高二数学半期试卷(理科)

合集下载

自贡蜀光中学高中二年级下理科数学期中考试理科数学_人教新课标

x 1 ，令
f ( x ) 2ln x x ， f (x) 2 1 ，当 x (0,2) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，当 x (2, ) 时，
x
f (x) 0， f (x) 为减函数，所以 f (x) 的极大值为 f (2) 2ln 2 2 .
15 ．过抛物线 y 2=6 x 的焦点作直线，交抛物线于 A( x1 , y1), B(x2, y2) 两点，如果 x1+ x2=8 ，那么
C
y 2 4 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分
所求的抛物线的方程为
（2 ）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y
由
y2 4x ，消 x 得 y2 2 y 2t 0
y 2x t
2x t
，
l
C
因为直线与抛物线有公共点，所以得
4 8t 0 ，解得 t
1 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分
OA l
d
，再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的
区域的面积，从而可求概率．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 π3，正弦曲线 y=-sinx 与 x
π
轴围成的区域记为 M ，根据图形的对称性得：面积为 S=2 0 sin xdx =-2cosx| 0 =4 ，由几何概率的计算公
在点（，处的切线方程是
A. a 1,b 2 B.a 1,b 2 C.a 1,b -2 D.a 1,b 2
9．设 f (x)
1 x3 1 x2 2ax，若 f (x) 在 ( 2,
32
3
) 上存在单调递增区间
，则实数 a 的取值范围为

河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)

求直线被曲线 ′ 截得的最短的弦长；
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1

(1)求的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是

A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]

C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7

高二期中考试数学试卷(理科)

2012——2013年高二上学期期中考试数学试卷（理科）命题人:江俊杰一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（）A ． (±3, 0)B ．(±31, 0)C ． (±203, 0) D ． (0, ±203) 2.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（）A ． x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ． x 24＋y 2＝1D ． x 216＋y 24＝1 3. 已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于（）A ．24B ．36C ．48D ．964. 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同5.抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（）A ．33B ．34C ．36D ．386. 已知双曲线12222=-y x 的14222=+b y x 的焦点，若直线y=kx +2与椭圆至多有一个交点，则k 的取值范围是( )A ．K ]21,21[-∈B ．K ),21[]21,(+∞⋃--∞∈ C.K ]22,22[-∈ D ．),22[]22,(+∞⋃-∞∈K 7. 直线y=x+3与曲线 1492=⋅-x x y 的交点个数为( ) A. 0 B.1 C.2 D. 38. 椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. )21,1⎡-⎣ D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9. 点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =- 的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.33B.13C.22D.12 10. 若直线y=x+b 与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（） A. 1,122⎡⎤-+⎣⎦ B. 122,122⎡⎤-+⎣⎦ C. 122,3⎡⎤-⎣⎦ D. 12,3⎡⎤-⎣⎦二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是：______12. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB = ,则弦AB 的中点到准线的距离为____ 13. 已知4x 2+9y 2=36，那么│2x －3y －12│的最大值为_____________.14. 过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A 、B 两点,且△OAB(O 为坐标原点)的面积为,则m 6+m 4=__________.15. 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为．16. 已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值.17. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2: 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．18. 过抛物线x y =2的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB 。

