2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测(二) A卷 Word版含解析

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高中数学人教A版选修4-4优化练习第二讲一第二课时圆的参数方程含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－1，y ＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1解析：由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －1，两式平方再相加，可得(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，故选C.答案：C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是( )A ．直线B ．点C ．圆D ．椭圆解析：将参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．答案：C3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是( )A ．0B ．10C ．0或10D ．无解解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r ＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d ＝|m －5|5＝1，解得m ＝0或m ＝10.答案：C4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A5．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k＝( )A.33B ．－33C ．±33D. 3解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以曲线C 是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C 与直线l 有唯一的公共点，即圆C 与直线l 相切，则圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝±33.答案：C6．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)，(1，－3)7．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________. 解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或θ＝5π6.答案：π6或5π68．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，得x 2＋y 2＝(3sin θ＋4cos θ)2＋(4sin θ－3cos θ)2＝25(sin 2 θ＋cos 2 θ)＝25，所以圆的半径为5.答案：59．圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α－4Ry sin α＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹．解析：(1)依题意，得圆M 的方程为 (x －2R cos α)2＋(y －2R sin α)2＝R 2，故圆心坐标为M (2R cos α，2R sin α)，半径为R . (2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2R cos α，y ＝2R sin α(其中α为参数)，两式平方相加，得x 2＋y 2＝4R 2.所以，圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆． 10．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝2x ＋y 的最值．解析：由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，设x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ， ∴S ＝2x ＋y ＝2＋4cos θ－2＋2sin θ ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤S ≤2 5.∴S 的最大值为25，最小值为－2 5.[B 组能力提升]1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 的方程为x －3y ＋2＝0， ∴圆心(2，－1)到l 的距离 d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：B2．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，即为圆(x －2)2＋y 2＝1.直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1，∴2－2<b <2＋ 2. 答案：D3．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ4．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ＜2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．解析：当θ＝43π时，x ＝2＋4cos 43π＝0，y ＝－3＋4sin 43π＝－33，∴点P 的坐标是(0，－33)．答案：(0，－33)5．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 的中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解析：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6,0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．。

2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5

2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3，解得 4≤x<7 或－2<x≤1，故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－－22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2，所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.

2016-2017学年高中数学第1讲坐标系2极坐标第2课时极坐标和直角坐标的互化课后练习新人教A版选修4-4资料

2016-2017学年高中数学第1讲坐标系 2 极坐标第2课时极坐标和直角坐标的互化课后练习新人教A 版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案： A2．两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，则A ，B 两点间的距离为( )A ．36＋π26B ．36－π26C ．13＋6 3D ．13－6 3解析：点A ，B 的直角坐标分别为(1，3)，(0,3)，则|AB |＝ 1－0 2＋ 3－3 2＝13－6 3. 答案： D3．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，11π6，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为( )A ．(－33，－3)B ．(33，－3)C ．(－33，3)D ．(33，3)解析： ∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，11π6， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin11π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－6×12＝－3， ∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案： A4．在极坐标系中，两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和Q ⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6，则PQ 的中点的极坐标是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋3，7π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋3，5π12解析：先化直角坐标，再化为极坐标． ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，∴P (1，3)．∵Q ⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3)．∴中点M 的直角坐标为(－1，3)． ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. ∴tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2，故y ＝θ＝0，ρ>0，所以M (ρ，0)．答案： (ρ，0)6．已知点M 的坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析： ∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45，∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4，∴点M 的直角坐标为(－3,4)．答案： (－3,4)三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知△ABC 三个顶点的极坐标分别为A⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，极点O (0,0)， (1)判断△OAB 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析：所给各点的直角坐标分别为A (0,2)，B (－3，1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，O (0,0)，(1)∵|AB |＝－3－0 2＋ 1－2 2＝2，|OA |＝|OB |＝2， ∴△OAB 为等边三角形． (2)∵|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－22＝13，|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＝13，|AB |＝2，∴△ABC 为等腰三角形． ∵AB 的中点为D ⎝⎛⎭⎪⎫－32，32， |CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－322＝23，∴S △ABC ＝12|AB ||CD |＝12×2×23＝2 3.8．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．解析：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，－3)，∴ρ＝32＋－3 2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.9．(10分)如果点M 的极坐标为(ρ，θ)，那么点M 关于极点O 的对称点M ′可以表示为(－ρ，θ)．(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；(2)已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ>0,0≤θ<2π，求点M 的极坐标；(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？解析： (1)由于点M (ρ，θ)关于极点的对称点为M ′(ρ，θ＋π)，根据上述表示，点(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)应为同一点．设点M ′的直角坐标为(x ，y )，由点M ′(ρ，θ＋π)得x ＝ρcos(θ＋π)＝－ρcos θ， y ＝ρsin(θ＋π)＝－ρsin θ，由M ′(－ρ，θ)，得x ＝－ρcos θ，y ＝－ρsin θ，所以上述表示是合理的．(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－2，－5π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点，所以(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．。

高中数学阶段质量评估2新人教A版选修4_4

2016-2017学年高中数学阶段质量评估2 新人教A 版选修4-4一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C.82 D ．93＋4 3解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0，|t ′1－t ′2|＝ t ′1＋t ′2 2－4t ′1t ′2＝82. 答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ θ是参数，0＜θ＜π ，N ＝{(x ，y )|y ＝x＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－3＜b ＜3 2C ．0≤b ≤3 2D ．－3＜b ≤3 2解析：用数形结合法解．答案： D4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析：由y ＝1tt 2－1，得t 2y 2＝t 2－1，把t ＝1x代入，得x 2＋y 2＝1.由于t 2－1≥0，得t ≥1或t ≤－1.当t ≥1时，得0<x ≤1且y ≥0；当t ≤－1时，得－1≤x <0且y <0. 答案： D5．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．由r 的大小而定解析：圆心到直线的距离d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．答案： B6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2(t 为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ所表示图形的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ表示图形为方程是x 2＋y 2＝4的圆．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2表示的图形与圆无交点．故选A.答案： A7．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ＋φsin φ y ＝r sin φ－φcos φ (φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r cos φ＋φsin φ ， ①0＝r sin φ－φcos φ . ②①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案： D 8．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3解析：把直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)．答案： C9．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t(t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A.π3 B ．π3或2π3C.π6D ．π6或5π6解析：将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －38，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0，设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34·k 2＋2k 22－916＝2 解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B10．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP →＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )A.t 1＋t 22 B ．t 1＋t 21＋λ C.t 1＋λt 21＋λD ．t 2＋λt 11＋λ答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析：由题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ. 答案： ρ＝2sin θ12．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________．答案： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2252cos t ＋t sin t y ＝2252 sin t －t cos t (t 为参数)13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________．解析：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)．答案： 4 2 (－3，－1) 14．若曲线y2＝4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________.解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β，∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ，其中m ＝cos αcos β，∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ，得y 2＝4(2＋2my ＋8m )，y 2－8my －8－32m ＝0.∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m )＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0， 2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22，∴cos αcos β＝－1±22. 答案：－1±22三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m y ＝22t(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值．解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m (2)m ＝1或m ＝316．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ； (1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值．解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ，即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36， ∴4x 2＋9y 2＝36，∴x 29＋y 24＝1.(2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.17．(12分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值．解析：由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0)． ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. ∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2. 即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433. 18．(14分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22， ∴d 1＋d 2＝2 2.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(二) B卷

