第8章 常微分方程导学8-1(概念、可分离)
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
高等数学 第八章 常微分方程
第八章 常微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2． 基本公式一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=的通解公式:()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰． 3． 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构． 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以 )0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x yy d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln y x C =-+， 1ex C y -+=，1e e C x y -=±，所以 exy C -= （C 为任意常数）．请思考为什么所求通解 e x y C -= 中的任意常数C 可以为零，如何解释． 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xy k d d =（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 d d s v t=，加速度 22d d d d ts tv a ==，角速度 tw d d θ=，电流 tq i d d =等．例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t 的函数关系．解 设t 时刻镭的现存量()M M t =，由题意知：0(0)M M = ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程kM tM -=d d ，其中(0)k k >为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M 逐渐减小，0d d <tM ．将方程分离变量得ektM C -=，再由初始条件得00e M C C ==， 所以0ektM M -=，至于参数k ，可用另一附加条件 2)1600(0M M =求出，即160000e2k M M -⋅=，解之得k =≈ln .216000000433，所以镭的衰变中，现存量M 与时间t 的关系为0.0004330etM M -=．三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为01,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0，特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin c y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为y x A x B x p =+(c o ss i n )， 代入原方程，可得1,02A B =-= 所以y x x p =-12cos ，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()cos ()sin xn h f x P x x P x x αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =．解二 方程''+=y y x sin 所对应的齐次方程''+=y y 0之通解y C x C x C =+12cos sin ．为求''+=y y x sin 的一个特解，先求辅助方程 i e e (0i )x xy y λλ''+===+ ①的特解，由于i λ= 恰是特征单根，故可设i e xp y Ax =为①的一个特解．将其代入①整理得2i 1A = 即i 2A =-，所以i i i 11e(c o s i s i n )s i n i (c o s)2222xp y x x x x x x x x =-=-+=-， 即y x x *cos =-12为方程''+=y y x sin 的一个特解．因此，所求通解为y C x C x x x =+-1212cos sin cos ．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项()()ecos xm f x P x x αβ=或()()e sin x m f x P x x αβ=时，可先令()()e x m f x P x λ=(i λαβ=+)按λ是否为特征方程的特征根（λ是特征根设1k =，不是特征根设0k =），可设()e kxp m y x Q xλ=为方程()e xm y py qy P x λ'''++=的特解，求出12i p y y y =+的形式，则y 1为''+'+=y py qy ()e cos x m P x x αβ的一个特解， y 2 为''+'+=y py qy ()e sin x m P x x αβ的一个特解． 上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题1． 判断正误（1）若y 1和y 2是二阶齐次线性方程的解，则1122C y C y +（C 1，C 2为任意常数）是其通解 ； （ ⨯ ）解析 只有1y 和2y 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122C y C y +才是通解．（2）'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=； （ ⨯ ） 解析 '''+''-=y y x 0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0=''+'''y y ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此，'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=．（3）方程''-'=y y x sin 的特解形式可设为x B x A sin cos +（Ａ，Ｂ为待定系数） ；（ √ ）解析 对应的齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为 1r =0，2r =1． 又因为1,0==βα,i i αβ±=±不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为x x Q x x P y p s i n )(c o s )(00+== x B x A sin cos +．（4）'=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为01=-r ，特征根为r =1，所以，特征方程的通解为e x y C =．2．选择题（1）2(1)e xy y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e xa xb +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e xp y x ax b =+．（2）2e sin x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ C ）；(A) e sin x A x -； (B) 2e sin x Ax x -； (C) e (sin cos )x A x B x -+； (D) )cos (sin 2x x Ax +．解析 特征方程为 0122=++r r ，特征根为 1r =2r =1-．又因为1,1=-=βα，i 1i αβ±=-±不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cos sin (x B x A e y xp +=-．（3）22e cos x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A) (cos sin )e x x A x B x -+； (B) e cos x Ax x -；(C) e sin x Ax x -； (D) (cos sin )e x Ax x x -+．解析 特征方程为0222=++r r ，特征根为 1r =1i -+，2r =1i --．又因为1α=-，1β=，i 1i αβ±=-±是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 e(c o s s i n xp y x A x B x -=+．（4）下列方程中，通解为12e e x xy C C x =+的微分方程是（ A ）．(A) 02=+'-''y y y ； (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 ； (D) '=y y ．解析 由通解y =12e e x x C C x +=12()e xC C x +可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根1r =2r =1，对应的特征方程为0122=+-r r ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为02=+'-''y y y ．３．填空题（１） 方程 '''+'=y y 0的通解为 123cos sin C C x C x ++；解 特征方程为03=+r r ，特征根为1r =0，2r =i ，3r =i -，方程的通解为 y =123cos sin C C x C x ++． (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．（3）''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ； 解 方程两边积分得 y '=2sin d x x ⎰=12cos x C -+， 微分方程的通解 1(2c o s )d y x C x =-+⎰=122sin x C x C -++．（４）''-'+=y y y 567满足670==x y和'=-=y x 01的特解为 237ee6xx-+ ．解 对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，特征方程为0652=+-r r ，特征根为1r =2，2r =3，对应齐次方程的通解为2312eexxc y C C =+．由于λ=0不是特征方程的根，故设00()ee xxp y Q x A ==，将()Q x A =，0)()(=''='x Q x Q 代入方程，有6A =7， 即 A =67．于是方程的特解为 67=p y ，方程的通解为 23127=e +e6xxy C C +．现在求满足初始条件的特解．对y 求导得23122e 3e x xy C C '=+，将初值代入y 与y '，有121277(0),661(0)23,y C C y C C ⎧⎪==++⎨'-==+⎪⎩即 {12120,231,C C C C +=+=- ⇒{121,1,C C ==- 于是，方程满足初始条件的特解为y =237e e 6x x -+．4． 解答题(1) 用两种方法求解 ''=-'y x y 2；解一 对应的齐次方程为02='+''y y ，特征方程为 022=+r r ，特征根为 1r =0，2r =2-，于是对应的齐次方程的通解为c y =212exC C -+．由于λ=0是特征方程的特征单根，于是设p y =0()e x Q x =x(Ax+B)0e x ， 求导得 B Ax x Q +='2)(， A x Q 2)(=''， 则有 x B Ax A =++)2(22， ⇒ 1,41,4A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以方程的特解为 p y =)414(-x x ，所求方程的通解为 y =212exC C -++442x x-．解二 设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d p x p=-，两边积分，得 l n 2l n p x c=-+， 即2e xp c -=， 根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()exc x x -'=， 2()e,xc x x '=积分得 2()ed xc x x x=⎰=21de2xx ⎰=2211ee d 22xxx x -⎰=22111ee24xxx C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24xx C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e)d 24xx C x --+⎰=212exC C -++442x x-．(2) 求方程 ''+=y y x x cos 2满足10==x y，019x y ='=-的特解；解 对应的齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为1r =i ，2r =i -，对应的齐次方程的通解为c y =12cos sin C x C x +．先求辅助方程2i e x y y x ''+=的特解：由于λ=2i 不是特征方程的特征根，于是设p y =2i ()e x Q x =)(B Ax +2i e x ，A x Q =')(， 0)(=''x Q ，则有 4i 3()A Ax B x -+= ⇒ 1,34i,9A B ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以，辅助方程的特解为p y 14(i)(cos 2i sin 2)39x x x =--+1414(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)i 3939x x x x x x =-++--，于是原方程的特解为 p y =x x x 2sin 942cos 31+-， 所求方程的通解为 y =12cos sin C x C x +14cos 2sin 239x x x-+．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得='y 12128sin cos cos 2sin 2cos 2,339C x C x x x x x -+-++由初始条件10==x y ，019x y ='=-，带入上面两式，得121,2,3C C =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以，满足初始条件的特解为 x x y sin 32cos -=14cos 2sin 2.39x x x -+(3) 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解； 解 整理得 e (e 1)d e (e 1)x y yxx y -=-+，用分离变量法，得eed de 1e 1yxyxy x =--+，两边求不定积分，得 l n (e 1)l n (e 1)l y xC -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1yxC-=+，即 e 1e 1yxC =++．(4) 求()y x y y 2620-'+=的通解；解 分离变量，得 2d 2d 6y y xx y=-，取倒数，有2d 613d 22x x y x y yyy-==-，是x 关于y 一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为d d x y=3yx ，用分离变量法，得 d x x=3d y y，两边积分，得 l n 3l n l n x y c =+， 即 3x c y =，用常数变易法，设方程的解为x =3()c y y ，代入方程，有31()2c y y y '=-， 即 21()2c y y'=-，积分，得 ()c y =12C y+，所以，方程的通解为 x =2312y C y +．(5) 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C 。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
高等数学武大社教案08第八章常微分方程
