同类二次根式

合集下载

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1

浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12．化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。

最简二次根式和同类二次根式

最简二次根式和同类二次根式学习目标1．经历最简二次根式和同类二次根式的概括过程，体会比较与分析的思维方法；通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法.2．理解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式；会将非最简二次根式化为最简二次根式.3．理解同类二次根式的概念，会判断几个二次根式是否是同类二次根式.内容剖析知识点一最简二次根式观察下列二次根式及其化简所得结果，比较每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化可以看到，化简后的二次根式里：（1）被开方数中各因式的指数都是1；（2）被开方数不含分母.被开方数同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如二次根式ab 3、42y x +、a bm 3等都是最简二次根式.判断下列二次根式是不是最简二次根式.（1）35a；（2）a 42；（3）324x ；（4）)12(32++a a .将下列二次根式化成最简二次根式.（1）)0(423>y y x ；（2）()())0(22≥≥+-b a b a b a；例1 例2 123233a 3a)0(3>b a ab )0(92>b ab（3）)0(>>-+n m nm nm ；（4）)00(36423><-y x y x z ，.基础过关11．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式① ； ② .2．下列二次根式：51、b a 22、a 1.0、22y x +、3ab 、xy 32、11+x ，其中是最简二次根式的有 .3．化简：=-321a . 4．化简：=<+-)21(1442x x x .5．当x 时，x x 35)53(2-=-成立. 6．)0(245>+x x x 化成最简二次根式是 . 7．若1562+>x x ，则x 的取值范围是 .知识点二同类二次根式把二次根式a 8与a21化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？通过化简，得a a 228=；a aa 22121=. 可见，两个最简二次根式里的被开方数都是a 2.几个同类二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.我们知道，在多项式中，遇到同类项就可以合并.类似地，同类二次根式也可以合并.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？12、24、271、b a 4、2)0(3>a b a 、)0(3>-a ab例3若最简二次根式b a b a 7752+-+和b a 3+是同类二次根式，求b a +的值的平方根.合并下列各式中的同类二次根式.（1）323132122++-；（2）xy b xy a xy +-3.基础过关21．几个二次根式化成后，如果相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.2．若最简二次根式12+x 与23-x 是同类二次根式，则=x . 3．二次根式213a 与a 9- 同类二次根式.（填“是”或“不是”） 4．若0<x ，0<y ，计算=+yxx y. 5．有四个根式2、5、501、32，其中是同类二次根式. 6．若最简二次根式b a a +5和b a 3+是同类二次根式，则=-a b .综合培优培优练习一一、选择题1. 不改变原来式子的值，把aa 1-中根号外的因式移入根号内后，计算正确的是（） A.a - B. a -- C. a - D.a2. 下列化简中，正确的是（）A.32123= B. 3327= C. b a a b ⋅=214 D. 23192= 例4 例53. 在122132、、、a ab 中，最简二次根式有（）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 下列化简正确的有（）个.①a a a -=-3；②x x x x x 45=-；③ab b a b a a 2326=；④6106124=+. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、解答题 5. 计算：（1）3636 （2）3)(48t s -（3）)00(1122<<-b a b a ab ，（4）)10()1(1422<<--x x x x x6. 已知44.0-=x ，求二次根式321x x x --+的值.7. 已知23+=x ，21-=y ，求41249622+--++y x y xy x 的值.8. 小杰在化简二次根式时发现：322322=，833833=，15441544=，24552455= 你能根据这些式子总结出一般规律吗？证明你总结出的规律.9. 先观察下列各式，再回答问题.211211112111122=-+=++；611312113121122=-+=++；1211413114131122=-+=++. （1）根据上述的计算，猜想2251411++的结果. （2）由此猜想22)1(111+++n n （n 为自然数，1>n ）的结果，并说明等式成立的理由.10. 若s b a 、、满足753=+b a ；b a s 32-=，求s 的最大值和最小值.培优练习二一、选择题1. 下列各二次根式中，与24是同类二次根式的为（）A.18B.30C.48D.54 2. 下列各组根式中的几个根式，是同类二次根式的是（）A.20，45，51 B.55bc a ，233c b a ，abc C.325x ，229y x ，xy 2-D.54，12.0，65 3. 下列计算中，正确的是（）A.853=+B.y x y x +=+22C.a a a 555253=+D.y x y x -=-2)(二、解答题 4. 计算：（1）6148294256+-（2）()20125.023155.03--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）)0(327527333>+-x xy x y x y y x x（4）)00(2>>--++y x xyy x x yy x ，5. 分别按下列条件化简：x b x a x b a 222)(--+.（1）0>a ，0>b .（2）0<a ，0<b .（3）0<a ，0>b ，且b a >.6. 化简：625625--+.7. 已知实数x 满足x x x =-+-199198，求x 的值.8. 当x 取什么最小正整数时，52+x 与3是同类二次根式.。

