不等式学案1(学生版)

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均值不等式学案

日照实验高中2014级数学导学案3.2均值不等式学案（1）【编写人】孙丽君【审核人】张茂花【学习目标】1．通过本节探究，学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义；2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力；3．通过本节学习，养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．【学习重点和难点】学习重点：均值不等式的推导和理解.学习难点：均值不等式成立的条件和等号成立条件的认识.【定理探究】1.探讨2a b +.2.均值定理：3.文字表述：（1）,,,______;,a b a b a b +∈R 的算数平均值是的几何平均值是_____.（2）结论：两个___数的____平均值_____它们的_______平均值.4.几何解释：____________5.公式变形及推广：（1）a b +≥_______.（2≤________,即ab ≤___________.思考：均值不等式与不等式222a b ab +≥的关系如何?【定理理解和应用】判断正误：1(1)0,2;lg lg (2)0,0,2π9(3)0,sin 6;2s 1,,1,in .4x x x y x x a b a b x y y x x x +≠+≥=+>>≥⎛⎤∈+ ⎥⎝+⎦∈=R 若则若则当时，(4)已知且则的最大值值是为的最小练一练下列函数最小值是2的是（）1.A y x x =+ 1.sin (0)sin 2B y x x x π=+<<.C y = 1.tan (0)tan 2D y x x x π=+<< 例1已知0ab >，求证：2b a a b+≥并推导出式中等号成立的条件.练习1已知11,,()() 4.a b a b a b +∈++≥R 求证：【课堂小结】【课后作业】1.课本练习A 组2、3、42.练习册均值不等式（1）。

人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案

3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。

让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。

2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。

3. a 与b 的和是非负数。

4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。

某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。

基本不等式答案

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________．答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。

一元二次不等式及其解法(优秀教案1)

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法四、教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系（完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三）合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2）当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

高中数学最新学案第3章第10课时基本不等式的证明(1)(学生版) 新人教A版必修5

3.4基本不等式的证明(1)【学习导航】学习要求1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价１．算术平均数：２．几何平均数３．设a ≥0,b ≥0则2a b+的关系为４．基本不等式的证明方法：【精典范例】例1．.设a 、b 为正数, 求证明：2a b+³点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．３．把不等式2a b+³≥0,b ≥0)称为基本不等式4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+12a³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 222(,)a b ab a bR +澄(2) 22(,)2a b ab a b R +Ｎ(3) ,)a b a b R ++澄(4) 2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),12na a a n++鬃?(n>1,n ÎN)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．学习札记（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２2p２．已知a>1求证a+11a-≥3３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥1 3４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且。

