电子的有效质量
1.3半导体中电子运动及有效质量
mn +*
因而，外层电子在外力作用下可以获得
较大的加速度。
0
-
⑤ 对于带顶和带底的电子,有效质量恒定。
k
1/2 a
k
k
二、半导体中的电子
1.速度V
晶体中作共有化运动的电子平均速度:
以一维情况为例
设E(k)在k=0处取得极值，价带顶和导带底为极值点：
❖ 引入有效质量后，若能定出其大小，则 能带附近的E(k)与k的关系便可以确定
半导体中的电子的平均速度
根据量子力学概念：电子的运动可以看成波包的运动，波包的 群速就是电子的平均速度。波包有许多频率相差不多的波组成
称m*为电子的有效质量
F外 = m*a
F外 + F内 = m0a m*的特点：
◆决定于材料 ◆与电子的运动方向有关 ◆与能带的宽窄有关
内层:带窄, m*大；外层:带宽,m*小
❖ 在经典牛顿第二定律中
,式中f是外
合力， 是惯性质量。但半导体中电子在
外力作用下，描述电子运动规律的方程中
出现的是有效质量 ，而不是电子的惯
§1.3 半导体中电子（在外力下）的运动、 有效质量
半导体中电子运动速度、加速度
电子的有效质量
一、自由空间的电子:
对自由空间的电子:
从粒子性出发,它具有一定的质 量m0和运动速度V。
从波动性出发,电子的运动看成频 率为ν、波矢为K的平面波在波矢 方向的传输过程。
V2
P=m0v v=P/m0=hk/m0
有效质量的意义
❖ ①有效质量概括了晶体内部势场的作用, 使得在解决半导体中电子在外力作用下的 运动规律时，可以不涉及到半导体内部势 场的作用。但只有在能带极值附近才有意 义.
载流子迁移率与有效质量的关系
载流子迁移率与有效质量的关系一、概述在半导体物理学中，载流子迁移率是一个重要的物理量，它描述了材料中电子或空穴在外加电场下的迁移速度。
而有效质量则是描述了半导体中载流子在晶格作用下的运动惯性。
载流子迁移率与有效质量之间的关系一直是物理学家们关注的焦点之一，研究这种关系不仅对于深入理解半导体材料的电学性质具有重要意义，还对于半导体器件的设计和性能优化有着重要的指导作用。
二、载流子迁移率的定义1.1 静态载流子迁移率在半导体中，静态载流子迁移率是指在外加电场下，载流子的平均漂移速率与电场强度的比值。
对于电子而言，静态迁移率可表示为：μn = eτn/m*其中，μn 表示电子的迁移率，e 为电子的电荷，τn 表示电子的平均漂移时间，m* 为电子的有效质量。
对于空穴而言，静态迁移率表示为：μp = eτp/mh*其中，μp 表示空穴的迁移率，e 为空穴的电荷，τp 表示空穴的平均漂移时间，mh* 为空穴的有效质量。
1.2 动态载流子迁移率除了静态载流子迁移率外，动态载流子迁移率也是一个重要的物理量。
在频域条件下，载流子迁移率还包括频率依赖性。
动态载流子迁移率的研究不仅可以更准确地描述载流子在外加电场下的行为，还可以深入理解半导体材料在高频条件下的响应和性能。
三、有效质量的定义与计算2.1 有效质量的定义在晶格结构中，载流子的运动受到晶格势场的约束，因此不能简单地用经典物理学中的质量来描述。
为了更准确地描述载流子在半导体晶格中的运动，引入了有效质量的概念。
有效质量是指载流子在晶格作用下，其运动方程与自由电子的运动方程具有相似性时所对应的质量。
2.2 有效质量的计算在半导体中，可以通过色散关系曲线和等能面的形状来计算载流子的有效质量。
色散关系曲线描述了材料中的电子或空穴在动量空间中的分布，而等能面则描述了材料中载流子的分布。
通过对色散关系曲线和等能面的分析，可以得到载流子在不同动量处的有效质量。
四、载流子迁移率与有效质量的关系3.1 载流子迁移率与有效质量的关系在一般情况下，载流子迁移率与有效质量之间存在着一定的关系。
《电子的有效质量》课件
电子的有效质量与实际质量的关系
01
电子的有效质量与实际质量之间的关系取决于电子所处的能带 和材料属性。
