北师大版高中数学必修4点到直线的距离公式
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
高中数学北师大版必修2 课件：平面直角坐标系中的距离公式
方法归纳 1．计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离 公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
跟踪训练 1 (1)已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝ 2 5，则实数m＝________； (2)设A(3,4)，在x轴上有一点P，使得|PA|＝5，则P点坐标为 ________．
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l：Ax＋By＋C1＝0到l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－ C2|.( × ) (2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形．( × ) |C| (3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是 2 2.( √ ) A ＋B (4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公 式．( √ )
【课标要求】 1.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两平行线间的距离. 2.会根据图形建立适当的平面直角坐标系， 并用解析法 解析几何问题．
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．两点间的距离公式 类别 图示 数轴上两点 间的距离公 式 平面内两点 间的距离公 式
公式 |AB|＝|xB－xA|
3 1 【解析】 (1)①直线y＝ 4 x＋ 4 化为一般式为3x－4y＋1＝0， |3×3－4×－2＋1| 18 由点到直线的距离公式可得d＝ ＝5. 2 2 3 ＋－4 ②因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6| ＝8. ③因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. (2)因为所求直线方程过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线 方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又原点到直线的距离等 |k＋2| 2 2 于 2 ，所以 2 ＝ 2 ，解得k＝－7或k＝－1. k ＋1 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
新教材高中数学第一章平面直角坐标系中的距离公式课件北师大版选择性必修第一册ppt
2
2
解析 设对称点 Q 的坐标为(a,b),由题意,得
解得
-4
= 5,
× (-1) = -1,
+3
即 Q(-2,5).
答案 B
3.直线关于直线的对称
典例3在平面直角坐标系中,直线y=2x+1关于y=x-2对称的直线l的方程为
(
)
A.x-4y-11=0 B.4x-y+11=0
C.x-2y+7=0
2
5 +(-12)
|-6|
= 13 ,
2
|-6|
由题意得
=2,则 c=32 或 c=-20.
13
∴所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
探究四
距离公式的综合应用
例4在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.
解 如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b),则kBB'·kl=-1,
综上所述,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
探究三
两条平行线间的距离
例3已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-21=0,l1与l2是否平行?若平行,求l1与l2间
的距离.
2
6
2
解 l1 的斜率为 k1=7,l2 的斜率 k2=21 = 7.
因为 k1=k2,且 l1 与 l2 不重合,所以 l1∥l2.
l2 的方程可化为 2x-7y-7=0,
1
53
所以 l1 与 l2 间的距离为 d=
=
北师大版高中数学必修二课件1.5第2课时点到直线的距离公式.pptx
4．用两点间的距离公式，求出点Ｄ到ＡＢ的距离
DE ( 13 2)2 (88 4)2 19 .
41
41
41
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段
PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求 点P到直线l的距离?
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
5.已知点P（2，-1）,求下列问题： （1）过点P且与原点距离为2的直线的方程. （2）过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大 距离是多少？ （3）是否存在过点P且与原点距离为6的直线的方程？ 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）若斜率不存在，其方程为x 2;
若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x 2),即kx y 1 2k 0.
