人教A版高中数学必修五数列(五)
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列
②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称 为数列 的前 项和，用 表示，即
⑤分组求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了．
⑥已知等差数列 ，求数列 的方法。
（3）累乘法：形如 的递推公式可用 求出通项；
（4）形如 形式可用待定系数法。
4、数列求和的常用方法
①公式求和法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前 项和的公式，如： ；
②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前 项和时一般采用(乘公比 )错位相减法．如若公比是字母，须对 或 进行讨论．
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中 、 是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列 中，若已知 与 ，其中 ，则该数列的公差 。
若等比数列 中，公比是 ，则 。
6、性质2
在等差数列 中，若 且 、 、 、 ，则 。
特别地、在等差数列 中，若 且 、 、 ，则 。
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ），则 。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用 求通项公式
高中数学必修五--等比数列
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
高中数学第一章 数列人教版必修五
第一章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。
在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。
4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。
6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。
编写中表达了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。
3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。
如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《第二章 数列》归纳整合
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专题归纳
解读高考
高考真题
3 且 Sn＝ (an－1)(n∈N*)， 【例4】设 Sn 为数列{an}的前 n 项的和， 2 求数列{an}的通项公式． 3 解：∵Sn＝ (an－1)， 2
3 ∴当 n＝1 时，S1＝a1＝ (a1－1)，解得 a1＝3. 2 3 3 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，得 2 2 an ＝3， an－1 ∴数列{an}是以 3 为公比的等比数列，且首项 a1＝3. 故数列的通项公式为 an＝3n(n∈N*)．
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1 1 1 1 【例5】 求数列 2 ，4 ，6 ，…，2n＋ n＋1的前 n 项和 Sn. 4 8 16 2 1 1 1 1 解 Sn＝2 ＋4 ＋6 ＋…＋2n＋ n＋1 2 4 8 16
1 1 1 1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋22＋23＋24＋…＋ n＋1 2
1 1n 21－ n2n＋2 2 2 ＝ ＋ 2 1 1－ 2 1 1 ＝n(n＋1)＋ － n＋1. 2 2
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1 2 n 【例6】在数列{an}中，an＝n＋1＋n＋1＋…＋n＋1，又 2 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项的和． a n· an＋1 1 n 解 an＝ (1＋2＋…＋n)＝ ， 2 n＋1
形式均可用累乘法．
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等， 从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公 式．
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【例1】 已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2且a1＝2，求an. 解 ∵a2－a1＝3×1＋2， a3－a2＝3×2＋2， a4－a3＝3×3＋2， … an－an－1＝3×(n－1)＋2， 以上各项相加，得 an－a1＝3[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋2(n－1)
新课标人教A版数学必修5全部课件：数列
三、关于数列的通项公式 1、 不是每一个数列都能写出数列的通项公式不唯一 如： 1, 1, 1, 1, … 可写成
3、已知通项公式可写出数列的任一项
四、 例题：
写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是 下列各数：
1，0，1，0．
7，77，777，7777 1，7，13，19，25，31
1, 1, 1, 1, …
数列的定义： 按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 数列中的每一个数叫做数列的项， 数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。
2. 通项公式：(an与n之间的关系）
分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。 4、 用图象表示：— 是一群孤立的点 3.
五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 六、习题：
2005.5 .6
数列、数列的通项公式 一、从实例引入 1. 堆放的钢管 4, 5, 6,7,8,9,10
2、正整数的倒数
4、1的正整数次幂：1, 1, 1, 1, …
5、无穷多个数排成一列数：1, 1, 1, 1,…
二、提出课题：数列 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 1, 1, 1,… 1.
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
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数 列 （A 班）第1讲 数列的概念考点1 数列的通项公式题型1 已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式： ⑴,,33,17,9,5,3⑵,,0,71,0,51,0,31,0,1【解析】⑴联想数列,,32,16,8,4,2即数列 n 2，可得数列的通项公式12 n n a ；⑵将原数列改写为,,8,71,60,51,40,31,20,11 n n a n 2sin（或nn a n21cos ，或n a n n 21)1(1） 变式1、求下列数列的一个通项公式：（1）,,9910,638,356,154,32 （2）,,21,15,10,6,3,1【解析】（1）分子为正偶数列，分母为,,119,97,75,53,31得 )12)(12(2n n na n（2）观察数列可知：,,4321,321,21,14321 a a a a2)1(321,54321,432154n n n a a a n题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式【例2】已知下列数列 n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .⑴n n S n322 ； ⑵13 n n S .【解析】⑴当1 n 时，51312211 S a ，当2 n 时， )1(3)1(2)32(221 n n n n S S a n n n 14 n . 当1 n时，15114a ，14 n a n .⑵当1 n 时，41311 S a ，当2 n时，11132)13()13( n n n n n n S S a . 当1 n时，111232a ，)2(32)1(41n n a n n . 变式1、已知n S 为数列 n a 的前n 项和，且1322n n S n ，求数列 n a 的通项公式【解析当1 n 时，411312211 S a ，当2 n时， 1)1(3)1(2)132(221 n n n n S S a n n n 14 n . 而1 n时，15114a ，)2(14)1(4n n n a n . 