六年级奥数平面几何部分
六(下)奥数第5讲~平面几何之曲线图形
六年级下册奥数 第5讲~平面几何之曲线图形
重点、难点
1、圆与扇形的周长、面积求法
2、弓形、谷子、弯角的面积求法 教学内容
【本讲说明】本讲内容属于几何专题中的必考题型，在历年升学考试中所占比例已达到30%-40%，在16年大桥，15年外国语，16年辅仁等试题中均有出现，主要以大题和操作题的形式考察。每题的分值在8-10分左右。本讲主要属于综合复习，对学生的综合要求以及几何思维能力要求较高，课前先复习一下知识点
【课堂目标】本讲主要包含两大部分：1、掌握圆和扇形周长的相关题型；2、掌握圆和扇形面积的相关题型。3、重点掌握圆和扇形与容斥定理相结合的题型。
知识点一：基本公式
圆的周长 r C π2= 扇形的弧长3602N r l ⨯
=π 扇形的周长l r C +=2 圆的面积2r S π= 扇形的面积3602N r S ⨯=π 知识点二：基本模型
1、圆环的面积：()22r R -π
2、 弓形：222
141r r ππ-
3、谷子（也叫柳叶）：2221r r -π
4、弯角形（也叫弯月）：224
1r r π-
5、方中圆、圆中方模型
圆=2a π 圆=2a π 方=2422a a a =⨯ 方=()22
222a a =÷ 方：圆=4：π 方：圆=2：π
6、方圆套中套：大方是小方的2倍，大圆是中圆的2倍，中圆是小圆的2倍。
知识点三：圆和扇形周长的运用
例1、如图所示的图形由1个大的半圆弧和6个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为1，则这个
图形的周长是多少？（圆周率用π表示）
练1、如图所示，已知米米，70120==BC AB ，从A 到C 有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走
六年级奥数平面几何常用技巧
平面几何常用技巧
【加油站】
常有正多边形：
正三正方形正五边正六正八边形正十边形正十二
角形形边形边形图形
内角和
每个
内角【加油站】
正十二边形的做法：
一、做正六边形
二、以正六边形每边为边长向外做六个正方形
三、依次连接正方形外面的十二个极点。
则所构成的是正十二边形。
【例 1】（★★★）
125 平方厘米，那么【例 2】（★★★）
1 厘米，空白部分是等边
以下列图，正八边形中的阴影部分面积是以下列图，一个正十二边形的边长是
正八边形的面积是多少？三
角形，一共有 12 个．请算出阴影部分的面积．
1cm
1
【例 3】（★★★★）
如右图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为 12，图中
阴影部分的面积 _________。
【例 5】（★★★★）
如图，三角形 ABC 是等腰直角三角形， P 是三角形外的一点，
其中 AP ＝ 10 厘米，∠BPC ＝90°，求四边形 ABPC 的面积．
Q
D
B
C
P 【例 4】（★★★）
依照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直
角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为 2 和 4，乙三角
形两条直角边分别为 3 和 6，求图中阴影部分的面积．
甲
4
3
乙
6
【例 6】（★★★）
以下列图的四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝45°
∠ABC＝105 °， AB＝ CD ＝10 厘米，连接对角线，
∠ABD ＝30°．求四边形 ABCD 的面积．
C
D
A
2
【例 7】 (★★)
6 厘米，小正方形边长是 4 厘米，两块阴【例 8】(★★★)华杯赛复赛试题
10 厘米, 则阴影部分的面积为多少
如图，大正方形边长是右图中的正方形的边长为
六年级上奥数试题——第2讲.几何模型及应用(人教版)含解析
（法二）特殊值（只用于填空选择）将四边形画成正方形，就如【例11】，结论很容易得到
【例7】如图，对于任意四边形 ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 ，求四边形 的面积是四边形 的几分之几？
【分析】如图，分层次来考虑：
（1） ， ，
所以
又因为 , ,
【拓展】若 、 、 、 分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的______分之______。
【分析】思路同上，但要注意，四个三角形 之和= 正方形 = 正方形 。因为 ，又可以计算出，三角形 的面积= 正方形 = 正方形 。所以空白部分的面积为 （正方形 的面积）,所以阴影部分的面积为 。
【点评】这样的解法比较巧妙，应用全等三角形的知识。一般地，还可以如下解：
因为 是 中点，所以 ， ；
所以三角形 的面积= 三角形 = 三角形 = 正方形 ,
又根据三角形 +三角形 +三角形 +三角形 =正方形