不等式学案

不等式认识不等式：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.例1、用不等式表示： ⑴ a 是正数；⑵ b 不是负数；⑶ c 是非负数； ⑷ x 的平方是非负数；⑸ x 的一半小于-1；⑹ y 与4的和不小于３.例2、用不等式表示： ⑴ a 与1的和是正数；⑵ x 的2倍与y 的3倍的差是非负数；⑶ x 的2倍与1的和大于—1；⑷a 的一半与4的差的绝对值不小于a.例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？注：检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.练习：1．下列各式：(1)5(2)0.0010(3)9(4)320(5)1(6)5x y x y a x +>=->≠≤.其中,不等式有( )个A 3B 4C 5D 62.下列各数,是不等式32x -<的解的有( )个23,2,2,5,0,1,6,1003---A 5B 6C 7D 83.y 与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）Ａ．1302y +> Ｂ．1302y +< Ｃ．1(3)02y +< Ｄ．1(3)02y +> 4．不等式23x +>-的非正整数解是（）Ａ．1-，2- Ｂ．0，1-，2-，3-，4- Ｄ．1-，2-，3- Ｄ．1-，2-，3-，4-5.下列说法正确的是( )A 1x =是不等式21x <的解B 不等式21x <的解是0x =C 12x =是不等式21x <的解 D 所有负数都是不等式21x <的解 6．用不等式表示：①“3a -是不大于3-的数”为________；②“x 的21与y 的2倍的和是非负数”为________. ③ “长为a +b ，宽为a 的长方形面积小于边长为3a -1的正方形的面积”为________.7．下列各数12,2,3,2,43--中,______________是不等式370x -≥的解,___________不是不等式30x +<的解.8.用“<”或“>”填空 103___53,104___54,10___5x x ++--++ 9.用不等式表示数量关系 (1)x 的相反数与13的和是正数 (2)a 不是一个负数 (3)y 的2倍加3小于5(4)y 的绝对值与2的差不大于9 (5)x 大于2-且不小于2 (6)一个数x 的平方不大于这个数的相反数不等式的解集如图：请你在数轴上表示：(1)小于3的正整数；(2)不大于3的正整数；(3)绝对值小于3大于1的整数；(4)绝对值不小于--3的非正整数；概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. （2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式.（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≤”“≥”时用实心圆圈.例1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来.（1）x<221 （2）x 2-≥ （3）-121<x 3≤练习：写出如图所示的不等式的解集．解一元一次不等式1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做一元一次不等式2．不等式性质1，如果a>b ，那么a ±b______b ±c ，如果ab ，并且c____0，那么ac>bc ． 4．不等式性质3，如果a>b ，并且c_____0，那么ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；•不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________．基础训练1.设a<b,用“〈”或“〉”号填空:(1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b; (5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1 2.(1)若m+2<n+2,则有m-1 n-1,-5m -5n ；（2）若ac 2>bc 2,则a b,-a-1 -b-1. （3）若a>b,则ac bc(c ≤0),ac 2bc 2(c ≠0). 3．不等式2x ≥4的解集是________． 4．当x_______时，不等式x+3>6成立． 5．x<1是_______的解集？A ．2x-1>0B ．x+3<4C ．x+3<-4D ．-x+2<06．不等式x-1>2的解集为x>3，如图，用数轴上表示这个解集正确的是（）7.能使不等式x-7≥1成立的x 的取值范围是（） A ．x>8 B ．x ≤8 C ．x ≥8 D ．x ≤7 拓展练习：1、不等式（m-2）x>1的解集为x<21m ，则（）A ．m<2 B. m>2 C. m>3 D.m<3.2、写出不等式x+3<6的正整数解.课堂检测1．（1）若x>3，那么x-m_____3-m；（2）若a<b，那么a+6_______b+6；（3）a<-b，那么a+b______0；（4）若7a-2m<7b-2m，那么7a____7b．2．不等式3+x≥6的解集是（）A．x=3 B．x≥3 C．所有大于3的数 D．大于或等于3的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A．x<3 B．x<0 C．x>3 D．x>04．下列说法正确的是（）A．方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的; B．x=2是不等式4x>5的唯一解C．x=2是不等式4x>15的一个解;D．不等式x-2<6的两边都加上1，则此不等式成立5．若a>b，且c不为0，则（）A．ac>bc B．ac<bc C．ac2>bc2 D．ac2≥bc26．若a<0，关于a的不等式ax+1>0的解集是（）A．x<1aB．x>1aC．x<-1aD．x>-1a7．若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（）A．x>-43B．x≥-43C．x<-43D．x≤-438．