上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学试题
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年华东师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n)= ． 3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 项．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ．5．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 ．6．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 ．7．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 ．8．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为 ．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为 ．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ ．二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．设α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（ ）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行13．函数f ：{1，2，3}→{1，2，3}满足f （f （x ））＝f （x ），则这样的函数个数共有（ ） A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个14．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2√2B ．√10C ．√11D ．√12三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22．（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．18．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．参考答案一.填空题1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 240 种排法（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a “全排列，有C 53A 44种结果． 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 当选取4个字母时从其它5个字母中选3个， 再与“a “全排列，C 53A 44＝240， 即含有“a ”的共有240种． 故答案为240．2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n )=8 ．【分析】由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2．再把要求的式子 lim n→∞(22a2+23a 3+⋯+2n a n ) 化为 lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)，即lim n→∞8⋅(1−1n )，从而得到结果． 解：∵a n 是（2+x ）n （n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，又 （2+x ）n 的展开式的通项公式为T r +1=C n r •2n ﹣r •x r ，令r ＝2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2． ∴a n =C n 2⋅2n−2． ∴lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=lim n→∞(221+23C n 2⋅2+⋯+2nC n 2⋅2n−2)=lim n→∞(221+22C 32+⋯+22C n 2)=lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)=lim n→∞4⋅(11+22×3+23×4⋯+2n(n−1))=lim n→∞8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n ) =lim n→∞8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 9 项．【分析】根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，由此可得结论．解：根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，是第8项或第9项，又（x −1x ）15展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“﹣”，∴二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第9项． 故答案为：9．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 1−π4 ．【分析】求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论． 解：扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和为14×π×12×2=π2，矩形的面积S＝2，则该地点无信号的面积S ＝2−π2，则对应的概率P =2−π22=1−π4， 故答案为：1−π45．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 1.96 ．【分析】先将∑ 5i=1a i =23分解为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23，以A i 来估计a i ，根据绝对值的性质和物理上处理误差的原理，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5时，∑ 5i=1|A i −a i |取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值． 解：根据题意，∑ 5i=1a i =a 1+a 2+a 3+a 4+a5=23当“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |取最小值时，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5，此时：∑ 5i=1|A i −a i |=|4﹣4.47|+|4﹣4.51|+|5﹣4.61|+|5﹣4.65|+|5﹣4.76|＝1.96， 故答案为：1.966．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为34．【分析】本题主要考查了古典概型的综合运用，属中档题．关键是列举出所有G 点的个数，及落在平行四边形ABCD 不含边界）的G 点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解．解：由题意知，G 点的位置受到E 、F 点取法不同的限制，令（E ，F ）表示E 、F 的一种取法，则（A ，B ），（A ，Q ），（A ，N ），（A ，D ） （P ，B ），（P ，Q ），（P ，N ），（P ，D ） （M ，B ），（M ，Q ），（M ，N ），（M ，D ）（C ，B ），（C ，Q ），（C ，N ），（C ，D ）共有16种取法，而只有（P ，Q ），（P ，N ），（M ，Q ），（M ，N ）落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率P =16−416=34． 故答案为：347．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 60 ．【分析】根据分段函数的解析式先求出f [f （x ）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r +1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果解：由函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣2x ﹣1， 此时f （x ）min ＝f （﹣1）＝2﹣1＝1， ∴f [f （x ）]＝（﹣2x ﹣1）6＝（2x +1）6， ∴T r +1＝C 6r 2r x r ，当r ＝2时，系数为C 62×22＝60， 故答案为：608．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为16672000 ．【分析】P （ab ＞13）＝1﹣P （ab ≤13），由ab ≤13，得a ≤13b ，求出P （ab ≤13）=3332000，由此能求出ab＞13的概率．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ， 取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ， P （ab＞13）＝1﹣P （ab≤13），∵a b≤13，∴a ≤13b ，∴P （a b≤13）=3332000，则a b＞13的概率P （a b＞13）＝1−3332000=16672000． 故答案为：16672000．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为4181．【分析】由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数，分①a ，b ，c 里面三个都是偶数和②a ，b ，c 里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a ，b ，c ）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得f(1)2∈Z 的概率．解：由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数， 若a ，b ，c 里面三个都是偶数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有A 53−A 42=48个，若a ，b ，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有C 52C 51A 33−A 52=280个，∴使得f(1)2∈Z 的事件共有48+280＝328个，从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数的事件共A 103−A 92=648个，∴使得f(1)2∈Z 的概率为P =328648=4181， 故答案为：4181．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ 1102 ．