计量第五章 异方差
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《计量经济学》第五章精选题及答案
第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。
2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？ 3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。
4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。
三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+= e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。
研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。
（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。
计量异方差性
f(Xji) 2X jiei 或 ln e ~ i2 )( ln 2ln X jii
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
若在统计上是不显著的，则表明为同方差，且为2。
如：戈里瑟检验常用的函数形式：
ei 01Xi i ei ei 01 Xi i
0
1
1 Xi
i
提出零假设H：1=0，即不 存在异方差。若1在统计 上是显著的，即零假设被
WLS中权数W可选取任一变化趋势与异方差的趋势相反的变
量序列，如 1 / e i 2 ，在Eviews中权数输入 1/ | ei | 。 22
一般情况下，对于模型 Y Xβ μ (1)
存在 E(μ) 0
如何得到权矩阵D –1 ？
Cov(μ) E(μμ') 2W
显然，W是一对称正 定矩阵，因此存在一 可逆矩阵D，使得
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的“形式”。
11
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
首 先 采 用OLS法 估 计 模 型 ， 以 求 得 随 机 误 差 项 的 估 计 量 （ 注 意 ， 该 估 计 量 是 不 严 格 的 ） ， 我 们 称 之 为 “ 近 似 估 计 量 ” ， 用 e~i 表 示 。 于 是 有
16
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队 ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观
察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个 子样样本容量均为(n-c)/2
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差 平方和
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量
第五章 异方差性
于OLS估计得到的残差 ei 的分析
26
异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
31
图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排
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异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
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图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
计量经济学-第五章-异方差讲解
M M ' = I TT 从上式得 M 'M = -1 用 M 左乘上述回归模型两侧得
MY=MX+Mu 取 Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式变换为 Y* = X* + u* 则 u* 的方差协方差矩阵为 Var(u*) = E(u* u*' ) = E (M u u' M ' ) = M 2 M ' = 2 M M ' = 2 I 对变换后模型进行 OLS 估计，得到的是 的最佳线性无偏估计量。 这种估计方法称作广义最小二乘法。 的广义最小二乘 (GLS) 估计量定义为 ˆ (GLS) = (X*' X*)-1 X*' Y* = (X 'M ' M X ) -1 X ' M 'M Y = (X ' -1X) -1 X ' -1Y
6. 0E+ 11
4. 0E+ 11
2. 0E+ 11
0. 0E+ 00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
28.0 LNGDP OF PHILIPPIN
27.5
27.0
26.5
26.0
25.5
25.0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
(2) 利用散点图做初步判断。
(3) 利用残差图做初步判断(以解释变量为横坐标，残差平方ຫໍສະໝຸດ 为纵坐标)。7 Y
6 5 4 3 2
3 Y
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