第八章常微分方程一、教学目标1.熟悉微分方程的基本概念及其求解方程的基本思路；2.掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、常系数齐次线性微分方程的求解方法；3.了解高阶线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程的解法.二、课时分配本章节4共个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.可分离变量的微分方程；2.一阶线性微分方程的解法；3.可降阶的二阶微分方程；4.二阶常系数齐次线性微分方程.四、教学难点1.伯努利方程；2.齐次方程；3.二阶常系数非齐次线性微分方程.五、教学内容第一节微分方程的基本概念一、微分方程的引例【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程.【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y′=x2.两边积分，得y=1/3x3+C.式中，C为任意常数.由于所求曲线过原点，即将y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲线方程为y=1/3x3.二、微分方程的基本概念1. 微分方程和微分方程的阶定义1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程.定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))=02.微分方程的解与通解定义3 某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解.若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解. 当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解. 用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件.一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.【例3】验证函数y=C1e−x+C2xe−x是微分方程y″+2y′+y=0的通解，并求出满足初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2的特解.【解】容易求得y=C1e−x+C2xe−x的一阶导数和二阶导数为y′=(C2−C1)e−x−C2xe−xy′′=(C1−2C2)e−x+C2xe−x代入方程中，得(C1−2C2)e−x+C2xe−x+2[(C2−C1)e−x−C2xe−x]+C1e−x+C2xe−x=[(C1−2C2)+2(C2−C1)+C1]e−x+(C2−2C2+C2)xe−x≡0因此，y=C1e−x+C2xe−x是原微分方程的解.又因为其中含有两个独立的任意常数，因而是方程的通解.将初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2代入，可得C1=4，C2-C1=-2从而解出C1=4，C2=2因此，满足初始条件的特解为y=4e−x+2xe−x第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程在一阶微分方程中，形如dy=f(x)∙g(y)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式两边分别积分，得∫1dy=∫f(x)dx+C若设G(y)及F(x)依次为1/g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C可以证明，G(y)=F(x)+C就是两个方程的通解.值得说明的是，对方程求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0，则可由方程求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.综上所述，求解可分离变量的微分方程的步骤如下：(1) 分离变量；(2) 两边积分.【例1】求方程dydx =−xy的通解.【解】分离变量，得ydy=-xdx两边积分，得∫ydy=∫(−x)dx+C11 2y2=−12x2+C1所以通解为x2+y2=C(2C1=C)其中,C为任意常数.二、一阶线性微分方程如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(8-11)的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程.【例4】求方程(1+x2)y′−2xy=(1+x2)2的通解.【解】原方程可化为y′−2x1+x2y=1+x2所以原方程是线性非齐次的，即P(x)=−2x1+x2,Q(x)=1+x2对应齐次方程y′−2x1+x2y=0，分离变量，得dy dx =2x1+x2dx两边积分，得ln y=ln(1+x2)+ln C 所以齐次方程通解为y=C(1+x2)设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得C′(x)(1+x2)+2xC(x)−2x1+x2C(x)(1+x2)=1+x2整理得C′(x)(1+x2)=(1+x2)C′(x)=1C(x)=x+C由此得到原方程的通解为y=(x+C)(1+x2).第三节可降阶的高阶微分方程一、y″=f(x)类型的方程这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数，而右端不含y，两边积分得y′=∫f(x)dx+C1再积分，得方程通解y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2其中，C1,C2为任意常数.【例1】求方程y″=x+sinx满足初始条件y|x=0=1，y′|x=0=2的解.【解】对方程两端积分，得y′=12x2−cos x+C1将初始条件y′|x=0=2代入，得C1=3,即y′=12x2−cos x+3再次对方程两端积分，可得y=16x3−sin x+3x+C2将初始条件y|x=0=1代入，得C2=1.所以原方程解为y=16x3−sin x+3x+1二、y″=f(x,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含未知函数y，则可以通过变量代换，降为一阶微分方程求解.将y′看作未知函数p(x)，即令y′=p(x)，则y″=dp/dx，代入原方程得到关于x 和未知函数p(x)的一阶微分方程dpdx=f(x,p)设其通解为p=φ(x，C1)或y′=φ(x，C1),积分得原方程通解y=∫φ(x,C1)dx+C2三、y″=f(y,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含自变量x，此时可将y′看作未知函数p(y)，即令y′=p(y)，两边对x求导得y′′=dpdy∙dydx=pdpdy代入原方程得到关于y和未知函数p(y)的一阶微分方程p dpdy=f(y,p)设其通解为p=φ(y,C1)或dy=φ(y,C1)这是关于x和未知函数y(x)的可分离变量的一阶微分方程，若φ(y，C1)≠0，分离变量dyφ(y,C1)=dx 积分得原方程的通解∫dyφ(y,C1)=x+C2其中，C1,C2是任意常数.第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程通解的结构y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.定理1 (齐次线性方程解的叠加性)若函数y1，y2是齐次线性方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)也是方程的解.定理2 (齐次线性方程通解的结构)若函数y1,y2是方程的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)是方程的通解.由此可见,求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 (非齐次线性方程通解的结构)设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,Y是对应的齐次方程的通解,则y=Y+y∗是非齐次方程的通解.定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法设二阶常系数齐次线性微分方程为y′′+py′+qy=0由于方程左端是未知函数y及y′，y″的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零.因此，我们猜测y=e rx可能是方程的解，其中常数r需要待定，它表示了该解的特征.将y=e rx，y′=re rx，y″=r2e rx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)e rx=0.由于e rx≠0，所以r2+pr+q=0.若函数y=e rx是方程的解，则r必须满足方程，称方程为微分方程.【例1】求微分方程y′′−y′−2y=0的通解.【解】微分方程的特征方程为r2−r−2=0即(r+1)(r-2)=0其根为r1=-1，r2=2，故通解为y=C1e−x+C2e2x三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1. f(x)=P m(x)eλx型其中，P m(x)为m次多项式P m(x)=a0x m+a1x m-1+…+a m-1x+a m，λ为常数.这时，微分方程为y″+py′+qy=P m(x)eλx.根据方程两端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)eλx的特解，其中Q(x)是需待定的多项式.将y*的一阶、二阶导数y*′，y*″及y*代入方程中，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).式的左端应是m次多项式.2. f(x)=eλx p m(x)cosωx或f(x)=eλx p m(x)sinωx型设方程y″+py′+qy=eλxpm(x)cosωx，或y″+py′+qy=eλx p m(x)sinωx.其中，p，q，λ，ω＞0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程具有形如y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］.的特解，其中Q m(x)，R m(x)为待定m次多项式，而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0.【例4】求微分方程y″+5y′+4y=3-2x的特解.【解】与所给方程对应的齐次方程为y″+5y′+4y=0它的特征方程为r2+5r+4=0即(r+1)(r+4)=0它的根为r 1=-1，r 2=-4.因为所给方程中λ=0不是特征方程的根，而且P m (x)=3-2x 是一次多项式，所以它的特解应为y*=b 0x+b 1(也是一次多项式).将y*=b 0x+b 1，y*′=b 0，y*″=0代入原方程中，得5b 0+4b 1+4b 0x=3-2x比较两端同次项的系数，得{5b 0+4b 1=34b 0=−2解得b 0=−12,b 1=118，于是，所求特解为y ∗=−12x +118。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
常微分方程
第八章 常微分方程 考试内容常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 贝努利（Ber-noulli ）方程 全微分方程 可用简单变量代换求解的微分方程 可降阶的高微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二姐常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 Euler 方程 微分方程的简单应用 考试要求1. 了解微分方程及其阶，解，通解，初始条件及特解等概念。
2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
3. 会解Ber-noulli 方程和全微分方程（数二，三不要求），会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会用降阶法解下列微分方程：()()"'"',(,),(,).()n f x f x f x yy y y y ===数三不要求5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会街某限额高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7. 会解自由项多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非其次线性微分方程。
8. 会解Euler 方程（数二，三不要求）。
9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
重点内容和长常见题型1. 求五类典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接而属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x 与y 对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型; 2. 求解可降阶方程；3. 求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；4. 根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；通常是引用物理，力学的定律，几何知识等，运用数学的工具建立微分方程与相应的定解条件（重要）。
5. 综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程是数学中最为重要的一个分支，它描述的是关于一个未知函数及其导数的方程。
有着广泛的应用，例如生物学、物理学、经济学等等领域。
本文将为大家详细讲解常微分方程的基本概念。
一、定义常微分方程是指一个未知函数对自变量的一阶或高阶导数以及自变量的关系式。
常见的一阶常微分方程一般形式是$y^\prime=f(x,y)$，其中$y^\prime$表示函数$y(x)$的一阶导数，$f(x,y)$表示方程右端的可导函数。
二、基本形式常微分方程的一般形式可以写成：$$F(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n)})=0$$其中$n$为方程的阶数。
方程的解是指满足上式的函数$y(x)$。
一般情况下，我们只考虑一阶和二阶的常微分方程。
三、初值问题对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，如果已知$y(x_0)=y_0$，那么就得到了关于$x$的一个初值问题。
解这个问题就是找到一个函数$y(x)$，满足$y(x_0)=y_0$且满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$。
四、解的存在唯一性定理常微分方程的解不一定存在，而且即使存在，也不一定唯一。
因此，我们需要一个定理来保证解的存在唯一性。
定理：设$f(x,y)$及其偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$在矩形$R=\{|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b\}$中连续，则在点$(x_0,y_0)$存在唯一的解$y=\varphi(x)$满足$\varphi(x_0)=y_0$。
解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基础，也是实际应用中判断解的存在性和唯一性的必要条件。
五、解的通解对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，我们可以通过变量分离法、一次齐次方程法、常数变易法等方法得到它的解。
通解指满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$的所有解的集合，常常表示为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$是任意常数。
第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题
221第八章 微 分 方 程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方程的解法．第一节 微分方程的基本概念例1 自由落体运动 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛顿第二定律：ma F =，它的运动路程)(t s s =大小的变化规律可表示为：m g dtsd m =22． 且还满足0)0(,0)0(='=s s ，即⎪⎩⎪⎨⎧='==(2) 0)0(,0)0((1) 22s s g dt sd对（1）两边积分，得 1C gt dtds+=， （３） 对（３）两边积分，得21221C t C gt s ++=， （４） 这里21,C C 都是任意常数．将（2）代入（４），得0,012==C C ． 故自由落体运动路程的规律为221gt s =． （５） 这是微分方程应用的最早一个例子．例２ Malthus 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．设时刻t 的人口为)(t x ，净相对增长率为r ，我们将)(t x 当作连续变量考虑，开始时（0=t ）的人口数量为0x ，即0)0(x x =．按照Malthus 理论，于是)(t x 满足如下方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==(7).)0((6), 0x x rx dt dx其中r 为常数．（6）称为Malthus 人口模型． 对（6）整理，得r d t xdx=． （8） 对（8）两边积分，得rt Ce t x =)(， （9）222将（7）代入（9），得0x C =，故人口增长规律为rt e x t x 0)(=． （10）如果0>r ，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当∞→t 时，+∞→)(t x ，这似乎不可能． 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，误差较大．例３ Logistic 模型 荷兰生物数学家V erhulst 引入常数m x 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口，并假定净相对增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m x t x r )(1，即净相对增长率随着)(t x 增加而减少．因为随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．这正是对Malthus 人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus 人口模型（6）变为：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=(12). )0((11), )()(10x x t x x t x r dt dx m该模型的解为()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110， （13）易看出，当+∞→t 时，m x t x →)(．这个模型称为Logistic 模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应用．