四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知x R ∈,命题“若20x >,则0x >”的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设复数11i aiz ++=(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a =（A ）1 （B ）1- （C ）2（D ）2-3．已知,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底,则一定有（A ）,,OA OB OC 共线（B ）,,,O A B C 中至少有三点共线（C ）OA OB +与OC 共线（D ）,,,O A B C 四点共面4．一个关于自然数n 的命题,已经验证知1n =时命题成立,并在假设(n k k =为正整数)时命题成立的基础上,证明了当2n k =+时命题成立,那么综上可知,该命题对于（A ）一切自然数成立（B ）一切正整数成立（C ）一切正奇数成立（D ）一切正偶数成立5． 4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺,则最终获奖结果种数为（A ）34A （B ）34C （C ）34 （D ）436．如图,OABC 是四面体,G 是ABC ∆的重心,1G 是OG 上一点,且13OG OG =,则（A ）1OG OA OB OC =++ （B ）1111333OG OA OB OC =++（C ）1111444OG OA OB OC =++ （D ）1111999OG OA OB OC =++7．0a b <<是11a b b a+<+的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-上为增函数,则实数a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）(,-∞（C ）[（D ）(,[1,)-∞+∞9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲乙丙等5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,其余两个实验舱各安排1人,若甲乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案有（A ）8种（B ）14种（C ）20种（D ）116种10．已知a ,b 是异面直线,,A B 是a 上的点,,C D 是b 上的点,2,1AB CD ==,且AC b ⊥, BD b ⊥，则a 与b 所成角为（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）90︒11．已知t 和3t +是函数32()f x x ax bx c =+++的零点,且3t +也是函数()f x 的极小值点, 则()f x 的极大值为（A ）1 （B ）4 （C ）43 （D ）4912. 设0.0110099,,a b e c ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13．已知函数2()2'(2)3f x x f x =++,则'(2)f 的值为__________. 14．某单位拟从,,,,,A B C D E F 六名员工中选派三人外出学习,要求: (1),A C 二人中至少选一人; (2),B E 二人中至少选一人; (3),B C 二人中至多选一人; (4),A D 二人中至多选一人.由于E 因病无法外出,则该单位最终选派的三位员工为:__________.15．将,,,A B C D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉,每个抽屉只能放一份文件,要求文件,A B 必须放入相邻的抽屉,文件,C D 不能放入相邻的抽屉,则满足要求的放置方法共有__________种.16．双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=在工程学中有广泛的应用,也具有许多迷人的数学性质.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点,A B ,曲线1C 在A 处切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有__________(填上所有真命题的序号).①(sinh())'cosh()x x =,(cosh())'sinh()x x =; ②22sinh ()cosh ()1x x +=; ③点P 必在曲线x y e =上;④PAB ∆的面积随m 的增大而减小.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）(1)请将下列真值表补充完整;(空格处填上“真”或“假”)(2) 给定命题:p 对任意实数x 都有210ax ax ++>成立;命题:q 关于x 的方程2x x a -+有实根.已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题,求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90,2,1,ABC CA CB M ∠=︒==是1CC 的中点, 且1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,总比例常数为(0)k k >.现已知相距10km 的A ,B 两家化工厂(污染源),A 化工厂的污染强度未知,暂记为(0)a a >,B 化工厂的污染强度为4,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和, 设()AC x km =.(1)试将y 表示为关于,,x k a 的等式;(2)调研表明y 在2x =处取得最小值,据此请推断出A 化工厂的污染强度. 20．（本题满分12分）在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,在“阳马”P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,棱PC 的中点为E ,3PF FB =,连接,,DE DF EF .(1) 若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为3π,求CBCD的值. (2) 设棱PA 与平面DEF 相交于点G ,且PG PA λ=,求λ的值;21．（本题满分12分）已知函数2()ln (0)f x x ax a =->.(1)若()f x 恰有一个零点,求a 的值;(2)若0x 是()f x 的零点,且2y x =在点200(,)x x 处的切线恰与ln y x =相切,求a 的值.22．（本题满分12分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈,'()f x 为()f x 的导函数. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>,证明:对任意a R ∈,存在唯一的012(,)x x x ∈,使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立.绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）答案Ă.˞Պʚ123456789101112CBDCCDAABC BA12.由我们熟知的不等式e x ⩾x +1有e 0.02>1+0.02⇒e 0.01>√1.02,∴b >c又e −x >1−x,当x <1时,有1e x >1−x ⇒e x<11−x∴e 0.01<11−0.01=10099,∴a >bȕ.ฒ˭ʚ13.−414.A,B,F15.2416.1416.显然1正确;事实上,双曲函数满足cosh 2(x )−sin 2h (x )=1,这也是它名称的由来,2错误;C 1在A 处切线:y =cosh (m )(x −m )+sinh (m ),C 2在B 处切线:y =sinh (m )(x −m )+cosh (m ),由此求得两切线的公共点坐标为P (m +1,e m ),故P 在曲线y =e x −1上,3错误;|AB |=e −m ,由前面分析知P 到AB 距离为1,∴S △P AB =12e m,随m 增大而减小,4正确.Ɓ.̛٫ʚ17.(1)从上至下依次为“真”,“假”,“真”,“真”;(2)若命题p 为真命题,则a =0或a >0∆<0,解得a ∈[0,4),若命题q 为真命题,由∆⩾0,解得a ⩽14,要使(¬p )∨q 和p ∨(¬q )都是真命题,则需p,q 同真同假,若p,q 同真,则有a ∈[0,14],若p,q 同假,则有a ⩾4,综上可知,a 的取值范围为[0,14]∪[4,+∞).18.以B 为坐标原点,# »BC,# »BA,# »BB 1方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系B −xyz ,并设AA 1=h ,则相关各点坐标分别为:A (0,√3,0),A 1(0,√3,h ),B (0,0,0),B 1(0,0,h ),C (1,0,0),C 1(1,0,h ),M (1,0,h2)(1)∵# »AM =(1,−√3,h 2),# »BA 1=(0,√3,h ),且AM ⊥BA 1∴# »AM ·# »BA 1=0⇒h =√6,所以,AA 1=√6;(2)∵# »AC 1=(1,−√3,√6),而平面ABB 1A 1的法向量为#»n=(1,0,0),∴cos <# »AC 1,#»n >=1√10=√1010,所以,所求线面角的正弦值为√1010.19.(1)y =k (ax +410−x),x ∈(0,10);(2)y ′=k (4(10−x )2+a x 2)=k (4x 2−a (10−x )2(x (10−x ))2),由题意,y ′|x =2=0⇒16−64a =0⇒a =14,经检验知,当a =14时,y 在(0,2)上单减,在(2,10)上单增,满足题意.所以,A 化工厂的污染强度为14.20.以D 为坐标原点,# »DA,# »DB,# »DP 方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系D −xyz ,并设CD =2,CB =m ,则相关点坐标为:D (0,0,0),A (m,0,0),B (m,2,0),C (0,2,0),P (0,0,2),于是E (0,1,1),又3# »P F =# »F B ⇒# »DF =34# »DP +14# »DB ,所以# »DF =(m 4,12,32)由# »DF =(m 4,12,32)# »DE =(0,1,1)解得平面DEF 的法向量#»n 1=(−4,−m,m ),(1)易知平面ABCD 的法向量#»n 2=(0,0,1),∴cos <#»n 1,#»n 2>=m √2m 2+16由题意知,m √2m 2+16=12,由此解得m =2√2,∴CB CD =m 2=√2;(2)∵# »P G =λ# »P A,∴# »DG =# »DP +λ# »P A =(λm,0,2−2λ),由题意,∵G 是平面DEF 上一点,∴# »DG ⊥#»n 1⇒−4λm +m (2−2λ)=0由此解得:λ=13.21.(1)∵f ′(x )=2x −1x ,在(0,√22),f ′(x )<0,在(√22,+∞),f ′(x )>0,∴f (x )在(0,√22)单调递减,在(√22,+∞)单调递增,且当x →0时,f (x )→+∞,当x →+∞时,f (x )→+∞,∴由题意可知,x =√22是f (x )的唯一零点,由f (√22)=0,解得:a =√2e ;(2)y =x 2在(x 0,x 20)处切线l :y =2x 0(x −x 0)+x 20,整理得:l :y =2x 0x −x 20,设该切线与y =ln x 相切于(t,ln t ),则l :y =1t(x −t )+ln t,整理得:l :y =1t x +ln t −1,∴2x 0=1t x 20=1−ln t ⇒ln t =−ln 2x 0,∴x 20=1+ln 2x 0又由题知:x 20=ln ax 0,∴ln ax 0=1+ln 2x 0=ln 2ex 0∴a =2e 即为所求.22.(1)f ′(x )=1x+a (x >0)1当a ⩾0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)单调递增;2当a <0时,在(0,−1a ),f ′(x )>0,在(−1a,+∞),f ′(x )<0∴f (x )在(0,−1a )单调递增,在(−1a,+∞)单调递减;(2)设F (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x −f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,x ∈(x 1,x 2),显然F (x )在定义域内单调递减,F (x 1)=1x 1−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),G (t )=(1−1t−ln t ),则F (x 1)=(x 1−x 2)G (t )∵G ′(t )=1−tt2,∴在(0,1),G ′(t )>0⇒G (t )在(0,1)单调递增,∴G (t )>G (1)=0,故F (x 1)=1x 1−x 2G (t )>0,同理:F (x 2)=1x 2−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(x 1x 2−1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),H (t )=t −1−ln t,则F (x 2)=1x 1−x 2H (t )∵H ′(t )=1−1t,∴在(0,1),H ′(t )<0⇒H (t )在(0,1)单调递减,∴H (t )>H (1)=0,故F (x 2)=1x 1−x 2H (t )<0,综上可知,F (x )在(x 1,x 2)单调递减,且F (x 1)>0,F (x 2)<0,∴F (x )在(x 1,x 2)存在唯一零点x 0,使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,命题得证.。

