抛物线(导学案)

§2.4.1抛物线及其标准方程
P67，文P56~ P59找出疑惑之处）
64
复习1：函数2
=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴
261
y x x
是．
复习2：点M与定点(2,0)
x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹F的距离和它到定直线8
是什么图形？
二、新课导学
※学习探究
探究1：若一个动点(,)
p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？
新知1：抛物线
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．
新知2：抛物线的标准方程
定点F到定直线l的距离为p（0
p>）．
建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
抛物线220
=的焦点坐标是（），准线方程是；
y x
抛物线212x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．
※ 典型例题
例1 （1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是14x =-；
⑶焦点到准线的距离是2．
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
※ 动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是(5,0 )F -；
(2)焦点在直线240x y --=上．
练2 ．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点距离是a ()2
p a >，则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 ．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
※ 知识拓展
焦半径公式：
设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．
若00(,)M x y 在抛物线22y px =上，则02
p MF x =+
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）．
A ．开口向上，焦点为(0,1)
B ．开口向上，焦点为1
(0,)16
C ．开口向右，焦点为(1,0)
D ．开口向右，焦点为1(0,)16
2．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =-
C ．2y =
D ．2y =-
3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）． A.
52 B. 5 C. 152
D. 10 4．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ． 5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．
1．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．
2．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）
1．掌握抛物线的几何性质；
68 P 70，文P 60~ P 61找出疑惑之处）
复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．
复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
试试：画出抛物线28y x =的图形，
顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、对称轴 、 离心率 ．
※ 典型例题
例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的
标准方程．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．
变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试
练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-；
⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；
⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．
※ 知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为2p ．
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
A ．21
2
y x = B ．2y x =
C ．22y x =
D ．24y x = 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．
A ．220y x =
B ．220x y =
C ．2120y x =
D ．2120
x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．
5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；
⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．
2 M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠=，求FA ．
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
70 P 72，文P 61~ P 63找出疑惑之处） 复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点(2,3)P -的抛物线的方程为（ ）．
A ．294y x = B. 294y x =-或24
3
x y =- C. 243x y = D. 292y x =-或243
x y = 复习2：已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2211612
x y +=的左焦点，则p = ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：抛物线22(0)y px p =>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则： ① 这点到准线的距离为 ；
② 焦点到准线的距离为 ；
③ 抛物线方程 ；
④ 这点的坐标是 ；
⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．
※ 典型例题
例1过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．
例2已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ； ②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※ 动手试试
练1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥．
2．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =AB 的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．抛物线与直线的关系．
※ 知识拓展
过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，则11MF NF
+为定值，其值为2p ． ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）． A.
2
p B. p C. 2p D. 无法确定 2．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）． A. 52 B. 5 C. 152
D. 10 3．过点(0,1)且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ）． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．0条
4．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______．
5．抛物线上一点(-到焦点(,0)F x 的距离是6，则抛物线的标准方程
1．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点，PQ 求抛物线的方程．
2． 从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．。