《双曲线的参数方程》教学案2
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
双曲线高中数学教案
双曲线高中数学教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质
2. 能够将双曲线的标准方程转化为一般方程
3. 能够根据给定的信息绘制双曲线的图像
4. 能够求解双曲线的焦点、直线渐近线等相关问题
教学重点：
1. 双曲线的定义
2. 双曲线的图像及性质
3. 双曲线的标准方程及一般方程的转化
4. 双曲线的焦点、渐近线等相关问题
教学过程：
一、导入：
通过展示一个双曲线的图像，引导学生了解什么是双曲线以及其特点。
二、讲解：
1. 双曲线的定义和性质
2. 双曲线的标准方程及一般方程的推导和转化
3. 双曲线的图像及相关参数的含义
三、练习：
1. 练习转化双曲线的标准方程为一般方程
2. 练习绘制双曲线的图像
3. 练习求解双曲线的焦点、渐近线等相关问题
四、总结：
总结本节课所学内容，强化学生对双曲线的理解。
五、作业：
布置相关练习作业以加深学生对双曲线的理解，并要求学生在下节课前完成。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够对双曲线有一个初步的了解，并能够运用所学知识解决相关问题。
在教学中要注意引导学生从图像入手，帮助他们更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的参数方程课件
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
第二讲-4双曲线的参数方程
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似， 与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为 曲 如 双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上 意 任 a b 一 , O 原 ,过 M 作 曲 点 为 点 点 双 线 渐 线 平 线分 与 两 近 的 行 , 别 两 近 交 A B两 .探 平 渐 线 于, 点 求 行 边 M B 的 积,由 四 形 AO 面 此 可 发 什 结 ? 以 现 么 论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为
2020最新人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-抛物线、双曲线的参数方程 (Word)
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝ 5cos 解析：由 y＝sin θ
θ
x2 2 (0≤θ≤π)得 5 ＋y ＝1(y≥0)，
52 x＝ t 5 2 4 由 (t∈R)得 x＝4y . y＝t
2 x ＋y2＝1， 5 联立方程可得 x＝5y2 4
则 5y4＋16y2－16＝0，
4 5 2 2 解得 y ＝5或 y ＝－4(舍去)，则 x＝4y ＝1.
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t
(完整版)双曲线抛物线参数方程
第三课时 圆锥曲线的参数方程一、教学目标：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
（二）、讲解新课：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线12222=-by a x 参数方程_____________________（θ参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。
2.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22=参数方程________________________（t 为参数） ,t 为以抛物线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样C.在实际问题中要确定参数的取值范围（三）、巩固训练1、曲线)(11为参数t tt y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的普通方程为2.双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
3.、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π-4、求直线为参数）t t y tx (11⎩⎨⎧-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。
双曲线的参数方程__概述说明以及解释
双曲线的参数方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将探讨双曲线的参数方程，以及其相关的定义、性质和推导方法。
我们将深入研究参数方程在双曲线研究中的应用，并通过实例分析来更好地理解和应用这一概念。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。
引言部分（第一部分）将介绍文章内容的概要，并提供各部分的大纲以及目标。
第二部分将详细介绍双曲线的定义和性质，为后续参数方程的理解打下基础。
第三部分将探讨参数方程在双曲线研究中的应用，包括图像绘制、性质描述和求解问题等方面。
第四部分将通过实例对双曲线参数方程进行具体分析，涵盖标准双曲线、非标准双曲线以及特殊情况下的参数方程示例。
最后，在结论部分总结全文内容并给出相关建议和展望。
1.3 目的本文旨在通过对双曲线参数方程的研究和应用，加深读者对该概念的理解，并帮助读者掌握推导方法和应用技巧。
通过对参数方程的探索和实例分析，读者将能够更加准确地描述双曲线的性质、绘制其图像以及解决相关问题。
该文章可供数学学习者、研究人员和教师参考，为他们进一步深入学习双曲线提供指导和支持。
这就是文章“1. 引言”部分的详细内容，请您核对是否符合要求。
2. 双曲线的参数方程2.1 双曲线的定义和性质：双曲线是平面上的一种特殊曲线，具有一些独特的几何性质。
它可以通过以下参数方程进行描述。
对于一个双曲线，其参数方程可以表示为：x = a * cosh(t) 和y = b * sinh(t)，其中a和b是常数，t是参数。
双曲线有两个分支并且在原点处交于渐近线。
具体来说，它的两个分支向无穷远处延伸，并且在对称轴上关于原点对称。
2.2 参数方程的概念解释：参数方程是一种描述二维曲线或三维曲面的方法。
它通过引入一个或多个参数来表示变量与自变量之间的关系。
在双曲线中，使用参数方程可以更加灵活地描述其形状和性质。
相比于直角坐标系下的方程形式，参数方程能够准确地描绘出双曲线所具有的对称性和特征。
2.3 双曲线的参数方程推导方法：要推导出双曲线的参数方程，我们首先需要了解双曲函数的定义。
高中数学人教A版选修4-4 2-2-2 双曲线的参数方程 导学
2.2.2 双曲线的参数方程学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用， 学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备：阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题：1. 写出椭圆22221y x a b+=的参数方程. 答：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.2.将下列参数方程化为普通方程：（1）11x a ay a a ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（a 为参数）； （2）x y t⎧⎪=±⎨=⎪⎩t 为参数）.答：（1）224y x -=； （2）2214x y -=. 二、新课导学： （一）新知：1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点B '，过点A '、B '分别作x轴、y 轴的垂线A M '、B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方程.