四川省师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试题

对于C，命题：，，则：，，故C错误；
对于D，由，所以是和的最大公约数，因此用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是，故D错误；
故选：B.
8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，俯视图是等腰直角三角形，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B. C. D.
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】C
【解析】
【详解】由及是公比为正数的等比数列，得公比q=2，
所以．
6. 已知命题 “关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出当命题为真命题时的取值范围，根据已知条件可得出关于实数的不等式，即可求得的取值范围.
（1）求样本的容量及直方图中的值；
（2）估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.
20. 已知圆方程为
（1）若时，求圆与圆：的公共弦所在直线方程及公共弦长；
（2）若圆与直线相交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.
21. 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合零点分析可得，，结合等差数列的定义与前项和公式求，再根据恒成立问题结合裂项相消法理解运算.
【详解】当时，令，则，即，
由题意可得：，
则，
∴ ，即，
故数列是以首项为0，公差为1的等差数列，则，
当时，则，

15届高二理科数学上期半期考试试卷

C. 内的直线都与a相交.D.直线a与平面有公共点.
4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()
A.πB.π＋C.π＋D.π＋
5. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:(本大题有5个小题,每小题5分,共25分)
11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,则MN的长为.
12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为12π,则这个正四棱柱的体积为.
其中正确命题的个数有_______个.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
(1)如图,ABC在平面外,AB∩=P,BC∩=Q,AC∩=R,求证:P,Q,R三点共线.
(2)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点, 且EH与FG相交于点K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
(1)过不在a、b上的任一点,可作一个平面与a、b都平行.
(2)过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都相交.
(3)过a可以并且只可以作一个平面与b平行.
(4)过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都垂直.
A.1B.2C.3D.4
10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，

2020-2021学年四川省遂宁二中高二上学期半期考试数学(理)试题

遂宁二中2020-2021学年高二上学期半期考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

） 1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（）A. 1B. 2C. 1或4D. 1或22．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切 3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（）A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 4．设有直线m ，n 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ?α，n ?α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ?α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α5．对于a ∈R ，直线（x +y ﹣1）﹣a （x +1）=0恒过定点P ，则以P 为圆心，5为半径的圆的方程是（）A ． 5)2()1(22=-++y xB ．5)2()1(22=+++y xC ．5)2()1(22=++-y xD ．5)2()1(22=-+-y x6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．27．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ．324πR 3B ．38πR 3C ．525πR 3D ．58πR 38．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （）A ．3B ．-3C ．-2D ．29．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（）A ．51 B ．52C ．53D ．5410．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A ．2＋ 5B ．4＋ 51A 1B 1C 1DA BCDC ．2＋2 5D ．511．在三棱锥A BCD -中,1,AB AC ==2DB DC ==,3AD BC ==,则三棱锥A BCD -的外接球表面积为（）A ．πB ．7π4C ．7πD ．4π 12．N 为圆x 2+y 2=1上的一个动点，平面内动点M （x 0，y 0）满足|y 0|≥1且∠OMN=30°（O 为坐标原点），则动点M 运动的区域面积为（）A ．334-πB ．3238-π C ．332+π D ．334+π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分。

高二数学模拟试卷(理科)及答案.doc

高二数学模拟试卷(理科)及答案高二数学模拟试卷（理科）时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.复数（3+2i）i等于（）A. －2－3iB. －2＋3iC.2－3iD.2＋3i2. 命题“若a＜b，则a＋c＜b＋c”的逆否命题是( )A. 若a＋c＜b＋c，则a＞bB. 若a＋c＞b＋c，则a＞bC. 若a＋c≥b ＋c，则a≥bD. 若a＋c＜b＋c，则a≥bx2y23. 双曲线16-9=1的渐近线方程为（）A. y=±169x B. y=±916x C. y=±34x D. y=±43x4.如图是导函数y=f/(x)的图象，那么函数y=f(x)在下面哪个区间是减函数（）A. (xB. (x1,x3)2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)5. 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A.8753B.3C.3D.436. 5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A．A3 B．4A35232311333 C．A5-A3A3 D．A2A3+A2A3A37. 已知正方形ABCD的顶点A,B为椭圆的焦点，顶点C,D在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )A-1 BC+1 D．28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为（）9. 已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积是（）R恒成立，且e为自然对数的底，则（）A．f（1）＞ef（0），f（2012）＞e2012f（0）B．f（1）＜ef（0），f（2012）＞e2012f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2012）＜e2012f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2012）＜e2012f（0）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 10(-(x-1)2-2x)dx=12. 仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是13. 已知方程x23+k+y22-k=1表示椭圆，则k的取值范围为___________14. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，| PA |+| PB|=k，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线x2y225-9=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A(5,0)及定直线l:x=255x2y24的距离之比为4的点的轨迹方程为16-9=1．其中真命题的序号为_________．15. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数的对称中心为______；（2）计算++f（）=______三、解答题（本大题共6小题，共75分。

2018-2019学年贵州省遵义市高二(下)期中考试数学试卷(理科)Word版含解析

2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答：解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答：解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评：特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。