数学概念知识点总结之同类二次根式

数学概念知识点总结之同类二次根式同类二次根式是指具有相同根次和相同根指数的二次根式。

在数学中，二次根式是指根号下面的式子为一个二次方程的根。

我们将同类二次根式进行集合，并合并同类项，就可以进行简化和比较大小。

下面是关于同类二次根式的知识点总结。

一、同类二次根式的定义同类二次根式具有相同的根次和相同的根指数。

根次指的是根号下面的数字的次数，根指数指的是根号的指数。

例如，√2和√3就是同类二次根式，因为它们的根次都是2，根指数都是1二、同类二次根式的加法和减法1.加法：同类二次根式的加法要求根次和根指数都相同，才能进行相加。

例如，√2+√3=√2+√3；但是√2+√4是不同类的二次根式，不能进行相加。

2.减法：同类二次根式的减法也要求根次和根指数都相同，才能进行相减。

例如，√6-√2=√6-√2；但是√6-√4是不同类的二次根式，不能进行相减。

三、同类二次根式的乘法和除法1.乘法：同类二次根式的乘法是将根号里面的数字相乘，然后将根号保留，根次和根指数不变。

例如，√2×√3=√(2×3)=√6；但是√2×√4=√(2×4)=√8=2√22.除法：同类二次根式的除法是将根号里面的数字相除，然后将根号保留，根次和根指数不变。

例如，√6÷√2=√(6÷2)=√3；但是√6÷√4=√(6÷4)=√(3/2)。

四、同类二次根式的化简对于同类二次根式，我们可以将可以化简的二次根式进行化简。

具体的化简方法如下：1.化简含有平方数的二次根式：对于能够约分的二次根式，我们可以将其化为简单的数。

例如，√8=√(4×2)=2√2；√12=√(4×3)=2√32.加减同类项：对于同类项，我们可以进行合并，得到更简单的表达。

例如，√3+√3=2√3；2√2+3√2=5√23.简化系数：对于最后的结果，我们可以将系数进行化简。

例如，2√7+3√7=5√7五、对同类二次根式的比较大小1.同类二次根式的比较大小，可以先将二次根式化为最简形式，然后比较根号里面的数字的大小。

同类二次根式与最简二次根式

同类二次根式与最简二次根式在学习二次根式的过程中，我们经常会遇到同类二次根式和最简二次根式这两个概念。

它们在二次根式的化简和比较大小中起着重要的作用。

下面我们就来详细了解一下同类二次根式和最简二次根式的概念以及它们的应用。

一、同类二次根式同类二次根式是指具有相同根指数和相同根式的二次根式。

通俗地说，就是两个或多个二次根式中的根指数相同，且根式也相同，那么它们就是同类二次根式。

如下面的例子所示：√5 和√20 就是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为5的二次根式；√7 和√15 也是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为7的二次根式。

