北京市朝阳区2013年高三第一学期期末考试数学试卷(理)详解与巩固

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北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（理工类） 2013.1(考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题(共40分）和非选择题（共110分)两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1. 已知i 是虚数单位,若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12- D ．2-【答案】A【KS5U 解析】(1)(2)2(12)ai i a a i ++=-++，要使复数为纯虚数，所以有20,120a a -=+≠,解得2a =，选A 。

2.“1k ="是“直线0x y k -+=与圆221xy += 相交"的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U 解析】要使直线0x y k -+=与圆221xy += 相交，则有圆心到直线的距离1d =≤。

即k ≤k ≤≤1k ="是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A 。

3.执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ． 3B ．4C ． 5D ．6【答案】C【KS5U 解析】第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==;第三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==;第五次循环23528,5x k =+==,此时满足条件输出5k =,选C.4。

已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y xB ．1422=-y xC ．13222=-y xD ．12322=-y x【答案】B【KS5U 解析】由双曲线的焦点可知5c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P 在双曲线右支上.所以221(25)4366PF =+==,所以126422PF PFa-=-==,所以2221,4a b c a ==-=,所以双曲线的方程为1422=-y x ,选B.5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A ． 140种B ． 120种C ． 35种D ． 34种【答案】D【KS5U 解析】若选1男3女有13434C C=种；若选2男2女有224318C C=种；若选3男1女有314312C C=种；所以共有4181234++=种不同的选法.选D.6。

