数学建模方法期末考试试卷 2
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案
一、选择题
1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\
B) $6x - 10x^2 + 3$\
C) $6x - 10x + 3$\
D) $6x^2 - 10x^2 + 3$
答案：A
2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\
B) 长为 5，宽为 3\
C) 长为 4，宽为 2.5\
D) 长为 5，宽为 2.5
答案：A
3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\
B) $2x - y - 3 = 0$\
C) $-2x + y - 3 = 0$\
D) $2x - y - 5 = 0$
答案：B
4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\
B) $e^x + C$\
C) $e^x - C$\
D) $C \cdot e^x$
答案：A
5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公
里的城市。假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\
B) 1 小时\
C) 1.5 小时\
D) 2 小时
答案：A
二、填空题
6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
《数学建模》考试试卷与参考答案
《数学建模》试卷 第 1 页 共 4 页
《数学建模》试题
一、填空题（每题5分，满分20分）：
1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 .
2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .
3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .
4. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，
其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .
二、分析判断题（每题10分，满分20分）：
1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前
提下获利最多？
表1
单位：元/件
上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。
三、计算题（每题20分，满分40分）：
《数学模型》考试试卷
一：填空题
1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1
-+=+。(允许决策模型)
1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)
1(2
+=i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为=
)
(T C 2
21rT c T c +，当=
T r
c c 21
2时，)(T C 最小。
4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。
5、一阶自治微分方程()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。
8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个钩子的概率为 (1)
k
k
n k
n C p p -- 。
9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程rt e x t x 0)
(= 建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微
分方程
)1(m
x x
rx dt dx -= 建立的。 10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t
+=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。
12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规
数学建模期末试卷答案
课程名称：数学实验与数学建模主讲教师：唐向阳
学号 2010212569姓名凌泽广成绩：
2012《数学模型》考试试题
一、(20分)某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸10/3公斤，每打笔记本用白坯纸40/3公斤，每箱练习本用白坯纸80/3公斤。生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打笔记本可获利3元，生产一箱练习本可获利1元。
(1)试确定在现有生产条件下的最优生产方案。
(2)如白坯纸的供应量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资支出为每人每月40元，问：要不要招收临时工？
解（1）：建立模型：设每月生产原稿纸x捆，每月生产笔记本y打，每月生产练习本z箱，用Max f来表示造纸厂获利的最大值，那么根据题意有如下线性规划模型，
Max f=x*2+y*3+z*1
且x,y,z满足如下不等式：
Max f=2x+3y+z
x/30+y/30+z/30<=100
10x/3+40y/3+80z/<=30000
x>=0,y>=0,z>=0
利用mathematica 软件包求解上述不等式：
运行程序
ConstrainedMax[2x+3y+z,{x+y+z≤3000,x+4y+8z≤9000,
x≥0,y≥0,z≥0},{x,y,z}]
运行结果如下：
{8000,{x→1000,y→2000,z→0}}
最新数学建模(数学模型)期末考试题(试卷)及答案详解(附答案)
数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解
第一部分 基本理论和应用
1、计算题(满分10分)
设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.
2、计算题（满分10分）
设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间
3、计算题（满分10分）
从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？
4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：
⎩
⎨⎧<<+=其他，,0,
10,)1();(x x x f θθθ )1(->θ
n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.