【分析】推导出|x |＜12，11−x =1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n+…，求出|x |＜12，都有x(1−x )(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是T＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11．由此能求出a 11． 解：|x |＜12时，有11+2x=1﹣2x +4x 2﹣…+（﹣2x ）n +…|x |＜12，11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n +…，∴|x |＜12，都有x (1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a nx n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是：T ＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11． 解得a 11＝1102． 故答案为：1102． 二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【分析】“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”⇒“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．解：设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，∴“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件．故选：A．12．设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．13．函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有（）A．1个B．4个C．8个D．10个【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论．解：1、f（1）＝f（2）＝f（3）＝1或2或3，共3个．2、f（1）＝1；f（2）＝f（3）＝2或3，共2个．f（2）＝2；f（1）＝f（3）＝1或3，共2个．f（3）＝3；f（1）＝f（2）＝1或2，共2个．3、f（1）＝1；f（2）＝2；f（3）＝3；1个所以这样的函数共有10个．故选D．14．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2√2B．√10C．√11D．√12【分析】由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到△PEQ周长的最小值．解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM＝2，EN=√2，∠MEN＝135°，∴MN=4+2−2×2×√2×(−2)=√10．2∴△PEQ周长的最小值为√10．故选：B．三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的．中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）推导出CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，进而是∠CPD 是PC与平面PAD 所成的角，由PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22．得tan ∠CPD =CD PD=2PD =√22，求出PD ＝2√2，由此能求出PA ． （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与PD 所成角的大小．解：（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 是PC 与平面PAD 所成的角，∵PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22． ∴tan ∠CPD =CD PD =2PD =√22，解得PD ＝2√2， ∴PA =√PD 2−AD 2=√(2√2)2−22=2．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （2，1，0），P （0，0，2），D （0，2，0），AE →=（2，1，0），PD →=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与PD 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅PD →||AE →|⋅|PD →|=√5⋅√8=√1010， ∴异面直线AE 与PD 所成角的大小θ＝arccos √1010．16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10x元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x 的值，可得答案．解：（1）样本中“足球迷”出现的频率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“足球迷”的人数＝100×16%＝16（万），“铁杆足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（万）∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）设票价为100+10x元，则一般“足球迷”中约有13（1﹣10x%）万人，“铁杆足球迷”约有3(1−100xx+11%)万人去现场看球，令13(1−10x%)+3(1−100xx+11%)=16−13x10−3xx+11≤10，化简得：13x2+113x﹣660≥0解得：x≤−16513，或x≥4，由x∈N，∴x≥4，即平均票价至少定为100+40＝140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．【分析】（1）连接AC交BD于O点，连接OF，欲证EA∥平面BDF，在平面BDF内寻找一直线与直线EA平行即可，而OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，满足定理条件；（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF⊂平面BDF，从而得到结论；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EA∥平面BDF；（2）计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE又DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，设其大小为θ，计算得DF=√3，FG=√22，tanθ=DFFG=√618．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．【分析】（1）Q是AC上的一点，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，从而得到过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL．（2）由PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，得PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD ∥EL，BD∥FH，推导出PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PA，EF⊥EL，由FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，得到截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，△AEL是等腰直角三角形，由此能求出截面EFGHL的面积最大值．解：（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA，BD都平行的截面为五边形EFGHL，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，∴EF∥PA，HL∥PA，GQ∥PA，∴EF∥HL∥GQ，∴E，F，G，H，L共面，Q∈平面EFGHL，EL∥BD，EL⊂平面EFGHL，∴BD∥平面EFGHL，同理，PA∥平面EFGHL，∴过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL如右图．（2）由题意可知，PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，∴PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD∥EL，BD∥FH，∵O是P在底面上的射影，PO＝6，∴PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴PO⊥BD，且AC∩BD＝O，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PA，∴EF⊥EL，∵FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，∴PH＝PF，∴△PFG≌△PHG，∴GF＝GH，∴截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，∵EL∥BD，∴△AEL是等腰直角三角形，设EQ＝x，则QL＝x，∴EFPA =BEBA=OQOA=3√22−x3√22，∴EF＝（1−√23x）PA，同理，QG＝（1−√26x）PA，∵PA=√PO2+OA2=9√22，设截面EFGHL面积为S，则S＝（EF+QG）EQ＝（2−√22x）•9√22x，∴S=−92x2+9√2x=−92（x−√2）2+9，当且仅当x=√2时，S有最大值为9，∴截面EFGHL的面积最大值为9．。
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
【解析】
由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
7．
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设 是平面 外两条直线，且 ，那么 是 的________条件.
2．已知直线 及平面 ，下列命题中：
④ 可以得到直线 与平面 垂直，所以正确.
【点睛】
本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.
3．
【解析】
【分析】
由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
【详解】
地球表面上从 地（北纬 ，东经 ）到 地（北纬 ，西经 ）
两地都在北纬 上，对应的的纬圆半径是 ,经度差是
D．
14．由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）
A．5B．6C．7D．8
三、解答题
15．在正方体 中， 分别是 的中点.
求证：空间四边形 是菱形.
16．在棱长为2的正方体 中，（如图） 是棱 的中点， 是侧面 的中心.
