初二数学三角形的内角-----专题强化训练卷

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初二数学三角形内角和定理的证明试题

初二数学三角形内角和定理的证明试题1.如图所示，BC⊥AD，垂足是C，∠B=∠D，则∠AED与∠BED的关系是( )-A．∠AED>∠BED-B．∠AED<∠BEDC．∠AED=∠BED-D．无法确定【答案】C【解析】根据∠B=∠D，公共角∠A，结合三角形的内角和定理及BC⊥AD即可得到结果.∵∠B=∠D，∠A=∠A，∠AED=180°-∠A-∠D，∠ABC=180°-∠A-∠B∴∠AED=∠ABC∵BC⊥AD∴∠ABC=90°∴∠AED=90°∴∠AED=∠BED故选C.【考点】三角形的内角和定理点评：通过题目中的条件找到不相关的两个量的关系是学生学习过程中需要具备的基本能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，需多加关注.2.关于三角形内角的叙述错误的是( )A．-三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长【答案】B【解析】根据三角形的内角和定理结合三角形的边和角的关系依次分析各项即可判断.A.三角形三个内角的和是180°，C.三角形中至少有一个角不小于60°，D.一个三角形中最大的角所对的边最长，均正确，不符合题意；B.三角形两个内角的和可能小于60°，故错误，本选项符合题意.【考点】三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.直角三角形的两个锐角___________.【答案】互余【解析】根据三角形的内角和定理即可得到结果.直角三角形的两个锐角互余.【考点】三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是________三角形.【答案】直角【解析】由题意可设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据三角形的内角和定理即可列方程求出x 的值，从而得到结果.设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，由题意得解得则∠C=3x°=90°所以△ABC是直角三角形.【考点】三角形的内角和定理点评：方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.5.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则∠C=_______.【答案】150°【解析】由题意可设∠A=∠B=x°，则∠C=10x°，根据三角形的内角和定理即可列方程求出x的值，从而得到结果.设∠A=∠B=x°，则∠C=10x°，由题意得解得则∠C=10x°=150°.【考点】三角形的内角和定理点评：方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数.【答案】18°【解析】由∠B=30°，∠C=65°可得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC可得∠DAC的度数，再结合AE⊥BC根据三角形的内角和定理即可求得结果.∵∠B=30°，∠C=65°-∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°-又∵AD平分∠BAC-∴∠DAC=∠BAC=×84°=42°-∵AE⊥BC-∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°-∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°.【考点】三角形的内角和定理，角平分线的性质点评：此类问题知识点综合性较强，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.7.如图，在正方形ABCD中，已知∠AEF=30°，∠BCF=28°，求∠EFC的度数.【答案】58°【解析】根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，再根据三角形的内角和定理即可求得∠AFE、∠BFC的度数，即可求得结果.∵四边形ABCD是正方形-∴∠A=∠B=90°-∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°，-∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°-∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°.【考点】正方形的性质，三角形的内角和定理点评：特殊四边形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图，一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎，量得∠A=120•°，∠D=105°，你能否求出两腰的夹角∠P的度数.【答案】45°【解析】由∠BAD=120•°，∠ADC=105°可得∠PAD与∠PDA的度数，再根据三角形的内角和定理即可求得结果.∴∠PAD+∠BAD=180°，∠PDA+∠ADC=180°-∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°-又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°-∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°.【考点】三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.9.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示.【答案】见解析【解析】连接AC，根据三角形的内角和定理即可证得结论.连接AC∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠ACD=180°-∴ (∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°-∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°-∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°-即四边形ABCD的内角和等于360°.【考点】三角形的内角和定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.我们已经证明了“三角形的内角等于180°”，易证“四边形的内角和等于360°=2×180°，五边形的内角和等于540°=3×180 °……”，试猜想一下十边形的内角等于多少度?n边形的内角和等于多少度?【答案】1440°，（n-2）×180°.【解析】仔细分析题目中的条件即可得到规律，求得结果.由题意得十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°，n边形的内角和:(n-2)×180°.【考点】多边形的内角和点评：培养学生独立分析问题、发现规律的能力是数学学科的指导思想，因而找规律问题在中考中极为常见，常见的不仅有式子的变化规律，往往更多的是图形的变化规律，一般难度较大.。

初中数学《八上》第十一章三角形-多边形及其内角相和考试练习题

初中数学《八上》第十一章三角形-多边形及其内角相和考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、正五边形每个内角的度数是_______ ．知识点：多边形及其内角相和【答案】【分析】先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵ 正多边形的内角和为，∴ 正五边形的内角和是，则每个内角的度数是．故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．2、已知一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是（）A ． 6B ． 7C ． 9D ． 8知识点：多边形及其内角相和【答案】D【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和公式以及外角和的性质，列方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数为，由题意可得：解得故选D【点睛】此题考查了多边形内角和以及外角和的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．3、图中x 的值为 ________知识点：多边形及其内角相和【答案】130【分析】根据多边形内角和定理求解即可．【详解】根据多边形内角和定理可得，该五边形内角和为540°解得故答案为：130 ．【点睛】本题考查了多边形内角和的问题，掌握多边形内角和定理是解题的关键．4、已知一个正多边形的每个内角都是150° ，则这个正多边形是正 __ 边形．知识点：多边形及其内角相和【答案】十二【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：外角是：180° ﹣150° ＝30° ，360°÷30° ＝ 12 ．则这个正多边形是正十二边形．故答案为：十二．【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．5、从7 边形的一个顶点作对角线，把这个 7 边形分成三角形的个数是（）A ． 7 个B ． 6 个C ． 5 个D ． 4 个知识点：多边形及其内角相和【答案】C【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n −3 ，可分成（n −2 ）个三角形直接判断．【详解】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n −2 ） ,∴7 边形的一个顶点可以作 4 条对角线，把这个 7 边形分成个三角形；故选：C ．【点睛】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n −3 ）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n −2 ）个三角形．6、如图，在锐角中，分别是边上的高，交于点，，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．知识点：多边形及其内角相和【答案】B【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360° 求得 .【详解】解:BE⊥AC ，CD⊥AB ，∠ADC ＝∠AEB ＝90°∠BPC ＝∠DPE ＝180°-50° ＝130°故选:B【点睛】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360 度 . 注意∠BPC 与∠DPE 互为对顶角 .7、十二边形的内角和是__________知识点：多边形及其内角相和【答案】1800°【分析】n 边形的内角和是 (n-2)•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【详解】十二边形的内角和等于：(12-2)•180°=1800°；故答案为：1800° ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和问题，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．8、四边形的外角和等于_______.知识点：多边形及其内角相和【答案】360° ．【详解】解：n （n≥3 ）边形的外角和都等于360° ．9、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB ‘C ‘D ‘ 的位置，旋转角为α （0° ＜α ＜90° ），若∠1 ＝112° 则∠α 的度数是 ______ ．知识点：多边形及其内角相和【答案】22°【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90° ，再根据旋转的性质得∠BAB ′ ＝α ，∠B ′AD ′ ＝∠BAD＝90° ，∠D ′ ＝∠D＝90° ，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68° ，再利用互余即可得到∠α的大小．【详解】解：∵ 四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90° ，∵ 矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′ 的位置，旋转角为α ，∴∠BAB ′ ＝α ，∠B ′AD ′ ＝∠BAD＝90° ，∠AD ′C ′ ＝∠ADC＝90° ，∵∠2 ＝∠1 ＝112° ，而∠ABC＝∠D ′ ＝90° ，∴∠3 ＝180°−∠2 ＝68° ，∴∠BAB ′ ＝90°−68°＝22° ，即∠α ＝22° ．故答案为：22° ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10、若一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是 ______ ．知识点：多边形及其内角相和【答案】8【详解】解：设边数为n ，由题意得，180 （n-2 ） =3603解得n=8.所以这个多边形的边数是8.11、如图，两条平行线分别经过正五边形的顶点，如果，那么∠2=_______ 度．知识点：多边形及其内角相和【答案】80【分析】延长CB交l1于点F，根据正五边形内角和以及平行线的性质解答即可．【详解】解：延长CB交l1于点F，∵ 正五边形ABCDE的一个内角是=108° ，∴∠4=180°-108°=72° ，∴∠3=180°-∠1-∠4=180°-28°-72°=80° ，∵l1 ∥l2，∠3=80° ，∴∠2=∠3=80° ，故答案为：80 ．【点睛】此题考查平行线的性质及正多边形的性质，解题的关键是由正多边形的性质求出∠3 的度数，从而得出答案．12、如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120° ，与∠EAB相邻的外角是80° ，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60° ，则∠C为________ 度．知识点：多边形及其内角相和【答案】80【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540 毒，可求出∠C 的度数．【详解】解：∵ 与∠EAB相邻的外角是80° ，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60° ，∴∠DEA＝180° －60° ＝120° ，∠ABC＝180° －60° ＝120° ，∠EAB＝180° －80° ＝100° ；五边形的内角和为（5 － 2 ）×180° ＝540° ；∴∠C＝540° －120° －120° －120° －100° ＝80° ．故答案为：80 ．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．13、已知一个多边形的内角和是900° ，则这个多边形是（）A ．六边形B ．七边形C ．八边形D ．九边形知识点：多边形及其内角相和【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式（n -2 ）•180°，列式求解即可．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n -2 ）•180°=900°，解得n =7 ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．14、多边形的边数由3 增加到 2021 时，其外角和的度数（）A ．增加B ．减少C ．不变D ．不能确定知识点：多边形及其内角相和【答案】C【分析】根据多边形的外角和定理即可求解判断．【详解】解：∵ 任何多边形的外角和都是360° ，∴ 多边形的边数由 3 增加到 2021 时，其外角和的度数不变，故选：C ．【点睛】此题考查多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360 度，并不随边数的变化而变化是解题的关键．15、正五边形的每一个内角都等于___ ．知识点：多边形及其内角相和【答案】108°【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n-2 ）×180° 求出内角和，然后除以 5 即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【详解】方法一：（5-2 ）×180°=540° ，540°÷5=108° ；方法二：360°÷5=72° ，180°-72°=108° ，所以，正五边形每个内角的度数为108° ．故答案为：108° ．16、正多边形的一个外角等于60° ，这个多边形的边数是（）A ． 3B ． 6C ． 9D ． 12知识点：多边形及其内角相和【答案】B【分析】根据多边形的边数等于360° 除以每一个外角的度数60° ，计算即可．【详解】解：边数＝360°÷60° ＝ 6 ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，360° 除以每一个外角的度数就等于正多边形的边数，需要熟练记忆．17、正九边形一个内角的度数为______ ．知识点：多边形及其内角相和【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角（为边数），所以正九边形的一个外角正九边形一个内角的度数为故答案为：140° ．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1 个外角的度数来求得 1 个内角度数是解题关键．18、若正多边形的一个外角是45° ，则该正多边形的内角和为（）A ．1080°B ．900°C ．720°D ．540°知识点：多边形及其内角相和【答案】A【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8 ，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的内角和为（82 ）×180°=1080° ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式：（n-2 ）•180 （n≥3 ）且 n 为整数）．19、一个十边形的内角和等于（）A ．B ．C ．D ．知识点：多边形及其内角相和【答案】C【分析】根据多边形的内角和计算公式（n -2 ）×180° 进行计算即可．【详解】解：十边形的内角和等于：（10-2 ）×180°=1440° ．故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式．20、三角形纸片ABC中，，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则的度数为________。