5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,
,n X X X 是来自X
的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？
6. （15分）设),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2
n
S 为样本二阶中心矩，2
S 为样本方差，问下列统计量：（1）
(完整版)数学建模试卷(附答案)
2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元．
3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分）
1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分）
2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分）
1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,
43)(+-=+=kp p f p p ϕ
其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。
2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，
美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。
3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量
数学建模 参考答案
2．约40．1876
3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法：
机理分析法，统计分析法，系统分析法
2、优化模型的一般形式
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，
在约束条件
下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数
为可行域
三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：
数学建模期末试卷
《数学建模》期末考查卷
一、简答题
1. 谈谈你学习数学建模课程的一些感受。
2. Matlab 编写M 文件，计算：∑==+++++64
64
3
2
22
...2221i i 。
3. 生成一个55⨯的均匀随机矩阵B ，并将其中大于0.5的赋值为1，小于
0.5的赋值-1，再将其记为C 。
4. 什么是中国邮递员问题,简述及其算法。
5. 简述插值与拟合的联系和区别。
二、程序解读题与编程题
1.设有线性规划模型的LINGO 程序如下：
灵敏度分析输出如下：
则 （1）该问题的最优解（自变量和因变量）是多少？
（2）为使最优解存在（最优基保持不变），目标函数中的系数1x ，2x ，3x ，4x ，
5x 允许的变化范围分别是多少？
（3）影子价格有意义时约束条件（四个）中右端系数允许的变化范围分别是多少？
（4）若目标函数中的约束条件（四个）代表4种资源，则这4种资源是否有
剩余，分别剩余多少？
（5）你还能从结果中得到其它哪些信息？
2.在研究身高h （单位：cm ）和腿长t （单位：cm ）的关系时，收集了16个人的观测数据，然后在Matlab 中执行下列命令：
h=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; H=[ones(16,1) h];t=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(t,H);
已知b=[-16.0730,0.7194]，stats=[0.9282,180.9531,0.0000,1.7437]. （1）请写出t 关于h 的回归方程。并讨论若身高为170cm 时腿长的情况。 （2）请问t 和h 的回归关系是否显著，为什么？ （3）stats 中0.9282，1.7437的含义分别是什么？
数模试题2
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2．（9分）对于技术革新的推广，在下列两种情况下分别建立模型。 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（4分） （2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。（5分）
三．（10分）工厂定期定购原料，每隔T 天订一次货，订货量为Q 吨，假设条件为： ① 每次订货量为1c ，每天每吨货物贮存费为2c ；
② 每天的货物需求量为r 吨；
③ 生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
试制定最优存贮策略（要求建立模型并求解）
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四．（20分）一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）
65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15％的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；（只需建立数学模型）（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。（只需建立数学模型）
数学建模试卷及答案
《数学模型》试卷
一、基本问题。（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
1．在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出：
c b m a P )(-=
其中m c b a ,348.1,0.75,84523.1===是跳的高度（按cm 计）。求跳的高度为183cm 的记分点，并确定积分1000点需要跳的高度。
2．铁匠用直条铁做蹄铁，把直条铁弯成通常铁蹄的形状。为求得铁条需要的长度，要测量蹄的宽度（W 英寸），并用下列形式的公式：
b aW L +=
求得需要的条长度（L 英寸）。试用下列数据求的a 和b 的估计值。并得出该公式的估计式。
宽W （英寸） 长L （英寸）
6.50 12.00
5.75 13.50
二、渔场捕捞问题。（本大题共3小问，每小问20分。满分共60分。）
三、在渔场中捕鱼，从长远利益而言，通常希望既使渔场中鱼量保持不变，又能达到最大的捕获量。假设：
（1）在无捕捞的情况下，鱼量的变化符合Logistic 模型：
)1(N
x rx dt dx -=，其中：r 为固有增长率，N 是渔场资源条件下最大鱼量；
（2）在捕捞的情况下，设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比。
1．建立在有捕捞的情况下，渔场的产量模型；
2．研究该模型鱼量的稳定性；
3．找出该模型下适合的捕捞量。
《数学建模》考试卷（答案）
一、1．解：把183,348.1,0.75,84523.1====m c b a 代入记分公式，得
348.1)
0.75183(84523.1)(-⨯=-=c b m a P =348.1108
84523.1⨯
《数学模型》考试试卷
一：填空题
1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1
-+=+。(允许决策模型)
1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)
1(2
+=i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为=
)
(T C 2
21rT c T c +，当=
T r
c c 21
2时，)(T C 最小。
4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。
5、一阶自治微分方程()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。
