拉普拉斯变换副本
拉普拉斯变换及反变换.ppt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st
0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
拉普拉斯积分变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
图象沿t 轴向右平移距离而得。
这个性质表白，时间函数延迟 τ 旳拉氏变换等于它旳
象函数乘以指数因子 e s 。
30
例
求函数 u(t τ
)
0, t τ 1, t τ
旳拉氏变换。
解 因为
Lu(t) 1
s
根据延迟性质，有
Lu(t τ ) 1 esτ
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F (s) 旳全部奇点（合适选
用 使这些奇点全在 Re(s) 旳范围内），
且当 s 时，F (s) 0 ，则有
1 j
n
F (s) est ds Re s F (s) est
2 j j
k 1 ssk
即
n
f (t) Re sF (s)est ,t 0 k 1 ssk
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
一般地，有
L
f (t) t n
ds
ds
s s
F (s)ds
s
n次
21
例 求函数 f (t) sinh t 旳拉氏变换。
t
解 因为
Lsinh t 1
s2 1
据象函数旳积分性质可知
L
sinh t
t
Lsinh tds
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它旳象原函数f(t)旳一般公式， 右端旳积分称为拉氏反演积分。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
拉普拉斯变换LAPLACETRANSFORM资料
udv uv vdu
f (t) dt dv v f (t)
积分
0
f (t) estdt uv vdu
est f (t) f (t) (sest )dt
0
0
f
(0 ) s
0
f
(t) estdt
sF (s) f (0 )
7
二、微分性质： L[ f (t)] sF(s) f (0 )
例13-3 求象函数：
（1）f (t) cost
解： d sint cost
dt
L[cost] L[ 1 d sint] 1 L[ d sint]
dt
dt
1
[s
LAPLACE TRANSFORM
1
历史的回顾
—— 小结线性电路分析
一、电阻电路的直流分析：
二、低阶动态电路的时域分析：
列、解微分方程：较难。1、列；2、解：定动态元件的初态 状态 [ uC(0+)、iL(0+) ] 和定积分常数。 优点：物理概念明确。 三、正弦稳态分析： 频域分析：相量法。
四、非正弦周期函数的谐波分析： 五、非周期函数电路的傅立叶积分：
s pn
Ki为待定之系数。
①将上式两边乘以(s-p1)，先约分，后代数。
(s
p1)
F(s)
K1
(s
p1 )(
s
K2 p2
s
Kn pn
)
令s=p1，代入上式，
K1 [( s p1 ) F (s)]s p1 ②同理可得：
Ki [( s pi ) F (s)]s pi
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
pa
F (p)
七 周期函数的象函数
若（ f t）是一个周期为a的周期函数，即f(t+a)=f(t)
L[f(t)] f (t) e
0 pt
dt
n 0
( n 1) a
na
f (t) e pt dt
e
n 0
pna
a
0
e pt f (t)dt
e
式中，ai为B(p)的实零点或虚零点，
ni为ai的零点个数，i为待定系数。
L [
1
i
(p a i )
] ni
i
(n i 1)!
