高中数学复习专题讲座(第一讲)一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系关系
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
0
计算判 别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a ) 有两不相等实根.设为x、x，且x x
求根
画图
写出不等 式解集
ax bx c 的解集
, x x,
ax2 bx c 0的解集
x1, x2
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0
解 (1) 图像如下图所示：
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示范例题
例5 利用在上例学到的知识，解不等式8������2 − 2������ − 3 > 0 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
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示范例题
例6 解不等式 − ������2 + 2������ − 2 > 0
计算判 别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
有两相等实根
.设为x
x
b a
求根
画图
写出不等 式解集
ax2 bx c 0的解集
, b b ,
2a 2a
ax2 bx c 0的解集
是空集
o x1=x2
������ ������
(−∞,
x
−
������������)
∪
(������������
,
+∞)
∅
y
(−∞, +∞)
o
x
∅
返回
示范例题
例8 解下列不等式. 1 2������2 − 5������ + 2 ≤ 0
返回
示范例题
例8 解下列不等式. 2 ������ ������ + 8 > 4 ������ − 1
高中数学 一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义 新人教A版必修一第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？ 不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解 不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=， 当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解 对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解 原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解 原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】 课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六 课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系.doc
课题二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系教学知识目标理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集 .目标能力目标培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想 .情感目标培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.教学正确理解三个二次之间的关教学探索三个二次之间关系的过程 .系.重点难点教法讲授法、讨论法 .学法课后反馈教学环节及内容设计思路一、知识回顾复习一元二次不等一般地，我们把含有一个未知数，并且未知数的最高次式的定义，教师提问，学数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．生回忆口答 .其一般形式为ax2 bx c 0 或 ax 2 bx c 0其中 a, b,c 为实数，且 a 0.能使一元二次不等式成立的未知数x 值的集合叫作一元二次不等式的解集．二、探索新知1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系观察二次函数 y x22x 3 的图像(如图).当x 1或 x 3 时，函数图像在x轴上方， y 0 ；当x1 或 x 3 时，函数图像在x轴上， y 0；从一个具体的二次函数入手，用“五点法”画出二次函数的草图，通过观察图像，建立相应的一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，从而解决相应的一元二次方程的根和一元二次不等式的解集 .师生合作，以问题串的方式层层解决 .当 1 x 3 时，函数的图像都在x 轴下方，y0.(1)方程x22x 3 0 的解是二次函数y x22x 3 的图像与 x 轴交点的横坐标，即x1 1 ， x2 3 .(2)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3的图像位于x 轴上方部分的点的横坐标x 值的范围，即, 1 U 3,.(3)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3 的图像位于x 轴下方部分的点的横坐标x 值的范围，即1,3 .一般地，当 a 0 时，函数 y ax 2bx c ，方程ax 2bx c 0 ，不等式 ax2bx c 0 ， ax2bx c0 之间的关系如表所示 .000学生通过小组合作分析、交流，以表格的形式梳理归纳三个两次之间的关系，有助于学生的理解 .二次函数y ax2 bx c 的图像( a 0 )一元二次方程ax2bx c0 的根( a 0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的集合( a0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的集合( a0 )一元二次不等式ax2bx c ⋯0的解的集合( a0 )一元二次不等式ax2bx c , 0的解的集合有两个实根有两个相等x x1或 x x2实根无实根( x1x2)x x1x2( , x1 ) U ( , x1) U ( , )( x2 , ) (x1, )(x1, x2 )例 1 是根据一元二次不等式的定义判断一元( , x1 ] U ( , ) 二次不等式 .