MY=MX+Mu 取 Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式变换为 Y* = X* + u* 则 u* 的方差协方差矩阵为 Var(u*) = E(u* u*' ) = E (M u u' M ' ) = M 2 M ' = 2 M M ' = 2 I 对变换后模型进行 OLS 估计，得到的是 的最佳线性无偏估计量。 这种估计方法称作广义最小二乘法。 的广义最小二乘 (GLS) 估计量定义为 ˆ (GLS) = (X*' X*)-1 X*' Y* = (X 'M ' M X ) -1 X ' M 'M Y = (X ' -1X) -1 X ' -1Y
6. 0E+ 11
4. 0E+ 11
2. 0E+ 11
0. 0E+ 00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
28.0 LNGDP OF PHILIPPIN
27.5
27.0
26.5
26.0
25.5
25.0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
(2) 利用散点图做初步判断。
(3) 利用残差图做初步判断(以解释变量为横坐标，残差平方ຫໍສະໝຸດ 为纵坐标)。7 Y
6 5 4 3 2
3 Y
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
第五章第四节 异方差的解决方法
（5）权数的选择（**）
• 一般地，Wi=1/2i。问题在于：2i一般是未知的 • 关键：找出ui随着Xi的变化而变化的规律，对异方差
Var(ui)= 2i = 2 f( Xi )（ i=1,2,…,n）的具体形式作出 合理假设。
• 怎样才能提出合理的假设呢？ （1）通过对具体经济问题的经验分析，或 （2）考察OLS的ei2与Xi的关系，或 （3）通过White等检验的结果提供的信息 • 粗略做法： Wi =1/|ei|或1/ ei2 ，ei是OLS估计的残差 • 所以，利用WLS的思路是：寻找合适的“权数”，
4.WLS法在eviews中的实现
1.创建文件：File/New/Workfile/输入数据频率/Ok 2.输入数据：在主菜单，点quick / empty group/输入变量
名称和数值/ 3.产生新序列：在eviews栏，点quick/generate series/输
入w=1/sqr(x)，点ok(假设w=1/sqr(x) 4.作回归：在eviews栏，点quick/ estimate equation/键入
变量和常数[如y c x]，同时点右下方的option，选择 Weighted LS/TLS，键入w，点ok
同质性 权数序列名
二、对原模型变换的方法
1、模型变换法的定义
模型变换法是对存在异方差的总体回归模型作适当的代数变换，使之成为满足同方 差假定的模型 , 进而运用OLS方法估计参数。
2、模型变换法的关键是： 通过对具体经济问题的经验分析，事先对异方差
往往有较小的差异。
利用EViews对模型进行对数变换
例 ln Yi 1 2 ln Xi ui 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LY=LOG（Y） 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LX=LOG（X）
计量经济学-5异方差
ˆ Yi |ei| |ei|等级
9 8 6 7 5 4 1 2 3 10
di
0 -1 2 -1 -1 1 2 0 -2 -9
d
2 i
0 1 4 1 1 1 4 0 4 81
计量经济学
解：根据表中的数据， ˆ Y = 4 . 5615 − 0 . 7965 X
t
利用普通最小二乘得：
t
R
2
= 0 . 93
计量经济学
四、帕克（Pack）检验 帕克（ ）
假定σ i2与某一解释变量X k 有关 :
σ i2 = σ 2 X β e v , 或 ln(σ i2 ) = ln(σ 2 ) + β ln( X k ) + vi
i k
由于σ i2未知，以同方差假定下OLS估计得到的e i2 代替： ln(ei2 ) = α + β ln( X k ) + vi 进行回归，对β作显著性检验。若显著，则存在异方差。
且能确定影响随机项的解释变量。 且能确定影响随机项的解释变量。
计量经济学
夸特（ 五、戈德菲尔德—夸特（Goldfied-Quandt）检验 戈德菲尔德 夸特 ） G-Q检验适用于大样本、随机项的方差与某异解释变量 检验适用于大样本、 检验适用于大样本 存在正相关的情况。检验的前提条件是： 存在正相关的情况。检验的前提条件是：随机项服从正态分 无序列相关。步骤： 布；无序列相关。步骤：
计量经济学
三、异方差的后果 基于CLRM假定的 假定的OLS估计参数结果将受到影响。 估计参数结果将受到影响。 基于 假定的 估计参数结果将受到影响 1、考虑异方差性的 、考虑异方差性的OLS估计 估计 E (u i ) = σ i2 ≠ 常数 ，保留其它的 保留其它的CLRM假定， 假定， 如果假定 假定 以双变量回归模型为例，普通OLS估计为： 估计为： 以双变量回归模型为例，普通 估计为
第五章 异 方 差
二、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但 这些参数方差的估计量是有偏的。 正的偏差即OLS高估了参数估计值的真实 方差 负的偏差即OLS低估了参数估计值的真实 方差。
1 SALE
，在EVIEWS软件中，可直接给出权重
1
由软件自行进行模型转换，完成加权最小 二乘法（WLS）的线性回归方程。
SALE
procs Makபைடு நூலகம்Equation options
在Weighted LS/TSLS 上打钩 在Weight 内输入1/SQR(sale) 得到F6
E(u ) k X
2 i 2 i 2
2 i
K为常数比例因子。
