数列综合题

等差数列

一、通项公式+=1a a n _______________=_______+d m n )(-=-⇔m n a a _______________ 1.在等差数列}{n a 中，4,232==a a ，则=10a ____________________ 变式：（1）4,262==a a ，则=10a ____________________

2.在等差数列}{n a 中，已知4,12231-==a a a ，则=n a ____________________

变式：（2）,10,2531=+=a a a 则=7a ____________________

（3）,7,10451==+a a a 数列}{n a 的通项公式=n a ____________________ （4）公差0>d ，36,1321=⋅=S S a ，求d 及n S 。

二、性质：下标之和相等则这两项和等于那两项和。⇔+=+q p m n a a a a _______________ q p m n a a a +=+，当仅当_______________时成立。 2

1+=n n na S ，（n 为奇数）

3.在等差数列}{n a 中，已知304321=+++a a a a ，则=+32a a _______________ 变式：（5）,1083=+a a 则=+753a a _______________

（6）,99,105642531=++=++a a a a a a 则=20a _______________ 4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,231==S a ，则=6a _______________

变式：（7）等差数列}{n b 的前n 项和为n T ,若2

312-+=

n n T S n n ，则=1212b a _______________ （8）若

5

213++=n n b a n n ，则=4141T S

_______________

三、前n 项和公式=+=

2

)(1n

a a S n n ____________________=____________________ 5.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3,0,211==-=+-m m m S S S ，则=m _______________ 变式：（9）48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则=13S _______________

（10）36,963==S S 则=++987a a a _______________

6.（求最值）等差数列}{n a 的首项01>a ，设其前n 项和为n S ，且219S S =，则当n 为何值时n S 有最大值？ 变式：（11）若149S S =，则n 为何值时n S 有最大值？（第几项为0？）

（12）公差2-=d ，若1110S S =，则=1a _______________ 四、证明等差数列

7.已知等比数列}{n a 递增数列，12,324352=+=a a a a ，数列}{n a 满足11=b ，且)(221++∈+=N n a b b n n n ,证明数列}{

n

n

a b 的等差数列. 等比数列

一、通项公式⋅=1a a n _______=_______⇔⋅-m n q ___________m n q -= 1.等比数列}{n a 中,4,2342=-=a a a ，则公比=q _______________ 变式：（1）若数列}{n a 为递增数列，则公比=q _______________

（2）首项为1，公比为2-，则=+++4321a a a a _______________ （3）n n n a a 161=⋅+，则公比=q _______________ （4）9,105123=+=a a a S ，则=1a _______________

（5）5,254==a a ，则数列}{lg n a 的前8项和等于_______________

二、性质：下标之和相等则这两项积等于那两项积。⇔⋅=⋅q p m n a a a a _______________ 2.等比数列}{n a 中,8,26574-=⋅=+a a a a ，则=+101a a _______________ 变式：（6）2

142=

⋅a a ，则=52

31a a a _______________ （7）各项为正数，2=q ，且16113=⋅a a ，则=102log a _______________ （8）等比数列 ,66,33,++x x x 的第四项等于_______________

三、前n 项和公式=--=q

q a S n n 1)

1(1_______________，)1(≠q

3.等比数列}{n a 中，11=a ，3

2

=

q ，则前n 项和=n S _______________ 4.等比数列}{n a 的前n 项和为n S .若15,342==S S ，则=6S _______________ 变式：（9）0852=+a a ，则

=2

5

S S _______________ （10）

,336=S S 则=6

9S S

_______________ 四、证明等比数列

5.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，n S a n n =+.设1-=n n a c ,证明数列}{n c 为等比数列.

求数列的通项公式

一、观察法

1. 3 , 33 , 333 , 3333 ，……

2. 0.4 , 0.44 , 0.444 , 0.4444 ，……

3. -1 ，7 ， -13 ， 19 ，……

4.

211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-，…… 5. 32，154，356，638，99

10，…… 二、公式法（等差数列和等比数列）

6.设等差数列}{n a 满足9,5103-==a a ，求数列}{n a 的通项公式.

7.设等比数列}{n a 满足12,353==a a ，求数列}{n a 的通项公式. 三、递推公式法

8.（化归法）在数列}{n a 中，23,111+==+n n a a a ，则=n a _______________ 变式：（1）21=a ,,6321+-=-n n a a 则=n a _______________

9.（累积法）等比数列}{n a 中，首项为1a ，公比为q ，则=n a _______________ 变式：（2）41=a ,n n a n

n a 2

1+=

+，则=n a _______________ （3）在数列}{n a 中，,1,01=>a a n 且)(,0)1(12

21N n a a na a n n n n n ∈=⋅+-+++，则=n a _______________

10.（累加法）等差数列}{n a 中，首项为1a ，公差为d ，则=n a _______________ 变式：（4）n n n a a a 2,111+==+,，则=n a _______________ （5）已知数列}{n a 满足)2()

1(,21

111≥-=-=--n n n a a a a a n n n n ，则该数列的通项公式=n a _______________

11.（构造法）已知数列}{n a 的各项均为正数，且12

112,1+++==n n n a a a a .证明数列1)}(a {log n 2+为等比数列并求数列}{n a 的通项公式.

变式：（6）(两边取常用对数),3,3211n n a a a ==+则=n a _______________

12.已知数列}{n a 满足3422

1+-=+n n n a a a ，且)1(log ,1,321-=>=n n n a b a a 。 （1）证明：数列}1{+n b 为等比数列；

（2）设n n b n c )12(-=，求数列}{c n 的前n 项和n S .