函数的值域问题

函数值域问题

函数值域问题函数是数学中极为重要的概念之一，我们可以用它来描述各种各样的数学问题，从简单的代数方程到复杂的微积分问题。

函数值域问题则是函数中一个关键的问题，它涉及到了函数的输出范围和性质，对于数学研究和应用都有着重要意义。

什么是函数值域？在定义函数时，我们定义了一个输入变量和一个输出变量，并确定了它们之间的关系。

这个关系可以是任何类型的数学运算，例如加、减、乘、除、平方等等。

当我们输入函数的一个特定值时，函数会按照定义的运算关系计算并输出一个值，这个输出值的取值范围就是函数的值域。

值域是关于输出值的一组限定条件，它可以描述函数的性质、范围以及可能的输出变化。

例如，某个函数的定义域可能是所有实数，但它的值域可能只是正数，这意味着函数将所有输入变量转换为正数，而负数或零则不在函数的输出范围内。

函数值域的计算方法计算函数的值域通常需要我们使用一些特定的数学工具和技巧。

下面是一些常用的方法：1. 列举法对于一些简单的函数，可以通过列举法来计算函数的值域。

例如，函数 f(x)=x^2，我们可以通过列举不同的输入值来确定函数的值域。

当 x=0 时，f(x)=0，当 x=1 时，f(x)=1，当 x=-1 时，f(x)=1，当 x=2 时，f(x)=4，当 x=-2 时，f(x)=4 等等。

因此，这个函数的值域是所有非负实数。

2. 求导法对于一些更复杂的函数，我们可以使用求导法来计算函数的值域。

我们可以通过对函数进行求导，然后找到函数的极值点（即导数为零的点），以及函数的拐点（即导数为零的连续性转换点）。

这些极值和拐点将能够帮助我们定位函数的值域的范围。

3. 端点法在一些有限制的区间中，我们可以使用端点法来计算函数的值域。

端点法是指通过比较一个函数在区间端点的取值来确定函数的值域范围。

例如，假设我们要计算函数f(x)=x^2，在区间 [-1,2] 中的值域。

在这个区间中，f(2)=4，f(-1)=1，因此该函数的值域为 [1,4]。

函数值域的求法8大题型

函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y =或y ax b=+的结构，可用“t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+-<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

高中函数值域的经典例题12种求法

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=( y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。

求函数值域的几种方法

解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这说明 2 “ 方法1” 中所说的 “ ( x) 0有实根 ” 是必要的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求函数 y 的值域 . x 3
解：由原函数，得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .

•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数的值域
例8
x2 2 求函数 y 的值域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

值域(最值)问题常见类型及解法.

4
2
2y (t 1)2 8(t 0) 。即 y (, 4]。
五、基本不等式法：
【理论阐释】
对形如（或可转化为）f (x) ax b ，可利用 a b ab, a2 b2 2ab
x
2
求得最值。注意“一正、二定、三等”。
典例导悟
典例导悟
（2010·四川高考文科·Ｔ11）设
f (x) 的最小值是 f (3) 3 f (1) 6 .
七、数形结合法：
【理论阐释】适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
典例导悟
求函数f (x) x2 6x 18 x2 10x 26 的最小值。
【解析】f (x) x2 6x 18 x2 10x 26
检验：当 y 1 5
1 5
时，代入①求根， x

2
5 (
6)
2
5
x2 5x 6
y 又由 x2+x-6≠0 得函数
的定义域为
x2 x 6
｛x|x≠2 且 x≠-3｝.
∵2 { x| x2 且 y x-3}，∴ 1 。 5
再检验 y=1 代入①求得 x=2，∴y1，
典例导悟
（ 2010 · 重庆高考文科 · Ｔ 19 ）已知函数 f (x) ax3 x2 bx （其中常数 a, b ∈ R ）， g(x) f (x) f '(x) 是奇函数.
（1）求 f (x) 的表达式；
（2）讨论 g(x) 的单调性，并求 g(x) 在区间 1, 2 上的最大值与最小值.

