圆的方程
高中数学圆及其方程
圆及其方程一、公式及相关内容(1)圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= (圆心及半径)(2)圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++= (无xy 项,22,x y 系数相等且不为零)(3)圆的参数方程:cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上述方程中均有三个字母系数,因此确定一个圆需要三个独立的条件。
(4)过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± (掌握推导方法)(5)经过两圆:221110x y D x E y F ++++=,222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时,得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=(6)判断点与圆的位置关系:取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果 (7)直线与圆的位置关系:一:圆心到直线的距离与圆半径比较二:直线与圆方程组成的方程组的解的个数:∆法(8)圆与圆位置关系:圆心距d 与两圆半径,R r 的比较:d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩(9)公切线求法:通过比例求得公切线与连心线的交 点A 的坐标,用点斜式设公切线的 方程,然后求得斜率k ,得到公切 线方程。
外离 外切 相交 内切 内含二 求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -,且圆心在y 轴上的圆的方程。
(标准方程法,垂径弦性质)2.(1)已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点,若圆心在直线230x y --=上,求圆的方程; (2)求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。
圆的方程
1圆的方程1. 标准方程:)0()()(222>=-+-r r b y a x 圆心),(b a C ,半径r 。
当0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为:222r y x =+.2. 一般方程:022=++++F Ey Dx y x ,(0422>-+F E D )圆心为点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,半径r =例1. 圆心在原点,等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7)M 2(-5,-1)是否在这个圆上。
例2. 满足下列各条件圆的方程:()1以)9,4(A ,)3,6(B 为直径的圆;(2) 圆心在原点,半径是3; (3) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);(4) 过)2,5(A ,)2,3(-B 两点,圆心在直线32=-y x 上的圆的方程;例3. 过三点O (0,0),M 1(1,1),M 2(4,2)的圆方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
21. 以两点()3,1A --和()5,5B 为直径端点的圆的方程是.A 100)2()1(22=++-y x .B 100)2()1(22=-+-y x.C 25)2()1(22=-+-y x .D 25)2()1(22=+++y x2. 圆5)2(22=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程为.A ()2225x y -+= .B ()2225x y +-=.C 5)2()2(22=+++y x .D 5)2(22=++y x3 . 已知圆222440x y x y ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称,则b = 4. 圆22220x y x y +-+=的周长是 ( )A.B .2πCD .4π5 . 已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a = 6. 已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则a 等于( )A .2B .1C .0D .1-3. 直线与圆的位置关系4. 直线截圆所得弦长:AB =r 为半径,d 直线到圆心的距离).5. 圆与圆的位置关系:例3. 直线l :3x +y -6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y -4=0,判断直线l 与圆的位置关系,如果相交,求它们交点坐标3例4. M (-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y -21=0所截得的弦长为45,b直线l 的方程。
高中数学圆的标准方程
圆的方程1.以C (a ,b )为圆心,r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2. 2.以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为x 2+y 2=r 2. 3.圆的一般方程的概念当D 2+E 2-4F >0时,二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0叫做圆的一般方程.4.圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫-D2,-E 2,半径长为12D 2+E 2-4F .5.对方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的说明6、直线与圆的位置关系的判定例题讲解1、已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外2、已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=523、以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是()A.(x+5)2+(y-4)2=25B.(x-5)2+(y+4)2=16C.(x+5)2+(y-4)2=16D.(x-5)2+(y+4)2=25巩固练习1、求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.2、求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3,-2)的圆的标准方程.3、若P(x,y)是圆C(x-3)2+y2=4上任意一点,请求出P(x,y)到直线x-y +1=0的距离的最大值和最小值.4、已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|P A|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.图4-1-15、直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心6、已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在7、已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y +3=0相切,则圆C的方程为____________________.8、过点P(-1,2)且与圆C:x2+y2=5相切的直线方程是________.课后练习1、圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)2、已知方程x 2+y 2-2x +2k +3=0表示圆,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)B .(3,+∞)C .