极点分布与系统稳定性研究
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响
一．控制系统与极点
自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响
极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：
⑴连续系统
理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式
设系统函数为：
将H(S)进行部分分式展开：
1n a s -+++
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为
……
由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
判断系统稳定性
摘要
现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。
根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。
本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。
关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。
一、设计原理
1.设计要求
（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。
（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。
（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性
（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等）
2、系统稳定性、特性分析
进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。
对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。 当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。 系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。
11零点极点分布对系统的影响
• 求系统的系统函数 H (z) ，并画出极点、零点分布图。
• 限定系统是因果的，写出
的收敛域，并求出其
单位脉冲响应
。 H(z)
h(n)
• 限定系统是稳定的，写出
的收敛域，并求出其
单位脉冲响应
。 H(z)
h(n)
利用系统的零极点分布分析系统的频率响应
j Im(z)
pi
B
zi
pi
Re(z)
当B点转到极点附近 j Im(z)
pi zi
pi
B
Re(z)
2 j Im(z)
pi
zi pi
B
Re(z)
小结
极点的位置主要影响频响的峰值及尖锐程度。 零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
例1：系统有一极点在 z = 0, 一零点在 c = 0.9 e j/4 , 其分布如下左图；幅度和相位响应如右图；
H (z) Az N M
r 1 N
(z dr)
r 1
设系统稳定，将z=e jω，得到传输函数
M
(e j cr )
H (e j ) Ae j ( N M )
r 1 N
设N=M，得到
(e j dr )
r 1
M
(e j cr )
由系统函数零、极点分布决定时域特性
系统函数：h(t) H(s) m
(s zl )
(s zj )
E(s)
l 1 v
H(s)
j 1 n
(s Pk )
(s Pi )
k 1
响应： r(t) R(s)
u
m
(s zl ) (s zj )
R(s) l1 v
j1 n
(s Pk ) (s pi )
稳态响应 暂态响应
Rs 1.5 1 2 1 2.5 1
s s1 s2
E(s)的极点 H(s)的极点
r(t) 1.5 2et 2.5e2t (t 0)
强迫响应 自由响应
§ 4.8 由系统函数零、极点分布 决定频响特性
•定义 •几种常见的滤波器 •根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
非最小相移网络最小相移网络全通网络全通函数最小相移函数移函数非最小相410410线性系统的稳定性线性系统的稳定性?引言?定义bibo?证明?由hs的极点位置判断系统稳定性某连续时间系统的系统函数但t很大时这个正指数项超过其他项并随着t的增大而不断增大实际的系统不会是完全线性的这样很大的信号将使设备工作在非线性部分放大器的晶体管会饱和或截止一个机械系统可能停车或发生故障等
一．定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响
应随频率的变化情况。 H jω
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
U(s) _
+ 1/sC
sL R
k = 5.0000e+009 zs = 0 ps = 1.0e+005 *
I(s) -
-0.2500 + 4.9937i
（2）当所有的br都为0时（b0=1），H(z)为一个多项式：
1 H(z)
N
1 ak z k k 1
（9.1.5）
此时，系统的输出只与当前的输入和过去的输出有关，称为AR系统。由于系统函数H(z)只有极点（原点处的零 点除外），该系统也叫全极点系统。h(n)为无限长度序列，所以这类系统称为无限长单位脉冲响应系统（IIR）。
第9章 系统函数的零极点分析
LTI系统的系统函数H(.)在系统分析中有重 要地位，系统函数决定了系统在时域和频域的 一些基本特性。系统的时域、频域特性都集中 地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表 现出来。
9.1 系统的零极点
9.1.1 系统的零极点
系统函数H(.)的零极点分布可以决定系统的性质，例如可以由极点分布求系统单位样值响应、由极点分布 确定系统稳定性、由零极点分布确定系统频率特性等。另外，也能按给定的要求通过H(.)求得系统的结构和 参数，LTI系统的设计问题实际上就是如何获取一个具有预期特性的系统的系统函数。具体来说，研究系统 零极点具有以下意义：