在进行运算时，我们可以将同类二次根式进行合并。

具体方法是将它们的根式相加或相减，而根指数保持不变。

举个例子，对于√5 + √20，我们可以将它们合并为√(5+20)，即√25，最终结果为5√1。

二、最简二次根式最简二次根式是指在同类二次根式中，系数为1且根式中的数不能再进行开方的二次根式。

也就是说，最简二次根式的系数是1，而且根式中的数是不可再开方的。

比如，√5 就是最简二次根式，因为根式中的数5是不可再开方的；而√20不是最简二次根式，因为根式中的数20可以进一步开方为2√5。

化简二次根式的一个重要原则就是将其化为最简二次根式。

这样可以使得二次根式的表达更加简洁，并且便于进行比较和运算。

三、应用举例在实际应用中，同类二次根式和最简二次根式经常用于比较大小和进行运算。

下面举几个例子来说明其应用。

例1：比较大小比较√5和√20的大小。

我们将它们化为最简二次根式。

√5已经是最简二次根式，而√20可以进一步化简为2√5。

因此，√5 < 2√5。

例2：合并同类项将4√3 - 2√3 + 3√3进行合并。

我们可以看出这三项都是同类二次根式，因为它们的根指数和根式都相同。

然后，我们将系数相加：4 - 2 + 3 = 5。

将根式保持不变，得到最终结果：5√3。

通过这个例子，我们可以看到合并同类项的步骤：先将系数相加，然后保持根指数和根式不变。

最简二次根式和同类二次根式

最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【例11】在根式） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 举一反三：1、)b a (17,54,b 40,212,30,a 45222+中的最简二次根式是。

2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A B C ．D 3、下列根式不是最简二次根式的是( )C.44、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 21 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A 2、在二次根式：①12；②32；③ 32；④27中，能与3合并的二次根式是。

3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a +与a ，，3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

2018中考数学同类二次根式与同类项的异同知识点总结

2018中考数学同类二次根式与同类项的异同知识点总结新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
同类二次根式与同类项的异同：
同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。

相同点
1. 两者都是两个代数式间的一种关系。

同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。

21.3同类二次根式

31．（7分）已知|1－x|－＝2x－5，求x的取值范围．
参考答案
一、判断题
1．√；2．×；3．×；4．√；5．×．
6.x≤1．
7【提示】二次根式有意义的条件是什么？a≥0．【答案】≥ ．
8.【提示】∵ ，∴ ，．【答案】＜．
9.【提示】(3 )2－( )2＝？【答案】2 ．
10.【答案】．
16.【答案】D．
【点评】本题考查二次根式的性质．注意（B）不正确是因为＝|－ |＝；（C）不正确是因为没有公式＝．
17.【答案】B．
【点评】本题考查二次根式的性质成立的条件．（A）不正确是因为a＋b不一定非负，（C）要成立必须a≥1，（D）要成立必须a≥0，b＞0．
18.【提示】要使式子有意义，必须【答案】C．
21.3同类二次根式
目标解读：
1.理解同类二次根式的概念，会合并同类二次根式；理解并掌握二次根式加减的方法。
2.理解二次根式的加减法则，并能熟练地进行二次根式的加减法运算。
3.理解二次根式的混合运算，并了解二次根式的混合运算与整式的混合运算及实数的混合运算的区别。
4.通过对二次根式的混合运算，并了解二次根式的混合运算与整式的混合运算及实数的混合运算的区别
【解】在直角三角形中，根据勾股定理：
另一条直角边长为：＝3（cm）．
∴ 直角三角形的面积为：S＝ ×3×（）＝（cm2）
答：这个直角三角形的面积为（）cm2．
31.【提示】由已知得|1－x|－|x－4|＝2x－5．此式在何时成立？[1－x≤0且x－4≤0．]
【解】由已知，等式的左边＝|1－x|－＝|1－x|－|x－4右边＝2x－5．
例3、计算：
(1) (2)