例４ 广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少．设)(t s 为t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的上限；0>λ为衰减因子常数，即广告作用随时间增加，而自然衰减的速度；)(t A 为t 时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=(15) )0((14) )()(1)(0s s t s M t s t A p dtds λ 其中p 为响应函数，即)(t A 对)(t s 的影响力，p 为常数．223由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：⎩⎨⎧>≤≤=ττt t A t A 00)(， 其中A 为常数．在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则τaA =，代入（14），有ττλa p s a M p dt ds ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++， 令τλa M p b ⋅+=； τpac =． 则有c bs dtds=+． （16） 解（16），得bcke t s bt+=-)( ， （17） 其中k 为任意常数．将（15）代入（17），得()bt bt e s e bct s --+-=01)(， （18） 当τ>t 时，由)(t A 的表达式，则（14）为s dtdsλ-=． （19） 其解为()t e t s t s -=τλ)()(． （20） 这样，联合（18）与（20），得到()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---τττττλt e s t e s e bct s btbt )(01)(0． （21）其图形如图8-1．224图8-1上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程． 一般地，n 阶微分方程的形式是,,(y x F )(,,n y y ')=0 (22)其中2+n F 是个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，)(n y 必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现．例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现．如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y (23)以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，0)](,),(),(,[)(≡'x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（22）在区间I 的解．由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．一般地，设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是,00y y x x ==时，或写成 00y yx x ==．225其中0x 、0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：,00y y x x ==时，0y y '='， 或写成 00y yx x ==,0y y x x '='=． 其中00,y x 和0y '都是给定的值． 由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解． 微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．第二节 变量分离方程从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．形如)()(y x f dxdyϕ= （1） 的方程，称为变量分离方程．其中)(x f 和)(y ϕ分别是x 和y 的连续函数．下面说明方程（１）的求解方法．如果0)(≠y ϕ，我们可将方程（１）改写成dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解C dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ （2） 这里我们把积分常数C 明确写出来，而把)(y dy ϕ⎰，dx x f )(⎰分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数． 如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入方程（1），可知0y y =也是（1）的解．如果它不包含在方程的通解（2）中．必须予以补上．例1 求微分方程xy dxdy2= (3) 的通解．226解 方程（3)是变量分离方程，变量分离后得xdx ydy2=， 两端积分⎰⎰=xdx y dy2，得 12ln C x y +=， 从而 2112x C C x e e e y ±=±=+，因1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，得到2x Ce y =． （4）此外，0=y 显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许0=C ，则0=y 也就包含在（4）中，因此，（3）的通解便是方程（4），其中C 是任意常数．例２ 解方程0)1(=++dy x xydx ． （5） 解 变量分离，得 dx x xy dy 1+-=， 两边积分，得dx x xy dy 1+-=⎰⎰， ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+-=dx x dx x x y 111111ln ， 1ln 1ln ln C x x y +-=+-， 1ln 1lnC x x y+-=+， x Ce x y-=+1（1C C ±=）， 故所求方程的通解为x e x C y -+=)1(． （6）此外，0=y 显然也是方程（５）的解，而0=y 包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的通解，其中C 是任意常数．例３ 解Malthus 人口模型：227rx dtdx=， 0)0(x x =． 解 变量分离，得rdt xdx=， 两边积分，得C rt x ln ln +=，rt Ce t x =)(，因初始条件()00x x =，所以0x c =，故满足初始条件的解为rt e x t x 0)(= ．第三节 齐次方程形如)(xydx dy ϕ= （１） 的方程，称为齐次方程．这里)(u ϕ是u 的连续函数．例如：0)2()(22=---dy xy x dx y xy ，是齐次方程，因为)(21)(2222xy x yxy xyx y xy dx dy --=--=． 下面说明方程（１）的求解方法． 作变量变换，令xyu =， （２） 即ux y =，于是dxdu x u dx dy +=， （３） 将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为)(u dxduxu ϕ=+， 即 u u dxdux -=)(ϕ． 变量分离，得xdxu u du =-)(ϕ，两边积分，得228⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ．求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解． 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22． 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy y dx dy ， 因此是齐次方程．令,u xy=则 dxdu x u dx dy ux y +==,， 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ，即 1-=u u dx du x ． 变量分离，得xdx du u =-)11(，两端积分，得x C u u ln ln =+-，或写为 C u xu +=ln ． 以xy代入上式中的u ，便得所给方程的通解为 C xyy +=ln ． 例2 求解方程y xy dxdyx=+2 )0(<x ． 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2 )0(<x ，这是齐次方程． 以u xy =及u dx duu dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdux 2=， （4） 分离变量，得到xdxudu =2，229两边积分，得到（4）的通解C x u +-=)l n (，即()[]2ln C x u +-=． )0)(l n (>+-C x 这里C 是任意常数． （5）此外，方程（4）还有解 0=u ，注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解[]2)l n (C x x y +-= )0)(l n (>+-C x 及解0=y ．第四节 一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy=+ （1） 的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程．如果0)(≡x Q 则方程（1）称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的．当0)(≡x Q 时，（１）可写成0)(=+y x P dxdy（2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得dx x P ydy)(-=， 两边积分，得⎰+-=1ln )(ln C dx x P y ，由此得)(,1)(C C Ce y dxx P ±=⎰=- （３）式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C 是任意常数．下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C 恒保持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数C 换成x 的待定函数)(x u ，使它满足方程（１），从而求出)(x u ．该方法称为常数变易法．为此，令⎰=-dx x P ue y )( ， （４） 于是 ⎰-⎰'=--dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()(． （５）将（４）和（５）代入方程（1）得230)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，即 )()(x Q e u dx x P =⎰'-，⎰='dxx P e x Q u )()(． 两边积分，得 ⎰+⎰=C dx e x Q u dxx P )()(．把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()(． （６）将（６）式改写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．例 1 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解．解 这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．012=+-y x dx dy ， 变量分离，得12+=x dxy dy ， 两边积分，得 1ln 1ln 2ln C x y ++=，即 2)1(+=x C y （1C C ±=）．用常数变易法，把()x u C 换成，即令2)1(+=x u y ， （7）那么 )1(2)1(2+++'=x u x u dxdy， 代入所给非齐次方程，得21)1(+='x u ．两边积分，得 C x u ++=231(32）． 在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232)1(32)1(．231例2 求方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 的通解，这里n 为常数． 解： 将方程改写为 n x x e y x ndx dy )1(1+=+-， （8）首先，求齐线性方程 01=+-y x ndx dy 的通解，从dx x n y dy 1+=得到齐线性方程的通解为 n x C y )1(+=．其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把C 看成为x 的待定函数)(x u ，即n x x u y )1)((+=， （9）微分之，得到)()1()1()(1x u n n x dxx du dx dy n n -+++=． （10） 以（9）及（10）代入（8），得到x e dx x du =)(， 积分之，求得 C e x u x ~)(+=，因此，以所求的)(x C 代入（9），即得原方程的通解)~()1(C e x y x n ++=． 这里C ~是任意常数 二 、 伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ )1,0(≠n （11） 的方程叫做伯努利方程．当0=n 或1=n 时，这是线性微分方程．当1,0≠≠n n 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以n y 除方程（10）的两边，得)()(1x Q y x P dxdyyn n=+--． （12） 容易看出，上式左端第一项与)(1ny dxd -只差一个常数因子n -1，因此，我们令 n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n --=)1(． 用)1(n -乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+．232求出这方程的通解后，以z y n 代-1，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当0>n 时，方程还有解0=y ．例3 求方程2)(ln y x a xydx dy =+， 的通解．解 以2y 除方程的两边，得x a y xdx dy y ln 112=+--． 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---．令1-=y z ，则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-， 这是一个线性方程，它的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)(ln 2x a C x z ．以1-y 代z ，故得所求方程的通解为1)(ln 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C yx ．此外，方程还有解0=y ．在上节中，对于齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛='x y y ϕ，我们通过变量变换xu y =，把它化为变量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程)()(x Q y x P y =+'，我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换⎰=-dxx P ue y )(，利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程n y x Q y x P y )()(=+'，我们通过变量变换z yn=-1，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．233第五节 可降阶的高阶微分方程从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：二阶微分方程的一般形式为0),,,(='''y y y x F或者),,(y y x f y '=''一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法． 一、()x f y =''型的微分方程形如)(x f y ='' （１）的方程，右端仅含有自变量x ．两端同时积分一次，就化为一阶方程1)(C dx x f y +='⎰再积分一次，得到通解21])([C dx C dx x f y ++=⎰⎰一般地对())(x f y n =求解，只需对方程两端积分n 次． 例1 求解方程x e x y -+=''2s i n ．解 对所给的方程连续积分两次，得12cos 21C e x y x +--='-， 212sin 41C x C e x y x +++-=-所求的通解为212s i n 41C x C e x y x +++-=-． 例2 求微分方程x ey xc o s 2-='''．的通解．解 对所给方程连续积分三次，得C x e y x+-=''sin 212， 22cos 41C Cx x e y x+++='，23432212sin 81C x C x C x e y x ++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21C C ．所求的通解为32212sin 81C x C x C x e y x ++++=．二、),(y x f y '=''型的微分方程形如),(y x f y '='' （２）的方程，右端不显含未知函数y ．这时，只要令,p y ='那么p dxdpy '=='' 而方程（２）就化为),(p x f p ='．这是一个关于变量p x 、的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为),(1C x p ϕ=．但是dxdyp =，因此又得到一个一阶微分方程 ),(1C x dxdyϕ=． 