2020-2021学年广东省普宁市高二上学期期中素质监测数学试题 pdf版
金太阳2020-2021年学年度上学期期中考试高二试题
2020-2021学年度上学期期中考试高二试题数学考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.1.已知方程m y x =+32的曲线通过点()2,1-，则=m （）A 5B 8C 9D 102.已知向量()()4,,3,3,1,2k b a -=-=→→，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥→→→b a a ，则k 的值为（）A 8-B 6-C 6D 103.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()M C B A ,2,5,6,1,6,2-为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为（）A 02610=-+y xB 0228=-+y x C 0268=-+y x D 03410=--y x 4.已知点()()1,0,0,1B A ，圆()31:22=++y x C ，则（）A B A ,都在C 内B A 在C 外，B 在C 内C B A ,都在C 外D A 在C 内，B 在C 外5.在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为BC 的中点，则异面直线MD 与1AB 所成角的余弦值是（）A 55B 552C 510D 5156.已知椭圆()012:2222>=+m m y m x C 的左、右焦点分别为P F F ,,21为C 上任意一点，若1221≥+PF PF ，则必有（）A 2621≤F F B 2621≥F F C 921≤F F D 921≥F F 7.设直线03=+--k y kx 过定点A ，直线082=--k y kx 过定点B ，则直线AB 的倾斜角为（）A 65πB 32πC 3πD 6π8.设21,F F 分别为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，实轴为21A A ，若P 为C 的右支上的一点，线段1PF 的中点为M ，且2121127,A A M F PF M F =⊥，则C 的离心率为（）A 34B 35C 2D 37二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下关于向量的说法中正确的是（）A 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则中点围成一个球面B 若→→=b a ，则→→=ba C 若→a 与→b 共线，→b 与→c 共线，则→a 与→c 可能不共线D 若→→-=b a ，且→→=c b ，则→→=ca 10.已知双曲线16:22=-y x C ，则（）A C 的焦距为7B C 的虚轴长是实轴长的6倍C 双曲线1622=-x y 与C 的渐近线相同D 直线x y 3=上存在一点在C 上11.若过点()1,2-的圆M 与两坐标轴都相切，则直线01043=+-y x 与圆M 的位置关系可能是（）A 相交B 相切C 相离D 不能确定12.已知曲线C 的方程为()()()()0,1,3,0,3,0,101922--≤<=+D B A x y x ，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5=x 交于点M ，直线BP 与直线5=x 交于点N ，则DMN ∆的面积可能为（）A 73B 76C 68D 72第Ⅱ卷三．填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.若直线()0814=+++y m x 与直线0932=--y x 平行，则这两条平行直线间的距离为__________.14.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，→→→→++=11AA z AC y AB x BC ，则=--z y x _________.15.设椭圆()*22221112N n n y n x ∈=+++的焦距为n a .，则数列{}n a 的前n 项和为___________.16.已知动圆Q 与圆()94:221=++y x C 外切，与圆()94:222=-+y x C 内切，则动圆圆心的轨迹方程为______四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在①它的倾斜角比直线13-=x y 的倾斜角小12π，②与直线01=-+y x 垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知直线l 过点()1,2，且__________，求直线l 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且短轴长为72，离心率为43.（1）求C 的标准方程；（2）若C 的焦点在x 轴上，C 的焦点恰为椭圆M 长轴的端点，且M 的离心率与双曲线15422=-x y 的离心率互为倒数，求M 的标准方程.19.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，E AB AA ,221==为1DD 的中点.（1）证明：⊥CE 平面E C B 11；（2）求二面角B E C B --11的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC D -中，⊥DA 平面BC AB ABC ⊥,且4,3,2===AD AB BC .（1）证明：BCD ∆为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且︒=∠=45,2EAD AE ，求AE 与平面BCD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知P 是椭圆18:22=+y x C 上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆()4911:22=++y x D 上的动点，求PQ 的最小值.22.（本小题满分12分）已知圆012:22=-+++Ey Dx y x C 过点()7,1-P ，圆心C 在直线022:=--y x l 上.（1）求圆C 的一般方程；（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且12-=⋅→→OB OA ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.。
2020-2021学年广东省深圳实验学校高中部高二下学期第一阶段考试数学试题 word版
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省江门市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
2020-2021学年第一学期第一次考试高二数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级及学号填涂在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.本试卷共6页，22小题，满分150分。
测试用时120分钟。
不能使用计算器。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线√3x +y −2=0的倾斜角为（ ） A ．30∘B ．150∘C ．120∘D ．60∘2．下列说法正确的是（ ） A ．a//b ，b ⊂α⇒a//α B ．a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α C ．a ⊥α，b ⊥α⇒a//bD ．α⊥β，a ⊂β⇒a ⊥α3．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) A ．13 B ．17 C ．19 D ．21 4．过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ） A ．x −2y −7=0B ．2x +y +1=0C ．2x −y −5=0D ．x +2y +5=05．设直线0x y a -+=与圆x 2+y 2+2x −4y +2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则a =（ ）A．-1或1 B．1或5 C．-1或3 D．3或56．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+15.5，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（）A．45 B．50 C．55 D．607．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾､坤､震､巽､坎､离､艮､兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为（）A．18B．14C．38D．128．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．283πB．√223πC．73πD．√7π二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年广东省广州市天河中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省广州市天河中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程为（ ） A ．22y x = B ．22x y =- C ．2y x =-D ．2x y =-【答案】B【分析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在y 轴的负半轴,再设抛物线的标准方程为22x py =-,根据准线方程求出p 的值,代入即可求解.【详解】由题意可知,抛物线的焦点在y 轴的负半轴, 所以可设抛物线的标准方程为：()220x py p =->,因为抛物线的准线方程是12y =, 所以122p =,即1p =, 所以所求抛物线的标准方程为22x y =-. 故选:B【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求其标准方程;熟练掌握四种不同形式的抛物线的标准方程是求解本题的关键;属于基础题.2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1D M 相等的是（ ）A ．1122--a b c B ．1122a b c -+C ．1122-++a b c D ．1122a b c --+ 【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算性质以及图示即可表示1D M .【详解】∵平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，AB a =，AD b =，1AA c =，∴()()111111AM A AB AD AD AA 222D M D a b c =-=+-+=-- 故选A ．【点睛】主要考查了空间向量的线性运算及其几何意义，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 满足11374a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则13(S = )A ．52B ．26C ．78D ．104【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出74a =，从而774b a ==，再由等差数列的求和公式及等比数列中项的性质可得13713S b =，能求出结果．【详解】解：等比数列{}n a 满足11374a a a =，可得2774a a =，解得74a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且774a b ==， 则1311371()1313134522S b b b =+⨯==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【答案】C【解析】试题分析：由已知c =．因为点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，所以122PF PF ⋅=，又22221212||||420PF PF F F c +===，所以222121212()||216PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，即2416a =，24a =，2221b a c =-=，故选C ．【解析】1．双曲线的定义、标准方程；2．双曲线的几何性质．5．已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P点到直线:0l x y +-=的距离的最小值为（ ） A．2BC．5D．5【答案】A【解析】试题分析：设()2cos ,sin P θθ，由点到直线距离公式有d ===. 【解析】直线与圆锥曲线位置关系．6．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．1 B．2 C1 D 2【答案】C【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当,,P Q F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，圆()2241x y +-=的圆心为()0,4C，半径1r =，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断当,,P Q F 三点共线时，P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为171FC r -=，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B 21C ．322-D 31【答案】B【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得222222321a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解.【详解】易知2p c =，且2222222222222444a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==-故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题8．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【分析】先根据a ，b ，c 的关系得出229a b +=，设出A ，B 两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出AB k ，再根据直线过点M ，F 求出AB k ，即可得出222a b =，进而求出2a ，2b 得出双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线E 的标准方程为：22221x y a b-=，由题意知：3c =， 即229a b +=①设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又0235M F AB M F y y kx x -===----，即2255a -=-， 解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x ∀≤2210x x --≤”C ．“若1x >，则21x >”的逆否命题为真命题D ．“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件 【答案】CD【分析】对A ，写出该命题的否命题，即可判断；对B ，写出该命题的否定命题，即可判断；对C ，由原命题与逆否命题同真假可知，只需判断原命题的真假即可；对D ，由充分必要条件的定义即可判断.【详解】解：对A ，“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对B ，“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x 2210x x --≤”，故B 错误；对C ，“若1x >，则21x >”为真命题，由原命题与逆否命题同真假知，其逆否命题也为真命题，故C 正确； 对D ，1x =-时，2560x x --=成立，∴充分性成立；当2560x x --=时，解得：1x =-，或6x =，∴必要性不成立；故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.10．已知A ，B 两点的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹为圆B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 【答案】ABD【分析】设出P 点的坐标，根据直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为m ，可得出含有参数m 的点P 轨迹方程，然后对m 进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.【详解】设点P 的坐标为(,)x y ，直线AP ，BP 的斜率为()11AP yk x x =≠-+，()11BP yk x x =≠- 由已知得，()111y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得点P 的轨迹方程为()2211,0y x x m m+=≠±≠-，分析A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；分析B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；分析C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；分析D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABD.【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为： ①设动点坐标(,)x y②根据题意建立x 与y 的关系式③化简整理x 与y 的关系式，得出轨迹方程. 11．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a = B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=【答案】ABD【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项.【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S .12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线2222 1.x y N m n -=：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）1.74≈≈）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在不同的四个点B i (i =1,2,3,4),使得12i i B F B F ⊥ 【答案】ABD【分析】不妨设1c =，由已知条件可求得椭圆M 和双曲线N 的参数，进而求得离心率，判定AB ；根据,b c 的大小关系，可知当A 为椭圆M 的上顶点时21F AF ∠为钝角，从而判定C 错误；以12F F 为直径作圆与双曲线N 有四个不同的交点，即符合D 中的要求. 【详解】如图，不妨设1c =，双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点坐标为1,22P ⎛ ⎝⎭，由正六边形的性质，可得12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒,211,||PF PF ∴==，椭圆M 的长轴长a =,∴2221b a c =-=<,b c ∴<, ∴当A 为椭圆的上顶点时21F AF ∠为钝角，120AF AF ⋅<,故C 错误；∴椭圆M 离心率11e ==，故A 正确；双曲线N 的渐近线方程为y =,∴=nm，又∵2224m n c +==,1,m n ∴==∴双曲线N 的离心率为22ce m==,故B 正确；以12F F 为直径作圆，显然与双曲线N 有四个不同的交点，这四个点关于12F F 所张的角为直角，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题.