专题16 二次根式的加减【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

专题16.3 二次根式的加减【八大题型】【人教版】【题型1 同类二次根式的判断】 (1)【题型2 求同类二次根式中的参数】 (1)【题型3 二次根式的加减运算】 (2)【题型4 二次根式的混合运算】 (3)【题型5 已知字母的值化简求值】 (3)【题型6 已知条件式化简求值】 (4)【题型7 二次根式的新定义运算】 (4)【题型8 二次根式的应用】 (4)【题型1 同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）A．√3与√32B．√6与√12C．√5与√75D．√12与√27【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与√6x不是同类二次根式的是（）A．√x6B．√6xC．√16xD．√6+x【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（）A．√8与√32B．√45与√20C．√27与√75D．√24与√80【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与√a+b是同类二次根式的是（）A．1a √(a+b)2B．13√3(a+b)C．√a+b2D．√9a+b【题型2 求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−√x −2．（1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知−√x −2为最简二次根式，且与√52为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积．【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式√3a +8与√12−a 是同类二次根式，那么3√a 的值为．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果√16(2m +n)和√m +7m−n−1在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m 、n 的值．解：因为√16(2m +n)与√m +7m−n−1可以合并所以{m −n −1=216(2m +n)=m +7即{m −n =331m +16n =7解得{m =5547n =−8647问：（1）以上解是否正确？答．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式．（1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【题型3 二次根式的加减运算】【例3】（2022春•普兰店区期中）计算：（1）√18−√32+√2 （2）7a √8a −4a 2√18a+7a √2a ．【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算：（1）√0.25+√925+√0.49+|−√1100|（2）√0.01−√1100+（﹣1）3√(−0.01)2+√0（3）4√5+√45−√8+4√2．【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：√8ab −b√2a b−a√b2a（a ＞0，b ＞0）【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式：（1）√5−√6−√20+√23+√95 （2）√12−√0.5−2√13−√18+√18（3）√27a −a√3a +3√a 3+12a √75a 3（4）23x √9x +6x √y x +y √x y −x 2√1x ．【题型4 二次根式的混合运算】【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1）√48÷√3+2√15×√30−（2√2+√3）2（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2)0−√(−4)2+√25【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算：√2×√6√3（√3−2）2−√2（√2−√6）【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算：（1）（√20+√5+5）÷√5−√13×√24−√5；（2）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2．【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（√a √ab √a+√b）÷（√ab+b√ab−a√aba ≠b ）．【题型5 已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x ＝1−√3，求代数式（4+2√3）x 2+（1−√3）x +8√3．【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值．已知a =2+√3，求a 2−2a+1a−1−√a 2−2a+1a 2−a的值．【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a ＝2，b ＝3，求式子√a 3b −√ab +√a 3b 3的值．【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x =√2021−√2020，则x 6﹣2√2020x 5−x 4+x 3−2√2021x 2+2x −√2021的值为（） A ．0B ．1C ．√2020D ．√2021【题型6 已知条件式化简求值】【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−b a=2−x−a b，且a +b ＝2，请化简并求值以下代数式：√x+1−√x √x+1+√x√x+1+√x√x+1−√x．【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知√x−69−x =√x−6√9−x，且x 为奇数，求（1+x ）•√x 2−5x+4x 2−1的值．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a ，b ，c 满足a +4√ab +3b ﹣2√bc −c ＝0，则√a+√b√c的值是．【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a ，b 满足（√a +√b ）（√a +√b −2）＝3，则√a +√b 的值是．【题型7 二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m ，n 定义运算*为：m *n ={√m −√n(m ≥n)√m +√n(m ＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为．【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a 、b 作新定义：a @b ＝ab ，a ※b ＝a b ，在此定义下，计算：（√43−√32）@√12−（√75−4√3）※2＝．【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a ＞b 时，a △b ＝a +b ；当a ≤b 时，a △b ＝a ﹣b ，其它运算符号的意义不变，计算：（√3△√2）﹣（2√3△3√2）＝．【变式7-3】（2022秋•厦门期末）若a +b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5−√2与是关于1的平衡数；（2）若（m +√3）×（1−√3）＝﹣5+3√3，判断m +√3与5−√3是否是关于1的平衡数，并说明理由．【题型8 二次根式的应用】【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m 2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为√243m 、宽为√128m ．（1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：√6≈2.45）【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（2√3+3√5）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2√3+√10）cm ，宽为（√6−√5）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【变式8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p =a+b+c 2，那么这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC 为8√3米，宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为√13+1米，宽为√13−1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）。