（1）求三棱锥 的体积；
5．
【解析】
如图，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
因为 平面 ，
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)
2.复数 z = m 2 - m - 4 + m 2 - 5m - 6 i (m ∈ R )，如果 z 是纯虚数，那么 m = ______.{9. 设 x , x 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 的 两 个 根 ， 若 x 是 虚 数 ， 是实数，则xS = 1 + 1 + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ = __________.⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40 分）1.向量 AB 对应复数 -3 + 2i ，则向量 BA 所对应的复数为____________.( ) ( )3. 平面 α 的斜线与 α 所成的角为 30︒ ，那此斜线和 α 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 __________.4.在长方体 ABCD - A B C D z 中，如果对角线 AC 与过点 A 的相邻三个面所围成的角为 α , β , γ ,那么1 1 1 11cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = _________.5.已知 z - 3i = 5 ，则 z + 2 的最大值为_________.6.异面直线 a 与 b 所成的角为 50︒ ，P 为空间一点，则过 P 点且与 a , b 所成的角都是 50︒ 的直线有_________ 条.7.圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合 A = z z = i + i 2 + i 3 ++ i n , n ∈ N *}， B = {z z = z ⋅ z , z ∈ A , z ∈ A }，则集合 B 中的元素1 2 1 2共有________个.x 21 12 1 2x ⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫4 ⎛ x ⎫8 ⎛ x ⎫16 ⎛ x ⎫32x 210.已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为 1 1 1 1线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（ A ）过平面 α 外一点可以作无数条直线与平面α 平行 （ B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（ C ）若直线 l 垂直平面 α 内的两条相交直线，则直线 l 必垂直平面 α （ D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（ A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（ B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（ C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（ D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆2 3 3的所有点形成一条曲15.已知复数 z 满足 (1 + i )z = -1 + 5i ， z = a - 2 - i ，其中 i 为虚数单位， a ∈ R ，若 z - z < z ，求 13.已知复数z , z 满足 z - z = 1 - z z ，则有（）-1 2 1 2 1 2（ A ） z < 0且 z < 1（ B ） z < 1或 z < 11212（ C ） z = 1且 z = 1（ D ） z = 1或 z = 11 21214.如图，正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线 O x , Oy , Oz 上，则在下列命题中，错误的是（ ）（ A ） O - ABC 是正三棱锥（ B ）直线 O B || 平面ACD（ C ）直线 AD 与OB 所成的角是 45 0（ D ）二面角 D - OB - A 为 45 0三、解答题（8+10+12+14）1 121 2 1实数 a 的取值范围.16.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A=AB=1,B C=2,E为PD 的中点.（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E-AC-D的大小,（结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A-BCD中，AB=5,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点.（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A-BCD的表面积.P (Re z ,Im z ).1所在直线18.已知 z 是实系数一元二次方程 x 2 + 2bx + c = 0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位z（1）若 (b , c )在直线 2 x + y = 0 上，求证： P 在圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 1 上；z1（2）给定圆 C : (x - m )2 + y 2 = r 2 (m , r ∈ R , r > 0 )，则存在唯一的线段 S 满足：①若 P 在圆 C 上，则 (b , c )在线段 S 上；z②若 (b , c )是线段 S 上一点（非端点），则 P 在圆 C 上，写出线段 S 的表达式，并说明理由；z（3）由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 s 是 1（1）中圆 C 的对应线段）. 1表一线段 s 与线段 s 1 的关系m , r的取值或表达式s 所在直线平行于 ss 所在直线平分线段 s1线段 s 与线段 s 长度相等1（上海市高二下学期期中数学卷一.填空题1.在正方体ABCD-A BC D中，异面直线A B与AD所成的角大小为111112.已知向量a=(3,x2+2,3)，b=(x-4,2,x)，若a⊥b，则实数x的值是3.球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm34.一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是5.正四面体侧面与底面所成二面角的余值6.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7.如图是三角形ABC的直观图，∆ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8.把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9.下列命题（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10.由曲线x2=2y、x2=-2y、x=2、x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，1满足x2+y2≤4、x2+(y-1)2≥1、x2+(y+1)2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，试写出V与V的一个关系式21211.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边O A、BC的中点，点G在线段MN上，分MN所成的定比为2，OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别为12.如图，A BCD-A BC D是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC垂直，使得α与正方体的每11111个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）A.8πB.3πC.D.6π二.选择题13.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，αβ=l，则l（）A.与m、n都相交B.与m、n至少一条相交C.与m、n都不相交D.至多与m、n中的一条相交14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）10π3315.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1；其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面P AD为等边三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A B C D三.简答题17.直三棱柱ABC-A B C的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90︒，AB=AC=2，111AA=22，E、F分别是BC、AA的中点，求：11（1）EF与底面所成角的大小；（2）异面直线EF和A B所成角的大小；118.图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90︒，且AD=CD=DE=CG，FG=FE，若将五边形C DEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19.如图，在正四棱柱ABCD-A BC D中，AB=4，AA=8；11111（1）求异面直线B C与AC所成角的大小；（用反三角函数形式表示）111（2）若E是线段DD上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：1三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；220.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60︒，P A=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE:ED=2:1；（1）证明：P A⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；21.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点1到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆x2y2+a b2=1的面积S=πab）；8参考答案一.填空题1.π32π12.2或-33.4.平行5.6.4π23357.直角三角形8.R arccos9.（4）10.V=V1211.x=11333，y=z=12.[,]，{32} 6324二.选择题13.B14.B15.C16.B三.解答题17.（1）ππ；（2）. 4618.（1）略；（2）691.19.（1）arccos 10 1020.（1）略；（2）π6；（2）略..π6πa2 21.（1）；（2）12πp2；（3）.33B C上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、、到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．