2018苏教版解三角形单元测试17

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苏教版必修5高一数学第1章解三角形单元复习练习

解三角形一、知识点梳理：1、正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

2018苏教版解三角形单元测试18

一、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(用B表示)．2.在中，，那么B等于_____________.3.如图，在中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，则△ABD的面积为_____.4.在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝_____.5.等腰三角形一腰上的高是，底边长为，则这条高与底边的夹角为6.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝_____.7.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.8.已知锐角三角形的边长分别为1、3、a，则a的取值范围是____________.9.在中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则等于____________.10.在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于_____________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.12.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，求B的度数．13.在△ABC中，a cos(－A)＝b cos(－B)，试判断△ABC的形状．14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1) 求的值；(2) 若，，求边c的值及的面积．16.如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．17.在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．18.在△ABC中，已知·＝3·.(1)求证：tan B＝3tan A.(2)若cos C＝，求A的值．19.在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，且cos A＝，求sin B的值．20.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.答案解析1.【答案】6sin＋3【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，化简得AC＝2sin B，＝，化简得AB＝2sin，所以三角形的周长为3＋AC＋AB＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B ＝6sin＋3.2.【答案】60°【解析】，∴.3.【答案】【解析】在△ABC中，由余弦定理得，∴.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，∴.∵BD为∠ABC的平分线，AD∥BC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB＝3，∴.4.【答案】【解析】∵，∴，∴b＝5.∴5.【答案】60°【解析】如图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高，而底边，∴又，∴.6.【答案】【解析】由得∴cosB＝－.由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－4BCcosB，，BC2＝3，∴BC＝7.【答案】1∶1∶【解析】根据三角形内角和定理，A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.8.【答案】【解析】若，则，∴.若，则，∴，∴.9.【答案】－19【解析】三边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，c＝7，，∴.10.【答案】【解析】设BC＝a，则BM＝MC＝.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM cos∠AMB，即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②①＋②得72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.11.【答案】C＝15°【解析】由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，又∵sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°所以C＝15°.12.【答案】因为sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：，又0°＜B＜180°，∴B＝150°.【解析】13.【答案】△ABC为等腰三角形.【解析】方法一∵a cos(－A)＝b cos(－B)，∴a sin A＝b sin B.由正弦定理可得：a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．方法二∵a cos(－A)＝b cos(－B)，∴a sin A＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin2A＝2R sin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意，舍去)．故△ABC为等腰三角形．14.【答案】(1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.【解析】15.【答案】(1) 由sin2C＋cos2C＝1，得.则.(2)∵，则.又，∴ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.∴ c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，则c＝5.∴【解析】16.【答案】＋h.【解析】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β、α，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝，AB＝AE＋h＝AC sinα＋h＝＋h.17.【答案】由题意画图，由余弦定理得.∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得.∴.【解析】18.【答案】因为·＝3·，所以||||·cos A＝3||||·cos B所以|AC|cos A＝3|BC|cos B.由正弦定理知＝，从而sin B cos A＝3sin A cos B.又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0，所以tan B＝3tan A.(2)因为cos C＝，0＜C＜π.所以sin C＝＝，tan C＝2，则tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2.由(1)得＝－2.整理得3tan2A－2tan A－1＝0，解得tan A＝1或tan A＝－.因为cos A＞0，所以tan A＝1，所以A＝.【解析】19.【答案】由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，sin C cos B＝sin B cos C，故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.因为cos A＝，所以由余弦定理得3a2＝2b2，再由余弦定理得cos B＝，故sin B＝.【解析】20.【答案】(1) 由及正弦定理得∵ B＝π－A－C，∵由于，∴.又，故.(2) △ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.【解析】。

苏教版四年级数学下册三角形的内角和解析测试题

苏教版四年级数学测试卷（考试题）苏教版小学数学四年级下册《三角形内角和》同步练习及参考答案一、选择1、把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）A. 90°B. 180°C. 60°【考点】:三角形的内角和.【解析】:根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180°据此解答。

【答案】解:因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°。

故选:B【总结】:本题考查了三角形内角和定理，属于基础题,关键是掌握三角形内角和为180°。

2、在能组成三角形的是（）A．90°50°40°B．100°32°19°C．50°50°50°D．60°60°60°E．120°30°30°F．98°35°47°【考点】：三角形的内角和．【解析】：根据三角形的内角和是180度，进行判断即可．【答案】：解：A、90°+50°+40°=180°，所以能组成三角形．B、100°+32°+19°=151°≠180°，所以不能组成三角形；C、50°+50°+50°=150°≠180°，所以不能组成三角形；D、60°+60°+60°=180°，所以能组成三角形；E、120°+30°+30°=180°，所以能组成三角形；F、98°+35°+47°=180°，所以能组成三角形．故选：A、D、E、F．【总结】：此题考查了三角形内角和原理．三角形的内角和是180度．8、一个三角形的两个3、三角形的两个内角分别为60度和45度，第三个内角是（）度。

苏教版八年级数学上册第1章全等三角形单元检测(有答案)