取1c =可以给后面的计算带来方便，利用椭圆的定义求椭圆中的参数a 是常用的方法，可以减少运算量.三、填空题13．与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，并且过点()2,3--的双曲线方程是______.【答案】221714y x -=【分析】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，求出λ的值，由此能求出双曲线方程． 【详解】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，得：492-7=-，7λ∴=-， ∴所求双曲线方程为221714y x -=．故答案为：221714y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．一般的，与221Ax By +=的渐近线相同的双曲线的方程都可以表示为22(0,0)Ax By k AB k +=<≠.14．已知实数,x y 满足不等式组0,0,28,39,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩则3z x y =+的最大值是__________．【答案】12 【解析】分析：画出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的可行域，平移3z x y =+，结合所画可行域，可求得3z x y =+的最大值.详解：作出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线3z x y =+，由图可得直线经过点()A 0,4时，z 取得最大值，且max 03412z =+⨯=，故答案为12. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为__________. 【答案】10【分析】先设椭圆的下焦点为F '，由椭圆的定义知：6MF MF '=-，利用MA MF AF -'≤'，即可得到MA MF +的最大值．【详解】解：如图所示：设椭圆的下焦点为F '，22195y x +=， 3a ∴=，26a =，又||26MF MF a '+==，即6MF MF '=-，6MA MF MA MF '∴+=-+， 又MA MF AF ''-≤，当且仅当A ，F '，M 共线且F '在线段AM 上时等号成立，2952c a =--=， ()0,2F '∴- ()222324AF '∴=+=，||4MA MF '∴-≤，MA MF ∴+的最大值为4610+=. 故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.四、双空题 16．函数()21f x x x =+-（x ＞1）的最小值是______；取到最小值时，x =______．【答案】1 12【分析】由题知10x ->，又由()2111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()121111f x x x ≥==-++-，当且仅当211x x -=-即1x =1．故答案为：1；1+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，考查学生的运算求解能力．五、解答题17．命题:p 对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>成立，命题:q 关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集.（1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若“p 或q ”为真，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),2-∞；（2）()[),24,-∞+∞.【分析】（1）利用基本不等式求出函数()f x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围；（2）求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围，由“p 或q ”为真可知p 真或q 真，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）若命题p 为真命题，对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>，则()min a f x <，当0x >时，由基本不等式可得()12f x x x =+≥=， 当且仅当1x =时，等号成立，所以，函数()f x 在()0,∞+上的最小值为2，2a ∴<； （2）若命题q 为真命题，则关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集， 所以，1640a ∆=-≤，解得4a ≥.因为“p 或q ”为真，则p 真或q 真，所以，实数a 的取值范围是()[),24,-∞+∞.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论． 【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为1111313*********13k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k =【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22132x y +=；(2)5【分析】(1)先由离心率得到a =到223b c +=，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程；(2)写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出AB .【详解】解：(1)由题意知：c e a ==，即a = ①，即2223b c +== ② 又222a b c =+ ③由①②③解得：23a =，22b =，∴椭圆C 的方程为：22132x y +=；(2)由(1)知：椭圆的左焦点()110F -，， ∴直线l 的方程为：1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立：221132y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得：25630x x +-=，∴1265x x +=-，1235x x =-，5AB ∴==． 【点睛】思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*240.n n S a n N -+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a +=；（2）n T 22n n +=⋅．【分析】（1）利用已知条件，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步求出1(1)2n n b n ++⋅=，再利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）令1n =，则14a =且()*240n n S a n N -+=∈①，当2n ≥时，11240n n S a ---+=②， ①-②得：122n n n a a a -=-，所以：12nn a a -=(常数)， 则数列{}n a 是以14a =为首项，2为公比的等比数列.则11422n n n a -+=⋅=，当1n =时，14a =(符合通项)，故12n n a +=.（2）由（1）得：2log n n n b a a =⋅1(1)2n n +=+⋅， 则：2312232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅①，所以：34222232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅②， ①-②得：312822(1)2n n n T n ++-=+++-+⋅，()128218(1)221n n n -+-=+-+⋅-，解得：231(1)222n n n T n +-=+⋅-⋅22n n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．21．已知F 是顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线的焦点，()1,1A 在抛物线上. （1）B 、C 是该抛物线上的两点，3BF CF +=，求线段BC 的中点到y 轴的距离；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值. 【答案】（1）54；（2）证明见解析． 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，代入A 的坐标，可得p ，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式可得所求距离；（2）设直线l 的方程为3x my m =++，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【详解】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由21p =，可得12p =， 抛物线的方程为2y x =，F 是抛物线2y x =的焦点，1(4F ，0)，准线方程14x =-，设1(C x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据抛物线的定义可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得114CF x =+，21||4BF x =+， 则2111|344BF CF x x +=+++=，可得1252x x +=，则线段BC 的中点横坐标为54， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为54； （2）证明：设过点(3,1)P -的直线l 的方程为3(1)x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则12y y m +=，123y y m =--， 所以121212121212221212121211()1()1··11(2)(2)(2)()(2)y y y y y y y y y y k k x x my m my m m y y m m y y m ---++-++===--+++++++++22231221(3)(2)(2)442m m m m m m m m m ---+--===---+++++，即12k k 为定值12-． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的应用，考查直线与曲线中的定值问题，解决本题的关键点是利用两点的斜率公式表示出12k k ，并利用韦达定理代入计算，并消去公因式得到定值，考查了学生计算能力，属于中档题．22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，直线1y =与C.(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过1F 、2F 作1l 、2l 满足12l l //，设1l 、2l 与C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=；(2)3【分析】(1)利用焦距为2以及直线1y =与C 的两个交点间的距离，求出a ， b 即可求椭圆C 的方程；(2)直线与椭圆方程联立，先求出2ADF S ，再找到四边形面积与三角形面积的关系，即可求出四边形21ABF F 面积的最大值. 【详解】解：(1)由题意知：1y =与C 的两个交点间的距离为463，∴椭圆过点26，即2222226318113a b a b ⎛ ⎝⎭+=+= ① 又22c =，即1c =，又222a b c =+，即221a b =+②由①②解得：24a =，23b =，∴椭圆的方程为22143x y +=；(2)如图所示：设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D ，联立：221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得：22(34)690m y my +--=，2144(1)0m ∆=+>，设交点()11,A x y ，()22,D x y ， 则122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 22222121||14694433m AD m m m m ⎛⎫- ⎪+++⎛⎫∴=+-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭又2F 到1l 的距离为21d m =+，22221121122341ADF m Smm +∴==++， 令211t m =+≥，则221m t =-，21231ADF St ∴=+， 即当1t =时，最大值为3， 设四边形21ABF F 的面积为S ， 由椭圆的对称性知：21BF DF =，21211111(||||)(||||)||222ADF S AF BF d AF DF d AD d S ∴=+⋅=+⋅=⋅=，∴四边形21ABF F 面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到四边形21ABF F 面积与2ADF △面积的关系.第 21 页共 21 页。
广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题(含答案解析)
广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2310x y ++=在y 轴上的截距为（）A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知空间向量()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，则a b += （）AB ．19C ．17D 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，318S =，则6S =（）A ．54B ．71C ．81D ．804．若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A ．1B ．3C ．6D ．1或35．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（）A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=6．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC BD AD BC ++等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PAPO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n N *∈时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．已知数列{}n a 中，13a =，且111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以是（）A ．4B ．14C ．21D ．2810．设椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法中正确的有（）A ．离心率2e =B ．过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为C ．若P 是椭圆C 上的一点，则12PF F △面积的最大值为1D ．若P 是椭圆C 上的一点，且1260F PF ∠=︒，则12PF F △11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒B ．1B D ⊥平面1ACDC ．点1B 到平面1ACD 的距离为2D ．直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为312．已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ，则下列结论正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．四边形MAPB 面积的最大值为8C ．当APB ∠最大时，PA =D ．当APB ∠最大时，直线AB 的方程为x y +=三、填空题13．直线:10l x y +-=被圆22:6430C x y x y ++--=截得的弦长为___________.14．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，其中()1,1,A t -，()3,1,4B ，则向量AB的坐标为______．15．将数列{n }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点()1,2M ，点P 为抛物线上的任意一点，则PM PF +的最小值为_________.四、解答题17．已知直线()123:10,:20(0,0),:l a x y a l ax by a b l y x -+-=+-=>>=，直线1l 与3l 相交于点P ；(1)求点P 的坐标；(2)若2l 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数,a b 的值.18．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高4米，水面宽度10AB =米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm ；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4cm ．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2cm 间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.(1)求m 的值，使圆C 的周长最小；(2)过(1,2)P -作直线l ，使l 与满足（1）中条件的圆C 相切，求l 的方程，并求切线段的长.20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 满足AB AD ⊥，AB BC ⊥，SA ⊥底面ABCD ，且1SA AB BC ===，0.5=AD .(1)证明AD ∥平面SBC ；(2)求平面SBC 与平面SAD 的夹角.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n A .22．已知ABC的两个顶点坐标分别为(B C ，该三角形的内切圆与边,,AB BC CA 分别相切于P ，Q ，S三点，且||2=AS ABC 的顶点A 的轨迹为曲线E ．(1)求E 的方程；(2)直线11:2l y x =-交E 于R ，V 两点．在线段VR 上任取一点T ，过T 作直线2l 与E 交于M ，N 两点，并使得T 是线段MN 的中点，试比较||||TM TN ⋅与||||⋅TV TR 的大小并加以证明．参考答案：1．D【分析】将0x =代入直线方程求y 值即可.【详解】令0x =，则20310y ⨯++=，得13y =-.所以直线在y 轴上的截距为13-.故选：D 2．D【分析】先求出a b +的坐标，再求出其模【详解】因为()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，所以()1,0,4a b +=，故a b += 故选：D.3．