题型3 已知数列的递推式，求通项公式 （应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差等比数列求通项）【例3】数列n a 中，)2(22,1111n a a a a n n n，求5432,,,a a a a 和数列 n a 的通项公式【解析】)2(22,1111n a a a a n n n ，3222112a a a ，4222223 a a a ，5222334a a a ，6222445a a a ，n n n n n n n n n n a a a a a a a n a a a1111112,22,)2(22，，a ，a a a a a a n n n n n n n 的等差数列公差为是首项为即即21112111,2111112,2112111n a n n a n n变式1、 ⑴已知数列 n a 中，)2(12,211 n n a a a n n ，求数列 n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列n a 的前n 项和，11 a ，n n a n S 2，求数列 n a 的通项公式.【解析】⑴（迭加法）)2(12,211 n n a a a n n ， 121 n a a n n11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n135)52()32()12(n n n 22)112(n n n⑵11 a ，n n a n S 2， 当2 n 时，121)1( n n a n S11)1(11221n n a a a n a n S S a n n n n n n n . 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n.)1(21314213211n n n n n n n n 迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n “；变式2、已知数列 n a 中，32,111 n n a a a ，求数列 n a 的通项公式.【解析】321 n n a a ， )3(231 n n a a3 n a 是以2为公比的等比数列，其首项为431 a .3224311 n n n n a a题型4 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列n a 中，452 n n a n.⑴18是数列中的第几项？⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值. 【解析】⑴由0145184522n n n n，解得7 n ， 18是数列中的第7项.⑵49)25(4522 n n n a n ， N n 2 n 或3 n 时，25242)(2min n a .变式1、数列 n a 中，1929922 n n n a n .⑴求这个数列的第10项； ⑵10099是否为该数列的项，为什么？ ⑶求证：)1,0( na ；⑷在区间32,31内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由. 【解析】⑴ 2231329923231313191n n n n n n a n n n n ，312810a ； ⑵令2na 2993100991323 n n n ，无整数解，10099不是该数列的项. ⑶ 13311323 n n n a n ， N n ， 11330 n ，)1,0( n a⑷由3231 n a ，得32132331 n n386726696913n n n n n ， 当且仅当2 n 时，在区间32,31内有数列的项. 第2讲 等差数列1.等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 为公差. 2、⑴通项公式d n a a n)1(1 ，1a 为首项，d 为公差 ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S或d n n na S n )1(211 .3.等差中项：如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项 b a A 24.等差数列的判定方法 ：⑴定义法：d a a n n 1（ N n ，d 是常数）n a 是等差数列；⑵中项法：212 n n n a a a ( N n ) n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质 ⑴d m n a a m n)( ；b an a n (a ,b 是常数)；bn an S n 2(a ,b 是常数，0 a )⑵若),,,( N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ；考点1等差数列的通项与前n 项和题型1已知等差数列的某些项，求某些项【例1】已知n a 为等差数列，20,86015 a a ，则 75a【解析】方法1：154,156420598141160115 d a d a a d a a 2415474156474175 d a a 方法2： 1544582015601560a a d ， 241541520)6075(6075 d a a变式1：⑴已知n S 为等差数列 n a 的前n 项和，63,6,994 n S a a ，求n ；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n . ⑶数列n a 中，492 n a n ，当数列 n a 的前n 项和n S 取得最小值时， n .【解析】⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111d a d a d a 7,663)1(231821n n n n n S n ⑵124,363214321 n n n n a a a a a a a a3423121 n n n n a a a a a a a a 40160)(411 n n a a a a39780207802)(1n n a a n S n n⑶由492 n a n知 n a 是等差数列，.250 n a n .24 n变式2. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.【解析】设这5个数分别为.2,,,,2d a d a a d a d a 则1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a ， 解得4,1 d a 当4,1 d a时，这5个数分别为：9,5,1,3,7 ；当4,1 d a 时，这5个数分别为：.7,3,1,5,9题型2求等差数列的前n 项和【例2】已知n S 为等差数列 n a 的前n 项和，212n n S n.⑴求321a a a ； ⑵求10321a a a a ； ⑶求na a a a 321.【解析】当1 n时，1111211 S a ，当2 n 时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221 ， 当1 n时，1111213a ， n a n 213 .由0213 n a n ，得213n ， 当61 n 时，0 n a ；当7 n 时，0 n a . ⑴27331223321321 S a a a a a a ；⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a52)101012()6612(2222106S S ；⑶当61 n 时，232132112n n a a a a a a a a n n ，当7 n时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a.7212)12()6612(222226n n n n S S n变式1、已知nS 为等差数列n a 的前n 项和，1006 a ，则 11S ；解：11001122112)(116611111a a a a S ；变式2、设n S 、n T 分别是等差数列 n a 、 n a 的前n 项和，327 n n T S n n ，则 55b a . 【解析】12652525514225143)12(2)12(7551212 b a n n n n T S b a n n n n 变式3、.含12 n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12 .B n n 1 .C n n 1.D nn 21 【解析】 2))(1(12112531 n n a a n a a a a S 奇2)(222642n n a a n a a a a S偶，n n a a a a 22121 nn S S 1 偶奇. 选B. 变式4、（倒序相加法求和）设221)(x x x f，求： ⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f ；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f【解析】 221)(x x x f，1)1()( xf x f .⑴441)4()3()2()()()(213141 f f f f f f ⑵原式2009)12010(1 .考点2 等差数列的证明和综合应用【例3】已知n S 为等差数列n a 的前n 项和，)(N n nS b nn.求证：数列 n b 是等差数列. 【解析】方法1：设等差数列 n a 的公差为d ，d n n na S n )1(211 ， d n a n S b n n )1(2112)1(2121111dd n a nd a b b n n （常数） 数列 n b 是等差数列.