让数学“冰冷的美丽”唤发“火热的思考”

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“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”

１让学生了解无穷小概念曲折的历史首先应该让学生比较全面了解无穷小概念的
历史发展过程，让学生明白数学概念的产生不是凭
空想象的，让学生看到的不只是教科书那干巴巴的字眼，而是活生生的历史．以史为镜，让学生明白一
收稿日期：２０１３－０９—１７基金项目：福建省教育科学“ 十二五” 规划２０１３年度课题（项目编号ＦＪＪＫＣＧ３—１５８）
作者简介：郑雪静（１９７８一），女，福建泉州人，硕士，泉州师范学院讲师，主要从事数学教育研究
张奠宙教授指出，一般把数学成果分为三种不
同的形态：第一种是数学家建构数学思想、发现数学定理时的原始形态；第二种是公开发表的，写在论文里、教科书上的学术形态；第三种是数学教师
在课堂教学中的教育形态．对于数学教师，其主要
美丽． ” …
数学教学的目标之一，就是要把数学知识的学术形
态转化为教育形态．本文拟就高等数学的重要概念—— “ 无穷小 ” 为例，探究如何将教科书中那 “ 冰冷美丽 ” 背后“ 火热的思考 ” 揭示出来，让学生感受到高等数学的学习不是那些冷冰冰的定义、公式、定理和计算，而是蕴含着火热的思考，让学生在思考中理解数学、形成数学素养，以提高学生学习高等数学的兴趣．

让“冰冷美丽”绽放出“火热思考”