苏教版八年级上册第一单元单元检测（有答案）数学考试阅卷人得分单选题（共10题；共20分）1.（ 2分）如图，已知/ 1 = /2,则不一定能使 ^ABP4ACD 的条件是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等3.（ 2 分）如图，AABS4ACF 若 AB=5, AE=2, BE=4,贝U CF 的长度是（）A. 4B. 3C. 5D. 64. （ 2分）已知△AB8 △ DEF, BC= EF=6m, AA BC 的面积为18/，则EF 边上的高的长是（）.A. 3mB. 4m C . 5mC. 6m5. （ 2分）.如图，已知幺觎"肺 ,A 和B, C 和D 分别是对应顶点.如果AB=6cm,BD=7cm,AD=4cm,那么 BC 的长为（）DB. 5cm B. BD=CDC. / B=Z CD. / BDA=Z CDA C. 6cm D. 7cmA. AB=AC2. （ 2分）下列判断中错误的是（）BA. 4cmA A C.66 ° D. 76 ° 、BD 交于E 点，下列结论中不止确的是（） 6.（ 2分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则/ 1的度数是（） D C A. / DAE-/ CBE B. A DEA5全T A CEB 8 .（ 2分）如图，在5 x5格的止方形网格中，与三角形（顶点在格点上的三角形）共有（） A. 5个 B. 6个 9 .（ 2分）卜列命题中，真命题是（）. A.周长相等的锐角二角形都全等； C.周长相等的钝角二角形都全等； C. CE-DE D. A EABI 等腰三角形 △ ABC 有一条公共边且全等（不与 4ABC 重合）的格点 C. 7个 D. 8个 B.周长相等的直角二角形都全等； D.周长相等的等腰直角二角形都全等.10.（ 2分）（2015?海南）如图，下列条件中，不能证明 △AB84DCB 的是乂 DA. AB-DC, AC-DBB. AB-DC, / ABC-/ DCBC. BO-CQ / A-/ DD. AB-DC, / DBC-Z ACB 阅卷人二、填空题（共10题；共21分）得分 11.（ 2分）如图，/ ACB- / DFE, BC- EF,可以补八个直接条件 ______________ ( ) 就能使△AB ®△ DEF.12.（ 2分）如图，在4ABC和4DEF中，已知：AC=DF,, BC=EF要使△ ABe △ DEF还需要的条件可以是；（只填写一个条件）13.（ 2分）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=14.（ 2 分）如图，AOADZAOBC,且/ O=72 , Z C=20°,贝U/ AEB=:Ay %15.（ 2分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知/ 1的16.（ 2 分）如图，△AB8△ ADE, BC的延长线交DA 于F,交DE 于G, Z D=25°, /E=105 ； / DAC=16 ,贝U/ DGB=D17.（ 2分）如图所示，已知点A D、B、F在一条直线上，AC=EF AD=FB,要使△ ABe△ FDE,还需添加一个条件，这个条件可以是 .（只需填一个即可）18. （4 分）如图所示，^ABP4ACE / B与/C是对应角，若AE=5cm, BE=7cm, / ADB=100°,则/ AEC=19.（ 2分）如图，在四边形ABCD中，/ BAD=Z C=90°, AB=AD, AE±CD,垂足为E,若线段AE=10,则S四边形ABCD=B C20.（ 1分）如图，已知JBC= ZDCS ,添加下列条件中的一个：① 4= 2D②心明③的二DC，其中不能确定MBC -△阅卷人、解答题（共4题；共17分）ADCF的是（只填序号）.得分21. （4 分）如图，已知AC平分/ BAD, AB=AD,求证：△ABe△ ADC.22. （4 分）如图：点B、E、C F在同一直线上，AB=DE, /A=/D, AB // DE. 求证：△AB8 ADEF.A23.(4 分)如图，若△OAD^^OBC,且 / 0=65 °, / BEA=135°,求/ C 的度数.24.（ 5分）如图，已知ABXAC, AB=AC, DE过点A,且CD, DE, BEX DE,垂足分别为点D, E.求证:25.（ 5分）沿着图中的虚线，用四种不同的方法将下面的图形分成两个全等的图形(1)/ AEC之BED；(2)AC=BD.27.( 6分)如图，四边形ABCD是正方形，B已BF, BE=BF EF与BC交于点G.(1)求证：AE=CF(2)若/ ABE=65 ,求/ EGC的大小.28.( 8分)如图：在△ ABC中，BE、CF分别是AC AB两边上的高，在BE上截取BD=AC在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.(1)求证：AD=AG；(2) AD与AG的位置关系如何，请说明理由.29.( 8分)在4ABC中，AB=AC, / BAC=90°,点D在射线BC上(与B、C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.(1)若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1 ;② 判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明;(2)若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE, AB=翘,则GE的长为* ,并简述求GE长的思路.30.（ 9分）问题探究：如图1, 4ACB 和4DCE 均为等边三角形，点 A 、D 、E 在同一直线上，连接 BE.如图2, 4ACB 和4DCE 均为等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90 ,点A 、D 、E 在同一直线上，CM为4DCE 中DE 边上的高，连接 BE. （I ） t#求出/ AEB 的度数；（n ）判断线段 CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由.答案解析部分一、单选题1. 【答案】 B【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：A 、•••/ 1 = /2, AD 为公共边，若 AB=AC,则△ABD^^ACD (SA0 ；故A 不符合题意；B 、1 = Z2, AD 为公共边，若 BD=CD,不符合全等三角形判定定理，不能判定AABD^AACD;故B 符合题意； C 、••• / 1 = Z2, AD 为公共边，若/ B=ZC,贝U AABD^AACD (AAS);故 C 不符合题意；D 、1=Z2, AD 为公共边，若/ BDA=Z CDA,贝U △ ABD^ AACD (ASA);故 D 不符合题意.故答案为： B ．【分析】已经有一边一角对应相等，再添一个条件不能判断两个三角形全等的话，只能添加这个角的对边。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节测试题有答案

解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===；左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。

苏教版小学二年级[上册]数学单元检测试题(全册)2018用

姓名一、口算。

9分30＋15＋11＝40＋20＋18＝1＋19＋56＝19＋8＋6＝31＋25＋7＝44＋6＋28＝90－50－20＝56－16－20＝39－19－6＝二、检查下面各题，对的画“√”错的画“×”，错题请更正。

9分三、在○里填上“>”、“<”或“=”。

14分20－7○20 11＋38○49 60－23○30 78－48○42 73－19＋28○75 35＋24－18○62 90－24＋28○48四、计算。

18分35＋27－18＝81－28－28＝70－27＋43＝28＋37＋18＝20＋42－38＝60－25－35＝五、先画一画，再解答。

10分（1）在横线上画△，比□多3个，△有（）个。

□□□□□□□□□（2）在横线上画□，比○少2个，□有（）个。

○○○○○○○○○○○六、看图填空。

10分（1）苹果比桃子少（）个，桃子拿走（）就和苹果同样多。

苹果添上（）个就和桃子同样多。

（2）小明比小红多（）张明信片。

小明送给小红（）张后，两人的明信片张数同样多。

七、解决问题。

30分1、动物园有20只黑熊，黑熊比白熊多8只，白熊有多少只2、商店里有42个汽车玩具，卖出18个，还剩多少个又运来44个，现在有多少个3、听解放军叔叔讲故事，二年级上册去了45人，一年级比二年级上册多去8人，一年级去了多少人，两个年级共去了多少人4、5、第一次摘了18个，第二次又摘了21个，两次共摘了多少个，摘了两次后，树上还剩下多少个苹果第二单元《平行四边形的初步认识》测试卷姓名＿＿＿＿＿得分＿＿＿＿＿一、图形分类，再填空，填图形的序号(每空3分，12分)。

