加权余量法精选ppt
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有限元原理加权余量法和变分法PPT课件
d
2
jh
d
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
[
j i
d]
Ci＝
j
q
d
2
jh
d
i 1
对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积 分计算也降阶、简化
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
3. 加权余数表达式：
j 2时,又得到一个代数方程：
F2(R)
2 R
d
2 R
d
d 0
x2
( 2C2
)d
| x0 x2 ((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
| xd x2 ((C1x1 C2 x2 ) xd 10) d
2 3
C2d 3
0
(C1d 3
C2d
4
10d
2)
d
3C1
：w
＝
j
w
*，则上式被大大简化
j
由于近似解在1类边界 上常数，所以此项为0
选取特殊加权函数后，两 项和为0
第二类边界条件也消失了，说 明已经自动满足了
第23页/共50页
• 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：
偏微分方程求解有限元法的原理加权余量法和变分法共52页
偏微分方程求解有限元法的原理加权 余量法和变分法
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅Baidu Nhomakorabea律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
52
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅Baidu Nhomakorabea律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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第二章 微分和变分
14
加权残值法
e e e wRdV w R dV 子域法(Subdomain method) e 1 V Ve
加权残值法的种类
N
将求解域划分成N个子区域，在每个子区域内另权函数为1，而子 区域之外取权函数为0，如果各个子区域内分别取试函数，那么其 思想就类似于有限元法；
配点法(Collection method)
7
虚位移原理
L L u u B AE dx u f dx uL R 0 x x
0
V
T B ST S dV u f dV u t dS V S
虚位移
设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个可 能发生的位移即虚位移，则外力对虚位移的功（虚功） 必等于结构因虚变形获得的虚应变能，为虚位移原理。
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
5
虚位移原理
变分方程
U W
系统的总势能，应变能和外载荷的总 势能
对于上节提到的简单的杆 问题
2 u 1 2u 2 2 2 x C t
17
加权残值法
y c令试函数为 ( x5 Lx4 14L2 x3 26L3 x2 )
加权余量法简介
Vi
，在每个子 域内令权函数等于1，而在
(V i内 ) (V i 外 )
1 W Ii 0
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元 法
2. 配点法(Collocation Method) 子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点 上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
不同的权函数 W Ii 和 W B i 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u 的不同，余量 R I 和R 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 R B B ( u ) g 0 此时消除余量的条件成为:
0 .0 1 0 1 7 q E Il
B
3
0 .1 4 2 4 q l EI
4
，在每个子 域内令权函数等于1，而在
(V i内 ) (V i 外 )
1 W Ii 0
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元 法
2. 配点法(Collocation Method) 子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点 上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
不同的权函数 W Ii 和 W B i 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u 的不同，余量 R I 和R 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 R B B ( u ) g 0 此时消除余量的条件成为:
0 .0 1 0 1 7 q E Il
B
3
0 .1 4 2 4 q l EI
4
有限元伽辽金法PPT课件
(0 x 1)
解：
u 0 x 1
u x =c1x(1 x) c2x2(1 x) c1N1(x) c2N2(x)
N1(x)=x(1 x)
N2 (x) x2 (1 x)
R
x
=
d 2u dx2
u
x
x
c1(2
x
x2)
c2
(2
6x
x2
x3)
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9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
R
x
=
d 2u dx2
a
b
x2 (1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
a
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9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
b
x(1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
a
b
x2 (1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
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环境温度