经典初中数学三角形专题训练及例题解析

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

专题1.2三角形的内角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.2三角形的内角（人教版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•天心区期末）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．【解析】∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．2．（2020春•江阴市期中）将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】根据等腰直角三角形求出∠BAC，根据平行线求出∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，∵∠E＝30°，故选：C．3．（2020春•赣榆区期中）下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：4D．∠A＝40°，∠B＝55°【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件求出三角形的内角即可判断．【解析】A、∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．B、∵∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴∠C=49×180°＝80°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．D、∵∠A＝40°，∠B＝55°，∴∠C＝85°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，故选：B．4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【解析】∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠DBC＝75°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】∵∠ABC＝75°，∴∠ABD+∠DBC＝75°，∵∠ABD＝∠BCD，∴∠BCD+∠DBC＝75°，∴∠BDC＝180°﹣（∠BCD+∠DBC）＝105°，故选：C．6．（2019春•常州期中）下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A=12∠B=13∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答．【解析】①∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；②设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、5x，由三角形内角和定理得，2x +3x +5x ＝180°，解得，x ＝18°，∠C ＝5x ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ③∠A =12∠B =13∠C ，则∠C ＝3∠A ，∠B ＝2∠A ，由三角形内角和定理得，∠A +2∠A +3∠A ＝180°，解得，∠A ＝30°，∴∠C ＝3∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ④∠A ＝∠B ＝2∠C ，由三角形内角和定理得，2∠C +2∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝36°，∠A ＝∠B ＝2∠C ＝72°，即△ABC 不是直角三角形； ⑤∠A ＝∠B =12∠C ，由三角形内角和定理得，12∠C +12∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝90°，即△ABC 是直角三角形；故选：C ．7．（2019春•兴化市期中）在△ABC 中，∠C ＝40°，∠B ＝4∠A ，则∠A 为（）度． A ．30B ．28C ．26D ．40【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解析】∵∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴5∠A +40°＝180°， ∴∠A ＝28°，故选：B ．8．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将∠C 沿DE 对折，使点C 落在△ABC 外的点C ′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（）A．120°﹣a B．60°+13a C．90°−12a D．45°+23a【分析】根据∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1，求出∠B，∠1（用α表示）即可解决问题．【解析】∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠1，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠1，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∠A＝α，∴∠B＝90°−12α，∵2∠1+∠1+∠C＝180°，∴∠1=13（90°+12α），∴∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣（90°−12α）−13（90°+12α）＝60°+13α，故选：B．10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（）A．40°B．110°C．130°D．140°【分析】根据∠BOC＝∠CEO+∠ECO，求出∠CEO，∠ECO即可．【解析】∵△ABC中，高BE、CF交于点O，∴∠AEB＝∠ADFC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACF＝50°，∴∠BOC＝∠CEO+∠ECO＝90°＝50°＝140°，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝20°，则∠ACE的大小是50度．【分析】由∠A＝80°，∠B＝20°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD ＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解析】∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝20°，∴∠ACD＝80°+20°＝100°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝50°，故答案为：50．12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：5：4，那么这个三角形是锐角三角形．【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．【解析】依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，5x，4x，∴2x+5x+4x＝180°，∴5x≈81.82°．∴这个三角形是锐角三角形．故答案为：锐角．13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°，则∠B的取值范围为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．【分析】根据钝角三角形的定义即可判断．【解析】当130°＞∠B＞90°时，△ABC是钝角三角形，当∠C＞90°时，△ABC是钝角三角形，此时0°＜∠B＜40°，故答案为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是2∠A＝∠1﹣∠2．【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．【解析】如右图，设翻折前A点的对应点为F；根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，故答案为：2∠A＝∠1﹣∠2．15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°或15°．【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．【解析】①120°÷3＝40°，180°﹣120°﹣40°＝20°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°；②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，则3x+x+120°＝180°，解得，x＝15°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数15°，故答案为：20°或15°．16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为72°．【分析】根据三角形内角和定理，得出∠A+∠C＝180°﹣∠B，再根据2（∠A+∠C）＝3∠B，得出关于∠B的方程，求得∠B即可．【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C＝180°﹣∠B，且2（∠A+∠C）＝3∠B，∴2（180°﹣∠B）＝3∠B，∴360°＝5∠B，∴∠B＝72°．故答案为：72°17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝16°．【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．【解析】∵∠BAC＝180°﹣66°﹣34°＝80°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝40°，∵∠ABC＝66°，AD是BC边上的高．∴∠BAD＝90°﹣66°＝24°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°．故答案为：16．18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝82°．【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．【解析】∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，故答案为：82．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°，求∠C的度数．【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵∠DBE＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝∠ABC=12（180°﹣30°）＝75°．20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由同（1）．【解析】（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝50°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝30°+50°＝80°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由如下：∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°+12（∠B﹣∠C）．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣[90°+12（∠B﹣∠C）]=12（∠C﹣∠B）．21．（2018秋•江都区月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝40°，由翻折的性质可知∠DA′C＝50°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝10°．【解析】由折叠可得，∠CA'D＝∠A＝50°，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵∠B+∠A'DB＝∠CA'D，∴∠A'DB＝50°﹣40°＝10°．22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E 作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C．（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=12∠ABC＝25°，∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°．23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C．理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，∴∠A+∠C＝∠E+∠E，∴2∠E＝∠A+∠C，24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可．【解析】（1）∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝35°，∴∠EDF＝∠ADB＝180°﹣35°﹣80°＝65°，∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，∴∠E＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠EDF＝∠C+∠CAD，∠CAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∴∠EDF＝∠C+90°−12α−12β＝90°−12（α﹣β），∵∠EFD＝90°，∴∠DEF=12（α﹣β）；（3）设AP与BC交于G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∵AP平分∠BAE，∴∠BAP=12∠BAD=14（180°﹣α﹣β），∴∠PGF＝∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAP＝180°﹣α−14（180°﹣α﹣β）＝135°−34α+14β，∵PF平分∠EFB，∴∠PFB＝45°，∴∠P＝180°﹣∠PFB﹣∠PGF＝180°﹣45°﹣（135°−34α+14β）=34α−14β，故∠P不会发生变化．。