北京市2013年朝阳区高三数学一模试题(文理科及详细答案)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试〔理工类〕2013.4〔考试时间120分钟总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2〔2〕已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-〔3〕已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35〔4〕在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π 〔5〕在以下命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,假设(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③〔6〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如下列图，则这个几何体的体积为A. 4B. 42C. 62D. 82222１１１正视图侧视图俯视图〔7〕抛物线22y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分〔非选择题共110分〕答题卡上.〔9〕在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .〔10〕在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .〔11〕执行如下列图的程序框图，输出的结果S= .〔12〕如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .假设CD ， 2AB AC ==，则线段AD 的长是；圆O 的半径是 .〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有D四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题总分值13分〕已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 〔16〕〔本小题总分值13分〕盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验〔设每次试验的结果互不影响〕．〔Ⅰ〕在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；〔Ⅱ〕在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；〔Ⅲ〕在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．〔17〕〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==．〔Ⅰ〕求证：EF 平面PAD ；〔Ⅱ〕当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；〔Ⅲ〕是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？假设存在，试求出λ的值；假设不存在，请说明理由．〔18〕〔本小题总分值13分〕已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.PDABCFE〔19〕〔本小题总分值14分〕已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕求EM FN ⋅的取值范围. 〔20〕〔本小题总分值13分〕设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；〔Ⅱ〕求()S τ的最大值；〔Ⅲ〕求使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案〔理工类〕2013.4二、填空题：〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题：〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1cos 1()22x f x x ωω-=-+1cos 2x x ωω=+sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分〔16〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分〔Ⅱ〕设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由〔Ⅰ〕可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分〔Ⅲ〕由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分〔17〕〔本小题总分值14分〕证明：〔Ⅰ〕由已知，PE PFPB PCλ==，所以 EF BC ．因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如下列图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，2PA AD ==，所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点，所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|BF CD θ-⋅-=〈〉==，所以异面直线BF 与CD所成角的余弦值为3．…………………………………9分〔Ⅲ〕设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-．由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．假设平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=．所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分〔18〕〔本小题总分值1 3分〕解：函数定义域为{}0x x >，且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>，要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，〔ⅰ〕当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 〔ⅱ〕当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分〔19〕〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,21314a b c ca a b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分〔Ⅱ〕显然点(2,0)A.〔1〕当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得(1,22E F，(3,(3,)22M N-，所以1EM FN⋅=. …………………………………………6分〔2〕当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为(1)y k x=-，显然0k=时，不符合题意.由22(1),440y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k+-+-=.设1122(,),(,)E x yF x y,则22121222844,4141k kx x x xk k-+==++.直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y xx x=-=---，令3x=，则1212(3,),(3,)22y yM Nx x--.所以1111(3)(3,)2y xEM xx-=--，2222(3)(3,)2y xFN xx-=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y xEM FN x xx x--⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y yx xx x=--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x xx x kx x--=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x xx x x x kx x x x-++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k kk k k kkk kk kk k--+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k kk k+-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分〔20〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分〔Ⅱ〕数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,411x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试〔文史类〕 2013.4〔考试时间120分钟总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2〔2〕假设集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 〔3〕已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 〔4〕已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=则以下判断正确的选项是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题〔5〕假设直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22-+B ．()4,0-C ．(22,22--D . ()0,4〔6〕“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件〔7〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如下列图，则这个几何体的体积为A. 4B.C. 203D. 8〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分〔非选择题共110分〕答题卡上.〔9〕以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .〔10〕执行如下列图的程序框图，输出结果S= .正视图侧视图俯视图〔11〕在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，假设{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .〔12〕在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，假设60B =，则sin C = .〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题总分值13分〕已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.〔16〕〔本小题总分值13分〕国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：甲城市 2 4 5 7 10 9 7 3 5 6 3 1 5 8 8乙城市〔Ⅰ〕试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系〔只需写出结果〕；〔Ⅱ〕试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；〔Ⅲ〕分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)〔17〕〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.〔Ⅰ〕假设F 为PC 的中点，求证：EF平面PAD ；〔Ⅱ〕求证：平面AFD ⊥平面PAB ；〔Ⅲ〕是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？假设存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；假设不存在，请说明理由．〔18〕〔本小题总分值13分〕已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间.〔19〕〔本小题总分值14分〕已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ,〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点(1,0)B 且斜率为k 〔0k ≠〕的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.〔20〕〔本小题总分值13分〕由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，PDAB CFE设1011()|23|kk k S xx τ+==-∑，其中111x x =.〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；〔Ⅱ〕求证：()55S τ≥；〔Ⅲ〕求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案〔文史类〕 2013.4一、选择题：〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题：〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分于是()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分〔16〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分〔Ⅱ〕根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, 〔Ⅲ〕设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：〔29，43〕，〔29，41〕，〔29，55〕，〔29，58〕〔29，78〕〔53，43〕，〔53，41〕，〔53，55〕，〔53，58〕，〔53，78〕，〔57，43〕，〔57，41〕，〔57，55〕，〔57，58〕，〔57，78〕，〔75，43〕，〔75，41〕，〔75，55〕，〔75，58〕，〔75，78〕，〔106，43〕，〔106，41〕，〔106，55〕，〔106，58〕，〔106，78〕.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：〔29，41〕，〔29，43〕，〔53，55〕，〔53，58〕，〔53，78〕, 〔57，55〕，〔57，58〕，〔57，78〕，〔75，55〕，〔75，58〕，〔75，78〕.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分〔17〕〔本小题总分值14分〕证明：〔Ⅰ〕因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点，所以 EF BC ．因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，P DABCFE平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分〔Ⅲ〕存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD ，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由〔Ⅱ〕知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥．又因为CDPC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，3PC PF ==可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF ．……………14分〔18〕〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >，且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=，解得2a =.……………………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.〔1〕当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. 〔2〕当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >.则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞. 令()0f x '<，得12ax <<. 则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .〔3〕当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. 〔4〕当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2ax >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a. ……………………………………13分〔19〕〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕依题得222,2.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分〔Ⅱ〕根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯--21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++ 2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分〔20〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分〔Ⅱ〕证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++=121010(110)552x x x ++++==. ……………………………7分〔Ⅲ〕10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤，对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。