让“冰冷美丽”绽放出“火热思考”313000　浙江湖州中学　李连方荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说:“从来没有一种数学的思想会像当初被发现时那样付诸文字,一旦问题解决了,思考的程序便颠倒过来,把火热的思考变成冰冷的美丽”.纵观2009年上海春季高考数学试题,我们从中可以体会到强烈的新课程理念,既让人感到试题的“美丽和谐”,又富有新颖与创新.尤其是最后一道押轴题,它既考查了函数的单调性、最值、三角恒等变换等传统的基础知识,又很好地考查了新课程中学习研究能力和推理论证能力.本文试图通过对2009年上海春季高考试题最后一题的思考,谈谈个人的感悟和想法.原题　设函数fn(θ)=sin nθ+(-1)n c o s nθ,0≤θ≤π4,其中n为正整数.(1)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论;(2)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(c o s2θ-sin2θ);(3)对于任意给定的正整数n,求函数f n(θ)的最大值和最小值.1　审视设问,确定思维方向原题的前两问都不难解决,在解决第三问遇到的第一道障碍就是(-1)n,其应对的方法应是对n进行奇偶分析,从而使得将复杂的问题简单化.再观察题目的问题设置,可以看到第一问n是奇数时的特殊情形,第二问n是偶数时的特殊情形,第三问是n的一般情形.设问是层层推进,层次明显.那么是否预示着第三问可以在前两问的推广的基础上解决?2　方法探索,提升思维能力2.1　归纳推理,激活思维由于第一问是n为奇数时的特殊情形,第二问是n 为偶数时的特殊情形,所以我们可以是否能考虑n为奇数时函数的单调性和n为偶数时函数的等量关系.由第一问可知函数f1(θ)、f3(θ)均在θ∈0,π上递增,所以我们不难得到猜想归纳推理　当(≥)为奇数时,函数f(θ)在θ∈0,π4上递增.证明　当n为奇数时,f n(θ)=sin nθ-c o s nθ,由于sin nθ在θ∈0,π4上递增,c o s nθ在θ∈0,π4上递减,所以函数f n(θ)在θ∈0,π4上递增.因此当n是奇数时,f n(θ)的最大值为f nπ4=0,最小值为fn(0)=-1.而为了更好地得到当n为偶数时的等量关系,我们可以模仿2f6(θ)-f4(θ)的结构,得到2f4(θ)-f2(θ)= (cos2θ-sin2θ)(c o s2θ-sin2θ),所以可以猜想:归纳推理2　当n(n≥2)是偶数时,2fn+2(θ)-fn(θ)=(cos nθ-sin nθ)(cos2θ-sin2θ)1证明　2f n+2(θ)-f n(θ)-(cos nθ-sin nθ)(cos2θ-sin2θ)=2(sin n+2θ+cos n+2θ)-(sin nθ+cos nθ)-(cos nθ-sin nθ)(c o s2θ-sin2θ)=(sin n+2θ+cos n+2θ)-(sin nθ+cos nθ)+(sin nθcos2θ+cos nθsin2θ)=sin nθ(sin2θ+cos2θ)+c o s nθ(sin2θ+c o s2θ)-(sin nθ+cos nθ)=0.所以猜想成立.因此当θ∈0,π4时,有2fn+2(θ)=fn(θ)+(cos nθ-sin nθ)(cos2θ-sin2θ)≥f n(θ),即f n+2(θ)≥12f n(θ),所以有fn(θ)≥12fn-2(θ)≥122fn-4(θ)≥…≥12n2-1f2(θ)=12n2-1,又fn(θ)=sin nθ+cos nθ≤sin2θ+c o s2θ=1,因此,当n为偶数时,函数fn(θ)的最大值为1,最小值为212n.　类比推理,发散思维由于在解决为奇数时,利用了函数的单调性,而在解决为偶数时却突然要运用递推不等式和放缩法,81　(2009年第6期高中版) 解题研究4:1n n1n 2.2nn在思维的跨度上太大,令人难以接受,所以我们也是否能考虑n为偶数时的单调性呢?类比推理3　当n(n≥4)为偶数时,函数f n(θ)在θ∈0,π4上递减.证明　当n≥4时,f 4(θ)=sin4θ+cos4θ=1-12sin22θ=34+14cos4θ,在θ∈0,π4上递增.若令g(θ)=(c o s nθ-sin nθ)(cos2θ-sin2θ)(θ∈0,π4),显然g(θ)在0,π4上单调递减,由递推关系f n+2(θ)=f n(θ)+g(θ)2,结合数学归纳法和两个单调减函数之和仍为减函数,可证明函数f n(θ)在θ∈0,π4上递减.因此当n为偶数时,函数fn(θ)的最大值为f(0)=1,最小值为f(π4)=212n1既然当n为偶数时,fn(θ)存在着等量关系,那么当n 为奇数时,是否也有等量关系呢?通过对n=1,3的计算,再结合n为偶数时的fn(θ)等量关系,可得到如下猜想:类比推理4　当n为奇数时,2f n+2(θ)-f n(θ)= (cos nθ+sin nθ)(sin2θ-c o s2θ).(证明略.)2.3　导数出鞘,升华思维由于高中阶段,研究函数的单调性有两大重要武器:定义和导数.所以我们可以利用导数来判断函数fn(θ)的单调性.当n为奇数时,f′n(θ)=nsin n-1θcosθ+nc o s n-1θsinθ≥0.所以函数f n(θ)在θ∈0,π4上递增.因此当n为奇数时,函数fn (θ)的最大值为fnπ4=0,最小值为f n(0)=-11当n为偶数时,f′n(θ)=n sin n-1θcosθ-n c o s n-1θsinθ=n sinθcosθ(sin n-2θ-co s n-2θ)≤0,所以函数fn (θ)在θ∈0,π4上递减.因此当n为偶数时,函数f(θ)的最大值为f()=,最小值为f(π)=12.4　二项式定理,发展思维从上面的解题分析来看,判断当n为偶数时单调性较为复杂,而对于指数为n的一般式子,我们也可以通过二项定理的展开式来观察其函数的内在结构.当n为偶数时,设n=2k,则f n(θ)=sin2kθ+c o s2kθ=(1-cos2θ2)k+(1+cos2θ2)k,所以当k为偶数时,fn(θ)=12k-1[1+C2k(c o s2θ)2+…+C k k(cos2θ)k],当k为奇数时,f n(θ)12k-1[1+C2k(c o s2θ)2+…+C k k(cos2θ)k-1],由于y=cos2θ在0,π4递减,y=x n在[0,+∞)上递增,由复合函数的单调性判断方法知fn(θ)在0,π4单调递减.3　思考来源,抓纲务本无有独偶,人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学4(必修)》第157页第5题:设f(α)=sin xα+ cos xα,x∈{n|n=2k,k∈N+},利用三角变换,估计f(α)在x=2,4,6时的取值范围情况,进而对x取一般值时f(α)的取值范围作出一个猜想.所以在高三复习中,我们仍然要注意回归课本,只有吃透课本上的例题、习题,才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法,构建数学的知识网络,以不变应万变.在求活、求新、求变的命题的指导思想下,回归课本,不是要强记题型、死背结论,而是要抓纲务本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效.解　当x=2时,f(α)=sin2α+cos2α=11当x=4时,f(α)=sin4α+cos4α=(sin2α+c o s2α)2-2sin2αcos2α=1-12sin22α,因为0≤sin22α≤1,所以12≤f(α)≤11当x=6时,f(α)=sin6α+cos6α=(α+α)(α+ααα)=3α191解题研究 (2009年第6期高中版)n 014212nsin2cos2sin4cos4-sin2cos21-4sin22不要被恒成立问题中的“或”迷惑225600　江苏省高邮中学　黄桂君例1　(2007年江苏省南通市高三联考题,由上海2001春季高考试题改编)已知{a n}是首项为2,公比为1 2的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)用S n表示S n+1;(2)对于任意的正整数k及正数c(c≤3)都有Sk+1-cS k-c<2成立,求c的取值范围.错解　(参考答案提供的解法)∵Sn =21-12n1-12=41-12n,∴Sn+1=12Sn+21由Sk+1-cS k-c<2,可得c-4-62kc-4-42k>0,∵4-62k <4-42k,∴c>4-42k≤[2,4)恒成立,或c<4-62k∈[1,4)恒成立,得c≥4或c<4-62k m in=1,又∵0<c≤3,∴c的取值范围是0<c<11正解　事实上由c-4-62kc-4-42k>0,∵4-62k<4-42k,∴(1)k=1时,c<1或c>2,由于0<c≤3,∴0<c<1或2<c≤3;(2)k=2时,c<52或c>3,由于0<c≤3,∴0<c<52;(3)k=3时,c<134或c>72,由于0<c≤3,3<134,∴0<c≤3;又当k≥3时,∵c-(4-42k)<0,∴c<4-62k∈134,4恒成立,∴c<134,由于0<c≤3,∴0<c≤31故对任意正整数k,c的取值范围是0<c<1或2<c <52(取交集).点评　上述错解的原因在于先将c<1,c<52,c< 134,…,与0<c≤3取交集,后将c>2,c>3,c>72,…,与0<c≤3取交集,两者再取并集,所得的错误结果很迷惑人,不易察觉.一般地“恒成立‘或’”不等价于“‘或’恒成立”,是“或”闯的祸.例2　(扬州市2009届高三第一次调研测试题)数列{a n}中,a1=2,a n+1=n+12na n(n∈N3)1(1)求数列{a n}的通项公式; 因为0≤sin22α≤1,所以14≤f(α)≤11由上述结果,猜想:当x=2k(k∈N+)时,12k-1≤f(α)≤1.事实上,上式的证明我们可以通过“权方和不等式”得,sin2kα+co s2kα=(sin 2α)k1k-1+(c o s2α)k1k-1≥(sin2α+cos2α)k(+)=11总之,“一切为了每一个学生的发展”是新课程的最高宗旨和核心理念1数学教学是数学活动的教学,是学生在教师的正确引导下通过动手实践、自主探索、合作交流的方式获得广泛数学活动经验,从而在思维活动、情感态度与价值观等方面得到进步和发展的过程1在教学中应不断反思,应用自己的教育智慧,让“冰冷的美丽”焕发出“火热思考”,只有这样,我们的课堂教学才能真正发挥师生的双主体作用,我们的课堂教学也才能充满激情与智慧,充满生命的气息与情趣,充满挑战与创新,才能真正促进学生的全面发展1(收稿日期)2　(2009年第6期高中版) 解题研究11k-12k-1:20090407。

