2018年高考数学立体几何试题汇编
高三数学-1990——2018年高考立体几何试题汇编 精品
1990——2018年高考立体几何试题汇编
(90全国)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，
GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
（92理）两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n
（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面
ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.
（94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。
(1)求证：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD
的距离
（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.
(Ⅰ)求证:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之立体几何
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）
专题09立体几何与空间向量
本专题考查的知识点为：立体几何与空间向量，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积与体积，多面体与球的切接问题，空间向量的应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以空间向量的应用，空间几何体的性质为重点较佳.
1．【2020年北京卷04】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
A．6+√3B．6+2√3C．12+√3D．12+2√3
2．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1B．2C．3D．4
3．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3√2B．2√3C．2√2D．2
4．【2016年北京理科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．1
6B．1
3
C．1
2
D．1
5．【2015年北京理科04】设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．【2015年北京理科05】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+√5B．4+√5C．2+2√5D．5
7．【2014年北京理科07】在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D （1，1，√2），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
2012_2018高考文科数学真题汇编_立体几何高考题老师版
3.(2014浙江文) 设m 、A.若n m ⊥，α//n ，则m C.若β⊥m ，β⊥n ，n
1
A.12π π12（2012广东文）某几何体的三视图如图 72π ()B ()A 13．（2013广东文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（1侧视图
正视图2
1
．23
D ．1 一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（
A .168π+
B .88π+ 【答案】A
18、（2016年天津）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如
图所示，则该几何体的侧（左）视图为（
ABCD
平面ABB
平面
A）
3
2
（B
（A）20π（C）28π（D）32π
22、（2016年全国III卷），粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B
（A）18365
+
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为26. (2017·全国Ⅲ文)已知圆柱的高为
A．60 B．30 C．20 D．10
29．(2017·全国Ⅰ文)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球
1．【答案】36π【解析】如图，连接OA，OB.由SA＝AC
31.(2012新标文)如图，三棱柱ABC A
中点。
PABCD中，AB∥CD，且∠
由(1)知，AB⊥平面
设AB＝x，则由已知可得
∥平面（Ｉ）求证：AP BEF
,,22
AC OE AC MD OE ∴， ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE MO .
A MC MO ⊂A MC ，所以直线平面1A MC ，使得直线DE 平面1A MC .
2018年高考真题理科数学解析分类汇编7立体几何
2018年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何
一、选择题
的边长为1，粗1.【2018高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形
线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9
()C 12 ()D 18
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选 B. BC=2。将△2.【2018高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，
沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
【答案】C
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．
3.【2018高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 2
【答案】A
【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒
点S 到面ABC 的距离为2d =
此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ∆=⨯=⨯=
另：123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A. 4.【2018高考四川理6】下列命题正确的是（ ）
立体几何(解答题)-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题06立体几何（解答题）
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= 2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
π
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B−EB1C1F
3
的体积．
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体ABCD A 1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE ED1，BF 2FB1．证明：
（1）当AB BC时，EF AC；
（2）点C1在平面AEF内．
4．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
5．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；
（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
2018年高中高考数学分类理科汇编
2018年高考数学真题分类汇编
学大教育清校区高数组
2018年7月
1
-i
复
数
1.（2018全国卷1理科）设Z
2i
则Z
（
）
1
1
i
B.
D. 2
2
2（2018全国卷2理科）
1
2i (
)
1 2i
A. 4
3i B.4
3i C.
3
4i
D.
34
i
5
5
5
5
5
5
5
5
3（2018全国卷3理科）1
i 2i （
）
A.3
i
B.
3 i
C. 3 i
D.
3i
4（2018卷理科）在复平面，复数
1
的共轭复数对应的点位于（
）
1 i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5（2018天津卷理科） i 是虚数单位，复数
6
7i
.
1 2i
6（2018卷）若复数z 知足i z1 2i ，此中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．
7（2018卷）已知复数z 知足（1 i)z 1 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ．
会合
1.（2018全国卷1理科）已知会合A x|x2x20则C R A=（）
A.x|1x2
B.x|1x2
C.x|x1x|x2
D.x|x1x|x2
（全国卷
2理科）已知会合
A=
2
y2
3,x
，
y Z
则中
22018x,yx Z
元素的个数为（）
3（2018全国卷3理科）已知会合A x|x1≥0，B0，1，2，则A B（）A.0B．1C．1，2D．0，1，2
4（2018卷理科）已知会合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB()A.
