试绘制闭环系统的根轨迹

合集下载

《自动控制原理》第4章根轨迹法(精)

1
G( s) H ( s) 1
G(s) H (s) 1
G( s )H( s ) ( 2K 1 )
还可写成幅值方程
K

| s z
j 1 i
m
j
| 1
| s p
及相角方程
m n
i 1
n
|
(s z ) (s P ) (2K 1)
根轨迹的终点，即当开环增益K=∞时，上式右边为零，对应上式的左边，只有当 S→Zi 时为零，所以根轨迹的终点对应于开环零点，或者说根轨迹终止于开环零点。当n>m时只有m条根轨迹终止于开环零点，由n>m，当S→∞上式可写成
1
S
nm
0
所以，当K→∞时，有
nm 条根轨迹终止于无穷远。
规则4：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段右侧，开环零极点数目之和为奇数。 j
sd
p2 z1 p1
(s Z
j 1
m
j
) (s Pi ) (2K 1)
i 1
n
因此，实轴上根轨迹与复数开环零极点无关（因此它们在相角条件中互相抵消），与实验点左边的开环零极点无关（因为它们提供的相角均为0°），要满相角条件，只有实验点右边的开环零极点数目之和为奇数。例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数

自动控制原理作业综述

解：加热炉采用电加热方式运行，加热器所产生的热量与调压器电压 u c 的平方成正比，U c 增高，炉温就上升，U c 的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压 U f 。U f 作为系统的反馈电压与给定电压U r 进行比较，得出偏差电压U e ，经电压放大器、功率放大器放大成U a 后，作为控制电动机的电枢电压。

在正常情况下，炉温等于某个期望值 T ° C,热电偶的输出电压U f 正好等于给定电压U r 。此时，U e ^U r - U f =0，故U|二山二。，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使U c 保持一定的数值。这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。

当炉膛温度T ° C 由于某种原因突然下降（例如炉门打开造成的热量流失），则出现以下的控制过程：控制的结果是使炉膛温度回升，直至T ° C 的实际值等于期望值为止。

1、自动控制原理作业

解：当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到

开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如下图所示。 2、电炉啟定电压

一 .+

T 3 不汽

第四章根轨迹法习题

第四章根轨迹法

4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()

()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02

+=++=

4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()

411+-+=

s s s K

s G 的根轨迹。

4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()

()1,42)

1(2

=+++=

s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？

4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412

2=++=

s H s s K

s G

4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()

284)

2(2

+++++=

s s s s s s K s H s G 对应-∞

4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()

90020040)4(2

++++=

s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。

b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。 4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.

4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。 ()()()

()1,41)

6(=+++=

s H s s s s K s G

4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：

《自动控制原理》习题及解答04

2
1)
2
2

0
③ 分离点：
1 1 1 1 d d 2 d 3 d 5
用试探法可得 d 0.886 。根轨迹如图解 4-3(b)所示。
58
⑶
G(s)
K (s 1) K (s 1) s(2s 1) = 2s(s 1 )
2
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ,1, 0.5,0
2 渐近线：
a a

0 (4
(2k 1) 3
j2) (4
3 ,
3
j2)

8 3
③分离点：
1 d

d
1 4
j2

d
1 4
j2
0
解之得：d= -2, d= -3.33。 ④与虚轴交点：D(s)=s3+8s2+20s+ K 把 s=j 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
② 渐近线：
a a

3 (1 j1) (1
3
(2k 1) ,
3
3
j1) (2)

1
61
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D（s）=s(s+3)(s2+2s+2)+ K (s+2) =0 把 s=j 代入上方程，令

自动控制第五章根轨迹法

8
绘制根轨迹的基本条件
s p
根轨迹的幅值条件：
n
sz
j 1
i 1 m
i
K1
j
负反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q 1)
j 1 j i 1 i
m
n
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q)
K1 b
j Kc
K1

Kc
或者：
K1
19
绘制根轨迹规则
方法二：试探法设分离点的坐标为d：
n 1 1 i 1 d zi j 1 d p j m
分离角为：
20
绘制根轨迹规则
法则6：根轨迹的出射角和入射角：在开环复数极点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的出射角；在开环复数零点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的入射角。出射角:从复数极点出发的角度
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性开环极点分别为：系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1