1.
即
a

求函数值域典型例题

求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1. 求函数1y x=的值域。

解：∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 练习1：求函数，故。

∴函数的值域为[ 3 ,＋∞) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）练习3：① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥，当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数xx y 1+=的图像为：例3 求函数y =+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。

当x = 2 时，y m in = 32-+log 312-=81，当x = 10 时，m ax y = 52+log 39=33。

函数值域的题型和方法

函数值域的题型和方法函数值域是数学中一个重要的概念,涉及到函数的性质和应用场景。

函数值域的题型和方法主要包括以下几种:1. 求函数的值域这是函数值域最常见的题型之一,要求函数y=f(x)的值域。

这类题型常常需要根据函数的定义域和取值范围,确定函数的值域。

常见的求函数值域的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的值域。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的值域。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的值域。

2. 判断函数的单调性判断函数的单调性是函数值域中另一个重要的题型。

要求判断函数y=f(x)在区间[a,b]上的单调性。

常见的判断函数单调性的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的单调性。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的单调性。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的单调性。

3. 求解函数的极值求解函数的极值是函数值域中常见的最后一种题型。

要求求解函数y=f(x)的极值。

常见的求解函数极值的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的极值。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的极值。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的极值。

此外,函数值域还包括其他一些常见的题型和方法,如求函数的最大值、最小值、奇偶性、周期性等。

在实际求解函数值域问题时,需要根据具体的函数情况和问题,选择适合的方法和题型,从而提高求解效率和正确性。

第一板块函数
二、函数与基本初等函数知识点总结-函数值域问题
1.求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对勾函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数。

函数的值域典型例题及答案

函数的值域题型一：求函数值，特别是分段函数求值例题1.已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R).(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值.【答案：f (2)＝13，g (2)＝6；∴f [g (3)]＝112】练习1.1.已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)].【答案：f (2)＝34；f [f (1)]＝58】练习1.2.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值.【答案：f (2)＝5，f (1x )＝1＋x －x 2x 2；x ＝2，或x ＝－3.】练习1.3.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________.【答案：6】题型二：值域是函数y=f(x)中y 的取值范围例题2.1.（图像法）求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x ≤1) 【答案：[-1，5]】 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f 【答案：]92,32[--】 ③ xx y 1+=（记住图像）【答案： ]2,(--∞[2，+∞)】练习2.1.求下列函数的值域：①142+-=x x y ；【答案：{y|y ≥-3 }.】②；]4,3[,142∈+-=x x x y 【答案：[-2，1].】③]1,0[,142∈+-=x x x y ；【答案：[-2，1].】④]5,0[,142∈+-=x x x y ；【答案：[-3，6].】例题2.2.（代数换元法）求函数x x y -+=12 的值域。

【答案：]2，（∞-】练习2.2.求函数y=x x --1的值域。

【答案：｛y|y ≤－3/4｝】例题2.3.（三角换元法）求函数21x x y -+=的值域【答案：[-1,2]】练习2.3.例题2.4.（反函数法）求函数21+-=x x y 的值域【答案：{}1≠y y 】（此类题目也可用分离常数法）练习2.4.1.求函数6412+-=x x y 的值域【答案：{y|y ≠21}】练习2.4.2.求函数133+=x xy 的值域【答案：y ∈(0，1)】练习2.4.3.求函数 y =1212+-x x 的值域；【答案：y ∈(-1，1)】例题2.5.（判别式法）函数1122+-=x x y 的值域（也可用分离常数法，反函数法）练习2.5.1.求函数34252+-=x x y 的值域【答案：}50|{≤<y y 】练习2.5.2.求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域【答案：[)∞+,2】（也可用分离常数法）例题2.6.（分离常数法）详细过程见其他例题例题2.7.（单调性法）求函数y=4x －x 31-的值域。