解不等式:（1）12x>-3 （2）-2x<6 （3）3x-6≤0 （4）-12x-6>0课堂检测2：1．若a<b，用“>”或“<”号填空：（1）a+4_______b+4；（2）a-2______b-2；（3）25a_____25b；（4）-2a______-2b．2．在下列各题的“____”中填写不等号并写出理由：（1）因为x>5，所以-x____-5，理由是_______________．（2）因为4x>12，所以x_____3，理由是_____________．（3）-17x<-2，所以x_______14，理由是________________．3．若8+3a<8+3b，那么a，b的大小关系是（）A．a=b B．ab D．以上都不对4．由x<y，得ax>ay，则a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a>0 D．a<05．求不等式x+4≥3x-2的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥1 （2）4x-15>3x-2 （3）2x-3x<0 （4）-13x≥17．（1）若（m+1）x< m+1的解集是x>1，求m的取值范围．（2）若关于x的方程x-3k+2=0的解是正数，求k的取值范围．一元一次不等式综合练习1．若x|a-1|>a+1，则a=_______．2．下列不等式中是一元一次不等式的是（）A．x+y<2 B．x2>3 C．-2x<1 D．2x>-3①2a-1=4a+9；②3x-6>3x+7；③1x<5；④x2>1；⑤2x+6>x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在解不等式22135x x+->的下列过程中，错误的一步是（）A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 5．使不等式x-5>4x-1成立的值中最大整数是（）A．2 B．-1 C．-2 D．06．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3x+1≤2x+4 （2）5（x-1）>4（x+2）8．解不等式532123x x++-<，小兵的解答过程是这样的．解：去分母，得x+5-1<3x+2 ①移项得x-3x<2-5+1 ②合并同类项，得-2x<-2 ③系数化为1，得x<1 ④请问：小兵同学的解答是否正确？如果错误，请指出错在哪里？并给出正确的解答．1．当x_______时，代数式312x+的值是负数．2．不等式12123x x+-≥的正整数解为________．3．下列说法中，正确的是（）A．如果a>1，那么0<1a<1 B．若a<1，则1a>1C．若a2>0，则a>0 D．若-1<a<0，则a2>1A ．2（1-y ）+y<4y+2B ．x 2-2x-1<0 C ．12+13>16D ．x+3<x+4 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）4（x-1）<5（x-1）+1 1(2)132x x --≤5335212567(3)(4)123234x xx x x ---+-<-≥-7．（1）当x 取何值时，代数式43132x x +-与的值的差大于1？（2）当x 取哪些正整数时，代数式3-3543286x x --的值不小于的值？一元一次不等式组知识点：1．将_____个（或几个）一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组． 2．几个一元一次不等式的解集的________叫做由几个不等式所组成的一元一次不等式组的解集．例1、解不等式组()()31211282x x x ⎧->+⎨>⎩ 例2、解不等式组()()2111312x x ⎧+<-⎨-≤⎩练习1：练习2：课堂检测 1．不等式组30,20x x +>⎧⎨-<⎩的解集是_________．2．下列各组合中，是一元一次不等式组的是（）．A ．22313513 (3425)72025x x y x x B C D y x y x x +<+=-<⎧+≤⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-<-=+>-<⎩⎩⎩⎩⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x ()⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--1321423x x x x3．不等式组102050xxx+<⎧⎪+<⎨⎪+>⎩的解集是（）A．x>-5 B．-5<x<-1 C．x<-2 D．-5<x<-24．如图8-3-1，不等式5234xx-<-⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上为（）5．不等式组204060xxx+>⎧⎪->⎨⎪-<⎩的整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．解下列不等式组（1）2102552310(2)46715320xa axa ax-≥⎧-<-⎧⎪+>⎨⎨-≥-⎩⎪-<⎩7．（注重书写过程）求同时满足不等式6x+3>4x+7和8x-3≤5x+12的整数x．课堂检测21．不等式2≤x-5<6的解集为________． 2．不等式31047x x ->⎧⎨<⎩的解集是_______，其中整数解是________．3．在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上表示，应是（）4．不等式组841,x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集为x>3，则m 的取值范围是（）A ．m ≥3B ．m=3C ．m<3D ．m ≤3 5．解下列不等式组．2110236(1)(2)31324122x x x x x -+<-⎧+>⎧⎪⎨⎨+-≤->⎩⎪⎩ 13103(3)2(1)(3)20(4)1212513x x x x x x x +>⎧--≥+⎧⎪⎪+>-⎨⎨-<⎪⎪-≤⎩⎩6．解不等式组523483x x x x -<+⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并求出它的非负整数解．。

