[配套K12]2018高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系6 线面垂直的判定和性质习题 苏
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质课时作业苏教版必修
2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
1 平面的基本性质[学业水平训练]1．下列说法中正确的个数为________．①过三点至少有一个平面；②过四点不一定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时,有无数个平面;②正确，四点不一定共面；③正确．答案:32．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．解析:因为线段AB在平面α内，所以A∈α，B∈α。
由公理1知直线AB⊂平面α.答案:直线AB⊂平面α3．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．（1)A∉α,a⊂α________。
(2）α∩β＝a,P∉α且P∉β________。
(3)a⊄α，a∩α＝A________.（4)α∩β＝a,α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________。
解析：(1)图C符合A∉α，a⊂α；(2)图D符合α∩β＝a，P∉α且P∉β;（3）图A符合a⊄α，a∩α＝A；(4）图B符合α∩β＝a,α∩γ＝c，β∩γ＝b,a∩b∩c＝O。
2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行 新人教B版必修2
相交
平行
l∥α，
l⊂β ，
⇒l∥m
下列条件中能确定直线 a 与平面 α 平行的是( ) A.a⊄α，b⊂α，a∥b B.b⊂α，a∥b C.b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c D.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且 AC＝BD
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知选 A.
(2)法一 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC 和∠B1M1C1 方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
图 1-2-18
【精彩点拨】 要证 MN∥平面 SBC，只需证明 MN 与平面 SBC 内的一条 直线平行即可，证明时注意平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用.
【自主解答】 法一 连接 AN 并延长交 BC 于 G，连接 SG，由题意 AD∥BC， 所以DNNB＝NANG.
因为DNBN＝ASMM，所以NANG＝ASMM，则 MN∥SG. 又因为 MN⊄平面 SBC，SG⊂平面 SBC， 所以 MN∥平面 SBC.
【自主解答】 (1)∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体. ∴AD＝A1D1，且 AD∥A1D1， 又 M、M1 分别为棱 AD、A1D1 的中点， ∴AM＝A1M1 且 AM∥A1M1， ∴四边形 AMM1A1 为平行四边形， ∴MM1＝AA1 且 MM1∥AA1. 又 AA1＝BB1 且 AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1 且 MM1∥BB1， ∴四边形 BB1M1M 为平行四边形.
[配套K12]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学业分层测评 新人教B版必修2
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1.1.4 投影与直观图学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于( )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2.由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形.上述结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错.故选A.【答案】 A3.如图1155为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )图1155A B C D【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.【答案】 C4.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图1156所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )图1156A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋32＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5.下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】二、填空题6.下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.其中投影不可能是线段的是________.【解析】根据投影的定义知②⑤不可能.【答案】②⑤7.如图1157所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________.图1157【解析】 按斜二测画法，得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，如图所示，原图形中梯形的高CD ＝2，在直观图中C ′D ′＝1，且∠C ′D ′E ′＝45°，作C ′E ′垂直于x ′轴于E ′，则C ′E ′＝C ′D ′·sin 45°＝22. 【答案】228.如图1158甲所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1，C 1D 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的正投影可能是乙中的________.甲① ② ③ ④乙 图1158【解析】 在面ABCD 和面A 1B 1C 1D 1上的正投影是图乙①；在面ADD 1A 1和面BCC 1B 1上的正投影是图乙②；在面ABB 1A 1和面DCC 1D 1上的正投影是图乙③.【答案】 ①②③ 三、解答题9.如图1159，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.图1159【解】画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；①②(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10.有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图.【解】(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示.[能力提升]1.如图1160所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )图1160A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC 最长.【答案】 D2.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图1161所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )图1161A.732B.73C.5D.52【解析】 由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732. 【答案】 A3.如图1162，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________.图1162【解析】 易知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，平行四边形的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′. ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42， ∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 【答案】 24 24.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1163所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积.图1163【解】 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22， ∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.。
【配套K12】[学习](全国通用版)2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线
2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线](https://img.taocdn.com/s3/m/ca628b1db90d6c85ec3ac6a5.png)