最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结

最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。

这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下：一、最简二次根式的判别方法1．被开方数不能含有开得尽方的因数例1:化简363温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121.解：原式 =31131131212=⨯=⨯.2．被开方数不能含有小数或分数例2:化简：(1).315)2(;72.0温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.2531007210072==(2) 原式 =.33433316316=⨯⨯= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4.解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式.二、同类二次根式的判别方法判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）18，31；（2）32，8；温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同.解：（1）2318=，31=331，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与31不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式.例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？271,50,54,48,3.0．温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式.同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!。

知识卡片-同类二次根式

同类二次根式
能量储备
●将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a＋n a＝(m＋n)a，其中a≥0.
●几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次
根式．
同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
通关宝典
★基础方法点
方法点：根据可以合并的二次根式的条件确定字母的值.
例：若最简二次根式√3m−4与5是可以合并的二次根式，则m的值为________．
解题关键：此题的题眼是“最简二次根式√3m−4与5可以合并”，根据可以合并的二次根式的条件可知：3m－4＝5，列方程即可求解．
解析：由题意，得3m－4＝5，解得m＝3.
答案：3
蓄势待发
考前攻略
完胜关卡。

第4讲最简二次根式与同类二次根式(教师版)

第4讲最简二次根式与同类二次根式【学习目标】最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．【基础知识】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【考点剖析】考点一：最简二次根式的概念例1．判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）42a ；（2）324x ；（3）a b -；（4）22a b +．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以（1）（3）（4）是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例2．判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）；（212x - （3 1.5()a b +．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例3．判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）23(21)(1)a a a ++≥-；（2）22()()(0)x y x y x y --≥≥；（3）2961a a ++．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因为已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为2的因式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例4．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）12；（2）324(0)x y y >；（3）（0a <，0b <，0c <）．【难度】★【答案】（1）23；（2）2xy x ；（3）233abc ac ．【解析】（1）1223=；（2）3242x y xy x =；（3）32522733a b c abc ac =．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例5．将下列二次根式化成最简二次根式：（12248xy y -0y <）；（222()()(0)a b a b a b -+≥≥；（3322(1)x x x x -+>．【难度】★★【答案】（1）22y x --；（2）()a b a b +- （3）(1)x x - 【解析】（1222484(2)22xy y y x y x ----；（2222()()()()()a b a b a b a b a b a b -++-+- （33222(1)(1)x x x x x x x -+=--．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例6．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）；（2）31.5a ；（3）23b a（0b <）（4）（0a >，0b >，0c >）．【难度】★★ 【答案】（1）263；（2）62a a ；（3）33b aa-；（4）．【解析】（1）；（2）333361.5==222a a a a a a =；（3）223==333b b b aa a a-；（4）．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例7．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）2(0)()a ba b a b +<<-；（2）(0)m nm n m n+>>-；（3）53(2)(2)(2)a a a +>-．【难度】★★【答案】（1）；（2）22m n m n --；（3）222(2)4(2)a a a +--．【解析】（1）；（2）22==m n m n m n m n m n m n++----；（3）55222323(2)(2)(2)2(2)4===(2)(2)(2)2(2)a a a a a a a a a a a +++++------．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．例8．如果174a ++2311a a +【难度】★★【答案】．【解析】12a +=，1a ∴=；原式=2311211+=．【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念．