三角函数中的数学思想

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三角函数中的数学思想

山东侯怀有苗伟

一、方程思想

例1 如图1，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为18°，他向前走了20m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°.已知小宇的眼睛距地面1.6m，求此时气球A距地面的高度（参考数据：sin18°≈0.309,cos18°≈0.951, tan18°≈0.325；结果精确到0.1m）．

图1

解析：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，交FG于点E．

∵∠AGE=45°，∴AE=GE.

设AE=xm，则GE=xm，tan∠AFE=

AE

EF

，即tan18°=

20

x

x+

，解得x≈9.63．

易得ED=FB=1.6．∴AD=AE+ED≈9.63+1.6=11.23≈11.2（m）．

即此时气球A距地面的高度约为11.2m．

点评：方程思想是解直角三角形最常用的思想方法之一，其应用的关键是找出等量关系，列出方程.

二、分类讨论思想

例2 在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，求BC的长.

分析：本题没有给出图形，∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．

解：当∠C为锐角时，如图2-①，过点A作AD⊥BC于点D .

Rt△ABD中，AB=8，∠ABD=30°，则AD=4，BD=43；

在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，由勾股定理，得CD=22

AC AD

-=3．

∴BC=BD+CD=43+3.

当∠C为钝角时，如图2-②，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D .

同理（1）可求得CD=3，BD=43，则BC=BD-CD=43-3．

综上，BC的长为43+3或43-3．

图2

点评：在没有给出图形的问题中，往往需要分类讨论，注意考虑全面，不要漏解.