阶段质量检测(二) B卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：选B要求弦切角∠ADP，即连接BD，则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.2．(北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选A逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD ＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于()A．4 B．6 C．8 D．9解析：选B延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，且CP·PD＝AP·PB＝36，∴PC2＝36，PC＝6，故选B.4.如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC＝()A．2 6 B. 6C．2 3 D．2 2解析：选D延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.5．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：选D ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.6.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110° 解析：选B 易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°.7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝3，AC ＝4，则AD ∶CD ∶BD 等于( )A ．4∶6∶3B ．6∶4∶3C ．4∶4∶3D ．16∶12∶9 解析：选D 由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形．由勾股定理知AB ＝5.又CD ⊥AB ，根据射影定理就有AC 2＝AD ·AB ，于是AD ＝165.同理，BD ＝95，CD ＝125，据此即得三条线段的比值．8．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：选C 作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ，∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.9.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B.62a C.12a D.13a解析：选A ∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ，∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°， ∴AB ＝AD ＝BD ， ∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠CDB ＝30°， ∴∠ADC ＝90°， ∴CD ＝tan 30°·AD ＝33a . 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127cm B.125 cm C.53cm D ．2 cm解析：选A ∵PC ＝2×2＝4 cm ，∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ，∵D 为切点， ∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23.设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ，∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由题易得∠PEB ＝∠PAE ，又由三角形外角性质得∠PCE ＝∠CPA ＋∠PAE ，又△PEC 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°12.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________．解析：由切割线定理得， PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，EF ＝8，OD ＝4.∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°， ∴∠EFD ＝30°. 答案：4 30°13．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝103，由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°，所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5.答案：5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦AC 交OB于D ，E 是OB 延长线上一点，若∠OAD ＝30°，ED ＝CE .求证：EC 是⊙O 的切线．证明：连接OC . 因为OA ⊥OB ，所以∠CAO ＋∠ADO ＝90°. 因为DE ＝CE ，所以∠ECD ＝∠EDC ＝∠ADO . 因为OA ＝OC ，所以∠ACO ＝∠CAO . 所以∠ECD ＋∠ACO ＝90°. 所以EC 是⊙O 的切线．16．(本小题满分12分)如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥DC 于D ，PQ ⊥AB 于Q .求证：PQ 2＝AC ·BD . 证明：如图，连接PA 、PB ，因为CD 切⊙O 于P ，所以∠1＝∠2.因为AC ⊥CD 于C ，PQ ⊥AB 于Q ，所以∠ACP ＝∠PQB ＝90°. 所以△ACP ∽△PQB . 所以AC ∶PQ ＝AP ∶PB . 同理，△BDP ∽△PQA ，所以PQ ∶BD ＝AP ∶PB .所以AC ∶PQ ＝PQ ∶BD ，即PQ 2＝AC ·BD .17．(本小题满分12分)如图，已知AB 切⊙O 于B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于D ，DE 是⊙O 的切线，CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，求AB 的长．解：因为CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，所以CD ＝5.连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ，所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径，所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC . 所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC . 所以AB BC ＝BDCD . 所以AB ＝7516.18．(本小题满分14分)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，B ，D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，并说明理由； (2)若CF ＝CD ，求sin F 的值．解：(1)连接AE ，则AE ＝CE .∵∠ABE＝90°，∴AE为直径，连接DE.则∠ADE＝90°，又AD＝CD，∴AE＝CE.(2)设CF＝x，则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x. ∵FE为⊙O的切线，∴AE⊥EF.∴DE2＝AD·DF＝2x2，即DE＝2x.FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，即FE＝6x.∴sin F＝EDFE＝2x6x＝33.。

高中数学第二讲参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题

第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。

高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲本讲知识归纳与达标验收含答案

[对应学生用书P33]考情分析通过对近凡年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题.真题体验x=r,I.在平面直角坐标系心、中，若直线/：淫为参数）过x=3cos s椭圆G3为参数）的右顶点，则常数。

的值为________・j=2sin（px2解析：由题意知在直南坐标系下，直线/的方程为卜=入一〃，椭圆的方程为62+；=1,所以其右顶点为（3,0）.由题意知0=3-6/,解得〃=3.答案：322.（映西高考）如图，以过原点的直线的倾斜角。

为参数，则圆x+^-x=0的参数方程为-v解析：由三角函数定义知.=tan8（x=0）,y=xtan.*由*+/—,i=。

得，.v2+x2tan2^—x=0f x=—---=cos%.・ 1 +tair0则.y=.rtan9=cos浴an0=sin Geos0,jr[x=CO^G,义。

=5时,x=0,y=0也适合题意，故参数方程为'・入n（。

为参数）.2 r=sin Seos0答案:{1=COS2。

，y —sin Seos 0(0为参数)\=2cos r 93.(秆课标全国卷口)已知动点P・Q 都在曲线C ：(t 为参数)lj !=2sin t上，对应参数分别为与，=2a(0VaV2;r), M 为PQ 的中点.(1) 求M 的轨迹的参数方程：(2) 将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cosa, 2sina), 0(2cos2a, 2sin 2a)9因此 A/(cos g +cos 2a, sin a+sin 2a).M 的轨迹的参数方程为，x=cos a+cos 2a,(a 为参数，Q<a<2n).j ?=sin a+sin 2a(2)5/点到坐标原点的距离(/=yJx 12-hy^=y/2+2cos a(0<a<2n).1. 消参的常用方法⑴代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y,或x ，)，)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的.(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 浴+cos20=l, sec28=umX+l,"分4-分=4"2. 消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量，y 的影响，否则易扩大变量的当a=n 时，d=0,故M 的轨迹过坐标原点.[对应学生用书P33]ma_曲线的参数方程与普通方程的互化取值范围.(2)参数方程中变量X,)•就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量y 的取值范围.［例1］参数方程，x=5cos。