衔接不等式学案1

不等式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如为关于x 的一元二次不等式．[2]一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．则②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b a -，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x b x x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ．则：③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a -++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3．含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式．[1]当0a >时，不等式的解为：b x a>； [2]当0a <时，不等式的解为：b x a<； [3]当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数；② 若0b ≤，则不等式无解．例1 解下列不等式：(1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤(3) 220x x -+<例2 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．例3 解下列不等式： (1)2301x x -<+ (2) 132x ≤+例4 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解例5 解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．例7 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解．练习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；（3）x 2＋3x －4＞0；（4）16－8x ＋x 2≤0．2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．3．m 取什么值时,方程组 24,2y x y x m⎧=⎨=+⎩ 有一个实数解?并求出这时方程组的解．4．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．【巩固练习】1．解下列不等式：(1) 220x x +< (2) 23180x x --≤(3) 231x x x -+≥+ (4) (9)3(3)x x x +>-2．解下列不等式：(1) 101x x +≥- (2) 31221x x +<- (3) 21x >- (4) 221021x x x -+>+3．解下列不等式：(1) 22222x x x ->+ (2) 21110235x x -+≥4．解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．5．已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．6．若不等式2231x x k k+->+的解是3x >，求k 的值．7．a 取何值时，代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0？8．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．9，试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．。

学案1：1.4.1　充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件学习目标1、知识目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．2、素养提升1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.重点难点重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．学习过程一、预习导入阅读课本，填写.1．充分条件与必要条件2. 充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ．此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．概括地说，(1)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (2)若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则称p 是q 的充分不必要条件． (3)若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则称p 是q 的必要不充分条件． (4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件,则q 是p 的充分条件. ( ) (2) 若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立. ( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p 是q 的充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的条件. (2)“a >0,b >0”是“ab >0”的条件.(3)“若p ,则q ”的逆命题为真,则p 是q 的条件. 3．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件A B是q 的充分不必是q 的必要不充p,q 互为充要条件q 的既不充分也不必要条件D ．既不充分也不必要条件自主探究题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法若p ⇒q ，q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⇏q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p ⇏q ，q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件． (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．跟踪训练一1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二充要条件的探求与证明例2 (1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.跟踪训练二2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)(2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.题型三利用充分、必要条件求参数的范围例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____变式． [变条件] 【例3】本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围．跟踪训练三3．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．当堂检测1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．参考答案小试牛刀1．答案：(1) √(2) × (3)×2．（1）充分（2）充分（3）必要 3．A 自主探究例1 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即﹁q ⇒﹁p ，但﹁p ⇒﹁q ，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件． (4)由于a ＜b ，当b ＜0时，ab＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有ab ＜1；当a ＞0，b ＞0，ab ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，ab ＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练一 1．【答案】D例2 【答案】（1）B （2）见解析【解析】(1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B. (2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0. 跟踪训练二2．【答案】（1）B （2）见解析【解析】（1）由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．（2）证明假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. ①证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 例3 【答案】{m |m ≥9}(或[9，＋∞))【解析】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒/p . 即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.变式．【答案】见解析【解析】由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p ⇒/q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10} 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．跟踪训练三 3．【答案】见解析【解析】因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．当堂检测1-3．CAA 4．(－∞，1) 5．①6．【答案】见解析【解析】 (1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件． (2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件． 7．【答案】见解析【解析】由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a >4，解得a >2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]． 8．【答案】见解析【解析】当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，－1a <0，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )有两个负实数根．当a ＜0时，因为f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，所以方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．。