对它进行积分，便得方程（２）的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ．例3 求微分方程y x y x '=''+2)1(2，满足初始条件,10==x y 30='=x y的特解．解 所给方程是),(y x f y '=''型的．令,p y ='代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得C x p ++=)1ln(ln 2,235即 )1(21x C y p +='=． ()C e C ±=1 由条件30='=x y ，得31=C ，所以 )1(32x y +='． 两边再积分得 233C x x y ++=． 又由条件,10==x y 得12=C ，于是所求的特解为133++=x x y ．三、),(y y f y '=''型的微分方程形如),(y y f y '='' (３)的方程，其中不明显地含自变量x ．这时，只要令p y ='，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dydppdx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样方程(３)就成为),(p y f dydpp=． 这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 ),(1C y p y ϕ=='， 分离变量并积分，便得方程（３）的通解为⎰+=21),(C x C y dyϕ．例4 求微分方程02='-''y y y的通解．解 所给方程是),(y y f y '=''型的．令 p y ='，则236dydp p y =''， 代入原方程，得02=-p dydpyp． 在0≠y 、0≠p 时，约去p 并分离变量，得ydyp dp =． 两边积分，得C y p +=ln ln ，即 y C p 1=，或y C y 1'= )(1C e C ±=． 再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为2'1ln C x C y +=，或 ｘＣ１e C y 2= )２＇＝（２C e C ±．第六节 二阶线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程的形式为0)()(=+'+''y x Q y x P y ． （1）如果)()(x Q x P y y 、的系数、'均为常数，则（1）式为0=+'+''qy y p y ， （2）其中q p 、是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果q p 、不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理： 定理1 （解的叠加定理）如果21y y 、是方程（２）的两个解，那么2211y C y C y +=也是（2）的解，其中21,C C 是任意常数．237定理2 如果21y y 、是方程（２）的两个不成比例的特解（即常数≡/21y y ），则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解，其中21,C C 是任意常数．在这里我们之所以要求21,y y 不成比例，是因为如果有21Cy y =，那么就可推出()2212211y C C C y C y C y +=+=，即通解2211y C y C y +=中的两个任意常数变成一个．根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解21,y y ，且常数≡/21y y ，则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解．仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测方程（2）的解是指数函数．取rx e y =（r 为常数），选取适当的r ，使它满足方程（２），则rx e y =就是方程（2）的解． 将rx e y =代入方程（2），得到0)(2=++rx e q pr r ．由于0≠rxe，所以02=++q pr r ． （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数rx e y =就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r r 、2的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y y '''、及y 的系数．特征方程（3）的两个根21r r 、可以用公式2422,1qp p r -±-=求出．它们有三种不同的形式：（i ）当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根：2421q p p r -+-=，2422q p p r ---=（ii ）当042=-q p 时，21,r r 是两个相等的实根：221pr r -==238（iii ）当042<-q p 时，21,r r 是一对共轭复根：,1βαi r += ,2βαi r -=其中 ,2p-=α 242p q -=β． 相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下： （ⅰ）特征方程有两个不相等的实根：21r r ≠． 微分方程（2）有两个解x r x r e y e y 2121==、，并且12y y 不是常数，因此微分方程（2）的通解为 x r x r e C e C y 2121+=．（ⅱ）特征方程有两个相等的实根：21r r =． 这时，微分方程（2）有一个解.11x r e y =下面求出微分方程（2）的另一个解2y ，并且要求12y y 不是常数． 设)(12x u y y =，)(12x u e y x r =即，代入微分方程（2），可得 0)(=''x u因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x u =，由此得到微分方程（2）的另一个解.21x r xe y =从而微分方程（2）的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 ()xr e x C C y 121+=（ⅲ） 特征方程有一对共轭复根：)0(,21≠-=+=ββαβαi r i r ． 这时，微分方程（2）有两个解()()x i xi e y ey βαβα-+==21, ，并且12y y 不是常数．但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式θθθsin cos i ei +=，21,y y 把改写为()),sin (cos 1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+ ())sin (cos 2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--．239由于复值函数21y y 与之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数,cos )(21211x e y y y x βα=+=x e y y i y x βαsin )(21212=-=还是微分方程（2）的解，且x xe xe y y x x βββααcot sin cos 21==不是常数，所以微分方程（2）的通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ， 的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程02=++q pr r ． 第二步 求出特征方程（3）的两个根21,r r ．第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程032=-'-''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0322=--r r ，其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为x x e C e C y 321+=-．例2 求方程0222=++s dt dsdts d 满足初始条件2400-='===t t s s 、的特解．解 所给微分方程的特征方程为2400122=++r r ，其根121-==r r 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为t e t C C s -+=)(21，将初始条件2400-='===t t s s、代入通解，得41=C ，22=C于是所求特解为t e t s -+=)24(．例３ 求微分方程052=+'-''y y y 的通解． 解 所给方程的特征方程为,0522=+-r r其根i r 212,1±=为一对共轭复根．因此所求通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=．二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是),(x f qy y p y =+'+'' （4） 其中q p 、是常数，0)(≠x f ．当0)(=x f 时，（4）可写为0=+'+''qy y p y ． （5）叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：定理3 如果*y 是方程（4）的一个特解，Y 是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）的通解为*+=y Y y ．由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解*y 的方法．本节介绍当方程（4）中的()x f 取两种常见形式时求*y 的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出*y 来，这种方法叫做待定系数法．)(x f 的两种形式是241（1）x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(．（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中ωλ、是常数，)()(x P x P n l 、分别是x 的l 次、n 次多项式，其中有一个可为零．下面分别介绍)(x f 为上述两种形式时*y 的求法．1．)()(x P e x f m x λ=型我们知道，方程（4）的特解*y 是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？因为（4）式右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型，因此，我们推测x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把"'***y y y 及、代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式)(x Q ，使x e x Q y λ)(=*满足方程（4）．为此将,)(x e x Q y λ=*[])()(x Q x Q e yx '+='*λλ， [])()(2)(2x Q x Q x Q e yx ''+'+="*λλλ 代入方程（4）并消去x e λ，得 )()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． （6）推导可知如下结论：如果x m e x P x f λ)()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如x m k e x Q x y λ)(=* （7）的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次m (次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为10、或2． 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取为0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）．例1 求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解．解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数)(x f 是x m e x P λ)(型（其中0,13)(=+=λx x P m ）．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为032=-'-''y y y ,242它的特征方程为0322=--r r ．有两个实根3,121=-=r r ，由于这里0=λ不是特征方程的根，所以应设特解为10b x b y +=*．把它代入原方程，得13323100+=---x b b x b ,比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 由此求得31,110=-=b b ．于是求得一个特解为 31+-=*x y ． 例2 求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且型是x m e x P x f λ)()(（其中）2,)(==λx x P m ． 与所给原方程对应的齐次线性微分方程为065=+'-''y y y ，它的特征方程为0652=+-r r ，有两个实根3,221==r r ，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为x x e C e C Y 3221+=．由于2=λ是特征方程的单根，所以应设*y 为x e b x b x y 210)(+=*，把它代入所给原方程，得x b b x b =-+-10022，比较等式两端同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ， 解得1,2110-=-=b b ．因此求得一个特解为243x e x x y 2)121(--=*． 从而所求的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=． 2．[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型 应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为]s i n c o s )([)2()1(x R x x R e x y m m x k ωωλ+=* （8）其中)(),()2()1(x R x R m m 是m 次多项式，},max{n l m =，而ωλi k +按（或ωλi -）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为10或．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的k 是特征方程中含根ωλi +（或ωλi -）的重复次数．例3 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型（其中0)(,)(,2,0====x P x x P n l ωλ）．与所给方程对应的齐次方程为0=+''y y ，它的特征方程为012=+r ，有两个复根i r i r -==21,，由于这里i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以应设特解为x d cx x b ax y 2sin )(2cos )(+++=*．把它代入所给方程，得x x x a d cx x c b ax 2cos 2sin )433(2cos )433=++-+--（．比较两端同类项的系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=+-=-0430304313a d c c b a ， 由此解得 94,0,0,31===-=d c b a ． 于是求得原方程的一个特解为244 x x x y 2sin 942cos 31+-=*． 以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．。
实用高等数学电子教案第8章 常微分方程精品文档
若当r为常数，有
dy dt
ry
这就是病人数所满足的
微分方程。两端积分有 lnyrtlnC，即 y Cer t ，
根据已知条件可知 C=1 ， r 1 ln 3 。
12
8.2 一阶微分方程
y(60)el1n326035 243
y(72)el1n327236 729
y(84)el1n328437 2187
为 y ，据题意应有
x
y
y x
1，即
dy dx
x y
这就是曲线应满足的方程，它包含自变量，未知
函数及其导数。解这个方程就得所求曲线。
8.1 微分方程的基本概念
引例2（自由落体运动） 一质量为m质点， 在重力的作用下自由下落，求其方程。 解：取如图所示坐标系 由牛顿第二定律，可知运动方程为
8.2 一阶微分方程
规律： 一阶非齐次线性方程的通解等于对 应的齐次方程的通解与非齐次线性方程 的一个特解之和。
8.2 一阶微分方程
例9 求微分方程 xyyxex满足条件
y |x11的特解。 解：将原方程变形为
y 1 y ex
x
利用公式 P(x)1，Q(x)ex
x
y e 1 xd x(e xe 1 xd xd x C ) 1 x (x 2 1 )e x C
的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
8.2 一阶微分方程
例4 求微分方程
dy dx
的2 x通y 解。
解: 此方程是可分离变量的，分离变量后得
dy 2xdx y
两端积分
dy y
2 xdx
得
ln| y|x2C1
高等数学第八章 常微分方程
2020/3/2
示例
验证 y Cex2是一阶微分方程y2xy的通解.
y Cex2 yCex2 2x 把 y及 y ' 代入微分方程，得 yCx2e2x2xC x2 e2xy yCxe2是y2xy的通解
2020/3/2
示例
求微分方程 yytaxnsexc满足条件 y 0 x0
的特解.
