2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数互动课堂学案(含答案)
2017人教a版数学必修一2.2.2对数函数及其性质导学案2
§2.2.2 对数函数及其性质（2）学习目标1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.学习进程一、课前预备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑的地方）温习1：对数函数log (0,1)y x a a =>≠且图象和性质.a >1 0<a <1 图 象性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点：(4)单调性：温习2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.温习3：求函数的概念域.（1）311log 2y x =- ； （2）log (28)a y x =+.二、新课导学 ※ 学习探讨探讨任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 适应上咱们通常常利用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 能够把那个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把那个函数的自变量新的函数的因变量. 咱们称这两个函数为反函数（inverse function ）例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发觉什么性质？反思：（1）若是000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为何？（2）由上述进程能够取得结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =； （2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →适应表示→概念域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的转变关系？（2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式.练2. 求下列函数的反函数. （1） y =(2)x (x ∈R )；（2）y =log a 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0)三、总结提升 ※ 学习小结① 函数模型应用思想；② 反函数概念.※ 知识拓展函数的概念重在对于某个范围（概念域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的概念域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的概念域，即互为反函数的两个函数，概念域与值域是交叉相等. 学习评价※ 自我评价 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2x y =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x=的图象，则底数之间的关系为 .课后作业中有占总数12的细胞每小时割裂一1. 现有某种细胞100个，其次，即由1个细胞割裂成2个细胞，按这种规律进展下去，通过量少小时，细胞总数能够超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301==）.2. 探讨：求(0)ax by ac cx d+=≠+的反函数，并求出两个函数的概念域与值域，通过对概念域与值域的比较，你能得出一些什么结论？。
2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数知识导学案及答案
ab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算
.
一般地 , 我们称 log aN= log b N 为对数的换底公式 . 换底公式是对数中一个非常重要的公 log b a
式, 这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一
, 是对数的运算性质 . 对数运算性
质应用的前提是式子中对数的底相同 . 若底不同则需要利用换底公式化为底相同的
底数 0 到 1 之间 , 图象从上往下减 .
无论函数增和减 , 图象都过 (1,0) 点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型
, 好好把握 .
两个同底数的对数比较大小的一般步骤 :
①确定所要考查的对数函数 ;
②根据对数底数判断对数函数增减性 ;
③比较真数大小 , 然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
. 我们在
应用换底公式时 , 一方面要证明它和它的几个推论 ; 另一方面要结合构成式子的各对数的特
点选择一个恰当的数作为对数的底 , 不要盲目地换底 , 以简化我们的解题过程 .
有了对数的概念后 , 要求 log 0. 840.5 的值 , 我们需要引入两个常用的对数 : 常用对数和自
然对数 . 常用对数是指以 10 为底的对数 ; 自然对数是指以 e(e=2.718 28… , 是一个无理数 ) 为
图象关于直线 y=x 对称 .
x
因此 , 我们只要画出和 y=a 的图象关于直线 y=x 对称的曲线 , 就可以得到 y=log ax 的图象 ,
然后根据图象特征得出对数函数的性质 .
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比 , 可以发现 : 当 a>1 或 0<a<1 时 , 对数函数与
高中数学人教A版必修1学案2.2对数函数第1课时预习导航学案
对数函数
预习导航
一、对数
名师点拨对对数的理解：
()对数式可看作一种记号，表示关于的方程＝(＞，且≠)的解；也可以看作一种运算，
即已知底为(＞，且≠)，幂为，求幂指数的运算，因此，对数式又可看作幂运算的逆运算．()用指数式来理解对数．对数式＝表达的意义是＝.指数式、对数式中各个字母的名称变
化如下表：
()
因为在＝中，＞，且≠，所以在中，＞，且≠.
又因为正数的任何次幂都是正数，即＞(＞)，故＝＞.
()并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－)＝不能写成－＝，只有在＞，且≠，＞时，才有＝⇔＝.
()因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．
自主思考＝(>，且≠)成立吗？
提示：成立．这是因为：由＝，得＝.将＝代入＝，得＝.
二、常用对数和自然对数
．常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把记为.
．自然对数：在科学技术中常使用以无理数＝…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为.。
2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数第1课时预习导航学案
2.2 对数函数
预习导航
一、对数
名师点拨对对数的理解：
(1)对数式log a N可看作一种记号，表示关于x的方程a x＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．
(2)用指数式来理解对数．对数式b＝log a N表达的意义是a b＝N.指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
(3)对数记号a
因为在a b＝N中，a＞0，且a≠1，所以在log a N中，a＞0，且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数，即a b＞0(a＞0)，故N＝a b＞0.
(4)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，且a≠1，N＞0时，才有a b＝N⇔b＝log a N.
(5)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．
自主思考a log a N＝N(a>0，且a≠1)成立吗？
提示：成立．这是因为：由a x＝N，得x＝log a N.将x＝log a N代入a x＝N，得a log a N＝N.
