恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A
（2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f <max )(,即)(x f 的上界小于B
例1．设22)(2+-=ax x x f ,当[)+∞-∈,1x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．
例2．已知x
a
x x x f ++=2)(2对任意[)+∞∈,1x ，0)(≥x f 恒成立,试求实数a 的取值范围．
例3．R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是减函数，且当)2
,
0(π
θ∈时，有
0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4．已知函数)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为
常数.
（1）试确定b a 、的值；
（2）讨论函数)(x f 的单调区间；
（3）若对任意0>x ，不等式2
2-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.
2、主参换位法
例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.
例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围.
例7.已知函数1)1(2
33)(2
3+++-=
x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值；
（3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例8．当)2,1(∈x 时，不等式042
<++mx x 恒成立，求m 的取值范围.
例9．已知函数33
1)(23
+++=
x bx ax x f ,其中0≠a ． （1）当b a 、满足什么条件时,)(x f 取得极值?
（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(]1,0上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
4、数形结合
例10．若对任意R x ∈,不等式ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．
例11．当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围．
二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f >)(成立,则等价于在区间D 上A x f >max )(； 若在区间D 上存在实数x 使不等式B x f <)(成立,则等价于在区间D 上的B x f <min )(. 例12．已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
例13．若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
例14．已知函数x ax x x f 22
1ln )(2
--
=（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围．
三、不等式恰好成立问题的处理方法
例15．不等式012
>++bx ax 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x 则=ab ___________．
例16．已知x
a
x x x f ++=2)(2当[)+∞∈,1x ，)(x f 的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.
例17．已知两函数k x x x f -+=168)(2
，x x x x g 452)(2
3
++=，其中k 为实数． （1）对任意[]3,3-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （2）存在[]3,3-∈x ，使)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （3）对任意[]3,3,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围．
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1．若不等式0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围．
2．已知不等式22
6
2
2>++++x x kx kx 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．
3．设函数a x x x x f -+-=62
9)(2
3
．对于任意实数x ，m x f ≥)('恒成立，求m 的最大值．
4．对于满足2≤a 的所有实数a ,求使不等式x a ax x 212
+>++恒成立的x 的取值范围．
5．已知不等式022
>+-a x x 对任意实数[]3,2∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．
6．对任意的[]2,2-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值总是正数，求x 的取值范围．
7．若不等式0log 2<-x x m 在)2
1,0(内恒成立，则实数m 的取值范围________________．
8．不等式)4(x x ax -≤在[]3,0∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围．
9．不等式022
<-+k kx 有解，求k 的取值范围．
10．对于不等式a x x <++-12，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[]5,0∈x ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M ，N ．
11．①对一切实数x ,不等式a x x >+--23恒成立，求实数a 的范围． ②若不等式a x x >+--23有解，求实数a 的范围． ③若方程a x x =+--23有解，求实数a 的范围．
12．①若y x ,满足方程1)1(2
2=-+y x ，不等式0≥++c y x 恒成立，求实数c 的范围． ②若y x ,满足方程1)1(2
2=-+y x ，0=++c y x ，求实数c 的范围．
13．设函数b x ax x x f +++=2342)(，（R x ∈），其中R b a ∈,．若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式1)(≤x f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求b 的取值范围．
14．设函数a ax x a x x f 244)1(3
1)(23
+++-=
，其中常数1>a ，若当0≥x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围．
15．已知向量),1(),1,(2t x b x x a -=+=。

若函数b a x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数，求t 的取值范围．
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案
例1、解：a 的取值范围为[-3，1]
例2、解：等价于
()022
≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.
由于
()()112
-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a
例3、解：由(
)()022sin 2cos
2
>--++m f m f θθ得到：
()
()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，
故有
()
()22sin 2cos 2
+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2
+<+m m θθ对
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∈2,0πθ恒成立
设t =θsin ，则01222
>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，
在设函数
()1222
++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，
即
21-
≥m ，又0<m ∴0
21
<≤-m (如图1)
②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,
()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,
∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)
③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)
故由①②③可知：
21-
≥m .
例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小
t g(t)
o
·
1
图1
t=m t
g(t) o
· 1
图2
t=m
t
g(t) o
·
1
图3
t=m
值也是最小值.要使
)0(2)(2
>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ， 从而0)1)(32(≥+-c c . 解得
23≥
c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为)
,23
[]1,(+∞--∞ .
例5、解：
1
2a <
例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞
例7、解析：由题设知“
22
3(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。

设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），
则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。