2020/3/2
P (x ) tax ,Q n (x ) se xc
∴通解为 y e ta xn d sx x e te a x c d n d x C x
第八章 常微分方程
第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程
2020/3/2
微分方程
含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
凡未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程 未知函数多元函数的微分方程叫偏微分方程 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫微分方程的阶
2020/3/2
把方程分离变量为 lnydylnxdx
y
x
等式两端求积分，得 lnyydylnxxdx
ln y(d ly) n ln x(dlx )n1 2lny21 2lnx2C1
2020/3/2 化简得 ln y2 通 ln x2解 2 C 1 为 C
形 如 d y f ( x ) g ( y ) 的 微 分 方 程 称 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 d x
求解方法： （1）将方程分离变量得 dy f (x)dx g(y)
（2）等式两端求积分，得通解 gd(yy)f(x)dxC
第八章常微分方程
第八章：常微分方程本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．§8.1 一阶微分方程本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．● 常考知识点精讲一、常微分方程的概念含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．若记自变量为x ，未知函数为()y y x =，则n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,)0n F x y y y '=若函数()f x 在I 上存在n 阶导数，且满足方程 ()(,(),(),,())0n F x f x f x f x '≡，()x I ∈则称()f x 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=在I 上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．二、一阶微分方程的类型及其解法1．变量可分离的一阶微分方程形如：()()dyf xg y dx=或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=的方程，称为变量可分离的微分方程． 解法：分离变量法． 2．一阶线性微分方程形如：()()y P x y Q x '+=的方程，叫一阶线性微分方程．解法：通解由公式()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰给出． 3．全微分方程（数一）⑴ 全微分方程及其解法如果一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=满足Q Px y∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 解法：通解由公式00(,)(,)xyx y P x y dx Q x y dy C +=⎰⎰给出．⑵ 积分因子如果条件Q Px y∂∂=∂∂不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)u x y ，使方程(,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy ⋅+⋅=成为全微分方程，则称(,)u x y 是微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子．⑶ 求积分因子 求积分因子，一般说来不是一件容易的事，通常只要求掌握用观察法求积分因子就行了． ① 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有xdx ydy +的项，而其它项中都含有因式22x y +，则方程可能有积分因子221x y +．② 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy +的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ③ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ④ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项都只是含x （或y ）的微分表达式，则方程可能有积分因子21x（或21y ）． ⑤ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式22x y +（或22x y -），则方程可能有积分因子221x y +（或221x y -）．4．一阶齐次微分方程形如()yy f x'=的一阶微分方程，叫一阶齐次微分方程． 解法：设yu x=，将方程化为可分离变量方程． 5．贝努利方程（数一）形如()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠的方程叫贝努利方程． 解法：令1nz y-=，将方程化为z 的一阶线性方程．6．可化为一阶齐次的微分方程形如111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠的一阶微分方程叫可化为一阶齐次的微分方程．（当11220a b a b =时，读者自己考虑如何求解） [例1.1] 求下列方程的通解 ⑴ ()()0x yx x y y ee dx e e dy ++-++= ⑵sin cos x y y x e -'+=解：⑴ 方程变形为 (1)(1)0yxxye e dx e e dy -++= 这是可分离变量的微分方程，分离变量得(1)(1)x yxy e e dx dy e e -=+- 上式两端求不定积分(1)(1)x yxy e e dx dy e e -=+-⎰⎰ 所以 ln(1)ln(1)ln xye e c +=--+ 故原方程通解为 (1)(1)xye e c +-=；⑵ 方程是一阶线性微分方程，其通解为cos cos sin ()xdx xdx x y e e e dx c --⎰⎰=+⎰sin sin sin sin ()()xx x x e e e dx c e x c ---=+=+⎰．●● 常考题型及其解法与技巧一、变量可分离的方程 变量可分离的方程()()dyf xg y dx=求通解的思路：①变量分离，将原方程化为()()dy f x dx g y =；②两端积分()()dyf x dxg y =⎰⎰，可得． [例8.1.1] 求微分方程sin cos ln 0x xdx y ydy -=的通解 解：将方程分离变量，得ln sin cos dy dxy y x x=等式两端分别求不定积分ln sin cos dy dxy y x x=⎰⎰ 即有 2ln ln ln tan ln cos tan dxy x c x x ==+⋅⎰所以方程通解为 t a nc x y e =．[例8.1.2] 求方程221dyx y xy dx=-+-满足初始条件(0)1y =的特解． 解：方程变形为 2(1)(1)dyx y dx=-+ 分离变量得2(1)1dyx dx y=-+ 等式两端分别求不定积分2(1)1dyx dx y =-+⎰⎰即有 21arctan 2y x x c =-+ 由(0)1y =，可得4c π=，所以方程的特解为21tan()24y x x π=-+． 二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程求通解的一般思路就是利用通解公式完成．[例8.1.3] 求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件()1y e =的特解． 解：将方程化为11ln dy y dx x x x+=，这是一阶线性微分方程，其通解为 112ln ln 111[](ln )ln 2dx dx x x x x y e e dx c x c x x -⎰⎰=+=+⎰ 由()1y e =可得12c =．所以方程的特解为 11ln 22ln y x x=+[例8.1.4] 求微分方程2412dy y dx y xy+=-的通解． 解：此微分方程既不是齐次微分方程也不是变量可分离的微分方程．若以y 为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x 为未知函数的微分方程，即4221dx y xy dy y -=+，也就是422211dx y y x dy y y+=++． 这是以x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得 22224511225[]15(1)yydydy y y y y cx ee dy c y y -++⎰⎰+=+=++⎰ 评注：在判定一个微分方程是否为一阶线性微分方程时，应注意适当选择变量作函数．三、通过变量代换求解的方程Ⅰ 齐次微分方程齐次微分方程()dy y f dx x=求通解的思路：①令yu x =，则原方程化为()xu f u u '=-（*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的u 用yx代换即得原方程的通解．[例8.1.5] 求微分方程22dy xy dx x y=-满足(0)1y =的特解． 解：方程是一阶齐次微分方程，令yu x=，则原方程变为 21du uu x dx u+=-，即321du u x dx u =-， （*） 求得方程（*）的通解为 212u cux e-=，即222x y cy e-=， 由于(0)1y =，所以，1c =，从而所求特解为222x y y e -=．Ⅱ 可化为齐次的微分方程 方程111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠求通解的思路：①解方程组1112220a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩得x h y k =⎧⎨=⎩；②令x X h y Y k=+⎧⎨=+⎩，原方程变为1122()a X b Y dYf dX a X b Y +=+ （*）；③求方程（*）的通解；④将上通解中的,X Y 分别用,x h y k --代换即得原方程的通解． [例8.1.6] 求微分方程13x y y x y ++'=--的通解．解：解方程组1030x y x y ++=⎧⎨--=⎩得1,2x y ==-令1,2x X y Y =+=-，则原方程变为dY X YdX X Y+=- （*） 令Y u X =，则dY du u XdX dX=+，方程（*）变为 21111du u u X u dX u u++=-=-- （**） 可求得方程（**）的通解为21arctan ln(1)ln 2u u X c -+-= 所以方程（*）的通解为221arctan ln()2Y X Y c X -+= 因此原方程的通解为： 2221arctan ln(245)12y x y x y c x +-+-++=-． Ⅲ 贝努利方程贝努利方程()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠求通解的思路：① 令1nz y -=，则原方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- （*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的z 用1ny -代换即得原方程的通解．[例8.1.7] 求微分方程43sec tan y y x y x '-=的通解． 解：令3z y -=，所给方程化为一阶线性方程为：sec tan dzz x x dx +=- 新方程的通解为 c o s 1s i n()1sin cos cos x x z x c x x x=--+++因此原方程的通解为 3c o s 1s i n ()1sin cos cos x x y x c x x x-=--+++．[例8.1.8] 求方程2223(23)0dy x x y xy y dx--+=的通解．解：若将x 看成自变量，y 看成因变量，则是不为我们熟习的基本类型．此时交换自变量与因变量的位置得2223230x x y xy dx y dy --+=，即22332()dx x x dy y y y-=- 这是贝努利方程，令1z x=，则上方程变为32123dz z dy y y y+=- 上方程为一阶线性微分方程，通解为()()[()]p y dyp y dyz e Q y e dy c -⎰⎰=+⎰12[3ln ]y c y y=--+ 所以原方程通解为23ln y y c x y=--+． 评注：在判定一个方程是否为贝努利方程时，应注意适当选择变量作函数． Ⅳ 其它情形 [例8.1.9] 求微分方程2221dy x y dx y x -+=-+的通解． 分析：此微分方程的形式类似于[例8.1.6]，但21021-=-，不是可化为一阶齐次的情形．解：作代换2x y u -=，则2dy dudx dx =-，于是方程化为 221du u dx u +-=-，即31du udx u =- 这是变量可分离的方程，容易求得其通解为 1ln 3u u x c -=+ 用2u x y =-回代，得原方程的通解为 ln 2y x x y c ++-=．[例8.1.10] 求微分方程22()()0y xy dx x x y dy ++-=的通解．分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的类型，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成(1)(1)dy y xy dx x xy +=- 发现方程右端的分子分母中都含有xy 的一次式，这就启示我们，可考虑尝试变量代换xy u =，此时21()dy dux u dx x dx=⋅-，原方程变为 221(1)()(1)du u u x u x dx x u +⋅-=-，即221du u x dx u =- 这是可分离变量的方程．易求得其通解为 21ln ln u cx u+=所以原方程的通解为 1xy xc e y=．[例8.1.11] 求微分方程(1)yx dye xe dx-+=的通解． 分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的六种类型之一，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成1x y dyxe dx+=- 方程的右端含有x y +，可考虑尝试变量代换u x y =+，此时1dy du dx dx=-，于是方程化为u duxe dx= 这是变量可分离的方程，易求得其通解为 212ue x c --=+ 从而原方程的通解为 ()2102x y ex c -+++=． 四、全微分方程全微分方程求通解可以利用公式求，也可以将方程化为0du =，从而得到通解(,)u x y c =．[例8.1.12] 求微分方程2322(2sin 3)(cos )0x y x y dx x x y y dy ++++=的通解．