8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个钩子的概率为 (1)
k
k
n k
n C p p -- 。
9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程rt e x t x 0)
(= 建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微
分方程
)1(m
x x
rx dt dx -= 建立的。 10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t
+=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。
12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规
数学建模方法期末考试试卷
《数学建模方法》期末考试试卷
一、某工厂要安排A 、B 、C 三种产品生产，生产这些产品均需要三种主要资源：技术服务、劳动力和行政管理。每件产品所需资源数、资源限量以及每单位产品利润如下表。试确定这三种产品的产量使总利润最大，建立线性规划问题的数学
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=0
,0,06054390
536..423max 321
321321321x x x x x x x x x t s x x x S 三、上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要
现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的
日产量，则可建立线性规划模型如下：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0
,,,3000
48462000552424005284480..81169max 43214321
4321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO8.0软件进行求解，得求解结果如下：
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 4450.000
Variable Value Reduced Cost
最新数学模型(数学建模)期末试卷及答案详解()
数学建模（数学模型）期末考试卷
专业 级《数学模型与数学软件》考核命题卷(含答题卷)(编号1)
闭卷）
一、综合题（15分）
为了研究同类车的刹车距离d （司机想刹车到车停下来所行驶的距离）与刹车时的车速v 之间存在什么样的函数关系，通过多组同条件实验测得一组数据如下表：（车速与距离都是多次实验的平均车速和平均距离）
车速 (km/h) 29.3 44.0 58.7 62.2 73.3 88.0 102.7 110.2 117.3 刹车距离（m ） 39.0 76.6 126.2 135.8 187.8 261.4 347.1 388.9
444.8 1．（6分）请简述数学建模一般步骤的基本方法。 2．（2分）为了研究刹车距离与车速的关系，需要做哪些资料数据的搜集？
3．（7分）请给出合理的假设，建立合适的模型，来研究)(v f
d 。（注：模型不需要求解）
二、综合题（16分）
在研究存储模型中，设某产品日需求量为常数r ，每次生产为瞬间完成，每次生产的准备费为1c ，并与生产量无关, 每单位时间每件产品贮存费为2c 。现需要制定最优的生产计划（即最佳的生产周期T 和每周期生产量Q 的确定）。
1．（6分）请简述数学建模的基本方法。 2．（10分）请在合适的假设下，建立不允许缺货的最优生产计划模型。
三、综合题（18分）
研究奶制品深加工问题中，有80桶牛奶,共680小时的可利用工作时间，至多能加工80公斤A1产品，其他对于下列关系：
1．（12化。 （注：不要求求解结果） 2．（6分）以此题为例，简述线性规划三个特征。
数学建模期末试卷
数学建模期末试卷
第一部分：理论知识运用（800字）
在数学建模中，理论知识是基础和核心。本部分试题旨在考察你对
数学建模相关理论的理解和应用能力。
问题一：线性回归模型
给定一组数据集，其中包含自变量x和因变量y的取值。请用线性
回归模型拟合数据，得到最优拟合直线，并解释拟合效果和参数含义。
解答一：线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间关系的
数学模型。它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二
乘法求解出最优拟合直线。最优拟合直线可以通过参数方程y = β0 +
β1x表示，其中β0表示截距，β1表示斜率。通过最优拟合直线，我们
可以预测因变量y的值，并评估拟合效果。
问题二：时间序列模型
某公司过去5年的销售额数据如下：2015年：1000万元，2016年：1200万元，2017年：1300万元，2018年：1500万元，2019年：1700
万元。请根据给定数据，建立时间序列模型，并预测2020年的销售额。
解答二：时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的数学
模型。通过观察历史数据的变化趋势和周期性，我们可以建立合适的
时间序列模型。对于给定数据，我们可以使用移动平均法或指数平滑
法进行预测。根据过去5年的销售额数据，可以看出销售额呈上升趋
势，因此我们可以使用指数平滑法进行预测。根据指数平滑法的公式，我们可以得到2020年的销售额预测值。
问题三：优化模型
某工厂生产两种产品A、B，产品A每件利润为10元，产品B每
件利润为20元。工厂的生产能力有限，每天生产产品A最多100件，
产品B最多80件。产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。请问工厂每天应该生产多少件产品A和产品B，以使总利润最大化？
《数学模型》试题及参考答案
A卷
2009-2010学年第2学期
《数学建模》试卷
专业班级
姓名
分组号与学号
开课系室数学与计算科学学院
考试日期 2010 年7月
题号一二三四五六七八总分得分
阅卷人
数学建模试卷(1007A)
一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
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三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q-值方法,包括方法的具体实施过程，简
述分配席位的理想化原则。（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四(15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设
生产速率为常数k，销售速率为常数r,k r．在每个生产周期T内，开始的一段时间（0 t T0）一边生产一边销售，后来的一段时间(T0t T）只销售不生产．设每次生产开工费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，（a)求出存储量q(t) 的表示式并画出示意图。（2）以总费用最小为准则确定最优周期T，讨论kr的情况．
第二页
五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。（2）在假设
2020-2021某大学《数学建模》期末课程考试试卷合集(含答案)
2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷B答案适用专业：考试日期：
试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一．简答题（10分⨯2＝20分）
1．为汽车租赁公司制定车辆维修、更新和出租计划（需要哪些数据资料等，以及建立什么数学模型）
解根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新
2．某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿，次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回到旅社，某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