一般地，已知两条平行直线
l1 : Ax By C1 0 l2 : Ax By C2 0 (C1 C2 ). 设 P(x0 , y0 ) 是直线 l2 上任意一点， 则 Ax0 By0 C2 0 即 Ax0 By0 C2. 于是点P(x0 , y0 ) 到直线 l1 : Ax By C1 0 的距离
公式:
y
思路1：
直线的l 方程
Q
P
l
O
x
点的P 坐标
直线的l 斜率
l PQ
直线的PQ斜率
直线的l 方程
直线的P方Q程
交点
点的P坐标
点的Q 坐标
两点间距离公式
点之P间,Q的距离（到的距P离Q） P l
若直线不平行于坐标轴(即A≠0且B≠0),由 Ax By C 0
北师大版高中数学课本目录大全(必修)
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高中数学北师大版必修四2.7.1 教学课件 《点到直线的距离公式》
例1 如图2－1－12，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线 方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1 ＝0，求边AC的长。
图2－1－12
北京师范大学出版社 ︱必修四
【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A。利用D是线段BC的中点，将 点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C。 然后利用两点间距离公式求AC。
∴x＝17，y＝－18，故 x＋y＝－1。
【答案】 －1
北京师范大学出版社 ︱必修四
探究新知：
点到直线的距离
阅读教材P101～P102，完成下列问题。 1．点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C| 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝_______A_2_＋__B_2______。
北京师范大学出版社 ︱必修四
巩固练习：
1．在x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等。
【解】 由直线 x－y＋4＝0 可得 y＝x＋4，因为点 P 在此直线上， 所以可设点 P 的坐标为(a，a＋4)，已知 PM＝PN，由两 点间距离公式可得： [a－－2]2＋[a＋4－－4]2＝ a－42＋a＋4－62， 解得 a＝－32，从而 a＋4＝52， 所以点 P 的坐标为－32，52。
【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1，y1)，C(x2，y2)
2 ∵ AB⊥CE，kCE＝－3
13 ∴ kAB＝－kEC＝2 。∴直线 Biblioteka B 的方程为 3x－2y－1＝0。
3x1－2y1－1＝0，
由
得 A(1,1)。
2x1－3y1＋1＝0，
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.7.1点到直线的距离公式课件
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 ( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
解析:(方法一)设直线方程为 y-2=k (x-1), 由点到直线的距离公式 有 d=
|������-2|
2
,
������ +1
§7 向量应用举例
-1-
7.1
点到直线的距离公式
-2-
7.1
点到直线的距离公式
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解直线的法向量的意义. 2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法. 3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.
-3-
7.1
2
点到直线的距离公式
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
k=tan α=
������
与该直线平行. 4.向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行. 5.过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)平行的直线方程为n(x-x0)-m(yy0)=0. 6.过点P(x0,y0)且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为m(x-x0)+n(yy0)=0.
-6-
������
【例2】 已知点A(2,-1),求: (1)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)平行的直线的方程; (2)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)垂直的直线的方程.
解:(1)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x,y),由题意,知 ������������∥a.而������������ = (������ − 2, ������ + 1),a=(5,1),
(北师大版)北京市高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（ ）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或72．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5B ．52C ．254D ．14．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（ ） A ．4 B ．817 C ．2 D ．8175．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++= 6．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x9．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=10．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（ ） A ．1520x y +-＝ B ．1520x y ＝+- C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝11．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数k 的值是（ ）A ．3-B ．3±C ．33D ．33±12．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（ ）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 15．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.16．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为25，则实数a 的值为__________． 17．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.18．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．19．如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝______．20．如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=________________．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：（1）∠=∠DEA DFA ； （2）2AB AE BD AE AC =⋅-⋅22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切． （1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 23．已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：22(4)(5)4x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标（1）0=y 或028247=-+y x ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,25或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系知直线4=x 与圆1C 不相交，则直线的斜率存在。