(3)根轨迹的渐近线

自动控制原理答案黄坚习题详解

第二章自动控制系统的数学模型习题

2-1 试建立图示电路的动态微分方程。

解：（a ）解法一：直接列微分方程组法

⎪⎩⎪⎨⎧-==+O i C O C C u u u R

u R u dt du C 21

i i O O u CR dt du u R CR R R dt du 1

21211+=++⇒ 解法二：应用复数阻抗概念求

)()(11)(11s U s I Cs R Cs R s U O i ++= （1） 2

)()(R s U s I O = （2）联立式（1）、（2），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U i o 2

12112)1()()

(+++= 微分方程为: i i

o u CR dt du u R CR R R dt du 1

212

11+=++ （b ）解法一：直接列微分方程组法

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+===C

C i O L C O L L L u R u dt du C R u u u u R u i dt di L u

)(212 (a) (b) + u C -

o o

o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++⇒

解法二：应用复数阻抗概念求

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)(]1)()([)()

()()(2122

s U sC s U R s U R s U Ls R R s U s U C

C O i O C

)()()()()()(221212

1s U R s U R R s sU C R R L s U LCs R i

控制理论作业二答案

第

三

章

3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 36

936

++=

s s G B 。试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？

解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。上升时间 t r

峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％

3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为

试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。根据题目给出条件可知闭环传递函数为

与二阶系统传递函数标准形式2

222n

n n s s ωζωω++相比较可得12,12

==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为

3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τ

K,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,n

ω 由系统结构图可得闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得

由题目给定： %25%100%2

1=⨯=--ζζ

πδe

即 25.02

1=--ζζ

πe

两边取自然对数可得依据给定的峰值时间： 5.012

=-=

ωπn m t （秒）

自动控制原理简明教程第四章根轨迹法习题答案

(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
G(S)
S
(S
Sa 2)(S
4)
8S (
a( S 1) a
S 1)(S
1)
24
则为Ⅰ型系统，开环增益为：k a
8
则：ess
1 k
8 a
0.5
则：a 16
a 的取值范围为 16 a 54
二.系统结构如下图所示：
1.绘制T从 0 变化的根轨迹。
2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 4
解得： d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
根轨迹与虚轴的交点 : S j 代入特征方程
( j)3 6( j)2 9 j 4k 0

自控控制原理习题王建辉第4章答案

4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析?

4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹?

4-3 绘制根轨迹的依据是什么?

4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件?

4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？

4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。 (1))

2)(1()

3()(+++=s s s K s W g K (2))2)(3()5()(+++=s s s s K s W g k (3) )10)(5)(1()

3()(++++=s s s s K s W g k

解：第（1）小题由系统的开环传递函数)2)(1()

3()(+++=s s s K s W g K 得知

1．起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 11-=-p 、22-=-p

2．终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z

3．根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。

4．实轴上的根轨迹区间为3~-∝-和1~2--

5．分离点与会合点，利用公式

12111=+-+++d d d ()()()()()()()()()

0321213132=+++++-+++++d d d d d d d d d 即：0762

=++d d

解上列方程得到：586.11-=d ，414.42-=d

根据以上结果画出根轨迹如下图：

解：第（2）小题由系统的开环传递函数)2)(3()

5()(+++=s s s s K s W g K 得知

1．起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 00=-p 、21-=-p 、32-=-p

自动控制原理模拟题与答案

学习中心

姓名学号

西安电子科技大学网络与继续教育学院

《自动控制原理》模拟试题一

一、简答题（共25分）

1、简述闭环系统的特点，并绘制闭环系统的结构框图。(8分)

2、简要画出二阶系统特征根的位置与响应曲线之间的关系。(10分)

3、串联校正的特点及其分类？(7分)

二、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为

K K，试确定使系G(s)

s(s24)

统产生持续振荡的K值，并求振荡频率。(15分)