Yi Xi ui 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) Xi Xi Xi Xi
例F6 见Eviews F5 （1）平方根变换将OLS回归的残差描图， 我们可以发现误差方差正比于销售量， 因此可对模型作平方根变换后再进行回 归，即采用加权最小二乘法，权为
异方差的图示 散点图
三、实际经济问题中的异方差性
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化
例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+I 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。
计量经济学实验5 异方差
具体步骤是：
1 ．选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差 项的近似估计量 û t； 2．建立 1/| û t | 的数据序列； 3．选择加权最小二乘法，以 1/| û t |序列作为权，进
行估计得到参数估计量。实际上是以 1/| û t |乘原模型的两
边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
以不必把它们全包括在内。无交叉项选项仅使用解释变
量平方进行检验回归。
例：人均家庭交通及通讯支出(CUM)和可支配收入(IN ) 的回归方程的 White 异方差检验的结果：
该结果F 统计量和 Obs*R2 统计量的P值均很小，表明 拒绝原假设，即残差存在异方差性。
利用加权最小二乘法消除异方差
1．方差已知的情形 假设有已知形式的异方差性，并且有序列w，其值与误差标 准差的倒数成比例。这时可以采用权数序列为w 的加权最小二乘 估计来修正异方差性。对加权自变量和因变量最小化残差平方和 得到估计结果 :
四、实验原理与操作
异方差性检验
1. 图示检验法 (1) 用X-Y的散点图进行判断 观察是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即 不在一个固定的带型域中）
2的散点图进行判断 （2）X - û i 首先采用OLS方法估计模型，以求得随机误差项的估计量 (注意，该估计量是不严格的)，我们称之为“近似估计量”，用 2 表示。于是有 û i
5．随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。即
ui ~
N (0, )
2
i=1,2,…,N
当随机误差项满足假定1 ~ 4时，将回归模型”称为 “标准回归模型”，当随机误差项满足假定1 ~ 5时，将回 归模型称为“标准正态回归模型”。如果实际模型满足不 了这些假定，普通最小二乘法就不再适用，而要发展其他 方法来估计模型。
计量经济学第五章 异方差
X 20000
5.3异方差的侦查
利用残差图——绘制残差平方与X散点图
（一般把异方差看成是由于解释变量的变化而引起的）
5.1异方差的概念
三、异方差产生的原因 模型设定误差：省略了重要的解释变量
例：真实模型 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i i 采用模型 Yi 1 2 X 2i i
如果X3随着X2的不同而对Y产生不同的影响，则 该影响体现在扰动项中。
测量误差： 一方面，测量误差常常在一定时间内逐渐增加，如X 越大，测量误差就会趋于增大 另一方面，测量误差随时间变化趋于减少，如抽样技 术的改进使得测量误差减少。
)
2 i
5.1异方差的概念
6 Y
4
300 Y
200
2
100
0 0
X
0
X
10
20
30
0
5000
10000
15000
20000
250
Y
二、常见的异方差类型： 200
递增型异方差：
150
100
递减型异方差：
50
条件异方差（略）：
0 0
X
10
20
30
时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
ˆ 2 ei2 (Yi ˆX i )2 (( ˆ) X i i )2
n 1
n 1
n 1
5.2异方差的后果
E (vaˆr(ˆ ))
E(
ˆ 2
X
2 i
)
E(
(( ˆ)X
(n 1)
计量经济学第五章 异方差性
第五章 异 方 差 性
●异方差性的概念 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
1
第一节 异方差性的概念
一、异方差性的实质 二、异方差产生的原因
2
一、异方差性的实质
设模型为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ui
如果对于模型中随机误差项,有：
8
第二节 异方差性的后果
一、对参数估计统计特性的影响 二、对参数显著性检验的影响 三、对预测的影响
9
一、对参数估计式统计特性的影响
1、仍然具有线性性 2、仍然具有无偏性
参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零 均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对 无偏性的成立没有影响。
3、仍然具有一致性 4、不再具有最小方差性
24
4、检验的特点
（1）适用于大样本； （2）检验递增型或递减型异方差； （3）只能判断异方差是否存在，在多个解释变 量的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局 限； （4）该检验的功效取决于C，C值越大，检验功 效越好； Continued
25
Continued （5）两个子样回归所用的观测值个数如果不 相等时，也可以用该检验，需要通过改变自由度 和统计量的计算公式来调整； （6）当模型中包含多个解释变量时，应对每 个可能引起异方差的解释变量都进行检验。
26