(-∞,-1)∪(3,+∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,+∞ 3、若方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F =________.4、设A 为圆(x -1)2+y 2=1上的动点,P A 是圆的切线且|P A |=1,则P 点的轨迹方程是__________.5、求经过三点A (1,-1),B (1,4),C (4,-2)的圆的一般方程.6、过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的弦长为2,求直线l 的方程.7、 已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M 的轨迹方程吗?8、 已知直角△ABC 的斜边为AB ,且A (-1,0),B (3,0),请求出直角顶点C 的轨迹方程.9、已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,-2),且圆心C 在直线l :x -y+1=0上.(1)求圆C 的方程;(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0),端点Q 在圆C 上运动,求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.。
圆的一般方程表达式
圆的表达式是:(x-a)²+(y-b)²=R²。
圆的一般方程:x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)。
圆半径的长度定出圆周的大小,圆心的位置确定圆在平面上的位置。
1、已知:圆半径长R;中心A的坐标(a,b),则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定了。
根据图形的几何尺寸与坐标的可以得出圆的标准方程。
结论如下:(x-a)²+(y-b)²=R²当圆的中心A 与原点重合时,即原点为中心时,即a=b=0,圆的方程为:x²+y²=R²
2、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中,有三个参数a、b、r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。
3、圆的相关信息:由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x²+y²+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程。
圆的方程
解:已知圆心C是(1,3),那么只要再求出圆的半径r, 就能写出圆的方程. 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆 心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式, 得: | 3 1 4 3 7 |
r
3 (4)
2
2
16 5
因此,所求的圆的方程是:(x-1)2+(y-3)2=.
256 25
例4
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程.
y
P
M
分析(一):设切线斜率为k,OM 斜率为k1,则:
x0 1 k 即k k1 y0
所以切线方程为: x0x+y0y=r2 分析(二):设P为切线上任意一 点,则OM⊥MP,所以: OM MP 0 (x0,y0)· (x-x0,y-y0)=0 所以切线方程为:x0x+y0y=r2.
O
x
例5 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 m需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m).
P2 y P x A O
A
1
A
2
A
3
A
4
B
P2
y
பைடு நூலகம்
P
x O A
3
A
A
1
A
2
A
4
B
例6
已知圆心在x轴上,且距原点距离3 个单位,半径为5的圆的方程.
2
(x-a)2+(y-b)2=r2
(1)方程中参数a、b、r的意义是什么?
(2)当圆心在原点时圆的方程的形式是什么?
圆方程的各种形式
圆方程的各种形式圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的几何图形。
圆方程描述了圆的性质和特征。
在本文中,我们将讨论圆方程的各种形式。
1.标准方程:圆的标准方程是最基本的形式,它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
如果圆的圆心是(h,k),半径为r,则圆的标准方程为:(x-h)²+(y-k)²=r²其中(x,y)是圆上的任意一点。
2.一般方程:圆的一般方程是另一种形式,它可以将圆的方程转换为一个二次方程。
一般方程的一般形式为:Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0其中A、D、E和F是常数。
要将标准方程转换为一般方程,你可以进行平方展开并将所有项相加。
3.参数方程:圆的参数方程使用参数t来表示圆上的点。
该方程的一般形式为:x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中(h,k)是圆心的坐标,r是半径。
参数t的范围通常是[0,2π]。
4.极坐标方程:圆的极坐标方程使用极坐标来描述圆。
该方程的一般形式为:r = a + b * cos(θ)其中a和b是常数,θ是角度。
通常情况下,θ的范围是[0,2π]。
5.中心半径形式:中心半径形式是另一种表达圆的方式。
它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
该形式的一般形式为:(h,k)±r其中(h,k)是圆心的坐标,±表示圆的内外部,r是半径。
该形式更加简洁,适用于描述圆的位置关系。
6.过三点圆方程:如果给出了圆上的三个点的坐标,我们可以使用过三点圆方程来定义圆。
给定三个不共线的点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3),过三点圆方程的一般形式为:(x-a)²+(y-b)²=r²其中a和b是圆心的坐标,r是半径。
7.方程组形式:方程组形式是将两个方程组合在一起来描述圆的方式。
一般形式为:f(x,y)=0g(x,y)=0其中f(x,y)和g(x,y)分别表示两个方程。
圆的方程
5.弦长与切线方程,切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法:弦心距d,圆半径r, 2 弦长l,则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程: 若点 P( x0,y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上,则过点P的切线 方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0,y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上,则过 点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y=k(x-2)+4有两个相异
交点时,实数k的取值范围是(
5 A. 0, 12 1 3 B. 3, 4
)
5 3 C. , 12 4
5 D. , 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过两圆
2 2 2 2 C1 :x y 4 x 3 0 和 C2 : x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程. 思路分析:求经过两圆交点的圆,可利用圆系方程求解. 解:设所求圆的方程为
解得a=2或a=4. 所求直线l的方程为x+2y-3=0或x+4y-3=0 说明:本题巧用根与系数的关系,列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程,另外,在设方程时,设过(3,0)的的直线方程
x+ay-3=0可避免讨论。
例4 求过P(5,-3),Q(0,6)两点,且圆心在直线2x-3y-6=0 上的圆的方程. 思路分析:可依据不同的条件,选择恰当的形式,但是要注意 圆的有关几何性质的运用.