在电子工程领域的应用
微纳电子学
在微纳电子学中，电子的有效质量是一 个关键参数，用于描述电子在纳米尺度 上的行为。通过研究电子的有效质量， 有助于发现新的纳米材料和优化现有纳 米器件的性能，推动微纳电子学的发展 。
VS
电磁波传播
在电磁波传播领域，电子的有效质量对于 理解电磁波与物质相互作用机制具有重要 意义。通过研究电子的有效质量和电磁波 的传播特性，有助于发现新的电磁波调控 技术和优化现有通信系统的性能。
在电子材料研究中的应用
拓扑材料研究
在拓扑材料中，电子的有效质量是一个关键参数，用于描述 电子在材料中的行为。通过研究电子的有效质量，可以深入 了解拓扑材料的电子结构和物理性质，为新型电子器件的开 发提供理论支持。
光电器件研究
在光电器件中，电子的有效质量对于理解电子在光场作用下 的行为至关重要。通过调整材料的结构和光场参数，可以改 变电子的有效质量，从而实现更高效的光电转换和更低的能 量损耗。
新技术的应用与发展
01
02
03
新技术的研发
随着技术的不断进步，新 的电子技术不断涌现，如 柔性电子、纳米电子等。
新技术的应用
新技术在电子设备中的应 用，能够提高设备的性能 和效率，如柔性电子在可 穿戴设备中的应用。
新技术的挑战
新技术的应用也面临着一 些挑战，如生产工艺、设 备兼容性等问题，需要进 一步研究和解决。
半导体物理课件半导体中电子的运动—有效质量
v 1 dE
h dk
h2k 2
•将
E(k) E(0) 2mn*
代入上式，可得
v hk mn*
• 由于不同位置，有效质量的正负不同，则 速度的方向也不同。
3. 半导体中电子的加速度 当外加电场时，半导体中电子的运动规律。 • 当有强度为|E|的外电场时，电子受力f=-q |E| • 外力对电子做功
1.3 半导体中电子的运动——有效质量
本节重点： 1. 有效质量和空穴的概念 2. 引入有效质量和空穴的意义 3. 有效质量的值与能带的关系 4. 空穴与电子的关系 难点： 1.有效质量可为负、无穷的原因 2.空穴的存在状态的描述
1. 半导体中的E(k)与k的关系
• 设能带底位于波数k，将E(k)在k=0处按泰勒级数
满带中总波矢为零，k=0，如果一个电子由价带 激发到导带，则在价带产生一个空穴。若该电子波矢
为k，价带中价带电子系统的总波矢k=-k。
空穴向下跃迁，能量增加
价带顶为能量零点。价带失去电子，能量增加。 空穴越向下，能量越高。
本征半导体：
不含有杂质与缺陷的半导体，所有的参与导电的 电子和空穴均来自本征激发。导带中出现多少电子， 价带就出现多少空穴，参与导电。
半导体中有两种粒子：电子和空穴导电。
空穴与处于其对应的空状态的电子的关系：
• 所带电量：qp=-qn • 有效质量：mp*=-mn* • 波矢：kp=-kn • 粒子速度：vp=vn • 粒子具有能量：Ep=-En，价带顶为能量零点
1.4本征半导体的导电机构——空穴
• 导电机理：电子填充能带的情况 • 室温下，半导体中的电子与空穴
• 绝对零度时，半导体中的情况
两种情况下的能带图
空穴的特点
半导体物理有效质量的推导公式
半导体物理有效质量的推导公式半导体物理是研究半导体材料的性质、结构和应用的一门学科。
在半导体物理中，有效质量是一个非常重要的概念，它用于描述电子在半导体中的行为。
本文将详细介绍半导体物理中有效质量的推导公式，并对其进行解释和应用。
首先，我们来了解一下半导体物理的基本概念。
半导体材料介于金属和绝缘体之间，具有一定的导电性能。
在半导体中，电子受到原子核和晶格振动的影响，其运动规律与自由电子有所不同。
在半导体中，电子的运动可以分为两部分：一是自由电子的运动，二是受到晶格振动影响的电子。
接下来，我们来探讨有效质量的概念及意义。
有效质量是指电子在半导体中受到各种相互作用后的质量，它反映了电子在半导体中的有效行为。