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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3。
2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2。
1 函数概念2。
2 函数的表示法2。
3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4。
1 二次函数的图像4。
2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2。
1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3。
3 指数函数的图像和性质§4 对数4。
1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5。
1 对数函数的概念5。
2 y=log2x的图像和性质5。
3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1。
1 利用函数性质判定方程解的存在1。
2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2。
1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4。
高中数学直线与直线的方程直线方程的点斜式直线方程的两点式和一般式含解析北师大版必修
1．2 直线的方程1．2.1直线方程的点斜式考纲定位重难突破1.理解直线方程的含义．2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件.3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件. 重点：熟练求出满足已知条件的直线方程．难点：常与函数、方程等结合命题．方法：待定系数法求直线方程.授课提示：对应学生用书第36页[自主梳理]一、直线方程的点斜式和斜截式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围点斜式直线l上一点P(x1，y1)及斜率ky－y1＝k(x－x1)直线不与x轴垂直斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距by＝kx＋b直线不与x轴垂直1．在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的b；2．在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的a.[双基自测]1．直线方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．答案：D2．若直线方程为y－3＝3(x＋4)，则在该直线上的点是()A．(4,3)B．(－3，－4)C．(－4,3) D．(－4，－3)解析：由点斜式方程知该直线经过(－4,3)．答案：C3．直线y ＝12(x ＋4)在y 轴上的截距为________．解析：方程可化为y ＝12x ＋2，故直线在y 轴上的截距等于2.答案：24．经过点(－2,1)，且斜率与直线y ＝－2x －1的斜率相等的直线方程为________． 解析：直线y ＝－2x －1的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2，又经过点(－2,1)，故所求直线方程为y －1＝－2(x ＋2)，可化为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝05．已知直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋2＝0. (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 在y 轴上的截距为4，求k 的值．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －2＝k (x ＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k 的直线，故直线过定点(－2,2)．(2)令x ＝0，得y ＝2k ＋2，依题意有2k ＋2＝4，故k ＝1.授课提示：对应学生用书第36页探究一 直线的点斜式方程[典例1] 根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)斜率为－12，且过点(2，－2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；(3)斜率为2，与x 轴交点的横坐标为－5； (4)过点B (－1,0)，D (4，－5)； (5)过点C (－2,3)，与x 轴垂直．[解析] (1)所求直线的斜率为－12，又过点(2，－2)，故所求方程为y ＋2＝－12(x －2)．(2)设直线的倾斜角为α，因为α＝45°，k ＝tan α＝tan 45°＝1， 所以所求直线的点斜式方程为y －1＝x －3.(3)由直线与x 轴交点的横坐标为－5，得直线过点(－5,0)． 又斜率为2，由直线的点斜式方程得y －0＝2[x －(－5)]， 即y ＝2(x ＋5)．(4)直线的斜率为k＝－5－04－(－1)＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)，即y＝－(x＋1)．(5)由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2,3)，故方程为x＝－2.1．用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．若直线过点P(x0，y0)且斜率不存在，则直线方程为x－x0＝0.2．求直线的点斜式方程的步骤：(1)确定直线所经过的一个点(x0，y0)；(2)求出直线的斜率k；(3)根据点斜式写出直线方程．1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0(x＋1)．探究二直线的斜截式方程[典例2]根据下列条件求直线的斜截式方程：(1)斜率为3，在y轴上的截距等于－1；(2)在y轴上的截距为－4，且与x轴平行．[解析](1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝3x－1；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为－4，所以所求的直线方程为y＝－4.1．直线l与x轴的交点的横坐标称为直线l的横截距；与y轴交点的纵坐标称为直线l的纵截距．注意截距不是距离，截距可以为正，可以为负，也可以为零，距离不能为负．2．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．3．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．4．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .2．(1)已知直线方程为y －2＝3(x ＋3)，则它在y 轴上的截距为________； (2)已知直线的斜率为2，在y 轴上的截距m 为________时，该直线经过点(1,1)． 解析：(1)由y －2＝3(x ＋3)可得y ＝3x ＋11.对照斜截式方程可知直线在y 轴上的截距b ＝11. (2)由已知可得直线方程为y ＝2x ＋m ，又直线经过点(1,1)， 所以1＝2＋m ，得m ＝－1. 答案：(1)11 (2)－1探究三 直线方程的简单应用[典例3] 已知直线l 的斜率为2，且与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x 轴、y 轴围成的三角形的周长．[解析] 由于直线l 的斜率为2，故设l 的方程为y ＝2x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b 2.由已知得12·|b |·⎪⎪⎪⎪－b 2＝36， 解得|b |＝12. 即b ＝±12，所以l 的方程为y ＝2x ＋12或y ＝2x －12.