解：令2322(,)2sin 3,(,)cos P x y x y x y Q x y x x y y =+=++，则它们在整个平面上都有连续一阶偏导数，且22cos 3P Q x y x y x∂∂=+=∂∂，故方程是全微分方程，它的通解为0(,0)(,)xy P x dx Q x y dy c +=⎰⎰，即3231sin 3x y x y y c ++=．[例8.1.13] 求微分方程224(144)0xdx y x y y dy +++=的通解． 解：这不是全微分方程．将其改写成3224()0xdx ydy y x y dy +++= 方程有积分因子221(,)u x y x y =+，用它乘方程的两端得32240xdx ydy y dy x y++=+即有 2241[ln()]02d x y y ++= 所以原方程通解为2241ln()2x y y c ++=． [例8.1.14] 设()f x 有一阶连续导数，(0)1f =，又设2()(()2)0y xy dx f x xy dy +++=是全微分方程，求()f x 及该全微分方程的通解． 解：由题设知2(()2)()f x xy y xy x y∂∂+=+∂∂ 即 ()f x x '=，所以21()2f x x c =+ 又(0)1f =，从而1c =，故21()12f x x =+．代入原方程，得221()(21)02y xy dx x xy dy ++++=从而可得 221()02d xy x y y ++=所以原方程的通解为 2212xy x y y c ++=．五、一阶微分方程综合题型Ⅰ 由自变量的改变量与函数改变量的关式式确定的方程此类题的解题思路：① 由导数的定义，通过所给关系式，建立微分方程；②求解微分方程．[例8.1.15] 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量()1yy x o x x∆=∆+∆+(0)x ∆→， (0)1y =，则(1)y =（A ）1- （B ） 0 （C ）1， （D ）2解：由于()1yy x o x x∆=∆+∆+，所以 ()1y y o x x x x∆∆=+∆+∆ 上是两端令0x ∆→可得1y y x'=+这是变量可分离的一阶微分方程，其通解为(1)y c x =+， 又因为(0)1y =，所以1c =，从而(1)2y =，故应选（D ）． [例8.1.16] 设()y y x =满足21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，且(0)0y =，则1()_____y x dx =⎰．解：由于21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，所以21()2y x o x x x x x∆-∆=+∆∆-因此上式中令0x ∆→可得212x y x x-'=-，于是 22y x x C =-+ 又(0)0y =，从而0c =， 所以22y x x =-． 故11122000()21(1)y x dx x x dx x dx =-=--⎰⎰⎰1sin 02202cos cos cos 4x tt tdt udu πππ-=-===⎰⎰．Ⅱ 积分方程求解积分方程的一般思路：①积分方程两端求导数，去掉方程中的积分号，然后化成微分方程；②对微分方程求解（一般情况下是求特解）． [例8.1.17] 已知()f x 满足0()()xf x x f x t dt =+-⎰，则()______f x =．解：由于0()()xf x x f x t dt =+-⎰，令x t u -=可得()()x f x x f u du =-⎰上式两端对x 求导得()1()f x f x '=+这是一阶线性微分方程，求得其通解为()1xf x ce =-， 由积分方程可得(0)0f =，从而1c =，故()f x =1x e -．[例8.1.18] 设()f t 连续，且2222()()[1]D f x y f t x dxdy x y +=++⎰⎰，其中 222:,0,0.(0)D x y t x y t +≤≥≥>，求()f x ．解：由于22222200()()()[1]cos [1]t Df x y f r f t x dxdy d r rdr x y r πθθ+=+=++⎰⎰⎰⎰ 2220cos ()cos ttd r dr d f r dr ππθθθθ=+⎰⎰⎰⎰3()3t t f r dr =+⎰ 所以 3()()3t t f t f r dr =+⎰上式两端求导可得：2()()f t t f t '=+，且(0)0f = 微分方程是一阶线性微分方程，可求得其通解为2()(22)t t t t f t e t e te e c ---=---+，由(0)0f =可得2c =，所以2()(222)xxx x f x e x exe e ---=---+．Ⅲ 含分段函数的微分方程含分段函数的微分方程解题思路：①在分段函数定义域内的不同段上分别求微分方程的通解；②利用方程通解的连续性，确定不同段上对应的通解中的任意常数之间的关系；③写出微分方程的通解．[例8.1.19] 设有微分方程2()y p x y x '+=，其中1,1()1,1x p x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使其满足所给的微分方程，且满足条件(0)2y =．解：当1x ≤时，微分方程为2y y x '+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为2211()[(22)]dx dx x xy e x e dx c e x x e c --⎰⎰=+=-++⎰当1x >时，微分方程为21y y x x'+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 11241211()()4dx dx xx y ex e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰ 由于方程的解在点1x =处连续，所以2111lim [(22)]lim x xx x e x x e c -+-→→-++=4211()4x c x + 从而12134c c e -=+所以原方程通解为23122,1113(),144x x x ce x y x ce x x --⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩ 由于(0)2y =，所以0c =，所以满足条件的函数为2322,113,144x x x y x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩． Ⅳ 已知函数在一点可导，求函数表达式此类题解题思路：①利用导数的定义，建立所求函数的微分方程；②求解该微分方程． [例8.1.20] 已知()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且对任意,x y 满足()()()y x f x y e f x e f y +=+又()f x 在0x =可导，(0)f e '=，求函数()f x ． 解：由()()()yxf x y e f x e f y +=+，可得(0)0f =()()()limx f x x f x f x x→+-'=0()()()l i m x x x e f x e f x f x x →+-=0(1)()[()(0)]l i mx x x e f x e f x f x →-+-=1()(0)()xx f x e f f x e +'=+=+所以建立函数的微分方程为1()()x f x f x e+'=+，且(0)0f =这是一阶线性微分方程，可求得其通解为 1()x x f x xece +=+由(0)0f =，可得0c =，所以1()x f x xe +=．§8.2 可降阶的高阶微分方程 本节重点是三种特殊类型的高阶微分方程的解法．● 常考知识点精讲一、形如()()n y f x =的可降解这类微分方程用降阶法只要积分n 次就得到方程的通解． [例2.1] 求微分方程xy xe '''=的通解． 解： 1x x x y xe dx xe e c ''==-+⎰112()2x x x x y xe e c dx xe e c x c '=-+=-++⎰2121231(2)32x x x xy xe e c x c dx xe e c x c x c =-++=-+++⎰故微分方程的通解为2123132xxy xe e c x c x c =-+++． 二、不显含函数y 的二阶可降阶的方程 (,)y f x y '''=这类方程特点是不显含y ，若令y p '=，则dpy p dx'''==，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解．三、不显含自变量x 的二阶可降阶的方程 (,)y f y y '''=这类方程特点是不显含x ，若令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy''=⨯=，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解． [例2.2] 求微分方程21yy y '''+=的通解． 解：设y p '=，则dp dy dpy p dy dx dy''=⨯=，原方程化为 21dp ypp dy +=，即21pdp dy p y=- ⑴ 当1y p '=>时，211ln(1)ln ln 2p y c -=+，即2211()p c y -= 所以 211()dyc y dx=±+ ① 1y '>时 ，211()dy c y dx =+， 即211()dy dx c y =+21112ln(1())c y c y c x c ++=+所以 1212()12c x c c x c e e c y +-+-=②1y '<-时，211()dy c y dx =-+， 即211()dy dx c y =-+21112ln(1())c y c y c x c ++=-+所以 1212()12c x c c x c e e c y -+--+-=⑵ 当1y p '=<时，21pdp dyp y-=-，即221(1)21d p dy p y -=-211ln(1)ln 2p c y -=，即2211()p c y -= 211()dyc y dx=±-① 当01y <<时，211()dy c y dx =-，即211()dy dx c y =-所以 112sin()c y c x c =+ ② 当10y -<<时，211()dy c y dx =--，即211()dydx c y =--所以 112sin()c y c x c =-+．●● 常考题型及其解法与技巧一、方程()()n y f x =此类微分方程求通解一般思路：方程两端分别积分n 次，即得通解，注意每积分一次要加上一个任意常数． [例8.2.1] 求微分方程211y x'''=+的通解． 解：方程两边积分可得 12arctan 1dxy x c x ''==++⎰再积分得1arctan y xdx c x '=+⎰12arctan 1xx x dx c x x =-++⎰ 2121arctan ln(1)2x x x c x c =-+++继续积分一次，得方程通解为 2121(arctan ln(1))2y x x x c x c dx =-+++⎰222221222111arctan ln(1)221212c x x x x dx x x dx x c x x x =--++++++⎰⎰ 222123111arctan ln(1)(arctan )2222c x x x x x x x c x c =-++-+++． 二、方程(,)y f x y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)p f x p '= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F x C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.2] 求方程ln()y xy y x''''=的通解 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为 ln pxp p x'= （*） 方程（*）是齐次方程，令pu x=，则方程（*）变为 ln duu x u u dx+= （**）方程（**）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 1ln 1u c x =+ 从而 11c xy xe +'=于是原方程的通解为111112211(1)c xc x y xedx c x e c c ++==-+⎰． [例8.2.3] 求微分方程22()0y x y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==-的特解． 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为220p xp '+= （*）方程（*）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 211p x c =-由1(0)2y '=-，得12c =，即有 212y x '=- 所以 2212ln 2222dx x y c x x -==+-+⎰由(0)1y =可得21c =，故原方程的特解为 12ln1222x y x -=++．[例8.2.4] 0x →时，方程2(32)6x y xy '''+=与1xe -等价无穷小的解是____．解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为2(32)6x p xp '+=， （*） 方程（*）是变量可分离的一阶微分方程，可求得通解为21(32)p c x =+，即21(32)y c x '=+ 所以原方程通解为 31122y c x c x c =++．又由33211211211000221lim lim lim(32)1x x x x c x c x c c x c x c c x c e x→→→++++===+-，可得 2110,2c c ==，故所求特解为312y x x =+． 三、方程(,)y f y y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)dppf y p dy= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F y C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.5] 设函数()y x 在区间[0,)+∞上有连续导数，并且满足关系式 0()12()()()xy x x x t y t y t dt '=-++-⎰求()y x ．解：对所给方程变形()12()()2()()xxy x x x y t y t dt ty t y t dt ''=-++-⎰⎰方程两端对x 求导得()12()()xy x y t y t dt ''=+⎰继续求导得()2()()y x y x y x '''=，(0)1,(0)1y y '=-= 微分方程不显含自变量x ，令p y '=，方程可化为2dpppy dy= 这是变量可分离的微分方程，求得通解为21p y c =+，即21y y c '=+由(0)1,(0)1y y '=-=可得，10c =，从而2y y '=，所以21y x c =-+． 再由(0)1y =-，得21c =，故函数11y x =-+为所求特解．§8.3 高阶线性微分方程本节重点是高阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程．● 常考知识点精讲一、线性微分方程的概念形如()(1)(2)12()()()()n n n n yp x y p x y p x y f x --++++=的微分方程称为n 阶线性微分方程．