第一课时直线与平面垂直1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c⊂α,所以a ⊥c.因为b∥c,所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:①⇒l⊥α;②⇒b⊥α;③⇒b⊥α;④⇒a⊥α.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.③④D.②中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.其中正确命题的个数是 ()A.1B.2C.3D.45在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是()A.SD⊥平面EFGB.SG⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEFSG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,所以SG⊥平面EFG.6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误．．的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是.①,取BC的中点E.连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,所以BC⊥AD.对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,所以BC⊥AD.8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.又因为PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.AC,设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.又PD=DC=1,所以PC=.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,由V=S△PBC·h=·h=,得h=.因此,点A到平面PBC的距离为.★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.求证:(1)CN∥平面AMB1;(2)B1M⊥平面AMG.设AB1的中点为P,连接NP,MP.因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,所以CM∥NP,且CM=NP.所以四边形CNPM是平行四边形.所以CN∥MP.因为CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,所以CN∥平面AMB1.(2)因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AG.由△ABC是正三角形得AG⊥BC,又因为BC∩CC1=C,所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.设AC=2a,则CC1=2 a.在Rt△MCA中,AM= a.同理,B1M= a.因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.所以BB1⊥AB.所以AB1==2 a.所以AM2+B1M2=A.所以B1M⊥AM.又因为AG∩AM=A,AG⊂平面AMG,AM⊂平面AMG, 所以B1M⊥平面AMG.。
教育最新K122018高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系12 面面垂直的性质学案 苏教版
面面垂直的性质二、重难点提示重点：平面和平面垂直的性质定理及二面角的平面角问题。
难点：平面和平面垂直的性质定理的应用及二面角的平面角问题考点一：平面与平面垂直的性质简记为：面面垂直⇒线面垂直 2 .平面与平面垂直的其他性质（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
其图形语言和符号语言如下：,,,,l A A a a a αβαβαβα⊥=∈∈⊥⇒⊂（2）如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即,αβγ⊥∥αγβ⇒⊥（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即,l l αβλαλβλ=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭（4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即,,,,,l m l m m n n l n αβαββγβγγαγα⊥=⎫⎪⊥=⇒⊥⊥⊥⎬⎪⊥=⎭考点二：二面角的求法 【规律总结】作二面角的一般方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图①，则∠AOB 为二面角α－l －β的平面角。
由定义法作出二面角的平面角，若已知二面角的两个面是特殊的三角形（如以棱为公共边的两个等腰三角形），这时可以选取棱上的特殊点，如公共底边的中点或公共底边上高的垂足，从特殊点出发根据定义作出二面角的平面角。
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角，如图②，∠AOB 为二面角α－l －β的平面角。
（3）线面垂直法：过二面角的一个面内异于棱上的A 点向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB 为二面角α－l －β的平面角，这种方法是求二面角大小最常用的方法。
（4）射影面积法设二面角'A BC A --为θ，过A 作'AA α⊥于点'A ，过'A 作'A D BC ⊥于点D ，连接AD ，则'A D A ∠是二面角'A B C A --的平面角，于是'1''2cos 12A BC ABC A D BC SA D AD S AD BC θ∆∆⋅===⋅。
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3第一课时直线与平面平行课时作业苏
2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 第一课时直线与平面平行课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 第一课时直线与平面平行课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2。
3 第一课时直线与平面平行[学业水平训练］1．下面命题中正确的是________(填序号）．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑥若三个平面两两相交，则有三条交线．解析：①正确;若直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线,故③不正确；两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或相交，故④不正确；直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的直线也无公共点,两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两相交,可能有三条交线，也可能有一条交线，故⑥不正确．答案:①⑤2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．解析：设BD的中点为F，则EF∥BD1，又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC.∴BD1∥平面AEC.答案:平行3．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是________．解析：无论怎样转动,都有CD∥AB,当木板不平铺在平面α上时，∵AB⊂α，CD⊄α，∴CD∥α。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.4 直线与平面的垂直(2
江苏省盐城市射阳县高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.4 直线与平面的垂直（2）导学案（无答案）苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省盐城市射阳县高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.4 直线与平面的垂直（2）导学案（无答案）苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.4 直线与平面的垂直（2）班级_____________姓名_______________学号__________学习目标: 1。
进一步理解直线和平面垂直的定义及判定定理；2.掌握直线和平面垂直的性质定理;理解直线和平面距离的定义3。
提高空间线面垂直与线线垂直关系的转化能力;学习重点： 1。
掌握直线和平面垂直定义及两个定理;2.在应用两定理时, 创设定理成立的条件。
活动过程:活动一、引入新课一.创设情境二.建构数学1。
线面垂直性质定理:2.线面距离例2.如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1) 求棱BB 1与平面A 1ADD 1的距离； (2) 求棱BB 1与平面A 1ACC 1的距离.DCC 1B 1A 1活动三、巩固练习例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 。
（1)求证: A 1C⊥B 1D 1 ; （2）求证: A 1C⊥平面A B 1D 1;（3）若M 、N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点， 且MN⊥B 1D 1 ， MN⊥C 1D ， 求证: MN//A 1C .活动四、课堂小结掌握直线和平面垂直的性质定理;理解直线和平面距离的定义掌握直线和平面垂直定义及两个定理11B 1。
[配套K12]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直学案(含解析)新人教B版必修2