2021_2022学年新教材高中数学第3章不等式3.1不等式的基本性质学案苏教版必修第一册

3.1 不等式的基本性质学习任务核心素养1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)1．通过大小比较，培养逻辑推理素养．2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？知识点1不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤①如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b；即a－b<0⇔a<b.任意两个实数都能比较大小吗？[提示]能．利用作差法比较．1.设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．a>b[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝⎝⎛⎭⎫x＋122＋34>0，∴a>b.]知识点2不等式的基本性质性质1: 若a >b ，则b <a ；(自反性)，a >b ⇔b <a . 性质2：若a >b ，b >c ，则a >c ；(传递性) 性质3：若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；(加法保号性) 性质4：若a >b ，c >0，则ac >bc ；(乘正保号性) 若a >b ，c <0，则ac <bc ；(乘负改号性)性质5：若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；(同向可加性) 性质6：若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；(全正可乘性) 性质7：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N *)．(拓展)不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac >bc ，则a >b .( )(2)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( ) (3)若a >b ，则1a <1b .( )[答案] (1)× (2)× (3)×类型1 利用不等式的性质判断和解不等式【例1】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a ba.其中正确命题的序号是________．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由． (1)②④ [对于①，∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确；对于②，a ab ；a b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a －b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba ，④正确．所以正确答案的序号是②④.](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得 ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ，当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a .1．利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＜b 2＜c 2 B ．ab 2＜cb 2 C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C.]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，则不等式bx －a >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12 [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12.] 类型2 利用不等式的性质比较代数式的大小【例2】已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)． ∵x ≤1，得x －1≤0.而3x 2＋1>0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0. ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.1．将本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1)， ∵3x 2＋1>0，当x >1时，x －1>0，∴3x 3>3x 2－x ＋1. 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1. 当x <1时，x －1<0，∴3x 3<3x 2－x ＋1. 2．已知a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b的大小．[解] 法一：(作差法)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b －1a ＋b ＝(ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )－ab ab (a ＋b )＝a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )，因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )>0，所以1a ＋1b >1a ＋b.法二：(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b 同为正数，所以1a ＋1b 1a ＋b＝(a ＋b )2ab ，所以(a ＋b )2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab >0，即(a ＋b )2ab >1，因为1a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b .法三：(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b.1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1.[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .故选A.] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2，当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2. 类型3 证明不等式【例3】若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. [思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0.两边同乘以1(a －c )2(b －d )2，得1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.本例条件不变的情况下，求证： e a －c >e b －d. [证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c >eb －d.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[跟进训练]5．已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b .[证明] ∵c >a >b >0.∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b c >0 ⇒c a <c b ⇒c －a a <c －b b .又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >bc －b .类型4 利用不等式求取值范围【例4】已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24， ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2，又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)，即－7<a －b <2，故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2. 即2a ＋3b 的取值范围为(8,32)， a －b 的取值范围为(－7,2)．1．在本例条件下，求 ab 的取值范围．[解] ∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b <2. 即ab的取值范围为⎝⎛⎭⎫18，2. 2．若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] 法一：设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，则a ＝x ＋y 2，b ＝x －y 2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.所以3a －2b 的范围是[－2,10]．法二：设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ＝3a －2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52，即3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )，因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤12(a ＋b )＋52(a －b )≤10，即3a －2b 的范围是[－2,10]．1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]6．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．[解] ∵已知－π2≤α<β≤π2.∴－π4≤α2≤π4，－π4<β2≤π4，两式相加得－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.∴－π2≤α－β2<π2，又知α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.7．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的取值范围．[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎨⎧a ＝13(y －x )，c ＝13(y －4x )，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20.1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥bD ．a ≤bC [a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b .] 3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________． (－2,0) [由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1. 所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.]4．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．(－π，2π) [结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]5．已知12<a <60,15<b <36.则a －b 的取值范围为________，ab 的取值范围为________．(－24,45) ⎝⎛⎭⎫13，4 [∵15<b <36， ∴－36<－b <－15，又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45， ∵136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？ [提示] 大于、小于、等于．作差法、作商法． 2．作差法比较大小的具体步骤有哪些？ [提示] 作差、变形、定号． 3．不等式的证明有哪些方法？[提示] 可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)．。

七年级数学下册不等式学案1

9.2实际问题与一元一次不等式（1）第一课时班级教者学生时间学习目标1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系。

学习重点难点重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型；难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．教学过程1、例：甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？思考：甲商场优惠方案的起点为购物款达元后，而乙商场优惠方案的起点为购物款达元后。

这个问题比较复杂，由于甲乙两个商场优惠的起点数额不同，因此必须分别考虑。

1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费。

2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在购物花费小。

3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：（1）什么情况下，在甲商场购物花费小？若设累计购物x元（x＞100）则在甲商场的购物花费为元，则在乙商场的购物花费为元根据甲商场的花费小于在乙商场的花费可列出不等式。