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
自动控制原理实验 控制系统稳定性分析和时域响应分析
实验二 控制系统稳定性分析和时域响应分析
一、实验目的与要求
1、熟悉系统稳定性的Matlab 直接判定方法和图形化判定方法；
2、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的动态性能指标分析；
3、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的稳态性能指标分析。
二、实验类型
设计
三、实验原理及说明
1. 稳定性分析 1）系统稳定的概念
经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动共同作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的，反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。 2）系统特征多项式
以线性连续系统为例，设其闭环传递函数为
n
n n n m
m m m a s a s a s a b s b s b s b s D s M s ++++++++=
=----11101110......)()()(φ 式中，n n n n a s a s a s a s D ++++=--1110...)(称为系统特征多项式；0
...)(11
10=++++=--n n n n a s a s a s a s D 为系统特征方程。 3）系统稳定的判定
对于线性连续系统，其稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程具有负实部，即全部根在左半复平面内，或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s 平面内。
对于线性离散系统，其稳定的充分必要条件是：如果闭环系统的特征方程根或者闭环传递函数的极点为n λλλ,...,21，则当所有特征根的模都小于1时，即),...2,1(1n i i =<λ，该线性离散系统是稳定的，如果
系统函数零极点时域特性和稳定性
j
h(t)
j
a 0 0
t
j
eat sint
(s a)2 2
2(s a) [(s a)2 2 ]2
teat
sin t
ⅵ) pi，pj共轭右半平面（一阶） pi，pj共轭右半平面（二阶）
j
h(t)
j
0 a 0
t
j
j
h(t)
j
0 a 0
j
t
(s a)2
2
eat
sin t
2(s a) [(s a)2 2 ]2
1] 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶）
j
j2
j1
零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
1 0 1
j1
j2
复数极点 和零点成
对出现
[例1]： ②
H (s)
s(s 2)(s 3) (s 1)2
} lim h(t) 0
系统稳定
因果系统 h(t)=0
ltim h(t)
A或等幅振荡
系统临界稳定
(t<0)
t ltim
h(t)
不存在
系统不稳定
因果系统 的稳定性 划分
3．H(s)与系统稳定性关系
第3章 控制系统的稳定性
4 3 13 -7 99 21
5 1 9 6
5 3
劳斯判据举例二
• 例3.4已知系统特征多项式如下，判定稳定性 已知系统特征多项式如下， 已知系统特征多项式如下 和闭环极点分布的状况： 和闭环极点分布的状况： s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
s s5 s4 s3 2 s s1 s0
劳斯表及其制作（ 劳斯表及其制作（续1） ）
（2）表体的填法：设表体某单元的值为 ）表体的填法： Ai,j(i≥3)，约定在 ＜3时的 i,j值即为该表头位 时的A ，约定在i＜ 时的 置之值。 的值由下式求出： 置之值。Ai,j的值由下式求出：
Ai , j = −
1 Ai −1,1
Ai −2,1 Ai −1,1
失稳效应的例子（ 失稳效应的例子（二）
• 第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于 1940年7月1日开通。人们发现这座桥只要 日开通。 年 月 日开通 刮风就会振荡。四个月后， 月 日碰到一 刮风就会振荡。四个月后，11月7日碰到一 场风速为19m/s的风，桥剧烈地扭曲振动， 的风， 场风速为 的风 桥剧烈地扭曲振动， 且振幅越来越大，直到桥面倾斜到45°左 且振幅越来越大，直到桥面倾斜到 ° 使吊杆逐根拉断， 右，使吊杆逐根拉断，导致桥面钢梁折断 而塌毁。 而塌毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥 为外景拍摄，记录了全过程。 为外景拍摄，记录了全过程。
极点与系统稳定性
极点对系统性能影响
一．控制系统与极点
自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响
极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：
⑴连续系统
理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式
设系统函数为：
将H(S)进行部分分式展开：
1n a s -+++
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为
……
由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
连续系统复频域分析报告附MATLAB实现信号与系统实验报告
计算机与信息工程学院设计性实验报告
专业：通信工程年级/班级：2011级第二学年第二学期
一、实验目的
1.掌握用matlab分析系统时间响应的方法
2.掌握用matlab分析系统频率响应的方法
3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系
二、实验原理
1.系统函数H(s)
系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比.