人教版八年级上数学11.2.1 三角形的内角和练习(含答案)

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A o∠=75，则∠1+∠2=（）（A ）150o （B ）210o （C ）105o（D ）75o答案：A3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）钝角三角形答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）（A）45o（B）60o（C）75o（D）90o答案：C6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225︒ B．235︒ C．270︒ D．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（）A．40°B．60°C．120°D．140°答案：D8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120°答案：C9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度．A．180 B．270 C．360 D．54012答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（） A ．100° B ．120° C ．135° D ．150° 答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（） A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（） A ．∠A-∠B=∠C B ．∠A=3∠C ，∠B=2∠C C ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C 二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________. 答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形. 答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DA答案：80°5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 . 答案：30º6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B o∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．答案：90答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为度．答案：120FEC A（第15题）答案：60º12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .答案：11º13.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.AFEBC答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程 X+x+5+x+25=180 解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°， ∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º, ∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º ∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A).4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE=21∠BAC=40°，∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形的内角和定理》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，B，C，D三点在一条直线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（）A．56°B．64°C．60°D．76°2．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于D．若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是（）A．18°B．15°C．10°D．8°3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝10°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．15°C．10°D．30°5．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B ＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°7．如图，在△ABC中，BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，若∠D＝80°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．50°D．85°8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．5B．4C．3D．2二．填空题9．如图，D是△ABC内一点，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠D＝°．10．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为．11．如图，AF和AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝35°，∠C＝75°，则∠BAC ＝，∠DAF＝．12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为．13．在△ABC中，已知AD是BC边上的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝50°，则∠BAC＝．14．如图，若∠A＝∠B＝∠C＝35°，则∠CDB＝°．15．如图，已知线段BE、CF交于点O，∠COE＝150°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，⋅⋅⋅，∠A2020BC的平分线与∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，则∠A2021＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，连接CE，∠ACE＝∠BCE，∠ACB＝50°，∠B＝60°．求∠CED的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．19．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝20°．（1）∠BAE的度数是．（2）∠DAE的度数是．（3）探究：如果把条件∠B＝60°，∠C＝20°改成∠B﹣∠C＝40°，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．20．“8字”的性质及应用：（1）如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论试说明∠E＝（∠A+∠C）的理由．21．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB ＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．22．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣56°＝64°，故选：B．2．解：∵AD⊥BC，∠C＝36°，∴∠CAD＝90°﹣36°＝54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，∴∠CAE＝∠BAC＝×128°＝64°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°﹣54°＝10°．故选：C．3．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．故选：A．4．解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠AED＝∠B+∠BAD﹣∠C﹣∠CDE＝∠BAD﹣∠CDE，∴∠BAD＝2∠CDE＝2×10°＝20°．故选：A．5．解：∵BC∥DE，∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．6．解：如图，由三角形的外角性质得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故选B．7．解：∵BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝∠ACB．在△BCD中，∠DBC＝∠DBE+∠CBE＝∠ABC，∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝∠ACB，∠D＝80°，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，即∠ABC+∠ACB+80°＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝150°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣150°＝30°．故选：A．8．解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴⑤正确；即正确的有4个，故选：B．二．填空题9．解：∵∠ACB＝∠2+∠BCD＝70°，∠1＝∠2，∴∠1+∠BCD＝70°，在△BCD中，∠1+∠BCD+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠BCD）＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110．10．解：由题意可得：∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∠A＝90°，∴∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°，∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°．故答案为：105°．11．解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣75°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝×70°＝35°．∵AF是△ABC的高，∴∠AFC＝90°，∴∠F AC＝90°﹣∠C＝90°﹣75°＝15°，∴∠DAF＝∠DAC﹣∠F AC＝35°﹣15°＝20°．故答案为：70°；20°．12．解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝17.5°，又∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠ADB＝180°﹣95°﹣17.5°＝67.5°，由于BD是△BDE的对称轴，由对称性可知，∠ADB＝∠EDB＝67.5°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故答案为：45°．13．解：如图1：∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°+50°＝130°；如图2：∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝80°﹣50°＝30°．故答案为：130°或30°．14．解：延长BD交AC于D，∵∠BDC＝∠DEC+∠C，∠DEC＝∠A+∠B，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，∴∠CDB＝35°+35°+35°＝105°，故答案为：105．15．解：连接OA，OD，∵∠DOE是△AOE的外角，∴∠2+∠E＝∠DOE①．∵∠COD是△AOC的外角，∴∠1+∠C＝∠COD②，①+②得，∠1+∠2+∠E+∠C＝∠COE＝150°③，同理，∠COD是△ODF的外角，∠DOE是△OBD的外角，∴∠4+∠F＝∠COD④，∠3+∠B＝∠DOE⑤，④+⑤得，∠3+∠4+∠F+∠B＝∠COE＝150°⑥，∴③+⑥得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠COE＝300°．故答案为：300°．16．解：∵BA1、CA1分别是∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠ABA1＝∠A1BC＝∠ABC，∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD，又∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α；同理∠A2＝∠A1＝（）2α，∠A3＝＝（）3α，∠A4＝＝（）4α，…∠A2021＝（）2021α，即∠A2021＝，故答案为：．三．解答题17．解：∵∠ACE＝∠BCE，∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝50°，∴∠BCE＝20°，∠ACE＝30°．∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∵∠BDE是△CDE的外角，∴∠BDE＝∠BCE+∠CED，∴∠CED＝∠BDE﹣∠BCE＝30°﹣20°＝10°．18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DF∥BE．19．解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝50°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣30°＝20°；故答案为：（1）50°；（2）20°．（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°．20．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图2中有：ABCD、BEDC、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．21．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案为：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．22．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．。