上面图形中，四边形是（），五边形是( )，六边形是( )，平行四边形的（）。

二、折一折，填一填(每空2分，30分)⑤搭一个六边形至少要（）根小棒。

⑥两个完全一样的正方形可以拼成一个（）形。

⑦课桌面是（）形，红领巾的面是（）形，车轮的面是（）形。

三、数一数填一填。

苏教版初中数学相似三角形专题--有答案有解释

苏教版初中数学相似三角形专题一．填空题（共7小题）1．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．3．如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是．6．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．二．解答题（共23小题）8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．9．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．13．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．16．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．17．如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB 上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．19．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF ∽△EBD．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．25．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．26．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）27．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？28．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．29．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．30．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD 的相似比．苏教版初中数学相似三角形专题参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．（2014•黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【考点】作图—相似变换．【专题】作图题．【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．2．（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【考点】作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A 画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．3．（2012•鼓楼区一模）如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．【考点】作图—相似变换．【专题】压轴题．【分析】根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，求出图①中正方形ABCD 的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可．【解答】解：根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，图①中正方形ABCD的面积为8，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等，则图②中正方形EFGH的面积为10，如图所示：【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键．4．（2016春•苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为4．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，∴CD2=AD•BD=8×2，则CD=4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．5．（2015春•成都校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是4，AC的长是2．【考点】射影定理．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4，在Rt△ACD中，AC===2，故答案为：4，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．6．（2015秋•太原校级期末）如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．二．解答题（共23小题）8．（2016秋•长春期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，∠C=α，∠D=∠D′=140°．∴x=12，，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键．9．（2015秋•萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．【考点】相似多边形的性质；黄金分割．【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD•AB，根据正方形的性质得到答案．【解答】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD•AB，又AB=AF，∴AF2=FD•AB，∴F点是AD的黄金分割点．【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．10．（2016秋•滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=AD=2，BC=，设BD=x，则AB=4+x，∴，解得x=﹣1±，∵x＞0，∴BD=x=﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=2，BC=，BC=﹣1+∴CD==﹣．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．（2016秋•莲都区校级月考）如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD ∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．12．（2015秋•佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．13．（2015秋•延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．14．（2015秋•泗县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P 从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用．【专题】动点型；分类讨论．【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．15．（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD 上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．16．（2016•萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．（2016•厦门校级模拟）如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，∴=，解得DP=5.6∴DP=5.6或2或12．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．18．（2016•云南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC 于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明△DME∽△BCA．【解答】证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN，∴∠BEN=∠A，∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A．在△DME与△BCA中，，∴△DME∽△BCA．【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．19．（2016•厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴在△DEF和△BED中=﹛∠FED=∠DEB∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．20．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．21．（2017•松江区一模）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF ：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF ：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．（2017•闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到=，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵=，∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴=，∴=，∵AD2=DG•DE，∴=，∵AD∥BC，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2017•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC≌△ADC；（2）∵△DEC≌△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC≌△ADC，∴=，∵DC=AB，∴=，即=，∴△ADE∽△CAB，∴=，即AE•AB=BC•DE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．24．（2017•奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∵BE⊥DC，∴∠FEC=∠BED，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，∴△BED∽△CEF，∴△ABF∽△BED；（2）∵AB∥CD，∴，∴，∵△ABF∽△BED，∴，∴=．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．25．（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度。

2018苏教版解三角形单元测试16

一、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)1.△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．2.在中，已知，则边c的值是_____________.3.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________ km.4.在中，若，则中最长的边是_____________．5.已知在中，，则此三角形的形状是____________.6.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为.7.在中，若a cos B＝b cos A，则的形状是____________.8.已知中，AB ＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则的面积为_____.9.在中，若，则________.10.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)11.在△ABC中，求证：＝.12.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p ＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．13.在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．14.如下图，要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．15.一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．16.已知△ABC的面积为1，tan B＝，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．17.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．18.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．19.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．答案解析1.【答案】150°【解析】∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理，得cos B＝－，又0°<B<180°，∴B＝150°.2.【答案】【解析】根据余弦定理，∴.3.【答案】【解析】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°⇒∠ABC＝45°，AC＝60 km，根据正弦定理，得BC＝＝＝30(km)．4.【答案】【解析】由正弦定理知，∴，∴，由大角对大边知边最长.5.【答案】等腰三角形【解析】方法一）由及余弦定理，，化简得b＝c.方法二）由及余弦定理，，即，∵∴，即∴△ABC是等腰三角形.6.【答案】700 m【解析】根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos120°＝3002＋5002－2×300×500×＝490 000，∴AB＝700(m)．7.【答案】等腰三角形【解析】法一由正弦定理有sin A cos B＝sin B cos A，∴sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0.∴A＝B，∴为等腰三角形．法二由余弦定理有，∴a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，即a2－b2＝0，得a＝b.∴为等腰三角形．8.【答案】【解析】∵∴∴.∴.9.【答案】【解析】利用正弦定理解三角形．在中，，∴10.【答案】【解析】设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得.11.【答案】证明因为右边＝＝·cos B－·cos A＝·－·＝－＝＝左边．所以＝.【解析】12.【答案】(1)证明∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，由正弦定理得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝ab sin C＝×4×sin＝.【解析】13.【答案】由正弦定理，得＝，∴sin C＝，且C为锐角(∠A＝120°)．∴cos C＝.∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝cos C－sin C＝×－×＝.∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×5×7×＝.【解析】14.【答案】km【解析】在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)．∴A、B之间的距离为km.15.【答案】如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形，设所需时间为t小时，则AB＝21t海里，BC＝9t海里．又已知AC＝10海里，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴或(舍)．∴(海里)．即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里．【解析】16.【答案】∵tan B＝>0，∴B为锐角．∴sin B＝，cos B＝.∵tan C＝－2＜0，∴C为钝角．∴sin C＝，cos C＝－.∴sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝·＋·＝.∵S△ABC＝ab sin C＝2R2sin A sin B sin C＝2R2×××＝1.∴R2＝，R＝.∴πR2＝π，即外接圆的面积为π.∴a＝2R sin A＝，b＝2R sin B＝，c＝2R sin C＝.【解析】17.【答案】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，所以AB＝＝，即BD＝≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33 km.【解析】18.【答案】依题意得，CD＝，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理得BC＝＝＝.在△ADC中，由正弦定理得AC＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(3)2＋()2－2×3×cos 45°＝25.所以AB＝5，即这两座建筑物之间的距离为5 km.【解析】19.【答案】如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝ 30°，由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．【解析】20.【答案】(1)由题意可知，所以.又因为，所以.(2)由已知得.当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA＋sinB的最大值是.【解析】。