冰冷的美丽与火热的思考

“冰冷的美丽”与“火热的思考”细细读来这本书，一边读一边思考，伴随着一个个【课前慎思】进入华老师的课堂，感受着华老师的数学文化的深厚底蕴，以及在课堂上能够与学生平等对话，将有困于学生的知识，在对话中，在创设情境的探索中，让学生通过自学、互学、质疑学，让学生经历“谁无暴风劲雨时”的过程，体会到“守得云开见月明”的成功喜悦。

带着目的读这本书，一边感受华老师的个人魅力，欣赏经典的案例，一边思考以怎样的角度来写读后感，在接近尾声时，突然想起王国维先生《人间词话》的三种境界，古今之成大事业、大学问者，必经过三种境界，我在想华老师所追求的课堂不就是经过这三种境界，才能算得上好课，才能称得上好老师，不想与华老师不谋而合。

教师要想设计出一节有思维含量，或者一节有创新的课，必须经过这长期的坚持和努力，就如修仙一样，经历重重阻难，不断地反思才能进步。

必定要经历三种境界：昨夜西风凋碧树。

独上高楼，望尽天涯路。

这是第一阶段，首先就是立志，下决心。

我想不管做什么事情首先就是要自己有执着的追求，登高望远，希望自己能够上一堂好课，有着明确的目标和方向，才会努力的执着的为之奋斗。

带着这份激情和斗志，去研究一节课，查看教材内容，了解课程标准的教学目标，准确把握本节课的教学重难点，做到心中有数，感觉此时什么都非常的明了，没有什么不清楚的，就好像登上了高山，把山下的风景尽收眼底，高楼大厦、川河车流都看的清清楚楚，明确了自己的教学流程以及学生会出现的问题。

但是，这个时候的课堂是中规中矩，没有新颖之处，如果达到这个境界，我们就满足现状，去上课，那么课堂将会出现“满堂灌”的情景，学生在这样的课堂只有耳朵，没有头脑，学习效果是极差的。

这也是咱们一线教师普遍存在的现象，多数会遇到的问题，困惑于：“知识点我讲了很多遍了，学生怎么回事啊，怎么跟我没讲一样！”我们问问自己，是不是在日常教学中有这样的疑惑，或者说同事间交流的时候也吐露了心声。

可是，问题真的就出现在学生身上吗？我想首先咱们教师先要自我反思，我们只是“讲”学生听没听倒很难说。

让数学这只硬邦邦“冻鸡”在课堂上飞起来

让数学这只硬邦邦的“冻鸡”在课堂上飞起来易中天先生说过一句话:“要让历史这只硬邦邦的‘冻鸡’飞起来。

”类似地,数学逻辑严密,理论抽象表现形式也比较枯燥。

课堂教学时学生常觉得抽象难懂,硬邦邦的给人以冰冷的感觉,但数学思考却是火热的生动活泼的。

因此,借用易中天先生这句话,结合提高数学课堂教学效率的实践,我提出:点燃和激起学生的火热思考,激发学生的兴趣去欣赏数学冰冷的美丽。

让数学这只硬邦邦的“冻鸡”在课堂上飞起来!其实任何一种数学思想和理论都源于当初数学家发明创新时的火热思考,一旦被解决和发现后就相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使火热的发明变成冰冷的“冻鸡”。

教材中的许多知识的表述往往是美丽而冰冷的数学,火热的思考被淹没在形式化的海洋里。

因此,数学课堂教学的任务在于返璞归真,把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考。

只有经过思考,学生才能最后理解这份冰冷的美丽,数学这只硬邦邦的“冻鸡”才能在课堂上飞起来。

以下是我的一些教学感悟: 一创设学习情景,激发学生思考一般说来,创设学习情景至少需要完成下列四个任务中的一个:引起注意,激发动机,建立联系和组织指引。

这样才能激发学生思考和求知欲望。

比如,教等比数列求和公式时,有一位教师组织了一个师生互动游戏:教师和学生做一个交易,教师借一千块钱给学生们,然后学生们第一天还两毛钱,第二天还四毛钱,以此类推,还两个星期共十四天,问学生们做不做这个交易?有的学生立刻表示同意,也有的学生表示反对,还有学生动笔演算。

这个交易是教师占了便宜还是学生占了便宜,于是学生们进入了等比数列求和公式的学习。

这是一个用活动和问题创设学习情景的例子,圆满完成了创设学习情景的四个任务。

教师先以师生互动的模式做一个师生之间的交易,引起全班学生的注意,以师生交易谁占便宜激发学生思考,一定要弄个明白的强烈动机;教师创设的情景完全紧扣新知识,加强了新旧知识之间的联系;最后教师指引学生进行等比数列求和,揭示了本堂课的教学目标。