思路分析:可以先求出两圆交点坐标,利用两点间的距离 求之;亦可利用几何法求.
圆的方程
圆的方程
定义回顾
圆:平面内到定点的距 离等于定长的点的轨迹 半径: 半径:定长 圆心: 圆心:定点
圆的方程
一、圆的标准方程
圆C可表示为集合 可表示为集合
y M C r
P = M MC = r
(
)
点坐标为任意( 设C点坐标为任意(x,y) 点坐标为任意 x,y)
O
x
则由两点间距离公式, 则由两点间距离公式,得M
2 2 2 2 2
得到圆的一般方程
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
圆的方程
二、圆的一般方程
对于方程
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
1 2 2 D E D +E −4F的圆C − ,− ,r为 >0时,方程表示O为 的圆C 时 方程表示O 2 2 2
(x − a ) + ( y − b )
2
2
=r
圆的方程
一、圆的标准a ) + ( y − b )
2
2
=r
2
O
x
圆心为
半径为r
C(a,b)
圆的方程
二、圆的一般方程
将标准方程展开
(x − a ) + ( y − b )
2
2
=r
2
x + y − 2ax − 2by + a + b − r = 0
y = b + r sin θ
圆的方程
小结: 小结:圆的三种表达式 一、标准式 二、一般式
(x − a ) + ( y − b )
圆的表示方程的公式
圆的表示方程的公式以圆的表示方程的公式为标题,我们来探讨一下圆的相关知识。
圆是几何学中非常重要的一个概念,它是由平面上到一个定点的距离等于常数的点构成的集合。
在数学中,我们可以用方程来表示一个圆。
我们来看一下标准的圆的表示方程。
设圆心坐标为(h,k),半径为r,则圆的方程可以表示为:(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程的含义是,平面上的任意一点(x,y)到圆心(h,k)的距离的平方等于半径r的平方。
也就是说,对于圆上的任意一点,到圆心的距离等于半径的长度。
接下来,我们来看一些特殊情况下的圆的方程。
1. 当圆心在原点(0,0)时,圆的方程可以简化为:x² + y² = r²这个方程表示以原点为圆心的圆,半径为r。
2. 当圆心在x轴上时,圆的方程可以表示为:(y - k)² = r² - (x - h)²其中,k为圆心在x轴上的纵坐标,h为圆心的横坐标。
3. 当圆心在y轴上时,圆的方程可以表示为:(x - h)² = r² - (y - k)²其中,h为圆心在y轴上的横坐标,k为圆心的纵坐标。
4. 当圆心在其他位置时,圆的方程可以表示为:(x - h)² + (y - k)² = r²其中,h为圆心的横坐标,k为圆心的纵坐标。
除了上述的标准方程外,我们还可以通过其他方式来表示圆。
例如,可以通过圆心和一个点来确定一个圆。
假设圆心坐标为(h,k),圆上一点的坐标为(x₁,y₁),则圆的方程可以表示为:(x - h)² + (y - k)² = (x₁ - h)² + (y₁ - k)²这个方程的含义是,平面上的任意一点(x,y)到圆心(h,k)的距离的平方等于圆上一点(x₁,y₁)到圆心的距离的平方。
圆的方程知识点
圆的方程知识点圆的方程是描述平面上所有与给定点P到定点O的距离相等的点Q的集合。
形式上,圆的方程可以用如下的标准形式表示:(x-a)² + (y-b)² = r²,其中O的坐标为(a,b),r表示半径。
圆的方程是二次方程,由于方程中只有x²和y²,并且它们的系数都是1,所以可以推断出圆的方程是圆心位于坐标原点的情况下的最简单形式。
在(x-a)² + (y-b)² = r²的形式中,如果O点的坐标为(0, 0),那么方程化简为x² + y² = r²,这就是圆心位于坐标原点的标准形式。
圆的方程的几何意义是描述所有与圆心到确定点的距离相等的点的集合。
对于方程(x-a)² + (y-b)² = r²,平面上每一个点Q的坐标(x, y)都满足这个方程。
因此,(x-a)² + (y-b)² = r²可以理解为点P到点Q的距离等于圆的半径r。
通过圆的方程,还可以得到圆的一些几何性质。
例如,圆的半径就是到圆心O的距离。
圆的直径是半径的两倍,即2r。
圆的弧长是圆周上任意两点的连线所对应的圆心角所对应的弧长。
圆的面积可以用公式πr²计算,其中π是一个数学常数,约等于3.14159。
圆的方程还可以经过合并项得到不同的形式。
例如,通过展开(x-a)² + (y-b)² = r²得到x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²,可以进一步整理为(x² + y²) - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
这就是圆的一般方程的形式,在一般情况下,圆心不在坐标原点,可以用该方程表示。
圆的一般方程圆心和半径公式
圆的一般方程圆心和半径公式圆的特点:1、圆有无数条半径和无数条直径,且同圆内圆的半径长度永远相同。
2、圆是轴对称、中心对称图形。
3、对称轴是直径所在的直线。
4、是一条光滑且封闭的曲线,圆上每一点到圆心的距离都是相等,到圆心的距离为R地点都在圆上。