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1.2.3 第2课时平面与平面垂直1.了解面面垂直的定义.(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理.(重点))3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题.(难点[基础·初探]教材整理1 平面与平面垂直的判定阅读教材P52～P53“第12自然段”内容，完成下列问题.1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：图1256记作：α⊥β.2.判定定理对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，所以C正确.【答案】 C教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P 53“第13自然段”～“例4”以上内容，完成下列问题.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则() A.直线a 必垂直于平面β B.直线b 必垂直于平面α C.直线a 不一定垂直于平面β D.过a 的平面与过b 的平面垂直【解析】当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b 的直线不一定垂直于β，故选C.【答案】 C[小组合作型]如图，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：图1257(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .【精彩点拨】 (1)要证DE ＝DA ，只需证明Rt△EFD ≌Rt△DBA ；(2)注意M 为EA 的中点，可取CA 的中点N ，先证明N 点在平面BDM 内，再证明平面BDM 过平面ECA 的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA 经过平面ECA 的一条垂线.【自主解答】 (1)取EC 的中点F ，连接DF .∵EC ⊥BC ，易知DF ∥BC ， ∴DF ⊥EC .在Rt△EFD 和Rt△DBA 中， ∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt△EFD ≌Rt△DBA . ∴ED ＝DA .(2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ═∥12EC ， ∴MN ∥BD ，∴N 点在平面BDMN 内. ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA . ∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面MNBD ⊥平面ECA . 即平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵BD ═∥12EC ，MN ═∥12EC . ∴MNBD 为平行四边形.∴DM ∥BN . 由(2)知BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA . 又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA .1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.[再练一题]1.如图1258所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD .求证：平面PDC ⊥平面PAD .图1258【证明】 ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD . 又∵CD ⊂平面PDC . ∴平面PDC ⊥平面PAD .ABCD 是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .图1259(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形 ―→BG ⊥AD ――――――――→面PAD ⊥底面ABCD BG ⊥平面PAD(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可.【自主解答】(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性质定理.(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面).(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.[再练一题]2.如图1260所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图1260【证明】 ∵平面VAB ⊥底面ABCD ，且BC ⊥AB . ∴BC ⊥平面VAB ，∴BC ⊥VA ，又VB ⊥平面VAD ，∴VB ⊥VA ，又VB ∩BC ＝B ， ∴VA ⊥平面VBC ， ∵VA ⊂平面VAC . ∴平面VBC ⊥平面VAC .[探究共研型]探究1 如图的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，你能证明PD ⊥平面ABCD 吗？图1261【提示】 ∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ，∴PC 2＝PD 2＋DC 2，∴PD ⊥DC . 同理可证PD ⊥AD ，∵AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，且AD ∩DC ＝D ， ∴PD ⊥平面ABCD .探究2 如图1262所示，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，P 为母线SA 上的点，其在底面圆O 上的正投影为点D ，求证：PA ⊥CD .图1262【提示】 连接CO ，由3AD ＝DB 知，D 为AO 的中点， 又AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥CB ， 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°， ∴△ACO 为等边三角形，从而CD ⊥AO .∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD.探究3 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图1263所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：图1263(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理.【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.[再练一题]3.如图1264所示，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1264(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1.下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】 如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D 项叙述是错误的.【答案】 D2.空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( ) A.平面ABC ⊥平面ADC B.平面ABC ⊥平面ADB C.平面ABC ⊥平面DBC D.平面ADC ⊥平面DBC 【解析】∵⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒AD ⊥平面BCD 又AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .【答案】 D3.在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD 且底面各边都相等，M 是PC 上一点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】 连接AC ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，因为四边形ABCD 的各边相等，所以AC ⊥BD ，且PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，即BD ⊥PC ，要使平面MBD ⊥平面PCD ，只需PC 垂直于面MBD 上的与BD 相交的直线即可，所以可填DM ⊥PC (或BM ⊥PC )；故填DM ⊥PC (或BM ⊥PC).【答案】 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )4.下列四个命题中，正确的序号有________. ①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ； ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ； ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.【解析】 ③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直.【答案】 ①②5.在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD . 【证明】 如图所示，∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD ⊥CE . ∴∠AEC 为二面角A BD C 的平面角. 在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ， AE ＝AB 2－BE 2＝22a . 同理CE ＝22a . 在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， 由于AC 2＝AE 2＋CE 2，∴AE ⊥CE ，即∠AEC ＝90°， ∴平面ABD ⊥平面BCD .。
[配套K12]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.4 第2课时 两平面垂直学案 苏教版必修2