2017年春高中数学人教A版选修4-4单元测评二含解析精品

单元测评(二) 参数方程(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 解析：由y ＝cos2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是 y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)，当x ＝12时，y ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，故选C.答案：C2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5D.9510解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9,5t 2＋8t －4＝0，|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝125 5.答案：B3．直线⎩⎨⎧x ＝1－15t y ＝－1＋25t (t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12 C ．－2D ．－12解析：由⎩⎨⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ， ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0，∴k ＝－2.答案：C4．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：直线与圆的普通方程分别为3x －y ＋2＝0与(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离d ＝|－3－3＋2|10＝410＝2105，而d＜2且d ≠0，故直线与圆相交而不过圆心．答案：B5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分．答案：A6．点P (x ，y )在椭圆(x －2)24＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( )A ．3＋ 5B ．5＋ 5C ．5D ．6解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，x ＋y ＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋5sin(θ＋φ)， ∴(x ＋y )max ＝3＋ 5. 答案：A7．过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 2152＋y 2102＝1 C.x 210＋y 215＝1D.x 2102＋y 2152＝1解析：化为普通方程是x 29＋y 24＝1.∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D. 答案：A8．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ≤π2)上一点P 与原点O 的距离为13，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫332，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，522 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 解析：设P (3cos θ，5sin θ)，则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ ＝9＋16sin 2θ＝13，得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2， ∴sin θ＝12，cos θ＝32.∴x ＝3cos θ＝332. y ＝5sin θ＝52.∴P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，52. 答案：A9．设曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ与x 轴交点为M 、N ，点P 在曲线上，则PM 与PN 所在直线的斜率之积为( )A ．－34 B ．－43 C.34D.43解析：令y ＝0得：sin θ＝0，∴cos θ＝±1. ∴M (－2,0)，N (2,0)．设P (2cos θ，3sin θ)．∴k PM ·k PN ＝3sin θ2cos θ＋2·3sin θ2cos θ－2＝3sin 2θ4(cos 2θ－1)＝－34.答案：A10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋a cos θ，y ＝a cos θ＋a sin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为__________．解析：平方相加得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋9cos 2θ＝25，所以圆的半径为5.答案：512．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为__________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2方程即3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－1113．直线y ＝2x －12与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos2φ(φ为参数)的交点坐标为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin φ，y ＝cos2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ， ①y ＝1－2sin 2φ， ②将①代入②中，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， ∴2x 2＋y ＝1.由⎩⎨⎧y ＝2x －12，2x 2＋y ＝1解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－72(舍去)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1214．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，圆O 1：(x －3)2＋y 2＝27.则大圆被小圆截得的劣弧MN ︵的长为__________．解析：设O 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33cos θ，y ＝33sin θ(0≤θ＜2π)．将上式代入圆O 的方程得： (3＋33cos θ)2＋(33sin θ)2＝9. 整理得：cos θ＝－32， ∴θ1＝5π6，θ2＝7π6. ∠MO 1N ＝7π6－5π6＝π3. ∴MN ︵的长为：33·π3＝3π. 答案：3π三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t(t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长．解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，(6分)圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝2 12－1100＝75.(12分)16．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.因此C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(6分)(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.(12分) 17．(12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．解：(1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t(t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫4425，3325.(6分)(2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0.Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. 又t 切＝－b2a ＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.(12分)18．(14分)在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离．解：设双曲线x 22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)(0≤α＜2π，且α≠π2，α≠32π)，则它到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝|2＋sin α|2|cos α|.于是d 2＝2＋22sin α＋sin 2α2cos 2α，化简得：(1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0.(4分)∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0，∴d ≥22.(6分)当d ＝22时，sin α＝－22，∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1.或x 0＝2cos 7π4＝2，y 0＝tan 74π＝－1.(10分)故当双曲线上的点P 为(－2,1)或(2，－1)时，它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22.(14分)。

2016-2017学年高中数学阶段质量检测(一)B卷新人教A版选修4-4

阶段质量检测（一） B 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)解析：选A x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．2．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3D.5π6解析：选C如图所示，夹角为π3.3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos x2C ．y ＝2cos x3D ．y ＝12cos 3x解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′.∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x .4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.5．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )A ．1B. 3 C ．3 3 D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3. 6．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6解析：选A 法一：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6＋π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3.法二：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为－12，－32，再化为极坐标即⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3.7．极坐标方程ρsin 2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选C 由ρsin 2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－2ρcos θ＝0， ∴化为直角坐标方程是y 2－2x ＝0，即x ＝12y 2，表示抛物线．8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2。

高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测(二) A卷 Word版含解析

阶段质量检测（二）卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知曲线的方程为(\\(＝，＝))(为参数)，则下列点中在曲线上的是( )．()．()．() ．()解析：选当＝时，＝且＝，即点()在曲线上．．(北京高考)曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的对称中心( )．在直线＝－上．在直线＝上．在直线＝－上．在直线＝＋上解析：选曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的普通方程为(＋)＋(－)＝，该曲线为圆，圆心(－)为曲线的对称中心，其在直线＝－上，故选.．直线的参数方程为(\\(＝＋＝＋))(为参数)，上的点对应的参数是，则点与(，)之间的距离是( )．．解析：选∵(＋，＋)，(，)，∴＝＝＝.．已知三个方程：①(\\(＝，＝，))②(\\(＝，＝，))③(\\(＝，＝))(都是以为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )．①②．①③．②③．①②③解析：选①②③的普通方程都是＝，但①②中的取值范围相同，都是∈，而③中的取值范围是－≤≤.．参数方程(\\(＝＋()＝－))(为参数)所表示的曲线是( )．两条射线．一条直线．两条直线．一条射线解析：选因为＝＋∈(－∞，－]∪[，＋∞)，即≤－或≥，故是两条射线．．已知曲线的参数方程为(\\(＝＋( θ)＝θ－))(θ为参数，π≤θ＜π)．已知点(，)在曲线上，则＝( )．－－．－－．－＋．－＋解析：选∵(，)在曲线上，∴(\\(＝＋( θ) ①＝θ－②))由①得：θ＝，又π≤θ＜π.∴θ＝－＝－，∴θ＝－.∴＝·(－)－＝－－.．直线(\\(＝－－()，＝＋()))(为参数)上与点(－)的距离等于的点的坐标是( )．(－)．(－)．(－)或(－)．(－)或()解析：选可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·＝，解得＝±，将代入原方程，得(\\(＝－，＝))或(\\(＝－，＝，))所以所求点的坐标为(－，)或(－)．．若圆的参数方程为(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)，直线的参数方程为(\\(＝－，＝－))(为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．相交而不过圆心．过圆心．相离．相切解析：选将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．．设和是双曲线(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)的两个焦点，点在双曲线上，且满足∠＝°，那么△的面积是( )．．．解析：选方程化为普通方程是－＝，∴＝.由题意，得(\\(＋＝，,(－(＝.))∴·＝.∴＝·＝＝.．已知方程－＋＝的两根是θ和θ，则点(，)的轨迹是( )．抛物线弧．椭圆弧．圆弧．双曲线弧解析：选由题知(\\( θ＋θ＝，θ· θ＝，))即(\\(＝θ＋θ，＝θ· θ.))－＝( θ＋θ)－θ·θ＝.又θ≤.∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共个小题，每小题分，满分分．把答案填写在题中的横线上)．若直线：＝与曲线：(\\(＝＋θ，＝θ))(参数θ∈)有唯一的公共点，则实数＝.解析：曲线的普通方程为(－)＋＝，由题意知，＝，∴＝±.答案：±．(湖南高考)在平面直角坐标系中，若直线：(\\(＝，＝－))。