有效质量的概念来源于固体物理中的“有效质量”概念，其在半导体物理中具有重要意义。
一般来说，有效质量越大，电子在半导体中的运动越受限，导电性能越差。
现在，我们来推导有效质量的公式。
在半导体中，电子的能量与动量关系可以表示为：E = (p^2 / 2m) + ΔE，其中E为电子的总能量，p为电子的动量，m为电子的质量，ΔE为电子受到的晶格振动引起的能量。
将动量p表示为能量E的函数，得到p = sqrt(2m(E - ΔE))。
接下来，我们将动量p带入半导体的电子浓度公式：n = sqrt(2π) * (m * ΔE) / ( * k_B * T)，其中n为电子浓度，为约化普朗克常数，k_B为玻尔兹曼常数，T为温度。
通过整理，我们可以得到有效质量的推导公式：m^(*) = m /sqrt(1 + (ΔE / E_g) * (1 / (k_B * T)))，其中m为电子质量，E_g为半导体的能带间隙。
在此，我们对推导公式进行解释。
有效质量的推导公式表明，有效质量与电子质量m、能带间隙E_g、温度T以及晶格振动引起的能量ΔE有关。
当温度升高或晶格振动引起的能量增大时，有效质量会减小，这意味着电子在半导体中的运动更加自由，导电性能提高。
4-6电子的有效质量解析
E＝ 2 2m
k2
2 2m
(kx2
ky2
kz2)
—等能面为球面
mxx＝ 2
E K
2
2 x
＝
myy＝mzz＝m
3．一维情况
m＝ 2 2 E K 2
为标量，但标量并不等于是常量， m*也与能带结构有关。
在能带上部（极大值处）
d2E 0 dK 2
所以m*< 0
由
dv＝ 1 dt m
1 2
e
ik
r
它的动量本征值为
P＝k
因而它的速度为
k ＝ p ＝ k mm
(5－1) （5－2）
(5－3)
其中m是自由电子的质量。
考虑到自由电子的能量为
Ek ＝ 2 k 2
2m 可将自由电子的速度写成
(5－4)
k
＝
1
k
E
(k)
(5－5)
（5－5）式是一个十分重要的公式。虽然它只针 对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带 指数n对固体中的布洛赫电子也是严格成立的，
m
代替；
2．有效质量
m
为张量，一般情况下
mxx myy mzz
此时，Bloch电子的加速度与外场力方向可以
不一致。例如：设F外kx＝F外ky＝F外kz，但各
mii
不等,则
•
V
kx
•
、V
ky
•
、V
kz
不等。
在k空间，当等能面为球面时（介质各向同性）
2E ＝2E ＝2E
K
2 x
K
2 y
K
2 z
mxx＝myy＝mzz＝m 有效质量成为标量
电子的有效质量
对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带
指数n对固体中的布洛赫电子也是严格成立的，
.
即
n
k
＝
1
k
En
(k
)
(5－6)
该式说明，布洛赫电子的运动速度和能量
梯度成正比，方向与等能面法线方向相同。
（▽K 表示在K空间运算： 自变量为 Kx、Ky、Kz）
.
二．电子的准动量
当有外场时，布洛赫电子受到外力的作用。
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用 ∥表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
F外＝F外 // F外
(5－10)
•
•
•
k ＝ k // ＋ k
.
(5－11)
比较（5－8）和（5－9）两式，可知：
•
k // ＝F外//
(5－12)
事实上可以证明
•
k ＝F！外
也成立。因而有
•
k ＝F外
k
,
r
＝VC
1 2
e
ik
r
它的动量本征值为
P＝k
因而它的速度为
k ＝ p ＝ k mm
.