方法2： d n a n S b n n )1(211 ， nd a b n 2111 ，d n a b n )1(21121111222)1(21)1(21 n n n b nd a d n a d n a b b ， 数列 n b 是等差数列.变式1、n S 为数列 n a 的前n 项和，n n S n 211212 ；数列 n b 满足：113 b ，n n n b b b 122，前9项和为.153⑴求数列n a 、 n b 的通项公式；⑵设n T 为数列n c 的前n 项和，)12)(112(6n n n b a c ，求使不等式57kT n 对 N n 都成立的最大正整数k 的值.【解析】⑴n n S n 211212， 当1 n 时，611 S a ； 当2 n时，5)1(211)1(2121121221n n n n n S S a n n n 当1 n时，1651a ， 5 n a n ；222112n n n n n n b b b b b b ，n b 是等差数列，设其公差为d .则3,5153369112111d b d b d b ， 23)1(35 n n b n .⑵1)23(211)5(26)12)(112(6n n b a c n n n 121121)12)(12(2 n n n n1211)121121()7151()5131()311(n n n T n N n ， n T 是单调递增数列. 当1 n 时， 323111min T T n57k T n 对 N n 都成立 38573257min k kk T n 所求最大正整数k 的值为37.第3讲 等比数列1等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0( qq ，这个数列叫做等比数列，q 为公比.2 ⑴通项公式：11 n nqa a ， ⑵前n 项和公式：①当1 q 时，1na S n ②当1 q 时，qqa a q q a S n n n11)1(11. 3.等比中项：如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即b G a ,,成等比数列 b a G 2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn 1（ N n ，0 q 是常数） n a 是等比数列； ⑵中项法：221n n n a a a ( N n )且0 n a n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质 ⑴),( N m n q a a m n m n⑵若),,,( N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ；⑶若等比数列n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S 2、k k S S 23 、k k S S 34 是等比数列.考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知n a 为等比数列，162,262 a a ，则 10a【解析】方法1：811622451612 q q a a q a a 1312281162469110 q a q a a方法2：812162264a a q ， 13122811624610 q a a变式1、⑴已知n S 为等比数列 n a 前n 项和，93 n S ，48 n a ，公比2 q ，则项数 n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.【解析】⑴由93 n S ，48 n a ，公比2 q ，得532248293)12(111 n a a n n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则 363722c b b a bd c c a b ； 方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b 3736，，则)37()36()36(22a b b a b b ，解得 1612b a 或481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b 2，第1个数为bc 2，则20163622c b c b b c c b 或 463481c b ；变式2、已知n S 为等比数列 n a 前n 项和，54 n S ，602 n S ，则 n S 3 .【解析】n a 是等比数列， n n n n n S S S S S 232,, 为等比数列， 318236)60(5433nn S S . 题型2 求等比数列前n 项和【例2】（1）等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.（2）已知n S 为等比数列 n a 前n 项和，13233331 n n a ，求nS（3）（采用错位相减法求和）已知n S 为等比数列 n a 前n 项和，nn n a 3)12( ，求n S【解析】 （1）由2,121 a a ，得2 q ，102321)21(11010 S ，1521)21(144 S ， .1008410 S S （2）212331)31(133331132n n n n a ，n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132即.432143 n S n n （3）. n n n a 3)12( nn n S 3)12(35333132 ，----------------①14323)12(3)32(3533313 n n nn n S --②①—②，得14323)12()3333(232 n n nn S63)22(3)12(31)31(923111n n n n n .33)1(1 n n n S 变式1.已知 n a 为等比数列，6,3876321 a a a a a a ，求131211a a a 的值.【解析】设等比数列n a 的公比为q ， 6,3876321 a a a a a a ， 23216545 a a a a a a q ，131211a a a =101234312q a a a考点2 等比数列的证明和综合应用例3】已知数列{}n a 的首项123a，121n n n a a a ，1,2,3,n …．证明：数列1{1}n a 是等比数列； 【解析】Q 121n n n a a a，111111222n n n na a a a ，11111(1)2n n a a ，又123a ，11112a ， 数列1{1}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列. 变式1、已知数列 n a 满足113a ，279a ，214133n n n a a a *()n N .⑴求数列 n a 的通项公式； ⑵求数列 n na 的前n 项和n S ；【解析】⑴由214133n n n a a a，得2111()3n n n n a a a a ， ∴数列 1n n a a 是首项为21714939a a ，公比为13的等比数列， ∴1141()93n n n a a .∴2121321144141()()()()399393n n n n a a a a a a a a L L1141(1)1121293(1)1(2)13333313n n n n （*）当1n 时，113a也适合（*），故数列 n a 的通项公式为213n n a . ⑵解：2(1)233n n n n na n n .设231233333n n n T L ， ① 则 13n T 2311213333nn n nL .② ① ②得：23121111333333n n n n T L 1111(1)123331322313n n n n n ， ∴323443n n n T .故2(1)323(3)323(123)2222323n n n n nn n n n n n S n T L。
人教版A版高中数学必修5：等差数列的求和公式
n（n 1)
Sn na1
2
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
Sn
n(a1 an ) . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
Sn
n（a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n（n 1) 2
d
思考
(1)两个求和公式有何异同点？
等差数列的前n项和
教学目标
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和求和公式。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的 研究方法，学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
(2)d
1 3
,
n
37,
Sn
629,
求a1及an
;
(1)d 17 , n 27 13
(2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的 和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称 为数列 的前 项和，用 表示，即
二、等差数列与等比数列
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为 ， ， ，其中 为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为 ， ， ， ，因为这种设法使得四个数的公比为 ，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式 ；或