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1.2.4 第2课时两平面垂直1．了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角．(难点)2．理解并掌握面面垂直的判定定理．(难点、重点)3．掌握面面垂直的性质定理及其应用方法．(难点、重点)[基础·初探]教材整理1 与二面角有关的概念阅读教材P46～P47例1，完成下列问题．1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β.2．一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．【答案】②④教材整理2 平面与平面垂直的判定定理阅读教材P47～P48例2，完成下列问题．平面与平面垂直的判定定理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．(√)(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．(√)(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．(√)(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．(√)教材整理3 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P48例2以下部分内容，完成下列问题．平面与平面垂直的性质定理1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________.【答案】a∥α或a⊂α2．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．【解析】如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能相交．【答案】 平行或相交[小组合作型]面面垂直的判定定理的应用已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：平面MND ⊥平面PCD .【精彩点拨】 欲证平面MND ⊥平面PCD ，只需证明平面MND 中的直线MN ⊥平面PCD 即可，取PD 的中点E ，易知MN ∥AE ，故只需证明AE ⊥平面PCD 即可．【自主解答】 如图，取PD 的中点E ，连结AE ，NE .∵E ，N 分别是PD ，PC 的中点， ∴EN 綊12CD .又AB ∥CD ，AM ＝12AB ，∴EN 綊AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE . ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .又CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AE .在等腰直角三角形PAD 中，AE 是斜边PD 上的中线， ∴AE ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD . 又MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD .∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD .面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．[再练一题]1．如图1－2－91，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D 是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC.图1－2－91【解】由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC.面面垂直性质的应用如图1－2－92，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：图1－2－92(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【精彩点拨】(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可．(2)先证BC⊥平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.【自主解答】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[再练一题]2．如图1－2－93，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．图1－2－93求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA ⊥底面ABCD.(2)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[探究共研型]求二面角的大小探究若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？【提示】关系无法确定．如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F 的大小不确定．如图1－2－94所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P－BC－A的大小.图1－2－94【精彩点拨】先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解．【自主解答】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.又∵BC⊥AC.∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝2，∴在Rt △PAC 中，cos ∠PCA ＝AC PC ＝22， ∴∠PCA ＝45°，即二面角P －BC －A 的大小为45°.解决二面角问题的策略[再练一题]3．如图1－2－95(1)所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠B ＝90°，∠BCD ＝135°.沿对角线AC 将四边形折成直二面角，如图1－2－95(2)所示．(1) (2) 图1－2－95(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ； (2)求二面角B －AD －C 的大小． 【解】 (1)证明：如图，∵∠ACD ＝135°－45°＝90°，∴CD ⊥AC .由已知二面角B －AC －D 是直二面角， 过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ， 由AB ＝BC 知O 为AC 中点， 作OE ⊥AC 交AD 于E ， 则∠BOE ＝90°，∴BO ⊥OE . 而OE ∩AC ＝O ， ∴BO ⊥平面ACD .又∵CD ⊂平面ACD ，∴BO ⊥CD .又AC ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABC . ∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥CD ，由已知∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC .而BC ∩CD ＝C ，∴AB ⊥平面BCD . 又∵AB ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD . (2)由(1)知BO ⊥平面ACD ， ∴BO ⊥AD . ∵BO ∩OE ＝O ，∴AD ⊥平面BOE ，而BE ⊂平面BOE ， ∴AD ⊥BE ，∴∠BEO 是二面角B －AD －C 的平面角． 由已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∴AC ＝2a ，∴BO ＝22a . 由(1)知AC ⊥CD ，∴AD ＝3a . ∵△AOE ∽△ADC ，∴OE DC ＝AO AD，∴OE ＝a ·22a 3a＝66a . 在△BOE 中，tan ∠BEO ＝BO OE ＝22a66a ＝3，∴∠BEO ＝60°，即二面角B －AD －C 的大小为60°.1．已知l ⊥α，则过l 与α垂直的平面有________个．【解析】 由面面垂直的判定定理知， 凡过l 的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．【答案】 无数2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是________． ①m ⊥n ，m ∥α，n ∥β；②m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α； ③m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α；④m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β.【解析】 ∵n ⊥β，m ∥n ，∴m ⊥β，又m ⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β. 【答案】 ③3．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的有________.①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．【解析】当a，b都与l平行时，则a∥b，所以①④错．如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β.又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．【答案】③4．如图1－2－96，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________．(填序号)图1－2－96①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．【答案】③5．如图1－2－97，平面角为锐角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α－EF－β的平面角．图1－2－97【解】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22，所以∠GBH＝45°，故二面角α－EF－β的平面角为45°.。