数学课程什么是知识的原始形态

张奠宙教授认为，数学有三种形态原始形态、学术形态和教育形态。

原始形态是指数学家发现数学真理、证明数学命题时所进行的繁复曲折的数学思考。

它具有后人仿效的历史价值。

学术形态是指数学家在发表论文时采用的形态：形式化严密地演绎，逻辑地推理。

它呈现出简洁的、冰冷的形式化美丽却把原始的火热的思想淹没在形式化的海洋里。

教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的。

准确的定义、逻辑地演绎、严密的推理，一个字一个字地线性地印在纸上。

这是知识的学术形态，学生比较难懂。

有的看懂了字面上的意思，甚至题目也会做了，却不知道学这些数学干什么，意义何在，价值在哪儿。

这时的学生还没有接触数学知识的教育形态。

而教育形态是指通过教师的努力，启发学生高效率地进行火热的思考，把人类几千年积累的数学知识体系，使学生更容易的接受。

数学教育应重视把数学的学术形态转化为教育形态。

数学的教育形态既可以克服学术形态美丽的冰冷（“把光彩照人的数学女王，用X光看成一副‘骨架’”，漂亮的形式化掩盖了数学内容的实际背景和数学思维的实质），激发学生的学习兴趣，又可以保留原始数学火热的思考，呈现数学的本质，从而提高效率，使学生愉快地、容易地接受。

这正是数学教育应该孜孜以求的。

数学教学中建模能力的培养——化“冰冷的美丽”为“火热的思考”

开动脑筋，趣的形成是一个复杂的心理过程，兴但总体上是在充满情趣、富有魅力的教学活动中逐渐培养
起来的．
很多数学系的学生对所学的专业有一定的抵触情绪，到数学枯燥无味，感没有学习的动力，很多学生给数学起了个名称：冰冷的美丽 ”作为数学教师， “ ．面对这类学生，先应该端正学生对数学的态度．学首让生体会到数学是一门基础的学科，在学数学的过程中，最重要的不是要记住各种各样的定理，而是要培养
数学的特点不仅在于概念的抽象性、辑的严密性、论的明确性和体系的完整性，逻结而且在于它应用
的广泛性，进入２０世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，们对各种问题的要求越来人越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入２世纪的知识经济时代，学科学的地位１数会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿．济发展的全球化、经计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术．培养学生数学应用的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面．
（中央民族大学理学院，京１０８）北００１
［摘
要］以提高学生数学能力为目标，强数学教学中对学生建模能力的培养，端正学生学习态度、加要培

化“冰冷的美丽”为“火热的思考”

化“冰冷的美丽”为“火热的思考”美国心理学家布鲁纳说：“探索是数学的生命线。

”的确，没有探索，就不会有新的发现。

现行教材中的探究活动为探究性学习提供了一个平台，我们在教学中要转变观念，强调师生交往，构建互动的师生关系；要为学生创造主动参与学习的条件和内容，精心创设探究性问题情境，激发学生的探索欲和创造欲。

一、借助探究，激发兴趣苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。

”我们不仅要激发学生心灵深处那种强烈的探索欲望，而且要让学生有更多参与探索的机会和成功的情感体验，从而激发学生学习数学的浓烈兴趣。

【例1】①一张纸的厚度为0.09mm，那么你的身高是纸的厚度的多少倍？②将这张纸连续对折6次，这时它的厚度是多少？③假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次，所得的厚度可以超过你的身高？先猜一猜，然后计算出实际答案，你的猜想符合实际答案吗？对于①、②两小题学生不难解决问题，对第③小题学生会有五花八门的答案，而又对自己的答案不抱有足够的信心，此时学生的探索欲望就会被激发出来，每个学生都跃跃欲试。

然后教师引导学生从②小题受到启发，去寻求答案的计算方法，最后发现答案出乎意料。

通过此例让学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中体验到数学就在我们生活中。

让学生在情境中学习，在探索中求知，去探究生活中有趣而富有挑战性的问题，是激发学生学习兴趣和求知欲的有效手段。

二、体验探究，提升知识探索性学习内容立足于教村，又高于教材，许多活动内容符合基础性、多样性、层次性、开放性原则，通过类比探究、归纳探究、实验探究、发散探究、演绎探究等多种形式，进行探求新知，进行知识的再发现、再创造。

【例2】解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解的公共部分时，有几种不同的情况？若，你能说出下列四种情况下，不等式组的解吗？用数轴试一试（请与你的同伴交流）。

学生掌握了由具体数字组成的不等式组的解法后，借助数轴独立思考，通过小组讨论，在原有的知识经验基础上进行整理与总结，从而得到解不等式组一般的结论和方法，从而达到认识的深化与认知结构的完善，使学生的思维得到自然的升华，通过归纳探究，经历知识的形成性过程，培养思维的深刻性和灵活性。

有机融入数学文化大力倡导数学精神——对《不等关系与不等式》一课的感悟与思考

教的《不等关系与不等式》一课受到了较高的评价，这节
些糖（糖水未饱和），糖水变甜了．请你从这个生活情境中提炼出一个数学命题并给出解释．
生：设ｂ克糖水中有口克糖，现再加入ｍ克糖，则有：
ｂ＞ａ＞Ｏ．ｍ＞０一ａ＜
教教
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２０１３年２月
有机融入数学文化大力倡导数学精神
— —
对《不等关系与不等式》一课的感悟与思考
◎ 福建省连江第一中学李锋
在一次市青年骨干教师优质课评比活动中，笔者执
问题１：大家都有这样的经历：一杯糖水，若再加入一
１５元，３０张一块钱３张的唱片共卖ｌ０元，总共是２５元．第二
天老板又拿出这样的６０张唱片，他想何必自找麻烦来分唱片？３０张唱片是一块钱２张，另３０张一块钱３张，何不把６０张唱片放在一起，按２块钱５张来卖？这一天６Ｏ张唱片全
户面积与地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏
了？请说明理由．生：设ａ为窗户面积，６为地板面积，若同时增加相同
理，体现数学的理性思维，这岂不是一个提高学生数学思维能力、发展学生数学应用意识、提升学生数学素养的大好机会？如何让课堂 “ 出彩 ” ，既有高度，又有一定深度？教师必须在授课所传递的理念与课堂艺术上下功夫，同时要关注课堂效能，使课堂不仅成为 “ 传道、授业、解惑” 的