2021-2022学年度成都七中高二上期半期理科数学考试试卷及答案

高2023届高二上期半期考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.121213*********.:,:,,()()()()l ax y l x y l l a A B C D ++=−+= −− 已知：直线若则的值为222122122.:,()()()()x C y A y x B y C y x D y x −==± ==± =±已知双曲线则该双曲线的渐近线方程为3230333322.,()()()()l x y l A B C D ++=− −若直线的方程为则直线的纵截距为225420414414114.,()(,)()(,)()(,)(,)()(,)(,)x y ax y a a A B C D +−+−= −− −∞− −+∞ −∞+∞若方程表示圆则的取值范围为22222222520202628416482.(,),(,),()()()()x y x y A B x y x y C D −+=1 +=1+=1 +=焦点为离心率为26421234.,,()()()()x y F P y PF A B C D = 已知抛物线的焦点为若抛物线上一点到轴的距离为则的值为22272023011242.(),()()()()y px p x y x p A B C D =>+−−= 已知抛物线的准线与圆相切则的值为222281000121132442.:(),(,),(,).()()()(y x C a b c O c b a b c C A B C D +=>> 已知椭圆的半焦距为原点到经过两点的直线的距离为则椭圆的离心率为29022.(,):,()()()()P l C y x l A B C D = 若过点的直线与抛物线有且只有一个公共点则这样的直线的共有一条两条三条四条22221010013122.+()(,),,,,,()(,)()(,)()(,)x y a b F c b P a bmPF m PF n nA B C =>>> +∞ 已知椭圆的右焦点为满足：若点为椭圆上一点记的最大值为记最小值为则的取值范围为3()(,)D +∞22222251110021226110470350.,(,),:()(),,,,()()()x y C a b AB M x y a b C A B AB A x y B x y C x y −=>>++−=++= ++= ++= 如图双曲线：是圆的一条直径若双曲线过两点且离心率为则直线的方程为230()D x y ++=2212122121212121210305522.,:(),,,,()cos ,,()()y F F C x b P C I F PF bG GP GF GF GI F F R F PF PF F R R A B λλ−=>∆++==∈∠=∆ 已知分别为双曲线的左、右焦点点在双曲线上为的内心点满足：若且记的外接圆半径为则的值为31()()C DO第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.22131.::,.l y x a C x y a =++= 若直线与圆有公共点则实数的取值范围为144.(,),.P x y P = 平面上一动点则的轨迹方程为 1525.,,.x y x =± 已知焦点在轴的双曲线的渐近线为半焦距为则双曲线的标准方程为22221622521.:():(),.P M x y N x y P −+=++=动圆与圆和圆同时相切则动圆的圆心的轨迹方程三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1222171030109.():,:,.(I);(II).l x y l x y P P P l x y l ++=−+=+=本小题满分分已知直线直线记两条直线的交点为求两条直线交点的坐标若过点的直线被圆截得的弦长为求直线的方程1812214323.()(,),(,),(,).M A B C −本小题满分分已知圆经过三点226490(I);(II),,.M P x y x y P M +−−+=求圆的一般方程已知圆：判断圆和圆的位置关系并说明理由22121219121303.():,,.(I);(II)y C x F F F l C A B AB ABF ︒−=∆本小题满分分如图双曲线的焦点为、过左焦点倾斜角为的直线与交于两点求弦长的值求的周长.F F O201222012.(),(I);(II)(,),(),;(),x P l A B i k AB ii O AOB =∆本小题满分分已知椭圆的长轴为短轴为焦点在轴上.求椭圆的标准方程过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点.若求弦长的值记为坐标原点求面积的最大值.22112221203.():(,),(,),,,.(I);(II),,,,.MM N NC x py A x B l CDE AD x M AE x N l x M N x x l x ==−本小题满分分如图抛物线经过定点过轴上一点的直线与抛物线交于两不同点直线交轴于点直线交轴于点求直线的斜率的取值范围记点的横坐标分别为若求直线的方程1222222212121212221211122192203.():(,).(I);(II),,,,(),,,,;(III),(,A D A C x y x a b y P a b A A x x m C D D C k k k k k k k k G Γ+=>>0)−=ΓΓΓ=Γ==⋅+本小题满分分已知椭圆和双曲线的焦距相同且椭圆经过点求椭圆的标准方程如图椭圆的长轴两个端点为垂直于轴的直线与椭圆相交于两点在的上方记求证：为定值并求的最小值如图已知过12),,,M N A M A N Γ的动直线与椭圆相交于两点求证：直线的交点在一条定直线上运动.POMNBOOA A 2G OA A成都七中高2023届高二上期半期考试理科数学参考解答一、选择题： 1-5 BADCB 6-10 BCDCA11-12 AA二、填空题：13.⎡⎣14. 22143x y +=15. 221520x y −=16. 2213032295()()x y x y x x x +=≠−=≠−≠−≠或且且三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)302110(I).x y x y x y ++=⎧=−=−⎨−+=⎩解:联立可知：且214(,).P P ∴−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅点的坐标为分2112(II)(,)().P l y k x −−+=+设过点的直线的方程为：210.kx y k −+−=整理可得：2,d ==由点到直线距离公式可得：34:.k =−解得8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分34100;x y ∴++=所求直线方程为2,l x =−当直线的斜率不存在时即时满足条件.234100l x x y =−++=综上：所求直线的方程为或10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分18.(本小题满分12分)220(I)x y Dx Ey F ++++=解:设圆的一般方程为222143230(,),(,),(,)A B C x y Dx Ey F −++++=将代入方程2543252313,D E F D E F D E F ++=−⎧⎪++=−⎨⎪−++=−⎩可得：287,,.D E F =−=−=解得222870.M x y x y +−−+=故所求的圆的方程为：6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2222111164903243228(II):,()(),,.(,),.P x y x y x y P O r O r +−−+=−+−== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅圆将其化为标准方程为：记圆的圆心为半径为可知该圆的圆心半径分22222222287014101410:,()(),,.(,),M x y x y x y M O r O r +−−+=−+−==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅同理将圆将其化为标准方程为：记圆的圆心为半径为可知该圆的圆心半径分121022O O −<=<.M P ∴圆与圆两圆相交12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分19.(本小题满分12分)12023(I)(,),(),F y x −=+解:易知：112212(,),(,),.A x y B x y x x <设222284130333().y x x x x y ⎧=+⎪−−=⎨⎪−=⎩联立可得：1212012138x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪∴+=⎨⎪⎪=−⎪⎩4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分223.AB x ∴=−==6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分22222(II),.ABF ABF ABF C C AB AF BF ∆∆∆=++记的周长为则7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2222222222233(),BF x y y x BF =−+=−=又可知22222121,.BF x B BF x ∴=−=−点在右支故2112121,().A AF x x ∴=−=−−同理：点在左支 10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2221228()BF AF x x ∴+=−==⨯=11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2223.ABF C AB AF BF ∆∴=++=12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分20.(本小题满分12分)2222212(I),.x a b y ==∴+=易知：椭圆的标准方程为:3⋅⋅⋅⋅⋅⋅分202(),:().k k l y k x ≠=−易知存在且可设直线22222()y k x x y =−⎧⎨+=⎩联立可知：2222128820()k x k x k +−+−=22122212************,.k x x k k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=∆><⎨+⎪⎪−⋅=⎪+⎩由解得AB =7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分123,.k AB ==当时8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分O l d =坐标原点到直线的距离为：12AOBS AB d ∆∴=⨯=10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1,AOB m m S k ∆=>=令易知：02,.AOB t t S t t∆=>==≤+可知6m k ==±当且仅当即.12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分21.(本小题满分12分)2214(I)(,),.A x y =解：代点入抛物线方程易知抛物线的方程为2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1122122224():(),(,),(,),,y k x l y k x D x y E x y x x x y =−⎧=−<⎨=⎩不妨设直线设联立21212048048,x kx k x x k x x k ∆>⎧⎪−+=∴+=⎨⎪⋅=⎩可知：020,k k ∆>><由可知：或4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1214(,),l k −≠−又直线不过点故112044(,)(,)(,).k ∈+∞−∞−−综上：6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分(II)1111224AD y x k x −+==− 111111112420422(),,M x y x y y x x y x x x x +−∴−=−==+=++令可知8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 2222,N x x x =+同理：12121121222223222.M N x x x x x x x x x x x x ++∴=⨯==−++1212230x x x x ∴++=9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分12123000,,,,MNx x x k x x x =−<>∴<∴−==−又可知11分212235200035()k k k k k ∴=−==−∆><解得舍或满足且2235()l y x ∴=−−直线的方程为：12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分22.(本小题满分12分)2223(I),.c a b ∴=−=解：椭圆和双曲线的焦距相同1⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2242221142536023)+.x y P a a a a =−+=−将代入椭圆方程：可得22944(),a a ∴==或舍2214.x y +=故所求椭圆方程为：3⋅⋅⋅⋅⋅⋅分11111(II),(,),(,).D x y C x y −如图不妨设则 11122111022,,,,y yk k k k x x ==−>+−易知 22111222111414444().x y k k x x −∴⋅=−==−−6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1212121393962,,,k k k k k k ∴+≥====当且仅当即时等号成立.7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分(III)23,MN l x my −=不妨设直线:2233(,),(,).M x y N x y 222344x myx y ⎧−=⎪⎨⎪+=⎩联立可得229412320().m y my ++−=232232012943294()()my y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪−∴+=⎨+⎪⎪−=⎪+⎩8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 122122222,:().A M y y k A M y x x x ==+++可知直线 32322:().y A N y x x =−−同理可得：可知直线9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 213333211424.A N A N y x k k x y +=−=−−可知：10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分3232222124()(),x x x x y y +++=−−323232238822338()()()().my my x x y y y y ++++==−11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 2182624().x x x +∴=−⨯−==−解得12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分。