[配套K12]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学案(含解析)新人教B版必修2
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1.1.4 投影与直观图1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)[基础·初探]教材整理1 投影的概念阅读教材P16～P17“倒数第5段”与P19～P20“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.(2)投影线：光线.(3)投影面：留下影子的屏幕.2.投影的分类(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.(2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形的平行投影一定是矩形.( )(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.( )(3)两条相交直线的平行投影可能平行.( )(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.( )【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 斜二测画法阅读教材P17“倒数第5段”以下～P18以上内容，完成下列问题.1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.( )(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.( )(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.( )(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]如图1145，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)图1145【精彩点拨】利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断.【自主解答】其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.【答案】②③画投影图的关键及常用方法1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.[再练一题]1.在正方体ABCDA′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________.图1146①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.【解析】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，∴四边形AGD ′E 是平行四边形.但AE ＝1，D ′E ＝5，故四边形AGD ′E 不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确.【答案】 ①③按图1147的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图.图1147【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【自主解答】 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③).1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.[再练一题]2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图1148所示.图1148【解】 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②).①(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .②(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.【精彩点拨】 画轴→画底面→画顶点→成图【自主解答】 画法：(1)画轴：① ②画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD .(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”[再练一题]3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.【解析】 (1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.[探究共研型]探究1 断△ABC 的形状？图1149【提示】 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形.探究2 若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？【提示】 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.探究3 若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？【提示】 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .如图1150，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B ′＝∠C ′＝45°，求原四边形的面积.图1150【精彩点拨】 可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积.【自主解答】 取B ′C ′所在直线为x ′轴，因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′为y ′轴，过D ′点作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于点E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图：在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2，过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的实际图形.四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以四边形ABCD的面积S ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段.平行于x ′轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解.3.原图的面积S 与直观图的面积S ′之间的关系为S ＝22S ′.[再练一题]4.如图1151，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )图1151 A.24a 2 B.22a 2 C.a 2 D.2a 2【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.所以S＝a·22a＝22a2.【答案】 B1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A.直角三角形的直观图仍是直角三角形B.梯形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.【答案】 D2.如图1152所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )图1152A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】 D3.如图1153所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.图1153【解析】 画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.【答案】 224.如图1154所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.图1154【解析】 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6. 【答案】 65.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.【解】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图.。