H(s)=R(s)/E(s)
在matlab中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法.在matlab中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下
则可用如下二个向量num和den来表示:
num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8]
2.用matlab分析系统时间响应
1)脉冲响应
y=impulse(num,den,T)
T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点.
2)阶跃响应
y=setp(num,den,T)
T同上.
3)对任意输入的响应
y=lsim(num,den,U,T)
U:任意输入信号. T同上.
3.用matlab分析系统频率响应特性
频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性.
|H(jω)|:幅频响应特性.
ϕ(ω):相频响应特性(或相移特性).
Matlab求系统频响特性函数freqs的调用格式:
h=freqs(num,den,ω)
ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点.
4.系统零、极点分布与系统稳定性关系
系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性.
由系统函数零、极点分布决定时域特性
s2 3s 2Rs s 3Es sr0 r0 3r0
则
Rzi
s
sr0 r0 3r0
s2 3s 2
零输入响应为:
Rzs
s
s 3Es
s2 3s 2
rzi (t) 4et 3e2t t 0
由系统函数零、极点分布决 定时域特性
• 序言 • H(s)零、极点与h(t)波形特征 • H(s) 、E(s)的极点分布与自由响
应、强迫响应特性的对应
一．序言
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
M2
N1
1
1 R1C1
2
1 R2C2
1
Oσ
极点：p1
1 R1C1
，
1 p2 R2C2
零点：z1 0
V2 k V1 k
2
O
1
R2 C 2
ω
90 ห้องสมุดไป่ตู้5
O
45 90
1
ω
R1C1
§4.9 全通函数与最小相移函数 的零、极点分布
实验四系统零极点分析
(计算时通常使aN＝1)
单位函数响应h(n) ZT 系统函数H (z)
系统的零极点
H
(z)
说明：对系统的零极点进行分析的意义
可确定系统的H(s)； 判断系统的稳定性；
(1)用MATLAB来绘制连续系统的零极点图 连续系统的零极点位置可以用matlab中的多项
式求根函数roots()来求得，其调用格式为： p=roots(D)：D是由多项式的系数构成的行向量 例：求s2+4s+3=0的根。
>> d=[1 4 3];
>> p=roots(d)
p =
-3
-1
用roots()函数求出系统函数H(s)的零极点后， 即可用plot命令在复平面上绘出系统函数的 零极点。方法是在零点位置用符号“O”表示， 在极点位置用符号“X”表示。下面的函数可 以求出系统函数的零极点并绘制零极点图。
且令系统的初始状态为零，
[aN z N aN 1z N 1 ... a0 ]Y (z) [bM sM bM 1sM 1 ... b0 ]X (z) 定义离散系统的系统函数H (z)
H (s)
Y (z) X (z)
bM s M aN zN
bM 1sM 1 ... b0 aN 1z N 1 ... a0
H(s)有极点在右半平面，因此该系统是一个不稳定系统。
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
一、系统
研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理
论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的
时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的
语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入
有界输出(Bou nd In put Bou nd Output——BIBO) 稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系[ 统对所有的激励|f( • )| < Mf，其零状态响应|yzs( • )| < My(M为有限常数)，则称该系统稳
三、连续(时间)系统与离散(时间)系统