成都列五中学2016-2017学年高二(上)数学半期考试理科

成都列五中学2016—2017学年度（上）半期高2015级数学（理科）命题人：杨长利审题人：胡懋晔尹宇一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上）1.椭圆22132x y +=的长轴长为（）AB. CD.2. 命题“对任意,都有”的否定（）A.对任意,都有B.不存在,都有C.存在,使得D.存在,使得3.椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是（） A.2 B.7 C.5 D.34．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．若方程22216x y a a+=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <－2 C ．a >3或a <－2 D ．a >3或－6<a <－26. 当过点(12P ，）的直线l 被圆C ：22(2)(1)5x y -+-=截得的弦最短时，直线l 的方程为（） A ．10x y -+= B ．10x y ++= C ．10x y --=D ．10x y +-=722的图像可能是（）8.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨y ≤2，x ≤2y给定。

若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为 ( )A.3B.4C.3 2D.4 29．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝010.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3A B -，若点C 满足12016O C a O A a O B=+uu u r uu ruu u r，其中10081009{},1n a a a +=为等差数列且，则点C 的轨迹方程为（） A.32110x y +-= B.22(1)(2)5x y -+-=C.20x y -=D.250x y +-=11．如图，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 和B 是以O (O 为坐标原点)为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.3－12B.3＋14 C.32D.3－112. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是（）A .(210，＋∞) B. (-∞， 210) C. (- D. (,-∞- 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷的横线上） 13．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,5),(1,3,4)P Q ，则线段PQ 的长度为 .14．已知圆的方程224x y +=，定点(4,0)A ，点B 是圆上任意一动点，若动点M 满足AM MB =uuu r uuu r,则动点M 的轨迹方程。

理科高二年级数学上册期中考试卷

理科高二年级数学上册期中考试卷想要学习好就一定不可以偷懒哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，希望大家多多参考一下哦高二数学上期中理科联考试题第I卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若设，则一定有( )A. B. C. D.2、命题“对任意，都有”的否定为 ( ).对任意，都有 .不存在，使得.存在，使得 .存在，使得3、已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、等差数列的前项和为，且，，则公差等于 ( ).-2 . -1 . 1 . 25、原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026、钝角三角形的面积是，，，则 ( ). 1 . 2 . . 57、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9、已知满足线性约束条件则的最大值为( )A、 B、 C、 D、10、若是等差数列，首项则使前n项和成立的最大自然数是( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 01511、已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为( )A. B. C. D.12、若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+A. B. C. D.第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13、在中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若1. 则c=14、中，角A,B,C成等差数列，则。

四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理科)试题含答案

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

苏教版高中数学选修2-3高二期中考试试卷(理科)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作盐城市一中2009－2010学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷（理科）【考试时间：120分钟分值：160分】命题人：童标审题人：孙建标一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答卷纸上．．．．） 1．14C +24C .2．已知5910⨯⨯⨯= m n A ，则m n +为 . 3．方程382828x x C C -=的解集为 . 4．设随机变量X 的概率分布如下表所示，且E （X ）=2．5，则a= ． X 1 2 3 4P 14 316 a b5．将一枚硬币连掷三次，出现“2个正面，1 个反面”的概率是__________6．甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 .7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则弦长AB= .8．已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.9．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 .10．在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是. 11．某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2％，则100天以后这家公司的股票指数为（精确到0.01）.12．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为 . 13．某城市的交通道路如图，从城市的西南角A 到城市的东北角B ，不经过十字道路维修处C ，最近的走法种数有______（用数字作答）. 14．已知直线221(0)ax by a b +=+≠与圆2250x y +=有公共点且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条.二．解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答题过程写在答卷纸上．．．．） 15．（本题满分14分）在极坐标系中，设圆4=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离为d ，（1）化圆与直线极坐标方程为普通方程；（2）求d 的最大值．16．（本小题满分14分）在二项式n 33)x 21x (-的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；B A C（3）求展开式中各项的系数和．17．（本小题满分14分）在一次面试中，每位考生从4道题d c b a ,,,中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响。