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 新人教A版选修4-4

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 新人教A 版选修4-4一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3 解析：由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3，因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧ 2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x 5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝y解析：方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y 2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4，即λ2x 24＋μ2y24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y.答案： D4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．2 3解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为32＋－2－22＝2 2.答案： C5．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，半径为r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆相离．答案： B6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：将圆的极坐标方程化成直角坐标方程⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，故其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.答案： A7．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的最近距离等于( )A ．2－1B ．5－1C ．1D ． 2解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A8．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析：由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案： D10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6C ．⎝⎛⎭⎪⎫23，7π6D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，116π 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝①，ρ＝4cos θ②，∴4cos 2θ＝3.∴cos θ＝±32. ∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6.将θ＝π6代入②，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. 答案： B二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析：直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3，化为直线方程得y ＝3；点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标即为(3，1)，于是点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2.答案： 212．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析：三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知，S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－34 13．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标________．解析：依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12 ＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24，∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)．答案： (6－2，6＋2)14．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2.答案： ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析：在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．在直角三角形OMA 中，由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dα－θ.这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.17．(12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .18．(14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．解析：如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 于是由正弦定理，得ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π－3θ2＝10sin θ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.。

济南市2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R )表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线【解析】由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线．【答案】 A2．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( ) A ．ρ＝sin θ＋cos θ B ．ρ＝sin θ－cos θ C ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆．【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0，又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离 d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点．【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C. 3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (04) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (04时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆，设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点．【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0.(2)将直线的参数表达式代入抛物线得12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a .因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|，由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值；(2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】设直线AB 的方程为⎩⎨⎧ x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α.(1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)． (2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应的参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求的轨迹方程．。

济南市2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4章末综合测评1 Word版含解析

章末综合测评(一)　坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换Error!后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin x ′D ．y ′＝sin 2x ′1213【解析】　由伸缩变换，得x ＝，y ＝.x ′2y ′3代入y ＝sin 2x ，有＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′.y ′3【答案】　A2．(2016·重庆七校联盟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为，，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )(3，π3)(4，π6)A ．1B ．2 C ．3D ．4【解析】　如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝，所以S △π6AOB ＝×3×4×＝3.1212【答案】　C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－D ．ρ＝1cos θ1cos θ【答案】　C4．在极坐标系中，点A 与B 之间的距离为( )(2，π6)(2，－π6)A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】　由A 与B ，知∠AOB ＝，(2，π6)(2，－π6)π3∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2.【答案】　B5．极坐标方程4ρ·sin 2＝5表示的曲线是( )θ2A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】　由4ρ·sin 2＝4ρ·＝2ρ－2ρcosθ＝5，得方程为θ21－cos θ2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋，x 2＋y 2254∴该方程表示抛物线．【答案】　D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】　由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1，∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限．【答案】　C7．点M 的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )3A.B.(22，3π4，π6)(22，π4，π6)C.D.(22，π4，π3)(22，3π4，π3)【解析】　设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则Error!解得Error!【答案】　A8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R )截圆π6ρ＝2cos所得弦长是( ) (θ－π6)【导学号：91060014】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】　化圆的极坐标方程ρ＝2cos 为直角坐标方程得＋(θ－π6)(x －32)2＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R )的直角坐标方(y －12)2 (32，12)π6程为x －y ＝0，由于－×＝0，即直线x －y ＝0过圆3323123＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R )截圆ρ＝2cos 所得弦长(x －32)2 (y －12)2 π6(θ－π6)为2.【答案】　B9．若点P 的柱坐标为，则P 到直线Oy 的距离为( )(2，π6，3)A ．1B ．2 C.D.36【解析】　由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝，故点P 在平面xOy(2，π6，3)内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos ＝，可得P 到直线Oy 的距离为.π636【答案】　D10．设正弦曲线C 按伸缩变换Error!后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.B ．π π2C ．2πD ．4π【解析】　由伸缩变换知3y ＝sin x ，12∴y ＝sin x ，∴T ＝＝4π.13122π12【答案】　D11．(2016·惠州调研)已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin＝4的距离的最小值是( )(θ＋π6)A ．1 B. C. D.325272【解析】　曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ＝4，即x ＋y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于(θ＋π6)3＝，所以点A 到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.|1＋0－8|272(θ＋π6)7252【答案】　C12．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )(θ＋π4)【解析】　法一　圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向(θ＋π4)旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.π4(1，π4)法二　圆ρ＝2sin 的直角坐标方程为＋＝1，圆心为(θ＋π4)(x －22)2 (y －22)2，半径为1，故选C.(22，22)【答案】　C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2016·深圳调研)在极坐标系中，经过点作圆ρ＝4sin θ的切线，(22，π4)则切线的极坐标方程为________．【解析】　圆ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点的直角坐(22，π4)标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】　ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为，(4，π3)则|CP |＝________.【解析】　由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,2)，因此|CP |＝2.33【答案】　315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)2的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标22方程为x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝.将代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝.222(22，0)22【答案】　2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】　直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝，圆ρ＝2cos θ两边同乘12ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，∴弦长为2× ＝.12－(12)23【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝.22cos (θ＋π4)求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】　⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即＋＝.(x －12)2 (y －12)2 12又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M 为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离(12＋22cos θ，12＋22sin θ)d ＝|12＋22cos θ－(12＋22sin θ)－4|2＝，4－cos (θ＋π4)2当θ＝时，d min ＝＝.7π43232218．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ＝，求极点到(θ＋π4)22直线的距离．【解】　∵ρsin＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，(θ＋π4)22即直角坐标方程为x ＋y ＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝＝.|0＋0－1|22219．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转得到圆D ，求圆D 的方程．π2【解】　(1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆π2D ：ρ＝2cos，(θ－1－π2)即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P的柱坐标．图1【解】　设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝，z 1＝0，π2∴C 的柱坐标为；(3，π2，0)设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝＝＝3，|OA |2＋|AB |232＋322θ2＝∠BOA ＝，z 2＝3，π4∴B ′的柱坐标为；(32，π4，3)如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝|OB |＝，θ3＝∠AOE ＝，z 3＝3，12322π4点P 的柱坐标为.(322，π4，3)21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲(θ－π3)线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．2(θ－π4)【解】　将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得：C 1：x ＋y ＋2＝0，3C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离d ＝＝＞，|1＋3＋2|12＋(3)23＋322∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin＝交于不同的两点A ，B .(θ－π4)2(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】　(1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4.又∵ρsin＝，∴y ＝x ＋2，(θ－π4)2∴|AB |＝2＝2＝2.r 2－d 22(2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos＝.(θ＋π4)22。