三、White检验
1、基本思想：
构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函 数，通过判断辅助函数的显著性来判断原方程是 否存在异方差。 一般而言，辅助回归的解释变量包括常数项、 原模型中的解释变量、解释变量平方、其交叉乘 积。
27
2、检验的基本步骤：
原模型为
●异方差性的概念 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
1
第一节 异方差性的概念
一、异方差性的实质 二、异方差产生的原因
2
一、异方差性的实质
设模型为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ui
如果对于模型中随机误差项,有：
8
第二节 异方差性的后果
一、对参数估计统计特性的影响 二、对参数显著性检验的影响 三、对预测的影响
9
一、对参数估计式统计特性的影响
1、仍然具有线性性 2、仍然具有无偏性
参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零 均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对 无偏性的成立没有影响。
3、仍然具有一致性 4、不再具有最小方差性
24
4、检验的特点
（1）适用于大样本； （2）检验递增型或递减型异方差； （3）只能判断异方差是否存在，在多个解释变 量的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局 限； （4）该检验的功效取决于C，C值越大，检验功 效越好； Continued
25
Continued （5）两个子样回归所用的观测值个数如果不 相等时，也可以用该检验，需要通过改变自由度 和统计量的计算公式来调整； （6）当模型中包含多个解释变量时，应对每 个可能引起异方差的解释变量都进行检验。
26
三、White检验
1、基本思想：
构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函 数，通过判断辅助函数的显著性来判断原方程是 否存在异方差。 一般而言，辅助回归的解释变量包括常数项、 原模型中的解释变量、解释变量平方、其交叉乘 积。
27
2、检验的基本步骤：
原模型为
异方差
1 f ( X 2i )
1
1 f ( X 2i )
1Hale Waihona Puke X 1i 21 f ( X 2i )
X 2i
k
X ki
f ( X 2i )
ui
新模型中，存在
V ar( 1 f ( X 2i ) ui ) E ( 1 f ( X 2i ) ui )
2
1 f ( X 2i )
0 . 05
3、White检验 （1）建立回归模型：LS Y C X，回归结果如图5-5
（2）在方程窗口上点击View\Residual\Test\White Heteroskedastcity,检验结果如图5-6。
4、Park检验 – （1）建立回归模型（结果同图5-5所示）。 – （2）生成新变量序列：GENR LNE2=log(RESID^2) GENR LNX=log（x） – （3）建立新残差序列对解释变量的回归模型： LS LNE2 C LNX，回归结果如图5-7所示。
案例1---我国制造业利润函数模型
一、参数估计 进入EViews软件包，确定时间范围；编辑输 入数据；选择估计方程菜单，估计样本回归函数 如下：
估计结果为：
括号内为t统计量值。
ˆ y i 12 . 0335 0 . 1044 X i ( 0 . 6165 ) R
2
( 12 . 367 ) F 152 . 9322
0 . 8547
二、检验异方差性 1、图形分析检验 ⑴观察销售利润（Y）与销售收入（X）的相关图 (图5-3)：SCAT X Y
从图中可以看出,随着销售收入的增加,销售利 润的平均水平不断提高,但离散程度也逐步扩大。这 说明变量之间可能存在递增的异方差性。
1
1 f ( X 2i )
1Hale Waihona Puke X 1i 21 f ( X 2i )
X 2i
k
X ki
f ( X 2i )
ui
新模型中，存在
V ar( 1 f ( X 2i ) ui ) E ( 1 f ( X 2i ) ui )
2
1 f ( X 2i )
0 . 05
3、White检验 （1）建立回归模型：LS Y C X，回归结果如图5-5
（2）在方程窗口上点击View\Residual\Test\White Heteroskedastcity,检验结果如图5-6。
4、Park检验 – （1）建立回归模型（结果同图5-5所示）。 – （2）生成新变量序列：GENR LNE2=log(RESID^2) GENR LNX=log（x） – （3）建立新残差序列对解释变量的回归模型： LS LNE2 C LNX，回归结果如图5-7所示。
案例1---我国制造业利润函数模型
一、参数估计 进入EViews软件包，确定时间范围；编辑输 入数据；选择估计方程菜单，估计样本回归函数 如下：
估计结果为：
括号内为t统计量值。
ˆ y i 12 . 0335 0 . 1044 X i ( 0 . 6165 ) R
2
( 12 . 367 ) F 152 . 9322
0 . 8547
二、检验异方差性 1、图形分析检验 ⑴观察销售利润（Y）与销售收入（X）的相关图 (图5-3)：SCAT X Y
从图中可以看出,随着销售收入的增加,销售利 润的平均水平不断提高,但离散程度也逐步扩大。这 说明变量之间可能存在递增的异方差性。
计量经济学第五章-异方差
由于异方差，会使得OLS估计的方差增大， 从而造成预测误差变大，降低预测精度。
可编辑ppt
5
一、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不 是最小方差的估计量
1、线性性
bˆ1