解设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇二.计算题（30分）
1要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？(10分) 解
2
3
3
2
2
,0
4
4
2
,0
2
4
2
2
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r
v
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s
h
r
π
π
π
π
π
=
∴
>
+
=''
=
=
-
='
+
=
高，表面积
半径，
2．铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知0
=
t时铀的含量
为
M，求在衰变过程中铀含量M随时间t的变化规律(10分)
解,ln ln,
dM
kM M kt c
dt
==+
kt
M ce
=
00
,kt
c M M M e
==
3．某厂要用铁板做成一个体积为23
cm的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使所用料最省？(10分)
解设长、宽、高各为
xy
y
x
2
,
,
33222
,20)2(2,0)2(2)22(2===-==-
数学建模期末试卷A及答案
1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。
在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤）
边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不
生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。设每次生产开工
费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <
)(2T 21*r k r c k c -＝。当k r <
r c c 21*2T ＝，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量
被售量抵消，无法形成贮存量。
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《数学建模方法》期末考试试卷一、某工厂要安排A 、B 、C 三种产品生产，生产这些产品均需要三种主要资源：技术服务、劳动力和行政管理。每件产品所需资源数、资源限量以及每单位产品利润如下表。试确定这三种产品的产量使总利润最大，建立线性规划问题的数学
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=0
,0,06054390
536..423max 321
321321321x x x x x x x x x t s x x x S 三、上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要
现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的
日产量，则可建立线性规划模型如下：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0
,,,3000
48462000552424005284480..81169max 43214321
4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO8.0软件进行求解，得求解结果如下：
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000
（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；
（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解，解释对偶问题最优解的经济意义； （3）灵敏度分析结果如下：
Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1 9.000000 0.5000000 0.1666667 X2 6.000000 0.5000000 INFINITY X3 11.00000 0.3333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000 Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 480.0000 20.00000 80.00000
3 2400.000 INFINITY 610.0000
4 2000.000 400.0000 20.00000
5 3000.000 40.00000 280.0000 对灵敏度分析结果进行分析
四、一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。若每个推销员只能去一个地区，每一个
（1 五、（1）叙述层次分析法的步骤；
（2）给定最佳旅游地选择问题的递阶层次结构
准则层（景色、费用、饮食、居住、旅途）对目标层的比较判断矩阵为：
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=1235/13/12/1127/15/13/12/117/15/15771235
52/11A ，0976.5max =λ，对应的归一化的特征向量
T W )1157.0,0685.0,0485.0,4809.0,2863.0()2(=,对于5阶矩阵随机一致性指标
12.1=RI
方案层(旅游地)对准则层的每一准则比较判断矩阵分别为：
58.0,2970.05396.01634.0,0092.3,12/122132/13/11(1max 1=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ景色）；
58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312
max 2=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（费用）； 最佳旅游地
景色 费用 饮食 居住
旅途
苏杭 黄山 庐山
58.0,1515.02184.06301.0,1078.3,12/13/1214/13413max 3
=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（饮食）； 58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312
max 4=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（居住）； 58.0,1364.02790.05396.0,0092.3,12/13/1212/13212
max 5=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B （旅途） (1)求方案层对目标层的权重（2）进行总排序的一致性检验。
六、微分方程建模：已知容器内盛有1000升的盐水，含10公斤盐，如果以每分钟3升的均匀速度向容器内注入淡水，瞬间搅拌后又以每分钟2升的均匀速度将盐水抽出，则一小时后容器内的含盐量是多少？ 七、求解模糊线性规划：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤++≤++++=0,,10230360
223..254max 3
21~
32~321~
321321x x x x x x x x x x x t s x x x S 对应的约束条件伸缩指标分别取2,6,4321===d d d 其求解步骤为：
先求解线性规划问题：
得解：0,5,3
25
x 321===x x ；最优值：3175
其次求解线性规划问题：
得解：0,6,10x 321===x x ；最优值：70 最后求解线性规划问题：