特别地，若 为等差数列， 为它的前n项的和时，求 的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用 求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如 型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使 与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如 的递推公式可用 求出通项；
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中 、 是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列 中，若已知 与 ，其中 ，则该数列的公差 。
若等比数列 中，公比是 ，则 。
6、性质2
在等差数列 中，若 且 、 、 、 ，则 。
特别地、在等差数列 中，若 且 、 、 ，则 。
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ），则 。
【精编】人教A版高中数学必修五课件数列求和课件-精心整理
二、分组求和法
• 数列{ an }非等差、等比等可以直接求和的数 列但可以拆分成一些特殊数列的和（差） 的形式,则可以分组求和再相加（减）
如：an (n 1)2
bn
2n
3
( 1 )n1 2
例 3、求数列的前 n 项和：
11
1
1 1, a 4, a2 7, , an1 3n 2 ，…
3n2 n
S
n
2
3n2 2
n
a
a
a
1
1
n
(a 1) (a 1)
三、倒序相加求和法
• 若数列{ an}中首末两项相加和为定值，或者 与首末两项等距的项之和相等，则可用倒 序相加法求和.
例 4.cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°= 0
数列求和
一、直接套用公式
等差数列求和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
等比数列求和公式：
Sn
na1 a1 (1
q
n) 源自1qa1 anq 1q
(q 1) (q 1)
常用求和公式补充：
12 22 32 ... n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例5.
四、错位相减法
若数列{ an}由一个等差数列和一个等比数列 之积构成，则可用错位相减法求和
如：an
n( 1 )n 2
人教A数学必修5_高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列
高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.582．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( )A ．49B ．42C ．35D ．285．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2017为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 009＋a 2 016＝( )A ．10B ．15C ．20D ．406．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份面包的个数为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．658．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3) D ．(2，3) 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.10110012．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝－a n ＋a m ＋m ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝( ) A ．2 017 B.12 017 C ．－2 017 D ．－12 017二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________． 15．已知等差数列的前三项依次是m ，6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________． 16．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N *)．(1)判断数列{c n }是否为等差数列，并说明理由；(2)如果a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，试求数列{a n }的公差d 及通项公式．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝8a 2n－n ＋1，求数列{b n }的通项公式．20．(本小题满分12分)设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1，0.(1)当a 为何值时，a 4＝0?(2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．参考答案与解析1．【解析】选B.因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，所以a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12. 2．【解析】选C.因为a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．【解析】选B.由已知得a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2，即2a 1＋10d ＝a 21＋4a 1d ＋4d 2.又a 1＝2，所以4d 2－2d ＝0，所以2d (2d －1)＝0，所以d ＝0或d ＝12.又因为{a n }中各项都不相等，所以d ＝12.4．【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列， 所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7×a 4＝7×6＝42.5． 【解析】选B.由题意知a 1＋a 2 017＝a 2＋a 2 016＝2a 1 009＝10，解得a 1 009＝5，所以a 2＋a 1 009＋a 2 016＝3a 1 009＝15，故选B.6．【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．【解析】选C.因为a n ＝2n －1，b 1＝2，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b 2＝2b 1－1＝3，b 3＝2b 2－1＝5，b 4＝2b 3－1＝9，b 5＝2b 4－1＝17，b 6＝2b 5－1＝33.8．【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，所以a 1＝39，所以S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，所以当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C.9．【解析】选D.因为数列{a n }是递增数列， 又a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.10．【解析】选D.由a n ＋1＞a n ， 得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2， 所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3， 只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .11． 【解析】选A.由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 12．【解析】选A.令m ＝1，得a n ＋1＝－a n ＋a 1＋1，即a n ＋1＝－a n ＋1＋1，于是a n ＋1＝2－a n ，因此a 2＝2－a 1＝1，a 3＝2－a 2＝1，a 4＝2－a 3＝1，…，即a n ＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2 017，故选A. 13．【解析】因为数列从第三项开始每一项都等于它前面两项的和． 所以x ＝5＋8＝13. 【答案】1314． 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，每3项一循环，故a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3. 【答案】－ 315．【解析】由已知得12m ＝2m ＋10，所以m ＝1， 故a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11， 所以d ＝5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋5(n －1)＝5n －4， 所以a 10＝5×10－4＝46. 