C【分析】利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】∵{}n a 是等差数列，11a =，∴31333318S a d d =+=+=，得5d =，∴61656675812S a d ⨯=+=+=.故选：C.4．B【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B.5．C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可．【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上，因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b =，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =，所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．6．B【分析】令,,AB a AC b AD c ===，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ++ ，()()()a cb b ac c b a =-+-+- ，0a c a b b a b c c b c a =-+-+-=.故选：B 7．A【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.2=，化简为：()2214x y ++=，动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 8．A【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出62S 和64S ，进而得出结果.【详解】解：由n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，可得121++=+n n a a n ，n N *∈则123a a +=，347a a +=，5611a a +=，L可得数列{}n a 中，每隔两项求和是首项为3，公差为4的等差数列.则6231303314195320202S ⨯=⨯+⨯=<，6432313324208020202S ⨯=⨯+⨯=>，则n 的最大值可能为63.由121++=+n n a a n ，n N *∈，可得1223+++=+n n a a n .()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++ 159125a =++++ 113130315420152a a ⨯=+⨯+⨯=+因为123a a +=，123a a =-，23a <，即23a ->-，所以10a >，则63120152015S a =+>，当且仅当15a =时，632020S =，符合题意，故n 的最大值为63.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.9．AD【分析】由已知条件计算可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为13a =，且111n n a a +=-+，所以211114a a =-=-+，3211411314a a =-=-=-+-+，431134113a a =-=-=+-+，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以313,k a k N +=∈，所以n 可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……故选：AD 10．BCD【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答.【详解】由椭圆22:12x C y +=得：长半轴长a =1b =，半焦距1c =，对于A，椭圆的离心率e =A 错误；对于B ，因弦AB 过焦点F 1，则2ABF △的周长为1212||||||||44AF AF BF BF a +++==，B 正确；对于C ，令点P 的纵坐标为P y ，于是得△12PF F 面积1211||||2||122P P S F F y c y b =⋅=⋅⋅≤=，当且仅当点P 为短轴端点时取“=”，C 正确；对于D ，由余弦定理得：222212121212||||||2||||cos60(||||)F F PF PF PF PF PF PF =+-︒=+123||||PF PF -，即()()2212223c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =，因此，△12PF F面积为12114||||sin 2323S PF PF π==⨯D 正确.故选：BCD 11．BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到11BC AD =，即可判断选项A ；利用向量法证明111,B D AD B D AC ⊥⊥，即可判断选项B ；利用向量法求出点1B 到平面1ACD 的距离即可判断选项C ；利用向量法求出直线B 1C 与平面1ACD 所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)A B C B C D .A ：11(1,0,1),(1,0,1)BC AD =-=-，因为11BC AD =，所以11//BC AD ，因此该选项不正确；B ：11(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)B D AD AC =---=-=-，因为111(1,1,1)(1,0,1)0,(1,1,1)(1,1,0)0B D AD B D AC ⋅=---⋅-=⋅=---⋅-=，所以111,B D AD B D AC ⊥⊥，而11,,AC AD A AC AD =⊂ 平面ACD 1，因此1B D ⊥平面ACD 1，所以该选项正确；C ：因为1BD ⊥平面ACD 1，所以1B D 是平面ACD 1的法向量，1(1,0,1)B C =--，所以点B 1到平面ACD 1的距离为1113B C B DB D⋅=，因此该选项不正确；D ：设直线B 1C 与平面1ACD 所成角为θ，则111111sin cos 3B C B D B C B D B C B Dθ⋅=⋅=⋅，所以直线B 1C 与平面1ACD因此该选项正确.故选：BD.12．AD【分析】分析可知当MP l ⊥时，四边形MAPB 面积最小，且APB∠最大，利用三角形的面积公式可判断A 、B 选项，分析出四边形MAPB 为正方形，利用正方形的几何性质可判断C 、D 选项.【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得MA PA ⊥，MB PB ⊥，圆()1,1M ，半径为2，对于A ，由切线长定理可得PA PB =，又因为MA MB =，MP MP =，所以，PAM PBM ≅ ，所以四边形MAPB 的面积22PAM S S PA AM PA ==⋅=△，因为PA ==MP l ⊥时，MP 取最小值，且min MP ==，所以，四边形MAPB 的面积的最小值为24S =，故A 正确；对于B ，因为MP 无最大值，即PA 无最大值，故四边形MAPB 面积无最大值，故B 错误；对于C ，因为APM ∠为锐角，2APB APM ∠=∠，且2sin AM APM MPMP∠==，故当MP 最小时，APM ∠最大，此时APB ∠最大，此时2PA =，故C 错误；对于D ，由上可知，当APB ∠最大时，2PA PB MA MB ====且90PAM ∠= ，故四边形MAPB 为正方形，且有MP l ⊥，直线:20l x y ++=，()1,1M ，则MP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩，可得11x y =-⎧⎨=-⎩，即点()1,1P --，由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点()0,0O ，此时直线AB 的方程为y x =-，故D 正确．故选：AD ．13．【分析】利用勾股定理求得弦长.【详解】因为圆C 的圆心为(3,2)-，半径r 4=，圆心到直线l 的距离d =故直线l 被圆C 截得的弦长为=.故答案为：14．()2,2,4【分析】根据向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，由0AB v ⋅=求解.【详解】因为()1,1,A t -，()3,1,4B ，所以()2,2,4AB t =- ，又因为向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，所以()1232240AB v t ⋅=⨯+⨯-⨯-= ，解得0=t ，所以()2,2,4AB = ，故答案为：()2,2,415．232【分析】由已知，第n 组中最后一个数即为前n 组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为21(121)1234521=2312⨯+++++++= ，所以第22组的第1个数为232.故答案为：23216．3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足为Q ，连接MQ ，则213PM PF PM PQ MQ +=+≥≥+=，当且仅当,,M P Q 共线时等号成立，故PM PF +的最小值为3，故答案为：3.17．(1)()1,1P (2)1a b ==【分析】（1）通过联立1l 和3l 的方程来求得P 点的坐标.（2）先求得直线2l 的横纵截距，利用2l 与两坐标轴围成的三角形的面积列方程来求得,a b .【详解】（1）依题意0,0a b >>，由()10a x y a y x⎧-+-=⎨=⎩解得1x y ==，所以()1,1P .（2）依题意0,0a b >>，由于2l 经过点P ，所以20,2a b a b +-=+=①，由20ax by +-=令0x =得2y b=，令0y =得2x a =，所以12222,12ab b a ab⨯⨯===②，由①②解得1a b ==.18．(1)货箱能顺利通过该桥；(2)增加26层.【分析】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为2254x y =-，可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，求出||CD 即得解；（2）求出货物超出高度即得解.【详解】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．设抛物线方程为2x my ＝，根据题意知点B 在抛物线上；∴25＝—4m ，∴254m =-，∴2254x y =-；可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，则02594y =-，∴03625y =-．∵3664(4) 1.52525CD =---=>．∴货箱能顺利通过该桥．（2）由题知，货物超出高度为64(1.5)100106()25cm -⨯=，因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm ，且货物与桥壁需留下2cm 间隙．所以需要增加层数为1062264-=层，因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．19．(1)3m =(2)直线方程为1x =或34110x y --=，切线段长度为4【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为(1)2y k x =--，2=，解得34k =，所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=.综上，直线方程为1x =或34110x y --=.圆心与点P 的距离d ==，4=.20．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.【详解】（1）∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，∴AD BC ∥，又AD ⊂平面SBC ，BC ⊄平面SBC ，∴BC ∥平面SAD ；（2）∵SA ⊥平面ABCD 且AB 、ADC ⊂平面ABCD ，∴SA AB ⊥，SA AD ⊥，又∵AB AD ⊥，故分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴，y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由1SA AB BC ===，12AD =，可得：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S ，由已知SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，SA AB ⊥，AB AD ⊥，SA AD A = ，SA ，AD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，AB∴ 为平面SAD 的一个法向量，且(0,1,0)AB = ；设(,,)n x y z = 为平面SBC 的一个法向量，则n BC ⊥ ，n SB ⊥ ，n BC ∴⋅= ，0n SB ⋅= ，(1,0,0)BC = ，(0,1,1)SB =- ，00x y z =⎧∴⎨-=⎩，令1z =，则0x =，1y =，(0,1,1)n ∴= ，设平面SAD 与平面SBC 的夹角大小为θ，12cos |cos ,|212AB n θ∴=<>==⨯ ，由(0,]2πθ∈得：平面SCD 与平面SAB 的夹角大小为.4π21．（1）2n n a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n Tn n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解.【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2n n a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n n n T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯.两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-.【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算.22．(1)221(0)4x y y +=≠(2)大小关系不确定；证明见解析【分析】（1）由题可得||||4AB AC +=，可得轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，代入椭圆，相减可得斜率关系，利用弦长公式求出21||||||4TM TN MN ⋅=，再求出||||⋅TV TR 可比较.【详解】（1）由内切圆的性质得||||2||||4||+=+=>AB AC AS BC BC ，所以曲线E 是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆，且A ，B ，C 不共线，则2,a c ==2221b a c =-=，故E 的方程为221(0)4x y y +=≠．（2）当T 不为坐标原点时，设()()1122,,,M x y N x y ，则221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()1212121214+-=-+-y y y y x x x x ，即1214=-l l k k ，所以212l k =，设21:2=+l y x m ，联立方程组221,2440,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩整理得222220x mx m ++-=，221212840,2,22∆=->+=-=-m x x m x x m ．因为T 是线段MN 的中点，所以()()222121211||||||44⎡⎤⋅==-+-⎣⎦TM TN MN x x y y ()()2212125542164⎡⎤=+-=-⎣⎦x x x x m ．联立方程组221,2440,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩解得,⎛ ⎭⎝⎭V R ．联立方程组1,21,2y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得,2⎛⎫- ⎪⎝⎭m T m ，所以()25||||))24⋅==-TV TR m m m ，故||||||||⋅=⋅TM TN TV TR ．当T 为坐标原点时，由对称性知，5||||[1,4),||||,||||2⋅∈⋅=⋅TM TN TV TR TM TN 与||||⋅TV TR 的大小关系不确定．。
2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
广东实验中学2020-2021学年高二下学期期中考试+地理+PDF版含答案
19．布埃亚有“非洲雨极”之称，与其成因没有关联的是（ ）
A．山地迎风坡多地形雨
B．受西非赤道低压影响
C．西南季风与海岸垂直
D．北赤道暖流增温增湿
20．R、Q 两地（ ）
A．一月 R 地盛行西南风，Q 地盛行东南风
B．一月 R 地盛行东北风，Q 地盛行西北风
C．七月 R 地盛行东北风，Q 地盛行东南风
③终年受西风带控制，增温增湿
④地处大陆内部，日照时间长
A．①②
B．②③
C．③④
15．关于索契地区建冰雪场有利条件的论述，正确的是（ ）
①有高大山地，坡度适宜，利于滑雪场的建立
②山地气温低，受中纬西风影响，降雪量大，山地积雪多
③亚热带季风区，冬季温和，有利于保护运动员不受冻伤
④冬季严寒，利于冰场封冻，投资少，建设便利
D．一年两熟到三熟
4．法国地中海沿岸和新疆吐鲁番盆地(90°E、43°N)，都是世界著名的葡萄产区，其共同的气
候优势是（ ）
A．雨热同期 B．气温年较差大 C．夏季光照充足 D．降水丰富
下图示意挪威位置和地形。挪威是世界上水能资源开发较充分的国家。该国大型水电站 多为高水头（电站水库水位与发电机组所在位置高差大）电站。读图回答第 5--6 题。
D．优化沿线地区生态环境
阅读材料及“中哈石油管道建设示意图”，回答 24-25 题。
24．中哈输油管线经过地区主要的生态问题是（ ）
A．水土流失
B．森林破坏
C．土地荒漠化
D．气候变暖
25．图中咸海的主要补给水源是（ ）
A．冰川融水和大气降水
B．地下水和积雪融水
C．积雪融水和大气降水
D．冰川融水和地下水
A．①②
导数构造函数十二种题型归类(学生版)