【解析版】北京市朝阳区2013届高三一模数学理试题

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）B解：复数=的虚部是．2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，．若，则实数m的值为（）先求得得=，再由=，若4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B=x=ACO==ACO=，∴∠AOC=5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，①“”是“sinα=1”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．，判断出为假命题．，得=的通项为（C﹣6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）×7．（5分）（2013•朝阳区一模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）B（（（≤，即的最大值为．的最大值，着重考查抛物线的定义和8．（5分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x），由，得，解出即可．，得或，解得或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）（2013•朝阳区一模）在等比数列{a n}中，2a3﹣a2a4=0，则a3=2，{b n}为等差数列，且b3=a3，则数列{b n}的前5项和等于10．，代入已知可解得==0=10．（5分）（2013•朝阳区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角A为锐角，且b=3asinB，则tanA=．，∴cosA==tanA==11．（5分）（2013•朝阳区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果S=20．12．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是1；圆O的半径是2．，再利用正弦定理得ACD=，．DCA=．==413．（5分）（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．==，的取值范围是：，故答案为：14．（5分）（2013•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]．=λ）时，由与的方向相同，故，且）时，）时，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．（Ⅱ）因为答：=，得[（Ⅱ）因为，所以．[16．（13分）（2013•朝阳区一模）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．=）：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．．．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为P．17．（14分）（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）由=与，则，，由λ，（Ⅰ）由已知，=时，，=（﹣，=，＞=所成角的余弦值为，则==λ，所以（=，因为=即，=，即，解得时，平面18．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．=时，，得）的单调递增区间为，得，即，解得＜﹣．）在，所以当e＜e）=e[e﹣（alne+2a+2，）内单调递增，或19．（14分）（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l 与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得可得积为，由，依题意得的方程为．易得．…（6分）由，则的方程分别为：，则所以，所以====，所以，即综上所述，20．（13分）（2013•朝阳区一模）设τ=（x1，x2，…，x10）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x11=x1．（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；（Ⅱ）求S（τ）的最大值；（Ⅲ）求使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数．=。

北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：.

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心【答案】C2.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A（B ）2 （C ）115 （D ）3,【答案】B【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =。

P 到直线1:4360l x y -+=的距离为PA ，所以PA PB PA PF FD +=+≥,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以1025FD =，所以距离之和最小值是2，选B.3.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P在双曲线右支上。

所以16PF ===，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-y x ，选B. 4.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p，所以42p=，即8p =。

北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则AB 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是 .13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A BC D 中，12AA=AD=，E 是棱CD 上的一点．（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参组别分组频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t +=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. （Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩，，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+- …………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x kππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-. …………………13分（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分（Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分（Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ．因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点，所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分又DE ∥11A B ，且1112DE A B =．所以PM ∥DE ，且PM DE =，所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY A 1B 1CBD 1C 1ADEPM共15种情况．…………………………………………………………………………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,AB AC AD BC BD CD XY 共7种情况． …………………………………………………………………………11分所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分（18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．设2()2h x ax x a =-+，（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得0x <<或x >；……………8分由()0f x '<，即()0h x <x <<．………………………9分所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为11()a a． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F .所以83EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++， 11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++, …………………………………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++ 2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分 7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分（Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+ 所以2211n n n n n +<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分9 14 19 24 4 510 15 20 25。