t ni 1eait
1 例题5-13 求 F (p) 2 的逆变换 p (p 1)
1 A B C 解：设F p 2 + 2 p (p 1) p P P 1
因此原函数为
1 3t 1 3t f (t ) ( e e ) cos 3t sin 3t 2 3
4.海维赛德法
(1) 分母B(p)无重根(互异单零点)
此时，F(p)总可以展成简单的部分分式之和。即
An A1 A2 A( p ) F p ... B ( p ) ( p p1 ) ( p p2 ) ( p pn )
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
预备知识 拉普拉斯变换(Laplace Transform)
自动控制原理
1
2010/9/2
提纲
一、复变量和复变函数 二、拉普拉斯变换 三、拉普拉斯变换定理 四、拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（又称为运算微积分，或称为算子微 拉普拉斯变换 （又称为运算微积分，或称为算子微 积分）是在19 积分）是在 19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 维赛德 维赛德( (O.Heaviside O.Heaviside) )发明了用运算法解决当时电工计算 中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证．后来由 法国数学家拉普拉斯 法国数学家 拉普拉斯( (place place) )给出了严密的数学定 义，称之为拉普拉斯变换方法．
0 u (t ) 1
t 0 t 0
则可选取 f (t ) (t )u (t ) ，其傅氏变换为
自动控制原理
自动控制原理
2
2010/9/2
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) ] F [ ( t ) u ( t ) ]
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) e t ] F [ ( t ) u ( t ) e t ]
0
A sa
L [ A] Ae st dt
0
A s
阶跃函数可看作指数函数在a=0时的特例。
自动控制原理
自动控制原理
3
2010/9/2
拉普拉斯变换
例：斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) At t 0 t0
st
拉普拉斯变换
例：正弦函数的拉氏变换 式中，A为常数
通过该处理，在t<0 <0区间 区间φ(t)没有定义的问题得到了 解决，但是仍然不能回避 f(t)在[0， [0，+∞)上绝对可积的限 +∞)上绝对可积的限 制。为此，考虑加入 t +∞ +∞时衰减速度很快的函数： 时衰减速度很快的函数：
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
信号与系统的公式汇总分类 - 副本
信号与系统公式性质1连续傅里叶变换⎰⎰∞∞-∞∞--==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞+∞-∞-==-j j st stds e s F j t f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换(单边) ⎰∑≥==-∞=-Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(10π4离散傅里叶变换⎰∑==∞-∞=-πθθθθθπ2)(21)()()(d e eF k f e k f e F k j j k kj j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性 )()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移)()(00s F e t t f st ±↔± 时移)()(z F z m k f m ±↔±（双边） 时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔± 频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔±频移 )()(00s s F t f e t s ↔±频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换）频移 )()()(00θθθ j jk e F k f e ↔±尺度 变换 )(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度 变换 )(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度 变换 )()(azF k f a k ↔尺度 变换 )(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转 )()(ωj F t f -↔- 反转 )()(s F t f -↔- 反转 )()(1-↔-z F k f （仅限双边） 反转 )()(θj e F k f -↔-时域 卷积 )()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121z F z F t f t f ↔时域 卷积 )()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔ 频域 卷积 )(*)(21)()(2121ωωπj F j F t f t f ↔时域 微分)0()0()()()0()()(2---'--↔''-↔'y sy s F s t f f s sF t f时域 差分)1()0()()2()0()()1()2()1()()2()1()()1(22121zf f z z F z k f zf z zF k f f f zz F z k f f z F z k f --↔+-↔+-+-+↔--+↔----频域卷积 ψπθψπψd e F eF k f k f j j )()(21)()()(22121-⎰↔时域 微分 )()()()()()(ωωωωj F j j F j t f t f n n ↔'时域 差分 )()1()1()(θθj j e F e k f k f -↔--频域 微分 nn nd j F d d j dF jt f jt t tf ωωωω)()()()()(↔-S 域 微分 nn nds s F d s F t f t t tf )()()()()('-↔-Z 域 微分 dzz dF zk kf )()(-↔频域 微分 θθd e dF jk kf j )()(↔时域 积分 )()0()(0)(,)(ωδπωωF j j F f dx x f t+↔=-∞⎰∞-时域 积分 sf s s F dx x f t)0()()()1(--∞-+↔⎰部分 求和 1)()(*)(-↔=∑-∞=z zi f k k f ki ε 时域 