导数构造函数十二种题型归类内容速递一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】 导数四则运算基础【题型二】 幂函数与f(x)积型【题型三】 幂函数与f(x)商型【题型四】 指数函数与f(x)积型【题型五】 指数函数与f(x)商型【题型六】 正弦函数与f(x)型【题型七】 余弦函数与f(x)型【题型八】 对数函数与f(x)型【题型九】 一元二次(一次)与f(x)线性【题型十】 指数型线性【题型十一】对数型线性【题型十二】综合构造三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos xf(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=a x(a>0，且a≠1)f′(x)=a x ln a f(x)=ex f′(x)=e xf(x)=log a x(a>0，且a≠1)f′(x)=1 x ln af(x)=ln x f′(x)=1 x(2)导数的四则运算法则法则和差[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)积[f(x)g(x)]′=f'x g x +f x g'x ，特别地，[cf(x)]′=cf′(x) 商f(x)g(x)′=f(x)g(x)-f(x)g (x)g(x)2(g(x)≠0)(3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系y ′x =y ′u ·u ′x即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.二、导数构造规律(1)、关系式为“加”型，常构造为乘法①fx +f x ≥0，构造F x =e xf x ，Fx =e xf x +fx ，②xfx +f x ≥0，构造F x =xf x ，Fx =xfx +f x ，③xfx +nf x ≥0，构造F x =x nf x ，Fx =x n -1xfx +nf x ；(2)、关系式为“减”型，常构造为除法①fx -f x ≥0，构造F x =f x e x ，F x =f x -f x ex，②xf x -f x ≥0，构造F x =f x x ，Fx =xfx -f x x 2，③xf x -nf x ≥0，构造F x =f x x n ，Fx =xf x -nf x xn +1.热点考题归纳【题型一】导数四则运算基础【典例分析】1(2022春·北京·高三模拟)若f x =e x ln x ，则f x =()A.e xln x +e xxB.e x ln x -e xxC.e x xD.e x ln x 2(2023春·黑龙江伊春·高三模拟)函数y =e x sin2x 的导数为()A.y =2e x cos2xB.y =e x sin2x +2cos2xC.y =2e x sin2x +cos2xD.y =e x 2sin2x +cos2x【提分秘籍】基础求导公式：C=0；x α=αx α-1；a x=axln a ；log a x=1x ln a ；sin x=cos xcos x=sin x【变式演练】3(2022春·北京·高三清华附中校考)函数f x =sin xx的导数是()A.x sin x +cos xx 2B.x cos x +sin xx 2C.x sin x -cos x x 2D.x cos x -sin xx 24(2023春·四川资阳·高三联考)已知函数y =x ⋅tan x 的导函数为()A.y =sin x cos x +xcos 2x B.y =sin x cos x +x cos2xcos 2xC.y =sin x cos x +1cos 2xD.y =sin x cos x +cos2xcos 2x【题型二】幂函数与f (x )积型【典例分析】1设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且有2f x +xf x >0，则不等式x -20212f x -2021 -f 1 >0的解集为()A.2020,+∞B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞2(黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三数学试题)函数f x 是定义在区间0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足xf x +2f x >0，则不等式(x +2020)f (x +2020)3<3f (3)x +2020的解集为()A.x |x >-2017 B.x |x <-2017C.x |-2020<x <0D.x |-2020<x <-2017【提分秘籍】若已知对于xf(x )+kf (x )>0(<0)，构造g (x )=x k∙f (x )分析问题；【变式演练】3(江西省赣州市八校协作体2020-2021学年高三联考数学(理)试题)已知定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f (x )，当x ≥0时，恒有x3f (x )+f (x )>0．则不等式x 3f (x )-(1+2x )3f (1+2x )<0的解集为()．A.{x |-3<x <-1} B.x -1<x <-13C.{x |x <-3或x >-1}D.{x |x <-1或x >-13}4(山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高三4月数学(理)试题)设函数f x 是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x +xf 'x >x 2则不等式x +2019 2f x +2019 -4f -2 <0的解集为()A.(-2019，-2017)B. (-2021，-2019)C.(-2019，-2018)D.(-2020,-2019)5(安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高三数学试题)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f x ，若对任意的正实数x ，都有x f x +2f (x )>0恒成立，且f 2 =1，则使x 2f (x )<2成立的实数x 的集合为()A.-∞，-2 ∪2，+∞B.-2，2C.-∞，2D.2，+∞【题型三】幂函数与f (x )商型【典例分析】1(2022届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学试卷)函数f x 在定义域0,+∞ 内恒满足：①f x >0，②2f x <xf x <3f x ，其中f x 为f x 的导函数，则() A.14<f 1 f 2<12 B.116<f 1 f 2<18 C.13<f 1 f 2<12 D.18<f 1 f 2<142(黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次阶段性测试数学试题)已知偶函数f x 的导函数为f x ，且满足f 2 =0，当x >0时，xf x >2f x ，使得f x >0的x 的取值范围为【提分秘籍】对于x ∙f (x )-kf (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )x k【变式演练】3(河南省郑州市示范性高中2020-2021学年高三阶段性考试(三)数学(理)试题)已知函数f x 的导函数为f x ，若f x <x ，f x <2，f x -x 对x ∈0,+∞ 恒成立，则下列个等式中，一定成立的是()A.f 2 3+12<f 1 <f 2 2 B.f 2 4+12<f 1 <f 2 2C.3f 2 8<f 1 <f 2 3+12D.f 2 4+12<f 1 <3f 2 84(江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考数学试题)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f x ，若y ，f -2 =1，则不等式f x x 2<14的解集是()A.-2,2B.-∞,-2 ∪2,+∞C.-2,0 ∪0,2D.-∞,0 ∪0,25设f x 是偶函数f x x ≠0 的导函数，当x ∈0,+∞ 时，y ，则不等式4f x +2019 -x +2019 2f -2 <0的解集为()A.-∞,-2021B.-2021,-2019 ∪-2019,-2017C.-2021,-2017D.-∞,-2019 ∪-2019,-2017【题型四】指数函数与f (x )积型【典例分析】1(【全国百强校】广东省阳春市第一中学2022届高三第九次月考数学(理)试题)已知函数f (x )(x ∈R )的导函数为f (x )，若2f (x )+f (x )≥2，且f (0)=8，则不等式f (x )-7e -2x >1的解集为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,+∞)D.(1,+∞)2(广东省普宁市华美实验学校2020-2021学年高三第一次月考数学试题)已知f x 是R上可导的图象不间断的偶函数，导函数为f x ，且当x>0时，满足f x +2xf x >0，则不等式e1-2x f x-1> f-x的解集为()A.12,+∞B.-∞,12C.-∞,0D.0,+∞【提分秘籍】对于f (x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=e kx∙f(x)【变式演练】3(2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学(理)试题)已知定义在R上的函数f x 的导函数为f x ，若f1 =1，ln f x +f x +1>0，则不等式f x ≥e1-x的解集为()A.-∞,1B.-∞,eC.1,+∞D.e,+∞4已知函数f x 的导函数为f x ，且对任意的实数x都有f x =e-x2x+5 2-f x (e是自然对数的底数)，且f0 =1，若关于x的不等式f x -m<0的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是()A.-e2,0B.-e2,0C.-3e4,0D.-3e4,92e【题型五】指数函数与f(x)商型【典例分析】1定义在(-2,2)上的函数f(x)的导函数为f x ，满足：f x +e4x f-x=0，f1 =e2，且当x>0时，f (x)>2f(x)，则不等式e2x f(2-x)<e4的解集为()A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,+∞)D.(0,1)2已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f'(x)-f(x)>0，f(2021)=e2021，则不等式f1 e ln x<e x的解集为()A.e2021,+∞B.0,e2021C.e2021e,+∞D.0,e2021e【提分秘籍】对于f (x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x) e kx【变式演练】3(天一大联考高三毕业班阶段性测试(四)理科数学)定义在R上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <2f x ，则不等式e4f-x>e-8x f3x+2的解集是()A.-12,+∞B.-∞,12C.-12,1D.-1,124已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f (x)-f(x)>0，f(2021)=e2021，则不等式f1 3ln x<3x的解集为()A.(e6063,+∞)B.(0,e2021)C.(e2021,+∞)D.(0,e6063)5(贵州省凯里市第三中学2022届高三上学期第二次月考数学(理)试题)已知函数f(x)是定义域为R，f (x)是f(x)的导函数，满足f (x)<f(x)，且f(1)=4，则关于不等式f(x)-4e x-1>0的解集为()A.(-∞,1)B.1e ,1C.1e,eD.1e,+∞【题型六】正弦函数与f(x)型【典例分析】1(【衡水金卷】2021年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题)已知定义在区间0,π2上的函数f x ，f x 为其导函数，且f x sin x-f x cos x>0恒成立，则()A.fπ2>2fπ6 B.3fπ4 >2fπ3C.3fπ6<fπ3 D.f1 <2fπ6 sin12(【市级联考】广西玉林市2018-2019学年高三上学期考试数学试题)已知f'(x)为函数y=f(x)的导函数，当x x∈0,π2是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f(x)-f'(x)⋅k<0恒成立，则()A.{x22-m ln x2-2mx2=0x22-ln x2-m=0B.f(1)sin1>2fπ6C.f(x)=x2+6x-10D.3fπ6-fπ3 >0【提分秘籍】对于sin x∙f (x)+cos x∙f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)∙sin x对于sin x∙f (x)-cos x∙f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x) sin x【变式演练】3(贵州省遵义航天高级中学222届高三第五次模拟考试数学试题)已知定义在0,π2上的函数，f(x)为其导函数，且f(x)sin x<f (x)cos x恒成立，则()A.f π2 >2f π6B.3f π4>2f π3 C.3f π6 <f π3 D.f (1)<2f π6 sin14已知奇函数f x 的导函数为f x ，且f x 在0,π2上恒有f (x )cos x -f (x )sin x <0成立，则下列不等式成立的()A.2f π6>f π4 B.f -π3 <3f -π6 C.3f -π4 <2f -π3D.22f π3 <3f π4 5(广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考(5月)数学试题)设f x 是定义在-π2,0 ∪0,π2 上的奇函数，其导函数为f x ，当x ∈0,π2 时，f x -f x cos xsin x<0，则不等式f x <233f π3sin x 的解集为()A.-π3,0 ∪0,π3 B.-π3,0 ∪π3,π2C.-π2,-π3 ∪π3,π2D.-π2,-π3 ∪0,π3【题型七】余弦函数与f (x )型【典例分析】1(2023春·新疆克孜勒苏·高三模拟)已知函数y =f x 对于任意的x ∈-π2,π2满足f x cos x +f x sin x >0(其中fx 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f 0 >2f π4 B.2f -π3 >f -π4 C.2f π3 >f π4D.f 0 >2f π3 2(2023·全国·高三专题练习)定义在0,π2上的函数f x ，已知f x 是它的导函数，且恒有cos x ⋅f x +sin x ⋅f x <0成立，则有()A.3x -y -1=0B.3f π6>f π3C.f π6>3f π3D.2f π6<3f π4【提分秘籍】对于cos x ∙f (x )-sin x ∙f (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )∙cos x ，对于cos x ∙f (x )+sin x ∙f (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )cos x【变式演练】3(四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期10月阶段考试理科数学试题)已知偶函数f (x )是定义在[-1,1]上的可导函数，当x ∈[-1,0)时，f (x )cos x +f (x )sin x >0，若cos (a +1)f (a )≥f (a +1)cos a ，则实数a 的取值范围为()A.[-2,-1]B.-1,-12C.-12,0D.-12,+∞ 4(四川省南充高级中学2021-2022学年高三考试数学试题)已知偶函数f (x )的定义域为-π2,π2，其导函数为f '(x )，当0<x <π2时，有f (x )cos x +f (x )sin x <0成立，则关于x 的不等式f (x )<2f π3 cos x 的解集为()A.0,π3B.π3,π2C.-π3,0 ∪0，π3D.-π2,-π3 ∪π3,π2【题型八】对数与f (x )型【典例分析】1已知函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，且满足x >0时，ln xf (x )+1xf (x )<0，则(x -2019)f (x )>0的解集为()A.(-1,0)∪(1,2019)B.(-2019,-1)∪(1,2019)C.(0,2019)D.(-1,1)2(【全国百强校】重庆市巴蜀中学20-20学年高三下考试理科数学试题)定义在0,+∞ 上的函数f x 满足x ⋅f 'x ⋅ln x +f x >0(其中f 'x 为f x 的导函数)，则下列各式成立的是()A.ef e>π-f 1π>1 B.ef e<π-f 1π<1 C.ef e>1>π-f 1πD.ef e<1<π-f 1π【提分秘籍】对于f (x )ln x +f (x )x>0(<0)，构造g x =ln x ∙f (x )【变式演练】3(江西省新余市第四中学2023届高三上学期第一次段考数学试题)已知定义在[e ，+∞)上的函数f (x )满足f (x )+x ln xf ′(x )<0且f (2018)=0，其中f ′(x )是函数f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式f (x )>0的解集为()A.[e ，2018)B.[2018，+∞)C.(e ，+∞)D.[e ，e +1)4(山东省招远一中2019届高三上学期第二次月考数学试题)定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf '(x )ln x +f (x )>0(其中f '(x )为f (x )的导函数)，若a >1>b >0，则下列各式成立的是()A.af (a )>bf (b )>1 B.af (a )<bf (b )<1 C.af (a )<1<bf (b )D.af (a )>1>bf (b )5(2023重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数f x 是奇函数f x x ∈R 的导函数，且满足x >0时，ln x ⋅f x +1x f x <0，则不等式x -985 f x >0的解集为()A.985,+∞B.-985,985C.-985,0D.0,985【题型九】一元二次(一次)与f (x )线性【典例分析】1(2021届云南省昆明第一中学高中新课标高三第三次双基检测数学试题)函数y =f (x )的定义域为R ，其导函数为f (x )，∀x ∈R ，有f (x )+f (-x )-2x 2=0在(0,+∞)上f (x )>2x ，若f (4-t )-f (t )≥16-8t ，则实数t 的取值范围为()A.[-2，2]B.[2,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,2]2(2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学(理)试题)设函数f x 在R 上存在导函数f x ，∀x ∈R ，有f x -f -x =x 3，在0,+∞ 上有2f x -3x 2>0，若f m -2 -f m ≥-3m 2+6m -4，则实数m 的取值范围为()A.-1,1B.-∞,1C.1,+∞D.-∞,-1 ∪1,+∞【提分秘籍】二次构造：f (x )×÷r (x )±g (x )，其中r (x )=x n，e nx,sin x ,cos x 等【变式演练】3(江苏省盐城中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f (x )，且对任意x ∈R 都有f (x )>2，f (1)=3，则不等式f (x )-2x -1>0的解集为()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)4(吉林省蛟河市第一中学校2021-2022学年高三下学期第三次测试数学试题)已知定义在R 上的可导函数f (x )，对于任意实数x 都有f (-x )=f (x )-2x 成立，且当x ∈(-∞,0]时，都有f '(x )<2x +1成立，若f (2m )<f (m -1)+3m (m +1)，则实数m 的取值范围为()A.-1,13B.(-1,0)C.(-∞,-1)D.-13,+∞ 5(【市级联考】福建省龙岩市2021届高三第一学期期末教学质量检查数学试题)已知定义在R 上的可导函数f (x )、g (x )满足f (x )+f (-x )=6x 2+3，f (1)-g 1 =3，g (x )=f (x )-6x ，如果g (x )的最大值为M ，最小值为N ，则M +N =()A.-2B.2C.-3D.3【题型十】指数型线性【典例分析】1(安徽省阜阳市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次调研考试数学试题)设函数f x 定义域为R ，其导函数为f x ，若f x +f x >1,f 0 =2，则不等式e x f x >e x +1的解集为()A.-∞,0 ∪0,+∞B.-∞,0C.2,+∞D.0,+∞2(黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高三3月阶段性测试数学试题)已知函数f x =e 2x -ax 2+bx -1，其中a ,b ∈R ，e 为自然对数底数，若(0,1]，f x 是f x 的导函数，函数f x 在0,1 内有两个零点，则a 的取值范围是()A.2e 2-6,2e 2+2B.e 2,+∞C.-∞,2e 2+2D.e 2-3,e 2+1【提分秘籍】对于f (x )-f (x )>k (<0)，构造g x =e x f x -k【变式演练】3(金科大联考2020-2021学年高三10月质量检测数学试题)设函数f (x )的定义域为R ，f (x )是其导函数，若f (x )+f (x )>-e -x f (x )，f 0 =1，则不等式f (x )>2e x +1的解集是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)4(2023春·福建龙岩·高三联考)∀x ∈R ，f x -f x =-2x +1 e x ，f 0 =-3，则不等式f x >-5e x 的解集为()A.