变“冰冷的美丽”为“火热的思考”──小学数学教学内容呈现方式之管见

数学小学教学参考新课程教材图文并茂、生动有趣,贴近学生的生活,充满时代气息,无论是内容的选择还是呈现方式上,都很好地体现了“以学生发展为本”的理念。

它以现实生活为背景,力求形成“问题情境———探究新知———建立模型———解释应用与拓展”的基本教学模式,以儿童化、生活化的方式反映数学的思想方法。

尽管如此,然而教材还是数学知识与思想的浓缩本,呈现给学生的往往都是高度概括和抽象化的静态知识,而隐藏在知识背后的关于知识产生与形成时艰难的探索历程、丰富的思维过程、精彩动人的故事等数学文化和数学背景,很难一一列入教材。

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。

一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。

”教学时如果照本宣科,就会不利于引发学生产生问题,不利于促进学生的思考和探究,不利于学生主动建构知识。

数学知识学术形态的表现形式枯燥、乏味,给人一种冰冷的感觉,但是数学的思考却是火热的、生动的、活泼的。

那么,怎样解决这一矛盾呢?张奠宙教授曾经提出:“数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态,通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力,体现数学的价值,揭示数学的本质,感染学生、激励学生,让数学‘冰冷的美丽’焕发学生‘火热的思考’。

”一、变“静态预设”为“动态生成”教材总是静态、固化地呈现编者事先预设的教学思路,而在实际教学中,教师的组织教学、学生的生活经验和知识背景以及思维状况都是不确定的,真正的教学过程总是动态生成的。

因此,学生的学习实际常常不可避免地会与教材的编写预设发生矛盾。

比如教学“两位数加两位数(进位)”一课时,例题是34+16。

教材是让学生先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨,再用竖式计算。

然而实际教学中,在学生自主探索算法时,往往提出的是口算或直接用竖式计算的方法。

数学的三种形态

数学教育的三种形态
学术形态教育形态原始形态
学术形态
• 以准确的定义、逻辑的演绎,严密的推理为呈现特征的数学形态称作为学术形态
教育形态
• 把能够展示数学美感，结合学生的认知特点和年龄特征，对数学知识重新整理加工，展现数学活动的过程和数学家的思想方法，体现数学价值,提示数学本质,能够感染激励学生的散发着数学巨大魅力的数学形态称之为教育形态
• 一个经典的例子，是上海长宁区“数学活动教学小组”的“坐标课”设计。将教室中课桌椅并拢，拉两根相互垂直的长绳，一人为原点，于是每个人都有坐标。象限、直线、坐标轴都可通过学生的活动加以演示。坐标原点可以移动，正是坐标变换的影子。这种只有“整数坐标”的数学活动，比起抽象地讲数轴、坐标架，也许更生动、更实际、更深刻。
• 《直线与平面平行的判定定理》的教学中，先让学生观察铅笔与桌面的关系，联系实际引入：直线与平面有几种位置关系？并让学生画出图形表示及符号表示，比较其符号表示与集合符号的联系，把这作为基础的铺垫。教师再提出问题：如何判断直线与平面平行？然后让学生探究：①教室的门轴与门框竖立的对边在关门过程中的关系？（让一个学生演示关门的动作）②铅笔与黑板什么时候平行？在这过程中让学生分组讨论并归纳：直线与平面平行的条件（通过学生归纳知识，提高学生的思维概括能力）。
原始形态
• 把数学知识的产生和发展过程，并在数学发展的各个历史时期和阶段所处的形态称为历史形态或原始形态
• 没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以பைடு நூலகம்，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”（数学家 H· 弗赖登塔尔H.Freudenthal）。将数学知识的“冰冷的美丽”的学术形态转化为 “火热的思考”的教育形态正是我们数学教师的责任。下面是几个例子：

“冰冷”的美丽与“火热”的思考——例谈数学教学活动化

这将使学生想创造、乐创造、
能创造、善创造。］
同样的教学内容，笔者设计了不同的练习，施教后有着不同的思考与收获。改革课堂练习设计，是小学数学教学改革的重要组成部分。我们只有在关注个体差异、突出个性发展的前提下，设计多元、开放、动态的发展性练习，才能为学生的成长创造一种积极向上、民主宽松的氛围，才能促进每一个个体生命全面、健康、持续地发展。◇
学生兴趣盎然，教室里热闹极
确定位置的知识。 ” ［思著名心理学家皮亚杰从反
了。渐地，部分学生都找到了自发生认识论的角度曾深刻揭示出：渐大
己的座位，可是有三个学生却拿着 “ 童的思维是从动作开始的，切断儿手里的卡片在发 பைடு நூலகம் ，脸涨得通红。动作与思维的联系，思维就不能发小
看似平常，实则充分体现了编题者的创造意识，加深了学生对质数和合数的理解。
可以说，学生本身就是数学
表达方式是形式化的，但在课堂上写着 “ ３第（） ” 他知道应该第组个，
置》学片段教
引入新知时，我设计了一个找