二、常用对数和自然对数
1．常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.
2．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln_N.。
2017-2018学年高中数学人教A版1学案：2.2对数函数第4课时预习导航学案
2。
2 对数函数预习导航一、对数函数的图象和性质对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：定义域：，＋∞)对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)．自主思考1函数y ＝log a x （a 〉0，且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象有什么关系？提示：函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x的图象如图所示，结合图象可知函数y ＝log a x （a 〉0,且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax （a 〉0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．其实y ＝log 1ax ＝错误!＝错误!＝－log a x ,因为y ＝log a x 与y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称，所以函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象也关于x轴对称．自主思考2底数对对数函数图象的影响？提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．(1）y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．(2）y＝log12x，y＝log13x，y＝log14x，y＝log110x，如图②所示．①②观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x,其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．结论：①当a〉1时，图象上升,自变量x越大，函数值y就越大；当x∈（0,1)时,y<0，当x∈（1，＋∞）时,y〉0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k〉1时，有log2k>log3k〉log4k〉lg k，当0<k〈1时，有log2k〈log3k〈log4k<lg k.②当0〈a〈1时,图象下降,自变量x越大,函数值y就越小；当x∈（0，1)时，y>0,当x∈(1，＋∞）时，y<0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k>1时，log12k<log13k〈log14k〈log110k，当0〈k〈1时，log12k>log13k〉log14k〉log110k。
2017-2018学年高中数学人教A版1学案：2.2对数函数互动课堂学案
2.2 对数函数互动课堂疏导引导2。
2.1 对数与对数运算 1。
对数的定义一般地，如果a x =N （a>0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N 记为lg N ，以e （e=2。
718 28…）为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为lnN.疑难疏引 （1)因为a>0,所以不论b 是什么数，都有a b >0，即不论b 是什么数,N=a b 永远是正数，这说明在相应的对数式b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数。
(2)指数与对数的关系： a x =N （a>0,a ≠1）x=log a N 。
（3）负数和零没有对数。
2。
对数的运算 (1）换底公式：①log a b=alog b log c c，即有log c a ·log a b=log c b;②log b a=b log 1a ，即有log ab ·log b a=1;③log a m b n =mn log a b ；(2)对数恒等式:a logaN =N 。
疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质。
3.对数式与指数式的关系【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示。
●案例1下列四个命题中，真命题是（ ）A 。
lg2lg3=lg5 B. lg 23=lg9C.若log a M+ N=b,则M+N=a bD.若log 2M+ log 3N=log 2N+log 3M,则M=N【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D.【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误：log a （M ±N ）=log a M ±log a N, log a (M ×N)=log a M ×log a N ， log a NM =Nlog M log a a，log a N n =(log a N) n .要注意：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前. ●案例2求值：(1)7log -133;(2）lg5·lg20+lg 22；（3）已知log 23=a ，3 b =7,求log 1256的值。
人教版数学必修一 学案：第二单元 2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质
2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点)．预习教材P70－P73，完成下面问题： 知识点1 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )提示 (1)× 对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)× 在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)× 由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．知识点2 对数函数的图象和性质(1)函数f (x )＝log a (2x －1)＋2的图象恒过定点________．(2)若函数y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 (1)令2x －1＝1，得x ＝1，又f (1)＝2，故f (x )的图象恒过定点(1,2)．(2)由题意2a －3>1，得a >2，即a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案 (1)(1,2) (2)(2，＋∞) 知识点3 反函数对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 【预习评价】设函数f (x )＝2x 的反函数为g (x )，若g (2x －3)>0，则x 的取值范围是________． 解析 易知f (x )＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，即g (x )＝log 2x ，g (2x －3)＝log 2(2x －3)>0，所以2x －3>1，解得x >2.答案 (2，＋∞)题型一 对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.答案 (1)B (2)－3规律方法 判断一个函数是对数函数的方法【训练1】 若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.答案 4题型二 对数型函数的定义域 【例2】 (1)函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________． (2)函数f (x )＝1log 12x ＋的定义域为________．解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>02－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2取交集可得：x ∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x >－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)． 答案 (1)(－1,2) (2)⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) 规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)． 题型三 对数函数的图象问题【例3】 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(－2,1)D ．(－1,1)(2)如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则( )A ．a 4>a 3>1>a 2>a 1>0B ．a 3>a 4>1>a 1>a 2>0C ．a 2>a 1>1>a 4>a 3>0D ．a 1>a 2>1>a 3>a 4>0(3)作函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0.答案 (1)D (2)A(3)解 第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(1＋x )的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．规律方法 1.对数函数图象过定点问题求函数y ＝m ＋log a f (x )(a >0，且a ≠1)的图象过定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．2．