函数的值域知识点及例题解析

函数的值域知识点及例题解析1. 函数的值域函数的值域是指所有可能的函数输出值的集合。

在确定函数的值域时，需要考虑函数的定义域和函数本身的性质。

2. 确定函数的值域的方法方法一：穷举法可以通过穷举函数定义域内的所有可能输入值，然后计算对应的函数输出值，最终得出所有的函数输出值组成的集合作为函数的值域。

方法二：分析法可以通过分析函数的性质，使用数学方法确定函数的值域。

下面是一些常见的情况：- 对于一次函数：函数的值域是整个实数集。

- 对于二次函数：如果开口向上，则值域是大于等于最低点的y 值；如果开口向下，则值域是小于等于最顶点的 y 值。

- 对于指数函数：如果底数大于1，则值域是大于0 的实数集；如果底数介于 0 和 1 之间，则值域是小于 1 的正实数集。

- 对于对数函数：底数为正数且不等于 1 时，值域是整个实数集。

3. 例题解析例题一已知函数 f(x) = x^2 + 1，求函数的值域。

解析：由于二次函数的值域取决于开口的方向，可以看出这是一个开口向上的二次函数。

因此，值域是大于等于最低点的 y 值。

最低点的 y 值为 1，所以函数的值域是大于等于 1 的实数集。

例题二已知函数 g(x) = 2^x，求函数的值域。

解析：由于指数函数的底数大于 1，所以值域是大于 0 的实数集。

例题三已知函数 h(x) = log2(x)，求函数的值域。

解析：由于对数函数的底数为正数且不等于 1，所以值域是整个实数集。

以上为函数的值域知识点及例题解析。

通过穷举法和分析法，我们可以确定函数的值域，根据函数的定义域和性质来推导函数的值域。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法(精选例题)函数值域的求法1.观察法1) 求函数 $y_1=\dfrac{1}{x^2+1}$ 的值域为 $(0,1]$。

2) 求函数 $y_1=2-x$ 的值域为 $(-\infty,2]$。

2.配方法1) 求函数 $y=x^2-2x+5$，其中 $x\in[-1,2]$ 的值域为$[4,8]$。

2) 求函数 $y=-x^2-6x-5$ 的值域为 $[-\dfrac{23}{4},2]$。

3) 已知 $x,y$ 是关于 $m$ 的方程 $m^2-2am+a+6=0$ 的根，则 $(x-1)^2+(y-1)^2$ 的最小值为 $-\dfrac{12}{4}$。

3.换元法1) 求函数 $y=2x+1+\dfrac{1}{x-1}$ 的值域为 $[3,+\infty)$。

2) 求函数 $y=\dfrac{x+2}{x+3}$ 的值域为 $[1,2)$。

3) 求函数 $y=x^3-x$ 的值域为 $[0,+\infty)$。

4) 求函数 $y=x+1-x$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$。

5) 求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域为$[0,1]$。

4.分离常数法1) 求函数 $y=\dfrac{x-1}{x+2}$，其中 $x\geq -4$，的值域为 $(-\infty,1]\cup[\dfrac{5}{2},+\infty)$。

2) 求函数 $y=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$ 的值域为 $[-\dfrac{1}{3},1]$。

5.判别式法1) 求函数 $y=\dfrac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}$ 的值域为$[1,5]$。

2) 求函数 $y=\dfrac{2x^2+4x-7}{x^2+2x-9}$ 的值域为 $[-\dfrac{9}{32},2)$。

3) 已知函数$f(x)=\dfrac{x+a}{x^2+1}$ 的值域为$[1,3]$，求实数 $a,b$ 的值，其中 $a=2$ 或 $a=-2$，$b=6$。