2018届苏教版解三角形单元测试

【母题来源一】 2016高考新课标1卷【母题原题】ABC ∆的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B +b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =∆求ABC 的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5+考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”【母题来源二】2016高考浙江理数【母题原题】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式．【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ，C 的式子，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．【母题1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.【母题2】在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．【母题3】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中cos ADB ∠和cos ADC ∠互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求AC ．【母题4】在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.【答案】（1；（2【考点定位】余弦定理，二倍角公式【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根.【母题5】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【考点定位】1.三角恒等变形；2.正弦定理.【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，三角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变形，函数sin()y A x ωϕ=+的性质，解三角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.【母题6】在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos 626cos1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=，所以a =又由正弦定理得sin sinb BAC B a ∠===.由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-.【考点定位】1.正弦定理、余弦定理的应用.【名师点睛】三角函数考题大致可以分为以下几类：与三角函数单调性有关的问题，应用同角变换和诱导公式求值、化简、证明的问题，与周期性、对称性有关的问题，解三角形及其应用问题等.其中解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查（常以解答题的形式出现）.本题主要通过给定条件进行画图，利用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.【母题7】如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o求tan tan tan tan 2222A B C D+++的值.【答案】（1）详见解析；（2.【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题第（1）小题为课本必修4第142页练习1，体现了立足课本的要求.高考中常常将三角恒等变换与解三角形结合起来考，本题即是如此.本题的关键体现在以下两点，一是利用角的关系消角，体现了消元的思想；二是用余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想.【母题8】C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．（I ）求A ；（II ）若a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II【解析】考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．【母题9】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8.【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.【母题10】在∆ABC 中，222+=a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.【答案】（1）4π；（2）1.【解析】（1）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=，3cos cos()4A C A A π+=+-A A A =+cos()4A A A π=+=-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=时，cos A C +取得最大值1.考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。

2017-2018学年高中数学苏教版四阶段质量检测(三) 三角恒等变换含答案

阶段质量检测(三) 三角恒等变换[考试时间：90分钟试卷总分：160分］一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共70分．将答案填在题中的横线上）1．化简：错误!＝________。

2．若sin αsin β＝1，则cos（α－β）＝________。

3．已知tan α＝12,tan(α－β)＝－错误!，那么tan（β－2α)的值为________．4．设a＝sin 14°＋cos 14°,b＝sin 16°＋cos 16°，c＝错误!，则a,b，c的大小关系是__________________．5．已知sin错误!＝错误!，则sin 2x＝________.6．f（sin x）＝cos 2x,则f错误!＝________.7．函数y＝sin x cos x＋错误!cos2x－错误!图象的对称轴方程为________．8．化简错误!＝________.9．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．10.错误!错误!化简结果为________．11。

错误!＝________.12．函数y＝tan x2－错误!的周期是________．13．已知sin(α－β）＝错误!，α－β是第一象限角，tan β＝错误!，β是第三象限角,则cos α的值为________．14．已知（sin x－2cos x）（3＋2sin x＋2cos x）＝0,则错误!的值为________．二、解答题(本大题共6小题,共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分)已知cos α－sin α＝错误!,且π<α〈错误!π，求错误!的值．16．(本小题满分14分)求函数y＝2＋2sin x cos x＋sin x＋cos x的最大值和最小值．17.（本小题满分14分)已知tan 错误!＋tan 错误!＝4，且－π<θ<－错误!，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．18．（本小题满分16分）已知cos 错误!＝－错误!，sin 错误!＝错误!且α∈（）π2，π，β∈错误!.求：(1）cos错误!；(2）tan(α＋β)．19．(本小题满分16分）求y＝错误!＋sin 2x的最小值．20．(本小题满分16分）已知函数f（x）＝错误!sin ωx＋cos错误!＋cos错误!，x∈R(其中ω>0）．（1)求函数f(x）的值域；（2)若函数f（x）的最小正周期为错误!,求当x∈错误!时，f(x)的单调递减区间．答案1。

苏教版四年级下册《第3章_三角形》小学数学-有答案-单元测试卷

苏教版四年级下册《第3章三角形》小学数学-有答案-单元测试卷一、填空1. 一个三角形，一个内角的度数是108∘，这个三角形是________三角形；一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是________三角形。

2. 一个三角形两个内角的度数分别为35∘，67∘，另一个内角的度数是________∘，这是一个________三角形。

3. 等腰三角形的底角是75∘，顶角是________，等边三角形的每个内角都是________．4. 在一个直角三角形中，一个锐角是75∘，另一个锐角是________．5. 一个等腰三角形的一条腰长5厘米，底边长4厘米，围成这个等腰三角形至少需要________厘米的绳子。

6. 如图的图形是三个大小不同的等边三角形组成的。

AB长________厘米；从A点经C点到B点的长度是________厘米；从A点经D点，经F和E点，最后到达B点的长度是________厘米。

二、判断（对的打“√”，错的打“×”）用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形。

________．（判断对错）三个角相等的三角形一定是等边三角形，等边三角形也是等腰三角形。

________．（判断对错）在钝角三角形中，只有一个角是钝角。

________．（判断对错）两个锐角的和一定大于直角。

________（判断对错）直角三角形、钝角三角形只有一条高。

________．（判断对错）三、选择（将正确答案的序号填在括号里）等边三角形一定是（）三角形。

A.锐角B.直角C.钝角一个三角形中，最少有（）个锐角。

A.1B.2C.3一个三角形三个内角都不小于60∘，这个三角形一定是（）三角形。

A.等边B.直角C.钝角D.锐角一个三角形的三个内角分别是75∘、30∘、75∘，这个三角形是（）A.锐角三角形B.等腰三角形C.等腰锐角三角形一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形。