根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．3．函数图象的变换规律：(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．【训练3】 已知a >0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )解析 ∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称．再由函数y ＝a x 的图象过(0,1)，y ＝log a x 的图象过(1,0)，观察图象知，只有C 正确．答案 C课堂达标1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22x C ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x解析 选项A ，B ，C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 答案 D2．函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3)C ．(－1,3]D ．[－1,3]解析 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1>0，解得－1<x ≤3，∴f (x )的定义域为(－1,3]．答案 C 3．若函数f (x )＝a x－1的反函数的图象过点(4,2)，则a ＝________.解析 ∵f (x )的反函数图象过(4,2)，∴f (x )的图象过(2,4)，∴a 2－1＝4，∴a ＝4. 答案 44．函数f(x)＝1log12x＋1的定义域为________．解析要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．答案(0,2)5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．课堂小结1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式．2．在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．。
2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元 2.2.1 第1课时 对数
§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1 对 数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对数的运算实质是求幂指数．( )提示 (1)× 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)× log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√ 由对数的定义可知(3)正确．知识点2 对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．【预习评价】若log 3＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.2x －33解析 若log 3＝1，则＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －332x －332x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________．(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log 125＝6.5(1)解析 由题意可知Error!解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4.②由log 216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.④由log 125＝6，得()6＝125.55规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)m ＝n ；(4)lg 1000＝3.(12)解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为m ＝n ，所以n ＝m ；(12)log 12(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________.(2)求下列各式中x 的值．①log 64x ＝－；②log x 8＝6；23③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－得x ＝64－＝43×(－)＝4－2＝；232323116②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝8＝23×＝；16 162③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值．(1)log 2x ＝－；(2)log x 25＝2；12(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－，得2－＝x ，1212∴x ＝.22(2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值【例3】 (1)71－log 75；(2)100；(3)a log ab ·log bc (a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝＝.77log7575(2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9×＝9×＝.121100lg 21(10lg 2)294(3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法 对数恒等式a log a N＝N 的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________.解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3.答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确．答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．a >且a ≠1B ．0<a <1212C ．a >0且a ≠1 D ．a <12解析 由题意知Error!解得0<a <.12答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝.132答案 1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)2－3＝；(2)a ＝b ；(3)lg ＝－3；18(17)11 000(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝可得log 2＝－3；1818(2)由a＝b 得log b ＝a ；(17)17(3)由lg ＝－3可得10－3＝；11 00011 000(4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b＝b；(2)a log a N＝N.2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。
最新人教A版数学必修1学案：2.2对数函数第2课时预习导航学案
2.2 对数函数
预习导航
一、对数的运算性质
名师点拨
(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
(3)能用语言准确叙述对数的运算性质
log a(M·N)＝log a M＋log a N―→积的对数等于对数的和．
log a M
N
＝log a M－log a N―→商的对数等于对数的差．
log a M n＝n log a M(n∈R)―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
自主思考若M，N同号，则式子log a(M·N)＝log a M＋log a N成立吗？
提示：不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)是不存在的，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．
二、换底公式
log a b＝log
log
c
c
b
a
(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
(2)log am b n＝n
m
log a b(a>0，且a≠1；b>0；m≠0)．
2．换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数．。
2018学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：2.2第4