当()(1,2,3,)i p x i n =都是常数时，又称方程为n 阶线性常系数微分方程．若方程右端的函数()f x 恒为零，则方程称为n 阶线性齐次微分方程，否则称为n 阶线性非齐次微分方程．二、线性微分方程解的结构定理1：设12,y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x yp x y p x y --++++=的两个解，则1122y c y c y =+也是该方程的解，这里12,c c 是任意常数． 定理2：设12,,,n y y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x yp x y p x y --++++=的n 个线性无关的解，则1122n n y c y c y c y =+++是该方程的通解，这里12,,n c c c 是任意常数．定理3：如果1y 是方程()(1)(2)121()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++=的解，2y 是方程()(1)(2)122()()()()n n n n yp x y p x y p x y f x --++++=的解，则12y y +是方程()(1)(2)1212()()()()()n n n n y p x yp x y p x y f x f x --++++=+的解．定理4：设*y 是非齐次线性方程()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++=的一个特解，1122n n c y c y c y +++是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，则该非齐次方程的通解为*1122n n y c y c y c y y =++++[例3.1] 设1()y x ，2()y x 为二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则由1()y x ，2()y x 能构成该方程的通解，其充分条件是（A ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-= （B ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠ （C ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+= （D ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+≠ 解：1()y x ，2()y x 能构成线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=通解的条件是二者线性无关，即12()()y x k y x ≠（常数），所以12()[]0()y x y x '≠，即1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠，故应选（B ）． 三、常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为：0y py qy '''++=，其中,p q 为常数，其特征方程为 20p q λλ++= 方程通解为：⑴ 特征方程有两个相异的实根12,λλ时，通解形式为1212()xx y x C eC e λλ=+⑵ 特征方程有两个相同的实根12λλ=时，通解形式为 212()()xy x C C x eλ=+⑶ 特征方程有一对共轭复根i αβ±时，通解形式为12()(cos sin )xy x e C x C x αββ=+2．n 阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为：()(1)(2)120n n n n yp y p y p y --++++=，其中(1,2,)i p i n =为常数，相应的特征方程为：1110nn n n p p p λλλ--+++=特征根与通解的关系为： ⑴ 若12,,n λλλ是n 个互异实根，则方程通解为1212()n x xx n y x C eC e C e λλλ=+++⑵ 若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程通解中含有： 0112()x k k C C x C x e λ-+++⑶ 若i αβ±为特征方程的k 重共轭复根，则方程通解中含有111212[()cos ()sin ]xk k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++四、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性线性方程一般形式为()y py qy f x '''++=其中,p q 是常数根据线性微分方程解的结构，该方程的通解为对应齐次方程的通解加上自身的一个特解．其对应齐次方程的通解上面已讨论过了，现在只要求出该方程的一个特解问题就解决了． 下面介绍求特解*y 的待定系数法：⑴ 若()()x m f x P x e α=其中()m P x 为x 的m 次多项式，则待定特解*y 形式为 *()k xm y x Q x e α=其中()m Q x 是与()m P x 同次的多项式，调节系数0,12k ααα⎧⎪=⎨⎪⎩当不是特征方程的特征根，当是特征方程的单特征根，当是特征方程的二重特征根将*()k xm y x Q x e α=代入方程()y py qy f x '''++=，就可以求出()m Q x ．⑵ ()[()cos ()sin ]xn m f x e P x x Q x x αββ=+，其中()n P x ，()m Q x 分别为x 的n 次，m 次多项式，则有*[()cos ()sin ]k xl l y x e M x x N x x αββ=+其中{}max ,l m n =，()l M x ，()l N x 是两个待定的l 次多项式，调节系数 0,1i k i αβαβ+⎧=⎨+⎩当不是特征方程特征根时，当是特征方程特征根时[例3.2] 求下列方程的一个特解 ⑴xex y x y x y 3)(9)(6)(-=+'+'' ⑵sin xy y e x ''+=解：⑴ 特征方程为2690λλ++=，特征根为123λλ==-．由于方程的非齐次项形如()()x m f x P x e α=，设待定特解为*23xy Ax e -=，代入原方程得332xx Ae e --=，从而12A =． 故方程的一个特解为2312x y x e -=⑵ 特征方程为210λ+=，特征根为12i λ=±．由于方程的非齐次项形如()[()cos ()sin ]xn m f x e P x x Q x x αββ=+，其中1,1αβ==，0m n ==，因此1i i αβ±=±不是特征根，所以原方程有形*()(sin cos )xy x B x A x e =+形式的特解，代入原方程得[(2)cos (2)sin ]sin xxxe B A x B A x e e x ++-=所以 22052115A B A B A B ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故原方程的一个特解为*12()(sin cos )55x y x x x e =-． 五、欧拉方程（仅适用数一）形如()1(1)2(2)121()n n n n n n n n x y p x yp x yp xy p y f x -----'+++++=的方程为欧拉方程．这个方程可以通过变换tx e =化为以t 为自变量的常系数线性方程，求出后代回原来的变量即得欧拉方程的解．●● 常考题型及其解法与技巧一、线性微分方程解的结构定理[例8.3.1] 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 都是二阶线性非齐次方程()y p x y '''++()()q x y f x =的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为（A ）11223c y c y y ++ （B ） 112212()c y c y c c y +-+ （C ）1122123(1)c y c y c c y +--- （D ） 1122123(1)c y c y c c y ++-- 解：（A ）中因为12,y y 不是该二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的解，所以（A ）被排除；（B ）中1122123113223()()()c y c y c c y c y y c y y +-+=-+-它仅是对应齐次方程的通解，故（B ）被排除；（C ）中11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y +---=+++-的3y -不是该非齐次方程的特解，113223()()c y y c y y +++也不是对应的齐次方程的通解，故仍排除，由排除法可得应选（D ）．事实上，11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y ++--=-+-+，由解的结构定理可知，它是该非齐次方程的特解．[例8.3.2] 已知221233,3,3xy y x y x e ==+=++都是微分方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则该方程的通解为______ 解：根据解的结构定理方程的通解为121232112()()3x y C y y C y y y C x C e =-+-+=++．[例8.3.3] 已知微分方程(21)"(42)'80x y x y y ++--=有多项式形式的特解和形如mxe (m为常数)的特解，求该方程通解． 解：设mxy e=是方程的解，代入原方程得：2[(21)(42)8]0mxm x x m e++--=所以22240280m m m m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，从而2m =-，因此2xy e -=是方程的一个解；又设2012(),(0)n n n P x a a x a x a x a =+++≠是方程的解，代入原方程得 223(21)(232(1))n x a a x n n x -++⨯+-+112(42)(2)n n x a a x na x --++20128()0n n a a x a x a x -+++=所以(48)0n n a -=，由于0n a ≠，从而2n =．设2012()Q x a a x a x =++是方程的解，代入原方程可得2212012(21)2(42)(2)8()0x a x a a x a a x a x ++-+-++=所以10a =，204a a =，因此可取2()41Q x x =+为方程的一个解． 根据解的解构定理，原方程的通解为2212(14)xy C eC x -=++．[例8.3.4] 设二阶常系数线性微分方程"'xy y y e αβγ++=的一个特解为2(1),x x y e x e =++试确定,,αβγ并求通解． 解：由于2(1),xx y ex e =++是方程"'x y y y e αβγ++=的一个解，将其代入原方程可得222(43)(22)()xx x x x xx xx xe e x e e e x e e e x e eαβγ++++++++=所以 4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩321αβγ=-⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩．原方程变为"3'21xy y y e -+=-，所以通解为212x x y c e c e =++2(1)x xe x e ++．二、高阶常系数线性齐次方程[例8.3.5] 求微分方程20y ky y '''++=的通解，其中k 为实常数． 解：所给微分方程的特征方程2210k λλ++=的两个特征根为221,224412k k k k λ-±-==-±- 当1k >时，方程通解为22(1)(1)12k k xk k xy c e c e -+----=+；当1k =时，方程通解为12()kxy c c x e -=+；当1k <时，方程通解为2212(cos 1sin 1)kx y e c k x c k x -=-+-． [例8.3.6] 设函数()y y x =满足440,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===，则()_____y x dx +∞=⎰．解：特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，所以方程的通解为 212()xy c c x e -=+设()y x 是方程440y y y '''++=解，显然有lim ()0,lim ()0x x y x y x →+∞→+∞'==所以()4()4()0y x dx y x dx y x dx +∞+∞+∞'''++=⎰⎰⎰，即(0)4(0)4()0y y y x dx +∞'--+=⎰，故1()4y x dx +∞=⎰． [例8.3.7] 求微分方程(4)340y y y ''--=的通解．解：所给微分方程的特征方程为42340λλ--= 特征根1,22λ=±，3,4i λ=±，故方程的通解为221234cos sin x xy c e c e c x c x -=+++三、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程求通解的一般方法：①先求出对应齐次方程的通解Y ；②求出方程的一个特解*y ，则通解*y Y y =+． [例8.3.8] 求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解解：相应的齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，特征根为121,2λλ==，故对应齐次方程的通解为212x xY c e c e =+设*()xy x ax b e =+是原方程的一个特解，代入原方程得 (22)xxax a b e xe -+-=于是21,20a a b -=-=，即12a =-，1b =-，故*1(1)2xy x x e =-+． 所以原方程的通解为 2121(1)2x x xy c e c e x x e =+-+．[例8.3.9] 求微分方程44axy y y e '''++=的通解，其中a 为实数．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论．解：相应的齐次方程的特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，故对应齐次方程的通解为212()xY c c x e -=+当2a ≠-时，设*axy Ae =是原方程的一个特解，代入原方程得 2(44)axax A a a e e ++=于是21(2)A a =+，故*21(2)ax y e a =+，所以原方程的通解为 21221()(2)xaxy c c x e e a -=+++ 当2a =-时，设*22xy Bx e -=是原方程的一个特解，代入原方程得222xx Be e --=于是12B =，故*2212x y x e -=，所以原方程的通解为 222121()2xx y c c x e x e --=++[例8.3.10] 求方程2sin y a y x ''+=的通解，其中常数0a >．