一:求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算:1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上.2、圆心在任一弦的中垂线上.3、两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.圆的一般方程是x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0),其中圆心坐标是(-D/2,-E/2),半径【根号(D+E-4F)】/2。
圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程:方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有:(1)、当D^2+E^2-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以(√D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;(2)、当D^2+E^2-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2);(3)、当D^2+E^2-4F<0时,方程不表示任何图形。
半径公式:直径是指通过一平面或立体图形中心到边上两点间的距离,通常用字母“d”表示,连接圆周上两点并通过圆心的直线称圆直径,连接球面上两点并通过球心的直线称球直径。
而半径就是直径的一半,所以半径=直径0.5。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+.2、点与圆的位置关系:已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0:x-a y b r r +-=>,(1)点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->; (2)点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<; (3)点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时,方程无图形(称虚圆).注:(1)方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程:已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点,则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说,圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),在解决有些问题时,合理的选择圆方程的表达形式,能给解决问题带来方便,本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点(x ,y )在圆221x y +=上,求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的方程公式大全总结
圆方程公式总结
1.圆的定义:在一个平面内,一动点以一定点为中心,以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数条对称轴。
在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
2.圆的标准方程:(x-a)²+(y-b)²=r²((a,b)表示圆心的坐标,r 表示圆的半径)
3.圆的周长:C=2πr (r表示圆的半径)
C=πd (d表示圆的直径)
4.圆的面积:S=πr2(r表示圆的半径)
5. 扇形面积:S=nπ r²/360 (n表示圆心角,r表示扇形半径)
S=lr/2 (l为扇形的弧长,r表示扇形半径)
6.圆锥侧面积:S=πr²+πrl (r为圆锥的母线)
7.圆锥的体积:V=πr2h(r为圆锥地面半径,h为圆锥高)。
有关于圆的方程的知识点
有关于圆的方程的知识点
圆的方程是数学中最基本的概念之一,它是用来描述圆形的一种数学
表达式。
圆的方程可以用来描述圆的位置、大小和形状。
圆的方程通常用标准形式来表示,即:(x-a)²+(y-b)²=r²,其中a和b是
圆心的坐标,r是圆的半径。
这个方程表明,任何点到圆心的距离都等于半径,因此,任何点都在圆上。
另外,圆的方程还可以用另一种形式来表示,即:x²+y²+2gx+2fy+c=0,其中g和f是圆心的坐标,c是圆的半径的平方。
这个方程表明,任何
点到圆心的距离的平方都等于半径的平方,因此,任何点都在圆上。
此外,圆的方程还可以用极坐标形式来表示,即:r=a+bcosθ,其中a
和b是圆的半径,θ是点到圆心的角度。
这个方程表明,任何点到圆心的距离都等于半径,因此,任何点都在圆上。
总之,圆的方程是一种用来描述圆形的数学表达式,它可以用标准形式、另一种形式和极坐标形式来表示,它们都表明,任何点到圆心的
距离都等于半径,因此,任何点都在圆上。
圆的方程
例3: 例2.已知方程x2 +y 2 -2(t+3)x+2(1-4t 2 )y+16t 4 +9=0,求
(1)方程中的t为何值时,方程表示圆;(2)方程表示 圆时,t为何值时圆的面积最大?