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
有n个结点的一个单元内的温度场设为
n
x, y Ni x, yie Ne e i1
Ni x, y 结点形函数
ie 结点温度
N1
T
形函数矩阵
Ne
§13加权余量法63页PPT
§13加权Leabharlann Baidu量法
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
加权余量法
1
0
R2
R2 a2
dx
1 0
x a1 2 x x2
a2
2 6x x2 x3
2 - 6x x2 x3 dx 0
解得： a1 0.1875
a2 0.1695
两项近似解为：
u2 x1 x0.1875 0.1695 x
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
值等于零。Wj 及Wj 称为权函数 。 这种方法就叫做加权余量法 余量的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以求解近似解的待定系
数a，从而得到原问题的近似解答。
近似函数所取试探函数的相数n越多，近似解的精度将越高；若n趋于无
穷，近似解将收敛于精确解。
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加权余量法 2.等效积分“弱”形式
第7页/共21页
加权余量法
3.2 最小二乘法
n
当近似解取为 u Niai
i 1
此方法的实质是使得函数
加权余量法简介
RI = EIc (120 x + 24l ) − q
因此本问题属内部法。下面分别用基本方法进行求解。 子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即 可，消除余量的条件为:
∫ EIc (120 x + 24l ) − q dx = 0
l 0
由此可解得:
c=
q 84 EIl
代回 (∗) 式可得:
7ql 4 ∆B = 42 EI
(1)
配点法解 同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:
RI
C= q 114 EIl
x = 0.75l
=0
可得 : 若令: 则得:
∆B
( 2)
7ql 4 = 57 EI
RI
x =l
=0
C=
q 144 EIl
∆B
( 2)
7ql 4 = 72 EI
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度 条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先 满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函 数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： （1）试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高 阶导数低一阶的导数连续性。 (3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
因此本问题属内部法。下面分别用基本方法进行求解。 子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即 可，消除余量的条件为:
∫ EIc (120 x + 24l ) − q dx = 0
l 0
由此可解得:
c=
q 84 EIl
代回 (∗) 式可得:
7ql 4 ∆B = 42 EI
(1)
配点法解 同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:
RI
C= q 114 EIl
x = 0.75l
=0
可得 : 若令: 则得:
∆B
( 2)
7ql 4 = 57 EI
RI
x =l
=0
C=
q 144 EIl
∆B
( 2)
7ql 4 = 72 EI
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度 条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先 满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函 数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： （1）试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高 阶导数低一阶的导数连续性。 (3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
第四章加权余量法
一点都得到满足，也存在余量（或残差） R T (u) g ，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）
不能对任何 v 、 v 都精确成立。
为获得微分方程的近似解 u ，我们取有限个给定函数
v wi ， v wi （ i 1, 2,）
（4.2.1-1）
wiT [L(u) f )d wiT [T (u) g]d 0 ，（ i 1, 2,）
x
x2
)
2
(2
6x
x2
x3
)](2
x
x2
)dx
0
R R d
2
1
[
x
0
1 (2
x
x2 )
2 (2
6x
x2
x3 )](2
6x
x2
x3 )dx
0
积分后，得到代数方程组
2021 1012 55
1011
1532 7
对于非对称正定的算子方程，上述方法不再适用。下面介绍一种直接从微分方程出发给出的等
效积分形式。
首先通过一个例子，给出微分方程的等效积分形式。考虑微分方程
L(u) f (x, y) T (u) g(x, y)
有限元法及应用总结
• 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
• 在有限元力法中，选节点力作为未知量；
• 在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位 移，另一部分基本未知量为节点力。
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25
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线 弹性动力学分析两方面。
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8
非线性有限元
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代
求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比
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4