(5－1) （5－2）
(5－3)
其中m是自由电子的质量。
考虑到自由电子的能量为
Ek ＝ 2 k 2
2m 可将自由电子的速度写成
(5－4)
k
＝
1
k
E
(k)
(5－5)
（5－5）式是一个十分重要的公式。虽然它只针
是否
mij
＝2
2E ？ KiK j
.
若选择合适的坐标系，可使倒有效质量张量 对角化，则有效质量张量也对角化了，在这 种情况下
电子有效质量是正值
半导体物理 Semiconductor Physics
金刚石结构晶胞
一种由相同原子构 成的复式晶格，它 由两个面心立方晶 格沿立方对称晶胞 的体对角线错开 1/4长度套构而成
半导体物理 Semiconductor Physics
半导体物理 Semiconductor Physics
经过单电子近似，晶体中的电子运动就简化为周期 场中的单电子问题，这个单电子的薛定谔方程为
2
H (r) [ 2 V (r)] (r) E (r)
2m0
其中
V (r) V (r Rn )
半导体物理 Semiconductor Physics
闪锌矿结构
Zinc blende structure
由III族元素铝、镓、铟和V族元素磷、砷、锑 合成的III-V族化合物半导体材料，绝大多数具 有闪锌矿结构，如GaAs、InSb、GaP等
由II族元素锌、镉、汞和VI族元素硫、硒、碲 合成的II-VI族化合物，除硒化汞、碲化汞是半 金属*外都是半导体材料，大部分也都具有闪 锌矿结构，但是有些也可具有六角晶系纤锌矿 结构，如ZnS、ZnSe、CdS、CdSe等
事实上，由k= nπ/a和k=2 π/λ，可以得到2a=n λ，这 正是一维布拉格全反射条件：相邻原子的背向散射波干 涉相长，使入射波遭到全反射不能进入晶体内部。
半导体物理 Semiconductor Physics
能带结构的三种表示方式
周期图示
扩展布里渊 简约布里
区图示
渊区图示
半导体物理 Semiconductor Physics
共价结合与离子结合
电子有效质量的意义（精选3篇）
电子有效质量的意义（精选3篇）以下是网友分享的关于电子有效质量的意义的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一：有效质量的意义有效质量的意义它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时可以不涉及到半导体内部势场的作用，可以方便解决电子的运动规律。
空穴：将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准粒子的导电作用。
空穴的主要特征：A 、荷正电：+q；B 、空穴浓度表示为p （电子浓度表示为n ）；C 、EP=-EnD 、mP*=-mn*2. 回旋共振目的是测出有效质量，确定能带结构。
施主杂质：束缚在杂质能级上的电子被激发到导带Ec 成为导带电子，该杂质电离后成为正电中心（正离子）。
这种杂质称为施主杂质。
受主杂质：束缚在杂质能级上的空穴被激发到价带Ev 成为价带空穴，该杂质电离后成为负电中心（负离子）。
这种杂质称为受主杂质。
等电子杂质特征：a 、与本征元素同族但不同原子序数例：GaP 中掺入Ⅴ族的N 或Bib 、以替位形式存在于晶体中，基本上是电中性的。
两性杂质：在化合物半导体中，某种杂在其中既可以作施主又可以作受，这种杂质称为两性杂质。
费米能级E F 称为费米能级或费米能量温度导电类型杂质含量能量零点的选取d F E =μ=() T f (E ) =N ∑F i d N i处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级意义是：当系统处于热平衡态，也不对外界做功的情况下，系统增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
平均自由程：连续两次散射间自由运动的平均路程。
格波的能量效应以h νa 为单元声子2. 欧姆接触欧姆接触是指不产生明显的附加阻抗，而且不会使半导体内部的平衡载流子浓度发生显著改变的一种接触。
利用隧道效应的原理在半导体上制造欧姆接触。
制作欧姆接触最常用方法是重搀杂的半导体与金属的接触。