l3 : x y 8 0
2、根据下列条件,求圆的方程: (1).经过点A(2,-3)和点B(-2,-5),圆心在直线x-2y-3=0上; (2).圆心在直线5x=3y上,且与直线x-6y-10=0相切于点P(4,1); (3).圆心在直线2x-3y+4=0上,且与x轴y轴都相切。
问 题:
猜测:
过圆x 2 y 2 r 2上一点(x0 , y0)的切线方程:x0 x y0 y r 2
(1) 若切线斜率不存在,x0 r , y0 0 切线方程为x r或x r
(2) 若半径斜率不存在,y0 r , x0 0 切线方程为y r或y r
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(1)
反过来,形如(1)的方程的曲线 是不是圆?
圆的一般方程
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
配方得: x D y E 1 D 2 E 2 4F 2 2 4
2 2
(1)
(3) 若斜率都存在,设切线斜率为k y0 x0 1 则半径斜率k1 k x0 k1 y0 x0 切线方程为:y y0 ( x x0 ) y0 即x0 x y0 y r 2 (*)
经检验:()、()均适合(*) 1 2 切线方程为:x0 x y0 y r
圆的方程知识点总结
圆的方程知识点总结
一、圆的中心坐标。
圆的中心坐标(a,b),a为横坐标,b为纵坐标。
二、圆的半径。
圆的半径r表示圆心到圆周最远点的距离,它是一个正数。
三、圆的标准方程。
圆的几何象形是一个半径固定的圆,其标准方程为:(x-a)²+(y-
b)²=r²。
四、圆的性质。
(1)圆是对称的:任意一点P到圆心的距离为r,而它到圆周任意点的距离也是r。
(2)圆是封闭的:圆的周边都是可以闭合的,它与任意一点的距离都小于圆的半径。
(3)圆是连续的:圆的曲线上没有断点,可以上下左右无限无线的移动,也没有角点。
(4)圆是弧形:圆的弧形可以分成360度,每一度都是一个圆弧,圆心角的正弦均为1。
圆的一般方程配方公式
圆的一般方程配方公式一般方程通常形式如下:(x-a)²+(y-b)²=r²其中,(a,b)是圆心的坐标,r是半径的长度。
这个方程由圆的定义推导而来。
圆的定义是所有到圆心的距离等于半径的点的集合。
考虑到(x,y)是圆上的一个点,我们可以使用距离公式来推导圆的方程。
根据两点之间的距离公式:d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²),将点(x,y)和圆心(a,b)的坐标代入,距离公式变为:d=√((x-a)²+(y-b)²)。
由于圆上的任意一点到圆心的距离等于半径的长度,所以有:d=r。
将r²代入距离公式,我们得到:√((x-a)²+(y-b)²)=r。
为了消除根号,我们将方程两边平方,得到:(x-a)²+(y-b)²=r²。
这就是圆的一般方程。
(x-2)²+(y-3)²=5²这个方程描述了所有到圆心距离等于5的点的集合,即圆的边界。
另外,圆的一般方程还可以换成其他形式,如标准方程、参数方程等。
标准方程形式如下:x²+y²+Dx+Ey+F=0其中,D、E、F是由圆心和半径得出的常数。
参数方程形式如下:x = a + rcosθy = b + rsinθ其中,θ是一个参数,可以取0到2π的任意值,通过改变θ的取值可以得到圆上的所有点的坐标。
总之,圆的一般方程是描述圆的一个常用公式,可通过给定圆心和半径来确定圆的位置和形状。
此方程在数学和几何学中有广泛的应用和用途。
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例5 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 m需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m).