当b ＝12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,12； 当b ＝－12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6，－12. 故三角形的周长为6＋12＋62＋122＝18＋6 5.1．求直线方程时，通常采用待定系数法，即先设出参数，然后利用条件求得参数值，即得方程．如果直线的斜率已知，通常设直线方程的斜截式，这时方程中含参数b ；如果直线所经过的某个点的坐标已知，则可设点斜式，这时方程中含参数k .2．截距不是距离，在求解有关周长、面积的问题时，注意二者的区别，必要时应通过绝对值进行转化．3．如图，光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线的方程．解析：入射光线经过点M 、N ，其斜率k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°，由物理学知识得∠M ′NP ＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1， ∵点N (0,1)在反射光线上，∴反射光线的方程为y －1＝(－1)(x －0)， 即x ＋y －1＝0.对截距概念理解不到位致误[典例] 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．[解析] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，所以b ＝±1. 故所求直线的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.[答案] y ＝16x ＋1或y ＝16x －1[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，不是直线与y 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．[随堂训练] 对应学生用书第38页1．下列说法：①任何一条直线在y 轴上都有截距； ②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x 轴的任何直线． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．答案：D2．直线y ＝π4x －1的斜率等于( )A ．1B ．－1 C.π4D ．－π4解析：由直线方程的斜截式知其斜率为π4.答案：C3．若直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B ．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1解析：直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：D4．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：由题意知该直线的斜率为2，又该直线经过点P (1,2)，∴该直线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x5．直线y ＝3kx －3k ＋6经过定点P ，则点P 的坐标为________．解析：直线方程可化为y －6＝3k (x －1)，由点斜式可知该直线经过定点P (1,6)． 答案：(1,6)1．2.2 直线方程的两点式和一般式以用关于x ，y的二元一次方程来表示．3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围. 难点：直线方程几种形式的选择．疑点：直线方程中的隐含条件易被忽略.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]直线方程的两点式、截距式和一般式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在坐标轴上的两截距：横截距a与纵截距bxa＋yb＝1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值Ax＋By＋C＝0平面内任一条直线1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线，③显然正确．答案：D2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x 5＋y3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y 3＝0 解析：由方程的截距式易知直线方程为x 5＋y －3＝1，即x 5－y3＝1.答案：B3．若直线mx ＋2y －1＝0的斜率等于2，则它在y 轴上的截距为________．解析：由已知得－m2＝2，所以m ＝－4，此时直线的方程为－4x ＋2y －1＝0，可化为y ＝2x ＋12，所以直线在y 轴上的截距为12.答案：124．若直线2x ＋3y ＋m ＝0经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是________． 解析：2x ＋3y ＋m ＝0可化为y ＝－23x －m 3，依题意应有－m3>0，所以m <0.答案：m <05．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)，AC 的中点D 的坐标为(－4,2)．求：(1)边AC 所在直线的方程； (2)BD 所在直线的方程．解析：(1)因为A (0,4)，C (－8,0)，所以由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.所以边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.故BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.授课提示：对应学生用书第39页探究一 直线方程的两点式方程和截距式[典例1] 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解析] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1.化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1.因为直线过点P (2,3)，所以2＋3a＝1，即a ＝5. 直线方程为y ＝－x ＋5.所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．1．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解析：(1)易知直线l 过点(m,0)，(0,4－m )， 则k ＝4－m －m＝2, m ＝－4.(2)由m ＞0,4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝m (4－m )2＝－(m －2)2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.探究二 直线方程的一般式[典例2] 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值； (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解析] (1)因为直线l 的斜率存在， 所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.1．直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A ，B 不同时为0；2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．2．当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1； (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1?解析：(1)因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.(2)因为直线在x 轴上的截距为1，所以令y ＝0，得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.探究三 直线方程的综合应用[典例3] 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解析] (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，所以直线l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，则它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，所以a ≥3.1．