2021-2022学年基础强化北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题练习试卷(名师精选)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD则BD的长为（）A．2 B．C．D．2、△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2- c2=a2B．a:b:c= 5:12:13C．∠A:∠B:∠C =3:4:5 D．∠C =∠A -∠B3、已知等腰三角形的两条边长分别为4和9，则它的周长为（）A．17 B．22 C．23 D．17或224、如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A ．38°B ．42°C ．48°D ．52°5、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，且12cm AB =，则DEB ∆的周长是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，CE ＝4cm ，P 是AD 上的一个动点，则BP +EP 的最小值是（）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．10cm8、如图点,,A B C 在同一条直线上，△CCC ,△CCC 都是等边三角形，,AE BD 相交于点O ，且分别与,CD CE 交于点,M N ，连接,M N ，有如下结论：①△CCC ≅△CCC ；②AM DN =；③△CCC 为等边三角形；④60EOB ∠=︒.其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610、如图，在三角形ABC，222AB AC BC+=，AB AC且，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E=是AB上一点，连接EF，EC，BF FE=，点G在AC上，连接BG，2∠=∠，AE=ECG GBCAG=CF的长为（）A．B．C．D．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=6、AC=8、AB=10，则点D到AB的距离为_______．2、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是_____．3、如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．4、在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则∠C=______．=，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果5、已知：如图，在△CCC中，AB AC∠=︒，那么A42EBC∠=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得√C−4+√4−C有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．（1）求点B的坐标；（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；②当OD最小时，求△ACD的边长．2、下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．已知：如图1，射线OA．求作：∠AOB，使∠AOB＝30°．作法：如图2，①在射线OA上任取一点C；②分别以O，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；∴ ∠AOB就是所求的角．根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD＝30°．∴∠AOB就是所求的角．3、如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（3）若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标．4、如图，等边△ABC中，点D在BC上，CE=CD，∠BCE=60°，连接AD、BE．（1）如图1，求证：AD=BE；（2）如图2，延长AD交BE于点F，连接DE、CF，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．5、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．（1）计算线段AB的长度；（2）判断△ABC的形状；（3）写出△ABC的面积；（4）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．-参考答案-一、单选题1、B【分析】过点C作CN⊥AB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明△DCE≌△BEN，可得ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°，得△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝DN＝BN，进而可得结果．【详解】解：如图，过点C作CN⊥AB于点N，连接EN，∴∠CNA＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠NCA＝∠A＝45°，∴AN＝CN，∵点E是AC的中点，∴∠ANE＝∠CNE＝45°，∠CEN＝∠AEN＝90°，∴∠CEF+∠FEN＝90°，∵CD⊥BE，∴∠CFE＝90°，∴∠CEF+∠FCE＝90°，∴∠DCE＝∠BEN，在△DCE和△BEN中，CE EN DCE BEN CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BEN （SAS ），∴ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，∴∠AED ＝45°＝∠A ＝∠ACN ，∴AD ＝DE ，∵AE ＝CE ，∴AE =EN ，∴AD ＝DN ，∴AD ＝DN ＝BN ，∴BD ＝2AD ＝故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解．2、C【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】A. b 2- c 2=a 2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC 是直角三角形，故不符合题意；B. a :b :c= 5:12:13，设5,12,13a k b k c k ===，则2222222169,25144169c k a b k k k =+=+=，则222c a b =+，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC 是直角三角形，故不符合题意；C. ∠A :∠B :∠C = 3:4:5，设∠A 、∠B 、∠C 分别是3,4,5x x x ，则12180x =︒，15x =︒，则45,60,75A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，所以△ABC 是不直角三角形，故符合题意；D. ∠C =∠A -∠B ，又∠A +∠B +∠C =180°，则∠A =90°，是直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3、B【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）如果腰长为4，则三边是：4，4，9；不满足三角形两边之和大于第三边的性质，不成立；（2）如果腰长为9，则三边是：4，9，9；满足三角形两边之和大于第三边的性质，成立；周长=9+9+4=22．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4、A【分析】利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．【详解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键．5、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．6、D【分析】根据角平分线的性质可得DC DE =，再证Rt ACD Rt AED ∆≅∆，可得AE AC =，最后根据三角形的中周长公式计算即可．【详解】解：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，DC DE ∴=，在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中，DC DE AD AD =⎧⎨=⎩， Rt ACD Rt AED(HL)∴∆≅∆，AE AC ∴=，AC BC =，BC AE ∴=，DEB ∴∆的周长()12cm DE BD BE CD BD BE BC BE AE BE AB =++=++=+=+==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定等知识点，掌握角平分线的性质成为解答本题的关键．7、B【分析】连接CE 交AD 于点P ，则BP +EP 的最小值为CE 的长．【详解】如图，连接CE 交AD 于点P ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 的中线，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，∴BP +EP ＝CP +EP ≥CE ，∴BP +EP 的最小值为CE 的长，∵CE ＝4cm ，∴BP +EP 的最小值为4cm ，故选：B ．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP +EP 的最小值转化为CP +EP 的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．8、D【分析】由SAS 即可证明DCB ACE ∆≅∆，则①正确；有∠CAE =∠CDB ，然后证明△ACM ≌△DCN ，则②正确；由CM =CN ，∠MCN =60°，即可得到∆CMN 为等边三角形，则③正确；由AD∥CE ，则∠DAO =∠NEO =∠CBN ，由外角的性质60EOB OAC CBN ∠=∠+∠=︒，即可得到答案．【详解】解：∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE ，即∠ACE =∠BCD ，∠MCN =180°-∠ACD -∠BCE =60°，在△ACE 和△DCB 中，AC CD ACE BCD BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），则①正确；∴AE =BD ，∠CAE =∠CDB ，在ACM 和△DCN 中，ACM DCN AC CD CAM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM =CN ，AM DN =；则②正确；∵∠MCN =60°，∴∆CMN 为等边三角形；则③正确；∵∠DAC =∠ECB =60°，∴AD∥CE ，∴∠DAO =∠NEO =∠CBN ，∴60EOB OAC CBN OAC DAO ∠=∠+∠=∠+∠=︒；则④正确；∴正确的结论由4个；故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．9、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有3个点，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．10、D【分析】延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∠ACB =∠ABC =45°，由BF =FE ，得到∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠，然后证明CB =FC =FE ，得到∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC 则1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠即可证明==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，推出CF =；设22ECG GBC y ==∠∠，证明△ABG ≌△ACK ，得到==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，即可推出∠ECK =∠K ，得到EK =EC ，则EK AE AK AE AG =+=+=【详解】解：延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，∵在三角形ABC ，222AB AC BC +=，AB AC =且，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∵BF =FE ，∴∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠， ∵H 是BC 上中点，F 是射线AH 上一点，∴AH ⊥BC ，∴AH 是线段BC 的垂直平分线，∠FAC =45°，∴CB =FC =FE ，∴∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC ∴1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∴1180452AFB AFC FAC FCA x ∠=∠=︒-∠-∠=︒+， ∴1==452AFE AFB BFE x -︒-∠∠∠， ∴==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，∴222EF CF CE +=，∴2CF =，设22ECG GBC y ==∠∠，∵AG =AK ，AB =AC ，∠KAC =∠GAB =90°，∴△ABG ≌△ACK （SAS ），==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，∴==45ECK ACE ACK a +︒+∠∠∠，∴∠ECK =∠K ，∴EK =EC ，∵EK AE AK AE AG =+=+=∴EF EK ==∴9CF =，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二、填空题1、83##【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用面积法得到10x=6（8-x），然后解方程即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，设DE=DC=x，S△ABD=12DE•AB=12AC•BD，即10x=8（6-x），解得x=83，即点D到AB边的距离为83．故答案为：83．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由已知能够注意到D到AB 的距离即为DE长是解决的关键．2、5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=12×9×3+12AC•3 =21，解得AC=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3、6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．4、72°72度【分析】由角平分线的定义可知∠ABC=2∠1，由等腰三角形的性质得∠C=∠ABC，由垂直平分线的性质得∠A=∠1，然后根据三角形内角和求解即可．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠1．∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠1．∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠1．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠1+2∠1+2∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠C=2∠1=72°．故答案为：72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．5、32°32度【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE，设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案为：32°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．三、解答题1、（1）B的坐标为2)；（2）①见解析，120ABD︒∠=；②△ACD的边长为【详解】（1）利用非负数的性质求解即可．（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上．【解答】解：（1有意义∴40 40nn-≥⎧⎨-≥⎩，∴n＝4，∴等边△OAB的边长为4，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，∵∠BOC＝30°，∴122BC OB==，∴CC=√CC2−CC2=2√3，点B的坐标为2)．（2）①△ACD如图所画：∵△AOB与△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．②∵∠ABD＝120°，∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，∴点B的坐标为2)，∴OD=在Rt△AOD中，根据勾股定理AD=∴等边△ACD的边长为【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2、（1）见解析；（2）60°，SSS，全等三角形对应角相等【分析】（1）根据题意，③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；则∠AOB就是所求的角．（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可【详解】（1）补全作图如下，（2）证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD∠＝30°．∴∠AOB就是所求的角．故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．3、（1）142y x=-+；（2）5；（3）点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）【分析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由勾股定理求出AB的长，再结合线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，OM＝OB−BM，再次利用勾股定理得出AM的长；（3）（方法一）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标；（方法二）由△PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出S△PAM的值，设点P的坐标为（x，−12x＋4），分点P在AM的右侧及左侧两种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标，此题得解．【详解】解：（1）∵四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），∴AO＝CB＝4，OB＝AC＝8，∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）．设对角线AB所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，则有408bk b=⎧⎨=+⎩，解得：124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴对角线AB所在直线的函数关系式为y＝－12x＋4．（2）∵∠AOB＝90°，∴勾股定理得：AB＝∵MN垂直平分AB，∴BN＝AN＝12AB＝∵MN为线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM设AM＝a，则BM＝a，OM＝8－a，由勾股定理得，a2＝42＋（8－a）2，解得a＝5，即AM＝5．（3）（方法一）∵OM＝3，∴点M坐标为（3，0）．又∵点A坐标为（0，4），∴直线AM的解析式为y＝－43x＋4．∵点P在直线AB：y＝－12x＋4上，∴设P点坐标为（m，－12m＋4），点P到直线AM：43x＋y－4＝0的距离h2m．△PAM的面积S△PAM＝12AM•h＝54|m|＝S OABC＝AO•OB＝32，解得m＝±1285，故点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．（方法二）∵S长方形OACB＝8×4＝32，∴S△PAM＝32．设点P的坐标为（x，－12x＋4）．当点P在AM右侧时，S△PAM＝12MB•（y A－y P）＝12×5×（4＋12x－4）＝32，解得：x＝1285，∴点P的坐标为（1285，－445）；当点P在AM左侧时，S△PAM＝S△PMB－S△ABM＝12MB•y P－10＝12×5（－12x＋4）－10＝32，解得：x＝－1285，∴点P的坐标为（－1285，845）．综上所述，点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．【点睛】本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B点的坐标；（2）由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM的长度；（3）（方法一）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方程；（方法二）利用分割图形求面积法找出关于x的一元一次方程．本题属于中等题，难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P有两个．4、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△BEC，即可证明AD=BE；（2）证明△CDE为等边三角形，可求得∠BDE=120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD=∠BCA=60°，推出∠DFE=120°；同理可推出∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°．【详解】（1）证明：等边△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD=BE；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE=60°，∴∠BDE=120°；∵△ADC≌△BEC，∴∠DAC=∠EBC，又∠BDF=∠ADC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∴∠DFE=120°；同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．5、（1（2）直角三角形（3）5（4）图形见解析【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形，直接利用公式求面积；（4）分别画出A 、B 、C 关于直线l 的轴对称点111A B C 、、，再依次链接111A B C 、、即可．（1）AB （2）AC BC =∴22220AB AC BC +==∴△ABC 的形状是一个直角三角形（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形∴11==22ABC S AB AC ∆⋅ （4）图形如图所示：【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．。