2018苏教版解三角形单元测试1

一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.在中，若，则等于_____________.2.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长.3.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________．4.若a，b，c是的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则的形状是____________.5.在△ABC中，如果B＝31°，a＝20，b＝10，则此三角形____________.6.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m 到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为___________.7.ABC 中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为_________.8.在△ABC中，若，则B，C的大小关系是___________.9.在中，若，则_____________.10.渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)11.如图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝100 m，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，则A、B两点的距离为.12.等腰三角形一腰上的高是，底边长为，则这条高与底边的夹角为13.某市在“旧城改造”工程中计划在如右图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要_____.14.以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)15.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB等于___________.16.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m．(精确到0.1 m)17.在中，，则的面积为_____．18.在△ABC中，已知A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为_________．19.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m．(精确到1 m)20.在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cos C＝，则a等于()A．2 B.C．1 D.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.在中，a＝3，，∠B＝2∠A.(1)求cos A的值；(2)求c的值．22.一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10 n mile的C处，并沿方位角为105°的方向以9 n mile/h的速度航行，“黄山”舰立即以21 n mile/h的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．23.某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？24.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．25.在中，，求.26.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝，c＝5，求b.27.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．28.在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形．29.已知的顶点为，求.30.如下图所示，一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？答案解析1.【答案】【解析】∵∴∴.2.【答案】千米【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，，∴(千米)．3.【答案】60 m【解析】，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，∴，故CD＝60.4.【答案】钝角三角形【解析】由直线ax＋by＋c＝0与圆相离得，即a2＋b2＜c2，于是，∴C是钝角.5.【答案】无解【解析】∵a sin B＞b，∴无解．6.【答案】1000 m【解析】∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，，∴(m)．7.【答案】8【解析】由余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.8.【答案】B＝C【解析】由及正弦定理，得，∴ sin B cos C＝cos B sin C，∴ sin(B－C)＝0.又∵－π<B－C<π，∴B－C＝0. 即B＝C.9.【答案】【解析】设，由得，∴∴.10.【答案】13.5km/h【解析】由物理学知识，画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在平行四边形ABCD中，D＝60°，在中，由余弦定理得(km/h)．11.【答案】m【解析】12.【答案】60°【解析】如图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高，而底边，∴又，∴.13.【答案】150a元【解析】由面积公式知三角形区域面积为m2，所以购买这种草皮需150a元．14.【答案】锐角【解析】由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则，所以.15.【答案】【解析】在△ADC中，∠DAC＝β－α.由正弦定理得，∴∴16.【答案】 5 856.4【解析】宽＝－＝5 856.4(m)．17.【答案】【解析】根据正弦定理：.∵，∴，∴.当时，，∴的面积；当时，，∴的面积.18.【答案】4【解析】设最大边为x1，最小边为x2，则x1＋x2＝7，x1x2＝11，∴第三边长＝＝＝4.19.【答案】811【解析】过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，AB＝＝1 000(m)．在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m)．20.【答案】C【解析】由cos C＝＝＝，得a＝1.21.【答案】(1) ∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴在中，由正弦定理，得，即，即.(2)由(1)知，∴.又∠B＝2∠A，∴ cos B＝2cos2A－1＝. ∴，在△ABC中，∴.【解析】22.【答案】如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°.根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴ (21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴ (21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.解得或(舍)．∴(n mile)．∴“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间需要用为小时，共航行14 n mile.【解析】23.【答案】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理得cos C＝＝，则sin2C＝1－cos2C＝，sin C＝，所以sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin 120°cos C－cos 120°sin C＝.在△MAC中，由正弦定理，得MC＝＝×＝35.从而有MB＝MC－BC＝15.答汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．【解析】24.【答案】cosθ＝【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20.由正弦定理＝，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝×－×＝.25.【答案】∵∴又，∴，同理【解析】26.【答案】(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋45＝7，所以b＝.【解析】27.【答案】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cos A＝0，.再由正弦定理，得又知，所以B不是最大角，则，所以.由上述结果知，设BC上的高为h，则有.【解析】28.【答案】根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理解三角形（两角及任一边），b＝＝≈80.1(cm)；根据正弦定理解三角形（两角及任一边），c＝＝≈74.1(cm)．【解析】29.【答案】由两点间距离公式，，，.在中由余弦定理得. ∴【解析】30.【答案】路程比原来远了约86.89 km.【解析】在△ABC中，AB＝700 km，∠ACB＝180°－21°－35°＝124°，根据正弦定理，＝＝，AC＝，BC＝，AC＋BC＝＋≈786.89 (km)，786．89－700＝86.89 km.。

高中数学苏教版必修5 第1章解三角形单元测试

（时间：120分钟，满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上） 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________．解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°. 答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A.又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6〈A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)．答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S ）满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－（4－x 24x ）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝ 22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0，故a 2＋c 2≥2ac ，即（1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为（1， 2 ．答案：1， 2 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1）求bc的值；(2）若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1）在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6，又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37. 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1）求cos A 的值； (2）求c 的值．解：(1）因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2）由（1）知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2）由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3）法一：由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4）由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. （本小题满分16分）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1）因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．（本小题满分16分）如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1）求sin ∠ADB ； (2）求BC 的长．解：(1）不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ），∴7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2）在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．（本小题满分16分）在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B.又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1．又（2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上，a ＋b ∈2＋6，8＋43．。

全新苏教版九年级数学上册第六章《相似三角形形》单元测试卷附答案(7)