【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ所以(cos ,sin )OA a a θθ=,(cos ,sin )AA x a a θθ'=-- 因为OA AA '⊥，所以0OA AA '⋅=， 即22cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos ax a θθ==， 由三角函数的定义得， tan ybθ=，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为 sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠）.化为普通方程是22221x y a b -=. 2. 双曲线22221x y b a -+=的参数方程为：tan sec x b y a θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠）. 3.双曲线22221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. 4. 双曲线22221x y a b-=上任意点M 的坐标可设为(sec ,tan )a θθ.（二）典型例题【例1】求点(0,1)P 到双曲线122=-y x 最小距离. 【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(sec ,tan )θθ，则||PM ===令2sin 21cos 2k θθ-=+，整理得sin 2cos 22k k θθ+=-，所以sin(2)θϕ+=1≤，解得34k ≥，所以||PM ≥.所以点(0,1)P 到双曲线122=-y x 动动手：已知(,)M x y 在双曲线2sec tan x y θθ=⎧⎨=⎩上，求M 到点(3,0)N -的距离的最小值.【解析】设M 的坐标为(2sec ,tan )θθ，则||MN =当126sec 255θ=-=-⨯时，||MN ==. 【例2】已知等轴双曲线2222x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.【证明】设点sec tan )P θθ，因为双曲线2222x y a -=的渐近线方程为y x =±，则P 到0x y -=的距离为1|sec tan |d a θθ==-，P 到0x y +=的距离为2|sec tan |d a θθ==+，所以12|sec tan ||sec tan |d d a a θθθθ⋅=-⋅+ 2222|sec tan |a a θθ=-=. 所以点P 到两渐近线的距离之积为常数.三、总结提升：教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为(sec ,tan )P θθ，在使用过程中，要知道恒等式22sec tan 1θθ-=. 四、反馈练习： 1. 双曲线()2tan 4sec x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数的离心率是 （ C ）AB ．2 CD2. 方程2222t tt tx y --⎧=-⎨=+⎩（t 为参数）表示的曲线是 （ B ） A . 双曲线B . 双曲线的上支C . 双曲线下支D . 圆3. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （ D ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ *4. 曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==ββsec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为1e 和2e ，则12e e +的最小值为 ( A )A． B ．2 CD5. 设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F 、2F 为两个焦点，证明221OP P F P F =⋅.【证明】设(sec ,tan )P θθ，双曲线两个焦点的坐标是1(F、2F ，所以1||F P ==|1|θ=+，2||F P ==|1|θ=-，所以222121|1||2sec 1|sec tan F P F P θθθθθ⋅==+⋅-=-=+，而222sec tan OP θθ=+，所以221OP P F P F =⋅. 五、学后反思：。
《双曲线的参数方程》教学案2
《双曲线的参数方程》教学案2《双曲线的参数方程》教学案2一、教学目标(1). 双曲线、抛物线的参数方程.(2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。
(3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、教学重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、教学指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、教学过程（阅读教材29-34完成）(一)双曲线的参数方程1双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________（2）?的几何意义___________________________2双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题、的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y oA M。
双曲线的参数方程教案
篇一：2-2-2双曲线的参数方程学案2-2-2双曲线的参数方程学案【使用课时】：1课时【学习目标】：1. 知识与技能：了解双曲线的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：双曲线数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆x2+y2=r2(r&0)的参数方程圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:22复习2：椭圆 x? y? 1 (b ? 0 ) 的参数方程为。
a ?22ab二、新课导学学习探究x2y2212ab探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线参数方程xasecx2y21双曲线 2 2 的参数方程为 ?ab?y?btan?注：（1）?的范围__________________________（2）?的几何意义___________________________【例1】：双曲线{x??y?6sec?(?为参数）的两焦点坐标是。
x2y2如图，设m为双曲线2?2?1(a?0,b?0)任意一点，o为原点，例2、 ab过点m作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于a，b两点。
探求平行四边形maob的面积，由此可以发现什么结论？过关检测a1、求双曲线{x?23sec?y?43tan?的两个焦点坐标___________x?t3sec??tb2、双曲线{(?为参数)的渐近线方程为______________x??y?tan?t?t3．方程（t为参数）的图形是。
y??{eeeex1(a14．已知某条曲线的参数方程为：2a) 其中a是参数。
则该曲线是（y?12(a?1a)a 线段 b 圆c 双曲线的一部分d 圆的一部分5．求过p（0，1）到双曲线x2?y2?1最小距离的直线方程。