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝－AB ，这时直线方程可化为点斜式或斜截式；当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式．2．直线在平面直角坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则条件 直线的位置 k >0，b >0 k >0，b <0 k <0，b >0 k <0，b <0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限3．求经过点A (2,1)，B (6，－2)的直线的两点式方程，再把它化为一般式、点斜式、截距式和斜截式方程，并画出图形．解析：直线AB 经过点A (2,1)，B (6，－2)，则两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2.去分母，整理得3x ＋4y －10＝0，这就是一般式方程．直线AB 的斜率k ＝1－(－2)2－6＝－34，所以点斜式方程为y －1＝－34(x －2)．令x ＝0，得y ＝52；令y ＝0，得x ＝103，所以截距式方程为x 103＋y52＝1.直线AB 的斜率k ＝－34，在y 轴上的截距为52，所以直线AB 的斜截式方程为y ＝－34x ＋52.直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点(103，0)与(0，52)，经过这两点作直线，就得到直线AB ，如图所示．直线方程的实际应用[典例] (本题满分12分)某小区内有一块荒地ABCDE ，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m ，CD ＝240 m ，DE ＝300 m ，EA ＝180 m ，∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°)[规范解答] 以BC 边所成直线为x 轴，AE 边所成直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．①由已知可得A (0,60)，B (90,0).……………………………………3分 所以AB 所在直线方程为x 90＋y 60＝1，即y ＝60－23x ………………………………….5分 从而可设线段AB 上一点P ⎝⎛⎭⎫x ，60－23x ， 其中0≤x ≤90，所以所开发部分的面积为S ＝(300－x )(240－y ). …………………………………7分 故S ＝(300－x )⎝⎛⎭⎫240－60＋23x ＝－23x 2＋20x ＋54 000＝－23(x －15)2＋54 150(0≤x ≤90)．②…………………………………9分所以当x ＝15，y ＝60－23×15＝50时，S max ＝54 150 m 2. …………………………………11分因此点P 距直线AE 15 m ，距直线BC 50 m 时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m 2.③…………………………………12分[规范与警示] (1)解答本题的3个关键步骤如下：一是根据条件建立适当的坐标系①是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点． 二是根据直线方程确定x 和y 的关系后，在②处要根据实际情况确定出x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．三是在解答③处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分． (2)解决该类问题应注意以下两点：一是利用坐标法解决实际生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻找x 和y 的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．二是利用二次函数知识探求最大值是解答这类问题常用的方法，因此要求转化正确，不能漏掉自变量的范围，而且步骤一定要完整、规范．[随堂训练] 对应学生用书第40页1．经过点⎝⎛⎭⎫12，－1和⎝⎛⎭⎫12，2的直线的方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝12D ．y ＝12解析：因直线的斜率不存在，∴直线的方程为x ＝12.答案：C2．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2解析：分析知a ≠0，直线l 的方程可化为x 2a ＋y 2＝1，所以由2a ＝2，得a ＝1，故选A.答案：A3．若mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m ，n 的值分别是( ) A ．4,3 B ．－4,3 C ．4，－3D ．－4，－3解析：mx ＋ny ＋12＝0化为截距式为x －12m ＋y－12n ＝1，所以⎩⎨⎧－12m＝－3，－12n ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3.答案：C4．直线4x －y －8＝0在x 轴上的截距等于________． 解析：令y ＝0，得x ＝2，所以直线在x 轴上的截距为2. 答案：25．若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示一条直线，则m 的取值范围是________． 解析：要使方程表示直线，需m 和m 2－m 不同时为0，因此m ≠0. 答案：m ≠0。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1BCD ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D．25．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．6．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．577．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（ ）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线8．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的距离等于2的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,59．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14B ．214C ．2D ．2212．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15,25x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是112x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M（0l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM +=_______ 17．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.18．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是__________________．19．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，则直线l 与圆C 的公共点的直角坐标为 ．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．23．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>. （1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴105d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．C解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知O 为坐标原点，直线()22:3234l y kx C x y =++-=，圆：．