2016-2017学年高中数学阶段质量检测(二)A卷新人教A版选修4-5

阶段质量检测（二） A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设t ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1，则下列t 与S 的大小关系中正确的是( ) A ．t >SB ．t ≥SC ．t <SD ．t ≤S解析：选D t －S ＝a ＋2b －(a ＋b 2＋1)＝－(b 2－2b ＋1)＝－(b －1)2≤0. 2．若a >b ，则必成立的不等关系是( ) A ．a 2>b 2B.b a<1C ．lg(a －b )>0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：选D ∵a ，b 正负不确定，而a >b ⇒a 2>b 2的条件是a ，b 同正；a >b ⇒ba<1的条件是a >0；a >b ⇒lg(a －b )>0成立条件是a >b ＋1，因此A 、B 、C 均不成立；12<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数a >b ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立．3．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b 解析：选D3a 与3b 大小包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b 三方面的关系，所以3a >3b的反设应为3a ＝3b 或3a <3b .4．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以三个数中至少有一个不小于2.5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a >bC ．a ＝bD ．a ≤b解析：选B ∵a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x(x <0)，故b <1，∴a >b . 6．设P ＝3＋22，Q ＝2＋7，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．不确定解析：选A ∵P 2＝9＋8＋122＝17＋122，而Q 2＝11＋47，则 P 2－Q 2＝6＋122－47>6＋122－48＝6＋42>0， ∴P 2>Q 2，∴P >Q (P >0，Q >0)．7．要使x －1<x －1成立，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：选Cx －1＜x －1⇔0<x －1⇔x >1.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：选A P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab a ＋b ab＝a ＋b a 2＋b 2－2abab＝a ＋ba －b2ab.∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ， ∴a ＋ba －b2ab>0，∴P >Q .9．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( ) A ．0<a 0，b >0，又a ＋b ＝1，故a <1，b <1.利用对数函数图象的特点，当底数小于1大于0时，底数越小，图象越接近x 轴，∴a log b 3⇒1log 3a －1log 3b >0⇒log 3b －log 3a log 3a ·log 3b>0，由0<a <1,00， ∴log 3b －log 3a >0，log 3b >log 3a ，故b >a . 10．若a >b >0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a b B.b 2＋1a 2＋1>b2a2C ．a ＋1a >b ＋1bD ．a a >b b解析：选B 利用不等式性质，得当a >b >0时，1a <1b，由此可知，C 不恒成立；当0<a <1，a >b 时，可知a a <b b ，D 不能恒成立；选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可见A 不恒成立．由于本题为单选题，仅有一个结论成立，综上可知排除A 、C 、D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是__________．答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12”12．设a >0且a ≠1，m ＝log a (1＋a )，n ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，则m ，n 的大小关系为________．解析：当a >1时，1＋a >1＋1a，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n ；当0<a <1时，1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n .答案：m >n 13．记A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．解析：∵211－1＝210＋(210－1)，∴A 是210项之和．∴A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝1210×210＝1.答案：A <114．若a >b >c >0，ρ1＝c ＋a2＋b 2，ρ2＝b ＋c2＋a 2，ρ3＝a ＋b2＋c 2，则ρ1ρ2，ρ2ρ3，ρ22，ρ23中最小的一个是________．解析：利用赋值法比较，令a ＝3，b ＝2，c ＝1可得ρ1＝20，ρ2＝18，ρ3＝26，则ρ1ρ2＝360，ρ2ρ3＝468，ρ22＝324，ρ23＝676，易知ρ22最小．答案：ρ22三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，试比较(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . ∵p ＋q ＝1，∴p －1＝－q ，q －1＝－p . ∴(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. ∵p ，q 为正数，∴－pq (x －y )2≤0， ∴(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 16．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.证明：因为(a ＋b ＋c )2≥0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥0. 又因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≥－12.因为ab ≤a 2＋b 22，bc ≤b 2＋c 22，ac ≤a 2＋c 22，所以ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＝1.所以－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.17．(本小题满分12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 中的a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0. ①∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，则a ＋b 必为偶数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数．ak2＋bk＋c必为奇数，与①式矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与①式相矛盾，∴假设不正确，即方程f(x)＝0无整数根．18．(本小题满分14分)定义在[0,1]上的函数f(x)，若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0,1]是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．解：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，所以f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，因为x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0，所以f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．。

人教新课标版数学高二-2016-2017人教版高中数学选修4-4 模块综合评价

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z) 解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案：C2．过点P (4，3)，且斜率为23的直线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝4＋313t ，y ＝3＋213t (t 为参数)B.⎩⎨⎧x ＝3＋313t ，y ＝4＋213t (t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝4＋213 t ，y ＝3＋313t (t 为参数)D.⎩⎨⎧x ＝3＋213t ，y ＝4＋313t (t 为参数)解析：因为倾斜角α满足tan α＝23，所以sin α＝213，cos α＝313，所以所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋313t ，y ＝3＋213t (t 为参数)．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0. 答案：A4.如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π2，5，则此长方体外接球的体积为( )A.7777π3B.7777π6C.7777π4D.7777π12解析：A 1，C 1的直角坐标分别为A 1(4，0，5)，C 1(0，6，5)，所以OA ＝6，OC ＝4，OO 1＝5，所以长方体外接球的半径R ＝1242＋62＋52＝1277. 所以外接球体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫12773＝77776π.答案：B5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A ．2 B.2 C ．5 D. 5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为⎝⎛⎭⎫0，2，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是 5.答案：D7．下列点是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.()－2，3 D.()1，3解析：曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2＝1＋x ，验证各选项，知选B.答案：B8．已知在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，O (0，0)，则△ABO 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：因为∠AOB ＝π4，|OA |＝2|OB |，所以△ABO 为等腰直角三角形．答案：D9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝a 2t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at ＝1＋cos θ，a 2t －1＝2sin θ，则4(at －1) 2＋(a 2t －1)2＝4，即a 2(a 2＋4)t 2－2a (a ＋4)t ＋1＝0， Δ＝4a 2(a ＋4)2－4a 2(a 2＋4)＝16a 2(2a ＋3)．直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a ≥－32.答案：C11．已知圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3B ．ρcos θ－3ρsin θ＝ 3 C.3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3 D.3ρcos θ－ρsin θ＝ 3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F 2的坐标为(1，0)，直线AF 2的直角坐标方程是x ＋y3＝1，即3x ＋y ＝3，化为极坐标方程就是3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3. 答案：C12．点P (x ，y )是曲线3x 2＋4y 2－6x －8y －5＝0上的点，则z ＝x ＋2y 的最大值和最小值分别是( )A ．7，－1B ．5，1C ．7，1D ．4，－1 解析：将原方程配方得（x －1）24＋（y －1）23＝1，令⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，则x ＋2y ＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，(x ＋2y )max ＝7，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，(x ＋2y )min ＝－1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π414．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝π4时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y ＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．极坐标系中，点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．解析：点P 的直角坐标是(3，－1)，直线l 的直角坐标方程是x －3y ＋2＝0，故点P 到直线l 的距离为|3＋3＋2|2＝3＋1.答案：3＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2＝3＋1＝4，所以a ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．解： (1)曲线C 1：ρ＝6cos θ即ρ2＝6ρcos θ，所以x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. 曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R)表示直线，其直角坐标方程为y ＝x .(2)因为圆心(3，0)到直线的距离d ＝322，r ＝3，所以|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，①因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2])，②联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，根据x 的取值范围应舍去⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，故P 点的直角坐标为(0，0)．19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t 得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ，由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12.所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 因此|AB |的值为 3.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝3t (t 为参数)，P 、Q 分别为直线l 与x 轴、y 轴的交点，线段PQ 的中点为M .(1)求直线l 的普通方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标和直线OM 的极坐标方程．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝3t (t 为参数)，消参得3x ＋y －23＝0，所以直线l 的普通方程为3x ＋y －23＝0.(2)当y ＝0时，x ＝2，所以点P 的直角坐标为(2，0)．当x ＝0时，y ＝23，所以点Q 的直角坐标为(0，23)．所以线段PQ 的中点M 的直角坐标为(1，3)．因为12＋（3）2＝2，31＝3，且点M 在第一象限，所以点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，所以直线OM 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4. (2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝223，所以|AB |＝22－89＝2103，点P 到直线AB 距离的最大值为2＋223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝1059. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)根据(1)的结果，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos φ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得：x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，消去参数θ得点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标之间的关系⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。