简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数版，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式所以把式子化成最简二次根式时1、当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简2、当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简3、当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为（a?）2或者（a?）2·a 的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.4、被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简考点二：同类二次根式的概念：例1．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？（1）24，48，；（2）4x y ，33(0)x y x <，32(0)xy y -<．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是．【解析】（1）24=26；48=43；13=126．（2）42=x y x y ；333x y x xy =-；322xy y xy -=．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例2．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？师生总结1、满足最简二次根式的条件是什么？2、如何将一个二次根式化成最简二次根式？（1）和；（2）22345+和．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）26279a abb b =；．（2）223415+=；115496-=．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例3．合并下列各式中的同类二次根式：（1）112232323-++；（2）3xy a xy b xy -+；（3）；（4）．【难度】★ 【答案】（1）72332+；（2）(3)a b xy -+；（3）342；（4）(3)2b a ab b b ab +--．【解析】（1）11723223232332-++=+ （2）；（3）；（4）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例4．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？（1）32a a a +和；（2）和．【难度】★★【答案】（1）不是；（2）不是．【解析】（1）3221a a a a a +=+；．（2）；2323232a a ab a b a b+=++．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例5．若最简二次根式2a b a b +-3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．【难度】★★【答案】53a b ==-，．【解析】由题意得：，解得：．【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解．例6．当3x =-时，二次根式2257m x x ++的值为5，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】把3x =-代入得：105m =，解得：22m =．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．例7．合并下列各式中的同类二次根式：（1）12112127333-+；（2）1(40.540.125)2123--+；（3）4223141361234xy x x y x x+-．【难度】★★ 【答案】（1）233；（2）4323+；（3）452x ．【解析】（1）；（2）122343(40.540.125)212=2242323433--+-⨯-+=+；（3）4223141361234xy x x y x x+-= ．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例8．计算：（132775282x =+ （2）773549x x +【难度】★★ 【答案】（1）116x =；（2）57x <．【解析】（1）63656116x ==；（2）772x ->- 572x ->， 57x <．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程．【过关检测】1.（2019宝山实验10月考17）【答案】D；【解析】解=答案选D.2.（市西2020期末1）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）【答案】C【解析】解：A. 与不是同类二次根式; B. 与不是同类二次根式;C.=;故选C.=2x3.（嘉定区2019期中16）B.【答案】C【解析】解：A BC D C．4.（浦东新区2020期末1）下列各式中，属于同类二次根式的是（）B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：A所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3它们是同类二次根式；故本选项正确；D C．5.（徐汇龙华2019期中16）下列二次根式中，最简二次根式是（）C.【答案】D【解析】解：A 、20a =4×5a ，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；B 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；C 、a 2b 4=（ab 2）2，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；D D.6（浦东四署2019期中3 ）【答案】A ；【解析】解：A =B能合并；C D A.7.（徐教院附2019期中15）化简0)y <=________ 【答案】【解析】解：由二次根式的概念可知，20xy -≥，∴0x -≥，又∵y <0=-8.（西延安2019期中3222=2.9. （2019大同10月考7中，最简二次根式是 .【解析】解中被开方数含分母，3a 指数不是1.10. （松江区2019期中3）若最简二次根式122-x 和x 334-是同类二次根式，那么=x ________．【答案】7；【解析】解：因为最简二次根式是同类二次根式，所以21343x x -=-，解得x=7.11.（2019浦东四署10月考15）是同类二次根式，则ab 的值是 . 【答案】18；22534a b b =⎧⎨+=-⎩，解得，所以ab=18.。

同类二次根式

同类2次根式

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1

同类二根式举例

同类2次根式

同类二次根式概念

最简二次根式和同类二次根式

同类2次根式

数学概念知识点总结之同类二次根式

同类二次根式

同类二次根式与最简二次根式

最简二次根式和同类二次根式

2018中考数学同类二次根式与同类项的异同知识点总结

21.3同类二次根式

专题16 二次根式的加减【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结

同类二根式举例

知识卡片-同类二次根式

同类二次根式举例

第4讲最简二次根式与同类二次根式(教师版)

同类二次根式

同类2次根式

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1

同类二根式举例

同类2次根式

同类二次根式概念

最简二次根式和同类二次根式

同类2次根式

数学概念知识点总结之同类二次根式

同类二次根式

同类二次根式与最简二次根式

最简二次根式和同类二次根式

2018中考数学同类二次根式与同类项的异同知识点总结

21.3同类二次根式

专题16 二次根式的加减【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结

同类二根式举例

知识卡片-同类二次根式

同类二次根式举例

第4讲 最简二次根式与同类二次根式(教师版)

第4讲最简二次根式与同类二次根式(教师版)