2013年朝阳区期末高三数学试题(理科)及参考答案

朝阳区2012～2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（理工类）2013.1第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-2．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ．3B ．4C ．5D ．64．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P且线段1PF 的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 5．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种6．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A BC ．34D ．1俯视图结束开始7．设集合2{|230}A x x x =+->，集合2{|210,0}B x x ax a =--≤>．若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是 A ．3(0,)4B ．34[,)43C ．3[,)4+∞D ．(1,)+∞8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P 、2P 分别是线段AB 、1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124B ．112C ．16D ．12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为．10．如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ．若23aPD =，30OAP ∠=︒，则AB = ，CP = （用a 表示）．11．若关于x 、y 的不等式组0, , 10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = ．12．在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为． 13．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 14．将整数1,2,3,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为．DA PBCO三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值．16．（本小题满分14分）在长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AD ==，点E 在棱CD 上，且13CE CD =．（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角11A B E A --求棱AB 的长．17．（本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．D 1C 1B 1A 1ECBDA频率频率分布直方图18．（本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a =--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ag x x=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ．且当0m =时，△AEF 的面积为163．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线AE 、AF 与直线3x =分别交于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由．20．（本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩，，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，记其“特征值”为λ，求证：1n nλ+≤．北京市朝阳区2012～2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（理工类） 2013.1（注：两空的填空，第一空分，第一空分）三、解答题：15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos ()sin cos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+- ………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-. …………………13分 16、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ……………………2分在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．所以1AD ⊥面11A B D ． ………………………4分A 1B 1ECBD 1C 1AD（Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-A BC D 中，以1D 为原点建立空间直角坐标系1D xyz -．依题意可知，11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)D A D ， (2,0,2)A ，设AB 的长为x ，则11(0,,0),(2,,0)C x B x ，2(0,,2),(0,,2)3C x E x ．假设在棱1AA 上存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ．设点P (2,0,)y ，则(2,0,-2)DP y =，(0,0,-2)AP y =．易知112(-2,-,2),(-2,,0)33B E=x AE x =．设平面1B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则100B E =AE =⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n ，即1-2-2032-2+03a xb c =a xb =⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩．………………………………………………7分令3b =得，3,2a x c x ==，所以3(,3,)2x x =n ．因为DP ∥平面1B AE ，等价于0DP ⋅=n 且DP ⊄平面1B AE ．得32+(-2)02x y x ⋅=，所以23y =．所以4(0,0,-)3AP =，43AP =，所以AP 的长为43．……9分（Ⅲ）因为CD ∥11A B ，且点E CD ∈，所以平面11A B E 、平面11A B D 与面11A B CD 是同一个平面．由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B D ，所以1(2,0,2)D A =是平面11A B E 的一个法向量． …………11分由（Ⅱ）可知，平面1B AE 的一个法向量为3(,3,)2x x =n ．因为二面角11A-B E-A，所以11cosD A ADθ⋅===⋅n n，解得x =故AB 的长为 …………………………………………………………14分 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． ………………4分（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有2615C =种情况． ………………………………………………………………6分设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则2242267()15C C P A C +==. 所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． …………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，ξ的可能取值为0,1,2，则242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===．所以，ξ的分布列为…………………………………………12分所以，2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………………………13分 18、（本小题满分13分）解：函数的定义域为()0,+∞，222122()(1)ax x af x a x x x-+'=+-=． …………………………………………………1分（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x=--，(1)0f =，(1)2f '=．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．ξ0 1 2P25815 115（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得x <或x >； ………………5分由()0f x '<，即()0h x <x <<．………………………6分所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为11(,a a+． ……………………………………7分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………8分（Ⅲ））因为存在一个0[1,e]x ∈使得00()()f x g x >，则002ln ax x >，等价于02ln x a x >.…………………………………………………9分令2ln ()xF x x=，等价于“当[]1,e x ∈ 时，()min a F x >”. 对()F x 求导，得22(1ln )()x F x x -'=. ……………………………………………10分因为当[1,e]x ∈时，()0F x '≥，所以()F x 在[1,e]上单调递增. ……………12分所以min ()(1)0F x F ==，因此0a >. …………………………………………13分另解：设()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，定义域为()0,+∞，()22ax F x a x x-'=-=. 依题意，至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，等价于当[]1,e x ∈ 时，()max 0F x >. ………………………………………9分（1）当0a ≤时，()0F x '<在[]1,e 恒成立，所以()F x 在[]1,e 单调递减，只要()()max 10F x F a ==>，则不满足题意. ……………………………………………………………………10分（2）当0a >时，令()0F x '=得2x a=. （ⅰ）当201a<≤，即2a ≥时，在[]1,e 上()0F x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增，所以()()max e e 2F x F a ==-，由e 20a ->得，2ea >，所以2a ≥. (11)分（ⅱ）当2e a ≥，即20ea <≤时，在[]1,e 上()0F x '≤，所以()F x 在[]1,e 单调递减，所以()()max 1F x F a ==，由0a >得20ea <≤.…………………………12分（ⅲ）当21e a <<，即22e a <<时，在2[1,)a 上()0F x '<，在2(,e]a上()0F x '>，所以()F x 在2[1,)a 单调递减，在2(,e]a单调递增，()max 0F x >，等价于()10F >或()e 0F >，解得0a >，所以，22ea <<.综上所述，实数a 的取值范围为(0,)+∞. ………………………………………13分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F ,所以EF =因为△AEF的面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R .…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++,……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++12123644(3)(3)(4)(4)y y y yx x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………………13分所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . …………………………………14分 20、（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n =时,数表为7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 481216此时，数表的“特征值”为54. ……………………5分当5n =时,数表为此时，数表的“特征值”为65. ……………………6分猜想“特征值”为1n n+. …………………7分（Ⅲ）对于一个数表而言，2221,2,,n n n n n -+-+这n 个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.①当2221,2,,n n n n n -+-+这n 个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+ 所以2211n n n n n+<-+，从而1.n n λ+< …………………………………………10分 ②当2221,2,,n n n n n -+-+这n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，当它们中的一个数与2n n -在同行（或列）中，设a 为与2n n -在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有22211a n n n n n n nλ-+≤≤=--. 综上可得1n n λ+≤. ………………………………………………………………13分 211 6 11 16 1722 2 7 12 1318 23 3 8 914 19 24 4 5 10 15 20 25。