三、设某系统的结构及其单位阶跃响应如图所示。试确定系统参数K,K2和a。

1 (15分)

四、某最小相角系统的开环对数幅频特性如图示。要求（20分）

1）写出系统开环传递函数；

2）利用相角裕度判断系统的稳定性；

3）将其对数幅频特性向

右平移十倍频

程，试讨论

对系响。五

、设单

位反馈系

数为 G(s)

K s(s 1) 试设计一串联超前校正装置，使（25

分）（1）在单位斜坡输入差e ss 115；（2

）截ωc ≥7.5(rad/s)；（3）相角裕度γ≥45°。模拟试题一

一题 1

、简述闭环系统的

特点，并绘制闭环系统的解：闭环

系统的闭环系统的特点：

闭环

控

制系统的最大特测偏差、纠正偏差。 1)由于增加了

反,系统的控制精度得到了提高。 2)由于存在系统的反馈,可以较好地抑制系统各环节存动

和由于器件的老化而引起的结构和参数的不确定性。

3)反馈环节的存在可以较好地改善系。 2、简要画出二阶系统特征根的位置与响应系。解：

3、串联校正的特点及其分类？

答：串联校正简单,较易实现。设于前向通道中能量低的位置，减少功耗。主要形式有相位超前校正、相位滞后校正、相位滞后-超前校正。

自动控制原理胡寿松第四章根轨迹法

a
11
下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图。
已知负反馈系统开环零极点
分布如图示。
j
在s平面找一点s1 ，画出各开环零、极点到s1点的向量。
p2 2
1 z1
检验s1是否满足幅角条件：
p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
？？ = 1 1 2 3 = (2k+1)
点)。
Kg A
Kg=0 p1
j j1
Kg z1
0
p2 Kg=0
a
25
分离点的性质：
1）分离点是系统闭环重根； 2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，
或以共轭形式成对出现在复平面上； 3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可
为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；
j
0
4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分
i1
j1
式中，k=0，±1，±2，…（全部整数）。
（4-6）通常称为180 根轨迹；（4-7）称作 0 根轨迹。
根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点
对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的

第四章控制系统根轨迹绘制

第四节控制系统根轨迹分析
Tuesday, December 16, 2014
1
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“ “ ”； ”和零点○ 确定实轴上的根迹区间；画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
(2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角：出射角 (2k 1) （从其他极点到该极点的矢量幅角）
Tuesday, December 16, 2014
21
绘制参数根轨迹的规则与绘制一般根轨迹的规则完全相同。只是在绘制参数根轨迹之前，需将控制系统的特征方程进行等效变换，写成符合于以非开环增义系数的待定参数k′为可变参数时的标准形式，即： M (s) 1 k N (s) 其中M ( s ), N ( s )都是复变量s的多项式； k 是可变参数，而且它们必须满足方程： N ( s )＋k M ( s )＝1＋G ( s ) H ( s )＝0
按照以前讲过的规则，绘制出根轨迹图
Tuesday, December 16, 2014
24
从根轨迹图可知：
若使系统稳定，待定参数的取值范围是
T 0 kT 1
注意：根轨迹中将有一个分支起始于无限极点

自东控制原理题库

1. 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从0→∞的根轨迹，并写出b=2时系统的闭环传递函数。

(1)

(2)

答案:[提示] 求等效开环传递函数，画根轨迹。(1)分离点坐标：d1=-8.472，d2=0.472(舍)，出射角θp=153.4°；(2)两支根轨迹，分离点的坐标-20

