特殊函数讲稿(4)

∇ 2u ( ρ , ϕ ) = 0 ( ρ < a ) 例、求解圆域的Dirichlet问题 u ( a, ϕ ) = E0 cos 2 ϕ
第二节 Bessel函数 函数
在柱坐标系中，由亥姆霍兹( Helmhot ' z )方程∆u + λu = 0 或者拉普拉斯方程 ∆u = 0 分离变量得到关于ρ的方程为 λ − µ n = 0,1,2,L ρ R' '+ ρR'+(k ρ − n ) R = 0 其中k = − µ 令x = kρ、y ( x) = R ( ρ )则得到
对(∗)式作变换 x = kρ， y ( x ) = R ( ρ ) 则得到： x 2 y ' '+ xy '+ ( x２ − n 2 ) y = 0 称为 n阶贝塞尔 ( Bessl )方程。
二、拉普拉斯方程的分离变量
由拉普拉斯方程 ∆u = 0 分离变量得 Z ' '+µZ = 0 Φ' '+n 2 Φ = 0 (n = 0,1,2,L) ρ 2 R' '+ ρR'+(k 2 ρ２ − n 2 )R = 0
k =0 ∞
∞
k +υ
= c0 x + ∑ c 2 n x 2 n +υ
υ
n =1
∞
Γ(υ + 1)c0 = ∑ (−1) 2 n x 2 n +υ 2 n!Γ(υ + n + 1) n =0
n
若取 ρ = −υ，则可以得到Bessel方程的另一个特解： y２( x) = ∑ c k x
k =0 ∞ k－υ
其中： 2 = −µ k
三、圆域的Dirichlet问题 圆域的 问题 物理量沿z轴没有变化的问题是一个二维问题，柱坐 标成为极坐标，极坐标中的Laplace方程是
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2 u ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 = 0 ρ ∂ρ
令u ( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ (ϕ ), 分离变量得 Φ ' '+ n 2 Φ = 0 (n = 0,1,2, L) 2 ρ R' '+ ρR'−n 2 R = 0
∞
( ρ − υ )c0 x +（ + ρ） − υ ]c1 x [1
ρ
2 ( ρ 2 − υ 2 )c0 x ρ +（ + ρ） − υ 2 ]c1 x1+ ρ [1 2 + ∑ {[ k + ρ） − υ 2 ]c k + c k − 2 }x k + ρ = 0 （ k =2 ∞
比较x的各次幂的系数，得到 1) ( ρ 2 − υ 2 )c0 = 0 2) [( ρ + 1) 2 − υ 2 ]c1 = 0 ( k = 0) (k = 1)
关于Φ ϕ 的解 关于Φ(ϕ)的解
Φ n (ϕ ) = Cn cos nx + Dn sin nx
Φ n (ϕ ) = e inϕ , n = 0,±1,±2, L
极坐标中Laplace方程的通解是 方程的通解是 极坐标中
u ( ρ , ϕ ) = A0 + B 0 ln ρ +
∑ (A
n =1
∞
亥姆霍兹( Helmhot ' z )方程
∆u + λu = 0
将柱坐标系中的拉普拉斯算符∆代入，得到 ∂u 1 ∂ 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 + λu = 0 ．．．．．（１） (ρ ) + 2 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 令 u ( ρ , ϕ , z ) = R( ρ )Φ (ϕ ) Z ( z ) 代入（１）得到 ∂R 1 ∂ 1 ∂ 2Φ 1 d 2Z (ρ ) + 2 +λ = − =µ 2 2 ρR ∂ρ ∂ρ ρ Φ ∂ϕ Z dz （为什么首先对Z ( z )进行分离？） 分离变量，得 Z ' '+ µZ = 0 1 ∂ ∂R 1 ∂ 2Φ (ρ ) + 2 + λ − µ = 0 ．．．．．（２） 2 ρR ∂ρ ∂ρ ρ Φ ∂ϕ
c 2 n +1=0
1 c0 2 2 n n!(υ + n)(υ + n − 1) L (υ + 1) Γ(υ + 1) = (−1) n 2 n c0 其中n = 1,2,3L 2 n!Γ(υ + n + 1)
将系数代入级数解，得到Bessel方程的一个特解（ρ＝υ）：