若直线l 与圆C交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．4B ．23C ．2D ．32．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5 B ．52C ．254D ．14．已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不确定5．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．D ．6．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（ ）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或3 7．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．2C ．-4D ．49．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（ ） A ．2B ．1C ．4D ．310．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．11．经过直线l :220x y +-=上的点P ，向圆:221x y +=引切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．2312．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知圆C 经过坐标原点O 和点()4,2A ，圆心C 在直线210x y +-=上，则圆心到弦OA 的距离为__________．15．如图，已知是⊙的切线，为切点.是⊙的一条割线，交⊙于两点，点是弦的中点.若圆心在内部，则的度数为___.16．经过圆22230x x y ++-=的圆心C ，并且与直线10x y +-=垂直的直线方程是 ．17．若集合{}{}2(,)|14,(,)|(2)4A x y y xB x y y k x ==-==-+. 当集合AB 中有2个元素时，实数k 的取值范围是____________.18．已知圆C:224x y +=与直线:20l x y -=，则圆C 上点距直线l 距离为1的点有___个.19．已知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________．20．已知圆C 过抛物线24y x =的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C 的圆心不在x 轴上，且与直线330x y +-=相切，则圆C 的半径为__________．三、解答题21．（1）已知圆C 的圆心是10x y -+=与x 轴的交点，且与直线30x y ++=相切，求圆C 的标准方程.（2）若点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上，求yx的最大值. 22．已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=（04a <≤）的圆心为点C ，直线l ：y x m =+．（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围． 23．已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程.24．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点(1,1)． （1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求PA PB ⋅的最小值．25．（12分）已知圆过，两点，且圆心在上．（1）求圆的方程； （2）设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．26．选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB=AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G.⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】由直线l ，可知(0,3)D ，即点D 为OC 的中点，得出OAB ABC S S ∆∆=,设ACB θ∠=，得出1sin 2sin 2ABC S CA CB θθ∆==，再由圆的性质，即可求解。
高中数学第一章 第2课时点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式课件北师大版选择性必修第一册
|C－4|
12 +（−2）2
解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
＝
|C|
12 +（−2）2
，
题型二 两条平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距
离为________．
答案：
10
4
6 m
解析：由题意，得 ＝ ，
3
1
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(
A．3
B．2
1
C．1
D．
2
答案：C
|−7−(−12)|
解析：由平行线间的距离公式得：d＝
32 +4 2
＝1，故选C.
)
3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为 2，则m
的值为________．
答案：－4
又l1与l2之间的距离d＝
32 +4 2
＝2，
解得c＝－10或c＝30，所以b＋c＝38或b＋c＝－2.
5．点A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标为________．
答案：(1，4)
解析：设B(a，b)是A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，
则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上．
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，
所以所求实数m的值为－2.
易错辨析 选用直线方程的形式不当引发错误
例 4 过 点 P(2 ， 5) ， 且 与 点 ( － 4 ， 1) 距 离 等 于 6 的 直 线 方 程 为
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业8点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业8点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式(原卷版)一、选择题1.点(1，2)到直线3x＋4y－1＝0的距离为()A.1B.2C.3D.42.已知直线x＋2y－4＝0与直线2x＋my＋m＋3＝0平行，则它们之间的距离为()A. B.C. D.3.在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.P(1，2)到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为()A. B.4C.3D.5.若点(3，2)到过点(1，3)的直线的距离为2，则此直线方程式为()A.3x－4y＋9＝0B.4x－3y＋9＝0C.3x－4y＋9＝0或x＝1D.4x－3y＋9＝0或x＝16.点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的条件是()A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0C.7x＋4y＝0D.x－4y＋4＝07.两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，5]C.(0，5]D.[0，]8.(多选题)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角是B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥mC.点(，0)到直线l的距离是2D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0二、填空题9.直线l1：x－y－m＝0与直线l2：mx－y＋3＝0平行，则m＝1；l1与l2之间的距离为2.10.