累加∑∑∞-∞=∞-∞=-+-↔k j j j k k e F e e F k f )2()(1)()(0πθδπθθ频域 积分 0)(,)()()()0(=-∞↔-+⎰∞-F d j F jt t f t f ωττπS 域 积分 ⎰∞↔s d F tt f ηη)()(Z 域 积分 ηηηd F z mk k f z m m⎰∞+↔+1)()()(lim )0(z F f z →∞=,)]0()([lim )1(zf z zF f z -=→∞对称 )(2)(ωπ-↔f jt F初值)(),(lim )0(s F s sF f s →∞+=为真分式初值)(lim )(z F z M f M z ∞→=（右边信号）,)()([lim )1(1M zf z F z M f M z -=++∞→帕斯 瓦尔⎰⎰∞∞-∞∞-==ωωπd j F dt t f E 22|)(|21|)(| 终值0),(lim )(0==∞→s s sF f s 在收敛域内终值)()1(lim )(1z F z f z -=∞→（右边信号）帕斯 瓦尔⎰∑∞-∞==πθθπ222|)(|21|)(|d e F k f j k常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换对一览表连续傅里叶变换对⎰∞∞--=dt et f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）⎰∞--=0)()(dt e t f s F stZ 变换对（单边） ∑∞=-=0)()(k k z k f z F函数 )(t f傅里叶变换)(ωj F 函数 )(t f 象函数)(s F函数0),(≥k k f象函数函数0),(≥k k f象函数1)(t δ )(21ωπδ )(t δ1)(k δ10),(≥-m m k δmz -)()()(t t n δδ'nj j )(ωω)(t δ's11-z z 0),(≥-m m k εm z z z-⋅-1)(t ε)(1ωπδω+j )(t εs1)(k ε1-z z )(2k k ε32)1(-+z z z )(t t ε21)(ωωδπ-'j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(-z z )()1(k a k k ε+ 22)(a z z - 0,)()(>--αεεααt te t e t t2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα--2)(11αα++s s)(k a k ε az z - )(1k ka k ε-2)(a z z - )sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ--+-++j)()cos(t t εβ22β+s s)(k e k εααe z z -)(k ka k ε2)(a z az -t 1)sgn(ωπj -)()sin(t t εβ 22ββ+s)(k ekj εββj e z z -)(2k a k kε322)(a z z a az -+||t22ω-)()cosh(t t εβ22β-s s )(2)(k aa a kk ε-- 22a z z - )(2)(k aa a kk ε-+ 222a z z - tj e0ω±)(20ωωπδ)()sinh(t t εβ22ββ-s )(2)1(k k k ε- 3)1(-z z)(2)1(k kk ε+ 32)1(-z z )()cos(t t etεβα-22)(βαωαω+++j j)()cos(t t etεβα-22)(βαα+++s s )(k ba b a kk ε-- ))((b z a z z--)(11k ba b a k k ε--++ ))((2b z a z z -- )()sin(t t e t εβα-22)(βαωβ++j)()sin(t t etεβα-22)(βαβ++s)()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+--ββz z z z)()sin(k k εβ1cos 2sin 2+-ββz z z),(||>-αεαt et222ωαα+)()(10t b t b ε+210ss b b +)()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+---βθβθz z z z)()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+--+βθβθz z z znt t)()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ')()(10t e b b b t εααα---)(01α++s s b s b)()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (a az z a z z +--ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +-ββ)sgn(tωj 2)()]sin([13t t t εβββ-)(1222β+s s)()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +--ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +-ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><--αααt e t e tt 222ωαω+-j)()sin()]1[213t t t εβββ-222)(1β+s0),(>k k ka kε⎪⎭⎫ ⎝⎛-a z z ln )(!k k a kε za e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||),cos()(τττπt t t t f 22)2()2()2cos(2ωτπωτπτ-⋅)()sin(21t t t εββ222)(β+s s)(!)