教师采取抢[ x2 , ) ( , ) 答的形式来调动学生学习的积极性 .[ x1, x2 ] x1( a0 )若a 0 ，将一元二次不等式两边同时乘以 1，从而转化成a 0 的情况解决，但注意不等号要改变方向 .2.例题分析例 1判断下列式子哪些是一元二次不等式：(1) 2x2 3x 4 0 ；(2) x 3 2 ；x(3) x2 5x 0 ；(4) 2x 2 3x 2 ；(5)x22x 5 0 ；(6) 2x2x 10 .解(1)不是 .(2)不是 .(3)是 .(4)是 .(5)是 .(6)不是 .例 2 写出下列一元二次不等式对应的一元二次方程和二次函数，作出对应二次函数的图像，观察二次函数图像，例 2 和例 3 是在探究写出一元二次不等式的解集．三个二次之间关系的基(1) x2 3x 0 ；(2) x2 2x 1 0 .础上，对具体问题的应用 .解 (1)对应的一元二次方程为x2 3x 0 . 教师引导对二次函数图对应的二次函数为 y x2 3x . 像的观察，重点是根据图像解决不等式的解集，学函数 y x2 3x 的图像如图(1)所示.生讨论操作，师生一起总可以看出，二次函数图像在x 轴下方的点的横坐标的范结解题的思路和书写格围为 0 x 3 ，所以一元二次不等式 x2 3x 0 解集为0,3 .式.(1) (2)(2)对应的一元二次方程为x2 2x 1 0 .对应的二次函数为y x2 2x 1.(2)所示．函数y x2 2x 1的图像如图可以看出，二次函数的图像在x 轴上方的点的横坐标的1 ，所以一元二次不等式x2 2x 1 0 的解范围为x 1或x集为,1 U 1, .例 3 写出不等式x2 13x 30 ,0 对应的一元二次方程，作出对应的二次函数的图像，并写出不等式的解集．解对应的一元二次方程为x213x 300 .2对应的二次函数y x 13x30 .函数 y x213x 30 图像如图所示.观察图像知不等式的解集为3,10 .三、巩固练习1.判断题(1)二次函数就是一元二次不等式.()(2)如果二次函数y3x22x 5 的图像与x轴没有交点，那么方程 3x22x 5 0 无解.()(3) 如果方程3x2 2x 5 0 无解，那么不等式3x2 2x 5 0 无解. ()(4)不等式x2 4x 5 0 可以转化为 x2 4x 5 0 .()2.写出下列不等式对应的二次函数，作出对应函数的图像，观察函数图像，并写出不等式的解集．(1)x2 2x 3 ⋯0 ；(2)x2 3x 4 0 .练习由学生自行完成，判断由学生口答，解答题请学生板演解题过程，请其他学生补充点评 .通过归纳本节所学知识，帮助学生梳理三个二次之间的关系 .学生总结，教师补充 .四、归纳小结二次函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带” ，是“数形结合”数学思想方法的重要“载体” .通过本节课能掌握用二次函数的图像解决一元二次方程及一元二次不等式问题 .五、课后作业1.阅读教材章节练习册。
高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系
高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳1 二次函数的基本性质二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q )若－ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b2)=m ; 若－ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小Ûa ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r Ûïïîïïíì>×>->-=D 0)(,2,042r f a r a bac b(3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根ïïïîïïïíì>×>×<-<>-=D Û;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根Ûf (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )Ûîíì>×<×0)(0)(q f a p f a3 二次不等式转化策略二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是的解集是+)生可能走入误区，老c)=4)3))4[()]))c13,3115,22或≤∵21-1oyx1oyx925=2－3 解析解析 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3, 23) 答案答案 (－3，23） 4 解析解析 由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 答案－2＜x ＜05 解 (1）由log a 33log ay a t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -, ∴log a y =x 2－3x +3，即y =a332+-x x (x ≠0) (2)令u =x 2－3x +3=(x －233)2+433(x ≠0),则y =a u①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值上不存在最大值②若a >1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16∴所求a =16,x =23 6 解 ∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意轴两侧，符合题意(2）当m >0时，则ïîïíì>-³D 030mm 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0} 7 证明证明 (1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m mpf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m )＜0 (1(1+m m )(1+m m ,1)－65)。