高二理科数学第二学期中期考试试卷

界石铺中学期中测试高二数学（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分.1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件2、由直线1,2x x==，曲线2y x=及x轴所围图形的面积为（）A．3 B．7 C．73D．133、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x，如果()0f x'=，那么x x=是函数()f x的极值点，因为函数3()f x x=在0x=处的导数值(0)0f'=，所以，0x=是函数3()f x x=的极值点.以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确4、函数xxxf ln)(=，则（）（A）在),0(∞上递增；（B）在),0(∞上递减；（C）在)1,0(e上递增；（D）在)1,0(e上递减5、已知函数32()(6)1f x x ax a x=++++有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）（A）-1<a<2 (B) -3<a<6 （C）a<-3或a>6 (D) a<-1或a>26、函数2sin(2)y x x=+导数是（）A.2cos(2)x x+ B.22sin(2)x x x+ C.2(41)cos(2)x x x++ D.24cos(2)x x+7、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是（）(A)111<+ba(B)111≥+ba(C)211<+ba(D)211≥+ba8、函数59323+--=xxxy的极值情况是（）（A）在1-=x处取得极大值，但没有最小值(B)在3=x处取得极小值，但没有最大值（C）在1-=x处取得极大值，在3=x处取得极小值(D)既无极大值也无极小值9、'()f x是()f x的导函数，'()f x的图象如右图所示，则()f x的图象只可能是（A）（B）（C）（D）10、函数2()2lnf x x x=-的递增区间是( )A.1(0,)2B.11(,0)(,)22-+∞及 C.1(,)2+∞ D.11(,)(0,)22-∞-及考场：考号：班级：姓名：11、函数sin y x =的图象上一点3(,)32π处的切线的斜率为（） A ．1 B ．32 C ． 22 D ．1212、若000(2)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（）A ．2B ．－2C ． 12D ．12-一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。

2021-2022年高二下学期期中考试数学(理科)试卷含答案

2021年高二下学期期中考试数学（理科）试卷含答案程远见丁勇数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是 A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，至多有两个是偶数3. 已知积分，则实数A ．2B ．C ．1D ．4. 已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D.5. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 A.18B.24C. 36D. 726．某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立.现已知当时，该命题成立，那么，可推得A. 时，该命题成立B. 时，该命题成立C.时，该命题不成立D.时，该命题不成立 7．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A 、 B 、 C 、 D 、8. 记为函数的阶导函数，即.若且集合()*{|()sin ,,2013}m M m f x x m N m ==∈≤，则集合中元素的个数为（A ）（B ）（C ）（D ）9. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A ．1860B ．1140C ．1320D ．102010. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是. B. C. .11. 已知函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为A ．B ．C ．D ．12.设函数=,其中a 1，若存在两个整数x 1,x 2，使得f(x 1),f(x 2)都小于0，则的取值范围是(A) (B)[-，） (C) (D) [，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13、设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为 ▲14.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第行第3个数字是 ▲ ．（用含的式子作答）15.如图，用五种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不ABCDE F同的涂色方法共 ▲_ 种。

2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二(下)期中数学试卷(理科)