2017春人教A版数学选修4-4课后练讲末学考测评2 Word版含答案

第二讲讲末学考测评(满分：150分测试时间：120分钟)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分填空题解答题得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t2－1(t 为参数)所表示的曲线是 ( D )解析：将参数方程进行消参，则有t ＝1x ，把t ＝1x 代入y ＝1t t2－1中，得当x >0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x <0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.对照选项，可知D 正确．2．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( C )A ．(2，－7)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y ＝1－2x 2 (－1≤x ≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．故选C ．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为( C )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ(θ为参数)消去参数化为普通方程是y ＝x －2，由0≤sin 2θ≤1，可得2≤x ≤3.故选C ．4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t|y ＝tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝cos 2tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1＋cos 2t1－cos 2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t1＋cos 2t解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ．而C 中y ＝2cos2t 2sin2t ＝1tan2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C ．故选D ．5．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是 ( D )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．故选D ．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2 (t 为参数)所表示的曲线是 ( B )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：根据参数中y 是常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识求出x 的范围可得x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线．故选B ．7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ( D ) A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：∵直线的极坐标方程为ρcos θ＝4，化为直角坐标方程x ＝4，把x ＝4代入曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3 (t 为参数)中，解得t ＝±2，∴y ＝±8.∴点A (4,8)，B (4，－8)，∴|AB |＝|－8－8|＝16.故选D ．8．过点(0,2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( B )A ．⎩⎨⎧ x ＝3t y ＝2＋tB ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD ．⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t解析：直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t(t 为参数)．故选B ．9．若圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( B )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，直线的方程为3x －y ＋2＝0，圆心坐标为(－1,3)，易验证圆心不在直线3x －y ＋2＝0上．而圆心到直线的距离d ＝错误!＝错误!<2，∴直线与圆相交．故选B ．10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( D )A ．12B ．22C ．1D ．2解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ， ∴d ＝|x |＋|y |＝|cos θ|＋|sin θ|，设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴d ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴d max ＝2.故选D ．11．(2016·湖南科大附中期末)已知O 为原点，P 为椭圆⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝23sin α(α为参数)上第一象限内一点，OP 的倾斜角为π3，则点P 坐标为( D )A ．(2,3)B ．(4,3)C ．(23，3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫455，4155解析：∵P 在椭圆上，∴可设P 坐标为(4cos α，23sin α)，又k OP ＝23sin α4cos α＝tan π3＝3⇒tan α＝2且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝55，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫455，4515，故选D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数) 和 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2中，当t ＞0时，x ≥2t ·1t＝2；当t ＜0时，－x ＝(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ≥2错误!＝2，得x ≤－2. 原方程化为普通方程是y ＝2(x ≥2，或x ≤－2)．①方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ 的普通方程为x 2＋y 2＝4.②将①式中的y ＝2代入②式中，得x ＝0，显然不满足①，即方程组错误!无实数解，所以曲线C 1与C 2的交点个数为0.故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·湖南十三校联考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为1.解析：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1,0)，代入直线y ＝x －a 可得a ＝1.14．(2016·广东南澳校级二模)在平面直角坐标系中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为4.解析：直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)，消去s 得普通方程为x －2y －1＝0，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)，消去t 得普通方程为2x －ay －a ＝0，∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，解得a ＝4.当a ＝4时，两直线在y 轴上的截距不等．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为(2,5)．解析：曲线C 1普通方程为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的直角坐标方程为：y ＝x ＋3，将y ＝x ＋3代入y ＝x 2＋1，得x 2－x －2＝0，解得x ＝－1(舍去)或x ＝2，代入y ＝x ＋3得y ＝5，所以交点坐标为(2,5)．16．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为(2，π)．解析：直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2－y2＝4得交点的直角坐标为(－2,0)，从而交点的极坐标为(2，π)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解析：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎨⎧x2＋y2－2y ＝0，x2＋y2－23x ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴C 2和C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π，A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．∴|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，当α＝56π时，|AB |取最大值，最大值为418．(12分)(2016·重庆高三检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. (1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由直线l 的极坐标方程：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)设点P 关于直线l 的对称点Q (a ，b )，则错误!解得错误!∴Q (2,6)．由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)，故|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1＝37－1.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以|PB |＋|AB |的最小值为37－1.19．(12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解析：因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ.所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过点C (－1，3)，圆C 的半径是2，由题意有－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]20．(12分)(2016·云南昆明两区七校调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ(其中θ为参数)，点M 是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足OP →＝2OM →，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝π3.(1)求曲线C 2的普通方程，射线l 的参数方程； (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |. 解析：(1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝2y′，∵点M 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x′＝1＋3cos θ，y′＝3sin θ，∴(x ′－1)2＋y ′2＝3.故曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝12. 由l ：θ＝π3可得l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数且t ≥0)．(2)方法一将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)代入C 1的方程得t 2－t －2＝0，∵t ≥0，∴t ＝2，同理代入C 2的方程得t 2－2t －8＝0，∵t ≥0，∴t ＝4.∴|AB |＝4－2＝2.方法二曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0，将θ＝π3代入得ρ＝2，∴A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0，将θ＝π3代入得ρ＝4，∴B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，∴|AB |＝4－2＝2.21．(12分)在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t2＋1(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程和普通方程；(2)过点A (m,0)作曲线C 的两切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解析：(1)将x ＝t 代入y ＝t 2＋1中，得曲线C 的普通方程为y ＝x 2＋1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程y ＝x 2＋1中，得曲线C 的极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ＋1，即ρ2sin 2θ＋ρsin θ＝ρ2＋1.(2)由已知，两切线的斜率存在，设切点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵y ′＝2x ，∴切线AP ：y －y P ＝2x P (x －x P )，即2x P x －y －y P ＋2＝0，切线AQ ：y －y Q ＝2x Q (x －x Q )，即2x Q x －y －y Q ＋2＝0.又两切线均过点A (m,0)，因而2x P m －y P ＋2＝0且2x Q m －y Q ＋2＝0，∴直线PQ 的方程为2mx －y ＋2＝0，该直线恒过定点(0,2)22．(12分)极坐标系与直线坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋tcos αy ＝tsin α(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解析：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)，C(3，－3)，所以经过点B，C的直线方程为y－3＝－3(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝2π3。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1模块综合检测(二) Word版含解析