第4课时 对数函数的概念、图象、性质一、课前准备 1．课时目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.2．基础预探1、对数函数的定义函数 叫做对数函数，其中 是自变量. 2、对数函数的图象和性质（1）当1a >时，对数函数的图象可由描点法得到；当01a <<时，对数函数的图象既可以由描点法得到，也可由对称性得到，因为1log log a ay x x ==-，所以log a y x =与1log ay x =-关于 轴对称.（2）函数log (0,1)a y x a a =>≠的定义域为 值域为（3）当1a >时，log a y x =是 函数；当01a <<时，函数log a y x =是 函数（填“增”或“减”）（4）对数函数的图象过定点 . 3、若()()log []log []a a f x g x =，则 ； 若()()log []log []a a f x g x ≥，则 ；4、对数函数与 互为反函数，图象关于 对称.5、对数函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>的图象与性质定义 log (0,1,0)a y x a a x =>≠>底数1a >01a <<图象定义域 值域 单调性公共点二、基本知识习题化1. 当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.解析：由题意得，当1a >时，函数log a y x =单调增函数，而1()x x y a a-==为单调减函数，故选B2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）.A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞ 解析：由1x ≥，得22log 02log 2y x y x =≥⇒=+≥，故选C.3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）.A. (2,)+∞B. (0,2) B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)2解析：由41log 22=，所以44log log 22x x >⇒>，故选A.4. 比大小：（1）6log 7 7log 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8.解析：由对数函数的性质得6767log 71,log 61log 7log 6><⇒>，又3232log 150,log 0.80log 1.5log 0.8><⇒>5. 函数2()lg(8)f x x =+的定义域为 ，值域为 ． 解析：由对数函数的性质得，函数2()lg(8)f x x =+的定义域为R ， 又288x +≥，所以2()lg(8)lg8f x x =+≥，所以值域为[)lg8,+∞三、学习引领1、对对数函数的定义理解（1）、同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如2222log ,log y x y x ==等都不是对数函数，只有log (0,1,0)a y x a a x =>≠>才是对数函数.（2）、由于指数函数(0,1)xy a a a =>≠的定义域是R ，值域为()0,+∞，再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的定义域为()0,+∞，值域为R ，它们的定义域和值域是互换的. 2、函数xy a =与log a x y =的意义指数函数x y a =与对数log a x y =刻画的是同一对自变量,x y 之间的关系，所不同的是：在指数函数x y a =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域为R ，值域是()0,+∞，在对数函数log a x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域为()0,+∞，值域是R.四、典例导析题型一、求解对数函数的定义域、值域问题例1、求下列函数的定义域：（1）y =log a x 2；（2）y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）.分析：根据函数解析式列出满足条件的方程（组），求解函数的定义域. 解：（1）由x 2＞0，得x ≠0.∴函数y =log a x 2的定义域是{x |x ≠0}.（2）由题意可得1-x ＞0，又∵偶次根号下非负， ∴x －1＞0，即x ＞1.∴函数y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）的定义域是{x |x ＞1}.点评：求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1. 变式练习1、例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域. 解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x .∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.题型二：有关对数函数的图象例2、求函数2log y x =的定义域，并画出它的图象.分析：通过分类讨论去掉解析式中的绝对值，利用对数函数的图象求解. 解析：函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }.函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.x点评：对数函数的图象都过()1,0，当1a >时，函数log a y x =为单调增函数，当01a <<时，函数log a y x =为单调减函数.变式练习：2、如图所示，曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a 值取4313,,,3510，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ）A431,,3510 B413,,3105C．431,3510 D．413,3105解析：由对数函数的图象可得，相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a431,,3510.题型三、有关对数函数的性质 例3、 求证：函数f （x ）=lgxx+-11是奇函数. 分析：根据函数奇偶性的定义来证明. 证明：设f （x ）=lgx x +-11，由xx+-11＞0，得x ∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1）， 又对于定义域（－1，1）内的任意的x ，都有f （－x ）=lg x x -+11=－lg xx+-11=－f （x ）， 所以函数y =lgxx+-11是奇函数. 点评：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论. 变式练习3、例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解析：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0，∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.五、随堂练习1、下列函数是对数函数的有（ ）⑴32log y x =；⑵31log y x =+；⑶3log y x =；⑷()23log y x =. A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个解析：由对数函数的定义可得，只有⑶为对数函数.2、函数1()lg4xf x x -=-的定义域为（ ） A ．(14)， B ．[14)，C ．(1)(4)-∞+∞，， D ．(1](4)-∞+∞，，解析：10(1)(4)04xx x x ->⇒--<-，解得1 4.x << 3、设1>a ，函数()log a f x x =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 解析：：由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21， 那么1log 2log 2a a a a -=，即1log 22a =，解得221=a ，即4a =.4、函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_________.答案：{}34≠<x x x 且；提示：由题意得： 4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒{}34≠<x x x 且.5、若不等式()()log 23log 21a a x x +>-，则x 的取值范围是 ，a 的取值范围是 . 答案：12x >，1a > 提示：由23210x x +>->，则12x >，此时1a >. 6、已知01,1,1a b ab <<>>，比较11log ,log ,log a a b b b b的大小.解析：由01,1a b <<>，由对数函数的性质，得log 0a b <，1log 1bb =-，1log 0a b>， 又1ab >，∴11b a >>，1log log 1a a b a<=-，∴大小关系为11log log log a b a b b b<<.六、课后作业1、已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ， 则M N （ ）A 、{}1>x xB 、{}1<x xC 、{}11<<-x x D 、∅ 解析：依题意可得函数xx f -=11)(的定义域={|10}{|1}M x x x x =->=<， )1ln()(x x g +=的定义域{|10}{|1}N x x x x =+>=>-，∴{}{|1}{|1}11M N x x x x x x ⋂=<⋂>-⋂-<<.2、已知()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是（ ）A 、()0,1B 、1(0,)2 C 、1(,1)2D 、()1,+∞解析：：由212a a +>，又()2log 1log 2a a a a +<，得01a <<，又log 20a a <，得1212a a >⇒>，∴a 的取值范围是112a <<. 3、已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()12[log 3]y f x =-的定义域是 .答案：5[2,]2提示：由题意得()120log 31x ≤-≤，即1312x ≤-≤，解得522x ≤≤. 4、若函数()()log 01a f x x a a =>≠且，在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则实数a = .解析：⑴当01a <<时，函数()log a f x x =在()0,+∞上是单调递减函数，∴在[],2a a 上，则()max log 1a f x a ==，()()min log 2a f x a =，∴()()113log 2log 23a a a a =⇒=，解得：a =.