北京市朝阳区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：复数==的虚部是．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键．2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣1，3）考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式可以求出集合N，进而根据集合交集及其运算，求出M∩N．解答：解：∵N={x|lg（x+2）≥0}=[﹣1，+∞），集合M={x|﹣2＜x＜3}，则M∩N=[﹣1，3）故选D．点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，集合的交集及其运算，其中解不等式求出集合N是解答本题的关键．3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，．若，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．D．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选A．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC 的值．解答：解：直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=，故选C．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，①“”是“sinα=1”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．其中所有正确命题的序号是（）A．②B．③C．②③D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①利用特殊值α=，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：①是假命题．α=，是能推得sinα=1，反之，sinα=1，α可以为或其他数值．②：的通项为T r+1=C（）r=2r﹣4C4r x12﹣4r令12﹣4r=0得r=3∴展开式的常数项为T4=C43=2；正确；③：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ≥1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．。

北京市朝阳区2013-2014学年度3月高三一模数学理科

（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合1{|(1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π （C ） 32π （D ） 65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ） 25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且M N O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（A ）(- （B）(⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ）[-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为；表面积为．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值；（Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分）解： ()f x =sin 2cos 2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==.显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF 平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF = ，，(022)PD =- ，，，(200)CD =- ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-= ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =- ，，，(0,22)PD =- ,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --的余弦值为3． ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增，所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --．直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =- ，2022(,)2y QN x x =- ，所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=---- 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+，所以222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11 ．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤，当1a 分别取1,2,3,,1009d - 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11 ；2,3,4,,12 ；；91,92,93,,100 ，其它同理）. 所以当d 取1,2,,11 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅= ．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d -- 时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤．又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---，所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----．所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--．即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。

2013年高三理科数学一模试题(朝阳区含答案)