求值域的十种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。

利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。

【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。

【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

【参考答案】 1 ．；。

四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数的值域。

解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。

例 7 ：求函数的值域。

高中函数值域的7类题型和16种方法

高中函数值域的7类题型和16种方法函数值域是指函数输出值的集合。

在高中数学中，我们常常遇到一些关于函数值域的问题。

下面将介绍高中函数值域的7类题型以及解决这些问题的16种方法。

1. 函数值域的确定式题：给出一个函数的解析式，要求确定函数的值域。

解决方法：- 通过分析函数的定义域和性质推导函数的值域。

- 使用函数的图像来确定函数的值域。

- 借助导数和极值的概念来确定函数的值域。

2. 函数值域的确定性问题：给出一个函数的图像，要求确定函数的值域。

解决方法：- 通过观察图像的特点，确定函数的最大值和最小值。

- 借助极值和区间的概念，确定函数的值域。

3. 函数值域的不等式问题：给出一个函数的不等式解析式，要求确定函数的值域。

解决方法：- 分析给定不等式的解集，确定函数的值域。

- 将不等式转化为等式，解出方程，确定函数的值域。

4. 函数值域的集合表示问题：给出一个函数的值域，要求将其表示为集合。

解决方法：- 分析函数的定义域和性质，将函数的值域表示为集合。

- 借助函数的图像来表示函数的值域。

5. 函数值域的推导题：给出一个函数的值域，要求推导出函数的解析式。

解决方法：- 分析给定的值域，推导出函数的定义域和性质，再根据推导出的定义域和性质写出函数的解析式。

6. 函数值域的综合题：综合运用多种方法，确定函数的值域。

解决方法：- 根据题目要求，运用不同的方法来确定函数的值域。

- 分析题目中给出的条件，结合函数的性质来确定函数的值域。

7. 函数值域的实际问题：将函数值域与实际问题联系起来，解决实际问题。

解决方法：- 将实际问题转化为函数模型，通过确定函数的值域来解决实际问题。

- 根据实际问题给出的条件和约束，运用适当的方法来确定函数的值域，作为问题的解答。

以上是高中函数值域的7类题型和16种方法。

对于不同类型的问题，我们可以根据题目要求和给定条件，选择合适的方法来求解函数的值域。

通过练习这些题型，我们可以提高对函数值域的理解和分析能力。

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。

当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。

因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。

求值域的例题及解析

求值域的例题及解析要理解什么是值域，首先需要了解函数的定义和图像。

在函数中，定义域是指可以输入的所有实数值的集合，而值域则是函数实际输出的所有值的集合。

值域可以通过观察函数的图像来确定。

例如，考虑一个简单的函数 f(x) = x^2，我们可以画出它的图像，这是一个抛物线，开口朝上。

通过观察图像，我们可以看到这个函数的值域是所有大于或等于0的实数，因为平方的结果永远是非负数。

另一个例子是函数 g(x) = sin(x)。

正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在-1和1之间循环。

因此，这个函数的值域是-1到1之间的所有实数。

下面是一些关于值域的例题及其解析：例题1：求函数 f(x) = 2x + 1的值域。

解析：首先，我们可以看到这是一个线性函数，所以它的图像将是一条直线。

我们可以找到这条直线的最低点和最高点，进而确定值域。

最低点出现在当 x = -∞ 时，此时 f(x) = -∞。

最高点出现在当x = +∞ 时，此时f(x) = +∞。

因此，该线性函数的值域为整个实数集。

例题2：求函数 g(x) = x^3 - 4x的值域。

解析：这是一个立方函数，我们可以通过观察它的图像来确定值域。

但是，为了简化问题，我们可以找到函数的最低点和最高点。

最低点出现在当 x = -∞ 时，此时 g(x) = -∞。

最高点出现在当x = +∞ 时，此时g(x) = +∞。

因此，该立方函数的值域为整个实数集。

参考内容：1. Stewart, James. "Calculus: Early Transcendentals." Cengage Learning, 2015. (《微积分：早期超越》詹姆斯·斯图尔特著)2. Larson, Ron, and Edwards, Bruce H. "Calculus." Cengage Learning, 2013. (《微积分》盧恩著、布魯斯·愛德華茲著)3. Courant, Richard, and John, Fritz. "Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1." Springer, 1989. (《微积分与分析导引第1卷》理查德·库朗特著、约翰·弗里茨著)4. Swokowski, Earl William. "Calculus with Analytic Geometry." Prindle, Weber & Schmidt, 2000. (《解析几何与微积分》厄尔·威廉·斯沃科夫斯基著)这些参考内容包含了关于函数、图像和值域的详细解释和例题，并提供了更深入的数学理论和实例。