⑵当1a >时，函数()log a f x x =在()0,+∞上是单调递增函数，∴在[],2a a 上，则()()max log 2a f x a =，()min log 1a f x a ==，∴()()log 23log 23a a a a =⇒=，解得：a =5、已知xxx f a-+=11log )()1,0(≠>a a . （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围. 解析：（1）011>-+x x ，即011<-+x x ，等价于0)1)(1(<-+x x ，得11<<-x ， 所以)(x f 的定义域是)1,1(-； （2）xxx x x f x f a a+-+-+=-+11log 11log )()(=1log a =0， 所以)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数； （3）由0)(>x f ，得011log >-+xxa ， 当1>a 时，有111>-+xx，解得10<<x ； 当10<<a 时，有1110<-+<xx，解得01<<-x ； 故当1>a 时，)1,0(∈x ；当10<<a 时，)0,1(-∈x .6、已知函数()()()ln 0,10x xf x a k bk a b =-⋅>>>>的定义域为()0,+∞，是否存在实数,a b 使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3ln 4f =？若存在，试求出,a b 的值，若不存在，说明理由.解析：由题意得，其定义域()0,+∞，∴0xxa kb -⋅>的定义域为()0,+∞，∴xa kb ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴1k =.得()()ln x xf x a b =-，假设存在满足条件的,a b ，则()()333ln ln 4f a b =-=，∴334a b -=，∵10a b >>>，∴1x u a =增函数，2x u b =为减函数，∴()xxg x a b =-为增函数.∴对()f x 恰在()1,+∞上取正值，可得()()1ln 0f a b =-=，∴1a b -=.解得：1122a b -+==.。
2018学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：2.2第5
第5课时 对数函数的初步应用一、课前准备 1．课时目标（1）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. （2）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.（3）重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.2．基础预探1、积、商、幂、方根的对数（,M N 都是正数，0,1a a >≠） （1）log ()a M N ⋅= （可推广12log ()a k N N N ⋅⋅⋅= （k N +∈）） （2）log aMN= （3）log n a M =2、对数函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>的图象与性质3．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。
4. 函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。
5. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象 得到; 当 时先向右平移| b|个单位，再向上平移 c 个单位得到; 当 时先向左平移 b 个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当0,0b c <<时 得到。
二、基本知识习题化1. 下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ）A. yB. 2x y x=C. log (01)a x y a a a =>≠且D. log x a y a =2. 函数y =的定义域是（ ）.A. [1,)+∞B. 2(,)3+∞C. 2[,1]3D. 2(,1]33. 若(ln )34f x x =+，则()f x 的表达式为（ ） A. 3ln x B. 3ln 4x + C. 3x e D. 34x e +4.函数2()lg(8)f x x =+的定义域为 ，值域为 ．5. 将20.3，2log 0.5，0.5log 1.5由小到大排列的顺序是 .6. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x = 的图象，则底数之间的关系为 .三、学习引领1、理解对数函数log (0,1)a y x a a =>≠，应注意以下三个方面：（1）定义域：因为对数函数log a y x =是由指数函数xy a =变化而来的，对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数log a y x =的定义域是指数函数xy a =的值域，即0x >。
人教A版高中数学必修一对数函数教案(2)
对数函数教案教学目标1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解．3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识．教学重点与难点教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质．教学过程设计师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？N=b．其中a为底数，生：若a b=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN是真数．师：各个字母的取值范围呢？生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R，师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法．请将b p=M化成对数式．M=p．生：b p=M化为对数式是logba=q化为指数式．师：请将logc生：loga=q化为指数式是c q=a．c师；什么是指数函数？它有哪些性质？（生回答指数函数定义及性质．）师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f（x）x与y对换，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出反函数的定义域．师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数．生：函数y=a x（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）．将指数式y=a x化为对数式x=loga y，所以函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数为y=logax（x＞0）．师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数．定义函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数．因为对数函数y=logax是指数函数y=a x的反函数，所以要说明以下两点：（1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件．（2）指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如何画对数函数的图象呢？生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象．师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法．师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质．生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0．生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0．师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实．请继续分析．生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y ＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析．生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念．例2 求下列函数的定义域：生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定义域是（-∞，4）．师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域．例3 比较下列各组中两个数的大小：（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8．师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小．师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由．生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．例4 比较下列各组中两个数的大小：（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32．师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数的大小．生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习1 求下列函数的反函数：（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）．生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）．生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）．生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）．生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）．练习2 指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0．生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0．生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0．练习3 用“＜”号连接下列各数：0.32，log20.3，20.3．生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3．师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质．生：（复述）……师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆．对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．补充题比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．。