2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）22.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 564.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17D.305.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-816.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.78.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.409.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.8410.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n+n，n∈N*B.a n=a n-1+n，n∈N*，n≥2C.a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2D.a n=a n-1+（n-1），n∈N*，n≥211.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，面的钉子，碰到钉子后皆以12直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为（）A. 1128B. 7128C. 21128D. 3512812.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等2式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.413.（填空题，5分）若复数z=1-2i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，则p+q=___ ．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ．17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3．（1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ．（1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）．（Ⅰ）求证数列 {1T n } 是等差数列；（Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）2【正确答案】：D【解析】：利用求导公式表，结合复合函数求导法则，逐个判断各个选项的正误即可．【解答】：解：对于A，（2x+cosx）'=2x ln2-sinx，故A正确，对于B，（x3lnx）'=3x2lnx+ x3•1x=3x2lnx+x2，故B正确，对于C，（2sinxx2）'= 2x2cosx−2sinx•2xx4= 2xcosx−4sinxx3，故C正确，对于D，[（3x+5）3]'=3（3x+5）2•3=9（3x+5）2，故D错误，故选：D．【点评】：本题主要考查了导数的运算，属于基础题．2.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：B【解析】：先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（1+3i）z=1-i，∴ z=1−i1+3i =(1−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)= −15−25i，∴ z=−15+25i，∴ z所对应的点（−15，25）位于复平面的第二象限．故选：B．【点评】：本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 56【正确答案】：D【解析】：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．【解答】：解：∵P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），∴ a 2 + a6+ a12+ a20=1，∴a= 54，∵P（12＜X＜52）=P（X=1）+P（X=2）= 54× 12+ 54× 16= 56．故选：D．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分．4.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17【正确答案】：A【解析】：由题意直接求得f′（6），再由点（6，f（6））在切线y=-2x+3上求解f（6），则答案可求．【解答】：解：∵曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，∴f′（6）=-2，又点（6，f（6））在切线y=-2x+3上，∴f（6）=-2×6+3=-9．∴f（6）+f′（6）=-9-2=-11．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．5.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-81【正确答案】：A【解析】：根据题意，在（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，即可得答案．【解答】：解：根据题意，（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，则有a0-a1+a2-a3+a4=1故选：A．【点评】：本题考查二项式定理的应用，注意特殊值法的使用，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种D.48种【正确答案】：C【解析】：根据题意，先安排“数“，然后捆绑“射”和“御”内部全排，看成一个元素和剩下的三个元素全排可求解．【解答】：解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有A 22 =2种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A 33 =6种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3×2×6=36种不同的排法．故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7【正确答案】：B【解析】：根据题意，由正态分布曲线的特点分析μ的值，即可得P（ξ＜5）=0.5，然后求出P（2≤ξ＜5）的值．【解答】：解：根据题意，正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则μ=5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x=5，则P（ξ＜5）=0.5，又由P（ξ＜2）=0.15，得P（2≤ξ＜5）=0.5-0.15=0.35．故选：B．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，涉及正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.40【正确答案】：B【解析】：根据二项式定理展开式，即可解出．【解答】：解：令x=1得，（1+a）5=32，解得a=1，）5展开式中的x4的系数，即（x 2+1x∴ C52(x2)3(x−1)2 =10x4，故选：B．【点评】：本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.84【正确答案】：C【解析】：分别在甲、乙有且仅有1人入选和甲、乙2人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果．【解答】：解：甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有：C21C82=56种；甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有：C81=8种；∴甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有56+8=64种．故选：C．【点评】：本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于基础题．10.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n +n ，n∈N *B.a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2C.a n+1=a n +（n+1），n∈N *，n≥2D.a n =a n-1+（n-1），n∈N *，n≥2 【正确答案】：B【解析】：根据题意，结合等差数列的求和公式算出a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2，由此再对各个选项加以判断．【解答】：解：根据题意，可得a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，… 发现规律：a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2，而a n+1-a n =(n+1)(n+2)2-n (n+1)2 = n+12[（n+2）-n]=n+1 故a n+1=a n +n+1成立，即a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2，故选：B ．【点评】：本题给出图形的特殊排列，叫我们依此判断命题的真假．着重考查了等差数列的通项与求和公式、数列递推式的推导等知识，属于中档题．11.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以 12 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第 ③ 个格子的概率为（）A. 1128B. 7128C. 21128D. 35128【正确答案】：C【解析】：其落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，由此能求出其落在第③ 个格子的概率．【解答】：解：从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，∴从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为：P= C72(12)2(12)5= 21128．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−a2x2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：原不等式变形可得f（x1+x2）+（x1+x2）＞f（x1-x2）+（x1-x2），令g（x）=f（x）+x，则问题转化为对任意x1∈R，x2∈（0，+∞），有g（x）在R上单调递增，然后对函数g（x ）求导，可得g′（1）≥0，求得a=3，再验证即可．【解答】：解：∵f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞-2x 2，又-2x 2=（x 1-x 2）-（x 1+x 2），∴f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞（x 1-x 2）-（x 1+x 2），即f （x 1+x 2）+（x 1+x 2）＞f （x 1-x 2）+（x 1-x 2），令g （x ）=f （x ）+x ，则g （x 1+x 2）＞g （x 1-x 2），∴对任意x 1∈R ，x 2∈（0，+∞），有g （x ）在R 上单调递增， ∵ g (x )=(x −1)e x −a2x 2+x ， ∴g′（x ）=xe x -ax+1≥0在R 上恒成立，又g′（1）=e-a+1≥0，则a≤e+1＜4，下证a=3时符合题意，此时g′（x ）=xe x -3x+1，易知当x≤0时，g′（x ）=xe x -3x+1≥xe x +1，考查函数y=xe x ，y′=（x+1）e x ，易知函数y=xe x 在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，∴ (xe x )min =−1e ，故 g′(x )≥1−1e ＞0 ；当x ＞0时，g′（x ）=xe x -3x+1＞x （x+1）-3x+1=x 2-2x+1=（x-1）2≥0； ∴符合条件的最大整数为3．故选：C ．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查转化思想，函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.（填空题，5分）若复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，则p+q=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知条件可得， z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，再结合韦达定理，即可求解．【解答】：解：∵复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，∴ z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根， ∴ {1+2i +1−2i =−p (1+2i )(1−2i )=q ，解得 {p =−2q =5 ， ∴p+q=-2+5=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查共轭复数的概念，以及韦达定理，属于基础题．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ．【正确答案】：[1] 717【解析】：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，再利用条件概率的概率公式即可求出结果．【解答】：解：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 3510085100=3585 = 717 ，故答案为： 717 ．【点评】：本题主要考查了条件概率，是中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x ）=e x -x-k 有两个不同根，利用参数分离法进行转化求解即可．