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1.2.1 平面的基本性质1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 平面的概念及表示阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．1．概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．图1－2－12．表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．(2)字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．3．点、线、面位置关系的符号表示如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l .(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． (3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．图1－2－2【解析】 由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.【答案】α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A2．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】④[小组合作型]三种语言的转换(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．①②图1－2－3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图1－2－4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】【自主解答】如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：41292016】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[探究共研型]共线，共点问题探究1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．探究2 如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？图1－2－5【提示】交于一点．证明：连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．如图1－2－6所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．图1－2－6【精彩点拨】 先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .【自主解答】 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．[再练一题]3．如图1－2－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．图1－2－7【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫QR ⊂平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP ⊂平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒ O 为平面BC 1与平面AC 的公共点又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ， ∴O ∈BC ，即O ，B ，C 三点共线．1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述不正确的有________． ①A ∈a ，a ⊄α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α； ③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.【解析】 ①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．【答案】 ①②③④2．如图1－2－8所示，点A ∈α，B ∉α，C ∉α，则平面ABC 与平面α的交点的个数是________个．图1－2－8【解析】 因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC 与平面α的交点有无数个．【答案】 无数3．空间三条直线a ，b ，c ，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个． 【答案】 34．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.① ② ③ ④图1－2－9【答案】④5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．【解】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．。
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线面垂直的判定和性质
（答题时间：40分钟）
1. 有下列说法：
①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直；
②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
③过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A且垂直于a的平面内；
其中错误的是（）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
2. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边
A. ①③
B. ②
C. ②④
D. ①②④
3. 已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC
其中正确的个数是________。
4. 在正四棱锥P—ABCD中，PA AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面
PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条。
5. 如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点，则直线SD与平面ABC的位置关系为________。
6. 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________。
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O。
8. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC。
9. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点。
（1）求证：AB1⊥BF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，
说明理由。
1. A 解析：①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A与直线a垂直的直线都在过点A且与a垂直的平面内，③正确。
2. A 解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直。
3. 3 解析：如图所示。
∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC。
又∵BC⊂平面PBC，
∴PA⊥BC，
同理PB⊥AC、PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC。
4. 无数解析：设正四棱锥的底面边长为a，，
由PM⊥BC，
∴PM=，
a，MN＝AB＝a，
连接PG并延长与AD相交于N点，则PN＝
2
∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN，
又PM⊥AD，PN∩AD＝N，∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直。
5. 垂直解析：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC，
则在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC。
6. 菱形解析：如图，PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA，又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，
AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，
∴ABCD为菱形。
7. 证明：∵E、F分别是棱AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，
又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，
∴EF⊥BB1，
又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O。
8. 证明：∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
又SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，
又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC，
∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD，
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC。
9. 解：（1）证明：连接A1B，则AB1⊥A1B，
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，
∴AB1⊥平面A1BF，又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF；
（2）证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG＝∠DAE，
∴AE⊥BG，又∵BG∩FG＝G，
∴AE⊥平面BFG，
又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF；
（3）解：存在，取CC1中点P，即为所求，连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1。
由（1）知AB1⊥BF，∴BF⊥EP，
又由（2）知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
∴BF⊥平面AEP。