加权余量法精选ppt
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有限元原理(加权余量法和变分法)
3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试 函数选择的刚好，通常是有差 别的，如选用三角函数，但求 解过程会复杂，可见尝试函数 的选取是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： 线性微分算子
( ) q ( ) s
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义：
2 2 场域 内 : R R （） （） 边界上：
问题的自 由度
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
* * {[ w ( ) d ] C } {[ w ( ) d ] C } w q d w j i j i i i j j s d i 1 i 1 n
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
通过尝试函数，简化加权余数后：
F j ( R ) w j ( 2 q ) d w * j(
i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 i 2 1 2 2 ( C x ) ( C x ) ( C x ) i 1 2 i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2
其中： C i i
i 1 n
R ( ) ( ) ( ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
0.7+加权余量法
Ii S
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
第四章加权余量法
§4.1 微分方程的等效积分形式
微分方程的等效积分形式可以通过不同途径给出。与微分方程等价的泛函极值问题，就是其一
种 等 效 的 积 分 形 式 ， 如 对 于 对 称 、 正 定 的 算 子 方 程 L(u) f ， 其 等 价 的 泛 函 极 值 问 题 J[u] L(u),u 2 f ,u 就是其等效的积分形式。
（4.2.1-4）
其中i 是待定参数；{i } (i 1, 2,, n) 是一组基函数(或试探函数、形函数)，为已知函数，它取
自完全的函数序列，是线性独立的。另外，近似解通常要满足强制边界条件（4.2.1-3b）和连续性的 要求。
由于近似解是不能精确满足微分方程（4.2.1-3a），它将产生余量或残差（Residual），即
1
1
[
x
0
1
(2
x
x2
)](2
x
x2
)dx
0
积分后，得到
105 5
1
11 2
0
由此求得
1
55 202
0.2723 ，
故一级近似解：
u1 0.2723x(1 x)
● 在（4.2.2-10）式中取两项，得到二级近似解
代入微分方程，余量为
u2 1x(1 x) 2 x2 (1 x)
一点都得到满足，也存在余量（或残差） R T (u) g ，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）
不能对任何 v 、 v 都精确成立。
为获得微分方程的近似解 u ，我们取有限个给定函数
v wi ， v wi （ i 1, 2,）
微分方程的等效积分形式可以通过不同途径给出。与微分方程等价的泛函极值问题，就是其一
种 等 效 的 积 分 形 式 ， 如 对 于 对 称 、 正 定 的 算 子 方 程 L(u) f ， 其 等 价 的 泛 函 极 值 问 题 J[u] L(u),u 2 f ,u 就是其等效的积分形式。
（4.2.1-4）
其中i 是待定参数；{i } (i 1, 2,, n) 是一组基函数(或试探函数、形函数)，为已知函数，它取
自完全的函数序列，是线性独立的。另外，近似解通常要满足强制边界条件（4.2.1-3b）和连续性的 要求。
由于近似解是不能精确满足微分方程（4.2.1-3a），它将产生余量或残差（Residual），即
1
1
[
x
0
1
(2
x
x2
)](2
x
x2
)dx
0
积分后，得到
105 5
1
11 2
0
由此求得
1
55 202
0.2723 ，
故一级近似解：
u1 0.2723x(1 x)
● 在（4.2.2-10）式中取两项，得到二级近似解
代入微分方程，余量为
u2 1x(1 x) 2 x2 (1 x)
一点都得到满足，也存在余量（或残差） R T (u) g ，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）
不能对任何 v 、 v 都精确成立。
为获得微分方程的近似解 u ，我们取有限个给定函数
v wi ， v wi （ i 1, 2,）
chap1.2加权余量法-2012-03-1_480402246
§1.1.2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.2
对等效积分形式中
∫
Ω
进行m次分部积分。 进行m次分部积分。
Ω
∫ C~ (v) D(u)d Ω + ∫ E ~ ~ ~ ~
T Γ
T
(v ) F (u)d Γ = 0 （6）
~ ~ ~
均为m阶微分算子。 此时 C , D 均为m阶微分算子。 ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
δ( 例如： ~ - ~ j ) L(Ni (xj )) 例如： x x % % %
Nj (x) % ~
加权余量法的几种常用方案
1. 2. 3. 4. 5. 配点法，以笛拉克函数δ作为权函数 子域发 最小二乘法 力矩法 伽辽金法