2013年高三理科数学一模试题(朝阳区含答案)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）为虚数单位，复数的虚部是A．B．C．D.（2）已知集合，，则A.B.C.D.（3）已知向量，.若，则实数的值为A．B．C．D．（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点,为极点，则的大小为A．B．C．D．（5）在下列命题中，①“”是“”的充要条件；②的展开式中的常数项为；③设随机变量～,若，则．其中所有正确命题的序号是A．②B．③C．②③D．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.8（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A.B.1C.D.2（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A.1个B.2个C.3个D.4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）在等比数列中，，则，为等差数列，且，则数列的前5项和等于.（10）在中，，，分别为角，，C所对的边.已知角为锐角，且,则.（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S=.（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点.若，，则线段的长是；圆的半径是.（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是.（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围.（20）（本小题满分13分）设是数的任意一个全排列，定义，其中.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACCDAB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）.…………………………………………4分因为最小正周期为，所以.………………………………6分所以.由，，得.所以函数的单调递增区间为]，.………………8分（Ⅱ）因为，所以，…………………………………10分所以.………………………………………12分所以函数在上的取值范围是].……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是． (3)分（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．所以．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为．；；；；；．所以随机变量的分布列为所以．……………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，所以平面.所以，．又因为，所以两两垂直．……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系，因为，，所以．当时，为中点，所以,所以．设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分（Ⅲ）设，则．由已知，所以，所以所以．设平面的一个法向量为，因为,所以即令，得．设平面的一个法向量为，因为,所以即令，则．若平面平面，则，所以，解得．所以当时，平面平面．…………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：函数定义域为，且…………2分①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，令，得，函数的单调递增区间为.②当，即时，令，得或，函数的单调递增区间为，.令，得，函数的单调递减区间为.③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为.…7分(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增. 所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或解得或.②当时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当时，函数在上单调递增；且，所以在上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为，所以当时，总有.因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，从而当时，在上有且只有一个零点.综上所述，或或时，在上有且只有一个零点.…………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意得解得，.所以椭圆的方程为.………………………………………………4分（Ⅱ）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.…………………………………………6分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.由得.新课标第一网设,则.直线，的方程分别为：，令，则.所以，.……………………10分所以.……………………………………………12分因为，所以，所以，即.综上所述，的取值范围是.……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）.……3分（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.对于排列，此时，所以的最大值为.……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为.……………………………13分。

2013年北京市朝阳区--理科数学

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则MN =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 （2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >?（第5题图）正视图侧视图俯视图（第3题图）（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13 C ．12D ．1 （6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A ．10种B ．12种C ．18种D ．36种（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 A ．②B ．①②C ．③D ．②③（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC 的取值范围是A ．1[1,]4-- B ．11[,]24-- C ．[1,0]- D ．1[,0]2- 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ．（10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为．（11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是．（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（13将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．（14）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）在△ABC 中， ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===，求b 的值．（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面A B C D ，EAPD ，22AD PD EA ===，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.ADBCPEFGH（17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数()mx f x x =++211（m ≠0），2()e ()axg x x a =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当m >0时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （2n ≥）满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤=，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；（Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；（Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.５一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+-sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<.所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=．又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin 33sin sin 4a Bb Aπ===π． …………13分（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FGPE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG平面PED . …………4分（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EAPD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===,所以D ()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =-，1(2,0,)2GH =-.设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分（Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60. 依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤. 由(0,2,2)PC =-,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+,(1,1,1)FP =--，所以(1,21,12)FM λλ=---. 因为直线FM 与直线PA 所成角为60，(2,0,2)PA =-，所以cos ,FM PA =12，即12=，解得58λ=.所以55(0,,)44PM =-，524PM =. 所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时4PM =. ………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==．从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=；112312124(1)()()33279P X C ==⋅==；22131262(2)()()33279P X C ==⋅==；3303121(3)()()3327P X C ==⋅=．随机变量X所以80123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分（Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为,m n ．显然基本事件的总数为230C ．不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++；当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅；所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==．所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()m x m x x f x x x --+'==++2222211111.…………1分 ①当m >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1. …………3分②当m <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间是(,)-11.……………5分（Ⅱ）依题意，“当m >0时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0 时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当m >0时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =. 所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=. ……………7分①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分 ②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a=-. （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ==. 由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-. ……………10分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时,在2[0,)a-上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=.由2241e a ≤得，2e a ≤-，所以1a <-. ……………11分（ⅲ）当20a-<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e a g x g ==.显然2max ()4e 1a g x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+. …………6分所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++. ……………7分所以MN ===2212(1)43k k +=+. ……………9分直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++，由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =. …………11分所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. ……………12分又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分（Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-．因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-．因此min 1S =-． ……………8分（Ⅲ）设121(,,,)n i j i j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++.固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++，因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,,k n =）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n n x x x =+++-． ①当n 为偶数时，2nS ≥-，若取1221n x x x ====，12221n nn x x x ++====-，则2n S =-，所以min 2nS =-． ②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥，所以1(1)2S n ≥--，若取12121n x x x -====，1112221n n n x x x --++====-，则1(1)2S n =--，所以min 1(1)2S n =--． …………………………13分。