【解答】：解：函数f （x ）=e x - 12x 2-kx-1有两个极值点， ∴f′（x ）=e x -x-k=0有两个不同根， ∴k=e x -x ，设g （x ）=e x -x ，∴g′（x ）=e x -1，令g′（x ）=0，解得x=0，当x ＜0时，g′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞0时，g′（x ）＞0，函数单调递增， ∴g （x ）min =g （0）=1，当x→-∞时，g （x ）→+∞，当x→+∞时，g （x ）→+∞， ∴k ＞1，故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：由向量线性运算化简已知等式得到 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，由向量数量积定义可求得|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， cos∠F 1F 2M =12 ，可知△AF 1F 2为等边三角形；利用椭圆定义可得4c=2a ，进而可得椭圆离心率．【解答】：解：设AF 2与直线l 交点为M ，则M 为AF 2中点，AF 2⊥F 1M ；∵ (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，∴ |F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1F 2A =|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||F 1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2c 2 ，∴ |F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ， |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴ cos∠F 1F 2M =c 2c =12 ，则 ∠F 1F 2M =π3 ，又 |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴△AF 1F 2为等边三角形，则 |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，由椭圆定义知： |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4c =2a ， ∴椭圆离心率 e =ca =12 ．故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题． 17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3．（1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）利用补形法和体积差减去三棱锥B-FHG 的体积即可；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BFG 与平面ADEF 的法向量 m ⃗⃗ =(1，−1，23)，n ⃗ =(1，0，0) ，求出 〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉 ，并结合立体图形判定二面角为锐角，从而进一步求出二面角余弦值即可．【解答】：解：（1）∵AF⊥AD ，∴AF⊥平面ABCD ，同理ED ，GC 均与平面ABCD 垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体ABCD-FHGE ，此长方体体积为2×2×3=12，三棱锥B-FHG 的体积为 13×2×3=2 ，故此多面体的体积为10；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），F （0，0，3），G （2，2，3）， ∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，3)，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2，0) ，设平面BFG 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) ，则 {−2x +3z =02x +2y =0 ，令x=1得 m ⃗⃗ =(1，−1，23) ，又ABCD 为正方形，∴AB⊥AD ，故AB⊥平面ADEF ， ∴ n ⃗ =(1，0，0) 为平面ADEF 的一个法向量， cos〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉=1√1+1+49⋅1=3√2222，故平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为3√2222．【点评】：本题考查了几何体体积的计算，向量法解决二面角的平面角问题，属于中档题． 18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ．（1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求cosC ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】：解：（1）因为 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ，所以1-sin 2C-1+sin 2A= √3 sinAsinB-sin 2B ，由正弦定理得，a 2+b 2-c 2= √3ab ，故cosC= a 2+b 2−c 22ab = √32，由C 为三角形内角得C= π6；（2）由正弦定理得2R= csinC =2，因为 {0＜A ＜π20＜5π6−A ＜π2 ，所以 π3＜A ＜π2 ，所以 5π6＜2A +π6＜7π6 ，所以 −12＜ sin （2A+ π6 ）＜12 ，所以a=2sinA ，b=2sinB ，所以b 2-a 2=4（sin 2B-sin 2A ）=4（1−cos2B2−1−cos2A2 ）=2（cos2A-cos2B ）=2cos2A-2cos （ 5π3−2A ）=cos2A+ √3 sin2A=2sin （2A+ π6 ）∈（-1，1）．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）．（Ⅰ）求证数列 {1T n} 是等差数列；（Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T 1，然后利用已知变形可得： T n =2−2Tn T n−1 ⇒T n •T n-1=2T n-1-2T n （n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求1T n，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】：解：（Ⅰ）∵T n=2-2a n∴T1=2-2T1∴ T1=23∴ 1 T1=32（1分）由题意可得：T n=2−2T nT n−1 ⇒ T n•T n-1=2T n-1-2T n（n≥2），所以1T n −1T n−1=12（6分）∴数列{1T n }是以12为公差，以32为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列{1T n}为等差数列，∴ 1 T n =n+22，∴ a n=n+1n+2，（8分）∴ b n=1(n+2)(n+3)（10分），∴ S n=13×4+14×5+⋯+1(n+2)×(n+3)= (13−14)+(14−15)+⋯+(1n+2−1n+3) = 13−1n+3=n3n+9（12分）【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）记事件A i：“甲在第 i 局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A‾i：“甲在第i 局比赛中末胜”．（i=1，2，3），记事件A：“甲夺得冠军”，分析事件A包含的情况，直接求概率；（2）X的可能取值：3，4，5．分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．【解答】：解：记事件A i=“甲在第i局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A i=“甲在第i局比赛中未胜”．（i=1，2，3）显然P(A i)=35，P(A i)=1−P(A i)=25，（i=1，2，3）．（1）记事件A=“甲夺得冠军”，则P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=(35)2+35×25×35+25×(35)2=81125．（2）设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知Y=2或Y=3．则P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=(35)2+(25)2=1325，故P(Y=3)=1−P(Y−2)=1225．记N1=“第i局比赛后抽到新球”，N i=“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时P（N1）= 56，P(N1)=16，若N1发生，则比赛2局后，盒内有 4 颗新球，2颗旧球，此时P(N1N2)=56×46=59，P(N1N2)=56×26=518．若N1，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即P(N1N2)=16×1=16．于是P(X=3)=P(Y=3)P(N1N2)=1225×59=415，P(X=4)=P(Y=2)P(N1)+P(Y=3)P(N1N1)+P(Y=3)P(N1N2)=1325×56+1225×518+12 25×16=97150．P(X=5)=P(Y=2)P(N1)=1325×16=13150．故X的分布列为：故X的数学期望EX=3×40150+4×97150+5×13150=19150．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据所给条件，得D点的参数方程，消去参数即可；（2）作图，联立方程，分别求出OP，OQ，OM，ON的长度即可求解．【解答】：解：（1）设动圆的圆心为（a，0），因为经过（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，则a＞-2，半径为a+4，圆的方程为（x-a）2+y2=（a+4）2，与x轴的另一个交点为B（2a+4，0），与y轴的交点为C（0，y），即x=2a+4，y2=8a+16，∴y2=4x，即Γ 的方程为y2=4x；（2）由（1）作下图：设过F 点的直线方程为x=my+1，显然m 是存在的，联立方程： {y 2=4x x =my +1，得y 2-4my-4=0， ∴y 1+y 2=4m… ① ，y 1y 2=-4… ② ，设P （t 2，2t ），Q （s 2，2s ），代入 ① ② 得ts=-1，t+s=2m … ③则直线OP 的方程为y= 2t x ，直线OQ 的方程为y= 2s x ，联立方程： {(x −1)2+y 2=1y =2t x，解得M （ 2t 2t 2+4 ， 4t t 2+4 ），同理N （ 2s 2s 2+4 ， 4s s 2+4 ）， ∴|OM|= √(2t 2t 2+4)2+(4t t 2+4)2 = √4t 2t 2+4 = √t 2+4同理可得：|ON|= √s 2+4∴|OP|= √(t 2)2+(2t )2 =2|t| √t 2+4 ，|OQ|=2|s| √s 2+4 ，∴ S △OMN S △OPQ = |OM|•|ON||OP|•|OQ| = 4(t 2+4)(s 2+4) = 4(ts )2+4(t 2+s 2)+16 ④ ，由 ③ 得t 2+s 2=（t+s ）2-2ts=4m 2+2，代入 ④ 得：S △OMN S △OPQ = 416m 2+25，显然当m=0时最大，最大值为 425 ．【点评】：本题考查了抛物线方程及直线与抛物线的综合问题、也考查了学生的计算能力，关键在于先作图，设点P，Q的坐标，求出M，N点的坐标，由于△OMN与△OPQ 顶角∠MON 相同，只要计算边长乘积之比即可，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出g（x）的导数，根据函数g（x）有两个极值点x1，x2，分离参数m，将问题转化为m≤（1-x1）- 11−x1 +2x1lnx1恒成立，令h（t）=1-t- 11−t+2tlnt（0＜t＜12），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的取值范围即可．【解答】：解：（1）a=1时，f（x）=lnx+ 1x，定义域是（0，+∞），∴f′（x）= 1x - 1x2= x−1x2，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故当x=1时函数有极小值f（1）=1，无极大值；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）= 1x - ax2= x−ax2，① a≤0时，x-a＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，② a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a ＞0时，f （x ）在（0，a ）递减，在（a ，+∞）递增；（3）g （x ）=af （x ）+x 2-2x- a 2x=alnx+x 2-2x ，定义域是（0，+∞），g （x ）有2个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），即g′（x ）= a x +2x-2= 2x 2−2x+a x =0，则2x 2-2x+a=0有2个不相等实根x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），∴Δ=4-8a ＞0，a ＞0，解得：0＜a ＜ 12 ，且x 1+x 2=1，a=2x 1-2 x 12从而0＜x 1＜ 12 ＜x 2＜1，由不等式g （x 1）≥mx 2恒成立，得m≤ g(x 1)x 2= x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)lnx 11−x 1 =（1-x 1）- 11−x 1 +2x 1lnx 1恒成立，令h （t ）=1-t- 11−t +2tlnt （0＜t ＜ 12 ），当0＜t ＜ 12 时，h′（t ）=1- 1(1−t )2 +2lnt ＜0恒成立，故函数h （t ）在（0， 12 ）上单调递减，∴h （t ）＞h （ 12 ）=- 32 -ln2，故实数m 的取值范围是（-∞，- 32 -ln2]．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。