光生伏特效应用适当波长的光照射非均匀半导体时，由于内建场的作用，半导体内部产生电动势，这种由于内建场产生的光电效应，称为光生伏特效应。
电子的有效质量解释粒子性
电子的有效质量解释粒子性
电子的有效质量是指在固体中具有类似于自由电子的行为时所表现出来的等效质量。
在固体中，电子受到晶格周期性势场的影响，其运动受到了限制。
根据固体物理学中的能带理论，电子的运动可用一系列能量带或禁带来描述，其中包括导带和价带。
在电子靠近能带底部的情况下，由于其动能比较小，可以将其近似看作自由电子。
此时，电子的动量和能量之间满足自由电子动能关系，即E = (p^2) / (2m)，这里的m是等效质量。
可以将电子的有效质量看作是电子在固体中的运动对外部施加的有效质量。
需要注意的是，电子的有效质量通常与外部条件和材料性质有关，不同材料中电子的有效质量可能不同。
对于半导体和绝缘体来说，电子的有效质量通常较大，而金属中的电子则通常具有较小的有效质量。
总之，电子的有效质量解释了在固体中电子的粒子性，即其在晶格约束下运动的行为。
4-6电子的有效质量
(5－13) （5－14）
但由于布洛赫波不是动量的本 征态，没有确定的动量，故称 k 为布洛赫电子的准动量.
第9页，共26页。
三．晶体中电子的有效质量张量
标量 B
称为零阶张量
矢量
A＝ Aiei i＝1,2,3 称为一阶张量
i
A ＝ Aij ei e j
i、j
i,
j＝1、2、3
称为二阶张量
例如在各向异性的电介质中
D E
Dx不仅与Ex有关，还与Ey、Ez有关，有九个元素。
第10页，共26页。
由（5－6）式，可求得Bloch电子的加速度
•
V
＝
1
d dt
K
E(K )
1
d dt
E K
K x (t), K y (t), K z
(t)
由梯度的定义，Kx方向的加速度
dVKx ＝ 1 d dt dt
E
第16页，共26页。
问题：
1
mij
＝1 2
2E KiK j
是否
mij
＝2
2E ？ KiK j
第17页，共26页。
若选择合适的坐标系，可使倒有效质量张量对 角化，则有效质量张量也对角化了，在这种情 况下
mxx＝ 2
2E
K
2 x
myy＝ 2
2E
K
2 y
mzz＝ 2
2E
K
2 z
第18页，共26页。
第19页，共26页。
K
x
而
E K x
为t的复合函数[Kx(t),Ky(t),Kz(t)
]
第11页，共26页。
dVK x dt
1 2E
电子的有效质量
＝1 mxx
F外kx
dVky dt
＝1 mYY
F外ky
dVkz dt
＝1 mzz
F外kz
形式上与牛顿方程类似
dVx dt
＝1 m
F外x
dVy dt
＝1 m
F外y
dVz dt
＝1 m
F外z
编辑课件
20
讨论：
1.Bloch电子在外场力作用下，运动规律形 式上遵守牛顿定律，只是把m用有效质量
m代替；
2．有效质量 m为张量，一般情况下
dE＝F外·υdt
单位时间内得到的能量为
(5－7)
d d＝ E tF 外 •＝ F 外 • 1 kEk (5－8)
编辑课件
6
从数学上复合函数求导
d d＝ E t E kxd dxk t k E yd dyk t k E zd dz＝ ktd dk•t kE k(5－9)
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用 ∥表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
而
E K x
为t的复合函数[Kx(t),Ky(t),Kz(t) ]
编辑课件
11
dV K x dt
1( K 2E x 2 K tx＋ K x 2 E K y K ty＋ K x 2 E K z K tz)
类似可得
d d K y V ＝ t 1( K y 2 E K x K tx＋ K 2E y 2 K ty＋ K y 2 E K z K tz)
F 外 ＝ F 外 //F 外
(5－10)
•
•
•
k ＝ k // ＋ k
编辑课件
(5－11)
7
比较（5－8）和（5－9）两式，可知：
电子的有效质量-精品文档
k , r ＝ Ve
P ＝k
1 r 2 ik C
(5-99)