6．设p为等轴双曲线x2?y2?1上的一点，f1，f2为两个焦点，f1p?f2p?op2 ）证明课外作业1x?t? t1．已知参数方程 1 (t 是参数, t &0)化为普通方程,画出方程的曲线.y?t?tx?asec,?2．参数方程 ( ? 是参数 ? ? ? )表示什么曲线?,画出方程的曲线y?btan?22x2y23.若双曲线2?2?1(b?a?0)上有两点a,b与它的 ab中心的连线互相垂直.11为定值. 求证: 22|oa||ob|篇二：双曲线的参数方程导学案2.4双曲线的参数方程导学案篇三：高二数学北师大版选修4-4《双曲线的参数方程》教案石泉中学课时教案篇四：5双曲线的参数方程学案双曲线的参数方程学习目标:1.建立椭圆双曲线的参数方程，正确理解参数的几何意义2.利用参数方程解决一些简单的问题学习重难点：参数方程的应用预习案一、复习回顾：探究案例1：求过（0,1）到曲线x2?y2?1的最小距离x2y2y2x2椭圆2?2?1(a?b?0)和2?2?1(a?b?0)的参数方程是？参数的意义abab二、新课预习：1、双曲线参数方程的构建x2y2例2 设m为双曲线2?2?1(a?b?0)上任意一点，o为原点，过电m作双曲线两渐近线的 ab平行线，分别与两渐近线交与a,b两点，探求平行四边形maob的面积，由此可发现什么结论？问题：以原点o为圆心,a,b?a?0,b?0?为半径分别作同心圆c1,c2.设a为圆c1上任一点,作直线oa,过点a作圆c1的切线aa`与x轴交于点a`,过圆c2与x轴的交点b作圆c2的切线bb`与直线oa交于点b`.过点a`,b`分别作y轴,x轴的平行线a`m,b`m交于点m.求点m轨迹的参数方程。
高中数学 第二章 参数方程 2.3.22.3.3 抛物线、双曲线的参数方程学案 新人教B版选修44
2．3.2 & 2.3.3 抛物线、双曲线的参数方程[对应学生用书P34][读教材·填要点]1．抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠π2，θ≠3π2.(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan θ，y ＝a sec θ,0≤θ≤2π.[小问题·大思维]1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？提示：参数θ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec θ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec θ，则焦点在y 轴上． 3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ptan 2α，y ＝2ptan α，则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．[对应学生用书P35]抛物线参数方程的应用[例1] 连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M ，P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．[精解详析] 设M (x ，y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2.由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .它表示的为抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．1．已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2αα∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]． (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点.双曲线参数方程的应用[例2] 在双曲线x 2－y 2＝1上求一点M ，使M 到直线y ＝x 的距离为 2.[思路点拨] 本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M 点的坐标，建立方程求解．[精解详析] 设M 的坐标为(sec θ，tan θ)，由M 到直线x －y ＝0的距离为2，得|sec θ－tan θ|2＝ 2.整理得|1cos θ－sin θcos θ|＝2，|1－sin θ|＝2|cos θ|.平方得1－2sin θ＋sin 2θ＝4(1－sin 2θ)． 即5sin 2θ－2sin θ－3＝0， 解得sin θ＝1或sin θ＝－35.sin θ＝1时，cos θ＝0(舍去)． sin θ＝－35时，cos θ＝±45.∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．2．如图， 设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：∵P 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴设P (sec φ，tan φ)． ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1. |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.圆锥曲线的参数方程的综合应用[例3] 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[思路点拨] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程．解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．[精解详析] ∵x 216－y 29＝1，∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin θ－φ|5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝54. ∴d max ＝3415.对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．已知定点A (1,0)，F 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(0≤θ≤2π)的焦点，则|AF |＝________.解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(0≤θ≤2π)的普通方程为x 2＝2y ，所以焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，又A (1,0)，所以|AF |＝0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝52. 答案：52[对应学生用书P36]一、选择题1．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(0≤θ≤2π)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3)解析：选B 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A ，B ，C ，D 代入验证得，选B.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ，得 x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2,4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2,4)在抛物线上．∴过点M (2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 4．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(5,0)D ．(0,5)解析：选 C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x3＝sec φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝sec 2φ－tan 2φ＝1，即双曲线方程为x 29－y 216＝1，焦点F 为(±5,0)．故选C.二、填空题5．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t 上，则|PF |＝________.解析：抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案：46．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹的普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x (x ≠0)． 