2. 已知系统的开环传递函数为

(1)确定实轴上的分离点及K*的值；

(2)确定使系统稳定的K*值范围。

答案:(1)实轴上的分离点d1=-1，d2=-1/3，对应的K*1=0，K2*=22/27；(2)稳定范围0＜K*＜6

3. 设单位负反馈系统的开环传递函数如下：

(1)绘制系统准确的根轨迹图；

(2)确定使系统临界稳定的开环增益K c的值；

(3)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。

答案:(1)分离点坐标：d1=-79(舍)，d2=-21；(2)K c=150；(3)K=9.6

4. 设单位负反馈控制系统开环传递函数已知，要求：

(1)确定产生纯虚根的开环增益K；

(2)确定产生纯虚根为±j1的z值和K*值。

答案:(1)用劳斯判据求临界稳定点得K*=110，化成开环增益K=11

(2)将±j1任一点代入闭环特征方程得K*=30，z=199/30

5. 反馈系统的开环传递函数为

试用根轨迹法确定出阶跃响应有衰减的振荡分量和无振荡分量时的开环增益K值范围。

答案:[提示] 特征根全为负实数时无振荡分量，为复数时有振荡分量

6. 已知系统的特征方程为

(1)s3+9s2+K*s+K*=0 (2)(s+1)(s+1.5)(s+2)+K*=0

(电气连续与离散控制系统)第6章根轨迹法

极点数n时，确定(n-m)条根轨迹沿什么方向趋
于[s]平面的无穷远处。渐近线是指向无穷远
处的射线。
n
m
Re(Pj) Re(Zi)
渐近线与实轴的交点： j1
i1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角：
(2 n l 1 m ), l0 ,1 , ,(nm ) 1
2020/7/21
根轨迹的渐近线（续）
只要系统的n-m相同，其夹角是相同的，只是不同的系统σ不同。下面给出常见情况的渐近线形式。
解：注意原点处为两个开环极点。
(P1,+∞) (P2, P1)
2020/7/21
(-∞, P4)
(Z1, P2) (P4, Z1)
规则六：根轨迹与实轴的交点
• 如果某区间是实轴上的根轨迹，则有三种运动情况：
– 如果两端点为同性奇点，又分为两种情况。
• 同为开环极点，两个分支在k=0时分别从两个端点出发，然后相向运动。他们只能在某一点相遇且自此分开进入复平面去找零点，故称该点为分离点。
征方程为： 1+ G(s)=0 ，则G(s)= -1=ej(2l+1)π
模条件 |G(s)|1
角条件 G (s)(2l1), l为整数
m
G(s)
k (s i 1 n
Zi)
(s
j 1
Pj

胡寿松自动控制原理习题解答第四章

4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数

)(+=∗

s K s G

试用解析法绘出∗

K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（－２＋ｊ０），（０＋ｊ１），（－３＋ｊ２）解：

有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。根轨迹如图中红线所示。

（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１），（－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。

4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数

)

12()

13()(++=

s s s K s G

试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解：

系统开环传递函数为)

2/1()

3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=

s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。

根轨迹如图中红线所示。

4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

图4-28 开环零、极点分布图

4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：　

(1) )

15.0)(12.0()(++=s s s K

s G

解：

系统开环传递函数为)

2)(5()2)(5(10)(++=

++=s s s K s s s K

s g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。分离点坐标计算如下：

051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d

控制系统的一般根轨迹的绘制法则

根轨迹如下图(a)所示。G2 (s)H2 (2) 的零极点和 G1(s)H1(2) 互易，开环传递函数互为倒数，G2 (s)H2 (s) 中 k2 : 0 变化时的根轨迹图如下图(b)所示，它和图
(a)的根轨迹是重合的，但根轨迹增益增大时根轨迹的方向相反。
j 0.5
j 0.5
控制系统的一般根轨迹的绘制法则
自动控制原理A
例 4-2-3：系统如图，试绘制闭环系统 k : 0 的根轨迹。
r
k
c
s(s 1)(s 2)
解：准备工作：根轨迹方程为
1
k
0
s(s 1)(s 2)
法则 1：有三条分支；
法则 2：分别起始于开环极点 p1 0 、 p2 1 、 p3 2 ，终止于无穷远处；
即
两边取正切函数有
180o s1 (s1 2) (s1 5) (s1 3)
tg 180o s1 (s1 2) tg s1 (s1 2) tg (s1 5) (s1 3)
应用两角和差的正切公式，并将 s1 0.5n j0.866n 代入有
0.866n 0.866n
0.866n 0.866n
0.5n 0.5n 2 1 0.866n 0.866n

0.5n 5 1 0.866n