函数的值域的7种题型

函数的值域的7种题型函数的值域是函数输出值的集合。

理解函数的值域对于理解函数的性质和行为非常重要。

以下是函数的值域的7种题型：1. 基础题型：给定一个简单的函数，例如 $f(x) = x^2$，求其值域。

这种题型主要考察对基本函数性质的理解。

2. 复合函数：给定一个复合函数，例如 $f(g(x))$，其中 $g(x) = x^2$，求其值域。

这种题型要求理解复合函数的性质，特别是内外函数的值域和定义域关系。

3. 分段函数：给定一个分段函数，例如 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，求其值域。

这种题型要求理解分段函数的性质，特别是不同分段的值域。

4. 三角函数：给定一个三角函数，例如 $f(x) = \sin x$，求其值域。

这种题型要求理解三角函数的性质，特别是其周期性和振幅。

5. 指数和对数函数：给定一个指数或对数函数，例如 $f(x) = 2^x$ 或 $f(x) = \log_2 x$，求其值域。

这种题型要求理解指数和对数函数的性质，特别是其单调性和定义域。

6. 抽象函数：给定一个抽象函数，例如 $f(x) = x^2 + 1$，求其值域。

这种题型要求对函数性质有更深入的理解，特别是如何通过函数的性质判断其值域。

7. 实际应用题：给定一个实际问题，例如求一个物理过程的输出范围，或者求解一个经济模型的参数范围。

这种题型要求将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具求解值域。

通过解决这些题型，可以加深对函数值域的理解，提高解决实际问题的能力。

中学数学值域练习题(含答案)

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。

利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。

【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。

【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

【参考答案】 1 ．；。

四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数的值域。

解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。

例 7 ：求函数的值域。

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

函数值域练习题

函数值域练习题函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种特定的输入和输出关系。

函数的值域是指函数可能输出的所有有效值的集合。

在本文中，我们将通过练习题的形式，探讨一些关于函数值域的问题。

以下是一些典型的函数值域练习题。

1. 练习题一：给定函数 f(x) = x^2 + 3，求函数的值域。

解析：首先，我们注意到这是一个二次函数，其图像为一个开口朝上的抛物线。

因此，它的最小值为抛物线的顶点。

通过求导，我们可以得到 f'(x) = 2x，令其等于零，我们可以解得 x = 0。

所以，函数的最小值为 f(0) = 3。

另外，由于这是一个开口朝上的抛物线，所以函数的值域为[3, +∞)。

2. 练习题二：给定函数 f(x) = sin(x)，求函数的值域。

解析：这是一个正弦函数，它的图像在区间 [-1, 1] 之间往复振荡。

所以，函数的值域为 [-1, 1]。

3. 练习题三：给定函数 f(x) = |x|，求函数的值域。

解析：这是一个绝对值函数，它的值域取决于 x 的取值范围。

如果x ≥ 0，则 |x| = x。

如果 x < 0，则 |x| = -x。

因此，函数的值域为[0, +∞)。

4. 练习题四：给定函数 f(x) = log(x)，求函数的值域。

解析：这是一个对数函数，它的定义域为(0, +∞)，而值域则是整个实数集。

5. 练习题五：给定函数 f(x) = e^x，求函数的值域。

解析：这是一个指数函数，它的值域为(0, +∞)。

通过以上几个练习题，我们可以看到不同类型的函数具有不同的值域。

对于二次函数来说，其值域是一个从最小值开始到正无穷的区间。

而三角函数的值域则是一个有限的区间。

对数函数和指数函数的值域分别是整个实数集和一个从零开始到正无穷的区间。

函数值域的计算可以通过数学方法来解决，比如求导和观察函数的图像。

在解决实际问题时，函数值域的计算也具有重要的意义。

它可以帮助我们理解函数的特性和输出可能的取值范围。

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