【答案】4616．【解析】log 2(2 a 1·2 a 2·…·2 a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（a 5＋a 6）2＝10×42＝20.【答案】2017． 【解】(1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1， 解得n ＝50，故199是这个数列的第50项．18．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，则c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1) ＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，所以数列{c n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117， 两式相减得13d ＝－13，所以d ＝－1， 因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，所以13a 13＝130， 所以a 13＝10＝a 1＋12d ＝a 1－12， 所以a 1＝22，所以a n ＝22＋(n －1)×(－1)＝23－n .19．【解】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝12＋n －12＝n2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(3)因为a n ＝2n，所以S n ＝8a 2n －n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋1＝2n 2－n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2×12－1＋1＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n 2－n ＋1－[2(n －1)2－(n －1)＋1]＝4n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝14n －3，n ≥2.20．【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S13＝13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝n (12－2d )＋n （n －1）2d＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－ d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2，因为d ＜0， 所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大． 因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132， 所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 21．【解】(1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝a 2＋a 1＝3， a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.22．【解】(1)法一：因为a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1，a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1.故当a ＝－23时，a 4＝0.法二：因为a 4＝0，所以1＋1a 3＝0，得a 3＝－1.因为a 3＝1＋1a 2，所以a 2＝－12.因为a 2＝1＋1a ，所以a ＝－23.故当a ＝－23时，a 4＝0.(2)证明：因为b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1， 所以b n ＝1b n ＋1＋1.a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n . 因为a 1＝a ＝b n ，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n ＝b n －1，所以a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…，所以a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1.所以a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．。
数学人教A版高中必修5数列专题导学案
高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。
题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。
1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。
5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
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人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1 ．1 集合2 ．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱2.5等比数列的前n项和1 ．2 函数及其表示1 ．3 函数的基本性质第三章概率3 ．1 随机事件的概率第三章不等式第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2 ．2 对数函数2 ．3 幂函数阅读与思考天气变化的认识过程3 ．2 古典概型3 ．3 几何概型3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法第三章函数的应用3．1 函数与方程3 ．2 函数模型及其应用必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1 2 ．任意角的三角函数3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域1 ．3 三角函数的诱导公式必修21 ．4 三角函数的图象与性质1 ．5 函数 y=Asin （ωx+ψ） 3.3.2 简单的线性规划问题第一章空间几何体1 ．6 三角函数模型的简单应1 ．1 空间几何体的结构用1 ．2 空间几何体的三视图和 3.4 基本不等式直观图1 ．3 空间几何体的表面积与第二章平面向量体积 2 ．1 平面向量的实际背景及第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2 ．2 直线、平面平行的判定基本概念2 ．2 平面向量的线性运算2 ．3 平面向量的基本定理及坐标表示2 4 ．平面向量的数量积2 5 ．平面向量应用举例选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系及其性质2 ．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2充分条件与必要条件3 ．2 简单的三角恒等变换第三章直线与方程1.3简单的逻辑联结词3．1 直线的倾斜角与斜率3 ．2 直线的方程必修 51.4全称量词与存在量词 3 ．3 直线的交点坐标与距离公式第一章解三角形必修31.1正弦定理和余弦定理第二章圆锥曲线与第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图 1.2应用举例方程1 ．2 基本算法语句1 ．3 算法案例阅读与思考割圆术1.3实习作业2.1椭圆2.2双曲线第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案第二章数列2.3抛物线例阅读与思考广告中数据的可靠性2.1数列的概念与简单表示法用第三章导数及其应阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2等差数列2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的2.3等差数列的前n 项和质量控制图2.4等比数列3.1变化率与导数3.2导数的计算1人教A版高中数学目录选修 2-12.6导数在研究函数中 1.3 导数在研究函数的应用中的应用第一章常用逻辑用2.7生活中的优化问题 1.4 生活中的优化问语举例题举例3.4命题及其关系3.3.2定积分的概念1.5充分条件与必要选修1-21.4微积分基本定理条件第一章统计案例 1.7 定积分的简单应1.3 简单的逻辑联结用词1．1 回归分析的基本思想及其初步应用2.4全称量词与存在量词第二章推理与证明 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用2.5合情推理与演绎推理第二章圆锥曲线与方程第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.1 曲线与方程2．