所以，重复加了4个类似于 的三角形，少加了中间的阴影部分，都能等于大正方形，
可知，四边形 的面积=4个三角形的面积之和= 正方形 A= 正方形 。
国际奥委会把参加奥运会羽毛球比赛的选手限定在１７２人之内，每个项目根据世界排名选出单打前３８名、双打和混合双打各１６对选手直接参赛。但每个项目中至少包括五大洲的各１名选手或１对选手参加。这些选手必须在该洲世界排名领先。如果在世界排名中仍没有某洲的选手，则由在积分期间最近一次该洲锦标赛冠军参加。
六年级奥数题及答案-最多能把平面分成多少部分
六年级奥数题及答案-最多能把平面分成多少部分
平面上5个圆最多能把平面分成多少部分？
解答：1个圆能把平面分成2部分，2个圆与原来的圆产生2个交点，这两个交点把新圆分割出2段曲线，能得到2块新部分，共得到4部分.第3个圆与原来的圆最多产生4个交点，这4个交点把新圆分割出4段曲线，能得到4块新部分，共得到8部分.第4个圆与原来的圆最多产生6个交点，这6个交点把新圆分割出6段曲线，能得到6块新部分，共得到14部分。第5个圆与原来的圆最多产生8个交点，这8个交点把新圆分割出8段曲线，能得到8块新部分，共得到22部分
小学奥数五六年级-平面几何综合(培优讲义)
学科培优数学“平面几何综合”
知识定位
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
知识梳理
直线型图形五大模型
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S
1︰S
2
=a︰b ；
模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的2
3
×
1
4
=
1
6
模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶理”）
①S
1︰S
2
=S
4
︰S
3
或者S
1
×S
3
=S
2
×S
4
②②AO︰OC=（S
1+S
2
）︰（S
4
+S
3
）
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S
1︰S
3
=a2︰b2
②S
1︰S
3
︰S
2
︰S
4
= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为（a+b）2 模型四：相似三角形性质
①a b c h
A B C H
=== ;
②S
1︰S
2
=a2︰A2
模型五：燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
F
D
A
S4
S3
s2
s1
b
a
b
s2
s1
S4
S3
s2
s1
O
D
C B
A
h
h
H
c
b
a
C B
A
a
c
b
H C
B
A
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；【重点难点解析】
1.三角形的相似问题
2.四边形中的蝴蝶定理
3.三角形中燕尾定理的运用
【竞赛考点挖掘】
1.三角形或四边形中的部分面积求解
2.相似形的相关性质
3.多边形内角和
4.圆与圆弧的相关图形面积和周长求解
例题精讲
【题目】如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD的面积是_____.
六年级奥数--几何问题
几何问题
1. 图中部有阴影的正方形共有____个。
2. 如下图，正方形ABCD边长为lO厘米，BO长8厘米。AE=____厘米。
3. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
4
6F
E
D C
B
A
4. 用同样大小的木块堆成了如下图所示的形状，这里共用了_______个木块。
面积问题
1. 一个长方体的表面积是400平方厘米，其中有一个顶点处两条棱长分别是5cm和10cm，求此处的另一条棱长。
2. 如下图，有一个边长是6cm的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是6，4，2cm的长方体，那么它的表面积现在是多少?
3. 用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘
米?
4. 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．
5. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减
少了16平方厘米.求所成形体的表面积。
6. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
7. 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
8. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是平方厘米.