让“冰冷的美丽”绽放出“火热的思考”——数学教学中学术形态转化为教育形态的教学策略

一
、
这样没问的好处是：不查表求值教材中经常出现，合 ① 符学生的认知结构，不会出现波利亚所说的 “ 帽子里掏出米一从个兔子” 的感觉；ｓ５．。ｏ７５和ｃｓ２５ｓ７５以对偶形 ② ｉ２５ｃｓ．。ｏ．。ｉ．。ｎ５ｎ式小现，容易让学生联想到式子ｓ５．。ｏ７５＋ｃｓ２５很ｉ２５ｃｓ。ｏ５．。・ｎｓｎ．。ｓｎ２５ｃｓ．。一ｃｓ２５ｓｎ．。为在此之前学ｉ７５和ｉ５．。ｏ７５ｏ５．。ｉ７５．因生对公式ｓ（ｒ）ＣＳ ± 的正、向应用已得到强化ｉＯ± ，Ｏ（）ｎ＂逆训练．在学生利用ｓ５．。ｃｓ．。＋ｃｓ２５ｉ７５ｉ２５ｏ７５ｎｏ５．。ｓｎ．。＝
教学案例２王角函数的积化和差公式的教学：教材（教版必修４直接给｝了４个对称性的积化和苏）；３
羞公式，渭是 “ 冷的美丽 ”，直接由学生推导，难重可冰若困重．意到积化和差公式推导的实质是解一个二元一次方注程组．处我设计一组不查表求值的问题：ｓ５．。・此求ｉ２５ｎｃｓ．。ｃｓ２５ｓｎ．。值．ｏ７５和ｏ５．。ｉ７５的
＾
角关系进行归纳，得ｍ在Ｒ△ ＢｔＡＣ中，ｎ — ＝ ÷ ＝ｎ然后 ÷ Ｌ』，ＳＩＳＩｎＳｌ

微积分教学_从冰冷的美丽到火热的思考_张奠宙 - 副本

名师论教微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考＊张奠宙　(华东师范大学数学系　上海　200062)数学成果通常具有三种不同的形态.第一,数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表,写在论文里、教科书里的学术形态.最后,则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.国际数学教育委员会前主席、数学家Ｈ·弗赖登塔尔Ｈ.Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ(1908-1990)有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ,Ｈａｎｓ.1983.ＤｉｄａｃｔｉｃａｌＰｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ.Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ:Ｒｅｉｄｅｌ.Ｐ.9)事实上,教科书里陈述的数学,往往是“冰冷的美丽”.因此,数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态,使学生既能高效率地进行火热的思考,又能比较容易接受,理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质.一　微积分在中国的一个世纪1859年,李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》,微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近200年.但是,这毕竟是中国文化现代化的重要标志,甚至具有一定的国际意义.在19世纪70年代,日本的数学家能够读到的微积分著作,依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词,“微分”、“积分”,都从《代微积拾级》而来.李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人,又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中,应该提到他的名字.2005年是废除科举的100周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》,那是竖排本,不能使用拉丁字母和微积分通用符号,现在读来宛如天书.“彳者,天之微分也.禾者,积分也.禾彳天,言天微之积分也.”用今天的符号表示是∫ｄｘ这样的“中学为体、西学为用”,拒绝与国际接轨的做法,读者当然非常累.100年前,全国懂得微积分的不过百人.在1919年的五四运动推动下,1920年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系,微积分学成为理工科大学生的必修果.但是,那时的大学生数量很少,通常也只学初等微积分,高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授,甚至还有人不能掌握ε-δ语言.真正的较大范围普及微积分,是新中国建立以后的事情.笔者于1951年进入大连工学院的应用数学系,一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义,尚未出版),开宗明义便学习极限的ε-δ定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生,在黑板上写ε的读法是“一不是龙”,印象深刻.在“全面学习苏联”政策的影响下,苏联数学学派严谨、抽象、形式化的数学风2高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ.9,Ｎｏ.2Ｍａｒ.,2006＊本文是作者在2005年11月7日“首届全国大学数学课程报告论坛”大会报告格,使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征,至今依然是形式化的处理占主导地位.进入21世纪,中国高等教育大发展,微积分教学进入新时代.今天的中学,也普遍教授微积分(上海除外).微积分“飞入寻常百姓家”,不再神秘,而改进微积分教学,也就成了当务之急.那么,我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起“阳春白雪”和“下里巴人”的故事.宋玉的《对楚王问》说:客有歌於郢中者,其始曰[下里巴人],国人属而和者数千人;其为[阳阿薤露],国人属而和者数百人;其为[阳春白雪],国中属而和者不过数十人;引商刻羽,杂以流征,国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高,其和弥寡.如果说,李善兰时代的微积分是“引商刻羽”,五四以后还是阳春白雪,1950年代的微积分相当于“阳阿薤露”,那么今天的微积分已经是下里巴人了.让更多的人知道和掌握微积分的思想方法,成为当代数学教育的重要任务.二　透过形式主义的美丽,领略微积分的无穷魅力多少年来,我们都是宣扬微积分的形式美丽.ε-δ语言的伟大,极限—连续—导数—积分的不变演绎顺序,推理—证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽,几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要,“阳春白雪”是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天,作为“下里巴人”的微积分,应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力.在微积分教学中,我们总是按照定义—定理—推论—习题的逻辑顺序展开,学生只是被动地接受一个一个概念,却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟,一般的学生只能囫囵吞枣,不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲,除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外,特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂,让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏,剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求:“讲推理,更要讲道理.”确实,微积分教学应该多讲道理,避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过:“ε-δ推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上,其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观”[1].西南师大的陈重穆先生曾经呼吁“淡化形式,注重实质”[2].项武义先生则一再主张“返朴归真,平易近人”.姜伯驹先生说:“在某种意义上说,会用微积分比会证明更重要.”我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限,求导数、求不定积分那样的符号运算,面对“冰冷”的微积分形式,使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考,并以现代数学水平加以处理.例如,17世纪的一些伟大的数学家,曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷,经过分析严密化运动,在形式主义数学哲学的影响下,无穷小成为一种“错误”,离开了微积分课本.其实,这个无穷小量,就是“微分ｄｘ”.在积分学中,它是构造微元ｆ(ｘ)ｄｘ的基本的思考途径.然而,今天的微积分教学,已经把生动的“原始形态”当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可惜.记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过“学如箭镞,才如弓弩,识以领之,方能中鹄”.与知识、能力相比,数学思想,才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里.我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大,是历史条件所决定的.前已提及,1950年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次,ε-δ语言也是在1950年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性,以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密,当然是进步.但是,事情还有另一面:数学思想往往是朴素的,创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解,通常又是生动而粗略的.3第9卷第2期张奠宙:微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考4高等数学研究 2006年3月长期以来,中国传统文化主张“治学严谨”,清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外,数学哲理界不断地提到“三次数学危机”,关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材,反复强调19世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就,对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学,似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样.总之,数学是一种文明,数学不只是事实的推砌;数学不限于技巧的运用;数学解题不等于创造;数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新,是对数学文明的主要推动力.2000年在国际数学教育大会上,日本数学会主席藤田宏教授认为,世界上出现过四个数学高峰,成为人类文明的火车头:○古希腊文明:欧氏《几何原本》为代表;○文艺复兴和17世纪的科学黄金时代;牛顿的微积分为代表;○19世纪与20世纪上半叶科学文明:非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表;○信息时代文明:信息论、控制论、冯·诺依曼的计算机方案为代表.数学在20世纪下半叶发生巨大变化,其情势和牛顿时代相同,数学大量渗入各个学科,大刀阔斧地解决各种各样的问题,尽管开始时不大严格.试看1948年的数学地图.美国数学家仙农发表《通信的数学理论》,创立了信息论.维纳在这一年发表《控制论》,冯·诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作,影响了人类的进程.这些工作,都不是形式主义数学所能完成的.由于各种原因,中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响,以至数学观还停留在第三个时期.影响所及,数学教学,包括微积分教学,就会过分强调形式主义的演绎,而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养.形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位,一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派,那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于1930年代,兴盛于1960年代.他们认为只有用三种基本结构加以整理的《数学原本》,才是严谨的数学.但是,在信息技术革命的冲击下,1970年以后,年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环,投身于更广泛的数学应用,产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的《数学原本》终于在1970年停止出版新的卷次,基本结束.反观我国,吴文俊先生在1950年代曾在《数学通报》上介绍布尔巴基学派,并没有引起反响.却在1980年代,当该学派已经走下坡路的时刻,在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观,这是和形式主义数学观一脉相承的.陈省身材先生说过:“我和布尔巴基学派的创始人都是好朋友,但是他们的工作不能解决我的问题.比如Ｓｔｏｋｅｓ定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来.”当然,数学表示需要形式化,严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示,是19世纪许多数学家努力的结果,分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此,对于以数学为主要工具的专业来说,形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业,微积分思想和算法之间要取得适当的平衡,只能适度地强调形式化.对于把微积分作为文化背景、常识素养的人来说,形式化的算法就不大重要,关键是微积分的文化价值,以及科学意义.(未完待续)参考文献1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.《数学学报》1976年第一期.2.陈重穆.淡化形式,注重实质.《数学教育学报》,1993.第4期.。

