圆的割线性质与切线性质相互演变规律的研究

圆的割线性质与切线性质相互演变规律的研究
作者：李道生
来源：《中学数学杂志(初中版)》2018年第04期
【摘要】采用运动的方法，平移圆的割线至切线这一极限位置，发现了割线与切线的关系是一般与特殊关系，并从平移过程中找到了相关几何元素之间的相互替换关系，从而通过替换实现了割线与切线性质的统一.用运动观点去研究圆的性质，不仅有利于设计教学程序引导学生进行探索性思维活动，而且有利于揭示知识之间的内在联系，弄清知识之间的来龙去脉，因此，本文介绍的方法对指导教学及减轻学生学习负担都具有重要的意义.
【关键词】割线；切线；运动，一般；特殊；替换；极限位置
在圆的性质的教学过程中，笔者对眼花缭乱的圆的性质的内在联系，采用极限运动的方法进行了尝试性探索，发现圆的性质尽管层层重叠丰富多彩，但其内部有着美妙的联系，由此找到了建立联系的方法，从中感受到圆的性质美不胜收，令人妙不可言.只要我们抓住其间的内在联系，圆的性质由复杂变简单，牢牢地掌握在我们的灵魂深处，永不磨灭.
下面，运用极端运动的方法，对圆的性质进行相关的探讨，由此更深切地感受到问题研究过程中所运用的思维方法的科学性与实用性.
如图1，OD⊥AB，垂是为E，由垂径定理知，EA=EB，DA=DB，若水平割线AB向下匀速平移，则两交点A、B始终以对等的速度分别沿AE、BE向点E靠近，同时以对等的速度分别沿AD、BD向点D靠近，当点E到达点D时，A、B两点同时到达点D，割线AB变成切线MN，如图2.
当割线变为切线时，直线与圆的两个交点（即两个公共点）从不重合（割线）到重合（切线），并不是从两个交点变为一个交点；就象一元二次方程有两个相等的根仍看作两个根一样，直线与圆的两个交点重合仍看作直线与圆有两个交点.因此，在割线变为切线的过程中，直线与圆始终有两个交点（从这个意义上讲，切线可看作两交点重合的一条特殊割线）.
在割线变为切线的过程中，无论从移动速度的均衡对称性上看（始终以对等的速度），还是从直线与圆的交点个数情况来看（始终有两个交点），其间未有任何“突变”的情况发生.因此，割线AB与切线MN的关系，如同割线AB与割线PQ的关系一样，只有位置的不同，没有本质的变化（没有“量变”哪有“质变”）.由此，我们猜想：有关割线的性质对切线仍然适用，反之亦然，其表现形式是一般与特殊的关系（就象一元二次方程一样，无论两根相等与否，都
满足“根与系数的关系”，都可用“求根公式”求根一样；同理，无论割线与圆的两交点是否重合，我们猜想它们都满足共同的圆的性质，其关系是“一般与特殊的关系”）.
下面我们利用上面变化过程中的规律性认识，研究它在探索圆的性质的内在联系上的奇妙作用.
垂径定理及推论特殊化一般化切线性质定理及推论
由垂径定理及推论我们有，对一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么一定满足其它三个：（1）（垂直于弦）垂直于割线（注意，弦所在的直线是割线）；（2）过圆心；（3）（平分弦）过弦的中点；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.
注意：当知（2）（3）推（1）（4）（5）时，小心“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧”；即应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”.
观察如下运动过程：
割线（与圆有两个不同的公共点）变为切线（与圆有两个重合的公共点）.切点可看成两重合的公共点，过此两（重合）公共点的弦（称作切点弦——极限观点）是长度为零的弦，它的中点与两重合公共点（即切点）重合，亦即，切点弦的中点为切点.
注意，长度为零的“切点弦”本来是不存在的，所谓“切点弦的中点”也就无从谈起.为了找到割线性质与切线性质的相互演变方法，我们将“弦、弦的中点”平移到极端位置时的极限情形，给出对应的极限定义“切点弦、切点弦的中点”.再则，“弦”所在的直线是割线，对应地，“切点弦”所在的直线是切线.