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
为了下面讨论方便： 为了下面讨论方便： 不失一般性的认为 N i 已满足边界条件
所以上式可表示为： 所以上式可表示为：
L ∑ ~ ( N ( x )) a − f ( x ) = 0 ~ ~ ~ ~
i =1 i j i j
n
j = 1, 2,..., n
即，得到n个方程
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
L ∑ ~ N (x ) a − f (x ) = 0 ~ ~ ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
例： 简支梁弯曲问题
微 分 方 程 及 其 边 界 条 件
d 4w EJ -q= 0 4 dx x ∈ (0, l)
w=0
dw =0 dx
x = 0, l
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
FECh0112加权余量
自然边界条件(黎曼边界条件，即：边界上函数值已知) 、混合
边界条件(柯西边界条件)。
对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对 于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元 方程进行修正满足。
x B (u)g0
~
~~ ~
因此有：
v ~ T A ~ ( u ~ ) ~ f d ( v 1 A 1 ( u ~ ) f 1 v 2 A 2 ( u ~ ) f 2 ) d 0 3
1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同 的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾 到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师 对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标 准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在 相似性。
场函数解
u u(x)
~ ~~
2）瞬态问题（传播问题，初边值问题）
f (x,t)
~~
和
g (x,t)
~~
为t 的函数
场函数的解：u~
u(
~
x,
~
t
)
为空间与时间的函数
、 可以理解为时－空域，t 为开域 ( 0 , )
加权余量法
x1 x
0 x
dx 1 2
1 2
1
11 6
a1
0
W2 1 由④式得到：
1 2
x
12
1/2
1/ 2
R2 xdx x a1
解得：0
a1
0
0.1876
2 x x2 a2 a2 0.1702
2 6x x2 x3
加权余量法
4. 例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
一项近似解，n=1：
u1 a1x1 x
⑤
代入，得余量为：
R1x x a1 2 x x2
⑥
两项近似解，n=2：
u2 x1 xa1 a2 x
⑦
余量为：
R2 x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
②
当x=1时，u=0
取它的近似解为
u x1 xa1 a2x
③
其中ai为待定参数，试探函数 N1 x1 x ，N2 x1 xx ，...显然近似解满
足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为
零：
j
0 x
dx 1 2
1 2
1
11 6
a1
0
W2 1 由④式得到：
1 2
x
12
1/2
1/ 2
R2 xdx x a1
解得：0
a1
0
0.1876
2 x x2 a2 a2 0.1702
2 6x x2 x3
加权余量法
4. 例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
一项近似解，n=1：
u1 a1x1 x
⑤
代入，得余量为：
R1x x a1 2 x x2
⑥
两项近似解，n=2：
u2 x1 xa1 a2 x
⑦
余量为：
R2 x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
②
当x=1时，u=0
取它的近似解为
u x1 xa1 a2x
③
其中ai为待定参数，试探函数 N1 x1 x ，N2 x1 xx ，...显然近似解满
足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为
零：
j
加权余量法 ppt课件
加权余量法
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
综合评价方法+加权法PPT
9-17
描述 统计学
二、无量纲化方法（续）
B. 平均数比率法（均值化）、比重法
——从数学角度看，二者无实质区别。
＊
•
•
在实际工作中，常常把比率称为“指数”， 把对各个比率综合成总评价值的方法称为 “指数法”。
特点：意义直观、明确；对比标准利用了所 有的原始数据。
•
9-18
描述 统计学
二、无量纲化方法（续）
传统的评价分析仅表现为简单的数量比较。虽然这种方法的优点明显的表 现为：灵活、简单、约束条件少、适用范围广出；但也存在着较大的局限性。因 为对研究对象进行评价分析、可以采取各种各样的方法，而传统的评价方法是对 总体某一方面特征的单个指标、在不同时间、不同空间上进行对比。即通过相对 指标来说明分析对象在一定时间、地点、条件下的状况，这种传统评价方法存在 着如下的局限性。
9-4
1.