全新苏教版九年级数学上册第六章《相似三角形形》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A． B．C． D．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：26．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．127．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C．（，）D．（2，1）8．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB=9，BD=3，则CF 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.5二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是千米．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= ．13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．20．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=4cm2，S△EFC=9cm2，求S△ABC．21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD ⊥x轴于点D．（1）m= ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．28．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD 于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF ：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．全新苏教版九年级数学上册第六章《相似三角形形》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵ =，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm【考点】比例线段．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），故选C．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A． B．C． D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=2﹣2．故选A．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．【解答】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C．（，）D．（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米【考点】相似三角形的应用．【专题】压轴题；转化思想．【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．10．如图，Rt△ABC中，∠A CB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；动点型．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 34 千米．【考点】比例线段．【专题】计算题．【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷=3400000厘米=34千米．即实际距离是34千米．故答案为：34．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= 15 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC 的值，即可得出答案．【解答】解：∵：l 1∥l 2∥l 3，∴=，∵AB=6，DE=5，EF=7.5，∴BC=9，∴AC=AB+BC=15，故答案为：15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键．13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9，0）．【考点】位似变换．【专题】网格型．【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为9 ．【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心．【专题】数形结合．【分析】根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=3即可得出答案．【解答】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，∵GH⊥BC，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD=AE：GH=3：1，∴AE=3GH=3×3=9，故答案为9．【点评】本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴=∴BC=4米，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为：5.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为4或9 时，△ADP和△ABC相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．【解答】解：当△ADP∽△ACB时，∴=，∴=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴=，∴=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．=21，求17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BODk= 8 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．【分析】过A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可得S 四边形AECB =S △BOD ，根据△OAE ∽△OBC ，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE 的面积，从而求得k 的值．【解答】解：过A 作AE ⊥x 轴于点E ．∵S △OAE =S △OCD ，∴S 四边形AECB =S △BOD =21，∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC ，∴==（）2=，∴S △OAE =4，则k=8．故答案是：8．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG +DF=FG ．其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）【考点】相似形综合题．【专题】综合题．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得x=，∴ED=，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF﹣BH=10﹣6=4，设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D， ==， =，∴≠，∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误；∵S △ABG =•6•3=9，S △FGH =•GH •HF=×3×4=6，∴S △ABG =S △FGH ，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF ，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD ∥BC ，则∠DAE=∠AMB ，又由∠DEA=∠B ，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE ∽△AMB ；（2）由△DAE ∽△AMB ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AMB ，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE ∽△AMB ；（2）由（1）知△DAE ∽△AMB ，∴DE ：AD=AB ：AM ，∵M 是边BC 的中点，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AM=5，∴DE ：6=4：5，∴DE=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB 是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，求S △ABC ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先求出△ADE ∽△ECF ，得出S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，进而得出AE ：EC=2：3，在得出S △ABC ：S △ADE =（5：2）2，求出答案即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠A=∠FEC ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ECF ；∴S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，∵S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，∴（AE ：EC ）2=4：9，∴AE ：EC=2：3，即EC ：AE=3：2，∴（EC+AE ）：AE=5：2，即AC ：AE=5：2．∵DE ∥BC ，∴∠C=∠AED ，又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2，∴S △ABC ：4=（5：2）2，∴S △ABC =25cm 2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2进而求出是解题关键．21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=．（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A=∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．22．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，A 2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【考点】相似三角形的应用．【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：过D作DE∥BC交AB于点E，设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴=，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），∴=，解得h=4.2（m）．答：测得的树高为4.2米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得到EF∥AC，证得△BEG∽△BAC，由相似三角形的性质得到==，即可得到结论．【解答】解：∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，∴EF∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，∵AB=2，∴BE=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD ⊥x轴于点D．（1）m= 4 ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）有点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出m的值；（2）由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再领y=0求出x值即可得出点C的坐标；（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0），分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑：①当∠ABE=90°时，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理即可找出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当∠BAE=90°时，根据∠ABE＞∠ACD可得出两三角形不可能相似；③当∠AEB=90°时，根据A、B的坐标可得出AB的长度，以AB为直径作圆可知圆与x轴无交点，故该情况不存在．综上即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1×4=4，故答案为：4．（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，∴a==2，∴B（2，2）．设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6．当y=0时，有﹣2x+6=0，解得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）．（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），∴B是AC的中点，∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，解得：x=﹣2，此时点E的坐标为（﹣2，0）；②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，故△EBA与△ACD不可能相似；③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），∴AB=，2＞，∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），∴不存在∠AEB=90°．综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m值；（2）根据待定系数法求出直线AB的解析式；（3）分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由四边形ABCD 为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND 与三角形CNB 相似，由相似得比例，得到DN ：BN=1：2，设OB=OD=x ，表示出BN 与DN ，求出x 的值，即可确定出BD 的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN ，BN=2DN ．已知△DCN 的面积，则由线段之比，得到△MND 与△CNB 的面积，从而得到S △ABD =S △BCD =S △BCN +S △CND ，最后由S 四边形ABNM =S △ABD ﹣S △MND 求解．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD=BC ，OB=OD ，∴∠DMN=∠BCN ，∠MDN=∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴=，∵M 为AD 中点，∴MD=AD=BC ，即=，∴=，即BN=2DN ，设OB=OD=x ，则有BD=2x ，BN=OB+ON=x+1，DN=x ﹣1，∴x+1=2（x ﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1：2，∴MN ：CN=DN ：BN=1：2，∴S △MND =S △CND =1，S △BNC =2S △CND =4．∴S △ABD =S △BCD =S △BCN +S △CND =4+2=6∴S 四边形ABNM =S △ABD ﹣S △MND =6﹣1=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；（2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出=，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB=∠DOA=90°，∴∠DOB=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B，∴△DOB∽△ACB；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC=DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），∴AC=AO=6，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴BD的长为5；（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，∵△DOB∽△ACB，∴==，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，∵AB′+B′O+BO=AB，∴5x+4x+4x=10，解得：x=，∴BD=．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．28．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P 从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节能力测试题有答案

章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形）一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC 中，如果A=60º，C=45º，且a=则c= 。

1.。

【解析】由正弦定理得sin 45sin sin 603a C c A ===。

2. 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2.12。

【解析】B A s i n si n =1sin cos sin 22A A A=，故B A s i n s i n 的最大值是12。

3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3.1200.【解析】2221cos 22b c a A bc +-==-，A=1200.4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4.26-。

【解析】A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300)=4.由正弦定理得sin 2sin15sin sin 30b A a B ===5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为 .5.【解析】∵三角形两边夹角为方程57602x x --=的根，不妨假设该角为θ，则易解得得53cos -=θ或cos θ=2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos 3523522==⨯⨯⨯-+=θ三角形的另一边长。

6.在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= 。

6.B=105º或B=15º。

提示:由正弦定理可得sinC=sin 2c A a == ,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。