，E、F18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AB=4，AA 1=8．（1）求异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若 E 是线段 DD 1 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关 的数学问题（注：三棱锥需以点 E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为故答案为：．．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．B C3．球的表面积为 16πcm 2，则球的体积为cm 3．【考点】LG ：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为 16πcm 2，∴S=4πR 2=16π，即 R=2∴V== ×8=故答案为：4．一条直线 a 上的 3 个点 A 、 、 到平面 M 的距离都为 1，这条直线和平面的关系是 平行 ．【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线 a 与平面 α 相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线 a 与平面 α 相交，则 A ，B ，C 三点中必有两个点在平面 α 同一侧，不妨设为 A ，B ，过 A ，B 分别作平面 α 的垂线，垂足为 M ，N ，则 AM ∥BN ，AM=BN ，∴四边形 AMNB 是平行四边形，∴AB ∥MN ，又 MN α，AB α，∴AB ∥α，这与假设直线 a 与平面 α 相交矛盾，故假设错误，于是直线 a 与平面 α 平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=△R，且AO1B为等边三角形，即AB=△R；AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离故答案为：R•arccos．9．下列命题：=R•∠AOB=R•arccos，3（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据可得出．=，=，=，=，=，代入计算即【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[ ]、{3}（用集合表示），【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：故选B．=3π．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A ．B ．C ．D ．【考点】J3：轨迹方程；LZ ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是 2 个平面的交线，PC 的中垂面 α 和正方形 ABCD 的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的 2 个固定点．【解答】解：∵MP=MC ，∴M 在 PC 的中垂面 α 上，点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是平面 α 和正方形 ABCD 的交线，∵ABCD 为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，∴PD=CD ，取 PC 的中点 N ，有 DN ⊥PC ，取 AB 中点 H ，可证 CH=HP ，∴HN ⊥PC ，∴点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是 HD ．故答案选 B ．三.简答题17．直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA 1=2 分别是 BC 、AA 1 的中点．求： （Ⅰ）FE 与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线 EF 和 A 1B 所成角的大小．，E 、F【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可，从而有∠GFE即为异面直线（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求EF和A1【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和AB所成角（或补角）1由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和AB所成角的大小为30°118．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．，19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接 AC 、AB 1，易知∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角，在△B 1CA 中利用余 弦定理解之即可即可求出异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，根据三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增，根据三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大可得结论．【解答】解：（1）如图，连接 AC 、AB 1，由 ，知 A 1ACC 1 是平行四边形，则，所以∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B 1CA 中，则所以 ， ，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为 DD 1∥平面 B 1BCC 1，所以 D 1D 上任意一点到平面 B 1BCC 1 的距离相等，因此三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而所以三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积，则根据上述解答相应给分． 2）若在侧面 B 1BCC 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分． 若在侧面 A 1ABB 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：因为，知 S △ADC 为定值，则三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大，又因为 DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣即三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣ 说明：1）若提出的问题是求三棱锥 E ﹣ADC 的体积范围，也可相应给分．解答：因为 S △ADC =8，而 ，DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
4．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；
5．某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有__________种；
（1）求 人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选的概率.
17．如图所示的几何体 中，四边形 为菱形， ， 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 ， 是 内的一点，求点 到平面 ，平面 ，平面 的距离的平方和最小值.
二、单选题
11．已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
A． B． C． D．不确定
12．已知两个不同的平面 、 ，A、B、C是三个不同线的三个点，且它们都在平面 内，则“A、B、C到平面 距离相等”是“平面 平面 ”的（）条件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
6．已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
7．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是 ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是______；
8．从0、1、2、6、8中任意选择3个不同数作为一元二次方程 的三个系数，则所得到的一元二次方程有实数根的概率是_______；
9．设集合 ，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
18．如图，已知正方体 内接于球O，且球的半径为 ，P，Q分别是 ， 上的动点.
上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
3．设两圆 C1：x2 + y2 -1 = 0 与圆 C2：x2 + y2 - 2x + 4 y = 0 的公共弦所在的直线方程为__ _____
4．若 A
为椭圆
x2 25
+
y2 9
= 1 上的点， F1、F2 为椭圆的左右焦点，则 △AF1F2 的周长______
___ ．
5．已知双曲线
x2 a2
y
=
±
1 a
x,
1 a
<
1，
x 所以双曲线的渐近线与
轴夹角小于 p
，
4
由
1 a
=
tan
p 6
=
3 得a = 3
3 ，实轴长 2a = 2 3 ．
故答案为： 2 3
6． x=- 1 或 5x +12 y - 31 = 0
【分析】分类讨论直线 l 斜率存在与否两种情况，利用直线与圆相切有 d = r ，进行检验或
9．若直线 l 过抛物线 y2 = 2x 的焦点，交抛物线于 M , N 两点，则
1 FM
+
1 FN
= ____．
10．已知点 P 在抛物线 y2 = 4x (0 £ x £ 6) 上，P 到 l1 : x - y + 2 = 0 的距离是 d1 ，P 到
试卷第11 页，共33 页
l2 : x = 6 的距离是 d2 ，则 d1 - d2 的最小值为______.
x
-
1 2
ö ÷ø
，
代入抛物线方程得
k2
æ çè
x
-
1 2
ö2 ÷ø
=
2x
，
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共5套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于、M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，18AA =；（1）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 13 6. 4π 7. 直角三角形 8. 5arccos8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ， 二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）10；（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试卷(解析版)
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求k的值；
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出 的导数，判断 的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
华二附中高二月考数学试卷2022.04
一、填空题
1.函数 在 上的最大值为______.