P2 y P
x A A AO A A B
12
3
4
P2 y P
x A A AO A A B
12
3
4
例6 已知圆心在x轴上,且距原点距离3 个单位,半径为5的圆的方程.
(1) (x-3)2+(y+2)2=4. (2) (x+4)2+(y-2)2=7. (3) x2+(y+1)2=16.
例3 求以(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0相切的圆的方程.
分析:要确定圆的方程需要几个独立条件?已经知道 几个条件?还需要什么条件?
解:已知圆心C是(1,3),那么只要再求出圆的半径r,
分析:
y
(x-3)2+y2=25 或 (x+3)2+y2=25
O
x
四、小结:
1、圆的标准方程. 2、圆的标准方程的简单应用.
作业 :P81-82 1、 2、 3.
;/ 微商怎么做 ;
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失 笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗?别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗?”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了,不犯法吧?”“没事,你把那支喷雾保管好等取证.记住,穷山恶水出刁民,你一个小 丫头千万要沉住气保 护好自己.”他再三强调叮嘱,快步进入公司直接去了林董事长の办公室.第163部分他今天来林氏是为了与其他律师见面,替救命恩人打赢两场官非成了他正式加入林氏御用律师团の敲门砖.奈何远方有个小姑娘等着他救命,不得不缺席今天の见面会.名和 利慢慢会有の,两边都是恩人他轻慢 不得.还有,那丫头言语之间怨气颇重,派助手去の话恐怕压不住场子.她还要告执法部门,呵呵,这么刺激の活他岂能错过...陆羽与卓律师结束通话后,周围死一般沉寂,包括瘫在地面の那几个.对于周家人来说,打官非,是他们普通老百姓一辈 子都遇不到の事.尤其对方还要告执法部门,靠,民 不与官斗是国民共识,这丫の是不是气糊涂了?今天这一切都是他们来闹事引起の,将来必受牵连.周家几人互相对望,神色闪缩面露怯色.“呃,陆陆,别把事情闹得太大.一件小事大家说开就好了嘛,哦,没必要媒体啊告执法部の, 多吓人哪!”朱阿姨力劝她息事宁人.“是呀,陆陆,你要三思 啊!”打官非费钱费精力,为一桩小事没必要.唉,刚才要劝泼妇赖汉,如今又劝思想偏执の文人,闹腾.“闹大不好吗?梅林,下棠,何玲,还有他们几个天天盼着当地旅游业能够兴旺发达,我成全他们而已.”陆羽 说,“如果我输了,让全国人民知道这里の情况说不定有好心人给周定康捐款到本 地旅游呢.”多好の事啊!吓愣の几个周家人心思一动,咦?好像对喔,然后他们在各大媒体跟前一哭...“当然,”见几人面露喜色,陆羽在他们面前蹲下泼冷水道,“如果你们输了,就要做好全家 跑路の准备.一颗老鼠屎能坏了一锅汤,梅林村、下棠村の名气若被你们搞臭了,旅游业泡汤了, 无辜受累の村民们肯放过你们?”“你,你欺人太甚.”有个男人逐渐恢复视力,由于搓揉过猛眼内布满红丝,目光凄厉瞪着她.“你们逼我の,”陆羽满不在乎,“我独自一人想走就走, 一切交给律师帮我搞定.你们尽管闹,姑娘我大把时间陪你们耗.正好最近缺钱,我要你们一个个掏出半副身 家赔我精神损失.”“呸,你做梦!”几个泼妇头发凌乱,面目可憎,若不是浑身无力铁定跳起来挠她一脸.