7.科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为亿光年。

2018届苏教版三角函数与解三角形单元测试

【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题四三角函数与解三角形【文】一、选择题1. 【湖北省八校2016高三第二次联考】若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（）A. (]1,2-B. [)2,1--C. ()1,1-D. [)2,1- 【答案】D2. 【2016届邯郸市第一中学高三十研】已知()2sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的表达式为（）A ．3()2sin()24f x x π=+B ．35()2sin()24f x x π=+C ．42()2sin()39f x x π=+D ．425()2sin()318f x x π=+【答案】B【解析】由图可知，35()466T πππ=--=，所以423T ππω==，所以32ω=，又当5355()2sin()2sin()26264f πππϕϕ=⨯+=+=，即5sin()14πϕ+=，所以52,42k k Z ππϕπ+=+∈，即32,4k k Z πϕπ=-∈，当1k =时，54πϕ=，故选B . 3.【2016年安庆市高三二模】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π2ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（）A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ B ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ΖC ．π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ【答案】B4. 【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】已知θθθθcos sin 1cos sin 1-+++＝21，则tan θ＝( )A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 【答案】D 【解析】因为222sincos2cos 2cos (sin cos )1sin cos 12222221sin cos 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )tan2222222θθθθθθθθθθθθθθθθθ++++===+-++, 所以tan22θ=,于是22tan42tan 31tan 2θθθ==--.故D 正确.5. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位后所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（） A ．1 B ．2 C ．52D ．3 【答案】D6. 【2016届淮南市高三第二次模拟】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（） A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2【答案】D【解析】由题意得，sin()2sin()sin 2cos 2ππαααα-=-+⇒=-，所以tan 2α=-，故选D ．7.【2016届山西省忻州一中临汾一中长治二中康杰中学高三校考】已知322sin =α，则)4(cos 2πα+=（）A ．61 B ．31 C ．21D ．32 【答案】A【解析】由题意得，21cos[2()]1sin 214cos ()4226παπαα++-+===，故选A. 8.【2016年山西省四校高三联考】已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．35- B ．45- C ．35D ．45【答案】B【解析】根据函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的相邻对称轴之间的距离为2π，可得22T w ππ== 2w ⇒=，由3sin 5ϕ=且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，可得4cos 5ϕ=-，所以4sin()cos 425f πϕϕπ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭，故选B.9.【河南省商丘市2016年高三第三次模拟】函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式可以为（） A ．)42sin(3)(π-=x x f B ．)42sin(3)(π+=x x fC ．)432sin(3)(π-=x x fD ．)432sin(3)(π+=x x f【答案】D【解析】由图可知周期3422T πππ⎛⎫=+⋅=⎪⎝⎭,故212T πω==;由于()02f π=,即3,244x ππϕϕπϕ+=+==,故选D. 二、填空题1. 【2016届邯郸市一中高三第十研】如图，在Rt ABC ∆中，090A ∠=，,D E 分别是,AC BC上一点，满足030ADB CDE ∠=∠=，4BE CE =．若CD =，则BDE ∆的面积为________．【解析】过点E 作EF AC ⊥于F ，设DEC α∠=，则180DEB α∠=︒-，又由已知可知120BDE ∠=︒，在DEC ∆中，由正弦定理可得：sin30sin EC DCα=︒ ①；在DEB ∆中，由正弦定理可得：sin120sin(180)sin BE DB DBαα==︒︒- ②①÷②得： sin120sin30EC DCBE BD︒⨯=︒，又4BE CE =，CD =，解得4BD =，所以有124,2555EF AB DE EF ====，1sin1202BDE S DE BD ∆=⨯⨯⨯︒=2. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是．【答案】13. 【2016届山西省四校高三年级第四次联考】在ABC ∆中，2,105,4500===BC C A 则AC = .【答案】1 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由A B C π++=，045,105A C ==，则030B =，由正弦定理得sin sin a bA B=sin sin 301sin sin 45B AC b a A ⇒==⨯==.三、解答题1. 【2016年湖北省八校高三第二次联考】 (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AC =，23ABC π∠=，3ACD π∠=. （Ⅰ）求sin BAC ∠；（Ⅱ）求DC 的长.【答案】;（Ⅱ）由（Ⅰ）有：cos sin CAD BAC ∠=∠=sin CAD ∠==，所以1sin sin 32D CAD π⎛⎫=∠+== ⎪⎝⎭, ………………9分由正弦定理得：sin sin sin sin DC AC AC CAD DC CAD D D∠=⇒===∠……………12分2. 【2016年九江市第三次高考模拟】（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知1,cos 21sin 2tan =-=b CCA .（1）求a 的值；（2）若7=c ，求ABC ∆外接圆的面积.ACD B(第17题图)【答案】(1) 2=a ；(2)73π．【解析】（1）要求边，从已知条件知只能对2sin tan 12cos CA C=-进行变形，首先“切化弦”，得CCA A cos 21sin 2cos sin -=，交叉相乘得C A C A sin cos 2)cos 21(sin =-，由此有)sin(2sin cos 2cos sin 2sin C A C A C A A +=+=2sin B =，至此角,A B 的关系明确了，再由正弦定理可得a ；（2）要求ABC ∆外接圆的面积，就是要求圆的半径，由正弦定理知应求得sin C （当然求sin ,sin A B 都可以），这可先由余弦定理求得cos C 再转化为sin C ．试题解析：（1）由已知得CCA A cos 21sin 2cos sin -=，即C A C A sin cos 2)cos 21(sin =-.（2分） ∴)sin(2sin cos 2cos sin 2sin C A C A C A A +=+=.（3分） ∵B C A -=+π，∴B A sin 2sin =.（4分）由正弦定理得b a 2=.（5分） ∵1=b ，∴2=a .（6分）3. 【NCS(南昌市)20160607项目第一次模拟】已知函数f(x)=sin ωx+ cos ωx ）cos ωx 一12（x ∈R ，ω>0）．若f(x)）的最小止周期为4π． ( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a-c)cosB=bcosC ，求函数f(A) 的取值范围．【答案】(Ⅰ)4433k k k 4π2ππ-π+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦Z ，()；(Ⅱ)1)21()(，∈A f ．【解析】（I ）2()cos cos 12f x x x x ωωω=+-12cos 2sin(2)26x x x ωωωπ=+=+．π422πT ==ω，41=∴ω．由 Z ∈+≤+≤-k k x k ，226222πππππ，得 Z ∈+≤≤-k k x k ，3π2π43π4π4． ∴()f x 的单调递增区间为4433k k k 4π2ππ-π+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦Z ，().------------------（6分）（Ⅱ）由正弦定理得，C B in B C in A cos s cos )s (2sin =-，∴)cos sin 2sin(C B A B +=， ∵A C B sin )sin(=+0>，∴21cos =B ．又0B <<π， .3B π∴=203A π∴<<．6262A πππ∴<+<． 1)21()(，∈∴A f ．------------------（12分）4. 【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】（本小题满分12分）已知()f x a b =⋅r r，其中(2cos ,2)a x x =r ，(cos ,1)b x =r，x R ∈．(1)求()x f 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，a =，且向量(3,sin )m B =u r与(2,sin )n C =r共线，求边长b 和c 的值．【答案】(1) ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππ;(2)3,12b c ==.5.【2016届河北省石家庄市高三二模】（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且满足C b a cos 3=. （Ⅰ）求BCtan tan 的值；（Ⅱ）若3tan ,3==A a ，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）3. 【解析】（I ）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===可得： 2sin =32sin cos R A R B C ⨯ …………………1分A B C π++= sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+， -------------------------3分即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ cos sin =2sin cos B CB C∴故tan =2tan CB． -------------------------5分（II ）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23tan 312tan BB=--，-------------------------7分解得tan 1B =或1tan 2B =-，根据tan 2tan C B =得tan tan C B 、同正，所以tan 1B =,tan 2C =. ……………………8分则tan 3A =，可得sin sin sin B C A ===，∴b =，-------------------------10分所以11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯=.-------------------------12分 6. 【2016届淮南市高三第二次模拟】在ABC ∆中，边,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B . （1）求0B 的值；（2）当0,3,6B B a c ===，又12AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）03=B π；（2【解析】（1）由题设及正弦定理知，2=+b a c ，即2+=a cb .由余弦定理知， 22222222()3()23(2)212cos 22882++-+-+--===≥=a c a c a c b a c ac ac ac B ac ac ac ac ，cos = y x 在(0,)π上单调递减，∴B 的最大值03=B π. 6分（2）2220B B ,1,c 2,b 2cos 3,3====∴=+-= a a c ac B π,6,3==c a 222,,2∴=+∴=c a b C π33=∴b ，又2=AD ，在ACD ∆中由余弦定理得：13=CD 12分7. 【2016年河南省商丘市高三第三次模拟】（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且C c A b B a cos 2cos cos =+. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为32，求边长c 的最小值.【答案】(I) 60C = ；（II ）．（Ⅱ）由已知1sin 2S ab C ===，……………………………………7分所以8ab =，…………………………8分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-…………………………………………9分∴2222cos 8c ab ab C c ≥-⇒≥，…………………………………………10分∴c ≥a b =时取等号）．∴c 的最小值为.…………………………………………………………12分8. 【2016年唐山市高三年级第一次模拟】（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°+1.(I)求BC ；(II)求△ACD 的面积．【答案】；（Ⅱ）1．9. 【2016年江西省南昌市高考数学一模】已知函数的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．答案：（1）（2）【解答】解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴，∴∵，，∴∴．。

