2016-2017学年福建省宁德高中、柘荣一中高三(上)第二次联考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年福建省宁德高中、柘荣一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．∅B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x≤2}2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．424．已知函数f（x）=x3+ax+4则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分，也不必要条件5．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．6．已知递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，则=（）A．B．C．D．7．已知，且﹣π＜α＜，则等于（）A．B．C．D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x10．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．11．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π12．已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为．14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）．15．在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则•的最大值为．16．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2017=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足3S n﹣4a n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n为{b n}的前n项和，求证：．19．（12分）如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若，且，求DC的长．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D 为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．2016-2017学年福建省宁德高中、柘荣一中高三（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2016•普宁市校级学业考试）已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．∅B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x≤2}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（2016•普宁市校级学业考试）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（2007•陕西）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．42【分析】利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，即2，8，S6﹣10成等差数列，∴2+S6﹣10=8×2，∴S6=24，故选C．【点评】本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．4．（2016•普宁市校级学业考试）已知函数f（x）=x3+ax+4则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分，也不必要条件【分析】利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）=x2+a ≥0恒成立，即a≥0，∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5．（2016•普宁市校级学业考试）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．【分析】先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．【解答】解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S==（x﹣x3）|+（x3﹣x）|=．故答案选D．【点评】本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．6．（2016•普宁市校级学业考试）已知递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，则=（）A．B．C．D．【分析】利用等比数列的性质及其通项公式即可得出．【解答】解：递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，∴a2a8=6，a2+a8=5，解得a2=2，a8=3．∴==．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题．7．（2016•普宁市校级学业考试）已知，且﹣π＜α＜，则等于（）A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数基本关系根据=sin（+α），求得sin （+α）的值，进而根据α的范围确定+α的范围，求得．【解答】解：=cos[﹣（+α）]=sin（+α）又﹣π＜α＜﹣，∴﹣＜+α＜﹣，∴sin（+α）=﹣，∴cos（﹣α）=﹣故选D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．属基础题．8．（2016•普宁市校级学业考试）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．（2012•大纲版）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（2016•普宁市校级学业考试）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．11．（2016•普宁市校级学业考试）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π【分析】由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．【解答】解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．12．（2016•普宁市校级学业考试）已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．（2015•惠州模拟）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为4．【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+，当且仅当，即a=b=时，取等号．故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件．14．（2017•包头模拟）在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为120（用数字作答）．【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．【解答】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为：120．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15．（2016秋•柘荣县校级月考）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则•的最大值为18．【分析】可分别以直线DC，DA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，进而求出A，E的坐标，并设F（x，y），从而可求出，这样设z=4x﹣y+2，利用线性规划的方法即可求出z的最大值，即求出数量积的最大值．【解答】解：据条件，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，2），E（4，1），设F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2；∴；∴；设z=4x﹣y+2，则y=4x+（2﹣z）；∴2﹣z是直线y=4x+（2﹣z）在y轴上的截距，截距最小时，z最大；可看出直线y=4x+（2﹣z）过点C（4，0）时z最大；即0=16+2﹣z，z=18．故答案为：18．【点评】考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，数量积的坐标运算，线性规划求最值的方法．16．（2016秋•柘荣县校级月考）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2017=1009．【分析】a1=1，a n+1﹣a n=，a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得a n=a n．+4∴则S2017=504×（a1+a2+a3+a4）+a1=504×2+1=1009．故答案为：1009．【点评】本题考查了分类讨论方法、分组求和、数列与三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．18．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足3S n﹣4a n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n为{b n}的前n项和，求证：．【分析】（Ⅰ）当n=1，a1=2，当n≥2，求得a n=4a n﹣1，数列{a n}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，（Ⅱ）写出{b n}的通项公式，b n=2n﹣1，及前n项和T n=n2，采用裂项法，化简=＜2．【解答】解：（Ⅰ）由3S n﹣4a n+2=0，令n=1，可得：a1=2；…（2分）当n≥2时，可得（3S n﹣4a n+2）﹣（3S n﹣1﹣4a n﹣1+2）=0⇒a n=4a n﹣1…（4分）所以数列{a n}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：=22n﹣1…（6分）（Ⅱ），T n=1+3+…+（2n﹣1）=n2…（8分）≤…（11分）==＜2…（12分）【点评】本题考查求数列通项公式及前n项和公式，属于中档题．19．（12分）（2016秋•柘荣县校级月考）如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若，且，求DC的长．【分析】（）1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，由已知可求AE，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（2）设CD=x，则BD=2x，AC=x，可求BC=3x，进而利用余弦定理，三角函数的定义建立方程即可解得DC的值．【解答】解：（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，∵B=45°，且AB=DC=1，则AE=ABsinB=，可得：S=DC•AE=×1×=，△ADC（2）设CD=x，则BD=2x，AC=x，∴BC=CD+BD=3x，∴cos∠ACB==在△ADC中由余弦定理可得AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•COS∠ACB，即（4）2=3x2+x2﹣2×x•x•，解得x=4，即DC=4【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20．（12分）（2015•东营二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO 垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•辽宁校级一模）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x ）=lnx +1+2ax （x ＞0），切点P （1，a ）， f （x ）在x=1处的切线斜率为k=1+2a ， 切线方程：y ﹣a=（2a +1）（x ﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x ）=0 有两个不等实根x 1，x 2（x 1＜x 2）， 设g （x ）=lnx +2ax +1 则：g′（x ）=+2a （x ＞0）当a ≥0时，有g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，不符合题意； 当a ＜0时：由g′（x ）=0得：x=﹣＞0，列表如下：﹣依题意：g （﹣）=ln （﹣）＞0，解得：﹣＜a ＜0，综上可得，﹣＜a ＜0得证； ②由①知：f （x ），f′（x ） 变化如下：由表可知：f （x ） 在[x 1，x 2]上为增函数，所以：f （x 2）＞f （x 1） 又f′（1）=g （1）=1+2a ＞0，故x 1∈（0，1）， 由（1）知：ax 1=，f （x 1）=x 1lnx 1+ax 12=（x 1lnx 1﹣x 1）（0＜x 1＜1）设h （x ）=（xlnx ﹣x ）（0＜x ＜1），则h′（x ）=lnx ＜0成立，所以h （x ）单调递减，故：h （x ）＞h （1）=﹣，也就是f （x 1）＞﹣ 综上所证：f （x 2）＞f （x 1）＞﹣成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．【点评】本题考查直角坐标和极坐标的互化，直线方程的求法和运用，同时考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域的运用，属于中档题．。