模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．12 cmC ．18 cmD ．24 cm解析：选D 根据AE ＝ED ，AB ∥EM ∥DC ，有BM ＝MC . 又EF ∥BC ，所以EF ＝MC ，于是EF ＝12BC .2．在▱ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE面积相等的三角形有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选C 利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．3．在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9D ．2∶3解析：选C 易证△ABF ≌△DAE .故知BF ＝AE . 因为AE ∶EB ＝2∶1，故可设AE ＝2x ，EB ＝x ，则AB ＝3x ，BF ＝2x .由勾股定理得AF ＝(3x )2＋(2x )2＝13x . 易证△AEG ∽△ABF .可得S △AEG ∶S △ABF ＝AE 2∶AF 2＝(2x )2∶(13x )2＝4∶13.可得S △AEG ∶S 四边形BEGF ＝4∶9. 4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC (其中BC >AD )E 、F 分别是AB 、DC 的中点，连接EF ，且EF 交BD 于G ，交AC 于H ，则GH 等于( )A ．AD B.12(AD ＋BC )C ．BCD.12(BC －AD )解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题． 5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD 、BC 于E 、F 两点，并交BA 延长线于G ，则BF 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选C ¼BF的度数等于圆心角∠BAF 的度数．由题意知∠B ＝45°，所以∠BAF ＝180°－2∠B .6．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．7.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PA PB 等于( )A ．2B.12C. 3 D ．1解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝3PB 2，则PAPB ＝ 3.8．D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.92，16 B ．9,4 C.92，8 D.94，16解析：选A 如右图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点．∴EF 綊12BC ，∴△AEF ∽△ABC ，且EF BC ＝12.∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12，又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，又∵S △DEF ＝4， ∴S △ABC ＝16.9.如图，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF ∶FC 等于( )A ．1∶5B ．1∶4C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 过D 作DG 平行于AF ，交BC 于点G ，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB ＝20°，则∠ACB ，∠DBC 分别为( )A ．15°与30°B ．20°与35°C ．20°与40°D ．30°与35°解析：选B ∵∠ADB ＝20°， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝20°. 又∵BC 为⊙O 的直径，∴¼ADC 的度数为180°－40°＝140°. ∵D 为¼AC 的中点， ∴»CD的度数为70°， ∴∠DBC ＝70°2＝35°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.(湖北高考)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：212．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.解析：由切割线定理得：AC2＝AD·AB＝2×6＝12.所以AC＝2 3.连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝12AC＝ 3.答案： 313．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，所以∠DAC＝30°，即可得出¼AE＝»BC＝»EC.所以AE＝BC＝3.答案：30° 314．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.解析：因为PA是圆O的切线，所以∠CAP＝∠ABC＝60°.又PE＝PA，所以△PAE为等边三角形．由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，所以PA ＝3，所以PA ＝PE ＝AE ＝3， ED ＝PE －PD ＝3－1＝2， BE ＝BD －ED ＝8－2＝6. 由相交弦定理得AE ·EC ＝BE ·ED . 所以EC ＝BE ·ED AE ＝6×23＝4，所以AC ＝AE ＋EC ＝3＋4＝7. 答案：7三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点，∴F 是AB 的中点．又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点．∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝ACAD . 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C .TA ，TB 与小圆分别相交于点E ，F .FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) »CE＝»CF ；(2)AC ·PF ＝BC ·PT .证明：(1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB 切小圆于点C ，∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ， ∴»CE＝»CF . (2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF . ∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT . ∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°， ∵TF 是⊙O 的直径， ∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PT PF ， ∴AC ·PF ＝BC ·PT .18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD 中，以A 为圆心，AD为半径的圆交AC ，AB 于M ，E .CE 的延长线交⊙A 于F ，CM ＝2，AB ＝4.(1)求⊙A 的半径；(2)求CE 的长和△AFC 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，∴CD ＝4. 在Rt △ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2， ∴(2＋AD )2＝42＋AD 2.解得：AD ＝3，即⊙A 的半径为3. (2)过点A 作AG ⊥EF 于点G ，∵BC ＝3，BE ＝AB －AE ＝4－3＝1， ∴CE ＝BC 2＋BE 2＝32＋12＝10.∵∠ADC ＝90°， ∴CD 为⊙A 的切线， ∴CE ·CF ＝CD 2， ∴CF ＝CD 2CE ＝4210＝8510.又∠B ＝∠AGE ＝90°，∠BEC ＝∠GEA ， ∴△BCE ∽△GAE ，∴BC AG ＝CE AE 即3AG ＝103.∴AG ＝91010，∴S △AFC ＝12CF ·AG ＝12×8510×91010＝365.。