-2,1B.-2,-1C.-1,1D.-1,25(2023春·四川眉山·高三模拟)函数f x 的定义域是R ，f 1 =2，对任意x ∈R ，f x +f x >1，则不等式e x f (x )>e x +e 的解集为()A.x |x >1B.x |x <1C.{x |x <-1或0<x <1}D.{x |x <-1或x >1}【题型十一】对数型线性【典例分析】1(2023春·安徽合肥·高三合肥一中校考)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，若xf x -1<0，f e =2，则关于x 的不等式f e x<x +1的解集为()A.0,1B.1,eC.1,+∞D.e ,+∞2(2022春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考阶段练习)定义在(0，+∞)的函数f (x )满足xf x -1<0，f 1 =0，则不等式f e x-x <0的解集为()A.(-∞，0)B.(-∞，1)C.(0，+∞)D.(1，+∞)【提分秘籍】y =ln (kx +b )与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果逆向思维【变式演练】3(2023·全国·高三专题练习)若函数f x 满足：x -1 fx -f x =x +1x-2，f e =e -1，其中f x 为f x 的导函数，则函数y =f x 在区间1e,e的取值范围为()A.0,eB.0,1C.0,eD.0,1-1e4(2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学(第八模拟))已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +2)是偶函数，f (x )>12x -1+ln (x -1)(f (x )为f (x )的导函数).若对任意的x ∈(0,+∞)，不等式f -t 2+2t +1 ≥f 12 x-2 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.[-2,4]B.(-∞,-2]∪[4,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【题型十二】综合构造【典例分析】1(河北省沧州市沧县中学2020-2021学年高三数学)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f '(x )，对任意实数x 均有(1-x )f (x )+xf '(x )>0成立，且y =f (x +1)-e 是奇函数，不等式xf (x )-e x >0的解集是()A.1,+∞B.e ,+∞C.-∞,1D.-∞,e2(江西省吉安市重点高中2020-2021学年高三5月联考数学试题)已知函数f x 是定义域为0,+∞ ，fx 是函数f x 的导函数，若f 1 =e ，且xfx -1+x f x >0，则不等式f ln x <x ln x 的解集为()A.0,eB.e ,+∞C.1,eD.0,1【变式演练】3(2022·高三测试)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数是f (x )，若f (x )+xf (x )-xf (x )>0对任意x ∈R 成立，f 1 =e ．则不等式f (x )<e xx 的解集是()A.(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,0)D.(0,1)4(2023·四川·校联考模拟预测)定义在0,+∞ 上的函数f x 的导函数为f x ，且x 2+1 f x <x -1x f x ，若θ∈0,π4 ，a =tan θ，b =sin θ+cos θ，则下列不等式一定成立的是()A.f 1 <f a B.f 1 >2bf b2+sin2θC.f 1 >f a sin2θD.f a 2+sin2θ <f b 1sin θ+1cos θ5(2023春·江西吉安·高三模拟)若定义在R 上的可导函数f (x )满足(x +3)f (x )+(x +2)f (x )<0，f (0)=1，则下列说法正确的是()A.f (-1)<2eB.f (1)<23eC.f (2)>12e 2D.f (3)>25e 3高考真题对点练一、单选题1(浙江·高考真题)设f x 是函数f x 的导函数，y =f x 的图象如图所示，则y =f x 的图象最有可能的是()A ．B ．C ．D ．2(江西·高考真题)已知函数y =xf (x )的图象如图所示(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y =f x 的图象大致是()A. B.C. D.3(陕西·高考真题)f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf ′x +f x ≤0．对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有()A.af b ≤bf aB.bf a ≤af bC.af a ≤f bD.bf b ≤f a4(湖南·高考真题)设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f (x )g (x )+f (x )g (x )>0．且g (-3)=0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)5(2015·福建·高考真题)若定义在R 上的函数f x 满足f 0 =-1，其导函数f x 满足f x >k >1，则下列结论中一定错误的是()A.f 1k<1kB.f 1k>1k -1C.f 1k -1<1k -1D.f 1k -1>kk -16(2013·辽宁·高考真题)设函数f x 满足x 2fx +2xf x =e x x ,f 2 =e 28,则x >0时，f x ()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值7(2015·全国·高考真题)设函数f '(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf '(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)8(辽宁·高考真题)函数f x 的定义域为R ，f -1 =2，对任意x ∈R ，f x >2，则f x >2x +4的解集为()A.-1,1B.-1,+∞C.-∞,-1D.-∞,+∞最新模考真题一、单选题1(2023·西藏日喀则·统考一模)如图，已知函数f x 的图象在点P 2,f 2 处的切线为直线l ，则f 2 +f 2 =()A.-3B.-2C.2D.12(2023·陕西榆林·统考三模)定义在0,+∞ 上的函数f x ，g x 的导函数都存在，f x g x +f (x )g x =2x -1x ln x +x +1x2，则曲线y =f x g x -x 在x =1处的切线的斜率为()A.12 B.1 C.32D.23(2023·四川成都·统考模拟预测)已知定义在R 上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <e x ，且f 2 =e 2+2，则不等式f ln x >x +2的解集是()A.0,2B.0,e 2C.e 2,+∞D.2,+∞4(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f x ，若对于任意实数x ，有f x >f x ，且f 0 =1，则不等式f x <e x 的解集为()A.-∞,0B.0,+∞C.-∞，e 4D.e 4，+∞5(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x 为函数f x 的导函数，当x ∈0,+∞ 时，sin2x -f x >0，且∀x ∈R ,f -x +f x -2sin 2x =0，则下列说法一定正确的是()A.f π3-f π6 >12 B.f π3-f π4 <14C.f π3 -f 3π4 <14 D.f π3 -f -3π4 >146(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =1，f 1 =0，则不等式f 2x -3 >0的解集为()A.0,2B.log 23,2C.log 23,+∞D.2,+∞7(2023·山东烟台·统考二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,e C.-1,1 D.-1,e8(2023·安徽·校联考模拟预测)已知函数f x 、g x 是定义域为R 的可导函数，且∀x ∈R ，都有f x >0，g x >0，若f x 、g x 满足f x f x <g xg x ，则当x 1<x <x 2时下列选项一定成立的是()A.f x 2 g x 1 >f x 1 g x 2B.f x g x 1 >f x 1 g xC.f x 2 -g x 2 f x 1 -g x 1 <g x 2 g x 1 D.f x 2 g x 2 <f x 1 +f x 2g x 1 +g x 2二、多选题9(2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测)已知函数f (x )对于任意的x ∈0,π2都有f (x )cos x -f (x )sin x >0，则下列式子成立的是()A.3f π6>2f π4 B.2f π4<f π3 C.2f (0)<f π4 D.2f (0)>f π3 10(2020·山东泰安·校考模拟预测)定义在0,π2 上的函数f (x )，f x 是f (x )的导函数，且fx <-tan x ⋅f (x )恒成立，则() A.f π6>2f π4B.3f π6 >f π3C.f π6>3f π3D.2f π6>3f π411(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模)已知函数f x 在R 上可导，其导函数为f x ，若f x 满足：x -1 fx -f x >0，f 2-x =f x e 2-2x ，则下列判断不正确的是()A.f 1 <ef 0B.f 2 >e 2f 0C.f 3 >e 3f 0D.f 4 <e 4f 012(2023·辽宁锦州·校考一模)定义在R 上的函数f x 满足xf x -f x =1，则y =f x 的图象可能为()A. B.C. D.三、填空题13(2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为-π2 ,π2，其导函数是f x .有f x cos x+f x sin x<0，则关于x的不等式f(x)>2fπ3cos x的解集为.14(2023·广东佛山·统考模拟预测)已知f x 是定义在R上的偶函数且f1 =2，若f x <f x ln2，则f x -2x+2>0的解集为.15(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)设函数y=f x 在R上存在导数y=f x ，对任意的x∈R，有f x -f-x=2sin x，且在0,+∞上f x >cos x.若fπ2-t-f t >cos t-sin t.则实数t的取值范围为.16(2023·山东·模拟预测)定义在0,π2上的可导函数f x 的值域为R，满足f x tan x≥2sin x-1f x ，若fπ6=1，则fπ3 的最小值为.。
2020-2021学年高二化学下学期期中测试卷04(结构+原理)(广东省原卷版)
2020-2021学年高二下学期期中测试卷（结构+原理）04化学试题（考试时间：75分钟 试卷满分：100分）考试范围：2019人教版选修3第1、2章+选修4可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 P-31 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64一、选择题（本大题包括16小题，共44分，1—10每小题2分，共20分,11—16每小题4分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的）1．我国对铜的认识年代久远，下列关于铜的几种表述正确的是A ．基态Cu 原子的电子排布式：[As]4s 1B ．基态Cu 原子的最高能层符号为NC ．基态Cu 原子的价电子排布图为D ．基态Cu 2+的未成对电子数为22．下列分子既不存在s-p σ键，也不存在p-p π键的是A ．HClB ．HFC ．N 2D ．SCl 23．下列各组物质中，都是极性分子的是A ．BH 3 和 NH 3B ．HCl 和 BeCl 2C ．PCl 3 和 NCl 3D ．SO 2 和 CO 24．多核离子所带电荷可以认为是中心原子得到或失去电子导致，根据VSEPR 模型，下列离子中所有原子都在同一平面的一组是A ．NO 2-和NH 2-B ．H 3O +和ClO 3-C ．NO 3-和CH 3-D ．PO 34-和SO 24-5．B 、C 、N 、O 是短周期主族元素。
下列有关说法正确的是A ．CO 的结构式：C O ≡B ．24N H 中氮原子的轨道杂化类型：2spC ．电负性：N O C >>D ．最高价氧化物的水化物的酸性：3323H BO H CO >6．最新发现C 3O 2是金星大气的成分之一，化学性质与CO 相似。
C 3O 2分子中结构如下：O=C=C=C=O ，下列说法中错误的是A ．元素的电负性和第一电离能O>CB ．CO 分子中σ键和π键的个数比为1：2C ．C 3O 2分子中C 原子的杂化方式为spD ．C 3O 2是一个具有极性共价键和非极性共价键的极性分子7．有几种阴离子的信息如下：阴离子4ClO - 3ClO - M ClO - 中心元素化合价5+ 3+ 1+ 中心原子杂化类型3sp 3sp 下列推断不正确的是A ．3ClO -和23CO -的价电子总数相同B ．M 的化学式为2ClO -C ．3ClO -、ClO -中氯原子的杂化类型都为3spD ．M 的空间结构为V 形8．下列模型分别表示C 2H 2、S 8、SF 6的结构，下列说法错误的是A ．1molC 2H 2分子中有3mol σ键B ．上述三种物质形成的晶体类型相同C ．SF 6属于极性分子D ．S 8中S 原子采用了sp 3杂化9．4LiAlH 是重要的还原剂与储氢材料，在120C ︒下的干燥空气中相对稳定，其合成方法为：44NaAlH LiCl LiAlH NaCl +=+。
2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版
2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. (−1,−23)C. ﹙−23，3﹚D. (3,+∞)2. 如果a <b <0，那么下列各式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. a 2<b 2C. a 3<b 3D. 1a <1b3. 德国数学家秋利克在1837年时提出“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，“这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f(x)由如表给出，则f(f(2020))的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 20184. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. [2,6]B. [−6,−2]C. (2,6)D. (−6,−2)5. 设a =0.60.3，b =0.30.6，c =0.30.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a6. 若实数a ，b 满足1a +4b =√ab ，则ab 的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 已知函数f(x)={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，则数k 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (1,3)8. 已知函数f(x)=2+x2+|x|，x ∈R ，则不等式f(x 2−2x)<f(2x −3)的解集为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，最小值是2的是()A. y=a2−2a+2a−1(a>1) B. y=√x2+2+1√x2+2C. y=x2+1x2D. y=x2+2x10.下列四个结论中正确的是()A. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”B. 命题“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是真命题C. “a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件D. 当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减11.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法中正确的是()A. 图2的建议是：减少支出，提高票价B. 图2的建议是：减少支出，票价不变C. 图3的建议是：减少支出，提高票价D. 图3的建议是：支出不变，提高票价12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A. ∃x∈R，x≥[x]+1B. ∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]C. 函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)D. 若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3…，[t n]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=a x−2−4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为．14.若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4，则a的值为．15.y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，则y=f(3−x2)的单调递减区间为．16.对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32.18.设函数y=√−x2+7x−12的定义域为集合A，不等式1x−2≥1的解集为集合B．(1)求集合A∩B；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的和为6．(1)求函数f(x)解析式；(2)求函数g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值．20.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x3．(1)求x<0时f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x)．21.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4−at(0<a<43,a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2={√t,0<t<13−2t,1≤t≤3，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．(1)若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．22. 定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，ℎ(−2)=ℎ(0)=1，ℎ(−3)=−2． (1)求g(x)和ℎ(x)的解析式；(2)若对于x 1，x 2∈[−1,1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；(3)设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a +5的解的个数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．