9. 如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
六年级奥数平面几何部分
平面几何部分
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD
BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①
1243
::S S S S =或者
13S S S S ⨯
=
⨯
②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关
六年级奥数几何练习题
六年级奥数几何练习题
在六年级奥数几何练习题中，我们将通过讨论一些常见的几何问题和解决方法，帮助同学们提高解题能力和对几何概念的理解。在本文中，我们将涵盖以下几个主题：平面几何、立体几何、图形的性质以及几何推理。
一、平面几何
平面几何是几何学中的一个重要分支，涵盖了许多与平面内图形相关的概念与性质。在这一部分，我们将讨论关于点、线、角、图形等方面的练习题。
1. 关于点、线、角的练习题
(1) 练习题1：
已知平面上有三个不在一条直线上的点A、B、C，连接AB、BC、CA三条线段，这三条线段是否可能构成一个三角形？为什么？
(2) 练习题2：
已知两条直线a和b相交于点O，角AOB的度数为60°，求直角三角形AOB中角A和角B的度数。
2. 关于图形的性质的练习题
(1) 练习题3：
在平面直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(-2, 1)分别为矩形ABCD的两个对角线的端点，求矩形ABCD的面积和周长。
(2) 练习题4：
在平面直角坐标系中，点A(0, 0)和点B(5, 0)为正方形ABCD的两个对角线的端点，求正方形ABCD的面积和周长。
二、立体几何
立体几何是研究与立体图形相关的几何学分支，例如立方体、长方体、圆柱体等等。在这一部分，我们将探讨常见的立体图形的性质以及相关计算题。
1. 关于立体图形的性质的练习题
(1) 练习题5：
已知一个半径为r的圆柱体的高度为h，求该圆柱体的体积和表面积。
(2) 练习题6：
一个立方体的体积为64立方厘米，求它的棱长和表面积。
2. 关于计算题的练习题
(1) 练习题7：
小学奥数几何六大模型及例题
AO : OC S1 : S4 S2 : S3 (S1 S2 ) : (S4 S3)
梯形中蝴蝶模型
燕尾模型 从三角形一个顶点向对边上任意一点画线段，在线段上
任取一点组成的图形面积也会有如下关系：
例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
例题3 如图1，梯形ABCD，下底BC上有一点E，梯形空白处的面 积比阴影△ADE得到面积多200平方厘米，又知梯形下底 BC比上底AD长20厘米。求这个梯形的高是多少？
SABO : SACO SOBD : SOCD SABD : SACD BD : CD
金字塔、沙漏模型 所谓的金字塔、沙漏模型，就是指形状相同，大小不同
的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图 所示：
勾股定理 我国最早发现在直角三角形中两条直角边的平方和等于
斜边的平方，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，外 国称为毕达哥拉斯定理。如右图 在直角三角形 ABC中有c2 a2 b2
六年级奥数专题 平面几何综合(学生版)
学科培优数学
“平面几何综合”
学生姓名授课日期
教师姓名授课时长
知识定位
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
知识梳理
直线型图形五大模型
模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之
比。
S
1︰S
2
=a︰b ；
模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）
如图,三角形AED占三角形ABC面积的2
3
×
1
4
=
1
6
模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
①S
1︰S
2
=S
4
︰S
3
或者S
1
×S
3
=S
2
×S
4
②②AO︰OC=（S
1+S
2
）︰（S
4
+S
3
）
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S
1︰S
3
=a2︰b2
S4
S3
s2
s1
b
a
b
s2
s1
S4
S3
s2
s1
O
D
C
B
A
②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2
模型四：相似三角形性质
①
a b c h
A B C H
=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2
模型五：燕尾定理
S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；
【重点难点解析】
1. 三角形的相似问题
2. 四边形中的蝴蝶定理
3. 三角形中燕尾定理的运用
【竞赛考点挖掘】
1. 三角形或四边形中的部分面积求解
2. 相似形的相关性质
小学六年级奥数知识：几何初步认识(平面图形)
小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形）
这篇关于小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形），是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
二、平面图形
1、长方形
（1）特征
对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
（2）计算公式
c=2(a+b)
s=ab
2、正方形
（1）特征：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
（2）计算公式
c=4a
s=a2
3、三角形
（1）特征
由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
（2）计算公式
s=ah/2
（3）分类
按角分
锐角三角形：三个角都是锐角。
直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
按边分
不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4、平行四边形
（1）特征
两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。
（2）计算公式
s=ah
5、梯形
（1）特征
只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。
（2）公式
s=(a+b)h/2=mh
6、圆
（1）圆的认识
平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
小升初六年级奥数——几何(平面图形)
一、分数百分数问题，比和比例
这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：
对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；
求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；
分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；
通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题；
二、行程问题
应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：
路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；
当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；
学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；
有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题；
三、几何问题
几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容：
等积变换及面积中比例的应用；
与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；
立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；
立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；
四、数论问题
常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：
六年级下册数学试题-奥数专练：平面几何之多边形(含答案)全国通用
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力。
版块一、平移：
(第三届“华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米。问，此楼梯截面的面积是多少？