解三角形单元测试题及答案(最新整理)

sin A a , sin B b , sin C c
5）化角为边：
2R
2R
2R
二.三角形面积
S ABC
1.
1 ab sin C 2
1 bc sin 2
A
1 ac sin B 2
三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
cos A b2 c 2 a 2
2.变形：
2bc
cos B a 2 c 2 b2 2ac
cos C a 2 b2 c 2 2ab
1
a 2 c 2 b2 ac cos B 1
2
2
1
∵sinC≠0，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝ .
2
3
(2)由正弦定理得，b＝ asinB＝ 2 sinB ，c＝ asinC＝ 2 sinC，
sinA 3
sinA 3
2
2
则 l＝a＋b＋c＝1＋ (sinB＋sinC)＝1＋［sinB＋sin(A＋B)］
3
3
3
1
＝1＋2( sinB＋ cosB)＝1＋2sin(B＋ ).
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
→
→→
3.在△ABC 中，已知| AB |＝4，|AC|＝1，S△ABC＝ 3，则AB·AC等于( )
A．－2
B．2
C．±4
D．±2
4．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120°，则 a

苏教版理科数学解三角形单元测试

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题| | ]1．（2018全国新课标Ⅰ理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 31. 答案：A解答：取2AB AC ==,则BC =∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.学 ]2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =（）A ．BCD ． 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-，所以22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，c ∴=A ．3．（2018全国新课标Ⅲ文、理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．答案：C解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4C π=.故选C.二、填空1．（2018北京文）若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；c a的取值范围是_________．学 ]1．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=V Q，2222a c b ac +-∴=，学 ]即cos B =，sin cos B B ∴=，3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝，，故()2,ca ∈+∞．2．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．2．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．3．（2018浙江）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3．.3 解答：由正弦定理sin sin a b A B =2sin B=，所以sin B =学 ] 由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c+-=，所以3c =.4．（2018全国新课标Ⅰ文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．4.解答：根据正弦定理有：sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，∴2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，∴1sin2A =.∵2228b c a+-=，∴2224cos 2b c a A bc bc +-===，∴bc =，∴1sin 2S bc A ==. 学 ]三、解答题学 ]1．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】（1）π3A ∠=；(2) AC．【解析】（1）在ABC △中，17cosB =-Q ，π,2B ⎛⎫∴∈π ⎪⎝⎭，sin B ∴==由正弦定理得7sin sin sin a b A B A =⇒=sin A ∴=． π,2B ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭Q ，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴∠=．（2）在ABC △中，()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+Q 1172⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭如图所示，在ABC △中，sin h C BC =Q，sin 7h BC C =⋅==， AC ∴．]2．（2018天津理）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. 学 ]（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.2．【答案】（1）π3；（2）b =，()sin 2A B -=．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由sin cos 6πb A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6πa B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin co πs 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B =．又因为()0,πB ∈，可得π3B =．（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，学+ + ]有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由sin cos 6πb A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sin A =．因为a c <，故cos A =因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=，所以，()11sin 2sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-=．3．（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .3.答案：（1（2）5. 解答：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴sin ADB ∠=,∵90ADB ∠<,∴cos ADB ∠==.（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠， ∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,=∴5BC =.。

四年级下册数学苏教版第七单元三角形、平行四边形和梯形(单元测试)

苏教版四下第七单元测试卷三角形,平行四边形和梯形一、选择题1．下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A．B．C．2．平行四边形一条边上的一点（不包括顶点）到对边可以画（）垂线。

A．一条B．两条C．无数条D．三条3．下面说法正确的有（）个。

①三角形具有稳定性。

①三角形越大，该三角形的内角和就越大。

①我画了一个三角形，其中最小的角是61°。

①用3根分别长1cm、2cm、3cm的小棒，一定可以拼成一个三角形。

A．1B．2C．3D．44．一个平行四边形相邻的两条边的长度分别是3cm和6cm，它的高可能是（）。

A．4cm B．7cm C．9cm D．都有可能5．用哪两块七巧板可以拼成一个平行四边形？（）A．①①B．①①6．下图中，平行四边形的边AB上的高是（）。

A．16厘米B．23厘米C．无法确定7．下面的关系图正确的是（）。

A．B．C．D．8．刘师傅把一根铁丝剪成3段正好可以围成一个三角形，其中两段铁丝分别长11厘米、17厘米，第3段铁丝的长度不可能是下面的（）。

A．10厘米B．8厘米C．6厘米9．把一根16厘米长的绳子剪成3段（每段都是整厘米数），下面能围成等腰三角形的有（）组。

①4、4、8①5、5、6①4、6、6①2、7、7A．1B．2C．3D．410．在下边给定的正方形网格图上，找一点D（D在格点上），使依次连接点A、B、C、D、A形成的四边形是一个梯形，那么符合条件的点D共有（）个。

A．6B．4C．5D．3二、图形计算11．计算如图图形中①A的度数．三、填空题备( )个图钉。

如果其中2根硬纸条分别长3cm和5cm，那么另一根硬纸条最长为( )cm。

（填整数）13．把一根长12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），用线穿成一个三角形，三条边可能是( )厘米、( )厘米和( )厘米。

14．用两个完全一样的直角三角形（如下图）拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是( )厘米。