人教版八年级数学上册三角形---三角形内角和综合习题精选(含答案)

三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．3．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠ A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．参考答案：一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。

与三角形有关的角试题

21B A C M 与三角形有关的角1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.2、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

.3.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B 。

例1．如图，已知∠1=20o ，∠2=25o ，∠A=35o ，则∠BDC 的度数为________例2．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则此三角形是(??)A ．锐角三角形?????B ．直角三角形???C ．钝角三角形???D ．等腰三角形例3、探索发现：.如图，在△ABC 中，∠A=α，△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P=β，试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明．⑴.β＝180°-（∠B+∠C）/2＝90°+α/2.⑵.∠B/2+∠C+（180°-∠C）/2+β＝180°.α＝180°-∠B -∠C.算得β=α/2.⑶β＝180°-[（180°-∠B）/2+（180°-∠C）/2]＝90°-α/2.例4.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC(∠C>∠B)，试说明∠EAD=(∠C ?∠B)．解：（1）∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAC ，又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ），∴∠1=[180°-（∠B+∠C ）]=90°-（∠B+∠C ），∴∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-（∠B+∠C ）=90°+（∠B-∠C ），又∵EF ⊥BC ，∴∠EFD=90°， ∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-[90°+（∠B-∠C ）]=（∠C-∠B ）；（2）当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，（1）中探索所得的结论仍成立。

专题01 三角形-2021-2022学年八年级数学上学期期末解答题必刷专题训练(人教版)(解析版)