【答案】2
【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.
【详解】因为 ，所以 ，
由 得 或 ；由 得 ；
又
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时，函数 有极大值 ；
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，则 ，
所以，当 时， ，故函数 在 上单调递减，则 无最小值，
故不存在正实数 ，使得 成立，③错；
对于④，先证明 ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
【详解】根据零点定义，则
所以
令
则 ，令
解得
当 时， ，函数 单调递减
当 时， ，函数 单调递增
所以当 时取得最小值，最小值为
所以由零点的条件为
所以 ，即 取值范围为
【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．
7.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是_______．
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 136. 4π7. 直角三角形8. 5arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ，二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
解得 ，
．
【点睛】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.已知数列 的前n项和 ，则数列 的通项公式为_________
【2题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用 关系求 的通项公式.
【详解】由题设， ，
当 时， ，
所以 ，显然 不符合该式.
综上， .
华二附中高二月考数学试卷
2022．03
一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题，只要求直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）
1.已知数列 为等差数列，其前n项和为 若 ，则 ______．
【1题答案】
【答案】12
【解析】
【分析】由 ，得 ，再由 ，能求出结果．
【详解】解： 数列 为等差数列，其前n项和为 ，
故答案为： 或 .
6.已知实数 等成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是__________.
【6题答案】
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由等差数列的性质得 ，由等比数列的性质得 ，所以 = = ，当 时， ，当 ， ，所以 0，
故 的取值范围是 ．
考点：本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法．
故答案为： .
9.若数列 满足:对任意的 ，只有有限个正整数k使得 成立，记这样的k的个数为 ，则得到一个新数列 ，例如，若数列 ，则数列 是0、1、2、…、 、…，若 ，则 _________
【9题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据题意寻找规律，从而求出当 时， ，再求出 .
【详解】由 ， ， ， ，……，得： ， ， ，
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
7.在共有2009项的等比数列 中，有等式 成立，类比上述性质，在共有2019项的等差数列 中，相应的有等式_________成立
【7题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等差数列与等比数列的类比性，写出类比等式作答.
（2）由（1）可得 ，结合 写出 的通项公式.
【小问1详解】
由题设， 且 ，即 且 ，而 ，
所以 且 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，得证.
【小问2详解】
由（1）可得： ，故 ，则 ，
所以 .
则 的通项公式为 .
17.数列 满足 ， ， .
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）设 ， ，若对任意正整数 ，不等式 恒成立，求满足条件的整数 的集合 ；
A. 个B. 个C. 个D. 个
【14题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】在等差数列中，由 可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比 知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.
【详解】对于①，由 知：公差 ， 自第 项起，数列 为递增数列，
又 ， 对于任意自然数 ，都有 ，①正确；
【13题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以 ，
又 ，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：
12.设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推出 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期5月月考 数学试题
华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测高二数学（考试时间：120分钟，卷面满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.不等式25123x x x +++≥的解集为__________.2.各位数字之和为4的三位正整数的个数为__________.3.曲线πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在π6x =处切线的斜率是__________.4.设全集{}07,U x x x =∈Z ≤≤，{}2,4,6,7A =，则A =________.5.向量p 在基底{},a b 下的坐标为()1,2，则向量p 在基底{},a b a b +-下的坐标为________.6.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min ），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是__________.7.已知22nx ⎛ ⎝的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为_________.8.已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为_________.9.已知2，4，6，8，x 这5个数的标准差为2，若在-2，0，5，21x -，2x -中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是___________.10.下列四个命题中为真命题的是__________.（写出所有真命题的序号）①若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则其方差()34D ξ=；②若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.64P X =≤，则()230.07P X =≤≤；③已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差是3，则12x +，22x +，32x +，…，102x +的方差也是3；④对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为 0.3y x m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4.11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.12.已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.若a ∈R ，则“2a =”是复数“()242i z a a =-++”为纯虚数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（）A.平均数B.极差C.中位数D.众数15.掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”.那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D 是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D 是相互独立事件16.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()()22e x f x f x x '-=，()00f =，则()f x （）A.有一个极小值点，一个极大值点B.有两个极小值点，一个极大值点C.最多有一个极小值点，无极大值点D.最多有一个极大值点，无极小值点三、解答题（本大题共有4题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，AB AC ⋅=，求ABC △的面积.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知直三棱柱111ABC A B C -，1122AB AC AA ===，AB AC ⊥，D ，E 分别为线段1CC ，1BB 上的点，1CD =.