变“冰冷的美丽”为“火热的思考”——小学数学教学内容呈现方式之管见

态转化为教育形态，通过数学知识的教育形式散发出
数学的巨大魅力，现数学的价值，示数学的本质，体揭
感染学生、励学生，数学 ‘ 冷的美丽 ’ 发学生激让冰焕
‘ 热的思考 ’ ” 火。
一
直觉的猜想或是在先发言学生的启发下才这样想，思
识。数学知识学术形态的表现形式枯燥、味，人一乏给种冰冷的感觉，是数学的思考却是火热的、动的、但生
要进行一些现场调查和试探性提问：还有谁这样想？ ” “ 算法多样化的一个重要原则就是思维等价。如果学生
我们在教学中采取正确的策略或方法。为此，师有必教
的往往都是高度概括和抽象化的静态知识，而隐藏在知识背后的关于知识产生与形成时艰难的探索历程、丰富的思维过程、精彩动人的故事等数学文化和数学
考虑，际上体现了两个层面的思维水平：是基于形实一
象的思维；是基于符号或逻辑的思维。教材的编写意二
上，很好地体现了“ 都以学生发展为本 ” 理念。它以现的实生活为背景，求形成 “ 力问题情境— — 探究新知 — —
号或逻辑的思维。对于一年级的学生而言，要的操作必活动为学生的抽象过程提供了感性经验，而抽象过程则将学生在操作过程中形成的数学活动经验提炼、优化，两者是相辅相成的。虽然一年级学生的抽象思维水平还比较低，但学生在学习 “ ４６时，已经学会了类似 “ ４１ ” ３＋１ ” ３＋０和 “４６之类的题目，此学生具备了直接进行口算（３＋ ” 因或笔算）无需借助有关实物（而或学具）思维基础。我们的但同时应再进一步去关注：一个学生或几个学生这样回答是否能够代表全班学生的思维水平？学生选择直接口算或笔算的方法进行探索，是否就意味着真正理解了算理？很有可能学生长期习惯于算式的训练，缺乏而借助学具思考的思维习惯，也可能出于思维便捷的需要，接跳到了口算或笔算的思维层次，实际上还缺直但乏一些感性的基础。探明学生的真实思维状态，助于有