先求出集合B和A，然后利用交集运算求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}，所以A∩B={x|x>−23故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据条件取特殊值a=−2，b=−1，即可排除ABD；由不等式的基本性质，即可判断C．【解答】解：由a<b<0，取a=−2，b=−1，则可排除ABD；由a<b<0，根据不等式的基本性质可知C成立．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(2020)=2018，从而f(f(2020))=f(2018)，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：f(2020)=2018，f(f(2020))=f(2018)=3．故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查存在量词命题的真假，二次不等式恒成立，考查转化思想．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”的否定为：“∀x∈R，都有x2+mx+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为真命题，∴Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2,6]．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．利用幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y=0.3x 在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，且0.6>0.3，∴0.60.3>0.30.3，即a>c，∵指数函数y=0.3x在R上单调递减，且0.6>0.3，∴0.30.6<0.30.3，即b<c，∴b<c<a，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由已知得a，b>0，利用√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b即可得出ab≥4，验证等号成立的条件．【解答】解：实数a，b满足1a +4b=√ab，则a，b>0．∴√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b，可得ab≥4，当且仅当1a =4b，a=1，b=4时取等号．则ab的最小值为4．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．题目等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，即函数y =f(x)的图象与直线y =k 有三个交点，根据图象可知，k ∈(0,1)． 故选：A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查分段函数的性质以及应用，注意将函数解析式写出分段函数的形式，属于中档题．根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2+x2+|x|={−4x−2−1,x <01,x ≥0，其图象大致为：若f(x 2−2x)<f(2x −3)，则有{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得：1<x <2，即不等式的解集为(1,2)；故选：A．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A：a−1>0，y=a2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B：y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C：y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D：当x<0时，无最小值，故D错误．故选：AC．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，幂函数的性质等知识的应用，是基本知识的考查．利用命题的否定判断A；令n=2k和n=2k+1，k∈Z分析n2+1是不是4的倍数判断B；根据充要条件判断C；由幂函数的性质判断D即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，满足命题的否定形式，所以A正确；令n=2k，k∈Z，则n2+1=4k2+1不是4的倍数，令n=2k+1，k∈Z，则n2+1=4k2+4k+2不是4的倍数，所以“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是假命题，所以B不正确；“a>5且b>−5”推出“a+b>0”成立，反之不成立，如a=5，b=−4，满足a+ b>0，但是不满足a>5且b>−5，所以“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件不成立，所以C不正确．当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，满足幂函数的性质，所以D正确；故选：AD．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的支出情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变；由图(3)看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化不等关系是解题关键．由新定义得[x]≤x <[x]+1，可得函数f(x)=x −[x]值域判断C ；根据题意，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，判断D ． 【解答】解：∀x ∈R ，x <[x]+1，故A 错误；由“取整函数”定义可得，∀x ，y ∈R ，[x]≤x ，[y]≤y ，由不等式的性质可得[x]+[y]≤x +y ，所以[x]+[y]≤[x +y]，B 正确；由定义得[x]≤x <[x]+1，所以0≤x −[x]<1，所以函数f(x)=x −[x]的值域是[0,1)，C 正确；若∃t ∈R ，使得[t 3]=1，[t 4]=2，[t 5]=3，…[t n ]=n −2同时成立，则1≤t <√23，√24≤t <√34，√35≤t <√45，√46≤t <√56，…√n −2n ≤t <√n −1n ，因为√46=√23，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，只有n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，故选：BCD ．13.【答案】(2,−3)【解析】 【分析】本题主要考查指数函数的性质，利用a 0=1的性质是解决本题的关键．比较基础． 根据指数函数的性质，令指数为0进行求解即可求出定点坐标． 【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3， 即函数f(x)的图象过定点A(2,−3)， 故答案为：(2,−3)14.【答案】38【解析】 【分析】口向上和向下两种情况判定函数值在何时取最大值，并根据最大值为4，即可求出对应的实数a的值【解答】解：当a=0时，f(x)=1，不符合题意，舍去．当a≠0时，f(x)的对称轴方程为x=−1，(1)若a<0，则函数图象开口向下，函数在[1,2]递减，当x=1时，函数取得最大值4，即f(1)=a+2a+1=4，解得a=1(舍)．(2)若a>0，函数图象开口向上，函数在[1,2]递增，当x=2时，函数取得最大值4，即f(2)=4a+4a+1=4，解得a=3，8，综上可知，a=38．故答案为：3815.【答案】[0,+∞)【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求y=3−x2的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，要求y=f(3−x2)的单调递减区间，即求y=3−x2的单调递减区间，而函数y=3−x2在[0,+∞)单调递减，故y=f(3−x2)的单调递减区间是[0,+∞)，故答案为：[0,+∞)．16.【答案】[−2,+∞)【分析】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于拔高题．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解．可设2x+2−x=t(t≥2)，从而得出需方程t2−mt−8=0在t≥2时有解，从而设g(t)=t2−mt−8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f(−x)=−f(x)有解；即4−x−m⋅2−x−3=−(4x−m⋅2x−3)有解；变形可得4x+4−x−m(2x+2−x)−6=0，即(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解即可；设2x+2−x=t(t≥2)，则方程等价为t2−mt−8=0在t≥2时有解；设g(t)=t2−mt−8=0，必有g(2)=4−2m−8=−2m−4≤0，解可得：m≥−2，即m的取值范围为[−2,+∞)；故答案为：[−2,+∞)．17.【答案】解：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512=0.43×(−13)−1+24×34+0.52×12=2.5−1+8+0.5=10；(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32=lg5+lg2+3−log32−2(log23×log32)=1+12−2=−12．【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意得：−x2+7x−12≥0，解得：3≤x≤4，故A=[3,4]，∵1x−2≥1，∴x−3x−2≤0，解得：2<x≤3，故B=(2,3]，(1)A∩B={3}；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，即[3,4]⫋(a，+∞)，故a<3，故a的取值范围是(−∞,3)．【解析】本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，考查了充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)分别求出集合A，B，求出A∩B即可；(2)根据集合的包含关系求出a的范围即可．19.【答案】解：(1)函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a+a2=6，即a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，故a=2，∴f(x)=2x；(2)g(x)=f(2x)−8f(x)=22x−8⋅2x，令2x=t，则原函数化为ℎ(t)=t2−8t，t∈[2,2m]，其对称轴方程为t=4，当2m≤4，即1<m≤2时，函数最小值为(2m)2−8⋅2m=4m−8⋅2m；当2m>4，即m>2时，函数的最小值为42−8×4=−16．∴g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值为g(x)min={4m−8⋅2m,1<m≤2−16,m>2．【解析】本题考查指数函数的解析式、单调性与最值，二次函数的性质，是中档题．(1)根据指数函数的性质建立方程a+a2=6，即可求a的值，进一步得到函数解析式；(2)求出函数g(x)=f(2x)−8f(x)的解析式，换元后对m分类，利用二次函数的性质求最值．20.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)3=−x 3，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=−x 3， 故x <0时f(x)的解析式为f(x)=−x 3； (2)根据题意，f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)， 所以8f(x)=8f(|x|)=8×|x|3=(2|x|)3=f(2|x|)， 又由当x ≥0时，f(x)=x 3，在[0,+∞)上为增函数；则f(x +1)≥8f(x)⇔f(|x +1|)≥f(|2x|)⇒|x +1|≥|2x|， 变形可得：3x 2−2x −1≤0，解可得：−13≤x ≤1，即不等式的解集为[−13,1]．【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=(−x)3=−x 3，结合函数的奇偶性分析可得答案；(2)根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于|x +1|≥|2x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =1时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为：y =y 1+y 2={−t +√t +4,0<t <17−(t +2t),1≤t ≤3； ①当0<t <1时，y =−t +√t +4=−(√t −12)2+174，所以当t =14时，y max =174；②当1≤t ≤3时，∵t +2t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号， 所以y max =7−2√2(当且仅当t =√2时取到)，因为174>7−2√2， 故当t =14时，y max =174．(2)由题意y ={−at +√t +4(0<t <1)7−(at +2t )(1≤t ≤3) ① −at +√t +4≥4 ⇒ −at +√t ≥0 ⇒ a ≤√t ，又0<t <1，得出a ≤1；令u =1t ，则a ≤−2u 2+3u,u ∈[13,1]，可得(−2u 2+3u )min =79 所以a ≤79， 综上可得0<a ≤79， 故a 的取值范围为(0,79]．【解析】本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．(1)建立血液中药物的浓度与时间t 的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、还要注意基本不等式的运用；(2)分段求解关于实数a 的范围问题，注意分离变量法的应用．22.【答案】解：(1)∵g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，∴g(−x)+2g(x)=e −x +2e x −9， 由以上两式联立可解得，g(x)=e x −3； ∵ℎ(−2)=ℎ(0)=1，∴二次函数的对称轴为x =−1，故设二次函数ℎ(x)=a(x +1)2+k ， 则{a +k =14a +k =−2，解得{a =−1k =2，∴ℎ(x)=−(x +1)2+2=−x 2−2x +1；(2)由(1)知，g(x)=e x −3，其在[−1,1]上为增函数，故g(x)max =g(1)=e −3，∴ℎ(x 1)+ax 1+5≥e −3+3−e =0对任意x 1∈[−1,1]都成立，即x 12+(2−a)x 1−6≤0对任意x ∈[−1,1]都成立，∴{1−(2−a)−6≤01+(2−a)−6≤0，解得−3≤a ≤7， 故实数的a 的取值范围为[−3,7]；(3)f(x)={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[−3,7]，则f(t)=a+5∈[2,12]，①当a=−3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=−1，t2=ln5∈(1,2)，则f(x)=−1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当−3<a<e2−8时，f(t)=a+5∈(2,e2−3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个正实数解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5,2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2−8时，f(t)=a+5=e2−3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2−8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2−3,12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2,ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．【解析】本题考查函数解析式的求法，考查不等式的恒成立问题及函数零点与方程解的关系，旨在考查数形结合及分类讨论思想，属于中档题．(1)运用构造方程组法可求g(x)，运用待定系数法可求ℎ(x)；(2)原问题等价于x12+(2−a)x1−6≤0对任意x1∈[−1,1]都成立，进而求得实数a的取值范围；(3)作出函数f(x)的图象，结合图象讨论即可．。
2020-2021学年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（）A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉NC．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（）A．B．C．1D．54．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊂α，m∥β，则1∥mD．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）A．B．C．D．6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．6D．88．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C 的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．已知M是椭圆C：＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e＝C．|MF1|+|MF2|＝2D．△MF1F2的面积的最大值是410．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．两条相交直线同时与α，β平行D．两条异面直线同时与α，β平行11．设有一组圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则k∈（）12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中（）A．AB与CD是异面直线B．AB与CD是相交直线C．存在内切球，其表面积为πD．存在外接球，其体积为π三、填空题（共4小题）.13．双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为．14．抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），则抛物线的焦点坐标为．15．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在A（4000，0）处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速度匀速直线飞至B（0，3000），这一过程最少用时s．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝1，CD＝2．现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积．18．