如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米。这楼梯的截面积是多少平方厘米？
有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？
例2
巩固
例1
平面几何之多边形
版块二：旋转：
如图所示的四边形的面积等于多少？
如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中∠BPC＝90°，AP＝10cm，求四边形ABPC的面积。
如图△ABC中有一点D，DA＝6，DB＝10，DC＝8，求∠ADB的度数。
板块三、割补：
拓展
例4
例3
如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个。请算出阴影部分的面积。
在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
板块四、差不变
右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。
巩固
例7
例6
例5
如图所示，CA＝AB＝4厘米，△ABE比△CDE的面积小2平方厘米，求CD的长为多少厘米？
如图，平行四边形ABCD种，BC＝10cm，直角三角形ECB的边EC＝8cm，已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10cm2，求平行四边形ABCD的面积。
小升初六年级奥数——几何（平面图形）
⼩升初六年级奥数——⼏何（平⾯图形）
⼀、分数百分数问题，⽐和⽐例
这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占⽐例⾮常⾼，重点应该掌握好以下内容：
对单位1的正确理解，知道甲⽐⼄多百分之⼏和⼄⽐甲少百分之⼏的区别；
求单位1的正确⽅法，⽤具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；
分数⽐和整数⽐的转化，了解正⽐和反⽐关系；
通过对“份数”的理解结合⽐例解决和倍（按⽐例分配）和差倍问题；
⼆、⾏程问题
应⽤题⾥最重要的内容，因为综合考察了学⽣⽐例，⽅程的运⽤以及分析复杂问题的能⼒，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：
路程速度时间三个量之间的⽐例关系，即当路程⼀定时，速度与时间成反⽐；速度⼀定时，路程与时间成正⽐；时间⼀定时，速度与路程成正⽐。特别需要强调的是在很多题⽬中⼀定要先去找到这个“⼀定”的量；
当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的⽐例关系求第三个量的⽐；
学会⽤⽐例的⽅法分析解决⼀般的⾏程问题；
有了以上基础，进⼀步加强多次相遇追及问题及⽕车过桥流⽔⾏船等特殊⾏程问题的理解，重点是学会如何去分析⼀个复杂的题⽬，⽽不是⼀味的做题；
三、⼏何问题
⼏何问题是各个学校考察的重点内容，分为平⾯⼏何和⽴体⼏何两⼤块，具体的平⾯⼏何⾥分为直线形问题和圆与扇形；⽴体⼏何⾥分为表⾯积和体积两⼤部分内容。学⽣应重点掌握以下内容：
等积变换及⾯积中⽐例的应⽤；
与圆和扇形的周长⾯积相关的⼏何问题，处理不规则图形问题的相关⽅法；
⽴体图形⾯积：染⾊问题、切⾯问题、投影法、切挖问题；
⽴体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；
六年级奥数：巧解几何问题
六年级奥数：巧解几何问题
【拼接，截割】
（1）平面图形的拼接、截割。
拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a，那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a，那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。
例1 如图，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。
解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是
48×3÷2
=144÷2
=72（厘米）
（2）立体图形的拼接、截割。
立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：
①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S。
小升初六年级奥数——几何(平面图形)
一、分数百分数问题，比和比例
这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：
对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；
求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；
分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；
通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题；
二、行程问题
应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：
路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；
当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；
学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；
有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题；
三、几何问题
几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容：
等积变换及面积中比例的应用；
与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；
立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；
立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；
四、数论问题
常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：
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平面几何部分
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD
BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
b
a S 2S 1
D
C
B
A S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +． 四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②2
2
:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么
::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO
∆的形状很象燕子
∆和ACO
的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例 1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=，CF=2．长方形EFGH的面积为．
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米
【例 2】长方形ABCD的面积为362
cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少
E
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．
【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8
AD=，四
AB=，15边形EFGO的面积为．
A
B
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2
=，则阴影部分
AE ED
的面积为．
B
【例 4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)
B
【例 5】如图，已知5
EF=，6
FG=，线段AB将图形分成两部分，
DE=，15
CD=，7
左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．
G
F
E D
C B
A
【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，
:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的
面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少
E
D
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，
乙部分面积是甲部分面积的几倍
乙
甲
E D
C
B
A
【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．