解之得：（2）什么情况下，在乙商场购物花费小？若设累计购物x元（x＞100）根据在商场的花费小于在商场的花费可列出不等式。

解之得：（3）什么情况下，在两家商场购物花费相同？若设累计购物x元（x＞100）则可根据在两家商场的购物费用相同列出方程解之得：根据以上分析归纳出购物方案：（学生口述）上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评（解决此题的时间不大于15分钟为宜）。

2、课堂小结：实际生活中存在的不等关系，可由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案。

不等式证明的基本方法(学生版)

高一数学培优班学案不等式的的证明1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法、综合法与分析法;2. 会利用比较法、综合法和分析法证明不等式预习内容：1．实数大小必较法则：baba-⇔>baba-⇔=baba-⇔<2. 基本不等式：⑴如果,a b∈, 那么222a b ab+≥. 当且仅当a b=时, 等号成立.⑵. 如果,a b∈, 那么2a b+≥当且仅当a b=时, 等号成立.3.均值不等式：如果,a b R+∈,那么22ab a ba b++≤≤≤4. 不等式证明的基本方法：比较法、综合法与分析法了解证明不等式的最基本的基本方法即反证法与放缩法..换元法所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。

其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。

具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。

这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

1.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2nn a a a a a a a a a +∈=+++≥ 例2.已知且求证:2分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：3.例求证课后练习例1.已知.1≠a 求证：（1）;122->a a （2）.1122<+a a例2.,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例3.设0,0>>b a ，分别用分析法与综合法求证: .2233ab b a b a +≥+例4.已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <分别用分析法与综合法求证:.ba mb m a >++例5在ABC ∆中，已知ABC ∆的面积为14，外接圆半径为1，三边长为,,a b c求证111a b c++ 例6已知ABC ∆的三边长为的三边为,,a b c ，面积为S 求证：222a b c ++≥例7：已知,,()lg ,3n n na b c a b c n f n ++=为正数，是正整数，且 12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐ 结步步寻求不等式已论成立的充分条件知求证：2()(2).f n f n ≤点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.例8：已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1。

1.4一元一次不等式(1)学案

过程提示：去分母去括号移项合并同类项化系数为11.4一元一次不等式（1）主备人：王军审核人：姓名班级学习目标：1、理解解一元一次不等式的概念；2、会解简单的一元一次不等式，并能正确地将不等式的解集表示在数轴上。

3、能利用一元一次不等式解决简单的实际问题。

学习重点：一元一次不等式的解法；解一元一次不等式时，去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向学习难点:去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。

预习导学：1、含有未知数的等式叫。

只含有___个未知数，且含未知数的项次数是1的方程叫。

2、使方程成立的未知数的值叫做方程的。

求方程的解的过程叫做。

3、解一元一次方程的一般过程是：4、解方程：623+=-x x3722x x -=-合作探求：1、观察下列不等式：2x -5≥15 x ≤8.75 x ＜4 5+3x ＞240它们有什么共同点？归纳，得出概念：一元一次不等式：叫做一元一次不等式。

2、直接写出不等式的解集：（1）－x ＜2；（2）1－x ＜x －1；3、解不等式5x －1＞8x ＋3，并把它的解集在数轴上表示出来：1、同桌交流“自主学习”的答案。

2、你认为解一元一次不等式与解一元一次方程有何异同？例1：解不等式x -3＜62+x ，并把它的解集表示在数轴上。

解：移项得： x - ＜6合并同类项得：＜两边都除以3-得： x 1-这个不等式的解集在数轴上表示如下:例2：解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集表示在数轴上。

解：去分母得: )2(3+x ≥)7(2x -去括号得: ≥移项得：合并同类项得：两边都除以5得：这个不等式的解集在数轴上表示如下:归纳：解一元一次方程，要根据，将方程逐步化为的形式；而解一元一次不等式，则要根据，将不等式逐步化为的形式。