如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P 为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，设圆心P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知M（2，0），N（﹣2，1），过点M的直线交曲线C于点A，B（A位于x轴下方），AB中点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当EF取得最大值时，求二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值．22．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O为坐标原点，若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆Γ上，求证：平行四边形OACB的面积为定值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（）A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉NC．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N解：命题“∃m∈N，∈N”的否定是“∀m∈N，∉N”．故选：B．2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：的斜率为，设倾斜角为α，则．所以倾斜角．故选：D．3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（）A．B．C．1D．5解：两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0，则a＝﹣2，即直线l1：﹣2x+y﹣2＝0可化为2x﹣y+2＝0，所以两平行直线l1：2x﹣y+2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是．故选：A．4．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊂α，m∥β，则1∥mD．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m解：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故A错误；若l∥α，m∥α，则l∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故B错误；若l⊂α，m∥β，则1∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故C错误；若l∥α，过l的平面与α相交于a，则l∥a，若l∥β，过l的平面与β相交于b，则l∥b，则a∥b，又α∩β＝m，可得al∥m，则l∥m，故D正确．故选：D．5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）A．B．C．D．解：因为月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆，所以近地点的坐标可设为（﹣a，0），远地点的坐标设为（a，0），则由题意可得a﹣c＝36.4，又2a＝36.4+40.6＝77，所以a＝38.5，则c＝2.1，故月球轨道的离心率为e＝，故选：C．6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当k＝1时，直线l：x﹣y＝0，点A（1，3），B（7，5）到直线分别为，，故k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分条件；直线l：kx﹣y＝0，根据两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等得，解得：k＝1或k＝，所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的不必要条件，所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分不必要条件，故选：A．7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解：由抛物线的方程可得准线的方程为x＝﹣1，由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4t＝0，所以△＝16m2+16t＞0，所以t＞﹣m2，且y1+y2＝4m，x1+x2＝m（y1+y2）+4t＝4m2+4t，所以中点M的横坐标x M＝2m2+t，所以M到准线的距离d＝x M+1＝2m2+t+1，弦长|AB|＝＝，由题意|AB|＝8，8＝，可得：t＝﹣m2，所以d＝2m2+t+1＝m2+1+＝4，当且仅当1+m2＝2，所以m＝±1时，d的最小值为4．故选：B．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C 的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP1＝B1P1＝1，，求得，OP1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知M是椭圆C：＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e＝C．|MF1|+|MF2|＝2D．△MF1F2的面积的最大值是4解：由椭圆的方程可得：a＝2，b＝2，c＝2，所以椭圆的焦距为2c＝4，故A错误，离心率为e＝，故B正确，由椭圆的定义可得|MF，故C错误，设点M（m，n），则三角形MF1F2的面积S＝＝2|n|，当|n|＝b＝2时，三角形面积取得最大值为4，故D正确，故选：BD．10．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．两条相交直线同时与α，β平行D．两条异面直线同时与α，β平行解：当α内有无数多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a⊂α，a是α平面内任意直线，即a可是α内任意两相交直线，a∥β时，满足面面平行的判定定理，a与β平行，故B正确．两条相交直线同时与α，β平行，即量相交直线所在的面γ分别与α，β平行，即γ∥α，γ∥β，可得α∥β，故C正确．两条异面直线同时与α，β平行，可在空间找一点分别作两异面直线的平行线，则所作的平行线也分别平行于α，β，可得α∥β，故D正确，故选：BCD．11．设有一组圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则k∈（）解：根据题意，圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），其圆心为（k，k），半径为2；依次分析选项：对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x上，A正确；对于B，圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4，化简得2k2﹣6k+5＝0，△＝36﹣40＝﹣4＜0，方程无解，B错误；对于C，存在直线y＝x±2x，即x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0，圆心（k，k）到直线x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0的距离d＝2，这两条直线始终与圆∁k相切，C正确，对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1与圆∁k有两个交点，则有1＜|k|＜3，解可得：﹣＜k＜﹣或＜k＜，D错误．故选：AC．12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中（）A．AB与CD是异面直线B．AB与CD是相交直线C．存在内切球，其表面积为πD．存在外接球，其体积为π解：折叠后A与C重合，B与G重合，因为AB与CD是相交直线，故选项A错误，选项B正确；△ABD是等边三角形，O为△ABD的中心，则OA＝OB＝OD＝，连结OH，则有OH⊥平面ABD，在△AOH中，由勾股定理可得OH＝，由对称性可得，OE＝，由于OA＝OB＝OD≠OH，所以O不是外接球的球心，除O点以外的其它点，无法保证到五个顶点（A，B，D，H，E）的距离都相等，故此六面体无外接球，故选项D错误；由对称性，O到六个面的距离相等，故O为六面体内切球的球心，在△HOM中，ON即为内切球的半径，，因为OM＝，HM＝，所以HD＝，所以，故，所以，故选项C正确．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为y＝．解：把双曲线9y2﹣16x2＝144化成标准方程为，∴a＝4且b＝3，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．故答案为：y＝x．14．抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），则抛物线的焦点坐标为．解：抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），可得1＝﹣m，所以m＝﹣1，抛物线方程为：y2＝﹣x，所以抛物线的焦点坐标为．故答案为：．15．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是6．解：如图，空间四边形A﹣BCD中，两对角线的长AC、BD的长分别为6和8，所成的角为60°，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HA，则EF∥GH∥AC，且EF＝GH＝AC＝3，EH∥GF∥BD，且EH＝GF＝BD＝4，∴∠HEF＝60°，∴连接各边中点所得四边形的面积是：S四边形EFGH＝2S△FEH＝2×（）＝6．故答案为：6．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在A（4000，0）处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速度匀速直线飞至B（0，3000），这一过程最少用时s．解：设PB＝x，PA＝y，则由已知可得时间t＝，当点P在P1时，设C（0，a），则由P得，a＝，即C（0，），当P在P2时，此时P2C＝，P，故时间t＝＝，因为PC+PA≥CA＝，所以，故一过程最少用时s．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝1，CD＝2．现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积．解：选择一：以AB为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱挖去一个圆锥.圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以几何体的体积为．选择二：以BC为轴旋转一周，得到的几何体为：大圆锥加上小圆锥挖去一个圆锥．大圆锥的体积为，小圆锥挖去一个圆锥的体积为，所以几何体的体积为．选择三：以CD为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱加上圆锥．圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以几何体的体积为＝．选择四：以AD为轴旋转一周，得到的几何体为：圆台．圆台上底面面积为，圆台下底面的面积为，所以圆台的体积为＝．18．如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P 为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．【解答】证明：（1）如图，取BD的中点为E，在CD上取一点F，使得DF＝3FC，连结EP，FQ，EF，则由P，E分别为BM，DB的中点，可得PE∥DM，且PE＝DM，又M为AD的中点，则PE＝AD，因为AQ＝3QC，DF＝3FC，所以QF∥AD，且QF＝AD，所以PE∥QF，且PE＝QF，故四边形EFQP是平行四边形，所以PQ∥EF，又PQ⊄平面BCD，EF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（2）设O为AC的中点，因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，CD，AD⊂平面BCD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD，因为NQ⊂平面ACD，所以BC⊥NQ，因为点O为AC的中点，AQ＝3QC，所以点Q为CO的中点，因为N是CD的中点，所以NQ∥DO，因为AD＝DC，所以△ADC是等腰直角三角形，DO⊥AC，所以NQ⊥AC，因为BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC∩AC＝C，所以NQ⊥平面ABC．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．解：（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以，解得a＝2，b＝2，r2＝5，所以经过A，B，C三点的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，由于（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5，故点D也在这个圆上，因此，四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）都在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5上．（2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号，同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号．因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小，因为直线AC的方程为y＝3x+1，直线BD的方程为y＝﹣x+3，联立，解得，所以点P的坐标为（，）．20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，设圆心P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知M（2，0），N（﹣2，1），过点M的直线交曲线C于点A，B（A位于x轴下方），AB中点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切．【解答】（1）解：根据题意可得，点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l：x＝﹣1的距离，故点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线：x＝﹣1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），设直线AB的方程为x＝my+2，由，可得y2﹣4my﹣8＝0①，所以y1+y2＝4m，因为直线QN与x轴平行，所以，此时方程①为y2﹣2y﹣8＝0，解得，故点A（1，﹣2），所以NA的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x﹣1，由，可得y2+4y+4＝0，△＝16﹣16＝0，所以直线NA与曲线C相切．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当EF取得最大值时，求二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值．解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AE＝m，（0≤m≤2），则A1（2，0，2），F（2﹣m，2，0），C1（0，2，2），E（2，m，0），∴＝（﹣m，2，﹣2），＝（2，m﹣2，﹣2），∴＝﹣2m+2m﹣4+4＝0，∴A1F⊥C1E．（2）由（1）得EF＝＝＝，∵0≤m≤2，∴当m＝0或m＝2时，EF取得最大值为2，当m＝0时，点E与点A重合，即E（2，0，0），点F与点B重合，即F（2，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，2），＝（0，﹣2，2），设平面A1C1E的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设平面A1C1F的一个法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，1，1），设二面角E﹣A1C1﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．当m＝2时，点E与点B重合，点F与点C重合，同理可得二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．综上，当EF取得最大值时，二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．22．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O为坐标原点，若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆Γ上，求证：平行四边形OACB的面积为定值．解：（1）由题意可得e＝＝＝，+＝1，解得a＝2，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1+x2，y1+y2），且平行四边形OACB 的面积为△ABO的面积的2倍，①若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝t，则x1＝x2＝t，y1＝﹣y2，故C（2t，0），代入椭圆的方程可得t＝±1，则|AB|＝|y1﹣y2|＝3，S△BAO＝，平行四边形OACB的面积为3；②若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，代入椭圆的方程可得+＝1，整理可得3+4k2＝4m2，于是S△BAO＝|m|•|x1﹣x2|＝|m|•＝|m|•＝|m|•＝，则平行四边形OACB的面积为3，综上可得，平行四边形OACB的面积为定值3．。
广东省广州市广大附中、广外2020-2021学年高二上学期期中考试化学试卷含答案
广大附中、广外2020~2021学年第一学期期中三校联考高二化学本试卷共7页，25小题，满分100分。