从演变过程，我们得到如下对应替换关系：
注意：过圆心与弦的中点的直线垂直于弦，可见，弦的中点E也就是垂足E，这里，根据极限运动的演变规律，发现以上替换关系，从而找到割线性质与切线性质的相互演变方法.
首先，通过以上替换关系，我们可由垂径定理及推论发现对应的切线性质定理及推论如下：对一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么一定满足其它三个：（1）（垂直于切点弦）垂直于切线（注意：切点弦所在的直线是切线）；（2）过圆心；（3）（过切点弦的中点）过切点（注意，切点弦的中点是切点）；（4）平分切点弦所对的劣弧；（5）平分切点弦所对的优弧.
切点弦所对的劣弧是两端点与切点重合的弧长为零的弧，切点弦所对的优弧是两端点与切点重合的圆，过圆心且平分切点弦所对的劣弧与平分切点弦所对的优弧的直线都是过切点的直线，因此，（4）与（5）都可用“（3）过切点”代替，即五条实质可浓缩为三条，因此有：
切线性质定理及推论：对一个圆和一条直线来说，如果具备下列三个条件中的任何两个，那么一定满足第三个：（1）（垂直于切点弦）垂直于切线；（2）过圆心；（3）（过切点弦的中点）过切点（注意，切点弦的中点是切点）.
可见，哪怕我们还没有接触学习切线性质定理及推论，但利用已证的垂径定理及推论，我们可通过如上替换法，发现切线性质定理及推论，它们是一般与特殊的关系.
总之，利用如上给出的替换关系，我们既可由割线性质特殊化发现对应的切线性质，也可由切线性质一般化发现对应的割线性质，这对设计圆的性质的发现式教学程序有重要的指导性作用.上面（注意：弦所在直线是一般的割线，切点弦所在的直线则是特殊的割线即切线），我们利用替换关系由垂径定理及推论发现了切线性质定理及推论，从替换中，我们不但发现了切线性质定理及推论，而且看到了垂径定理与切线性质定理之间的内在联系.
（说明：如上替换演变方法，也是割线问题变为切线问题进行一题多变的常用方法.对割线与切线的相应性质，其证明过程也应该是相互对应的，也具有一般与特殊的关系.大家可将它们的证明过程对比转换，就能看出这一点.从这里可见，只要证明了有关割线的性质，再将证明过程对应特殊化，就得到相对应的切线性质的证明方法，不需要另外去探索证明方法了，从而减轻了学生学习与教师教学的负担.）下面，我们利用上面给出的替换关系，研究若干割线性质与切线性质相互演变的具体方法，示范如下，以此类推：
一、平行弦性质特殊化平行切线性质
二、切线长定理一般化割线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点 OA=OBPA=PB∠APO=∠BPO
则可通过替换演变出内部和谐统一的几何命题.
引入切点弦及所具有的轴对称性，可将圆的一些性质有机地串联起来，揭示圆的性质之间的内在联系，从中感受到圆性质的内在对称美，其研究过程中的极限思维闪耀着的智慧之光，鲜艳夺目，灿烂辉煌，给我们带来新奇的美的感受，感受美欣赏美赞叹美，美不胜收，其乐无穷.综上可见，用极限运动观点去研究圆的性质，不仅有利于设计教学程序引导学生进行探索性思维活动，而且有利于揭示知识之面的内在联系，弄清知识之间的来龙去脉.如此“活化”后的圆的知识框架，更能加深对知识的理解记忆，达到灵活运用的功效.
从这里深切感受“极端运动的方法”，在几何研究中的巨大作用与非凡的功能，也让我们体会到创新性学习，不墨守成规，不局限教材方法的好处，方法比死记僵死的知识更重要，善于总结方法，发现规律，才能开发智力，提高学习效率，成为一代创新型人才.作者简介李道生（1962—），男，中教一级，主要从事快速记忆、创新教育、教材教法等课题的研究工作，发表中数教研论文二十余篇，出版专著三本，辅导学生获第三十届全国青少年科技创新大赛数学一等奖.。