2016-2017学年高中数学阶段质量检测(一)A卷新人教A版选修4-5

阶段质量检测（一）A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|>3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3} B ．{x |2≤x <3} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}解析：选C A ＝{x |2≤x ≤3}，B ＝{x |x >2或x <－1}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3|}． 2．(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 2ab2b ＝a ，即a <v <ab .3．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.4．下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a ＜c b (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m ＞ab (a ，b ，m 为正数且a ＜b )．其中恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 当x ＜0时，①不成立；由a ＞b ＞c ＞0得1a ＜1b ，所以c a ＜cb成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m b －a b b ＋m ，由a ，b ，m 为正数且a ＜b 知a ＋m b ＋m －ab＞0恒成立，故③恒成立． 5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．6解析：选A y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2.6．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选A |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.7．已知a ＞b ＞0，给出下列三个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；③a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③解析：选A 由a ＞b ＞0可得a 2＞b 2，①成立；由a ＞b ＞0可得a ＞b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )＞f (b －1)，即2a ＞2b －1，②成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3＜2a 2b ，③不成立．故选A.8．函数y ＝4x －92－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的最小值是( )A ．8B ．6C ．9D ．4解析：选A y ＝4x －92－4x ＝4x ＋94x －2＝4x －2＋94x －2＋2，∵x >12，∴4x －2>0，∴y ≥29＋2＝8.当且仅当x ＝54时，等号成立．9．(重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4b b －3. 由a ＞0，得b ＞3，∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94解析：选C z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为________．解析：因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0，所以(x ＋3)(x ＋7)<(x ＋4)(x ＋6)，即A 0)的最小值为________．解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x2，即x ＝2时，等号成立．答案：913．以下三个命题：(1)若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23.其中正确的有__________个．解析：(1)∵|a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1. ∴(1)正确．(2)∵|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|b －a |＝|a －b |，∴(2)正确．(3)∵|x |<2，|y |>3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |<23，∴(3)正确．答案：314．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a即可．当a ＞0时，不等式－5≥a ＋4a无解；当a ＜0时，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a ＜0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)解不等式： |2x －1－x |<2. 解：原不等式⇔⎩⎨⎧2x －1－x <2，2x －1－x >－2.因为2x －1－x <2⇔2x －1<x ＋2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －x ＋2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2＋2x ＋5>0⇔x ≥12.又2x －1－x >－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≥0，2x －x －2或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2<0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－6x ＋5<0或12≤x <2， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，1<x <5或12≤x <2⇔2≤x <5或12≤x <2，⇔12≤x <5. 所以，原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，12≤x <5⇔12≤x <5. 因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x <5. 16．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.②由①②结合不等式的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥33b ×331b ＝9，当a ＝b ＝1时，等号成立．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x ∈－∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1，得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得(4x ＋1)(4x －3)≤0，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.18．(本小题满分14分)(辽宁高考)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是[1，＋∞)．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|||2x ＋1|－2|x ＋1| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，可知k ≥1，所以k 的取值范围是[1，＋∞)．。

高中数学阶段质量检测(二)(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题

阶段质量检测（二）(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：选C 当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上．2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：选B 圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0)C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ参数θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则曲线C ( )A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝12y －1，∴x 24＋14(y －1)2＝1，整理得x 2＋(y －1)2＝4，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得0≤x 2≤1，－1≤12(y －1)≤1，∴0≤x ≤2，－1≤y ≤3，∴曲线C 表示半个圆，故选D.5．将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝16 B ．x 2＋y 2＝16(x ≥4) C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝16(x ≥4)解析：选D 在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)中，分别将x 及y 平方作差，得x2－y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫4t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －1t 2＝16t ＋8t ×1t ＋1t －⎝⎛⎭⎪⎫16t －8t ×1t＋1t ＝16，由x ＝4t ＋1t≥24t ×1t＝4，得x ≥4，故曲线的参数方程化成普通方程为x 2－y 2＝16(x ≥4)．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：选D 由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－22＝2 2.7．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，消去参数θ，得x ＝2(1－y )，即x ＋2y －2＝0，由x ＝2cos 2θ得0≤x ≤2，∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．8．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为( )A ．(1,0)，(0，－2)B ．(－1,0)，(0,1)C ．(0，－1)，(1,0)D ．(－3,0)，(0,3)解析：选D 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)消去参数t ，得x －y ＋3＝0，令x ＝0，得y ＝3；令y ＝0，得x ＝－3. ∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．9．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φ＋φsin φ，y ＝rsin φ－φcos φ(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：选 D 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝rcos φ＋φsin φ，①0＝r sin φ－φcos φ，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.10．已知点(x ，y )满足曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)，则y x的最小值是( )A.32B.32C. 3D ．1解析：选D 曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以2为半径的圆，∴y x表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，yx取最小值，设过原点的切线方程为y ＝kx ，则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离d ＝|4k －6|k 2＋1＝2，即7k 2－24k ＋17＝0，解得k ＝1或k ＝177，∴yx的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程．答案：y ＝±2x12．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4t ，y ＝－2＋3t (t ∈R ，t 为参数)，则直线l 在y 轴上的截距是________．解析：令x ＝0，可得t ＝1，y ＝1，∴直线l 在y 轴上的截距是1. 答案：113．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)化成普通方程为x －3y＋1＝0，ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，也即(x ＋2)2＋y 2＝4，表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆．∴圆C 的圆心到直线l 的距离为|－2＋1|1＋3＝12.答案：1214．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，设点P 是曲线C 上的一个动点，则P 到直线l 的距离d 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，则d ＝|32＋cos θ－sin θ＋23|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋432，因为θ∈R ，所以d 的取值范围是[23－1,23＋1]．答案：[23－1,23＋1]三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.所以实数a 的取值范围为[－25，25]．16．(本小题满分12分)已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求AB 的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离．解：(1)把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)代入曲线方程并化简得7t 2＋6t－2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27.|AB |＝32＋－42|t 1－t 2|＝5t 1＋t 22－4t 1t 2＝10237.(2)根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37.所以点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离为32＋－42·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－37＝157. 17．(本小题满分12分)设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过定点P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y＋4－3k ＝0，因为直线l 与圆C 交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，即ρ(sin θ＋3cos θ)＝3 3. 设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2sin θ2＋3cos θ2＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.又θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2.。

2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：评估验收卷(二)含解析

评估验收卷（二）（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列点不在直线错误!(t为参数）上的是（)A．(－1,2）B．（2,－1)C．(3，－2) D．(－3,2)解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2）的坐标不适合方程x＋y－1＝0.答案：D2．方程错误!(θ为参数，ab≠0）表示的曲线是（)A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一部分解析：由x cos θ＝a，所以cos θ＝错误!，代入y＝b cos θ，得xy＝ab,又由y＝b cos θ，知y∈[－|b|，｜b|］,所以曲线应为双曲线的一部分．答案：D3．圆的参数方程为错误!（θ为参数,0≤θ〈2π），若Q(－2，2错误!)是圆上一点，则对应的参数θ的值是（）A.错误!B。

错误!πC.错误!πD.错误!π解析：因为点Q（－2，2错误!)在圆上，所以错误!且0≤θ<2π，所以θ＝错误!π.答案：B4．设r>0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆错误!（φ是参数)的位置关系是（)A．相交B．相切C．相离D．视r的大小而定解析：易知圆的圆心在原点，半径是r,则圆心(0，0）到直线的距离为d＝错误!＝r，恰好等于圆的半径,所以直线和圆相切．答案:B5．直线l的参数方程为错误!（t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P（a，b）之间的距离是（)A．|t1｜B．2｜t1｜C.错误!|t1｜D。

错误!｜t1|解析：点P1与点P之间的距离为错误!＝错误!＝错误!|t1|.答案：C6．已知圆的渐开线错误!(φ为参数)上有一点的坐标为（3,0），则渐开线对应的基圆的面积为（)A．πB．3πC．4πD．9π解析：把已知点(3，0）代入参数方程得错误!由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3,所以基圆的面积为9π.答案:D7．已知圆C的参数方程为错误!（α为参数）,当圆心C到直线kx ＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为（）A.错误!B。