1 合情推理与演绎证明 2.3 数学归纳法2.2 椭圆2．2 直接证明与间接2.3 双曲线证明3.3抛物线第三章数系的扩充与复数的引入第三章数系的扩充 3.1 数系的扩充和复与复数的引入数的概念第三章空间向量与立体几何3．1 数系的扩充和复数 3.2 复数代数形式的的概念四则运算3.1空间向量及其运算3．2 复数代数形式的四则运算3.2立体几何中的向选修2-3 量方法第一章计数原理第四章框图选修 2-21.1分类加法计数原4．1 流程图理与分步乘法计数原理第一章导数及其应4．2 结构图1.2 排列与组合用1.3二项式定理 1.1 变化率与导数1.2导数的计算2人教A版高中数学目录第二章随机变量及第二讲直线与圆的其分布位置关系选修 3-22.8离散型随机变量第三讲圆锥曲线性及其分布列质的探讨选修 3-3 2.2 二项分布及其应用选修4-2 第一讲从欧氏几何3.5离散型随机变量看球面的均值与方差第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲球面上的距3.6正态分布离和角第二讲变换的复合第三章统计案例与二阶矩阵的乘法第三讲球面上的基本图形3.3.3回归分析的基本第三讲逆变换与逆思想及其初步应用矩阵第四讲球面三角形3.3.4独立性检验的基第五讲球面三角形第四讲变换的不变本思想及其初步应用量与矩阵的特征向量的全等第六讲球面多边形与欧拉公式选修3-1 选修4-3第七讲球面三角形的第一讲早期的算术边角关系选修4-4 与几何第八讲欧氏几何与第一讲坐标系第二讲古希腊数学非欧几何第二讲参数方程第三讲中国古代数学瑰宝选修 3-4第四讲平面解析几选修4-5 何的产生第一讲平面图形的对称群第一讲不等式和绝第五讲微积分的诞对值不等式生第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式第六讲近代数学两的基本方法巨星第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式第七讲千古谜题与排序不等式第八讲对无穷的深第四讲数学归纳法入思考选修 4-1证明不等式第九讲中国现代数第一讲相似三角形学的开拓与发展的判定及有关性质3人教 A 版高中数学目录2 ．4 向量的应用 选修 4-6第二章 函数 2 ．1 函数第一讲 整数的整除2 ．2 一次函数和二次函数 2 ．3 函数的应用（Ⅰ） 第三章 三角恒等变换3．1 和角公式2 ．4 函数与方程3 ．2 倍角公式和半角公式 第二讲 同余与同余 3 ．3 三角函数的积化和差与方程和差化积 第三章 基本初等函数 （Ⅰ） 3 ．1 指数与指数函数 程第三讲 一次不定方3 ．2 对数与对数函数 3 ．3 幂函数 3 ．4 函数的应用（Ⅱ） 必修五 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理第四讲 数伦在密码中的应用必修二第一章 立体几何初步1 ．2 应用举例 第二章 数列1．1 空间几何体 2 ．1 数列 1 ．2 点、线、面之间的位置 2 ．2 等差数列 关系 2 ．3 等比数列 选修 4-7第三章 不等式 第二章 平面解析几何初步第一讲 优选法 2 ．1 平面真角坐标系中的基 本公式3 ．1 不等关系与不等式 3 ．2 均值不等式第二讲试验设计初2 ．2 直线方程 2 ．3 圆的方程3 ．3 一元二次不等式及其解 法 步3 ．4 不等式的实际应用 2 ．4 空间直角坐标系3 ．5 二元一次不等式（组） 与简单线性规划问题必修三选修 4-8选修 4-9第一章 算法初步1．1 算法与程序框图1 ．2 基本算法语句1 ．3 中国古代数学中的算法 案例选修 1－1 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词 1 ．2 基本逻辑联结词1 ．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第一讲 风险与决策的基本概念第二章 统计 2．1 随机抽样2 ．2 用样本估计总体2 ．3 变量的相关性第二章 圆锥曲线与方程2．1 椭圆2 ．2 双曲线2 ．3 抛物线第二讲 决策树方法第三章 概率 3 1 ． 随机现象第三讲 风险型决策3 2第三章 导数及其应用3 ．1 导数3 ．2 导数的运算 3 ．3 导数的应用WORD格式．古典概型的敏感性分析33．随机数的含义与应用34．概率的应用第四讲马尔可夫型决策简介必修四选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第一章基本初等函( Ⅱ)高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1 ．2 集合之间的关系与运算1 ．1 任意角的概念与弧度制1 ．2 任意角的三角函数1 ．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2 ．3 平面向量的数量积第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1 2 ．基本不等式4WORD格式人教A版高中数学目录1 ．3 绝对值不等式的解法1 ．4 绝对值的三角不等式1 ．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2 ．2 排序不等式2 ．3 平均值不等式( 选学)2 ．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3 ．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式5。
人教A版高中数学必修五人教教案第二章数列全章教案
课题: §2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
高中数学教案-人教a版必修5——数列
第一课时数列（一）教学方针：理解数列的概念、暗示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比力简单的数列，会按照其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：按照一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：Ⅰ.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y ＝f(x)，其中x∈A，y∈B.Ⅱ.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有必然次序的.引出数列及有关定义.1.定义（1）数列：按照必然次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照必然的次序分列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列③，仿佛是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留本来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.842，0.843，….诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….那么，数列一般可暗示为a1，a2，a3，…，a n，….其中数列的第n项用a n来暗示.数列还可简记作{a n}.数列{a n}的第n项a n与项数n有必然的关系吗？数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 (50)↓↓↓…↓项 1 2 3 (50)即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1≤n≤50)来暗示.且n∈N*)数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 (64)↓↓↓…↓项 1 2 22 (263)↓↓↓…↓2°21 22 (263)↓↓↓…↓21－1 22－123－1…264－1即：a n＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)数列④中：序号 1 2 3 (101)↓↓↓...↓项0 10 20 (1000)↓↓↓…↓10×0 10×1 10×2 …10×100↓↓↓…↓10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) …10×(101－1) ∴a n＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).数列⑤中：序号 1 2 3 4 …↓↓↓↓…项 1 0.84 0.842 0.843 …↓↓↓↓…0.840 0.841 0.842 0.843 …∴a n ＝0.84n －1(n ≥1且n ∈N *)数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系都可以用这样的式子来暗示吗？ 不是，如数列③的项与序号的关系就弗成用这样的式子来暗示.综上所述，如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来暗示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项. 下面，我们来练习找通项公式.1，12 ，13 ，14 ，…. ① 1，0.1，0.01，0.001，…. ② －1，1，－1，1，…. ③ 2，2，2，2，2，2. ④ 1，3，5，7，9，….