连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。
因果系统(causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现
输出(响应)的系统。也就是说，因果系统的(响应)不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
4-3 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
t
j
a 0 0
t
( s a )2 2
eat sin t
2 ( s a) teat sin t [( s a)2 2 ]2
总结：
•极点左半平面→h(t)波形衰减
•极点右半平面→h(t)波形增长
H ( s)
•虚轴上一阶极点→h(t)波形等幅振荡或阶跃
[例4]： 取何值时系统稳定、临界稳定？ K
+
V1 ( s )
-
G( s)
1 ( s 2)( s 1)
V2 ( s )
K
解： 2 ( s) [V1 ( s) KV2 ( s)]G( s) V 1 V2 ( s ) G( s) ( s 1)( s 2) 1 K V1 ( s ) 1 KG( s ) ( s 1)( s 2) K 1 ( s 1)( s 2)
( s p1 ) K H ( s ) |s p1直到 K = n 时才为有限值：n 阶极点
④∞处： 分母次数 > 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数 分母次数 < 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数
注意：零、极点个数相同
⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点
s[( s 1) 2 1] [例1]： ① H ( s ) ( s 1) 2 ( s 2 4) 解：
极点频率的概念
极点频率的概念
极点频率是指系统响应函数中的极点所对应的频率。在系统的传递函数中，极点是导致系统不稳定或者引起振荡的根源，因此，极点频率是描述系统稳定性和频率响应特性的一个重要概念。
在控制系统中，极点频率对系统的稳定性和频率响应特性有着重要的影响。一般来说，系统的极点越接近虚轴（负实数轴），系统越稳定；而极点与虚轴的距离越远，系统越不稳定，容易产生振荡。
对于稳定系统而言，极点频率可以反映系统的频率响应特性。极点频率越高，系统的频率响应特性越好，能够更好地跟踪快速变化的输入信号。极点频率也可以反映系统的阻尼特性，当极点频率比较低时，表示系统的阻尼较大，系统响应较为平缓；而当极点频率较高时，表示系统的阻尼较小，系统响应容易产生过冲和振荡。
在控制系统设计和分析中，可以通过调整系统的极点频率来改变系统的稳定性和频率响应特性。当需要提高系统的快速性和响应速度时，可以适当提高极点频率，使系统的频率响应特性好，能够更好地跟踪输入信号。而当需要控制系统的稳定性时，可以适当降低极点频率，使系统具有更好的稳定性和抗干扰能力。
在实际应用中，极点频率也与系统的带宽相关。带宽是指系统能够输出正弦信号的最高频率，通常用3dB带宽来表示。对于一个具有极点频率为ωp的系统来
说，当频率达到ωp时，其幅频特性下降3dB。因此，极点频率也可以用来描述系统的带宽。
总之，极点频率是描述系统稳定性和频率响应特性的一个重要概念。通过分析和调整系统的极点频率，可以改变系统的稳定性和响应特性，从而实现对控制系统的设计和分析。在控制系统工程中，对极点频率有一定的了解和应用是十分重要的。
线性控制系统-极零点及稳定性
• 则（实质为两系统串联），画出结构图， 列输入输出的状态方程，由梅森公式得出
求逆系统
• 转换关系 y G(s)u u G1(s) y
• 变换 x& Ax Bu
x& Ax Bu
y Cx Du u D1Cx D1y
x& ( A BD1C)x BD1y u D1Cx D1 y
G(s) L(s)M (s)R(s)
L(s)diag
11((ss))
,
2 (s) 2 (s)
,L
, r (s) ,0,L r (s)
,0 R(s)
M
(s)
diag
11((ss))
,
2 (s) 2 (s)
,L
, r (s) , 0,L r (s)
,0
N (s)D(s)1
N(s) diag1(s),2(s),L ,r (s),0,L ,0 D(s) diag1(s),2(s),L ,r (s),1,L ,1
i (s) 是首一(monic)多项式，是P(s)的不变因子，且满足：
i (s) i1(s),i 1, 2,L , r 1(整除特性divisibility property)
i (s) 是 P(s)的不变因子(invariant factors)。
D0 (s) 1, D1(s), D2 (s),L , Di (s),L 行列式因子