3.有限单元法的特点有哪些？
1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点） 作为离散点；
2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建
加权余量法 ppt课件
~
~~
Galerkin（伽辽金）格式
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
加权余量法
第1章 关键概念
等效积分形式 等效积分“弱”形式
加权余量法
Galerkin方法 线性自伴随算子
泛函和变分原理 强制边界条件
自然边界条件 泛函的驻值和极值
Ritz方法 虚位移原理 虚应力原理
最小位能原理 最小余能原理
b
~
b 2
~
bm
~
* 0
可得： * 0,
a~i
i 1,2,n
*
0,
i 1,2,m
b~i
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
对线性问题，得线性方程组；
因为：~ ~
m
i 1 ~i
b~i
所以
*
0,
i 方1,2程,中m不含
b~i
项，
b ~
i
即 ~b的系数阵为0。
《加权法与案例分析》课件
02
加权法的计算方法
简单加权法
总结词
基于每个数据点的重要性，通过简单相加的方式计算权重总 和。
详细描述
简单加权法是最基本的加权法，它根据每个数据点的重要性 赋予相应的权重，然后将权重直接相加得到总权重。这种方 法适用于数据量较小，且每个数据点的重要性相对均衡的情 况。
平均加权法
总结词
将每个数据点的重要性平均分配，通过平均值的方式计算权重总和。
中，应根据具体情况选择合适的方法。
加权法与回归分析法的比较
总结词
差异与应用范围
详细描述
回归分析法是一种通过建立数学模型来描述 变量间关系的方法，适用于探索变量间的因 果关系；而加权法则更注重对数据的权重处 理，适用于对数据进行重要性排序或加权计 算。在应用范围上，回归分析法适用于研究 变量间的因果关系，而加权法则更适用于对 数据进行权重处理和综合评价。
05
加权法与其他方法的比较
加权法与平均法的比较
总结词
区别与联系
详细描述
加权法与平均法都是数据处理和分析中常用的方法，它们在处理不同类型的数据时各有 优劣。平均法简单易懂，适用于数据量较小、数据波动不大的情况；而加权法能够考虑 到数据的重要性和影响程度，适用于数据量较大、数据间差异较大的情况。在实际应用
加权法的未来应用场景
除了传统的应用领域，加权法还可能在社交网络分析、推荐系统、自然语言处理等领域得 到更广泛的应用。通过合理地设定权重，加权法可以帮助我们更好地理解和解释复杂的数 据关系。
chap1.2加权余量法-2012-03-1_480402246
2
2
l
3
l
0
dv d w − EJ dx dx 2
2
l
=0
0
对等效积分弱形式 等效积分弱形式要求在域内， w 一阶导数连续即可。
思考回答：为什么说基于“弱”形 式的数值结果往往与实际更接近？
§1.2 加权余量法
§1.2 加权余量法
§1.2.1 加权余量法 1.2.1 §1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
v 和 v 的连续性要求。 的连续性要求。 ~ ~
在物理上更符合实际问题对连续性的要求。 4) 在物理上更符合实际问题对连续性的要求。
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
5) 若
v %
和
v %
特定函数， 取特定函数，
加权余量法的不同格式 则为加权余量法的不同格式。 则为加权余量法的不同格式。
n
j = 1, ..., n
x x x 则有： ∫ [ L(∑ N i ( ~ ) ai ) − f ( ~ )]δ ( ~ − x j )d Ω = 0 ~ i =1 ~ ~ ~ Ω
j=1,2…n
注：Dirac δ函数 δ ( x − x j ) = 0,
又称为脉冲函数 δ ( x − x j ) = ∞,
当某些物理问题的泛函未知或尚未 建立，其有限元理论基础则为加权 余量法。
加权余量法
wn 检验函数空间 wn 检验函数的基，支撑该空间 的一个方向矢量
wn, R am wn,m wn,g
m
表示余量在 wn 上的投影，应为 零
wn, R am wn,m wn,g 0
m
矩法的基本含意 所构造的近似解在检验空间w 的各个方向上的投影均为零 伽略金法 在解空间f各个方向上的投影均 为零
mxn nx1
L a L Z a L a
m>n
例 15个脉冲基和分段正弦基的关系
分段正弦基
sn s0i.n..(.x.....x...n.)..............................x.onthexrs xn1 用15段脉冲基表示分段正弦基的变换关系
sin( j n) /15................n. j n 15
znj 0......................................o.thers
求解 方程数多于未知量，矛盾方程 最小二乘法
nxm t mxn nx1
nxm t mx1
L L a L g
nxn nx1
nx1
L a g
0……………………………………...others
基变换
矩法的工作量 1.求矩阵L的元数
Lmn wm , L(n )
N2 个元素，每个两次积分。 2.求解矩阵方程
相关主题
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其中：
~a
a ~
1
a ~
n
a~1 .....a.~n 待定参数向量（未知）
N~1 ......N~n
试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题 ：
Ni 0 0
N~i
0 0
Ni
0
0 Ni
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12
§1.3. 1 自然变分原理
泛函：
2 1 ~ a T V (~ L N ~ )T D ~ L N ~ d~ a V ~ a T V N ~ Tfd V ~ a T S N ~ T T ~ d
即： 0 (这种泛函我们称为单变量 ( ~u ) 泛函，当然可以有多变量)
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9
§1.3. 1 自然变分原理
例：最小位能原理
体系总位能
应变能
UdV
V
V
21~T
~dV
外力势能 ~uT fdV~uTT~ds
V
S
(~ u)V(2 1~ T(~ u) ~ (~ u)~ u Tf)d V S ~ u TT ~ds
对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
~ L (u ~ )~ vd u ~ ~ L * (~ v )d b .t.(u ~ ,~ v )
称 ~L * 为 ~L 的伴随算子。
边界项
若 ~L * ~L 则称算子是自伴随算子。
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4