三角形1．如图，在四边形ABCD 中，90A C Ð=Ð=°，BE 平分ABC Ð，DF 平分ADC Ð．（1）求ABC ADC Ð+Ð的度数；（2）求证：BE DF ∥．【答案】（1）∠ABC +∠ADC =180°；（2）见解析．【分析】（1）根据四边形的内角和定理求出即可；（2）求出∠2=∠DFC ，根据平行线的判定推出即可．【详解】（1）解：∵∠A =∠C =90°，∴∠ABC +∠ADC =360°-90°-90°=180°；（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠2=12∠ABC ，∠4=12∠ADC ，∵四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∴∠4+∠DFC =90°，由（1）得∠ABC +∠ADC =180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠4+∠DFC =90°，∴∠2=∠DFC ，∴BE ∥DF ．．【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC =∠DFC ．2．如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝70°，∠EAD＝10°，求∠B的度数．【答案】45°【分析】∠BAC＝35°，那么∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝45°．根据AD是△ABC的高，根据AE是角平分线，得∠BAE＝12得∠ADC＝90°．根据三角形外角的性质，得∠ADC＝∠B＋∠BAD，那么∠B＝∠ADC−∠BAD＝45°．【详解】解：∵AE是角平分线，∴∠BAE＝1∠BAC＝35°．2∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝35°＋10°＝45°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝∠ADC−∠BAD＝90°−45°＝45°．【点睛】本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．3．如图，AD为V ABC中线，AB＝12cm，AC＝9cm，V ACD的周长为27cm，求V ABD的周长．【答案】△ABD的周长为30cm【分析】利用中线定义可得BD=CD，进而可得AD+DC=AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．【详解】解：∵△ACD的周长为27cm，∴AC+DC+AD=27cm，∵AC=9cm，∴AD+CD=18cm，∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴AD+BD=18cm，∵AB=12cm，∴AB+AD+BD=30cm，∴△ABD的周长为30cm．【点睛】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线定义．4．如图①，V ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°﹣12∠A．①若将直线MN绕点P旋转，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；②当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．【答案】（1）130°；（2）①仍然成立，见解析；②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣12∠A，见解析【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题．（2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可解决问题．【详解】解：（1）如图①∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB，∴∠1+∠2＝12（∠ABC+∠ACB）＝12×100°＝50°，∴∠BPC ＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．（2）①如图③，由（1）知：∠BPC ＝180°﹣（∠1+∠2）；∵∠1+∠2＝12（180°﹣∠A ）＝90°-12∠A ，∴∠BPC ＝180°﹣（90°﹣12∠A ）＝90°+12∠A ；∴∠MPB +∠NPC ＝180°﹣∠BPC ＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A ．②不成立，∠MPB ﹣∠NPC ＝90°﹣12∠A ．如图④，由①知：∠BPC ＝90°+12∠A ，∴∠MPB ﹣∠NPC ＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A ．【点睛】该题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点是基础，灵活运用是关键．5．如图，在△ABC 中，AE 是BC 边上的高，AD 是角平分线，∠B ＝42°，∠C ＝68°．①求∠DAE 的度数；②若∠B ＝α，∠C ＝β（α＜β），用含α，β的代数式表示∠DAE ．（直接写出结论）【答案】（1）13°（2）2b a -【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠DAC ，根据三角形内角和定理求出∠AC ，代入∠DAE ＝∠DAC −∠EAC 求出即可．（2）同（1）的方法即可求解．【详解】解：（1）∵∠B ＝42°，∠C ＝68°，∴∠BAC ＝180°−∠B −∠C ＝70°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝35°，∵AE 是BC 边上的高，∴∠AEC ＝90°，∵∠C ＝68°，∴∠EAC ＝180°−∠AEC −∠C ＝22°，∴∠DAE ＝∠DAC −∠EAC ＝35°−22°＝13°．（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，∴∠BAC ＝180°−∠B −∠C ＝180°−α−β，D 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝90°−12α−12β，AE 是BC 边上的高，∴∠AEC ＝90°，∵∠C ＝β，∴∠EAC ＝180°−∠AEC −∠C ＝90°−β，∠DAE ＝∠DAC −∠EAC ＝（90°−12α−12β）−（90°−β）＝2b a -．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．6．如图，在ABC V 中，BF 平分ABC Ð，CF 平分ACB Ð，65A Ð=°，求F Ð的度数．【答案】122.5°【分析】由题意直接根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行分析，并利用角的等量替换即可得出答案.【详解】解：在ABC V 中，∵65A Ð=°（已知），∴180115ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°（三角形内角和定理）．∵BF 平分ABC Ð，CF 平分ACB Ð（已知），∴12FBC ABC Ð=Ð，12FCB ACB Ð=Ð（角平分线的定义）．在FBC V 中，∵180F FBC FCB Ð+Ð+Ð=°（三角形内角和定理），∴(180)F FBC FCB Ð=°-Ð+Ð1118022ABC ACB æö=°-Ð+Ðç÷èø1180()2ABC ACB =°-Ð+Ð11801152=-´°122.5=°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.7．阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC D 中AB AC =，BD 是ABC D 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN =+．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S D D D =+，即111222AC BD AB PM AC PN ×=×+×．由AB AC =，可得BD PM PN =+．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM =-．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S D D =-Q ________，1122AC BD AC \×=×________12AB -×________．AB AC =Q ，BD PN PM \=-．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC D 中，AB AC BC ==，BD 是ABC D 的高．P 是ABC D 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC D 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋12BC •PQ −12AC •PN ，由于AB ＝AC ＝BC ，即可证得BD ＝PM ＋PQ −PN ．【详解】解：（1）证明：连接AP ．∵S △ABC ＝S △APC −S △APB ，∴12AC •BD ＝12AC •PN −12AB •PM ．∵AB ＝AC ，∴BD ＝PN −PM ．故答案为：S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；如图3，连接AP 、BP 、CP ，∵S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC ∴12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，∵AB ＝AC ＝BC ，∴BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②BD ＝PM ＋PQ −PN ；如图4，连接AP 、BP 、CP ，∵S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ．∴12AC •BD ＝12AB •PM ＋12BC •PQ −12AC •PN ，∵AB ＝AC ＝BC ，∴BD ＝PM ＋PQ −PN ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．8．（1）如图1，在ABC V 中，BP 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，求证：1902P A Ð=°+Ð；（2）如图2，在ABC V 中，BP 平分ABC Ð，CP 平分外角ACE Ð，猜想P Ð和A Ð有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）12P A Ð=Ð，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行证明即可：（2）根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出A ACE ABC Ð=Ð-Ð，P PCE PBC Ð=Ð-Ð，再由角平分线的定义得到12PBC ABC Ð=Ð，12PCE ACE Ð=Ð，则()11112222P ACE ABC ACE ABC A Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð．【详解】（1）证明：()180P PBC PCB Ð=-Ð+Ðo ，∵BP 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，∴12PBC ABC Ð=Ð，12PCB ACB Ð=Ð，∴()111222PBC PCB ABC ACB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð∴()11801802P PBC PCB ABC ACB Ð=--=-Ð+Ðo o ∠∠，∵=180ABC ACB A+-o ∠∠∠()11180180=9022P A A \Ð=--+Ðo o o ∠；（2）猜想：12P A Ð=Ð，证明：ACE A ABC Ð=Ð+ÐQ ，A ACE ABC \Ð=Ð-Ð，∵PCE P PBC Ð=Ð+Ð，∴P PCE PBC Ð=Ð-Ð，又BP 平分ABC Ð，CP 平分ACE Ð，∴12PBC ABC Ð=Ð，12PCE ACE Ð=Ð，()11112222P ACE ABC ACE ABC A \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð，12P A \Ð=Ð．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．9．如图，在ABC V 中，75A Ð=°，45C Ð=°，BE 是ABC V 的角平分线，BD 是边AC 上的高．（1）求CBE Ð的度数；（2）求DBE Ð的度数．【答案】（1）∠CBE =30°；（2）∠DBE =15°．【分析】（1）根据三角形内角和可求∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，然后根据角平分线∠CBE =11603022ABC Ð=´°=°；（2）先求∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，再利用两角之差计算即可．【详解】解：（1）∵∠ABC +∠A +∠C =180°，75A Ð=°，45C Ð=°，∴∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，∵BE 是ABC V 的角平分线，∴∠CBE =11603022ABC Ð=´°=°；（2）∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =90°，∴∠DBC +∠C =90°，∵45C Ð=°∴∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，∴∠DBE =∠DBC -∠CBE =45°-30°=15°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差，掌握三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差是解题关键．10．如图，在V ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：∠ABC＝∠EDF；（2）若∠ABC＝45°，∠DFE＝50°，求∠BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）85°【分析】（1）利用三角形的外角的性质可得∠EDF＝∠1＋∠ABD，再结合∠ABC＝∠2＋∠ABD，∠1＝∠2即可证得∠ABC ＝∠EDF；（2）先根据三角形的内角和定理求得∠DEF＝85°，再利用三角形的外角的性质结合∠1＝∠3即可求得答案．【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ABD＝∠2＋∠ABD，又∵∠EDF＝∠1＋∠ABD，∠ABC＝∠2＋∠ABD，∴∠ABC＝∠EDF；（2）解：∵∠ABC＝∠EDF，∠ABC＝45°，∴∠EDF＝45°，又∵∠DFE＝50°，∴∠DEF＝180°－∠DFE－∠EDF＝85°，∴∠EAC＋∠3＝∠DEF＝85°，又∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠EAC＋∠1＝∠EAC＋∠3＝85°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．11．如图，在V ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝56°，∠C＝70°．（1）求∠DAE的度数；（2）求∠BOA的度数．【答案】（1）8°；（2）125°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠CAE ，根据直角三角形两锐角互补可得CAD Ð，根据DAE CAE CAD Ð=Ð-Ð计算即可；（2）根据三角形内角和求出ABC Ð，根据角平分线的定义求出,BAO ABO ÐÐ的度数，然后根据三角形内角和可得结果．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝56°，∠C ＝70°，AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝1282BAC Ð=°∵AD 是BC 边上的高，∴90ADC Ð=°，∴∠CAD ＝907020°-°=°，∴28208DAE CAE CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°；（2）∵∠C ＝70°，∠BAC ＝56°，∴∠ABC ＝180°−70°−56°＝54°，∵BF 平分∠ABC ，∴1272ABO ABC Ð=Ð=°，∵AE 平分∠BAC ，1282OAB BAC Ð=Ð=°,∴∠BOA 180125ABO OAB =°-Ð-Ð=°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．12．如图，△ABC 中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点H ，过H 点作HG ⊥AC ，垂足为G ，如果∠AHE=50度，求∠CHG 的度数．【答案】∠CHG =50°【分析】根据角平分线的定义可设可设=BAD CAD x =∠∠，=ABE CBE y Ð=Ð，=BCF ACF z Ð=Ð，则由三角形内角和定理可得90x y z ++=o ，再由三角形外角的性质可得==90AHE BAD ABE x y z ++=-o ∠∠∠，=90AGH ACF CHG +=o ∠∠∠，从而可以推出50CHG AHE Ð=Ð=o ．【详解】解：∵AD ，BE ，CF 为△ABC 的角平分线，∴可设=BAD CAD x =∠∠，=ABE CBE y Ð=Ð，=BCF ACF z Ð=Ð，∵=180ABC BAC ACB ++o ∠∠∠，∴222180x y z ++=o ，即90x y z ++=o ，∵==90AHE BAD ABE x y z ++=-o ∠∠∠，=90AGH ACF CHG +=o ∠∠∠，∴==90CHG AGH ACF z --o ∠∠∠，∴50CHG AHE Ð=Ð=o ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．13．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是边AC ，BC 上的点，点P 是斜边AB 上一动点．令∠PDA ＝∠1，∠PEB ＝∠2，∠DPE ＝∠α．（1）如图①所示，当点P 运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝；（2）如图②所示，当P 运动至AB 上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．【答案】（1）12140Ð+Ð=°;（2）1290a Ð+Ð=Ð+°，理由见解析【分析】（1）根据平角的定义求得1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，进而根据四边形的内角和等于360°，以及∠α＝50°，即可求得∠1+∠2的值；（2）方法同（1）．【详解】（1）Q 1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12360PDC PEC \Ð+Ð+Ð+Ð=°，在四边形CEPD 中，360C PDC PEC a Ð+Ð+Ð+Ð=°，12C a \Ð+Ð=Ð+Ð，Q ∠α＝50°，90C Ð=°，\12140Ð+Ð=°，故答案为：140°（2）1290a Ð+Ð=Ð+°，理由如下，Q Q 1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12360PDC PEC \Ð+Ð+Ð+Ð=°，在四边形CEPD 中，360C PDC PEC a Ð+Ð+Ð+Ð=°，12C a \Ð+Ð=Ð+Ð，Q 90C Ð=°，\1290a Ð+Ð=Ð+°【点睛】本题考查了平角的定义，四边形内角和为360°，掌握四边形的内角和是解题的关键．14．如图，AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝50°，∠BCE ＝25°，求∠AOC 和∠ADB 的度数．【答案】∠AOC 的度数为115°，∠ADB 的度数为90°【分析】根据AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°可得∠BAD＝∠CAD＝25°，∠CEA＝90°，从而求得∠ACE的度数，由此可得∠AOC的度数，又因为∠BCE＝25°，∠ADB＝∠BCE+∠ACE+∠CAD，从而求得∠ADB的度数．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝25°，∵CE是△ABC的高，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝90°－∠BAC＝40°，∴∠AOC＝180°－∠ACE－∠CAD＝180°－40°－25°＝115°，∵∠BCE＝25°，∠ACE＝40°，∠CAD＝25°，∴∠ADB＝∠BCE+∠ACE+∠CAD＝25°+40°+25°＝90°，答：∠AOC的度数为115°，∠ADB的度数为90°．【点睛】本题考查三角形的内角和、三角形的平分线和高的定义以及三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和，关键是根据具体目中的信息，灵活变化，求出相应的问题的答案．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE分别是△ABC的高和中线，F是CB的延长线上一点．(1)若∠ACD=53°，求∠ABF的度数；(2)若BC=6 cm，AC=8 cm，AB=10 cm，求CD的长和△BCE的面积．【答案】（1）127°；（2）24cm5CD=，212cmBCES=V【分析】（1）结合CD为△ABC的高，先求出∠A，然后结合三角形的外角定理求解即可；（2）先根据等面积法求出CD，然后结合中线的性质求出BE，从而利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵CD 为△ABC 的高，∴CD ⊥AB ，∠ADC =90°，∵∠ACD =53°，∴∠A =180°-90°-53°=37°，∵∠ABF 为△ABC 的外角，∴∠ABF =∠A +∠ACB =37°+90°=127°；（2）由题意，1122ABC S AC BC AB CD ==V g g ，∴6824cm 105AC BC CD AB ´===g ，∵CE 是△ABC 的中线，∴E 为AB 的中点，即：152AE BE AB ===，∴21124512cm 225BCE S BE CD ==´´=V g ．【点睛】本题考查三角形中线，高相关的定义与计算，理解三角形中重要线段的定义与性质，熟悉等面积法是解题关键．16．如图，在△ABC 中，30A Ð=°，60B Ð=°，CF 平分ACB Ð交AB 于点E ．（1）求ACE Ð的度数：（2）若CD AB ^于点D ，75CDF Ð=°．判断△CFD 的形状，并说明理由．【答案】（1）45ACE Ð=°；（2）CFD △是直角三角形，理由见解析．【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到ACE Ð的度数．（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到DCF Ð的度数，进而得出CFD Ð的度数．【详解】解：（1）ABC QV 中，30A Ð=°，60B Ð=°，180306090ACB \Ð=°-°-°=°，又CE Q 平分ACB Ð，1452ACE ACB \Ð=Ð=°，即45ACE Ð=°；（2）CFD △是直角三角形，理由：CD AB ^Q 于点D ，60B Ð=°，906030BCD \Ð=°-°=°，又45BCE ACE Ð=Ð=°Q ，15DCF BCE BCD \Ð=Ð-Ð=°，又75CDF Ð=°Q ，180751590CFD \Ð=°-°-°=°，CFD \△是直角三角形．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．17．已知，如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C ＝50°．（1）求∠DAE 的度数．（2）试写出∠DAE 与∠C －∠B 有何关系，给出证明．【答案】（1）10°；（2）()1,2DAE C B Ð=Ð-Ð证明见解析【分析】（1）先求解,,BAC CAE ÐÐ 再求解,CAD Ð 再利用角的和差可得答案；（2）先求解()190,90,2CAE B C DAC C Ð=°-Ð+ÐÐ=°-Ð 再利用角的和差可得结论.【详解】解：（1）Q ∠B ＝30°，∠C ＝50°，180100,BAC B C \Ð=°-Ð-Ð=°Q AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线，150,90,2BAE CAE BAC ADE ADC \Ð=Ð=Ð=°Ð=Ð=° 905040,DAC \Ð=°-°=°504010.DAE EAC DAC \Ð=Ð-Ð=°-°=°（2）()1,2DAE C B Ð=Ð-Ð 理由如下：Q AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线。