2
20x +> 恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上
的单调递增函数。

所以对∀(0)a ∈+∞，
，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得
24x m x +<-.令244
()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时
()(1)5max
f x f ==，则2m i n 4
()5x x
+->-∴5m ≤-.
例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增
⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔
1,(0,1]22ax b x x ≥-
-∈恒成立⇔max 1
()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。

设1()22ax g x x =--，
2
221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-
， 令'()0g x =得
1x a =
或1
x a =-(舍去)，
当1>a 时,101a <<，当1(0,)x a ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--
单调增函数； 当
1(
,1]x a ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--
单调减函数,
∴
max ()g x =
1
(
)g a a =-。

∴b a ≥-。

当01a <≤时，11a ≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x =--
在区间(0,1]上单调递增，∴max ()g x =
1(1)2a g +=-
，∴1
2a b +≥-。

综上，当1>a 时, b a ≥-； 当01a <≤时，1
2a b +≥-。

例10、解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立
则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。

例11、解：1<a ≤2. 例12、解：1a >
例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设
()a ax x x f --=2
.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,
即(),
3442
min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥
例14、解：x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.
1221)(2x x ax ax x x h -+-=--='
因为函数
()
h x 存在单调递减区间，所以()0h x '
<有解.由题设可知,()x h 的定义域是
()+∞,0 ,
而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'
x h 在区间()+∞,0能成立,即
x x
a 2
12
->
, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中
()x x x u 2
12-=
.
由()x x x u 212-=1
112
-⎪⎭⎫
⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,
由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1 例15、解：6
||
y x =||y x =y ax
=y ax
=x
y
O
例16、解：是一个恰成立问题,这相当于()0
22≥++=x a x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时, ()3
222≥++=++=x a
x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()2
22++=++=x a
x x a x x x f 是[
)+∞,1上的增函数,所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a
例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。

由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45. （2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h max (x)≥0，由（1）知h max （x ）=k+7，于是得k≥-7。

（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2∈[-3，3]，
都有f （x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
]3,3[,)()(min max ••x •x g x f -∈≤，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-32
或-1，易得
21)3()(min -=-=g x g ，又f(x)=8(x+1)2-8-k ，]3,3[•
x -∈. 故.120)3()(max k f x f -==令120-k≤-21，得k≥141。

专项练习：
1、解：
)
1113,(-
-∞ 2、解：)10,2[
3、解析：'2()396f x x x =-+, 对∀x R ∈,'()f x m ≥, 即
239(6)0x x m -+-≥在x R ∈上恒成立, ∴8112(6)0m ∆=--≤, 得
34m ≤-
，即m 的最大值为3
4-。

4、解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧
>->+-0103422
x x x 解得：⎩
⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 5、解：0>a 6、解：),4()0,(+∞⋃-∞∈x 7、解：)
1,161
[
y
ax y =
8、解：画出两个凼数
ax y =和)4(x x y -=在]3,0[∈x
上的图象如图知当3=x 时3=y ，
33=
a
当
33≤
a ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤所以33
≤
a
9、解：不等式2
20kx k +-<有解2
(1)2k x ⇔+<有
解22
1k x ⇔<
+有解
2m a x 22
1k x ⎛⎫
⇔<= ⎪+⎝⎭，所以(2)k ∈-∞，。

10、解：由21(1)()213(12)21(2).x x f x x x x x x -+<-=-++=-->⎧⎪
⎨⎪⎩≤≤，，
又()a f x >有解
min ()3a f x ⇔>=， 所以
{3}
M a a =>．令
()
g x 21[05]
()
x x x a g x =-++∈>，，，恒成立
max ()(5)9a g x g ⇔>==．所以{9}N a a =>
11、解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a 12、解：①12-≥
c ②]21,21[+---∈c
13、解：322
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，可知
29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，
()0f x '>．因此函数()f x 在[]11
-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意
[]
22a ∈-，，不等式()1f x ≤在
[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤，
即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a
b a ≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min (2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，[]22a ∈-，
所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是
(]4--∞，．
14、解：（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=a
a a 24434
23++-=；a f 24)0(=
则由题意得
⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>-+->.
024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 16a << ∴ (1,6)a ∈。

15、解：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。

则t x x x f ++-='23)(2
，
若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。

∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立。

考虑函数x x x g 23)(2
-=，（如图）
由于)(x g 的图象是对称轴为
31
=
x ，开口向上的抛物线，
故要使x x t 232
-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即5≥t 。

而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，
即)(x f 在（-1，1）上是增函数。

故t 的取值范围是5≥t .
· o
x
· 1
· -1 y
·
g(x)
31=
x。