{0，1} B.{–1，0，1} C.{–2，0，1，2} D.{–1，0，1，2}
5（2018天津卷理科）设全集为R，会合A{x0x2}，B{xx1}，则A(C R B)=()
2013-2018年上海高考试题汇编-立体几何(带参考答案)
近五年上海高考试卷汇编——立体几何
（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．
答案：arcsin
（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）
（A ）1
（B ）2 （C ）3
（D ）4
答案 C
（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，
E
是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：
（1）三角形PCD 的面积．
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．
答案：（1）
（2）
4
π
（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知
2
BAC π
∠=
，2AB =，AC
=2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积．
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）
答案：（1）
（2）3
arccos 4
（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下
底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为
6
π
，则
l
r
= ．
（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为
23
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题09 立体几何与空间向量选择填空题 理(含解析)
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06
单选题2016空间向量在立体几何中的应
用2016年新课标1理科11
单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06
单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11
单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12
单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06
单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08
单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07
单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11
单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06
单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10
填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16
填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15
填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)
A．8πB．4πC．2πD．π
【解答】解：如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何
（含参考答案）
一、选择题
1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ．
B ．
C ．
D ．
5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2
35
7
6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十一、立体几何
一、多选题
1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C -的体积为定值
C ．当12
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
二、单选题
2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD
B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD
B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD
D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD
B 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
试卷第2页，总30页
A ．32
B ．3 C
．2 D
．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A
．12 B
C
．4 D
5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编---立体几何
2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编-----立体几何
1.(成都七中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )B
A. B. C. D.
【解析】
由三视图可知，该三棱锥是长方体的一部分，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该棱锥外接球的直径等于长方体的对角线长，所以球的半径，则外接球的体积，故选B.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
2.（成都七中模拟）祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相
等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于________.
2018-2022五年全国高考数学立体几何真题分类汇编(解析版)
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题21立体几何解答题
一、解答题
1．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：AB MN ⊥；
条件②：BM MN =．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解析:(1)取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，
由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，
而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，
而MK ⊄平面11CBB C ，1BB ⊂平面11CBB C ，故//MK 平面11CBB C ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11CBB C ，
而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，
故平面//MKN 平面11CBB C ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11CBB C ，
(2)因为侧面11CBB C 为正方形，故1CB BB ⊥，
而CB ⊂平面11CBB C ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，
平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十一、立体几何
一、多选题
1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C -的体积为定值
C ．当12
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
二、单选题
2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD
B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD
B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD
D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD
B 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．32
B ．3
C ．2
D ．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A ．12
B
C ．4
D 5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为
E ，
F ，
G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
五年(2018-22)高考文科数学真题类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题19 立体几何单选题(练习版)
39．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第3题)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
( )
40．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第9题)在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
34．(2019年高考全国Ⅱ文·第7题)设α，β为两个平面，则 的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．平面 平面 D．平面 平面
12．(2021年高考浙江卷·第6题)如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则( )
( )
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
13．(2021年高考浙江卷·第4题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) ( )
( )A B． C． D．
18．(2021年全国高考乙卷文科·第10题)在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为( )
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理(含解析)
专题10立体几何与空间向量解答题
历年考题细目
表
解答题2011空间向量在立体
几何中的应用
2011年新课标1
理科18
解答题2010空间角与空间距
离
2010年新课标1
理科18
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE;
（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F
分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明:由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，,
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十一、立体几何
一、多选题
1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C -的体积为定值
C ．当12
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
二、单选题
2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD
B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD
B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD
D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD
B 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
试卷第2页，总30页
A ．32
B ．3 C
．2 D
．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A
．12 B
C
．4 D
5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
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2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217
B ．25
C ．3
D ．2
18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点
D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==
，求三棱锥Q ABP -的体积．
全国1卷理科
理科第7小题同文科第9小题
18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点
P 的位置，且PF BF ⊥.
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
全国2卷理科：
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15
B ．
5 C ．
5
D ．
2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
--为30︒，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C
全国3卷理科
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
19．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC
-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
2018年江苏理科：
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．
2018年北京：
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（16）（本小题14分）如图，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC =5，AC =1AA =2．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交． 2018年浙江：
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3
）是
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
19．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，
AB =BC =B 1B =2．
（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；
（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 2018年上海
17.已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半轻为2 1.设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积
2.设4,,PO OA OB =是底面半径,且90o AOB ∠=,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小