人教A版数学必修一教案：§2.2.2对数函数及其性质(第3课时)
对数函数（第三课时）一．教学目标：1．知识与技能 （1）知识与技能（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. 2．过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 （1）体会指数函数与指数; （2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教学过程：1．复习 （1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log xy y x ==与的函数图象.`2．讲授新知2x y =2log y x =图象如下：探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数2x y =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R 上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数.从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图象.3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y xx =∈+∞是指数函数3()x y x R =∈的反函数.以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞.同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠.课堂练习：求下列函数的反函数（1）5xy = （2）0.5log y x =归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？ 2．你怎样理解反函数？ 课后思考：（供学有余力的学生练习）我们知道(xy a a =＞01)a ≠且与对数函数(a y x a =log ＞0且1)a ≠互为反函数，探索下列问题.1．在同一平面直角坐标系中，画出2log xy y x ==2与的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？2．取2xy =图象上的几个点，写出它们关于直线y x =的对称点坐标，并判断它们 是否在2log y x =的图象上吗？为什么？3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log (xa y a y xa ==与＞01)a ≠且成立吗？。
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2.2 对数函数互动课堂疏导引导2.2.1 对数与对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x=N(a>0,a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N 记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把log e N 记为lnN.疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b 是什么数,都有a b >0,即不论b 是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=log a N 中真数N 永远是正数,换句话说负数和零没有对数. (2)指数与对数的关系: a x=N(a>0,a ≠1)x=log a N. (3)负数和零没有对数. 2.对数的运算 (1)换底公式: ①log a b=alog blog c c ,即有log c a ·log a b=log c b; ②log b a=b log 1a ,即有log ab ·log b a=1; ③log a m b n=mnlog a b; (2)对数恒等式:a logaN=N.疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质. 3.对数式与指数式的关系 【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.●案例1下列四个命题中,真命题是( ) A. lg2lg3=lg5B. lg 23=lg9C.若log a M+ N=b,则M+N=a bD.若log 2M+ log 3N=log 2N+log 3M,则M=N 【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:log a (M ±N)=log a M ±log a N, log a (M ×N)=log a M×log a N, log aN M =Nlog M log a a ,log a N n =(log a N) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前. ●案例2求值: (1)7log -133;(2)lg5·lg20+lg 22;(3)已知log 23=a,3 b=7,求log 1256的值.【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log 37=b,然后设法将log 1256化成关于log 23和log 37的表达式即可求值. (1) 7log -133=733log 3 =73. (2)lg5·lg20+lg 22=lg5(lg4+lg5)+lg 22=2lg2·lg5+lg 25+lg 22=(lg2+lg5) 2=1. (3)解法一:∵log 23=a,∴2 a=3.又3 b =7,∴7=(2 a ) b =2 ab.故56=2 3+ab.又12=3·4=2 a ·4=2 a+2, 从而56=(2 a+2)aab ++23 =1223++a ab .故log 1256=log 121223++a ab =23++a ab. 解法二:∵log 23=a,∴log 32=a1. 又3 b=7,∴log 37=b.从而log 1256=12log 56log 33=4log 3log 8log 7log 3333++=2log 212log 37log 333++=a ab 12113∙+∙+=23++a ab . 解法三: ∵ log 23=2lg 3lg =a,∴ lg3=alg2. 又3 b=7,∴ lg7=blg3. ∴ lg7=ablg2.从而log 1256=12lg 56lg =3lg 2lg 27lg 2lg 3++=2lg 2lg 22lg 2lg 3a ab ++ =a ab++23.【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.2.2.2 对数函数及其性质1.概念一般地,我们把函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2.对数函数的性质a>1 0<a<1图象性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)图象过定点(1,0)(4)在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数疑难疏引对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即log a1=0;(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=log a x在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,图象由左向右逐渐下降,即当0<a<1时,y=log a x在(0,+∞)上是减函数;(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=log a x>0;0<x<1,则y=log a x<0;当0<a<1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴下方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴上方,即当0<a<1时,x>1,则y=log a x<0;0<x<1,则y=log a x>0.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于0,等于1来也不行,底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(1,0)点.●案例1比较大小:(1)log0.27和log0.29;(2)log35和log65;(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);(4)log85和lg4.