当堂检测：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2x +1＞3；（2）3（2x +2）≥4(x -1)+7.（3）x+42 ≥－2x+13 (4)2x-13 －4＞－x+42（5）－56 x －1≤2 （6）x x 231)3(21-<-选做题：：（1）当x 取何值时，代数式x+43 与3x-12的值的差大于4？（2）代数式x+43 与3x-12的值的差大于4时，求x 的最大整数解。

均值不等式学案用1

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空⒈正数a 、b 的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．（二）【情境导学】在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b 2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系哪？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．【探究点一】重要不等式a 2＋b 2≥2ab思考: 如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab?【探究点二】基本不等式a ＋b 2≥ab 思考1 如果a>0，b>0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？思考2 如何证明不等式a ＋b 2≥ab (a>0，b>0)?思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b 2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b 2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？例1 已知ab>0，求证：b a ＋a b≥2，并推导出式中等号成立的条件．跟踪训练（1）已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.（2）已知,,a b R +∈求证：11()() 4.a b a b++≥【探究点三】均值不等式ab ≤a ＋b 2的几何解释思考如图，以长为a ＋b 的线段为直径作圆O ，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD′.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？例2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.跟踪训练2 已知a 、b 、c 都是正实数，求证：(a ＋b)(b ＋c)(c ＋a)≥8abc.四、总结反思（本节课我们学到了哪些知识？）五.巩固练习1．若0<aa ＋b 2>ab>bB ．b>ab>a ＋b 2>a C ．b>a ＋b 2>ab>a D ．b>a>a ＋b 2>ab 2．设b>a>0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( ) A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2ab D.123．若a ，b∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 4．若x>0，y>0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y <14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 5．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序号)6判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

不等式高中数学教案

不等式高中数学教案教学目标：1. 能够理解不等式的概念和性质。

2. 能够解决简单的一元不等式。

3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：重点：不等式的概念和性质，一元不等式的解法。

难点：应用不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包括不等式的定义、性质和解法。

2. 打印不等式练习题目，用于课堂练习。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线性方程的解法，了解不等式的概念。

2. 提出一个简单的不等式问题，让学生思考如何解决。

二、讲解不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍不等式的定义，即含有不等号的等式。

2. 讲解不等式的性质，包括可加性、可乘性和转化性等。

三、解决一元不等式（20分钟）1. 讲解一元不等式的解法，包括加减法解法、乘除法解法和开平方解法。

2. 给学生提供几个简单的一元不等式练习题目，让他们尝试解答。

四、应用不等式解决实际问题（15分钟）1. 引导学生思考如何应用不等式解决实际问题，例如长度、面积和体积等问题。

2. 给学生一个实际问题案例，让他们运用所学知识进行解答。

五、总结复习（5分钟）1. 通过回顾本节课的内容，强化学生对不等式的理解和运用能力。

2. 鼓励学生积极思考和练习不等式相关的题目，提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的概念和性质，能够解决简单的一元不等式，并能够应用不等式解决实际问题。

在接下来的教学中，需要继续强化学生对不等式知识的理解和应用能力，提高他们的数学思维和解决问题的能力。

基本不等式学案

变式3：已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x 的最大值.
变式4；已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
变式5；已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
变式6正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
题型二：利用基本不等式求最值
变式1：设变量x,y满足 + 1，则x+2y的最大值和最小值分别是？
变式1；在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x,y)为D上的动点，点A得坐标（，1）则的最大值
题型二：已知最值求参数
例1：设m>1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围
变式1：若变量x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围
例2：甲，已两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到已地，规定速度不超过100千米每小时。已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01，固定部分为a元。（a>0）
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度的函数，并指出定义域
题型三：恒成立问题
例3：若对任意x>0，恒成立，则a的取值范围
变式：已知a,b为正实数且ab=1，若不等式对任意正实数x,y恒成立，则m的取值范围
题型四：应用
例1：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

一元二次不等式的解法(学案)