在统计评价中，选择合适的评价标准都是一个十分关键的步骤。评价标准选择 的合适，进行比较后，才能客观做出评价，选择的不合适，不仅不能正确反映研 究对象的真实性和客观性，反而还有可能得出错误的结论。在实际的统计评价分 析中，评价标准主要有以下几种选择：
1)、时间评价标准。即选择不同时间的指标数值作为评价标准。通常应用的是 与前一时期进行比较，如：2001年与1999年进行比较；今年下半年与今年上半年 进行比较；今年第四季度与今年第三季度进行比较；本月与上月的比较；本年的 某季度、月份与去年或者以前的某年同期进行比较；与历史上达到的最好水平的 年份或者时期进行比较；与历史上的一些关键年份、代表年份的比较分析，等等， 都可以进行。
描述 统计学
一、综合评价的意义（续）
＊
综合评价一般表现为以下几类问题： ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类， 但不同于复合分组（重叠分组）； ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一 事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
紧支试函数加权余量法_865603298
MLS近似可以精确地重构包含在基底中的任何 函数pi(x)，即
∑ N ( x) p ( x ) = p ( x)
I =1 I i I i
n
对于线弹性断裂问题，基函数可以取为
pT ( x ) = [1, x, y, r cos θ , r sin θ , r sin θ sin θ , r cos θ sin θ ] = [1, x, y, r ]
| 有限元法
16/40
近似函数
u h ( x, x ) = ∑ pi ( x )ai ( x ) = p T ( x )a ( x )
i =1 m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数） ai ( x ) — 待定系数
线性基： p T ( x ) = [1, x , y , z ], m = 4 二次基： p T ( x ) = [1, x , y , z , x 2 , xy , y 2 , yz , z 2 , xz ], m = 10
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移动最小二乘近似
移动最小二乘近似
N N 2 ⎡m ⎤ h J = ∑ wI ( x ) ⎡ ⎣u ( x , x I ) − u ( x I ) ⎤ ⎦ = ∑ wI ( x) ⎢∑ pi ( xI ) ⋅ ai ( x) − uI ⎥ I =1 I =1 ⎣ i =1 ⎦ 2
有限元
I
I
I
i =1 I =1 I i I j I i I =1 I j I
m
⎡
N
⎤
N
I
3
移动最小二乘近似
a ( x) = ∑ w ( x) p ( x )u ∑⎢ ∑ w ( x) p ( x ) p ( x ) ⎥ ⎣ ⎦
加权余量法和变分法建立有限元方程
加权余量法和变分法建立有限元方程 分片定义试函数和有限元法直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。
例如假设温度、位移是线性变化的，因此在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易化成等效的节点热流和端点力。
直接法形式上把连续区域化为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。
这种方法对计算结果的收敛性、误差和试函数选取的要求没有进行讨论。
0=+p ϕL 在D 内0=+γϕM 在Γ 上用加权余量方法，选取近似函数m Mm m a N ∑=+=≅1ˆψϕϕ建立加权余量公式()∫∫=+++ΓDl lW dD p W 0ˆ(ˆ)M L γϕϕ该方法在整个区域定义试函数和建立加权余量公式，只能求解比较简单的问题。
可以设想把整个求解区域 D 划分为若干个互相既不重合，也不分离的子区域e D 之和。
这些子区域叫做有限元。
然后在每个有限元内部分别构造近似函数e ϕˆ、选取加权函数。
当然在不同的有限元内部可用不同的方法构造近似函数，对整个区域建立的加权余量公式，就可以写成各个子区域公式之和，即()∑∫∫∑∫==+==Ee D eel DE e D eDel D l eedD p W dD R W dD R W 11ˆϕL()∑∫∫∑∫=ΓΓ=ΓΓΓΓ+=Γ=ΓEe e el Ee e el l eed W d R W d R W 11ˆγϕM 由于上式把全域的积分写成子域积分之和，所以对被积函数提出了一定的要求，要求被积函数在子域之间的边界上满足一定的连续性。
有限元法分片选取试函数，它们在各自的子区域中一般都具有足够的连续性，使被积函数满足要求，关键是在子区域之间的交界面上能否满足要求。
分片选取的试函数需要满足：1 如果在积分中只含未知数本身，不含导数，在有限元之间试函数本身可存在有限间断；2 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导数可存在有限间断，称为C0阶问题；3 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是二阶，在有限元之间试函数本身及其一阶导数连续，二阶导数可存在有限间断，称为C1阶问题；4 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是 n 阶，在有限元之间试函数本身及直至其 (n-1) 阶导数连续，n 阶导数可存在有限间断，称为C n−1阶问题。
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~~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~~
~~
精选ppt
6
§1.3. 1 自然变分原理
微分方程的等效积分形式：
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
u T L ( u ) d u T fd u T B ( u ) d 0
~ ~ ~
~~
~~ ~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~ ~
~~
整理得到： 0
[1uTL (u)uTfd ]b .t.(u)
2~~~
~~
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~
7
§1.3. 1 自然变分原理
3. 自然变分原理
某些问题的物理本质往往能够以变分原理的 形式直接叙述出来。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中 最小能量耗散原理，称为自然变分原理。
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§1.3. 1 自然变分原理
其中： ~(~u) ~Lu~
~D ~~D ~~L~u
近似解： ~ uu ~ ~i n1N ~i a~i N ~~ a[N ~1 N ~2....N .~.n]~ a