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论．解：相应的齐次方程的特征方程为220a λ+=，特征根为1,2ai λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c ax c ax =+当1a ≠时，设*sin cos y A x B x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 22(1)sin (1)cos sin A a x B a x x -+-=于是211A a =-，0B =，故*21sin 1y x a =-，所以原方程的通解为 1221cos sin sin 1y c ax c ax x a =++-当1a =时，设*sin cos y Ax x Bx x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 2cos 2sin sin A x B x x -=于是10,2A B ==-，故*1cos 2y x x =-，所以原方程的通解为 121cos sin cos 2y c ax c ax x x =+-．[例8.3.11] 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解分析：右端的函数是两项的和，因此方程特解是y y x ''+=和cos y y x ''+=相应特解的和．解：相应的齐次方程的特征方程为210λ+=，特征根为1,2i λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+设方程y y x ''+=的特解为*1y ax b =+，代入方程得ax b x +=于是1,0a b ==，故*1y x =；设方程cos y y x ''+=的特解为*2sin cos y mx x nx x =+，代入方程得2cos 2sin cos m x n x x -=于是1,02m n ==，故*21sin 2y x x =． 綜上可得***121sin 2y y y x x x =+=+是原方程的一个特解，所以原方程通解为121cos sin sin 2y c x c x x x x =+++．四、欧拉方程欧拉方程求通解的思路：①令tx e =将自变量由x 换成t ，得到一个关于y 与t 的微分方程，新的微分方程为常系数线性方程；②求新方程的通解；③上通解中将t 用ln x 代回，得原方程的通解．[例8.3.12] 设0x >，微分方程2222x y xy y x '''-+=+的通解为____．解：这是欧拉方程．设tx e =，记d D dt=，则2,(1)xy Dy x y D D y ''==-，从而原方程变为2322t D y Dy y e -+=+ （*）它对应的特征方程为2320r r -+=，特征根为121,2r r ==，于是方程（*）对应的齐次方程的通解为212t t Y c e c e =+设*ty Ate B =+是方程（*）的特解，代入（*）得 22t tAe B e -+=+于是1,1A B =-=，故*1ty te =-+，所以方程（*）的通解为2121t t t y c e c e te =+-+故原方程的通解为 212ln 1y c x c x x x =+-+．五、常系数线性微分方程反问题Ⅰ 已知常系数齐次线性微分方程特解，求微分方程解此类题一般思路：①由给出的特解确定出特征根；②由特征根导出特征方程；③由特征方程导出常系数线性齐次方程[例8.3.13] 设12(sin cos )xy e c x c x =+（12,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次方程的通解，则该方程为______．解：由已知条件可得，函数sin x e x ，cos xe x 是所求二阶常系数线性齐次方程的特解，从而1i ±是方程对应的特征方程的特征根，因此方程的特征方程为2(1)10λ-+=． 故所求二阶常系数线性齐次方程为 220y y y '''-+=．[例8.3.14] 以四个函数1()xy x e =，2()2xy x xe =，3()3cos3y x x =，4()4sin 3y x x =为解的四阶常系数线性齐次方程是_____．解：由于所给四个函数线性无关且明显分为两组1()xy x e =、2()2xy x xe =；3()3cos3y x x =、4()4sin 3y x x =．于是所求微分方程的特征方程的特征根为1,21λ=，3,43i λ=±，从而方程的特征方程为22(1)(9)0λλ-+=，即4322101890λλλλ-+-+=．故所求四阶常系数线性齐次方程是(4)(3)2101890yy y y y '''-+-+=．Ⅱ 已知线性方程的通解，求微分方程[例8.3.15] 以2212()xy C C x x e -=++（其中12,C C 为任意常数）为通解的二阶线性微分方程为____． 解：建立方程组22122212222122()(2222)(444482)x xx y C C x x e y C C x x C x ey C C x x C x e---⎧=++⎪'=---++⎨⎪''=++--+⎩，由此可得 222(2)x y y C x e -'+=+ （1） 224(482)x y y C x e -''-=--+ （2）所以4(1)(2)+得2442x y y y e -'''++=这就是所求的二阶线性微分方程．六、高阶线性微分方程综合题[例8.3.16] 设()f u 有连续的二阶导数，且(sin )xz f e y =满足方程22222xz z e z x y∂∂+=∂∂，求()f u ．解：令 sin xu e y =，则()sin (),cos ()x x zzf u e y uf u e yf u x y∂∂'''===∂∂； 222()()z f u u f u u x∂'''=+∂， 2222()()cos x z uf u f u e y y ∂'''=-+∂． 所以：22222()x z z f u e x y∂∂''+=∂∂，由已知条件得：22()()x xf u e f u e ''=，即()()f u f u ''=，从而12()u uf u c e c e -=+．[例8.3.17] 作变换tan t x =把微分方程2422cos 2cos (1sin cos )tan d y dyx x x x y x dx dx+-+=变换成y 关于t 的微分方程，并求原微分方程的通解．解：2(sec )dy dy dt dy x dx dt dx dt =⨯=，2224222sec tan sec d y dy d y x x x dx dt dt =+所以原方程变为222d y dyy t dt dt++=．解之得12()2t y c c t e t -=++- 故原方程的通解为tan 12(tan )tan 2xy c c x ex -=++-．[例8.3.18] 设连续函数()f x 满足关系式0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x ．解：这是含“变上限定积分”的方程，首先去掉被积函数中的参变量得 0()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰ （1）（1）式两端对x 求导得0()cos ()xf x x f t dt '=-⎰ （2）（2）式两端对x 求导得()sin ()f x x f x ''=-- （3） 由（1）、（2）可得(0)0,(0)1f f '==可求得方程（3）的通解为12()cos sin cos 2xf x C x C x x =++ 由(0)0,(0)1f f '==可得1210,2C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+．[例8.3.19] 设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解． 解：微分方程是全微分方程的充要条件是2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂， 即2()()f x f x x ''+=， 求得其通解212()cos sin 2f x c x c x x =++-．再由初始条件(0)0,(0)1f f '==定得2()2cos sin 2f x x x x =++-．于是原方程成为22[(2cos sin )2](2sin cos 2)0xy x x y y dx x x x x y dy -+++-+++=可求得此方程的通解为2212(2sin cos )2x y xy x x y c ++-+=．§8.4 微分方程的应用● 常考知识点精讲一、微分方程的应用1．几何上的应用在一定的已知条件下求曲线的微分方程．而这些已知条件往往涉及到与导数密切相关的曲线切线、法线、曲率、弧长及曲线所围面积等概念与性质． 2．力学上应用主要利用牛顿第二定律建立微分方程来求质点的运动规律或运动速度． 3．其它应用利用一些基本定理或由变化率问题引出的微分方程．二、用微分方程解决实际问题的步骤一是根据相关条件，建立微分方程，与此同时，一般还要找出相应的初始条件；二是判定微分方程的类型，求解微分方程．●● 常考题型及其解法与技巧一、几何上的应用Ⅰ 导数几何意义的应用[例8.4.1] 若一条曲线上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2()xy x y +，且过点1(,1)2，求此曲线方程．又当x 取何值时 ，切线的斜率为14． 解：所求曲线方程为下列定解问题的解21,()1()2dy xy y dx x y ==+ 令xv y=，方程可化为 21dv v ydy v+= （*） 可求得方程（*）的通解为2121v yv c e +=从而原方程的通解为2432xyy xy Ce +=，由1()12y =，得2c e=，故所求曲线方程为24322xy y xy e e +=。
大学课件常微分方程第8章定性理论
t
t
t
(8.2)
任给ε>0，存在t0>0，当t≥t0时,有
x(t) y(t)
再由解对初值的连续依赖性知，存在 0 ，当 x(0) y(0) 时，0 t t0
x(t) y(t)
从而知道解x=x(t)是稳定的，再由式(8.2)知它也是渐近稳定的.
2.按第一近似决定稳定性 若作未知函数的变换：
③应用延展定理，由式(8.9)知，必有t1=∞.再由式(8.9)及 渐近稳定的定义即得结论(1)成立.
为了应用定理8.3,人们需要考察矩阵A的特征根的实部. 下述的结果常被使用（见参考文献［27］）.
命题8.1 设
P() n a1n1 an1 an
是一实系数多项式.记D1=a1，和 a1 a3 a5 a2k 1
为零的情形，方程组(8.3)的零解的稳定性不能应用定理8.3
来判定.这时方程组(8.3)的零解的稳定性视具体情况而定.
例8.3 讨论方程组
d x d t
y
(x3
xy2 ),
d
y
x
(x2 y
y3)
d t
零解的稳定性，其中σ是常数，取值-1、0和1.
解 容易算出它的第一近似方程组系数矩阵的特征根
是±i，因此定理8.3不能用.但是容易看出，对上述方程组
lim R(t, x) 0
(8.5)
x 0 x
我们先讨论如何判定方程组(8.4)零解的稳定性.
定理8.1 设Φ(t)是方程组(8.4)的一个基本解矩阵.方程 组(8.4)的零解:
(1)是稳定的，当且仅当Φ(t)在t≥0上有界； (2)是渐近稳定（实际上是全局渐近稳定）的，当且仅 当
lim (t) 0
微分方程的基本概念、可分离变量、齐次方程
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程
3) 根据微量分析平衡关系列方程
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
kt
第三节
一阶常微分方程
y dy f x dx
齐次方程
(1)
称为齐次方程.
齐次方程的求解: y( x ) 设 u u( x ) x 则 y u x
dy u x du dx dx
这里 f 是一元函数.
x du f ( u) u dx du dx f ( u) u x
y 2x
2xy
ln y x 2 ln c
c 可取任意实数,
包括负数和零.
8-1常微分方程的基本概念
高阶(n>2)微分方程
y
(x, y, y
分类3: 线性与非线性微分方程.
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次 的，且不含这些变量的乘积项，则称该方程为线性方程。 且不含这些变量的乘积项，则称该方程为线性方程。 否则， 否则，称之为非线性方程。
则y = ϕ ( x )为方程的解 .
微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 (1) 立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y′ = y ,
通解 y = ce ;
x
y′′ + y = 0,
通解 y = c1 sin x + c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. (2) 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
未知函数为多元函数的微分方程，称为偏 未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。 多元函数的微分方程
例
dx = x2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx
x d y − y2 d x = 0
常微分方程
d x − x2 = t 3 dt
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 = f ( x, y , z ) 2 ∂x ∂y ∂z
第八章 常微分方程
在力学、 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质， 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式， 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8章 常微分方程 导学
8.1 微分方程的基本概念 8.2.1 可分离变量的微分方程
一、相关问题
1. 将初始温度C u 00100=的一杯水放置于环境温度a u 保持在C 020的桌上，10 分钟后测得水的温度为C 085。
如果水的温度低于055C 才可以喝，请问再过20分钟后这杯水能喝了吗？
2. 现代城市高楼林立，高空坠物事件经常发生。
你能根据坠物砸到地面的损坏情况或地面印迹等信息判断坠物掉落的高度吗？
二、相关知识
1. 微分方程的通解和特解有什么关系？
2．可分离变量的微分方程的标准形式是什么？如何求解？
3. 指出下列微分方程的阶数，回答方程是否是线性的、齐次的还是非齐次的：
(1)
， (2) ,
(3) ， (4) 三、练习题
1. 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x , y)处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
2. 验证函数11x
x
Ce y Ce +=- 是微分方程21(1)2dy y dx =- 的解，并指出该解是通解还是特解？
3. 求积分曲线族
所满足的微分方程. 4. 求微分方程221dy x y xy dx
=+++的通解. 四、思考题
1. 通解是否包含微分方程所有的解？
2. 是否所有的微分方程都存在通解？。