【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.(2)考查函数y=log a x底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm)x在R上单调递增,故(lgm)1.9<(lgm)2.1.若0<lgm<1即1<m<10,则(lgm) x在R上单调递减,故(lgm) 1.9>(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log 85>lg5>lg4,即log 85>lg4. 【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有: (1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定; (4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较; (5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.●案例2已知函数y=lg(x 2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性. 【探究】 注意到12+x +x=xx -+112,即有lg(12+x -x)=-lg(12+x +x),从而f(-x)=lg(12+x +x)=-lg(12+x -x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性. 由题意12+x -x>0,解得x ∈R,即定义域为R.又f(-x)=lg ［1)(2+-x -(-x)］=lg(12+x +x)=lgxx -+)1(12=lg(12+x -x) -1=-lg(12+x -x)=-f(x). ∴y=lg(12+x -x)是奇函数. 任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则121+x <122+x ⇒121+x +x 1<122+x +x 212111x x ++>22211x x ++,即有121+x -x 1>121+x -x 2>0, ∴lg(121+x -x 1)>lg(122+x -x 2),即f(x 1)>f(x 2)成立.∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. 又f(x)是定义在R 上的奇函数, 故f(x)在(-∞,0)上也为减函数. 【溯源】研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.●案例3作出下列函数的图象: (1)y=|log 4x|-1; (2)y=log 31|x+1|. 【探究】 (1)y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去,得到y=|log 4x|的图象,再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log 4x|-1的图象.(2)y=log 31|x+1|的图象可以看成由y=log 31x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 31x 的图象作出,然后关于y 轴对称,即得到函数y=log 31|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log 31|x+1|的图象. 函数(1)的图象作法如图①～③所示. 函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x ≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x ≤0时,其图象与x ≥0时的图象关于y 轴对称.对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x 轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y 轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长 (0<a<1) 到原来的a 倍,纵坐标不变而得到;y=af(x)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0<a<1)或伸长(a>1)到原来的a 倍而得到.●案例4已知f(x)=2+log 3x, x ∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y 取最大值时,x 的值.【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.【解】 ∵f(x)=2+log 3x,∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log 3x) 2+2+log 3x 2=(2+log 3x) 2+2+2log 3x=log 32x+6log 3x+6=(log 3x+3) 2-3.∵函数f(x)的定义域为［1,9］,∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x 2≤9, 1≤x ≤9. ∴1≤x ≤3.∴0≤log 3x ≤1.∴6≤y=(log 3x+3) 2-3≤13.∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( ) A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年. 设再过n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,根据题意,得2(1+20%)n >12,即1.2n>6, 两边取对数,得nlg1.2>lg6, ∴n>2.1lg 6lg =3lg 2lg 23lg 2lg + =14471.03010.024771.03010.0-+⨯+. ∴n=10,即2 006+10=2 016. 因此,选B.【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.3.反函数的图象和性质对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0且a ≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x 对称.疑难疏引 (1)f(a)=b f -1(b)=a;(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a); (3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域; (4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x 对称.在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？ 【探究】先求原函数的值域.由-1≤x<0,∴-1<x 2-1≤0.∴51<5x2-1≤1,即51<y ≤1,y=5x2-1⇒log 5y=log 55x2-1⇒log 5y=x 2-1 x 2=1+log 5y.∵-1≤x<0,∴x=-y 5log 1+,即y=-x 5log 1+ (51<x ≤1). 【溯源】求反函数时,首先要求值域,然后解关于x 的方程,第三要把解出的方程中的x 、y 互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出. 关于对数运算的几点提示:(1)对数式log a N=b 中各字母的取值范围(a>0且a ≠1,N>0,b ∈R)容易记错. (2)解决对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)的单调性问题时,忽视对底数a 的讨论.(3)关于对数式 log a N 的符号问题,既受a 的制约又受N 的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.以1为分界点,当a 、N 在同侧时,log a N>0;当a 、N 在异侧时,log a N<0. 活学巧用 1.3log 9log 28的值是( ) A.32 B. 1 C.23 D. 2【思路解析】 考查有关对数的运算性质,log a m b n=mnlog a b. 【答案】 A2. 若log 2［log 21(log 2x)］=log 3［log 31(log 3y)］=log 5［log 51(log 5z)］=0,则x 、y 、z 的大小关系是 ( ) A. z<x<y B. x<y<z C. y<z<x D. z<y<x【思路解析】 依特殊的对数式log a 1=0及log a a=1可分别求出相应的x 、y 、z 的值. log 5［log51(log 5z)］=0,可知log51(log 5z)=1,所以log 5z=51,可得z=551.同理可得x=221,y=331,借助分数指数幂可得这三个数的大小,答案为D. 【答案】 D3. 下列各式中成立的是( )A. log a x 2=2log a xB. log a |xy|=log a |x|+log a |y|C. log a 3>log a 2D. log ayx=log a x- log a y【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.A 、D 的错误在于不能保证真数为正,C 的错误在于a 值不定.选B. 【答案】 B4. 求下列各式中的x:(1)log 54x=-21; (2)log x 5=23; (3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.【解】 (1)原式转化为(54)-21=x,所以x=25.(2)原式转化为x 23=5,所以x=325.(3)由对数性质得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-07811,0117822x x x x x x x 解得x=8.5. 已知log a 2=m,log a 3=n,则a 2m-n=__________.【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算. ∵log a 2=m,log a 3=n, ∴a m =2,a n=3. ∴a2m-n=n m aa 2 =n m a a 2)( =322=34.