二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系
21.3二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是.【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3;(2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。
实践与探索二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程、不等式的关系——教学反思用函数观点看一元二次方程、一元二次不等式通过探讨二次函数与一元二次方程、不等式的关系，再次展示函数与方程、不等式的联系。
一方面可以深化我们对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。
本课时的教学目标是：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
教学的重点在于二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集。
难点在于一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
教学过程一、创设情境：激发学生的学习兴趣二、实践与探索：问题一：给出特定的二次函数解决问题问题二：对于一般二次函数让学生小组讨论总结归类，列出表格。
检测学生学习结果，通过“练一练”。
问题三：拓展练习，让学生对知识融会贯通。
回顾与总结：学生谈收获，教师点拨：二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用；利用二次函数图像求一元二次方程的实数根教学反思：本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。
不足之处是：有少部分学生对函数与方程之间的关系有点费解。
通过了解发现：这部分同学对二次函数和方程的关系不熟悉，也就是数学基础不扎实，还有就是数形结合能力差，也就是不能建立数与形之间的联系。
基于此我认为要让此类学生先从基础做起，一点一点提高，在教学设计上要分层次，从易到难，符合学生接受知识的常规思路。
这是一个循序渐进的过程。
只是简单说一下,我只说当a>0时的情况，a<o时前面添负号就是┌----------------------------------------------------------------------------------------------------┐│图形与X轴交点个数│ 0 │ 1 │ 2 ││-----------------------------------------------------------------------------------------------------│二次函数y=ax²+bx+c │ △<0 │ △=0 │ △ <0 ││------------------------------------------------------------------------------------------------------│二次方程ax²+bx+c=0 │ 方程无实根│ X=-b/2a │ x=﹙-b±√△﹚／2a ││-----------------------------------------------------------------------------------------------------│二次不等式ax²+bx+c>o │ R │ x≠-b/2a │ x ＜x1或x＞x2 │└-----------------------------------------------------------------------------------------------------┘x1,x2是方程两根相同：(1)表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式；(2)它们都含有类似的代数式：ax²+bx+c ；(3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元)；(4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次。
二次函数与一元二次方程的关系课件
二次函数的对称性
二次函数的对称性是指二次函数图像关于某条直线对称的性 质。对于一般的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称 轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有 重要意义。例如，在解决几何问题时，可以利用二次函数的 对称性找到对称点或对称线。
一元二次方程的定义
总结词
只含有一个未知数且未知数的最高次 数为2的方程
详细描述
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a neq 0$。它是 一个方程，包含一个未知数$x$，且 $x$的最高次数为2。
二次函数与一元二次方程的关系
总结词：转化关系
详细描述：对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，如果我们将它等于0，即$ax^2 + bx + c = 0$，那么它就转化为 一元二次方程。此时，函数的图像与x轴的交点即为方程的根。
04
二次函数与一元二次方 程的解题技巧
如何解一元二次方程
因式分解法
如果一元二次方程可以写成两 个一次因式的乘积等于零的形 式，则可以通过因式分解法求
解。
配方法
将一元二次方程转化为一个完 全平方等于一个常数加一个线 性项的形式，然后求解。
公式法
对于一般形式的一元二次方程 ，可以使用求根公式求解。
十字相乘法
递增。
04
当 $a > 0$ 时，函数在区间 $(-infty, -frac{b}{2a}]$ 上单调递增，在区间 $[-frac{b}{2a}, +infty)$ 上单调 递减。
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系的应用ppt课件
——直线与抛物线的位置关系的判断
`.