考试用时75分钟可能用到的相对原子质量：H-1Li-7N-14O-16S-32Ag-108一、单项选择题I(本大题共10题，每题只有1个正确选项，每题2分，共20分）1、下列各组关于强电解质、弱电解质，非电解质的归类，完全正确的是选项A B C D强电解质Fe NaCl CaCO3HNO3弱电解质CH3COOH NH3H3PO4Fe(OH)3非电解质蔗糖BaSO4酒精Cl22、对于常温下pH=1的硝酸溶液，有关叙述正确的有①该溶液1mL稀释至100mL后，pH=3②向该溶液中加入等体积、pH=13的氢氧化钡溶液恰好完全中和③该溶液中硝酸电离出的C（H+）与水电离出的C（H+）之比值为1×10-12④向该溶液中加入等体积、等浓度的氨水，所得溶液pH=7A.1个B.2个C.3个D.4个3、下列图示与对应的叙述相符的是A.图甲表示SO2氧化反应分别在有和无催化剂的情况下反应过程中的能量变化B.图乙表示可逆反应物质的浓度随时间的变化，具在t时刻达到平衡C.图丙表示CH3COOH溶液中通入NH3至过量的过程中溶液的导电变化D.图丁表示0.1000mol/LNaOH溶液滴定20.00mL0.100mol/L HCl溶液的滴定曲线4.下列离子组能大量共存且加入(或通入)少量试剂发生的离子反应方程式正确的是离子组试剂离子方程式A无色溶液中：Na+、NH4+S2-SO32-盐酸S2-+SO32-+H+=2S↓+H2O B新氯水中：Mg2+、Fe3+、Cl-、SO42-碘化钾Cl2+2I-=I2+2Cl-C250C水电离c水(H+)·c水(OH-)=1x10-20的水溶液中:Na+、K+、Cl-、HCO3-NaOH HCO3-+OH-==CO32-+H2OD NaHCO3溶液中:A13+、Mg2+、SO42-、Cl-BaCl2Ba2++SO42-==BaSO4↓5.下列实验过程可以达到实验目的的是实验目的实验过程A配制Fe(NO3)2溶液将Fe(NO3)2·9H2O溶于较浓硝酸，然后加水稀释B探究SO2的漂白性向盛有2mL黄色氯化铁溶液的试管中通入SO2观察颜色变化C探究AgBr、AgI的溶度积大小向2支盛有2mL不同浓度NaBr、NaI溶液的试管中分别滴入2滴相同浓度的AgNO3稀溶液，观察实验现象D探究催化剂对化学反应速率影响向2支试管中分别加入2mL0.01mol/LKMnO4溶液，一支中加小粒MnSO4固体,然后2支试管中同时加2mL0.1mol/LH2C2O4溶液，比较褪色时间快慢6.下列关于弱电解质的电离平衡常数的叙述中，正确的是A.因为电离过程是吸热过程，所以温度越高，同一弱电解质的电离平衡常数越小B.弱电解质电离平衡常数是用各微粒的平衡浓度表示的，所以弱电解质的电离平衡常数只与浓度有关C.对于不同的弱酸，电离平衡常数越大，酸性一定越强，可以通过电离平衡常数判断弱酸的相对强弱D.弱电解质的电离平衡常数是衡量弱电解质电离程度大小的一-种方法7.下列指定化学用语正确的是A.NaHCO 3水解的离子方程式:HCO 3-+H 2O ⇋CO 32-+H 3O +B.AgCl 的电离方程式:AgCl =Ag ++Cl -C.熔融NaHSO 4的电离方程式:NaHSO 4(熔融)=Na ++H ++SO 42-D.Al 2(SO 4)3水解的离子方程式:A13++3H 2O ⇋Al(OH)3↓+3H +8.250C 时，水的电离达到平衡:H 2O ⇋H ++OH -ΔH>0，下列叙述正确的是A.向平衡体系中加入水，平衡正向移动，c(H +)增大，B.将水加热，Kw 增大，pH 不变C.向水中加入少量硫酸氢钠固体，C(OH-))C(H 增大D.向水中加入少量NaOH 固体，平衡正向移动，c(H +)降低9.下列滴定中，指示剂的选择或滴定终点颜色变化有错误的是选项滴定管中的溶液锥形瓶中的溶液指示剂滴定终点颜色变化A NaOH溶液CH3COOH溶液酚酞无色→浅红色B盐酸氨水甲基橙黄色→橙色C酸性高锰酸钾溶液K2SO3溶液无无色→浅紫红色D碘水Na2S溶液淀粉蓝色→无色10.下列有关水处理方法不正确的是A.用石灰、碳酸钠等碱性物质处理废水中的酸B.用可溶性的铝盐和铁盐处理水中的悬浮物C.用氯气处理水中的Cu2+、Hg+等重金属离子D.用烧碱处理含商浓度NH4+的废水并回收利用氨二、单项选择题II(本大题共12题，每题只有1个正确选项，每题3分，共36分)11.测定0.1mol/LNa2SO3溶液先升温再降温过程中的pH,数据如下。
广东省普宁市2020-2021学年度第一学期期中学生素质监测八年级生物试题卷(word版)
不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。
——达尔文2020-2021学年度第一学期期中学生素质监测八年级生物试题卷说明:1.全卷共6页,满分为100分,考试用时为60分钟。
2.答卷前,考生务必用黑色字迹的签宇笔在答題卡填写自己的监测号、姓名、监测室号、班级、座位号。
用2B铅笔把对应号码的标号涂黑。
3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上。
4.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
考生务必保持答题卡的整洁,考试结束时,答题卡交回,试卷自己保存。
一、选择题(每小题只有一个正确选项,共30题,每小题2分,共60分)1.下列与100米运动员比赛时的运动方式相同的是A.海豚跳舞B.蜗牛爬行C.苍蝇嗡嗡叫D.鸵鸟逃跑2.水中生活的动物种类多、数量大,它们主要的运动方式是A.爬行B.游泳C.跳跃D.飞行3.骨折后经过一段时间断裂的地方可愈合。
医生在给骨折病人做手术时,一定要注意保护的结构是A.骨密质B.骨松质C.骨膜D.骨髓4.下列关于骨的说法不正确的是A.骨分为长骨、短骨、不规则骨等B.骨膜内有血管,为骨组织提供营养C.幼年时,骨髓呈黄色,无造血功能D.骨是人体最大的“钙库”5.骨的基本结构包括A.骨膜、关节、骨髓B.骨膜、软骨质、骨髓C.骨膜、骨质、骨髓D.骨膜、骨密质、骨髓6.将一根鱼肋骨浸入稀盐酸中后,鱼肋骨呈现出的物理特性是A.骨变软,可以打折B.骨变得脆硬,一敲即碎C.柔韧性和硬度不变D.骨溶解在盐酸中7.在人的一生中,要特别重视的形成坐、立、行正确姿势的关键时期是婴儿时期B.儿童、青少年时期C.成年时期D.老年时期8.关节的特点是既灵活又牢固,与这一特性无关的叙述是A.关节附近有神经和肌肉B.关节囊由坚韧的结缔组织构成C.关节头和关节窝的表面覆盖着光滑的软骨D.关节腔内有滑液9.下列各项动物行为中,不能起到同种个体之间交流信息作用的是A.蜜蜂在蜂巢前跳“8”字舞B.黑长尾猴发现敌害时发出叫声C.乌贼受到威胁时释放墨汁D.稻花香里说丰年,听取蛙声一片10.在保护海洋鱼类资源中,规定鱼类准捕捞的尺寸,规定渔网网眼大小的规格,是为了限制捕捞A.亲鱼B.成鱼C.幼鱼D.鱼卵11.“一些动物会聚集在一起围成一个圈,共同对付它们的天敌,同时把幼仔围在中间。
2.2.1直线的点斜式方程同步作业2020-2021学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
十一直线的点斜式方程(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.直线y=2x+1在x轴上的截距为( )A.-B.C.-1D.12.若原点在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的方程为( )A.x+2y=0B.y-1=-2(x+2)C.y=2x+5D.y=2x+33.若两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于( )A.2B.1C.0D.-14.(多选题)下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a的是( )二、填空题(每小题5分,共10分)5.若直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过点P(3,3),则直线l的方程为.6.直线l经过点(-2,2),且与直线y=x+6在y轴上有相等的截距,则直线l的方程为.三、解答题7.(10分)已知所求直线的斜率是直线y=-x+1的斜率的-,求分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(,-1).(2)在y轴上的截距是-5.(15分钟·30分)1.(5分)直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为( )A.a+bB.2a-bC.b-2aD.|2a-b|2.(5分)若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.a=1D.0<a<1或a>13.(5分)已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率,则直线l一定经过点.4.(5分)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是.【加练·固】直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是.5.(10分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12,分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程:(1)过定点A(-2,3)且斜率为正.(2)斜率为.【加练·固】已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成的三角形的面积为3,求直线l的方程.十一直线的点斜式方程(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.直线y=2x+1在x轴上的截距为( )A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由直线y=2x+1,令y=0,解得x=-.所以直线在x轴上的截距为-.2.若原点在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的方程为( )A.x+2y=0B.y-1=-2(x+2)C.y=2x+5D.y=2x+3【解析】选 C.因为直线OP的斜率为-,又OP⊥l,所以直线l的斜率为2,所以直线l的点斜式方程为y-1=2(x+2),化简,得y=2x+5.3.若两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.由a=2-a,得a=1.4.(多选题)下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a的是 ( )【解析】选BC.①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距a>0,B成立;②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,A,B,C,D都不成立;③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0,C成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过点P(3,3),则直线l的方程为.【解析】直线y=x+1的斜率为1,则倾斜角为45°,所以直线l的倾斜角为90°,且l过点P(3,3),所以直线l 的方程为x=3.答案:x=36.直线l经过点(-2,2),且与直线y=x+6在y轴上有相等的截距,则直线l的方程为.【解析】设直线l的方程为y=kx+6,将点(-2,2)代入,得2=-2k+6,解得k=2,所以直线l的方程为y=2x+6. 答案:y=2x+6三、解答题7.(10分)已知所求直线的斜率是直线y=-x+1的斜率的-,求分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(,-1).(2)在y轴上的截距是-5.【解析】(1)因为直线y=-x+1的斜率k=-.所以所求直线的斜率k1=-×=.因为直线过点(,-1),所以所求直线方程为y+1=(x-),即x-3y-6=0.(2)因为直线在y轴上的截距为-5,所求直线的斜率k1=-×=,所以所求直线方程为y=x-5.(15分钟·30分)1.(5分)直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为( )A.a+bB.2a-bC.b-2aD.|2a-b|【解析】选C.由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故在y轴上的截距为b-2a.2.(5分)若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.a=1D.0<a<1或a>1【解析】选A.y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.所以当0<a≤1时,只有一个公共点,如图①;当a>1时,有两个公共点,如图②.3.(5分)已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率,则直线l一定经过点.【解析】由题意可设方程为y=ax+a,即y-0=a(x+1),由点斜式方程可知,直线过定点(-1,0).答案:(-1,0)4.(5分)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是. 【解析】由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则k PA≤k≤k PB.因为k PA==-2,k PB==,所以-2≤k≤.答案:【加练·固】直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是.【解析】令x=0,得y=k.令y=0,得x=-2k.所以|k|·|-2k|≥1,即k2≥1.所以k≤-1或k≥1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)5.(10分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12,分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程:(1)过定点A(-2,3)且斜率为正.(2)斜率为.【解析】(1)设直线l的方程为y-3=k(x+2)(k>0),令x=0,得y=2k+3,令y=0,得x=--2,由题意可得|2k+3|·|--2|=24,得k=,故所求直线方程为y=x+6.(2)设直线l的方程为y=x+b,令x=0,得y=b,令y=0,得x=-2b.由已知可得|b|·|-2b|=24,解得b=±2,故所求直线方程为y=x+2或y=x-2.【加练·固】已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成的三角形的面积为3,求直线l的方程.【解析】设直线l的斜截式方程为y=x+b.则x=0时,y=b,y=0时,x=-6b.由已知可得|b|·|-6b|=3,即b2=1,所以b=±1.从而所求直线l的方程为y=x-1或y=x+1.。
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(Ⅱ) bn＝n, cn = 1 = 1 (1 − 1 ) …………………………… 6 分 n(n + 2) 2 n n + 2
裂项相消可得Tn = 1 (1+ 1 − 1 − 1 ) = 3 − 1 ( 1 + 1 ) ……… 8 分 2 2 n +1 n + 2 4 2 n +1 n + 2
∵T1 Tn 3 ,即 1 Tn 3
∴ sin A = 1 …………………………………………… 5 分 2
（2）∵△ABC 外接圆的面积为16 ，设该圆半径为 R
∴R=4 …………………………………………… 6 分
∴由正弦定理得： a = 2R = 8 ，…………………………………………… 9 分 sin A
由(1)得 a = 4 …………………………………………… 10 分
8
43
4
…………………………………………… 10 分
7
∴欲
k 24
Tn
k
+13 24
对
n∈N*都成立，须
3
1 3 k
k 24 + 13
，得
5
k
，
4 24
又 k 正整数，∴k=5、6、7
…………………………………………… 12 分
22 解： 若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. ……………………… 2 分 若 a<0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)>0， 解得 x<1a或 x>1. …………………………………………… 4 分 若 a>0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0. …………………………………………… 5 分 ①当 a＝1 时，1a＝1，(x－1a)(x－1)<0 无解；………………………………………… 7 分 ②当 a>1 时，1a<1，解(x－1a)(x－1)<0，得1a<x<1；…………………………………… 9 分 ③当 0<a<1 时，1a>1，解(x－1a)(x－1)<0，得 1<x<1a. ………………………………… 11 分 综上所述，当 a<0 时，解集为{x|x<1a或 x>1}； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为{x|1<x<1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 a>1 时，解集为{x|1a<x<1}．…………………………………………… 12 分
18. （本小题满分 12 分）
5
解（1）证明：∵ a2 = 3 ， a2 = 2a1 +1 ，∴ a1 = 1，…………………………………… 1 分
由题意得
an
+1
0
，
an+1 +1 an +1
=
2an + 2 an +1
=
2 ，……………………………………
4分
∴an +1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列. …………………………………… 5 分
解：（1）由余弦定理得 a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A, ……………………………………… 1 分
又 b2 + c2 = a2 + 3bc,
∴ 2 cos A = 3 …………………………………………… 3 分
∴ cos A = 3 ，又 A 为三角形 ABC 的内角…………………………………………… 4 分 2
答：救援船到达 D 点需要 1 小时．…………………………………………… 12 分
21．（本小题满分 12 分）
解、(Ⅰ) an＝ 1 Sn＋1 ① 2
an-1＝ 1 Sn-1＋1（n≥2） ②…………………………………………… 1 分 2
①-②得：an＝2an-1（n≥2），又易得 a1＝2 ∴an＝2n …………………… 4 分
DBA = 90 − 60 = 30,DAB = 45, …………………………………… 1 分
ADB = 105 …………………………………………… 2 分
在 DAB 中，由正弦定理得 DB = AB
…………………………3 分
sin DAB sin ADB
DB = AB • sin DAB = 5(3 + 3) • sin 45 =
x−2
x−2
∴x＜2，求 4 x + 1 的最大值为 4 …………………………………………… 7 分 x−2
（2）解： ∵ x + 4y + xy = 5 ，
∴ 5 − xy = x + 4y 2 4xy = 4 xy ……………………………………………
8分
当且仅当 x＝4y， x + 4y + xy = 5
5(3 + 3) • sin 45
sin ADB
sin105
sin 45 • cos 60 + sin 60 • cos 45
= 5 3(1+ 3) = 10 3 （海里），…………………………………………… 7 分 (1+ 3) 2
又 DBC = DBA+ ABC = 30 + (90 − 60) = 60, BC = 20 3 海里，………8 分
1
2
3
4
2020－2021 学年度第一学期期中高中二年级质量测试
数学科试题参考答案
一、填空题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A
DB
A
C
D
A
B
二、多选题
9
10 11 12
ABC BC ACD ABD
三、填空题
（13）
x
−
2
x
−
1 2
．
四、解答题:
17（本小题满分 10 分）
（14）0.（15）6 .（16） 2n − 1 , 2n+1 (n − 1) + 2 4
在 DBC 中，由余弦定理得
CD2 = BD2 + BC2 − 2BD • BC • cos DBC = 300 +1200 − 210 3 20 3 1 = 900 2
…………………………………………… 10 分
CD = 30（海里），则需要的时间 t = 30 = 1 （小时）．………………… 11 分 30
∴ n + Sn = 2an ，即 n ， an ， Sn 成等差数列.………………………………… 12 分
19. （本小题满分 12 分）
解：(1)已知 x＜2，∴x-2＜0. …………………………………………… 1 分
∴4 x + 1 = 4(x − 2) + 1 + 8 …………………………………………… 2 分
即
y
=
1 2
时，等号成立。……………………………………………
9分
x = 2
∴ xy + 4 xy − 5 0 …………………………………………… 11 分
∴ xy 1
6
∴xy 的最大值为 1 …………………………………………… 12 分
( ) 20 解：由题意知 AB = 5 3 + 3 海里，
x−2
x−2
−4(x − 2) − 1 4 ，…………………………………………… 3 分 x−2
当且仅当 − 4(x − 2) = − 1 ，即 x＝ 3 时等号成立．………………… 4 分
x−2
2
4(x − 2) + 1 −4 …………………………………………… 5 分 x−2
∴4 x + 1 = 4(x − 2) + 1 + 8 4 …………………………………… 6 分
（2）由（1） an +1 = 2n ，…………………………………………… 6 分
∴ an = 2n −1. ……………………………………… 7 分
∴
Sn
=
2 − 2n+1 1− 2
−
n
=
2n+1
−n−
2
，……………………………………………
9分
( ) ∴ n + Sn − 2an = n + 2n+1 − n − 2 − 2 2n −1 = 0 ，……………………………… 11 分