北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷

北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷1 / 10北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则AB 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-俯视图7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ． 11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是 . 13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为 .北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷3 / 10A 1B 1CBD 1C 1AD E三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，E 是棱CD 上的一点．（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.组别分组频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t+=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩，，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷5 / 10北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-…………………………………………2分1sin().242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242kx k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值…………………13分（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A B C D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分（Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分（Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ．因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点，所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分又DE ∥11A B ，且1112DE A B =．所以PM ∥DE ，且PM DE =，所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,AB AC AD BC BD CD AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,ABA C A DB CB DC DX Y A 1B 1CBD 1C 1ADEPM北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷7 / 10共7种情况． …………………………………………………………………………11分所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分（18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．设2()2h x ax x a =-+，（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得0x <<x >；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a +<<．………………………9分所以函数()f x的单调递增区间为1(0,a -和1()a++∞，单调递减区间为． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,33E F -.所以833EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++， 11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +. 所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++, …………………………………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++ 2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++北京市朝阳区2013高三上学期期末考试数学文试卷9 / 1022264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分（Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+ 所以2211n n n n n +<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分7 1 45 8 23 6 913 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 510 15 20 25。

新领航教育特供：北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题

......小升初中高考高二会考艺考生文化课一对一辅导〔教师版〕XX 新领航教育特供：市XX 区2021-2021学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题〔理工类〕2021.1〔考试时间 120 分钟总分值 150 分〕本试卷分为选择题〔共40 分〕和非选择题〔共110 分〕两局部第一局部〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .1. i 是虚数单位，假设复数(1a i)(2i) 是纯虚数，那么实数 a 等于A ．2B．1C ．1D． 222【答案】 A【解析】 (1ai )(2 i ) 2 a(1 2 a) i ，要使复数为纯虚数，所以有2 a 0,12 a 0 ，解得 a2，选A.2. “k 1〞是“直线xy k0 与圆 x 2 y 21 相交〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】要使直线 x yk0 与圆 x2y21 相交，那么有圆心到直线的距离dk1 。

2即 k 2 ，所以 2 k2 ，所以“k 1 〞是“直线 x y k 0 与圆 x2y 2 1相交〞的充分不必要条件，选A.3. 执行如下图的程序框图．假设输入x3 ，那么输出k 的值是:///wxxlhjy - 1 -QQ:157171090。

2013北京朝阳区高三一模数学(理)试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =IA. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-u u u r u u u r ，()2,1OC m m =+u u u r.若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为A ．3-B ．17- C ．35- D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π （5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为2222 １１１正视图侧视图俯视图A. 4B.C.D. 8（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A.3 B. 1 C. 3D. 2 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=L 成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是；圆O 的D半径是 .（13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=u u u r u u u r时，则点C 的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. （16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD P ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==．（Ⅰ）求证：EF P 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）PDAFE已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=L 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.。