概率论与数理统计第03章多维随机变量及其分布第1讲

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一. (X,Y)是二维离散型的随机变量 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取 的值为(xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由概率的定义有
F 0 1 2 D 1 1/10 0 0 2 0 3 0 4 0 P{F=j} 1/10 7/10 2/10 1
28
4/10 2/10 1/10 0 0 2/10
P{D=i} 1/10 4/10 2/10 3/10
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度
6, x y x, f ( x, y ) 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
4
一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是 S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维 随机向量或二维随机变量. X(e) e S Y(e)
5
定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数 x,y, 二元函数: 记成 F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x, Y y}
则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随 机变量X和Y的联合概率密度.
14
按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质: 1, f(x,y)0.
2,

- -


f ( x, y) d x d y 1.
3, 设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内 的概率为 P{( X , Y ) G} f ( x, y ) d x d y. (1.3)
Y 1 2 3 4 X 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16
12
将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机 变量X和Y的联合分布函数为
F ( x, y ) pij ,
xi x y j y
P{Y X } P{( X , Y ) G} f ( x, y ) d x d y
G


0


y
2e
-( 2 x y )
1 d xd y . 3
19
y
O
x G
20
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到 n(n>2)维随机变量的情况. 一般, 设E是一个随 机变量, 它的样本空间是S={e}, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ..., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1,X2,...,Xn)叫 做n维随机向量或n维随机变量.
即 FX(x)=F(x,).
同理 FY(y)=F(,y).
(2.1)
(2.2)
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一. (X,Y)是二维离散型的随机变量 对于离散型随机变量, 由(1.2),(2.1)式可得
FX ( x) F ( x, )
xi x j 1
p
ij
.
与第二章(3.2)式比较, 知道X的分布律为
1 1 P{ X i, Y j} P{ X i}P{Y j | X i} , 4 i i 1,2,3,4, j i.
11
1 1 P{ X i, Y j} P{ X i}P{Y j | X i} , 4 i i 1,2,3,4, j i. 于是(X,Y)的分布律为
概率论与数理统计
1
第三章 多维随机变量及其分布
第1讲
2
§1 二维随机变量
3
在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要 同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情 况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿 童都能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样 本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童, 而 H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又 如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵 坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一 个样本空间的两个随机变量.
Δ y 0
F ( x, y ) - F ( x, y Δ y ) F ( x, y )] f ( x, y ). xy
2
16
这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很 小时 P{x<Xx+Dx, y<Yy+Dy}f(x,y)DxDy, 即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概 率近似等于f(x,y)DxDy. 在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质 2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲 面z=f(x,y)为顶面的柱体体积.
i 1
分别称pi(i=1,2,...)和pj(j=1,2,...)为(X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布律(注意, 记号pi中的"" 是由pij关于j求和后得到的; 同样, pj是由pij关 于i求和后得到的).
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二. (X,Y)是二维连续型的随机变量 对于连续型随机变量(X,Y), 设它的概率密度为f(x,y), x 由于 FX ( x) F ( x, ) f ( x, y ) d y d x, - - 由第二章(4.1)式知道, X是一个连续型随机变量, 且其概率密度为
f X ( x)

-
f ( x, y) d y
(2.3)
同样, Y也是一个连续型随机变量, 其概率密度为
fY ( y )
-
f ( x, y) d x
(2.4)
称fX(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度
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例1 一整数N等可能地在1,2,3,...,10十个值中取一个 值. 设D=D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N) 是能整除N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出 D和F的联合分布律及边缘分布律. 解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列如如下:
任给n个实数x1,x2,...,xn, n元函数 F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn} 称为n维随机变量(X1,X2,...,Xn}的分布函数或 联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的 分布函数的性质.
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§2 边缘分布
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二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数F(x,y). 而X和Y都是随机变量, 分别也有分布 函数, 将它们分别记为FX(x),FY(y), 依次称为 二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数. 边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数 F(x,y)所确定, 事实上, FX(x)=P{Xx}=P{Xx, Y<}=F(x,),
G
4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有
F ( x, y ) f ( x, y ). xy
2
15
由性质4, 在f(x,y)的连续点处有
P{x X x Δ x, y Y y Δ y} lim Δ x 0 Δ xΔ y
Δ y 0
1 lim [ F ( x Δ x, y Δ y ) - F ( x Δ x, y ) Δ x 0 Δ x Δ y
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随 机变量X和Y的联合分布函数. y (x,y)
O
x
6
易知, 随机点(X,Y)落在矩形域 [x1<Xx2, y1<Yy2]的概率为 P{x1<Xx2, y1<Yy2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). (1.1)
pij 0,
p
i 1 j 1


ij
1.
9
称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随 机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联 合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律:
Y
X
x1
x2
...
xi
.来自百度文库.
y1
y2 yj ...
p11
p12 ... p1j ...
y
y2
y1
x1
x2
x
7
分布函数F(x,y)具有的基本性质: 1, F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意 固定的y, 当x2>x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意 固定的x, 当y2>y1时F(x,y2)F(x,y1). 2, 0F(x,y)1, 且 对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0, F(-,-)=0, F(+, +)=1. 3, F(x,y)关于x和关于y都右连续. 4, 任给(x1,y1),(x2,y2), x1<x2, y1<y2, F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0
(1.2)
其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.
13
二. (X,Y)是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y) 的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于 任意x,y有
F ( x, y)
y
- -

x
f (u, v) d u d v,
2
y
y=x y=x2 O x
29
解
f X ( x ) f ( x, y ) d y
-
y
y=x
y=x2 x
6 d y 6( x - x 2 ),0 x 1, x 2 O 0 其它.
x
f Y ( y ) f ( x, y ) d x
-

y 6 d x 6( y - y ), 0 y 1, y 0, 其它.
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例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
2 e - ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它. 0, (1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P{YX}. y x 解 (1) F ( x, y ) f ( x, y ) d x d y
P{ X xi } pij ,
j 1
i 1,2,
同样,Y的分布律为
P{Y y j } pij ,
i 1
j 1, 2,
24
记
pi pij P{ X xi },
j 1

i 1,2, j 1,2, ,
p j pij P{Y y j },
30
例3 二维随机变量(X,Y)的概率密度为 - 1 ( x - 1 ) 2 1 f ( x, y ) exp 2 2 2 2π 1 2 1 - 2(1 - ) 1
样本点 1 D F 1 0 2 2 1 3 2 1 4 3 1 5 2 1 6 4 2 7 2 1 8 4 1 9 3 1 10 4 2
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样本点 1 D 1 F 0
2 2 1
3 2 1
4 3 1
5 2 1
6 4 2
7 2 1
8 4 1
9 3 1
10 4 2
D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:
p21
p22 ... p2j ...
...
... ... ... ...
pi1
pi2 ... pij ...
...
... ... ... ...
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例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可 能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律.
解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知 {X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i 的正整数, 且

y
- - x
-( 2 x y ) d x d y, x 0, y 0 0 0 2 e 0, 其它.
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(1 - e -2 x )(1 - e - y ), x 0, y 0, 即有 F ( x, y ) 其它. 0, (2) 将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标, 即有 {YX}={(X,Y)G}, 其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分, 于是