浅谈如何点燃和激起学生火热的思考与兴趣

［］施良方．习论（二版）Ｍ］北京：民教１学第［．人
育出版社，０１２０．
［］曹才翰，建跃．学教育心理学［．京Ｉ２章数Ｍ］北
北京师范大学出版社，９９１９．
［】鲁献蓉．学概念学习与 “ 行组织者 ”［】３数先Ｊ．宁波大学学报（育科学版）２０，２教，００（）
参考文献
争鸣，生会在课前初步体验到展开与折叠这一思学
想方法的妙用，且使学生认识到数学名题的源远并
流传，一步增强了学生对数学的兴趣．进 “ 行组织者 ” 先的教学模式是通过师生之间的相互交流，生认知结构中新旧知识之间相互作用来学达到认知结构的渐进分化与融会贯通的一种行之有效的教学方法．并非人们所批评的 “ 师讲，生它教学昕 ” 那种讲解式教学．作为课堂教学的基本形的它式。时又有助于近迁移，在远迁移方面不如布鲁省但
（０５年全国卷Ｉ，南卷）２０湖０是ＡＡＣ所在平Ｂ面内一点，若．
△ＡＣ的（Ｂ）．
：
．
：
．
，０是则
创举，复习了投影概念，举两得．求解过程显又一但然不够严谨，师不应在学生对某个问题稍有迟疑老

化冰冷的美丽为火热的思考

一、注重生活数学，让学生寻“味”数学知识包括数学理论与方法，数学的思维方式在日益纷繁复杂的现实生活中无处不在，日益凸显。

但是小学生往往不知道哪里藏着数学知识，哪个问题可以用数学的此，在教学实践中，体育教师应注重穿心教学方法与教学手段：在指导和组织学生进行体育活动时，教师应充分挖掘学生好动的天性，以宽松、和谐、民主的教学氛围，丰富、生动的教学形式，采用灵活多变的教学方法，有意识地创设具有一定情绪色彩和形象生动的具体场面，以引起学生积极的情感态度体验，应善于提出问题，创造情境，激发学生的思考[1]，使教学方法的运用适合与学生的心理特征，从而使学生学有所得，乐在其中。

3.选择适合学生的教学内容，满足学生的学习需求。

对学习内容的选择，最能体现体育教师的课程与教学素养。

体育教师在教学实践中，应注意不断更新和发展教材的内容体系，注意吸收社会上学生最喜欢、最适合于对学生进行体育知识技能、情感态度、价值观培养的内容进入体育课堂，应分析学生的学习需求，选择最有价值的学习内容进行教学，以满足学生的学习需求，促进学生主动、生动地参与到课堂学习中来。

4.激发和培养学生正确的学习动机与学习兴趣。

初中低年级学生的体育学习的动机与学习兴趣是有紧密联系的一种现象，好“玩”，“玩”得高兴，这就是他们的可爱之处，从有得“玩”“玩”中学，到“玩”有所得，会“玩”，使得身心健康自然得到发展[2]。

体育教师要高度重视培养学生正确的学习动机和学习兴趣，并使之贯穿到整个教学活动的全过程。

教师应重视对学生个性的培养和发展，满足学生的创新欲，注重学生良好情感的体验与获得，艺术性地创造和谐愉快的教学情境。

在课堂教学实践中，在重视对学生进行运动技能传授与掌握，发展体能，培养兴趣与爱好的同时，注意运用激励性的评价。

成功是学习兴趣的关键，学生在学习运动技能中，从不会到掌握，就有显著的成就感，且还会有继续尝试的心理追求，这种心态除自身体验外，还来自老师、同伴对其的赞赏，如：一个学生在多次失败后，首次能勉强撑越过“山羊”时，同伴的掌声鼓励，老师肯定其有勇敢的表现及已掌握了“撑、推”的主要技术环节，并指出“推手”再快点、头抬高点、动作更完美，这样的点评就能激励学生继续进取。

数学教学故事演讲稿

将冰冷的美丽还原成火热的思考各位领导各位老师大家好：今天我演讲的题目是《将冰冷的美丽还原成火热的思考》。

“三尺讲台，一方净土。

”14 年前，我怀着对老师的崇拜，对教育事业的向往，投入了教师这个行业，走上向往已久的讲台。

“做一个好老师，加油！” 一个发自心底的声音时刻告诫我、激励我。

我挑灯夜战，书写教案；我挥起教鞭，板起面孔；我大声讲解，直至嘶哑⋯⋯最初的激情消退后，我发现，在我的课堂上，学生们整齐划一，他们的表情日趋简单，他们的表达规范而模式化。

我突然有了疑问：我的大包大揽是否是简单的复制？是否束缚了学生的思维？是否又扼杀了儿童的天性呢？一次偶然的机会，我看到这样一句话：“书本上的知识一旦成为范本，思考就变成了冰冷的美丽。

老师就是要将这种冰冷的美丽还原成火热的思考。

”一语惊醒了梦中人，我的课堂该怎样将冰冷的美丽变成学生火热的思考呢？我究竟该怎样做？矿区“校本革命”的春风吹散了我的迷茫，实验小学“五环七步教学法”的创建让我在实践中解惑。

去年六年级的学生在学习圆这一单元时，我考虑到这个年龄的孩子已经有了一定的知识基础，掌握新知识新技能的能力已经越来越强，，但是，他们也开始叛逆，他们不愿意上课回答问题，不愿意学课本上的知识，，不愿意按照老师和家长安排的去做，所以我做了一个大胆的尝试，把教学计划中安排的一个月的学习时间全部给了学生，我和学生们只用了一节课了解了圆这一单元的学习重难点，设计这次活动的框架问题，划分了小组。

接下来的活动大家都是在小组里进行的，各小组确定了本组研究的主要问题，进行了小组分工，找到了研究方法，安排了活动计划。

整整一个月的时间他们在自己选择的主题中，在自己安排的计划里快乐的忙碌着。

在孩子们主动的学习中，我看到了，听到了，他们火热的思考，他们通过查找资料找到了圆的历史，他们动手实践推导出了圆的周长和面积公式，他们发现了数学中转化的思想，他们通过测量，计算得出实验小学操场准确的周长和面积，并得出了确定起跑线的数据，他们知道了蒙古包、井盖、车轮为什么是圆形的。