专题112三角形的内角-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【人教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题11.2三角形的内角姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•连山区期末）具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A ．∠A +∠B ＝∠CB ．∠A =12∠B =13∠C C ．∠A ＝2∠B ＝3∠CD ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：42．（2020秋•庐阳区期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 3．（2020秋•济南期末）适合条件∠A =12∠B =13∠C 的△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC 中，∠B 是∠A 的3倍，∠C 比∠A 大30°，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．50°C ．70°D ．90° 5．（2019秋•江干区期末）若△ABC 三个内角的关系为∠A3=∠B4=∠C 5，则三角形的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形6．（2020秋•椒江区校级月考）在△ABC 中，已知∠ABC ＝66°，∠ACB ＝54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，∠EHF 的度数是（）A ．50°B ．40°C ．130°D ．120°7．（2020春•常州期中）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 的对应点为A ’，若∠B ＝60°，∠C ＝80°，则∠1+∠2等于（）A．40°B．60°C．80°D．140°8．（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°9．（2020春•东阿县期末）如图，在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝56°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则∠ADE的大小是（）A．40°B．44°C．50°D．56°10．（2020秋•芝罘区期中）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•金山区期中）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：4：5，那么△ABC是三角形（按角分类）．12．（2020春•永安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD、CD是△ABC的角平分线，则∠D＝．13．（2018春•沙坪坝区校级期中）在△ABC中，三条边上的高所在直线交于点H（点H不与A，B，C重合），∠B＝68°，则∠AHC的度数是．14．（2020秋•兰州期末）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝°．15．（2020秋•长宁区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝度．16．（2020秋•法库县期末）在△ABC中，已知∠C﹣∠A＝∠B，则∠C的度数是．17．（2020秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A﹣∠B＝25°，∠C＝45°，则∠B＝．18．（2020秋•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．20．（2019秋•延边州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点E，BD⊥AB，∠ABC＝40°．求∠D和∠CED的度数．21．（2020春•洛宁县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，∠C＝65°，求∠ADE和∠EDC的度数．22．（2020秋•东莞市期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数．23．（2020秋•广州校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE=12∠B．求：∠CDE的度数．24．（2019秋•文登区期末）已知：△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的BC边上的高，过点B做BF∥AE，交直线AD于点F．（1）如图1，若∠ABC＝70°，∠C＝30°，则∠AFB＝；（2）若（1）中的∠ABC＝α，∠ACB＝β，则∠AFB＝；（用α，β表示）（3）如图2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，请求出∠AFB．（用α，β表示）。