1
已知二次函数y=x2-2x-3 ，求
1. (1) x为何值时，y=0，即x2-2x-3=0; (2) x为何值时，y>0, 即x2-2x-3>0; (3) x为何值时，y<0, 即x2-2x-3<0
2
(1) x为何值时，y=0，
k=-3 （2）k为何值时，
y1与y2有两个交 点。
k>-3
12
总结：
判断直线与抛物线的交点情况： （1）联立方程组 （2）转化为一元二次方程 （3）再用判别式判断根的个数即为交点个 数。
13
思考题
1.若不等式x2-2x-3k>0的解集是全体实数，求k 的取值范围。
2.函数y1=│x2-2x-3│与函数y2=-2x+k （1）k为何值时，y1与y2只有一个交点； （2）k为何值时，y1与y2有两个交点； （3）k为何值时，y1与y2有三个交点； （4）k为何值时，y1与y2有四个交点。
(3) x为何值时，x2-2x-3>-2x+1；
8
9
10
(2) x为何值时， x²-2x-3<-2x+1；
-2<x<2
(3) x为何值时， x²-2x-3>-2x+1；
x>2 或 x<-2
11
y=-2x+k
4.抛物线y1=x2-2x-3 与直线y2=-2x+k
（1）k为何值时， y1与y2只有一个 交点；
即x2-2x-3=0;
x=-1;x=3
(2) x为何值时，y>0,
即x2-2x-3>0;
x<-1或x>3
【数学】一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系
若Δ =0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：
若Δ <0，该方程在实数域内无解，但在虚数域内有两个共轭复根，为
（不需要记住，这是在大学里需要学的）
一元二次方程的根与系数的关系：（也称为韦达定理，其逆定理也成立） 【知识要点】
1．如果方程
(a≠O)的两根为 ，m，积为 n，则以这两个数为根的一元二次方程为
判别式希腊字母音译为戴尔塔0该方程在实数域内无解但在虚数域内有两个共轭复根为不需要记住这是在大学里需要学的一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程
(1)一般形式：
；(2)配方式：
；(3)两根式：
求解过程（即证明过程，采用配方法）：
→
→
判别式Δ （希腊字母，音译为戴尔塔）
若Δ >0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：
3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根 4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式
5．当一元二次方程
(a≠O)有两根 ， 时：(1)若
，则方程有一正一负根；(2)
若
，
，则方程有两个正根；(3)若
，
，则方程有两个负根
一元二次方程式、二次函数之间的关系（高中部分）：
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 高中数学必修一 总复习课件
练一练
【1】
当
1 2
≤
x
≤
2时，不等式ax
2
2
x
2
0恒成立，
则实数a的取值范围是________．
【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数
k的取值范围为_____________.
【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且 0, 1 2,
则实数m的取值范围是____________.
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系
Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
Δ>0
Δ=0
y
y
x1 o x2 x
o x1
x
方程ax2+bx 有两不等实 有两相等
+c=0的根
根x1, x2 实根x1=x2
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1, x>x2} {x|x≠x1}
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
【例1】
已知函数
y
x2
ax
a 4
1 2
在区间[0,
1]
上的最大值是2，求实数 a 的值.
[练一练]已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t, t+1] 上的最大值h(t).
例2.设不等式 mx2-2x- m+1<0 对于满足|m|≤2的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切
Δ<0
y
2
o1 x
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式3二次函数与一元二次方程不等式第1课时课件新人教必修一
程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1 的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个 不相等的实数根．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
[课程目标] 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存 在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的 关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的 过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次 函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程 的联系；
所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点 的____横__坐__标____；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次 方程、不等式的解集的对应关系：
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0 恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0， 得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求 根公式得另一个根为－2.