N ~1a~1N ~2a~2......N ~na~n
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§1.3. 1 自然变分原理
Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法
1.求解步骤：
1）假设近似解：~u
u~~
n
i1 N~i
a~i
a ~
i
为待定参数， 满足强制边界条件。
2）将 u~~代入
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求
多元（ a~1 ....）.a.~函n 数的极值问题。
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1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的
精度与试探函数的选择有密切关系。
3) 待定系数 a~任i 意，不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的
~
~ ~ ~~ ~
x B(u)0
~
~~
Galerkin（伽辽金）格式
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
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5
§1.3. 1 自然变分原理
变分： a ~ 1a ~ 1 a ~ 2a ~ 2.... .a ~ n .a ~ n0
a~1,a~2.....a.~n 相互独立，
所以，0,
a ~ 1
0, ...,...0或
a ~ 2
a ~ n
~a
0
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§1.3. 1 自然变分原理
由： 0得到矩阵形式
~a
K~ ~a F~
即： 0 (这种泛函我们称为单变量 ( ~u ) 泛函，当然可以有多变量)
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§1.3. 1 自然变分原理
例：最小位能原理
体系总位能
应变能
UdV
V
V
21~T
~dV
外力势能 ~uT fdV~uTT~ds
V
S
(~ u)V(2 1~ T(~ u) ~ (~ u)~ u Tf)d V S ~ u TT ~ds
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8
§1.3. 1 自然变分原理
对这类问题：
存在泛函 ，它是一个标量
(u )F (u ,u ,...)d E (u ,u ,...)d
~
~x~
~
~~~ x~
~u 是未知场函数， F~ , ~E 为特定算子。
包含 ~u 及 ~u 的1至m阶导数。
连续介质问题的解： ~u 使泛函取极值（或驻值）。
对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
~ L (u ~ )~ vd u ~ ~ L * (~ v )d b .t.(u ~ ,~ v )
称 ~L * 为 ~L 的伴随算子。
边界项
若 ~L * ~L 则称算子是自伴随算子。
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4
§1.3. 1 自然变分原理
2. 泛函的构造
x A(u)L(u)f 0
其中：
~a
a ~
1
a ~
n
a~1 .....a.~n 待定参数向量（未知）
N~1 ......N~n
试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题 ：
Ni 0 0
N~i
0 0Ni0 Nhomakorabea0 Ni
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§1.3. 1 自然变分原理
泛函：
2 1 ~ a T V (~ L N ~ )T D ~ L N ~ d~ a V ~ a T V N ~ Tfd V ~ a T S N ~ T T ~ d
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~
2~~~
[1u TL (u )1u TL (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~~ ~
~~
[1u TL (u )1u T L (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~ ~~
§1.3 变分原理、里兹法
§1.3.1 自然变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理
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1
§1.3. 1 自然变分原理
1. 线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：
• 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解；
• 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
K~
a ~
F~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
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§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
1）连续性要求
N ~
满i 足
C阶m 连1 续性
2）完备性要求
N ~
取i 自完备的函数序列
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§1.3. 1 自然变分原理
3.特点
其中
K ~ (~LN ~)TD~LN ~dV V
F ~VN ~T~ fd
V N ~TT ~d S
s
共有 3n 个方程，
若 N~1 ....为..N~完n 备的函数系列
则，n时， 收u ~ ~敛于精确解，
若 n 为有限项，则 u ~ 为~近似解。
上述方法为Ritz法
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§1.3. 1 自然变分原理
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2
§1.3. 1 自然变分原理
线性、自伴随微分方程的定义：
微分方程 ~L(~u)b 0 in ~L 为微分算子
若 ~L 具有性质：~ L (u 1 u 2 )~ L ( u 1 )~ L ( u 2 )
则称 ~L 为线性微分算子。
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§1.3. 1 自然变分原理
考虑积分 ~L(u~)vd 任意函数