§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5O y①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值零；当),(21x x x ∈时，函数值零；当21x x x 或=时，函数值零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值零；当0x x =时，函数值零;对于任意实数x ，函数值都不会零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均零；即对于任意实数x ，函数值都不可能零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0二、设A ，B 分别是不等式3x 2+6≤19x 与不等式-2x 2+3x+5>0的解集，试求A ∩B,A ∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2}B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2.不等式12+-x x ≤0的解集是（）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是( ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围;(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是（） A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2） 2.不等式412--x x ＞0的解集是（）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为：（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3}二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值大于零；当),(21x x x ∈时，函数值小于零；当21x x x 或=时，函数值等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是：21x x 和; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：),(),(21+∞⋃-∞x x)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：),[],(21+∞⋃-∞x x )0(,02><++a c bx ax 的解集是：),(21x x )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：],[21x x②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值大于零；当0x x =时，函数值等于零;对于任意实数x ，函数值都不会小于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是：0x ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：}:{0x x R x x ≠∈且)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02><++a c bx ax 的解集是：Φ)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是： }{0x x x =③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均大于零；即对于任意实数x ，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：R x ∈)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：Φ4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x2+5x-2>02、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>04、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 2.不等式12+-x x ≤0的解集是（ D ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( C )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23 D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 0 .例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.解原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0. 解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x cb +ca ＞0, ①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+cb x+ca =0的两根.∵0＜α＜β, ∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx+a ＜0⇔acx 2+ab x+1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,① ②a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x ax ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.解方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f(x)在［-1，+∞）上单调递增， f(x)min =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.方法二由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立，即Δ=4a 2-4(2-a)≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 解得-3≤a ≤1. 变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集. 解 ∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3.故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2ax a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅. 3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462aaaa或解之得a∈∅.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462aaaa或⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈［-7，2］.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log221-x的定义域是（ A ）A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式412--x x ＞0的解集是（ C ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( D )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（ C ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3} 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x .10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x,即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解方法一原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.方法二求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2, ∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。

学案1：2.2.4　第1课时　均值不等式

2.2.4 第1课时均值不等式知识点均值不等式1.给定两个正数a ，b ，数a ＋b 2称为a ，b 的算术平均值，数ab 称为a ，b 的几何平均值． 2．如果a ，b ，当且仅当时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中，的面积最大．自主检测1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2＞2|ab | 2．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b≥2 3．若x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1x ＋y ＞14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1 题型探究探究一用均值不等式判断不等式的成立例1.有下列式子：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 方法提升利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0.跟踪训练1.设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜433，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N 探究二用均值不等式证明不等式例2.(1)证明不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .方法提升利用均值不等式证明不等式的注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用. 知识拓展一、千变万化，不离其宗►逻辑推理均值不等式的几种常见变形及结论(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)；(2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b ≥2(ab ＞0)； (5)a ＋k a≥2k (a ＞0，k ＞0)； (6)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b 都是正实数)．[典例] 已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋ac ＋bc ≤1.二、忽视均值不等式的条件►逻辑推理[典例] 设y ＝x ＋1x，求y 的取值范围．参考答案知识点梳理知识点均值不等式2．≥ a ＝b3．正方形自主检测1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B题型探究探究一用均值不等式判断不等式的成立例1.【解析】∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故①不正确；对于②，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋b ab＝－2＜2，故③不正确；对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.【答案】C跟踪训练1.【解析】M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝x (43－3x )＝13×3x (43－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43－3x 22＝4. ∴M ＞N .【答案】A探究二用均值不等式证明不等式例2.(1)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ac .∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )(当且仅当a ＝b ＝c 取等号)∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＞0，ac b ＞0，ab c ＞0. 则bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋ab c≥2a . 由不等式的性质知，2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . [典例] 证明：∵ab ≤a ＋b 2，bc ≤b ＋c 2，ac ≤a ＋c 2，∴ab ＋ac ＋bc ≤2(a ＋b ＋c )2＝1. 故原不等式成立．[典例]解：当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1－x], ∵(－x )＋1－x ≥2,∴－[(－x )＋1－x]≤－2. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝－1时取“＝”． ∴y 的取值范围为{y |y ≤－2或y ≥2}.。

均值不等式学案--学生版

均值不等式学案（学生版）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222ba b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．解题策略：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

练习1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三：分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。