例1 教材拓展求下列不等式的解集：
R __∅__
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联 系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二 次方程．
二次函数与二次方程、二次不等式的关系(推荐文档).docx
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理知识点 1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠ 0)的函数值 y=0 时，就是一元二次方程，当y≠ 0 时，就是二次不等式。
知识点 2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函数 y=ax 2＋ bx＋c 图象与 x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2＋bx＋ c=0 的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
知识点 3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：△ =b 2﹣4ac△＞0△ =0△＜0二次函数y yxyx xy=ax2+bx+c(a ＞ 0)的图像O OO一元二次方程ax2+bx+c=0(a ＞ 0)的根一元二次不等式2一元二次不等ax2+bx+c ＜ 0(a＞ 0)的解集bx1,22ax ＜x1或 x ＞x2（x1＜ x2）x1＜x＜ x2（x1＜ x2）bx2abx2a无解无实数根x为全体实数无解二、精典题型剖析y=x2－（ m－ 3） x－ m 的图象是抛物线，如图例 1、已知二次函数（1）试求 m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当 m 为何值时，方程 x2－（ m－ 3）x－ m=0 的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为 M ，与 x 轴的交点 P、 Q，求当 PQ 最短时△ MPQ 的面积．a b c变式训练：1、函数 y=ax 2－ bx＋c 的图象过（－ 1，0），则b c c a a b 的值是________ 2、已知二次函数y=x 2-2x+3.(1)若它的图像永远在 x 轴的上方，则 x 的取值范围是 __________;(2)若它的图像永远在 x 轴的下方，则 x 的取值范围是 __________;(3) 若它的图像与x 轴只有一个交点，则 x 的取值范围是 __________.3、已知二次函数y=x2＋ mx ＋ m－ 2．求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个交点．4．已知二次函数y=x 2－ 2kx ＋ k2＋ k－ 2．（1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5．已知抛物线y=mx 2＋（ 3－ 2m） x＋ m－ 2（ m≠0）与 x 轴有两个不同的交点．（1）求 m 的取值范围；（2）判断点 P（ 1， 1）是否在抛物线上；并过（3）当m=1 时，求抛物线的顶点Q 及P′、 Q、 P 三点，画出抛物线草图．P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，例 2、(本题满分12分)二次函数y ax2bx 6( a0) 的图像交y轴于C点，交x轴于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程x24x12 0 的两个根 .（1）求出点 A、点 B 的坐标及该二次函数表达式 .y y yCCCDDA B A BO x OQ xA BxO Q图 1图（2）如图 2，连接 AC 、BC，点 Q 是线段 OB 上一个动点（点Q 不与点 O、 B 重合），过点 Q 作 QD∥ AC 交于 BC 点 D，设 Q 点坐标（ m， 0），当CDQ 面积S最大时，求m的值.（ 3）如图 3，线段 MN 是直线 y=x 上的动线段（点M 在点 N 左侧），且MN 2 ，若M 点的横坐标为n，过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q.以点 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出 n 的值；若不能，请说明理由．变式训练：（ 2012?资阳）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，2）由图象可知不等式 ax +bx+c＜ 0 的解集是（A． 1＜ x＜ 5B． x＞ 5C．x＜﹣ 1 且 x＞ 5 D ．x＜﹣ 1 或 x＞ 5例 3、已知关于x的一元二次方程x22ax b20 ， a 0,b 0 .（ 1）若方程有实数根，试确定a， b 之间的大小关系；（ 2）若 a∶ b=2∶3，且2x1x2 2 ，求a，b的值；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数y x22ax b2的图象与 x 轴的交点为A、 C（点 A 在点 C 的左侧），与 y 轴的交点为 B，顶点为 D.若点 P（ x，y）是四边形 ABCD 边上的点，试求 3x－ y 的最大值 .变式训练：（2012 甘肃兰州10 分）设二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0) ，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B 两个交点间的距离为：AB＝ |x1－x2|＝=b2 4ac。
高考培优课程数学讲义：一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系【讲师版】
高考培优 数学“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。
该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。
这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。
2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。
因此，这部分内容也是基础的内容。
其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。
1. （★★★☆）已知函数2()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。
答案：1. 2()x b f x +≤恒成立，因此可知201104b c ∆≤⇒≥+≥>，而对于所证不等式将其展开逆推可知：22()()(2)f x x c c b x c c ≤+⇔-≥-,注意到：2222||202b c b b c b ≥+≥=>⇒->，从而：22c c x c b -≥-另一方面，由于1c ≥，所以：20c c -≤，从而202c c c b-≤-，即知所证不等式成立。
2. 分类讨论：当2450m m +-=时，1m =，5m =-，显然1m =时符合条件 当2450m m +-≠时，则：222450(1,19)16(1)12(45)0m m m m m m ⎧+-≠⇒∈⎨∆=--+-<⎩ 综上故知：[1,19)m ∈知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。
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高 中 必 备 基 础 专 讲、专 练第一讲：二次函数、二次方程及二次不等式高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具。