（1）证明：平面BDA ⊥平面1ECA ；（2）若点1B 到平面1ECA 的距离为47，求直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）近年来，汽车智能化自动化方向发展迅速，某地区举办了面向中学生的智能小车大赛，其中初赛为自动循迹小车比赛，要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示，图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路长1m.A 点为小车的出发地，最下方五个点都是目标地，规则为：①小车等可能的选择右下，左下或水平路线行进；②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或左下的路线行进.（1）求小车行驶5m 到达目标地的概率；（2）若花儿中学代表队成功晋级，设其参赛小车行驶的距离为ξm ，求ξ的分布列和数学期望.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别1F 、2F 焦距为2，且与双曲线2212x y -=共顶点.P 为椭圆C 上一点，直线1PF 交椭圆C 于另一点Q .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为()0,b ，求过P 、Q 、2F 三点的圆的方程；（3）若11F P QF λ= ，且1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OP OQ ⋅ 的最大值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围；（3）对于任意*n ∈N ，证明：11111ln 24(2)1224n n n n n ⎛⎫<-+++<⎪+++⎝⎭ 华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测高二数学答案一、填空题1.[]2,1-2.103.2- 4.{}0,1,3,55.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭6.【答案】55【解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42，47，54，55，58，70，96，共7个数据；且750% 3.5⨯=，这组数据的第4个数据即为所求的第50百分位数：55.故答案是：55.7.110248.1859.31010.【答案】①③【解】对于①，因为随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11341444D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以①正确，对于②，因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.64P X =≤，所以()()()241410.640.36P X P X P X <=>=-=-=≤，所以()()()24124120.360.28P X P X P X =-<->=-⨯=≤≤，所以()()24230.142P X P X ==≤≤≤≤，所以②错误，对于③，因为数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差是3，所以由方差的性质可知12x +，22x +，32x +，…，102x +的方差不变，也是3，所以③正确，对于④，因为线性回归方程为 0.3y x m =-，样本点的中心为(),2.8m ，所以2.80.3m m =-，解得4m =-，所以④错误，故答案为：①③11.【答案】1148【解】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，则有()112P A =，()()2314P A P A ==记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，记第二次抽到3号球的事件为B ，()()()()11331111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑.故答案为：1148.12.【答案】214e 【解】设()00f x =，[]02,3x ∈，则200ln 0x ax b ++=，此时200ln b x ax =--，则2200ln ab a x a x =--，令()22220000000ln ln ln 22x x g a a x a x x a x x ⎛⎫⎛⎫=--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当020ln 2x a x =-时，()20max0ln 2x g a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()ln 2x h x x =，则()21ln 2xh x x-'=，所以()h x 在[)2,e 上递增，在[]e,3上递减，故()()max1e 2e h x h ==，所以()202max 0ln 124e x g a x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以ab 的最大值为214e .故答案为：214e.二、选择题13.C14.B15.【答案】D【解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D 即两个点数都是偶数，即A 与C D 可以同时发生，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()331664P B ⨯==⨯，()3331664P D ⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，()()91364P B C D == ，所以()()()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确，故选：D.16.【答案】C 【解】令()()exf xg x =，则()()()222e e e exx xx f x f x x g x x '-'===，故()()()()22222ee e e e xx x x xf x f x xg x x g x x ⎡⎤'=+=+=+⎣⎦.令()()2e x h x g x x =+，所以()()()()()2222e e 2e 21e xxxxh x g x x x x x x x x '='++=++=+，当(),1x ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()h x 的极小值为()()()00000ef hg ===，()h x 的极大值为()()()11100eh g h -=-+>=，所以当(),1x ∈-∞-时，()h x 至多有1个变号零点，且在()1,-+∞上无变号零点；当()h x 在区间(),1-∞-上没有变号零点时，则()0h x ≥，()()e 0x f x h x '=≥，()f x 单调递增，()f x 无极值点，当()h x 在区间(),1-∞-上有1个变号零点时，可设为0x ，则当()0,x x ∈-∞时，()0h x <，()()e 0x f x h x '=<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x ≥，()()e 0x f x h x '=≥，()f x 单调递增，所以()f x 有且只有一个极小值点0x ，无极大值点.综上，()f x 最多有一个极小值点，无极大值点.故选：C.三、解答题17.【解】（1）())222sin cos 2sin cos 2cos 1f x x x x x x x =+=-πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭令π23u x =+，则()2sin f u u =，函数π23u x =+为增函数，当ππ2π,2π22u k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 时函数()2sin f u u =为增函数，即πππ2π22π232k x k -++≤≤，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）.（2）由已知()π2sin 213f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，所以ππ4π2333A <+<，即π5π236A +=，所以π4A =，又cos AB AC AB AC A ⋅=⋅= ，所以2AB AC ⋅=，所以ABC △的面积11sin 22222S AB AC A =⋅=⨯⨯= .18.【解】（1）证明：在直三棱柱中，AB AC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，所以以A 为原点，AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,0,0B ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()0,2,1D ，则()2,2,1BD =- ，()2,0,0AB = ，()10,2,4A C =-，设BE t =，则()2,0,E t ，()2,2,EC t =--设平面BDA 和平面1ECA 的法向量分别为()1111,,n x y z = ，()2222,,n x y z =，则11111122020n BD x y z n AB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y =，则()10,1,2n =- ；22222122220240n EC x y mz n A C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21z =，则24,2,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因为120n n ⋅=，所以平面BDA ⊥平面1ECA .