三角形的内角和的证明-八年级数学上册课后作业练习

第3课时三角形的内角和的证明知识要点基础练知识点1三角形的内角和定理的证明与辅助线1.如图,在证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是(D)A.数形结合B.特殊到一般C.一般到特殊D.转化知识点2直角三角形的两锐角互余2.在Rt△ABC中,∠B是直角,∠C=22°,那么∠A的度数是(C)A.22°B.58°C.68°D.112°3.如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,求∠BAD的度数.解:∵AC⊥BD,∠1=∠2,∴∠1=45°,∠ACB=90°,∵∠D=40°,∴∠CAD=50°,∴∠BAD=∠1+∠CAD=95°.知识点3有两个角互余的三角形是直角三角形4.三角形有一个角的度数是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是(C)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定5.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?解:△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.∴∠1+∠A=90°.又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,∴△ABC是直角三角形.综合能力提升练6.如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为(B)A.65°B.55°C.45°D.35°7.如图,△ABC的角平分线CD,BE相交于点F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于点G.下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②CA平分∠BCG;③∠ADC=∠GCD;④∠DFB=∠CGE.其中正确的结论有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是(C)A.25°B.20°C.15°D.10°【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点B在AE上,那么图中的∠ABC= 75°.9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是(A)A.3B.4C.5D.610.如图,在△ABC中,∠ACB=68°,若P为△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC=(D)A.68°B.120°C.92°D.112°11.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,∠ABC的平分线BE分别交CD,CA于点F,E,则下列结论正确的是(A)①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠A=∠4;④∠2与∠5互余.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③12.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=360°.13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为45°或135°.14.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为60°或90°.15.如图,BD,CE是△ABC的高,BD和CE相交于点O.(1)图中有哪几个直角三角形?(2)图中有与∠2相等的角吗?请说明理由.(3)若∠4=55°,∠ACB=65°,求∠3,∠5的度数.解:(1)直角三角形有:△BOE,△BCE,△ACE,△BCD,△COD,△ABD.(2)与∠2相等的角是∠1.理由如下:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠1+∠A=90°,∠2+∠A=90°,∴∠1=∠2,∴与∠2相等的角是∠1.(3)∵∠ACB=65°,BD是高,∴∠3=90°-∠ACB=90°-65°=25°,在△BOC中,∠BOC=180°-∠3-∠4=180°-25°-55°=100°,∴∠5=∠BOC=100°.16.在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.(1)求∠DCE的度数;(2)若∠CEF=135°,求证:EF∥BC.解:(1)∵∠B=30°,CD⊥AB,∴∠DCB=90°-∠B=60°.∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,∴∠ECB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.(2)∵∠CEF=135°,∠ECB=∠ACB=45°,∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.拓展探究突破练17.如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点.(1)观察图形,试猜想∠C和∠DOE,∠C和∠AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为相等或互补.(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.解:(1)连接OC,∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,∴∠ACO+∠COE+∠BCO+∠COD=180°,即∠ACB+∠DOE=180°.∵∠DOE+∠AOE=180°,∴∠ACB=∠AOE.(2)提示:两种情况分别如图所示.(3)设较小的角为α,则另一个角为3α-60°,∴α+3α-60°=180°或α=3α-60,解得α=60°或30°.。

初二数学角的图形练习题

初二数学角的图形练习题本文将为大家提供一些初二数学角的图形练习题，帮助同学们更好地掌握与角度相关的几何知识。

在以下每个图形中，我们需要计算或推导出与角度相关的数值或关系。

下面是具体的练习题内容：1. 直角三角形ABC中，角A为90度，角B为30度。

请计算角C的度数。

解析：由于直角三角形的三个内角的度数之和为180度，可知角C= 180度 - 90度 - 30度 = 60度。

2. 正方形ABCD中，角A为90度，请计算角C的度数。

解析：由于正方形的四个内角的度数之和为360度，且每个内角的度数都相等，可知角C = 360度 / 4 = 90度。

3. 平行四边形ABCD中，角A为120度，请计算角B的度数。

解析：由于平行四边形的对角线相互平分，可知角A和角C是对角。

因此，角C = 180度 - 角A = 180度 - 120度 = 60度。

又因为平行四边形的相对角度数相等，可知角B的度数也为60度。

4. 在等边三角形ABC中，角A的度数为60度，请计算角B和角C的度数。

解析：由于等边三角形的三个内角的度数之和为180度，且三个内角的度数相等，可知角B和角C的度数都为(180度 - 角A) / 2 = (180度- 60度) / 2 = 60度。

5. 在六边形ABCDEF中，角A的度数为120度，请计算角B、角C、角D、角E和角F的度数。

解析：由于六边形的六个内角的度数之和为720度，可知角B、角C、角D、角E和角F的度数之和为720度 - 120度 = 600度。

因为六边形的相对角度数相等，可知每个角的度数为600度 / 5 = 120度。

通过以上练习题的解析，同学们可以更深入地理解角度与图形的关系，并且熟练地计算图形中各个角度的度数。

希望同学们通过这些练习题的训练，能够在数学学习中取得更好的成绩！。

初二数学练习册

第一章三角形有关的线段与角第一部分：补救练习第一关：三角形有关的线段关卡1-1三角形的边1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．8cm、6cm、3cmC．2cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）A．2B．3C．5D．83．至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形4．已知三角形的周长小于13，各边长均为整数且三边各不相等，那么这样的三角形个数共有（）A．2B．3C．4D．55．长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．若三角形三边的长分别为整数，周长为13，且一边长为4，则这个三角形最长边长的最大值为（）A．7B．6C．5D．47．如图，以BC为边的三角形有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个8．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定(第7题图)(第8题图) 9．三角形的三边长分别是3，1﹣2a，8,则数a的取值范围是_____________.10．已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为_____________.关卡1-2三角形的三线1．如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A．1B．2C．3D．42．如图，BD=DE=EF=FC，那么（）是△ABE的中线．A．AD B．AE C．AF D．以上都是(第1题图)(第2题图)3.在三角形ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（）A．4个B．5个C．6个D．8个5．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是（）A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD=DC，BE=EC D．∠C的对边是DE(第4题图)(第5题图)6.已知在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边长．7.如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗?关卡2-1三角形的内角和外角1．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β(第1题图)(第2题图)3．三角形的所有外角（每个顶点只取一个外角）中，锐角最多有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则该三角形各角的度数为（）A．45、45、90B．30、60、90C．25、25、130D．36、72、72 5．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是_____度. 7．已知一个三角形三个外角之比为3：4：5，求三个内角之比是______________。

2023-2024学年秋季八年级上册数学人教版课时练11.2.1 三角形的内角课时练02

11.2.1 三角形的内角1. 三角形的内角和等于( )A．150°B．180°C．200°D．240°2．三角形的三个内角( )A．至少有两个锐角B．至少有一个直角C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角3. 已知在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A等于( ) A．30°B．40°C．60°D．80°4．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．都有可能5．一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2等于( )A．90° B．100° C．130° D．180°7．一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是_______三角形．8．一个角是80°的等腰三角形的另两个角为____________.9．△ABC中，∠A＋∠B＝130°，∠C＝2∠B，则∠A＝，∠B＝，∠C＝.10. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D= .11. 如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=65°，则∠3= .12. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B＝.13. 如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝50°，∠AOB＝105°，则∠C＝.14．如图是A、B、C三个点的平面图，点C在A点的北偏东60°方向，点B在点A的北偏东80°，点C在点B的北偏西56°方向，则△ABC的三个内角分别是 .15．如图所示，∠A＝50°，BD、CE分别平分∠ABC与∠ACB，且相交于点O，求∠BOC的度数．16．在△ABC中，∠A＝12∠C＝12∠ABC，BD是∠ABC的平分线，求∠A及∠BDC的度数．17．如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=65°，求∠A的度数．18．如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内一点C′上．(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度数；(2)试通过第(1)问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的数量关系．答案：1-6 BAACD B7. 钝角8. 80°, 20°9. 105° 25° 50°10. 25°11. 75°12. 64°13. 25°14. 20°、44°、116°15. 解：∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵BD、CE分别平分∠ABC与∠ACB，∴∠DBC＋∠ECB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°－65°＝115°.16. 解：设∠A为x，∵∠A＝12∠C＝12∠ABC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，解得，x＝36°.即∠A＝36°.又∵BD是角平分线，∠ABC＝72°，∴∠DBC＝36°，∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°.17. 解：∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°-30°-45°=105°．18. 解：(1)由已知得△C′DE和△CDE重合，∴∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED.∵∠1＋∠C′DE＋∠CDE＝180°，∴40°＋2∠CDE＝180°，∴∠CDE＝70°.同理：∠2＋∠C′ED＋∠CED＝180°，∴30°＋2∠CED＝180°，∴∠CED＝75°.∴∠C＝180°－75°－70°＝35°；(2)∠C＝12(∠1＋∠2)．。