答案：y 2＝x (x ≠0)7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是________．解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案：(1,0)，(－5,0)8．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是________．解析：设M 1(2pt 1,2pt 21)，M 2(2pt 2,2pt 22)， ∴k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝t 21－t 22t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：t 1＋t 2 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A ，B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0,0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A ，B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫a 2sec α＋sec β，b 2(tan α＋tan β))，于是线段AB 的中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a sec α－sec βb tan α－tan β[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0,0)代入上式，得x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A ，B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2，∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t .可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t22.∴k AP ＝4t 1＋t 24t 21＋t 22－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 21＋t 22，y ＝4t 1＋t 2，故y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (0≤t ≤2π)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y －7＝0的距离的最小值．解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，设Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 点M 到直线的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中φ为锐角，tan φ＝34. 故d 的最小值为855.。
二双曲线的参数方程课件
在物理学中，二双曲线参数方程可以用于描述振动、波动等现象；在工程学中，可以用于分析机械振 动、控制系统等；在天文学中，可以用于研究行星轨道、卫星运动等。此外，二双曲线参数方程还在 信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
02
二双曲线参数方程的推导
参数方程的推导过程
参数方程的基本形式
参数方程通常由两个方程组成，分别表示位 置和时间的关系。在二双曲线的参数方程中 ，位置由直角坐标或极坐标表示，时间则由 参数t表示。
在工程学中的应用
航天工程
在航天工程中，二双曲线的参数方程 可以用来描述卫星轨道和航天器的运 动轨迹。
机械工程
在机械工程中，二双曲线的参数方程 可以用来描述机械运动和机构的设计 。
在数学建模中的应用
微分方程求解
在求解某些微分方程时，二双曲线的参数方程可以作为解的 一种表达方式。
数值分析
在数值分析中，二双曲线的参数方程可以用来描述数值方法 的迭代过程和收敛性分析。
参数方程的推导方法
通过将二双曲线的标准方程进行适当的变换 和整理，可以得到其参数方程。变换过程通 常涉及消去方程中的平方项，并引入参数t来 表示时间或角度。
参数方程的求解步骤
求解参数方程的过程包括对方程进行整理、 代入已知条件、解出参数t等步骤。求解过程 中需要注意方程的解是否合理，并排除无效 解。
参数方程在实际生活中有广泛的应用，学 习参数方程可以帮助学生更好地理解数学 与现实世界的联系，增强数学应用意识。
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等相关的物理问题。
03
几何解释的局限性
需要注意的是，参数方程的几何解释仅适用于特定的问题和情境，不能
盲目套用。此外，对于复杂的几何图形，参数方程的求解可能会变得非
高中数学人教A版选修(4-4)2.2 教学设计 双曲线的参数方程(人教A版)
《双曲线的参数方程 》
赵县实验中学 赵连霞
学习了双曲线的参数方程，能够更好的利用双曲线的性质，而且为解决最值问题提供更好的方法
【知识与能力目标】
了解双曲线的参数方程及参数的的意义
【过程与方法目标】
能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
【情感态度价值观目标】
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识
【教学重点】
双曲线参数方程的定义和方法
【教学难点】
分组讨论学习法、探究式；
1.复习双曲线的普通方程
2.复习三角函数定义
第二课时 双曲线的参数方程
一．复习引入： 探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线122
22=-b y a x 参数方程
二．讲解新课：。
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《双曲线的参数方程》教学案2
一、教学目标
(1). 双曲线、抛物线的参数方程.
(2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。
(3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
二、教学重难点
学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导
学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化
三、教学指导：
认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习
四、知识链接:
焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________
焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________
五、教学过程
（阅读教材29-34完成）
(一)双曲线的参数方程
1双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）ϕ的范围__________________________
（2）ϕ的几何意义___________________________
2双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________
(三)典型例题
、
的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o
A M
六、课堂练习：
七、教后反思 ___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线αα==y x ______________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线ϕϕϕ==y x 的轨迹方程。
的中点，求点线段为，点上的动点，给定点为抛物线、设P M M P M x y M 002)0,1(23-=。