y１( x) = ∑ c k x
n
ρ + Bn ρ
n
−n
) e
in ϕ
+
n = −1
∑ (A ρ
n
−∞
n
+ B n ρ − n ) e in ϕ
或者
u ( ρ , ϕ ) = α 0 + β 0 ln ρ + ∑ ( An ρ n + Bn ρ − n )(C n sin nϕ + Dn cos nϕ )
n= n =1 ∞
根据定解问题的物理意义选择特解，常数由边界条件确定
ck = −
ck −2 k ( 2υ + k )
( k = 2 ,3, L)
c1 = 0 c3 = 0 c5 = 0
由此得到一组系数递推公式 c0 ≠ 0 c0 c2 = − 2(2υ + 2) c2 c4 = − 4(2υ + 4) 1 c0 4 ⋅ 2(2υ + 4)(2υ + 2) 1 = (−1) 2 4 c0 2 ⋅ 2(2υ + 4)(2υ + 2) M = (−1) 2 c2n = − = (−1) n 1 2n(2υ + 2n) c2n−2
第十三章 柱坐标中的分离变量 Bessel函数 函数
第一节 柱坐标系中的分离变量 一、亥姆霍兹方程的分离变量
回顾
亥姆霍兹( Helmhot ' z )方程 令u ( x, y, z , t ) = T (t )v( x, y, z ) 代入波动方程 utt − a 2u xx = 0和热传导方程得到 utt − Du xx = 0 得到 ∆v + λv = 0 亥姆霍兹( Helmhot ' z )方程。
ρ d dR ２ (ρ ) + ρ（λ − µ） n 2 = 0 − R dρ dρ
令（λ − µ） k 2 , 则 =
ρ 2 R' '+ ρR'+(k 2 ρ２ − n 2 ) R = 0
偏微分方程（亥姆霍兹方程）化成三个常微分方程
Z ' '+ µZ = 0 Φ ' '+ n 2 Φ = 0 (n = 0,1,2, L) ρ 2 R ' '+ ρR'+(k 2 ρ２ − n 2 ) R = 0 (∗) 其中：k 2 = λ − µ
Γ(−υ + 1)c0 = ∑ (−1) 2 n x 2 n −υ 2 n!Γ(−υ + n + 1) n =0
∞ n
二．解的敛散性
ck −2 y１( x)和y２( x)都是无穷级数, 它们的收敛半径由R = lim 决定。 k →∞ ck ck −2 ＝ lim k (2υ + k ) = ∞ y１( x)的收敛半径是：R = lim k →∞ ck k →∞ y１( x)的收敛范围是： ≤ x < ∞ 0 y２( x)的收敛半径是：R = lim ck −2 ＝ lim k (−2υ + k ) = ∞ k →∞ c k →∞ K
Φ ' ' (ϕ ) + n 2 Φ (ϕ ) = 0 本征值问题 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π )
本征值和 本征函数 本征函数 sin n ϕ Φ n (ϕ ) = cos n ϕ
n = 0 ,1, 2 , L
± iϕ
n , n = 0,1,2, L
2
Φ n (ϕ ) = An cos nx + Bn sin nx
k =o ∞ ∞
1 x ( ) 2 k −υ k!Γ(−υ + k + 1) 2
J υ ( x)和J −υ ( x)称为第一类柱函数。
（1）当υ ≠ n ( n = 0,1,2, L)时
J υ ( x)和J −υ ( x)线性无关，Bessel方程的通解为 y ( x) = aυ J υ ( x) + bυ J −υ ( x) (其中aυ，bυ 为任意常数) 注意：在研究柱内问题时，应将解J −υ ( x)舍去（为什么？）。 (2)当υ = n时， J − n ( x) = (−1) n J n ( x), 它们线性相关， 不能组合为通解，应找一个与J n ( x)线性无关的解。 (x
3) [( ρ + k ) 2 − υ 2 ]c k + c k + 2 = 0 (k = 2,3,4,L) [( ρ + k + υ )( ρ + k − υ )]c k + c k + 2 = 0 首先，取c0 ≠ 0,由ρ 2 − υ 2 = 0，得到：ρ = ±υ 代入2)得到：c1 = 0。 现在，暂取ρ = +υ，代入3)得到 ck −2 4) c k = − (k = 2,3, L) k (2υ + k )
ρ
∑c
k =0
∞
k