§1.3. 1 自然变分原理
2. 泛函的构造
x A(u)L(u)f 0
~~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~~
~~
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6
§1.3. 1 自然变分原理
微分方程的等效积分形式：
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
u T L ( u ) d u T fd u T B ( u ) d 0
~ ~ ~
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~
2~~~
[1u TL (u )1u TL (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~~ ~
~~
[1u TL (u )1u T L (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~ ~~
~
~ ~ ~~ ~
x B(u)0
~
~~
Galerkin（伽辽金）格式
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
精选ppt
5
§1.3. 1 自然变分原理
精选ppt
10
§1.3. 1 自然变分原理
其中： ~(~u) ~Lu~
~D ~~D ~~L~u
近似解： ~ uu ~ ~i n1N ~i a~i N ~~ a[N ~1 N ~2....N .~.n]~ a
N ~1a~1N ~2a~2......N ~na~n
精选ppt
11
§1.3. 1 自然变分原理
§1.3 变分原理、里兹法
§1.3.1 自然变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理
精选ppt
1
§1.3. 1 自然变分原理
1. 线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：
• 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解；
• 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。
其中
K ~ (~LN ~)TD~LN ~dV V
F ~VN ~T~ fd
V N ~TT ~d S
s
共有 3n 个方程，
若 N~1 ....为..N~完n 备的函数系列
则，n时， 收u ~ ~敛于精确解，
若 n 为有限项，则 u ~ 为~近似解。
上述方法为Ritz法
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§1.3. 1 自然变分原理
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§1.3. 1 自然变分原理
线性、自伴随微分方程的定义：
微分方程 ~L(~u)b 0 in ~L 为微分算子
若 ~L 具有性质：~ L (u 1 u 2 )~ L ( u 1 )~ L ( u 2 )
则称 ~L 为线性微分算子。
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§1.3. 1 自然变分原理
考虑积分 ~L(u~)vd 任意函数
1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的
精度与试探函数的选择有密切关系。
3) 待定系数 a~任i 意，不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的
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§1.3. 1 自然变分原理
对这类问题：
存在泛函 ，它是一个标量
(u )F (u ,u ,...)d E (u ,u ,...)d
~
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~x~
~
~~~ x~
~u 是未知场函数， F~ , ~E 为特定算子。
包含 ~u 及 ~u 的1至m阶导数。
连续介质问题的解： ~u 使泛函取极值（或驻值）。
变分： a ~ 1a ~ 1 a ~ 2a ~ 2.... .a ~ n .a ~ n0
a~1,a~2.....a.~n 相互独立，
所以，0,
a ~ 1
0, ...,...0或
a ~ 2
a ~ n
~a
0
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§1.3. 1 自然变分原理
由： 0得到矩阵形式
~a
K~ ~a F~
~~
~~ ~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~ ~
~~
整理得到： 0
[1uTL (u)uTfd ]b .t.(u)
2~~~
~~
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~
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§1.3. 1 自然变分原理
3. 自然变分原理
某些问题的物理本质往往能够以变分原理的 形式直接叙述出来。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中 最小能量耗散原理，称为自然变分原理。
Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法
1.求解步骤：
1）假设近似解：~u
u~~
n
i1 N~i
a~i
a ~
i
为待定参数， 满足强制边界条件。
2）将 u~~代入
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求
多元（ a~1 ....）.a.~函n 数的极值问题。
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§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
K~
a ~
F~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
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§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
1）连续性要求
N ~
满i 足
C阶m 连1 续性
2）完备性要求
N ~
取i 自完备的函数序列
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§1.3. 1 自然变分原理
3.特点