证明不等式的基本方法——比较法

例 1、已知 a,b 都是正数，且 a b ，求证： a3 b3 a 2b ab2 .
证明：采用差值比较法：
(a3 b3) (a2b ab2 )
(a3 a2b) (b3 ab2 )
a2(a b) b2(b a)
(a2 b2)(a b)
(a b)2(a b)
（因式分解）
a b ab (ab)
( a )ab b
当a b时（ a ）ab 1 b
当a b 0时，a 1, a b 0（, a）ab 1
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b
b
当b a 0时，0< a 1, a b 0（, a）ab 1
b
b
aabb abba
故原不等式得证.
abc
例 5.若 a b c 0 ，求证 a abbcc (abc) 3 ..
2. 已知a, b, c是正数，求证a2ab2bc2c abcbcacab
五、课时小结： 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤 是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要 的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几 个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与 1 的大小关 系，大多数情况如上面例 4、5 最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性 与性质来进行判断较容易. 六、布置作业： 课本 23 页第 1、2、3 题。
a b, a,b 0
(a b)2 0, a b 0
(a b)2(a b) 0
a3 b3 a2b ab2
假如没有已知 a,b 都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？
例 2、若实数 x 1 ，求证： 3(1 x2 x4 ) (1 x x2 )2 . 证明：采用差值比较法：
∴ 2(x 1)2[(x 1 )2 3] 0, 24
∴ 3(1 x 2 x 4 ) (1 x x 2 )2 .
若题设中去掉 x 1 这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为 a . b
若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到 a m . bm
3(1 x 2 x 4 ) (1 x x 2 )2
=3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3
= 2(x 4 x3 x 1)
= 2(x 1)2 (x 2 x 1)
= 2(x 1)2[(x 1 )2 3].（配方法） 24
x 1,从而(x 1)2 0,且(x 1 )2 3 0, 24
a b ab 0 a b ab0 a b ab0 作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论
2.作商比较法的原理和步骤：
a,b R
a b a 1 b
a b a 1 b
a b a 1 b
作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数 1 的关系）—得 出结论 (二)、典型例题：
将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.
解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：
已知a, b, m都是正数，并且a b,则 a m a bm b
下面给出证明.
将不等式两边相减，得 a m a m(b a) (通分) b m b b(b m)
a b,b a 0;又 a, b, m都是正数，所以m(b a) 0, b(b m) 0
m(b a) 0即 a m a 0
b(b m)
bm b
am a bm b
例 4、已知 a,b R , 求证： a abb abba .
证明：注意到要证的不等式关于 a,b 对称，不妨设 a b 0 差值比较法失效采用商值比较法： a 1, a b 0,
b
aabb abba
证：a b c 0则a b,b c, a c 0
同时 a , b , a 1 bcc
aabbcc
abc
(
a
)
ab 3
(
b
)
b
c 3
(
a
)
a
c 3
bcc
1
(abc) 3
abc
即aabbcc (abc) 3
(三)、课堂练习： 1．已知 a 1. 求证：（1） a 2 2a 1; （2） 2a 1. 1 a2
（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，
解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据)
七．板书设计
作差法依据
作商法依据
比较法证明不等式：
（见上面）
（见上面）
作差、作商的基本步骤
作差变形的方法：
结 果 大 多 数 化 成 指 数 函 （见上面）
{因式分解法、通分法、 数的形式，用指数函数的
第二讲 证明不等式的基本方法
课题：第 01 课时 不等式的证明方法之一：比较法
一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式； （3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与 0 或 1 比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发 学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地 理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据：