何表示——优缺点优缺点构造实体几何表示
目录
v-e+f-r=2(s-h)
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r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
非简单多面体满足广义欧拉公式。拉公式。
边界表示——优缺点优缺点边界表示
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优点精确表示物体表示能力强几何变换容易适于显示处理缺点表示复杂有效性难以保证集合运算复杂
实体的定义（）实体的定义（4）
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实体的定义—可实体的定义可计算的条件
正则点集表面是二维流形
二维流形
其上任意一点存在充分小的领域与圆盘同构（存在连续的一一映射）
3 正则集合运算
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为什么需要正则集合运算
集合运算式是构造复杂物体的有效方法普通的集合运算会产生无效物体
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八叉树——优缺点优缺点八叉树
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优点
可以表示任何物体容易实现物体建的集合运算容易计算物体的整体性质，如体积等较空间位置枚举表示占用的存贮空间少
缺点
没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难是物体的非精确表示
单元分解表示
具有一定的形状具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集占据有限的空间经过运算后，仍然是有效的物体
实体的定义（）实体的定义（2）
将三维物体看作一个点集由内点与边界点共同组成点集, 点集内点：点集中的这样一些点, 它们具有完全包含于内点：是指点集点集完全包含于该点集点集的充分小的领域点集上一页边界点：点集中的点。边界点：指那些不具备此性质的点集点集
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点集的正则运算r：点集的正则运算：
r A = ci A
i：取内点运算 c：取闭包运算
(a) 带有悬挂边、孤立边、孤立点的二维物体
(b) 物体的内部
(c) 物体内部的闭包
实体的定义（）实体的定义（3）
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正则点集 r A 称为A的正则点集的正则点集称A为正则点集正则点集，如果它满足 r A = A 正则点集问题：正则点集是有效实体吗？
L系统例子系统例子1 系统例子
目录规则：规则：
F ->
上一页
F[+F]F[+F][-F][--F][---F]
下一页 n=5 退出 θ=30
L系统例子系统例子2 系统例子
目录规则：规则：
F -> 上一页 FF[++F-F-F][-F+F+F]
下一页退出
n=5 θ=30
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优点
表示简单容易实现几何变换基本体素可以按需选择，表示范围较广可以精确表示物体
缺点
物体的表示不唯一物体的有效性难以保证
6 推移表示
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将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体平移sweep----将一个二维区域沿着一个矢量方向推移
正则集合运算的定义
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A
op
*
B = r (A
∪* ∩
*
op
∪ ∩
B)
B) B) B)
正则并 A 正则交 A 正则差 A
B = r (A B = r (A B = r (A
*
4 特征表示
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用一组特征参数表示一组类似的物体特征包括形状特征、特征包括形状特征、材料特征等适用于工业上标准件的表示
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对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：单一体素 → 多种体素
三种空间分割方法的比较空间位置枚举表示：同样大小立方体粘合在一起表示物体八叉树表示：不同大小的立方体粘合在一起表示物体单元分解表示：多种体素粘合在一起表示物体
单元分解——优缺点优缺点单元分解
平面多面体表面由平面多边形组成的多面体。其表面上的每条边被偶数个多边形共享。简单多面体与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
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其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的必要条件
广义欧拉公式
缺点
作几何变换困难对几何运算不封闭封闭
两者之间并不是sweep体
7 边界表示
物体的边界与物体一一对应，物体的边界与物体一一对应，确定了物体的边界也就确定了物体本身用于表示物体边界的有----平面多边形平面多边形、用于表示物体边界的有平面多边形、曲面片上一页
下一页退出目录
一、多面体
空间位置枚举——优缺点优缺点空间位置枚举
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优点可以表示任何物体容易实现物体间的集合运算容易计算物体的整体性质，如体积等缺点占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits 没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换是物体的非精确表示
旋转sweep 旋转
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Fra Baidu bibliotek
旋转sweep----将一个二维区域绕旋转轴旋转一周将一个二维区域绕旋转轴旋转一周旋转
推移表示——优缺点优缺点推移表示
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广义sweep 广义
任意物体沿着任意轨迹推移推移过程中物体可以变形
优点
表示简单、直观适合做图形输入手段
八叉树表示
八叉树表示法对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：均匀分割 → 自适应分割上一页
下一页八叉树建立过程：八叉树建立过程：退出目录
八叉树的根节点对应整个物体空间如果它完全被物体占据，将该节点标记为F(Full)，算法结束；如果它内部没有物体，将该节点标记为E(Empty)，算法结束；如果它被物体部分占据，将该节点标记为P(Partial)，并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
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完全以数据描述
例如:用以8个顶点表示的立方体、以中心点和半径表示的球
以数据文件的形式存在
包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、边界表示、构造实体几何表示等
进一步分为
线框模型、表面模型、实体模型
线框模型
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将形体表示成一组轮廓线的集合简单、处理速度快与形体之间不存在一一对应关系，是真实物体的高度抽象，不适合真实感显示
以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
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抽象带来的问题(数学中的点线面是一种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的不能够客观存在
为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
什么是客观存在(有效实体的定义什么是客观存在有效)—实体的定义有效
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表面模型
将形体表示成一组表面的集合形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信息
过程模型
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以一个过程和相应的控制参数描述
例如：用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
例子----Koch 雪花曲线例子
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V：{F,+,-} ： w：F ： P：F—>F-F++F-F ：
几何解释：几何解释： F：向前画一条线： +：右转α ：右转α -：左转β ：左转β
Bracketed L系统系统
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增加如下两个字符 [：压栈： ]：出栈：例子----植物例子植物 w：F ： P：F->F[+F]F[-F]F ：
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由生物学家Lindenmayer创立创立由生物学家基本思想：基本思想：
用文法表示植物的拓扑结构通过图形学方法生成逼真的画面
DOL系统（确定的上下文无关的L系统）系统
定义为三元组<V,w,P>，其中字母集合 V----表示字母字母 V*----表示V上所有单词单词的集合单词 w----是一个非空单词，称为公理 P----产生式集合 a ∈V, x ∈V* ，使得 a → x 如果没有明显的产生式，则令 a →a
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优点
表示简单、直观也是物体的构造方法，可用作图形输入手段容易计算物体的整体性质物体的有效性自动得到保证
缺点
表示不唯一不能直接用于显示求交计算麻烦
9 不规则形体的建模方法
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迭代函数系统基于文法的模型粒子系统动力系统
10 L系统系统