（5-100） (5-101)
p k＝ ＝ k m m
考虑到自由电子的能量为
2 Ek ＝ k 2m 可将自由电子的速度写成
2
(5-102) (5-103)
1 k＝ k ) kE(
（ 5-103 ）式是一个十分重要的公式。虽然它只针 对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带 指数n对固体中的布洛赫电子也是成立的。
i, j＝1、2、3 称为二阶张量
例如在各向异性的电介质中
D
E
Dx不仅与Ex有关，还与Ey、Ez有关，有九个元素。
由（5-104）式，可求得Bloch电子的加速度 1 d 1d V ＝ E (K ) E K ( t ), K ( t ), K ( t ) x y z K K dt dt
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用 ∥表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
F ＝ F F 外 外 // 外
//
(5-108)
k＝ k
＋ k
(5-109)
比较（5-106）和（5-107）两式，
dE 1 ＝ F ＝ F E k k 外 外 dt
§4-7 电子的有效质量
近自由电子模型―――把原子实和（n-1） 电子的共同作用概括为周期势场的作用； 用量子力学微扰论求解定态问题。
若材料处在外场中该如何处理？
用类似牛顿力学来讨论非定态问题。
Bloch电子费米气模型―――把晶格场 的影响计入m的变化→视为半经典粒 子。
一．电子的速度
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k // ＝F外 //
(5-110)
事实上也可以证明
k ＝F外
也成立。因而有
k ＝F外
（5-111）式和经典力学的牛顿定律：
(5-111) （5-112）
P ＝F
相当，因而
k
有动量的量纲。
但由于布洛赫波不是动量的本征 态，没有确定的动量，故称 k 为布洛赫电子的准动量.
k , r ＝V
它的动量本征值为 因而它的速度为
1 2 C
e ik r
(5-99)
P ＝k
（5-100） (5-101)
p k＝ ＝ k m m
考虑到自由电子的能量为
2 E k ＝ k 2m 可将自由电子的速度写成
2
(5-102) (5-103)
1 k ＝ k E (k )
2．有效质量
m
为张量，
yy
一般情况下
m
xx
m
m
zz
此时，Bloch电子的加速度与外场力方向 可以不一致。例如： 设F外kx＝F外ky＝F外kz，但各 mii
V ky 、 V kz 不等。 不等,则 V kx 、
在k空间，当等能面为球面时（介质各向同性）
E E E ＝ ＝ 2 2 2 K x K y K z
4. 仍以一维情况为例。
设m:电子的惯性质量 FL:电子所受到的晶格场力； F外:电子所受到晶体以外产生的场所施加的力。 dv/dt＝1/m· F＝1/m（F外＋FL） 与dv/dt＝1/m*F外比较，可得
m ＝m
F外 F外＋FL
m ＝m
F外 F外＋FL
即 m*与m的区别来源于FL，
m* 除了反映电子的惯性之外，还概括 了晶格场力FL对电子的作用。
由梯度的定义，Kx方向的加速度
dVK x 1 d E ＝ dt dt K x
E 而 为t的复合函数[Kx(t),Ky(t),Kz(t) ] K x
d VK x dt
dV K y
1 E K x E E K z ( 2 ＋ ＋ ) K x t K x K y t K x K z t
E ？ Ki K j
2
是否
mij ＝
2
若选择合适的坐标系，可使倒有效质量张量 对角化，则有效质量张量也对角化了，在这 种情况下
mxx ＝ 2
2E 2 K x
2 m ＝ yy
2E 2 K y
m ＝
zz
2
2E 2 K z
即 形式上与
dVkx 1 ＝ F外kx dt mxx
2 2 2
K y
类似可得
2 K 1 E K x E E K z y ＝ ( ＋ 2 ＋ ) dt K y K x t K y K z t K y t 2 2
dVK z
1 E K x E E K z ＝ ( ＋ ＋ 2 ) dt K z K x t K z K y t K z t