⑤得出数列①的通项公式为：a n ＝1n 且n ∈N *.数列②可用通项公式：a n ＝110n －1，(n ∈N *，n ≥1)来暗示. 数列③的通项公式为：a n ＝(－1)n (n ∈N *)或a n ＝⎩⎨⎧－1 （n 为奇数）1 （n 为偶数）数列④的通项公式为：a n ＝2(n ∈N *且1≤n ≤6) 数列⑤的通项公式为：a n ＝2n －1(n ∈N *). 数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按必然次序分列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是分歧的两个数列.如果组成两个数列的数相同而分列次序分歧，那么它们就是分歧的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.数列中的数是可以反复泛起的，而数集中的数是不允许反复泛起的.如上数列③与④，均有反复泛起的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }暗示数列；a n 暗示数列的项.具体地说，{a n }暗示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只暗示这个数列的第n 项.其中n 暗示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别暗示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的概念来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以按照其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以按照其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.按照所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：特点：它们都是一群弧立的点.（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列. （6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列.2.例题讲解［例1］按照下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1；(2)a n＝(－1)n·n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可获得数列的前5项.解：(1)在a n＝nn＋1中依次取n＝1，2，3，4，5，获得数列{nn＋1}的前5项分别为：12，2 3，34，45，56.即：a1＝12；a2＝23；a3＝34；a4＝45；a5＝56.(2)在a n＝(－1)n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，获得数列{－1n·n}的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2) 22－12，32－13，42－14，52－15(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5.分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1)序号： 1 2 3 4↓↓↓↓项：1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是a n ＝2n －1；(2) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1规律：这个数列的前4项22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1；（3） 序号： 1 234↓ ↓ ↓ ↓ 项： －11×2 12×3 －13×4 14×5 ‖‖‖‖（－1）1)11(11+⨯（－1）2)12(21+⨯（－1）3)13(31+⨯（－1）4)14(41+⨯规律：这个数列的前4项－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ·1n （n ＋1） .Ⅲ.课堂练习课本P 32练习1，2，3，4，5，6 Ⅳ.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会按照通项公式求其任意一项，并会按照数列的一些项求一些简单数列的通项公式. Ⅴ.课后作业课本P 32习题 1，2，3数 列（一）1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有 （ ）①a n ＝12[1＋（－1）n +1]；②a n ＝sin 2nπ2 ；(注n 为奇数时，sin 2nπ2 ＝1；n 为偶数时，sin 2nπ2 ＝0.)；③a n ＝12[1＋(－1)n +1]＋(n －1)(n －2)；④a n ＝1－cos nπ2，(n ∈N *)(注：n 为奇数时，cos n π＝－1，n 为偶数时，cos n π＝1)；⑤a n ＝⎩⎨⎧1 （n 为正偶数）0 （n 为正奇数）A.1个B.2个C.3个D.4个3．数列－1，85 ，－157 ，249，…的一个通项公式a n 是 （ ）A.(－1)nn 22n ＋1B.(－1)n n （n ＋2） n ＋1C.(－1)n（n ＋1）2－12（n ＋1） D.(－1)n n （n ＋2）2n ＋14．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）A.a n ＝1＋(－1)n －1B.a n ＝1＋(－1)nC.a n ＝1＋(－1)n +1D.a n ＝2sin nπ25．以下四个数中是数列{n (n ＋1)}中的一项的是 （ ）A.17B.32C.39D.380 6．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于 （ ）A.28B.32C.33D.27 7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 . 8．求数列25 ，215 ，235，…的通项公式.数 列（一）答案1．分析：按照数列定义得出答案.评述：数列的定义中所说的“必然次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 答案：D2．分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必需加以必然的说明.解：对于③，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④本色上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种暗示形式. 答案：C 3．D 4．B 5．D 6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 答案：B评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决. 7．a n ＝1＋12[1＋（－1）n ].8．求数列25 ，215 ，235，…的通项公式.分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式. 解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n －1－5.故所求数列的通项公式为：a n ＝210·2n －1－5 .。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数列（五）一、选择题：1. 在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S = （ ）A ．58B ．88C ．143D ．1762.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （ ）A ．7B ．5C ．-5D ．-73．公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则10a =（ ）A ．8B ．5C ．6D ．74.设函数3()(3)1f x x x =-+-,{}n a是公差不为0的等差数列,127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则=++721a a a（ ）A ．0B ．7C ．14D ．215．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 （ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 二、填空题6.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =______________. 7．等比数列{n a }的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =_________. 8．已知ABC ∆得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比不为1.若11a =,且对任意的*n N ∈都有2120n n n a a a +++-=,则5S =_________________.10．