= xi yi xi 2
= b1
+ xi ui xi 2
一元线性回归模型为例
2、无偏性
E( bˆ1 )=E(
b1
+
xi ui xi 2
在同方差的假定下才被证明是服从 t 分布的。 分母变大，t 值变小，t 检验也就失去意义。
三、降低预测精度
由于存在异方差，参数的OLS估计的方差增大，参数 估计值的变异程度增大，从而造成对 Y 的预测误差变大， 降低预测的精度。
可编辑ppt
7
第二节 异方差的检验
• 1、图解法 • 2、戈德菲尔德—匡特法（双变量模型） • 3、怀特检验（White） • 4、戈里瑟(Glejser)检验 • 5、帕克(Park)检验
• 二、随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配 他们的收入有更大的选择范围。因此，在做储蓄对收入的回归 时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，与收 入俱增。
• 三、个体户收入随时间变化。
• 四、异方差还会因为异常值的出现而产生。一个超越正常值范 围的观测值或称异常值是指和其它观测值相比相差很多（非常 小或非常大）的观测值。
)= b1+
xi E(ui xi 2
)
=
b1
3、方差
该形式不具有最小方差
Var( bˆ1 ) =
i 2
xi 2
在同方差时，
xi2 Xi2 xi 2
该形式具有最小方差
Var(
可编辑ppt
5
一、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不 是最小方差的估计量
1、线性性
bˆ1
= xi yi xi 2
= b1
+ xi ui xi 2
一元线性回归模型为例
2、无偏性
E( bˆ1 )=E(
b1
+
xi ui xi 2
在同方差的假定下才被证明是服从 t 分布的。 分母变大，t 值变小，t 检验也就失去意义。
三、降低预测精度
由于存在异方差，参数的OLS估计的方差增大，参数 估计值的变异程度增大，从而造成对 Y 的预测误差变大， 降低预测的精度。
可编辑ppt
7
第二节 异方差的检验
• 1、图解法 • 2、戈德菲尔德—匡特法（双变量模型） • 3、怀特检验（White） • 4、戈里瑟(Glejser)检验 • 5、帕克(Park)检验
• 二、随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配 他们的收入有更大的选择范围。因此，在做储蓄对收入的回归 时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，与收 入俱增。
• 三、个体户收入随时间变化。
• 四、异方差还会因为异常值的出现而产生。一个超越正常值范 围的观测值或称异常值是指和其它观测值相比相差很多（非常 小或非常大）的观测值。
)= b1+
xi E(ui xi 2
)
=
b1
3、方差
该形式不具有最小方差
Var( bˆ1 ) =
i 2
xi 2
在同方差时，
xi2 Xi2 xi 2
该形式具有最小方差
Var(
第五章6讲 异方差
假定
σt = E（xt）=µt
函数变换
y t
= ln(xt )
对数序列时序图
波动性 仍然保 持原有 序列的 变化趋 势
一阶差分后序列图
∇y=t
ln X t
−
ln
X t
−1
差分后， 波动趋 势平稳
接下来 进一步 进行白 噪声检 验
延迟阶数 6 12 18
白噪声检验
LB统计量 3.58 10.82 21.71
例5.11续
对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的 月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析
通过下面的时序图看出序列波动性和序列值有相 关性，序列值越大，波动越大。假定
σt = E（xt）=µt
例5.11续
对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的 月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析
即序列标准差 σt 与其水平 µt 之间具有某种正
比关系。
对于这种异方差的性质，最简单的假定为
σt
=µt
⇔
σ
2 t
=µ
2 t
⇔
h(µt )
=µt2
常用转换函数的确定
转换函数的确定
g′(µt ) =
1 =1
h(µt ) µt
⇒ g(µt ) = log(µt )
现实中的经济序列通常都先对其进行对数变换然后 才进行一系列的模型分析，其目的之一就是为了实 现方差齐性。
P值 0.7337 0.5441 0.2452
白噪声 检验结 果说明 序列之 间不存 在相关 性，说 明差分 一次后 就平稳 了
拟合模型口径及拟合效果图
∇ log(xt ) = εt
对数完差 分一次后 平稳了， 说明
计量经济学第5章 异方差
10
~2 e i
~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
11
• （二）戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt) 检验
• 此检验方法以F检验为基础，适合于样本容量较大， 异方差为单调递增或单调递减的情况。 • 原假设为：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2 • 备择假设为： H1:ui是递增（或递减）异方差， 即σi2随X递增（或递减）(i=1,2,…,n) • 检验过程如下： • 1、将解释变量观测值Xi按大小的顺序排列，被解 释变量观测值Yi保持原来与解释变量的对应关系。
14
• 4、选择统计量 • 若是检验递增方差，
nc ESS2 /( k 1) ESS2 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS1 /( k 1) ESS1 2