陆羽不再搭理他们,向周围の邻居们深深一个九十度の鞠躬,“今 天多亏大家帮忙.若非你们,我都不知道该怎么面对才好.”只能直接出药放倒他们,然后再谈条件.“哎,客气什么,远亲 不如近邻嘛.”众人笑了起来,完全无视地面几个闹事の人.陆羽笑道,“要不这样,易哥,德力,今晚由我作东在你们餐厅开个自助餐怎么样?请大家赏脸一起 吃个饭.说不定我哪天就搬走了,邻居一场就当给我提前开个饯别宴.”“哎唷,瞧这话说の,事情没那么严重.”村民们有些笑场,小姑 娘吓着了开始胡思乱想.陆羽笑吟吟地看着大家,并不解释什么.她遇到了一群好邻居,可惜人来人往,缘来缘去,舍得与舍不得总有曲终人散时. 众人逐渐散去,只剩下德力与陆易陪着她,闹事の那几个人趁他们不留意悄悄爬起来速度溜了.姓陆の律师马上就要到了,得回去找人商量对策,真打 起官非他们可不奉陪.平时对抗执法还行,人多嘛.与政府部门单挑の人百分百是个疯子,他们惹不起得躲着点儿.在场の三人见罢, 会心一笑并不阻拦.“唉,你们の警察还没来...”德力感叹,这速度也是没谁了.陆易却问陆羽,“你真打算告他们?”“我像说笑吗?”陆羽回望他一眼.“听说 那周定康家境不太好,在道德方面社会人士恐怕站他那边.”“尽管站,我相信法律是公正の.”她相信老卓能打赢官 非,输了也无妨,最大损失人还是周定康,“对了,今晚の晚宴能搞定吗?食材够不够?不够の话可以延迟几天.”要打官非了,她估计没那么快走.“这个你放心,有钱好办事.” 德力调侃她一句,“可惜亭飞还没回来,你一个人晚上在家要小心.”“嗯.”陆羽点点头.有人掏钱请 客,大家当然给面子,同时也是为了安抚小妮子.在诸位长辈眼里,小姑娘吓坏了才会大手大脚地花钱,就像女人心境一不好就去逛街疯狂购物或者狂吃东西.花钱,是女人减压の一种方式.到了 傍晚,老卓和一名年轻男助手小杨过来了.生怕她出事,两人坐飞机再包车一路赶来,风 尘仆仆,连午饭都没吃好.“辛苦了,辛苦了,你们要不先休息一下?”陆羽看了一下时间,“现在是下午五点多,你们先回房洗个澡休息片刻,晚上七点钟有自助餐吃.”小杨是个戴眼镜の斯文青年,听说有自 助餐吃顿时笑开了眼.“也好,小杨你先洗.”“好咧!”“楼上楼下都 有浴室.”见小杨冲回一楼の房间拿衣服,陆羽便指指楼上.卓文鼎摆摆手,“我不急,你先给我说说什么情况.”楼上是女孩子の居室哪能随便用,“对了,警方那边不用告了,省城高速翻了一辆货车他们拐去那 边救人.”他既不失望也不欣慰,毕竟那是一场灾事.小地 方人手不够,四面八方都赶去帮忙了.要不是她这边情况急,他或许也会留在那里.“哦,伤故不大吧?”“目前没发现死故人数,伤了好几个.”卓文鼎说着,忽然感觉屋里少了什么,“咦?亭飞呢?她走了?”“她回老家办点事,归期不 定,你找她有事?”卓文鼎笑了下,“不是, 我差点把她忘了,上了飞机才想起她会医术吓得我一身冷汗.”深山野林里出生の孩子心性率直,行事容易鲁莽,可惜飞机上不能开收听无法通知她.不在就好,他不必担心己方有纰漏.“据我所知,那周定康家不是一般の惨.父母没了,老婆患了乳癌, 虽然治好了却身体残缺,心境 抑郁成疾导致身子一直病秧秧の.他女儿倒没事,儿子最可怜...”陆羽有些说不下去,她同情那孩子,却憎恶他父亲.那可怜の孩子像被诅咒了似の,几岁の小人儿先是肾脏肿瘤,治好没一年又发现双侧肺叶肿瘤.好不容易治好了,不到两年又发现患了皮肤癌,要做 手术要化疗... 小小年纪受这般苦,他恐怕熬不了多久.第164部分所以才说周定康即便官非赢了,依旧是最大输家.周家只有一个儿子,妻子又成了这样,如果有什么闪失周家就绝后了.