点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是2.11.设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，P点的坐标为2.三、解答题12.直线l经过A(2，4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程.13.已知直线l：x－y－2＝0.(1)若直线l1的倾斜角是l倾斜角的两倍，且l与l1的交点在直线x－y－2＝0上，求直线l1的方程；(2)若直线l2与直线l平行，且l2与l的距离为3，求直线l2的方程.14.(多选题)下列说法中，正确的有()A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C.直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°D.点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为715.已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为4. 16.已知点P(2，－1)，求：(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册课时作业8点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式(解析版)一、选择题1.点(1，2)到直线3x＋4y－1＝0的距离为(B)A.1B.2C.3D.4解析：直接利用点到直线的距离公式d＝＝2，故选B.2.已知直线x＋2y－4＝0与直线2x＋my＋m＋3＝0平行，则它们之间的距离为(C)A. B.C. D.解析：因为直线x＋2y－4＝0与直线2x＋my＋m＋3＝0平行，所以解得m＝4，因为两直线为直线x＋2y－4＝0与直线x＋2y＋＝0，所以它们之间的距离为.故选C.3.在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有(B)A.1条B.2条C.3条D.4条解析：根据题意可知所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，所以d1＝＝1，d2＝＝2，解得k＝0或k＝－，所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，故选B.4.P(1，2)到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为(A)A. B.4C.3D.解析：直线l：x＋ay＋2－a＝0化为x＋2＋a(y－1)＝0，因此直线经过定点Q(－2，1)，P到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为|PQ|＝，故选A.5.若点(3，2)到过点(1，3)的直线的距离为2，则此直线方程式为(C)A.3x－4y＋9＝0B.4x－3y＋9＝0C.3x－4y＋9＝0或x＝1D.4x－3y＋9＝0或x＝1解析：设所求直线：y－3＝k(x－1)，点(3，2)到该直线的距离为2，可解得k＝，另外斜率不存在，也适合题意.故选C.6.点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的条件是(A)A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0C.7x＋4y＝0D.x－4y＋4＝0解析：∵，∴32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.故选A.7.两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(C)A.(0，＋∞)B.[0，5]C.(0，5]D.[0，]解析：设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d ＝0，但两直线平行，故d＞0.当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ|＝＝5，所以0＜d≤5.故选C.8.(多选题)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(CD)A.直线l的倾斜角是B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥mC.点(，0)到直线l的距离是2D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tanθ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确.综上所述，故选CD.二、填空题9.直线l1：x－y－m＝0与直线l2：mx－y＋3＝0平行，则m＝1；l1与l2之间的距离为2.解析：若直线l1：x－y－m＝0与直线l2：mx－y＋3＝0平行，则－1＝－m，即m＝1，检验：当m＝1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋3＝0，故两直线平行.由平行线间的距离公式可得d＝＝2.10.点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是.解析：依题意可知≤4，解得2≤m≤.11.设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，P点的坐标为或.解析：设P(－3a，a)，由题意得，解得a＝±.∴P为或.三、解答题12.直线l经过A(2，4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程.解：解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，不符合题意.设所求直线l的斜率为k，则所求直线l的方程为y－4＝k(x －2).由可解得P；由可解得B.∴PB的中点D的坐标为.又∵D在直线x＋y－3＝0上，∴－3＝0，解得k＝5.所以，所求直线的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.解法二：与x－y－1＝0及x－y＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x－y＋c＝0，从而，解得c＝0，∴x－y＝0，又截得的线段的中点在x＋y－3＝0上，∴由可解得中点坐标为，所以直线l过点(2，4)和，从而得l 的方程为5x－y－6＝0.13.已知直线l：x－y－2＝0.(1)若直线l1的倾斜角是l倾斜角的两倍，且l与l1的交点在直线x－y－2＝0上，求直线l1的方程；(2)若直线l2与直线l平行，且l2与l的距离为3，求直线l2的方程.解：(1)因为直线l的斜率为，所以倾斜角为.又因为直线l1的倾斜角是l倾斜角的两倍，故l1的倾斜角是.因为直线l与直线x－y －2＝0的交点为(2，0)，所以直线l1的方程是y－0＝tan·(x－2)，即x－y－2＝0.(2)因为直线l2与直线l平行，故可设直线l2的方程为x－y＋c＝0.因为l2与l的距离为3，则有＝3，解得c＝4或c＝－8，所以直线l2的方程为x－y＋4＝0或x－y－8＝0.14.(多选题)下列说法中，正确的有(ACD)A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C.直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°D.点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7解析：对A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故过定点(3，2)，故A正确；对B，y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；对C，直线x－y＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tanθ＝，θ∈[0，180°)，即θ＝30°，故C正确；对D，因为直线x＝－2垂直于x 轴，故(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7.故D正确.故选ACD.15.已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为4.解析：由题设得a2＋b2＝c2，m2＋n2表示直线l：ax＋by＋2c＝0上的点P(m，n)到原点O的距离的平方，故当PO⊥l时，m2＋n2取最小值d，所以d＝＝4.16.已知点P(2，－1)，求：(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.解：(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意.当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意＝2，解得k＝.∴直线方程为3x－4y－10＝0.∴符合题意的直线方程应为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，斜率为2，易求其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，且最大距离d＝.(3)不存在.由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞.∴这样的直线不存在.。