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为____________. 三、解答题11.已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=. (1)求23,a a ; (2)求{}n a 的通项公式.12.已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8. (1)求等差数列{}n a 的通项公式;(2)若231,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的前n 项和.14.已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足2*2,n n T S n n N =-∈(1)求1a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,常数0λ>,且11n n a a S S λ=+对一切正整数n都成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设10a >,100λ=,当n 为何值时,数列1{lg }na 的前n 项和最大?17．设函数()sin 2xf x x =+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x . (1)求数列{}n x ;(2)设{}n x 的前n 项和为n S ,求sin n S .18．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.(1)用d 表示12,a a ,并写出1n a +与n a 的关系式;(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).数列（五）参考答案一、 选择题：1—5 BDADB二、 填空题：6 21n - 7. 2- 8. 24-9. 11 10.18303312331233224633S a a a a a a a a +==++⇒=+=⇒= 故所求23,a a 的值分别为3,6.(2)当2n ≥时,23n n n S a +=① 1113n n n S a --+=② ①-②可得112133n n n n n n S S a a --++-=-即1112111133331n n n n n n n a n n n n n a a a a a a n ---++-++=-⇔=⇔=- 故有21211211311212n n n n n a a a n n n na a a a a n n ---++=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-- 而211112a +==,所以{}n a 的通项公式为22n n na +=所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+,或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+,或37n a n =-. (2)当35n a n =-+时,2a ,3a ,1a 分别为1-,4-,2,不成等比数列; 当37n a n =-时,2a ,3a ,1a 分别为1-,2,4-,成等比数列,满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时,11||4S a ==;当2n =时,212||||5S a a =+=; 当3n ≥时, 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时,满足此式.综上,24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩65363238a c c c a c c-===-,∴c=2.∵a 2=4,即21()4k c c -=,解得k=2,∴2n n a =(n)1) 当n=1时,112a S ==综上所述*2()n n a n N =∈ (2) 2nn na n =,则232341222322(1)2122232(1)22(2)n n n n n T n T n n +=+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅++-+(1)-(2)得23122222n n n T n +-=++++-12(1)2n n T n +=+-14. 解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由112a b ==,得344423,2,86a d b q S d =+==+,由条件得方程组33232273286210d q d q d q ⎧++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪+-=⎩⎩,故*31,2()n n n a n b n N =-=∈(2)证明;由(1)得23225282(31)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ① 23412225282(31)2n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ②由①-②得,2311122323232(31)26(12)(31)2212(34)28n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=--⨯--=--⨯-即18(34)2n n T n +-=-⨯,而当2n >时,111(34)2n n n a b n +--=-⨯ 所以*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>15.解:(1)当1n =时,21121T S =-,而111T S a ==,所以21121a a =-,解得11a =.(2)在22n n T S n =-中用1n -取代n 的位置,有()21121n n T S n --=--,两式相减,可得221n n S a n =-+(2n ≥),所以()112211n n S a n --=--+,两式相减,可得1222n n n a a a -=--,即122n n a a -=+(3n ≥),即()1222n n a a -+=+,所以数列{}2n a +是一个首项为22a +,公比为2的等比数列.在式子22n n T S n =-中,令2n =,有22222T S =-,即()()21121222a a a a a ++=+-,所以24a =,于是()22122226232n n n n a a ---+=+⋅=⋅=⋅,所以1322n n a -=⋅-(2n ≥).当1n =时,11a =,也满足该式子,所以数列{}n a 的通项公式是1322n n a -=⋅-.16.解:取n=1,得0)2(,22a 11111=-==a a a s λλ若a 1=0,则s 1=0, 当n 0a ,0a 21==-=≥-n n n n s s 所以时，若a 1λ201=≠a ，则,当n ,2a 22n n s +=≥λ时，,2a 211--+=n n s λ上述两个式子相减得:a n =2a n-1,所以数列{a n }是等比数列 综上,若a 1 = 0, 0n =a 则 若a 1λna 20n =≠，则(2)当a 1>0,且2lg 2,1lg100n b a b n nn -===所以，时，令λ 所以,{b n }单调递减的等差数列(公差为-lg2)则 b 1>b 2>b 3>>b 6=01lg 64100lg 2100lg 6=>=当n≥7时,b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg 7=<=故数列{lgna 1}的前6项的和最大 17. 解:(1)12()sin ()cos 02()223x f x x f x x x k k Z ππ'=+⇒=+=⇔=±∈ 22()022()33f x k x k k Z ππππ'>⇔-<<+∈24()022()33f x k x k k Z ππππ'<⇔+<<+∈得:当22()3x k k Z ππ=-∈时,()f x 取极小值得:223n x n ππ=-(2)由(1)得:223n x n ππ=-123222(123)(1)33n n n n S x x x x n n n ππππ=++++=++++-=+-当*3()n k k N =∈时,sin sin(2)0n S k π=-=当*31()n k k N =-∈时,23sin sin32n S π== 当*32()n k k N =-∈时,43sin sin32n S π==- 得: 当*3()n k k N =∈时,sin 0n S =当*31()n k k N =-∈时,3sin 2n S =当*32()n k k N =-∈时,3sin 2n S =-18. 解:(1)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,2113(150%)2a a d a d =+-=-, 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.(2)由(1)得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=--=12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意,134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.。