（2）设点()2,0,E t ，由()10,2,4A C =- ，()12,0,4A E t =- 得平面1ECA 的法向量()4,4,2n t =-，由()112,0,0A B = 得点1B 的平面1ECA 的距离1147A B n d n ⋅===，解得83t =，由()2,2,1BD =- ，4,4,23n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得，直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值为11cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅.19.【解】（1）根据规则，小车行驶5m 到达目标地，需要行驶1段水平道路，4段向下的道路，且从A 点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择一段横移，故小车行驶5m 到达目标地的概率为21311124C 122339⎛⎫⎛⎫+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）根据题意ξ的可取值为4，5，6，7，且从A 点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择横移段数，则()32841327P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()21312451C 339P ξ⎛⎫==⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭；()22312261C 339P ξ⎛⎫==⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭；()3331171C 327P ξ⎛⎫==⨯⋅= ⎪⎝⎭.故ξ的分布列为：ξ4567p8274929127则()842145675279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.【解】（1）双曲线2212x y -=的顶点坐标为()，故22a =，由题意得1c =，故222211b a c =-=-=，故椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为()0,1P ，()11,0F -，过于1PF 的方程为10x y -+=，由221022x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得点Q 的坐标为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设过P ，Q ，2F 三点的圆为220x y Dx Ey F ++++=，则10101741933E F D F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪--+=⎩，解得13D =，13E =，43F =-，所以圆的方程为221140333x y x y +++-=；（3）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1111,F P x y =+ ，()1221,QF x y =---，因为11F P QF λ= ，所以()121211x x y y λλ+=--⎧⎨=-⎩，即12121x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，所以()22222222211212x y x y λλλ⎧---+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2132x λλ-=，所以()()22121222222112OP OQ x x y y x x y x x λλλλλλ⋅=+=----=--+- ()21313751122248λλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫=--+⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12λλ+≥，当且仅当1λλ=，即1λ=时，取等号.OP OQ ⋅ 最大值为12.21.【解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞；当1a =时，()31ln 222f x x x x x =--+，则()211ln 22f x x x '=+-；令()211ln 22g x x x =+-，则()231x g x x -'=；故当()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增.于是()()10g x g =≥，即()0f x '≥，故()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间.（2）由题意知()213ln 22f x a x a x '=++-，令()213ln 22h x a x a x =++-，则()23311a ax h x x x x -'=-=；由（1）可知若1a =，则当1x ≥时，()()31ln 21022f x x x x f x=--+=≥，若1a ≥，则当1x ≥时，有()3131ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+--+≥≥，符合题意；若0a ≤，则当1x >时，()0h x '<，于是()()()110f x h x h a '=<=-<，()f x 单调递减，则()()10f x f <=，与题意矛盾；若01a <<，则当1x <<时，()0h x '<，于是()()()110f x h x h a '=<=-<，()f x 单调递减，此时()()10f x f <=，与题意矛盾；综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.（3）当1a =时，上（2）可知()()31ln 20122f x x x x x x=--+≥≥，即()2312ln 122x x x x +-≥≥，取()*11x k k=+∈N ，可得()()()()22221112311ln 11212121k k k k k k k +++⎛⎫+>==+ ⎪+⎝⎭+++11111112(1)(2)1212k k k k k k ⎛⎫>+=+ ⎪++++++⎝⎭，即11111ln 11212k k k k ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.令k n =，1n +，…，21n -，累加可得111111ln 212221212(1)(21)n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++>= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ ()()111122442223n n n n ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥.另一方面，考虑函数()1ln 22x F x x x =-+，（1x ≥），即()()22102x F x x -'=-≤，()F x 在[)1,+∞上单调递减，则()()10F x F =≤，于是1ln 22x x x-≤，（1x ≥）.取()*11x k k =+∈N ，可得121(1)111ln 12(1)2(1)21k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+<==+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，整理得11111ln 1121k k k k ⎛⎫⎛⎫+-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.令k n =，1n +，…，21n -，累加可得1111111ln 2122224n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++<-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.综上所述，对于任意*n ∈N ，()11111ln 2421224n n n n n ⎛⎫<-+++< ⎪+++⎝⎭ 成立.。
华东师范大学第二附属中学高二数学下学期3月月考试题含解析
故答案为：
【点睛】此题考查的是排列组合中的相邻问题与不相邻问题，要用捆绑法和插空法求解，属于中档题.
7。微信红包金额的单位为分.在某次抢红包游戏中,红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分,则这5人抢得红包的金额（不计先后次序）的所有不同组合为__________种。（用组合数回答）
【答案】
【解析】
【分析】
先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案。
【详解】排除法(个位是偶数的情况下,去掉百位是零的情况): 。
故答案为: 。
【点睛】此题考查排列组合，对于这类题目先要认真审题，根据题目的要求合理选择方法，同时要区别排列与组合的不同,属于基础题.
由 ,可知集合 ， , 均含有元素 ， ， ，而要满足题意，则 ， 至少属于集合 ， ， 的一个,从而可得结果。
【详解】从元素角度分析，集合 ， ， 均含有元素 ， ， ,要满足题意, ， 至少属于集合 ， ， 的一个， 。
故答案为：
【点睛】此题考查排列组合知识,重点考查学生对基础知识概念的理解和计算能力，属于基础题。
系数的绝对值最大的项为第34项， 。
【点睛】此题考查二项式定理的有关知识，通过赋值，利用二项式系数的性质求解,属于基础题。
18。（1)在圆中有这样的结论：对圆 上任意一点 ，设 、 是圆和 轴的两交点,且直线 和 的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆 ，并给出证明.
上海华东师范大学附属外国语实验学校数学高二下期中经典测试卷
一、选择题1．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=3．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=sin 2α=（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 4．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )A ．(22)，-B ．(0,+)∞C ．(0,2)(2+)⋃∞，D ．[22]-，5．(0分)[ID ：13551]下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24πB ．(,0)3πC ．1(,)34π- D ．(,0)12π6．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-7．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8．(0分)[ID ：13597]已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()AB AC BC ABAC+⊥且1•2AB AC ABAC=，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形10．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π411．(0分)[ID ：13565]已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．C ．-2D ．212．(0分)[ID ：13546]将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称13．(0分)[ID ：13543]已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+（ ）A ．54B ．15 C ．54-D ．15-14．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( ) A ．16B ．13C ．14D ．1215．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________18．(0分)[ID ：13677]设点()2,2A ，()4,1B ，在x 轴上求一点P ，使AP BP ⋅最小，此时APB ∠=______．19．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．20．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________ 21．(0分)[ID ：13656]已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为________.22．(0分)[ID ：13653]已知3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13644]若(1,1),(2,1)a b =-=-，则⋅=a b ______．25．(0分)[ID ：13638]如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =，则AE BF ⋅的值是 ．三、解答题26．(0分)[ID ：13817]如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ．（1）若3AC AB ⋅=，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．27．(0分)[ID ：13798]已知()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，OC tOP =（其中O 为坐标原点）（1）求使CA CB ⋅取得最小值时的OC ； （2）对（1）中求出的点C ，求cos ACB ∠．28．(0分)[ID ：13751]已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +的最大值；（2）设a 与b 的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围. 29．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．30．(0分)[ID ：13801]设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．A4．C5．A6．A7．A8．B9．D10．A11．A12．D13．D14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以18．【解析】【分析】设得出关于x的二次函数从而可求出最小时的P点坐标再根据平面向量的夹角公式得出【详解】设则当时取得最小值此时故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算考查向量夹角的计算属于中档题19．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义20．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题21．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定22．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．3【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式即可求解得到答案【详解】由题意向量根据向量的数量积的运算公式可得则故答案为3【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算其中解答中熟记向量的数量积的运算公25．【解析】试题分析：以为原点为轴为轴建立平面直角坐标系所以所以考点：向量数量积的坐标运算三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C 解析：C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 2．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．3．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，即可求解. 【详解】由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 函数()1cos 2264f x x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11cos 222224x sin x sin x ⎤=+-⎥⎣⎦2112cos 2224x x sin x =+-11cos 4114422426x x sin x π-⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46x k ππ-=，求得424k x ππ=+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ． 7．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】 因为a bcosC <， 所以sin sin A BcosC <， 所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<， 所以cos sin 0B C <， 所以,2B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.9．D解析：D 【解析】 【分析】AB AB和AC AC是两个单位向量，设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1•2AB AC ABAC=，求出BAC ∠即可判断． 【详解】 设AB AC ABAC+＝AD ，∵AB AB和AC AC是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，•AB AC ABAC111cos 2BAC ⨯⨯∠=，即1cos 2BAC ∠=，∴3BAC π∠=， ∴ABC ∆是等边三角形， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．10．A解析：A【解析】 因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ． 11．A 解析：A 【解析】 【分析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可． 【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．12．D解析：D 【解析】()cos 2()cos 284g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；周期22T ππ==，令222,k x k k Z πππ-<<∈，,2k x k k Z πππ-<<∈，故单调增区间为(,)()2k k k Z πππ-∈，令222,k x k k Z πππ<<+∈，,2k x k k Z πππ<<+∈，单调减区间为(,)()2k k k Z πππ+∈，函数()g x 在3(,)88ππ-上无单调性，选项B 排除；令2,2x k k Z ππ=+∈，,24k x k Z =+∈ππ，所以对称中心为(,0)24k ππ+，当31,2484k k πππ+==，不符合，排除C 选项；令2,,2k x k k Z x k Z ππ=∈=∈，，当1,2k x π==是函数()g x 的一条对称轴，选项D 正确。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷
一、填空题（40分）
1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.
2.复数()()
()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.
4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.
5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.
6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________
条.
7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.
8.已知集合{}
23,n A z z i i i i n N *==+++
+∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A
的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.
二、选择题（4×4=16）
11.下列命题中，错误的是
（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行
（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行
（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α
（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行
12.下列命题中，错误的是（ ）
（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个
（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆
13.已知复数2121211,z z z z z z -=--
满足，则有（ ）
（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或
（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或
14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）
（A ）ABC O -是正三棱锥
（B ）直线ACD OB 平面||
（C ）直线OB AD 与所成的角是045
（D ）二面角A OB D --为045
三、解答题（8+10+12+14）
15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.
16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.
（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；
（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）
17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.
（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.
18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .
（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2
211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：
①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；
②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是
（1）中圆1C 的对应线段）.。