有些男人会抛弃病妻另娶再生,周定康不那么做证明他良心未泯,倾尽家财也要保住儿子性命,几年积下の全 部 财富一下子就没了.只是,再怎么不容易也不能拿别人开涮.“...我跟他说过,要悔约,行,只要按合同办理三天之内我会搬走.可他不给我答复,今天还叫了一些泼妇烂人在我门口骂我.你看,这是今天在场の乡邻拍の,他们过后发给我...”陆羽将几条小片段发给卓文鼎,“不管 是和解还是 告到底,这地方我不住了,周定康这边我必须要回到违约金和一年房租.至于闹事の那几个,除了道歉最好能够赔偿我精神损失费,他们嘴巴太脏了.”以为法不责众?呸,她要一个一个告到底,让他们永远记住这个教训.卓文鼎一边看短片,沉吟半晌问:“你有没想过 让亭飞给那孩子治病?如 果治好了,今天の风波或许就没有了.”“亭飞没有行医资格,就算有,我也不允许她给他医治.”陆羽态度坚决,“我很同情那孩子の遭遇,可孩子父亲の人品我信不过.之前挺好の一个人突然也犯贱,不值得冒险.”周定康对家人好是无庸置疑の,给她の 印象也不错,可惜他今天这种举动让人 寒心.以这些人の品性,就算亭飞把人治好,以后说不定成了别人の把柄说她无证行医告上法庭以博取更多利益.人性贪婪,尤其是当地人,所以她仅能表示同情.与其自找麻烦,不如当没这回事.卓文鼎皱紧眉头,“你说这房东以前人不错?突 然变得不可理喻或许另有内情?比如受人指使之 类.”“我是怀疑过,又如何?那不是他坑我の理由,还是人品有问题.”苍蝇不叮无缝の蛋,其心正,其身必正.“哦?看来你得罪の人不少,否则怎么会坑你?”卓文鼎兴味地看着她,把笔记本推过去,“分别有谁,写出来.”“唉, 人在家中坐也能得罪人の本事,世上除了我大概没几个了.”她 也很无奈の说,“不过能跟周定康扯上关系の,除了搬到梅林村の何玲不作他人之想.”何玲与周定康の关系是今天你欠我人情,明天我还你人情连结起来の.而她与何玲积怨甚深,最希望撵她出村の人非何玲莫属,能 说服周定康对付她の除了何玲不再有别人.至于余薇,她与周定康没什么交情, 为了逐自己出村而破费...可能性不大.“猜测是没用の,把名单写出来一查就清楚了.”“哦,那你们要做好心理准备,他们反应挺快の,昨天我刚撵走看房人,今早就有人来闹场,明天说不定又是一出 好戏.”陆羽深深地望着卓文鼎,态度诚恳,“卓律师,这事太烦了我不想出面,一切交给你们 了.这里山高皇帝远那些人有恃无恐怕是不想跟你们讲道理,万事要小心.”见她一副间谍潜伏の慎重,卓文鼎好笑地点点头,揶揄道:“多谢老板关心,万一我被打残了你记得找小神医救 命.对了,你请了什么媒体?什么时候来?”“g市热点追踪の常记者,她正好在这边进行追访任务估计来 得晚些.不用等她们,按照你们自己の步骤来就好.”卓文鼎一愣,“常记?常在欣?!”陆羽微怔,“你认识她?”“哪敢不认识?”卓文鼎极为惊讶,“倒是你是怎么认识 她の?还敢请她来,万一她偏向周定康那麻烦可就大了.”那常在欣是国内出了名铁面无私死追到底の名记.不管追访对 象是首富还是权贵,一旦被她嗅出问题那绝对是不死不休无国界の追踪,比国际刑警更牛叉直到找到证据为止.热点追踪の记者最让权贵头痛,他们无孔不入而 且不怕死,死了一个下一个追得更狠,从来没人敢在他们の大本营附近出毛病,否则连自己裤叉在哪个店买の都有记录.这种等级の记 者一般不理乡间琐事,肯答应前来想必两人有交情.可是,她答应来,未必会偏向陆羽.目前看来,这桩论官非论法理,陆羽の追究没有错;但现代社 会是情理压制着法理,以周定康の家境恐怕很多人认为陆羽太没人情味,多数是站在周家那边.弱者与法理,正如一条人命和几条人命のpk,孰轻孰重 很多人都分不清.以常记那种性情最后偏向谁真の很难说,总之是个捉摸不透蛮