2
E K 2
2
为标量，但标量并不等于是常量，
m*也与能带结构有关。
在能带上部（极大值处）
d E 0 2 dK
由
2
所以m*< 0
dv 1 ＝ F外 dt m
。
得Bloch电子的加速度与外力方向相反
类似，在能带下部（极小值处），m*>0 Bloch电子的加速度与外力同向。
注意：
能带底并不一定均在第一B.Z的中间部分。
二．电子的准动量
当有外场时，布洛赫电子受到外力的作用。 dt 时间内电子从外力场获得的能量为（仅考 虑在一个能带中的运动，暂略去能带指数n）
dE＝F外· υdt
单位时间内得到的能量为
(5-105)
dE 1 ＝F外 ＝F外 k E k dt
(5-106)
从数学上复合函数求导
dE E dk x E dk y E dk z d k ＝ ＝ k E k dt k x dt k y dt k z dt dt (5-107)
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用 ∥表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
F外＝F外 // F外
//
(5-108)
k ＝k
＋k
(5-109)
比较（5-106）和（5-107）两式，
dE 1 ＝F外 ＝F外 k E k dt
dE E dk x E dk y E dk z d k ＝ ＝ k E k dt k x dt k y dt k z dt dt
牛顿方程类似
dVx 1 ＝ Fx dt m
dVy 1 ＝ Fy dt m
dVky
1 ＝ F外ky dt mYY
dVkz 1 ＝ F外kz dt m zz
dVz 1 ＝ Fz dt m
讨论：
1. Bloch电子在外场力作用下，运 动规律形式上遵守牛顿定律，只是 把m用有效质量
m 代替；
（ 5-103 ）式是一个十分重要的公式。虽然它只针 对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带 指数n对固体中的布洛赫电子也是成立的。
即
1 n k ＝ k En ( k )
(5-104)
该式说明，布洛赫电子的运动速度和能量 梯度成正比，方向与等能面法线方向相同。 （▽K 表示在K空间运算： 自变量为 Kx、Ky、Kz）
2 2 2
K y
写成矩阵形式：
由式（5-111)
k ＝F外
表示为
与牛顿定律
V ＝ m F外
1
(5-114）
V ＝m F
1
形式上相似，而且不出现不易测量的FL， 把FL的困难并入 1 （ m ） 1 可由能带结构求出， （ m ） 称为倒有效质量张量.
§4-7 电子的有效质量
近自由电子模型―――把原子实和（n-1） 电子的共同作用概括为周期势场的作用； 用量子力学微扰论求解定态问题。
若材料处在外场中该如何处理？
用类似牛顿力学来讨论非定态问题。
Bloch电子费米气模型―――把晶格场 的影响计入m的变化→视为半经典粒 子。
一．电子的速度
自由电子波函数是平面波
( m )
1
1
m
― 称为有效质量张量
因为 E（K）及其导数连续, 所以混合偏导与次序无关
2 E E K i K j K j K i
2
(i≠j i, j＝1、2、3)独立元素只剩六个 所以以上为对称张量。
问题：
1
mij
1 2E ＝ 2 K i K j
2 2 2
m ＝m ＝m ＝m
例如：自由电子
2 2
xx
yy
zz
有效质量成为标量
2 2 2 2 E＝ k (k x k y k z ) —等能面为球面 2m 2m 2 E 2 mxx＝ ＝ m ＝m ＝m 2 yy zz K x
3．一维情况
m ＝
三．晶体中电子的有效质量张量
标量 矢量 B A＝
Ae
i
i i
称为零阶张量 i＝1,2,3 称为一阶张量
A ＝ Aij ei e j
i、j
i, j＝1、2、3 称为二阶张量
例如在各向异性的电介质中
D
E
Dx不仅与Ex有关，还与Ey、Ez有关，有九个元素。
由（5-104）式，可求得Bloch电子的加速度 1 d 1 d V＝ K E(K ) K E K x (t ), K y (t ), K z (t ) dt dt