• 若是检验递减方差，
nc ESS1 /( k 1) ESS1 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS2 /( k 1) ESS2 2
12
• 2、按照上述顺序排列的观测值，把位于中间的c 个删去，删去的数目c是Goldfeld-Quandt通过试 验的方法确定的。对于n≥30时，删去的中心观测 数目为整个样本数目的四分之一最合适（比如 n=30,c=8;n=60,c=16）,将剩下的(n-c)个观测值 划分为大小相等的两个子样本，每个子样本的容 量均为(n-c)/2，其中一个子样本是相应的观测值 Xi较大的部分，另一个子样本是相应的观测值Xi 较小的部分。
18
• （四）帕克（Park）检验与戈里瑟(Gleiser)检验 • 帕克检验与戈里瑟检验的基本思想是：以ei2或|ei| 为被解释变量，以原模型的某一解释变量Xj为解释 变量,建立如下方程： 2 • ei f ( X ji ) i 或 | ei | f ( X ji ) i • 选择关于变量Xj的不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验。如果存在某一种函数形式， 使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
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异方差产生的原因
3.随着数据采集技术的改进，σi2 可能减小。例如，有 精巧数据处理设备的银行，在他们对账户的每月或 每季收支说明书中，比之于没有这种设备的银行， 会出现更少的差错。 4.异方差还会异常值的出现而产生。 5.异方差还会因为模型的设定错误而产生。
案例分析
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+ui Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支 配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较 小 ui的方差呈现单调递增型变化
参看案例分析
四、异方差的修正—加权最小二乘法
如线性回归模型为 Yi 0 1 X1i K X Ki ui 经检验，误差项有如下异方差性 Var (ui ) i2
(1)
（一）若σi2为已知 可以用σi 除模型(1)各项，得到 Yi 0 1 1 X1i K X Ki ui
（二）戈德菲尔德-夸特检验
计算统计量：
F
ei22
i2
e
i1
2 i1
T C K 1 2 T C K 1 2
e e
i2 i1
2 i2 2 i1
F(
T C T C K 1, K 1) 2 2
查表求临界值F ， 如果 F F ，拒绝原假设，误差项存在明显的递增异方差性； 如果 F F ，接受原假设，误差项没有明显的异方差性。
怀特检验是通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差的。 不妨设回归模型为三变量（二元）线性回归模型：
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
怀特检验的具体步骤为： （1）估计回归模型，得到每一个残差的平方ei2 （2）估计辅助回归模型： 2 ei2 0 1 X 1i 2 X 2i 3 X 12i 4 X 2i 5 X 1i X 2i i 即将残差平方关于所有解释变量的一次项、二次项和交 叉乘积项进行回归。若继续引入高次项会使自由度下降， 故一般只引入二次项。
（四）怀特检验
（3）得到辅助回归模型中的可决系数R的平方。可以证明， 在同方差的假定下，即在原假设为：
H 0 : 1 2 3 4 5 0
渐进的有：
TR 2 ~ 2 ( g )
自由度 g 为辅助回归模型中解释变量的个数。
（4）对于给定的显著性水平，若 TR2 2 ( g ) ，则拒 绝原假设，模型存在异方差性，反之，则认为不存在 异方差性。
政治环境、社会环境、技术环境、 经济环境等
三、异方差的后果
1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有线性性和无偏性， 但不具有有效性
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t 统计量
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的 统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数 OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y 的预测误差变大，降低预测精度，预测功能 失效。
第五章 异方差
异方差
一、异方差的概念 二、产生异方差的原因（来源）
三、异方差的后果
四、异方差的检验（诊断） 五、异方差的修正
一、异方差的概念
违背了模型假 定条件2
异方差可以表示为 Var ui i2 常数
12 或 2 2 Ω Var u E uu n2 即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常
i i i i
i
令Yi* = Yi/σi ,X0i* =1/σi , X1i* =X1i/σi =Xki/σi , ui* =ui/σi ，则上式可化为 则此模型(2)无异方差，为什么？
…, Xki*
Yi* = β0X0i* + β1X1i* +…+ βkXki+ ui* (2)
四、异方差的修正—加权最小二乘法