高中数学北师大版必修四2.7.1【教学课件】《点到直线的距离公式》
特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0， 即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。
北京师范大学出版社 ︱必修四
巩固练习：
1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】 d＝ －2－02＋3－02＝ 13
【答案】
13
北京师范大学出版社 ︱必修四
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巩固练习：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
m＋n－1 (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是 。 ( ×) 2
(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。( × ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。( √ ) (4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ x1－x22＋y1－y22 与两点的先后顺序无关。( √ )
【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A。利用D是线段BC的中点，将 点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C。 然后利用两点间距离公式求AC。
【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1，y1)，C(x2，y2) 2 ∵ AB⊥CE，kCE＝－ 3 3 ∴ kAB＝－ ＝ 。 kEC 2 1
【答案】 －1
值为________。
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思路② ：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作y轴的平行线,交l与点S x0, y2
Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d
Q·
O
x
·S
l : Ax By C 0
过 程 设 计：
过点P作 x 轴、y 轴的垂线 l 交于点S、R
用 x0、y0 表示点 S、R的坐标
方法②
利用直角三角形面 积公式的算法框图
求出 PR 、PS
利用勾股定理求出 RS
根据面积相等知 d RS PR PS 得到点 P 到 l 的距离 d PQ
点到直线的距离公式
点到直线的距离
点到直线的距离
点到直线的距离公式的推导过程
y
点到直线的距离的定义
过点 P 作直线 l 的
Q
垂线，垂足为 Q点，线
O
段 PQ 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离。
P（x0,y0)
x
l
创设情境
已知点P（x0,y0）和直线l
Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0)
求点P到直线l 的距离。
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
l
y
R
QOBiblioteka PdxS
d Ax0 By0 C A2 B2
辨析反思
反思1：在使用该公式前，须将直线方程化为 一般式。
反思2：前面我们是在A，B均不为零的假设下推导 出公式的， 若A，B中有一个为零，公式 是否仍然成立？
l2: P(3,0)
2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3，0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少
返回
点到直线距离公式
点 P(x0, y0 ) 到直线 Ax By C 0
（ 其中A、B不同时为0）的距离为
d Ax0 By0 C A2 B2
注： A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0 时一般不用此公式计算距离。
例1:求点P(-1，2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解：①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
y
22 12
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
x l:3x=2
d 2 (1) 5
3
3
用公式验证，结果怎样？
例2：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
O
l1:2x-7y+8=0
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A ）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D ）
5.用此公式时直线要先化成一般式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D ）
A. 3
B. 3 C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
)
lCB:( bx ay ab 0 )
F
|PE|=( bx ab
)
E
a2 b2
x C(-a,0) O P A(a,0)
Q 呢l2？ 任意两条平行直线都可
O
x
以写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
解得： x 1 或 x 171
所以P点坐标为：
(1,0)
37 或
(
171
,0)
37
⑵ 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两
腰的距离之和等于一腰上的高。
证明:建立如图直角坐标系,设P
(x,0),x∈y( a , a
B(0,b)
)
可求得lAB:(
bx ay ab 0
d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
C2
Ax0 By0 C1 PQ
C2 C1 A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为
对应相同的形式。
小结
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式；
y P（x0,y0)
Q
O
x
返回
尝试
合作 思考：最容易想到的方法是什么？
交流
思路①. 依据定义求距离，其流程为：
求l 的垂线l 1的方程
解方程组，得交点Q的坐标 求P Q
反思：这种解法的 优缺点是什么？
y P（x0,y0)
Q
O
x
l
还有其 它方法 吗？
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
y
R·
·P x0, y0
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26
26
5.完成下列解题过程：
⑴P在x轴上，P到直线l1: x - 3 y +7=0与直线
l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。 解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 307
=
12 ( 3)2
12x 5 0 40 122 (5)2