【答案】346. (1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 【解】 (1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5,∴b=log 35. 又∵log 32=a, ∴log 330=21log 3(2×3×5)=21 (log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 7. (1)将下列指数式写成对数式: ①2 10=1 024;②10 -3=10001;③0.3 3=0.027;④e 0=1. (2)将下列对数式写成指数式: ①log 0.46.25=-2; ②lg2=0.301 0 ;③log 310=2.095 9; ④ln23.14=x. 【思路解析】应用指数式与对数式的等价关系求解. 【答案】(1)①log 21 024=10; ②lg10001=-3; ③log 0.30.027=3;④ ln1=0. (2)①0.4 -2=6.25; ②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10; ④e x=23.14.8. 已知log a 3>log b 3>0,则a 、b 、1的大小关系是.【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a 与b 的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决. 【解法一】 由log a 3>log b 3>0a 3log 1>b3log 1 >0log 3b>log 3a>0log 3b>log 3a>log 31.∵y=log 3x 是增函数,故b>a>1. 【解法二】分别作出y=log a x 与y=log b x 的图象,然后根据图象特征进行推断. ∵ log a 3>log b 3>0,∴a>1,b>1. 故y=log a x 与y=log b x 均为增函数. 又∵ log a 3>log b 3> 0,∴当x>1时,y=log a x 的图象应在y=log b x 图象的上方,如图所示.根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1. 【答案】 b>a>19. 比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 23.4, log 28.5; (2)log 0.31.8, log 0.32.7;(3)log a 5.1, log a 5.9(a>0,a ≠1).【解】 (1)考查对数函数y=log 2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4<log 28.5.(2)考查对数函数y=log 0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8>log 0.32.7.(3)当a>1时,y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,于是log a 5.1<log a 5.9; 当0<a<1时,y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,于是log a 5.1>log a 5.9. 10. 求函数y=log 31(-x 2+4x+5)的定义域和值域.【解】 函数有意义,必须-x 2+4x+5>0⇒x 2-4x-5<0⇒-1<x<5, ∴函数的定义域为{x|-1<x<5}.由-1<x<5,∴在此区间内(-x 2+4x+5) max =9.∴0≤-x 2+4x+5≤9.从而log 1(-x 2+4x+5)≥log 19=-2, 即值域为{y|y ≥-2}. 11. 已知函数f(x)=log abx bx -+ (a>1且b>0). (1)求f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性.【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.【解】 (1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+00b x b x bx ,解得x<-b 或x>b.∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). (2)由于f(-x)=log a (b x b x --+-)=log a (b x b x +-)=log a (b x b x -+)-1=-log a (bx bx -+)=-f(x),所以f(x)为奇函数.12. 求函数y=log 21(-x 2+2x+3)的值域和单调区间. 【思路解析】 通过换元,令t=-x 2+2x+3,是复合函数的问题. 【解】 设t=-x 2+2x+3,则t=-(x-1)2+4. ∵y=log 1t 为减函数,且0<t ≤4, ∴y ≥log 214=-2,即函数的值域为［-2,+∞). 再由函数y=log 21(-x 2+2x+3)的定义域为-x 2+2x+3>0,即-1<x<3, ∴t=-x 2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减. 而y=log 21t 为减函数. ∴函数y=log 21(-x 2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3). 13. 函数y=lg|x|( )A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y 轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.【答案】 B14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x 上所有点…( )A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出答案.【答案】 A15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x 的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R 要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u 能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x 的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;当a ≠0时,有⎩⎨⎧<-=∆>0440a a ⇔ a>1. ∴a 的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数⇔a=0或⎩⎨⎧>-=∆>0440a a ⇔0< a ≤1. ∴a 的取值范围为0≤a ≤1.16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log 2a)=b,log 2［f(a)］=2(a ≠1),求f(log 2x)的最小值及对应的x 的值.【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.【解】 由已知得log 22a-log 2a+b=b, log 2(a 2-a+b)=2,即log 2a(log 2a-1)=0, a 2-a+b=4,① ②由①得log 2a=1,∴a=2.代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.∴f(log 2x)=log 22x-log 2x+2=(log 2x-21) 2+47.∴当log 2x=21时,f(log 2x)取得最小值47,此时x=2. 17. 已知y=log a (2-ax)在区间［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值范围.【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a 是一样的,可知a>0且a ≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.【解】 先求函数定义域:由2-ax>0,得ax<2,又a 是对数的底数,∴a>0且a ≠1.∴x<a2. 由递减区间［0,1］应在定义域内, 可得a2>1,∴a<2. 又2-ax 在x ∈［0,1］上是减函数,∴y=log a (2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.由复合函数单调性可知a>1,∴1<a<2.18. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49= 1.060 2)【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.∴lg(1+x)= 103010.02 =0.0602 ∴1+x=10 0.060 2.又∵lg11.49=1.060 2,∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.∴10 0.060 2=1.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9% .【答案】 14.9%19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x 对应的值.【答案】 120. 已知函数f(x)=a x +k 的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).【思路解析】 根据函数f(x)=a x +k 的图象过点(1,3),可列出一个关于a 和k 的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x +k 的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a 和k 的方程.【解】 依题意得a 1+k=3, a 0+k=2,解得a=2, k=1.∴f(x)=2x +1.。