例2：以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为 样本建立居民消费函数： Ci 0 1Yi ui 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为 样本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的 组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差 大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 值的不同而不同，往往引起异方差性。
X 1i X 1i X 1i
X 1i
令Yi* = Yi/X1i,X1i* =1/X1i, X2i* =X2i/X1i =Xki/X1i, ui* =ui/X1i ，则上式可化为 则此模型(2)无异方差，为什么？
…, Xki*
Yi* = β1+β0X1i* + β2X2i* +…+ βkXki*+ ui* (2)
Si 0 i 1 Ii Ii Ii
S/I的残差序列图
Si i 1 2 Ii Ii Ii Ii
S/i^0.5的残差序列图
Si 0 Ii i 1 序列图
收入
17663 18575 19635 21163 22880 24127 25604 26500 27670 28300 27430
n
23 24 25 26 27 28 29 30 31
储蓄
2105 1600 2250 2420 2570 1720 1900 2100 2300
收入
29560 28150 32100 32500 35250 33500 36000 36200 38200
数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
二、异方差产生的原因
普遍性：两类数据都有，横截面数据更多。 原因：
1.按照边错边改学习模型，人们在学习过程中，其行为误 差随时间而减少。在这种情形下，方差σi2会逐渐变小。 例如，随着打字练习小时数的增加，不仅平时打错的个 数而且打错的方差都有所下降。 2.随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支 配他们的收入有更大的选择范围。因此，在作出储蓄对 收入的回归时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有 更多的选择，σi2与收入俱增。因此，以增长为导向的公 司比之于已发展定型的公司在红利支付方面也可能表现 更多的变异。
（三）戈里瑟检验
e
e
Xj
0
a
0
b
Xj
e
0
c
Xj
（三）戈里瑟检验
通常拟合 e 和 X j 之间的回归模型：
e X
l j
根据图形中的分布选择
1 l 1,2,1或 2
Xj
j
还可以拟合 e 2 和
之间的回归模型
e 2 2 f X
e
（四）怀特检验
戈里瑟检验
ei ii i
常数项不显著，去掉再回归
戈里瑟检验
ei I i i
戈里瑟检验
ei 1 i Ii
戈里瑟检验
ei I i2 i
由于根据残差序列图可看出回归残差的绝对值有随X 线性增长的趋势，因此考虑直接对模型做变换为
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
收入I
8777 9210 9954 10508 10979 11912 12747 13499 14269 15522 16730
n
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
储蓄
950 779 819 1222 1702 1578 1651 1400 1829 2200 2017
（二）若σi2为未知 对线性回归模型为 Yi 0 1 X1i K X Ki ui (1) 假设误差项的方差正比于X1i2 ，即 Var (ui ) CX 12i 其中C为常数。 可以用X1i除模型(1)各项，得到 Yi 0 1 1 K X Ki ui
（四）怀特检验
在Eviews中首先对原模型进行回归，然后 在窗口中点击View\Residual Test\White Heteroskedasticity. 此时可选择是否包含交叉乘积项，若是原模 型只包含一个解释变量，辅助回归模型中 就没有交叉乘积项，若是含有两个及两个 以上解释变量，就应选择含有交叉乘积项。
加权最小二乘法
加权最小二乘法 在上述公式中的 Wi =
1 X 1i
理解成权重，则构成了“加权最小二乘法”
例: 参看课本P125页案例分析
在研究某地区居民的储蓄倾向时，得到了如表6－1所示的数据 资料。判断用线性回归模型研究居民储蓄倾向时，误差项是否 存在异方差，并给出处理的方法。 储蓄S
264 105 90 131 122 107 406 503 431 588 898
例3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响 被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度 不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变 量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
（二）戈德菲尔德-夸特检验
对于递减异方差性模型，检验的方法相似， 只要把前面构造的F统计量的分子分母互 换，就可以用同样的程序检验模型是否存 在递减型的异方差问题。 但该方法的有效性还依赖于C的选择，还 有，当模型出现多于一个X变量时，就可 以按任意一个X变量的大小顺序将观测值 排列。 参看案例分析
三、异方差的检验（诊断）
检验思路： 由于异方差性就是相对于不同的解释变 量观测值，随机误差项具有不同的方差。 那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性及 其相关的“形式”。