高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关，本节主要是帮助大家理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法，不能灵活掌握这个知识，在以后的解题中将处处受阻！尽管在初中学过, 但在高中有关函数理论的指导下, 其性质和应用的讨论达到相当的深度,因而是高中灵活多变, 重点考查的内容之一. 复习中要熟练做到:(1) 能灵活运用图象及其性质解决问题 (比如二次方程实根分布问题);(2) 注意用数形结合的思想来解决一元二次函数, 一元二次方程, 一元二次不等式的相关问题(包括与解析几何联系的问题);(3) 注意化归思想在一元二次函数及相关知识中的运用, 注意应用题中创建二次函数的模型. 重难点归纳（一）一元二次方程0c bx ax 2=++ 根的存在性定理：一元二次方程0c bx ax 2=++ 根与系数的关系： 一元二次方程0c bx ax 2=++ 的解法： （二）二次函数图象与性质：1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +cy =a (x －x 1)(x －x 2) y =a (x -h )2+k(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q )若－ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ;若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－ab 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根就是二次函数f (x )=ax 2+bx +c 零点(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，p,q 不是零点 3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时 4.0,0,()00,0;0,0()00,0.a ab f xc a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩<==⎧⎧<⇔⎨⎨∆<<⎩⎩恒成立或恒成立或5.当240,b ac ∆=-≥二次函数f (x )=ax 2+bx +c在x 轴上截得线段长为: =-|x x |21|a |ac 4b x x 4)x x (221221-=-+.6. 一元二次不等式的解法引出的标根法： 基础演练1．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为 2．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两个实数根，则2221x x +的最大值为3．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是4．设二次函数f (x )，对x ∈R 有)21()(f x f ≤=25，其图象与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f (x )的解析式为5．已知二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为 6．一元二次方程02)1(22=-+-+a x a x的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是7. a >0当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2)(的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值时相应的x 的值.8．已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值.9．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系P=f (t)；写出右图表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）典型题例示范讲解例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围例2已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围例3已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a －1|+2的根的取值范围例4 已知155=-ac b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤例5. 设不等式2112x m x ->-()对满足||m ≤2的一切实数m 恒成立，求实数x 的取值范围。
例6. 如果函数y ax b x =++21的最大值是4，最小值是－1，求实数a 、b 的值。
例7. △ABC 的三边a ，b ，c 满足b ＝8－c ，a bc a 212520--+=，试确定△ABC 的形状。
学生巩固练习1 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是2 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1) 0 （填< ,≤,≥ ,>）3 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________4 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________5 已知实数t 满足关系式33log log att y aa= (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值6 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围7一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？8二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mr m q m p ++++12=0,其中m >0,求证(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解附：一、2008江苏高考试题现在可以参阅解决的题目1. ()cos()6f x w x π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = 。
4. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 。
5.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= 。
15.如图，在平面直角坐标系xo y 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为105。
（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
18.设平面直角坐标系xo y 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。
（1） 求实数b 的取值范围；附：二、含参变量的二次函数问题：二次函数c bx axy ++=2，（0≠a ）是典型的含参变量数学问题，也是分类讨论问题的典型问题，此类问题也是高考必考方向之一。
1．若“x R ∈存在，使得01)1(2<+-+x a x 成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 2．若存在[]3,1∈a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，则实数x 的取值范围是3. 已知函数)(x f y =是奇函数，当x<0时,)()(2R a ax x x f ∈+=,且f(2)=6,则a=4.已知函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ），且方程x x f =)(无实数根，下列命题（1）方程[]x x f f =)(也一定无实数根 （2）若a>0,则不等式[]x x f f >)(对一切实数x 都成立（3）若a<0,则必存在实数0x ，使[]00)(x x f f >（4）若a+b+c=0,则不等式[]x x f f <)(对一切实数x 都成立中，正确的命题序号是 ①②④ （08高考模拟）5.已知函数42)(2++=ax ax x f （30<<a ），若m<n 且m+n=a-1，则f(m) f(n)(填“〈”、“〉”或“=”) （08高考模拟2）。