(ln k k a kε za1)!2(1k z1cosh∑∞-∞=Ωn tjn n e FTn F n n πωδπ2,)(2=ΩΩ-∑∞-∞= )()]cos()[sin(21t t t t εββββ+ 2222)(β+s s)(11k k ε+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1ln z z z )(121k k ε+ 11ln21-+z z z ∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδTn n πωδωδ2)()(=ΩΩ-Ω=∑∞-∞=Ω )()cos(t t t εβ22222)(ββ+-s s)(])([1010t e b b e b b tt εαββαβαβα----+--))((01βα+++s s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(τττt t t g⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin 22ωτωωττSateb t b b αα-+-])[(110201)(α++s b s b)(]))(())(())(([221022102210t e b b b eb b b e b b b ttt εγβγαγγβγβαββαγαβααγβα-----+-+--+-+--+-))()((0122γβα+++++s s s b s b s btWt Wt Sa Wππ)sin()(= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(W W j F ωωω)()sin(t t Ae t εθβα+-,其中ββαθ)(10j b b Ae j --=2201)(βα+++s b s b)(])()2()([2210221022210t eb b b te b b b e b b b ttt εαβαβαβαβααβαββααβ-----+--⋅-+-+-+-)()(20122βα++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=∆2||,02||,||21)(τττt t t t f ⎪⎭⎫⎝⎛422ωττSa )(])(21)2([22210212t e t b b b teb b eb t ttεαααααα---+-+-+3122)(α+++s b s b s b)()]sin([222210t t A e b b b t εθββγγγγ++++--其中)()(1220βγβββθj jb b b Ae j ++-=))((220122βγ++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+=2||,02||),2(1)(ττττt t t t f⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--212ωτωωτSa ejj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-↔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<--<=4)(sin 4)(sin )(82||,02||2),||21(2||,1)(1112111ττωττωττωττττττττt t t t t f)()]sin()([222210t t Ae e b b b t t εθββγαγγαγ+++-+---其中)()()(2210βαγββαβαθj j b j b b Ae j +--+--=)]))[((220122βαγ+++++s s b s b s b双边拉普拉斯变换与双边Z 变换对一览表双边拉普拉斯变换对 ⎰∞∞--=dt e t f s F st)()(双边Z 变换对∑∞-∞=-=k kzk f z F )()(函数 象函数)(s F 和收敛域 函数 象函数)(z F 和收敛域 )(t δ 1，整个S 平面)(k δ1，整个Z 平面)()(t n δns ，有限S 平面)(k nδ∆0||,)1(>-z z z nn)(t ε0}Re{,1>s s)(k ε1||,1>-z z z)(t t ε0}Re{,12>s s )()1(k k ε+ 1||,)1(22>-z z z)()!1(1t n t n ε-- 0}Re{,1>s s n)()!1(!)!1(k n k n k ε--+1||,)1(>-z z z nn)(t --ε 0}Re{,1<s s)1(---k ε1||,1<-z z z)(t t --ε 0}Re{,12<s s )1()1(--+-k k ε 1||,)1(22<-z z z)()!1(1t n t n ----ε 0}Re{,1<s sn )1()!1(!)!1(----+-k n k n k ε 1||,)1(<-z z z nn)(t e at ε-}Re{}Re{,1a s as ->+ )(k a k ε||||,a z az z>- )(t teatε- }Re{}Re{,)(12a s a s ->+)()1(k a n nε+||||,)(22a z a z z >-)()!1(1t e n t atn ε--- }Re{}Re{,)(1a s a s n->+ )()!1(!)!1(k a n k n k nε--+||||,)(a z a z z nn>-)(t e at ---ε }Re{}Re{,1a s as -<+ )1(---k a k ε||||,a z az z<- )()!1(1t e n t at n -----ε }Re{}Re{,)(1a s a s n-<+)1()!1(!)!1(----+-k a n k n k n ε ||||,)(a z a z z nn<- )()cos(t t εβ 0}Re{,22>+s s sβ)()cos(k k εβ 1cos 2cos 22+--ββz z z z)()sin(t t εβ 0}Re{,22>+s s ββ)()sin(k k εβ 1cos 2sin 2+-ββz z z)()cos(t t etεβα-}Re{}Re{,)(22a s s s ->+++βαα)()cos(k k a kεβ 1cos 2cos 22+--ββza z za z)()sin(t t e t εβα- }Re{}Re{,)(22a s s ->++βαβ)()sin(k k a k εβ1cos 2sin 2+-ββza z za0}Re{,||>-a et α}Re{}Re{}Re{,222a s a as a->>-- 1||,||<a a k |1|||||,)1)(()1(2a z a az a z z a <<---}Re{),sgn(||>-a t e t α}Re{}Re{}Re{,222a s a a s s->>-1||sgn,||<a a k|1|||||,)1)(()(2az a az a z z z a <<---卷积积分一览表⎰∞∞--=τττd t f f t f t f )()()(*)(121)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(t f )(t δ')(t f ')(t f)(t δ)(t f)(t f)(t ελλd f t⎰∞-)()(t ε )(t ε)(t t ε)(t e t εα-)(t ε)()1(1t e t εαα--)(t ε)(t t ε)(212t t ε )(1t e t εα-)(2t e t εα-2112),()(121ααεαααα≠----t e e t t )(t e t εα- )(t e t εα-)(t te t εα- )(t t ε )(t e t εα- )(1122t e t t εαααα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--)(t te t εα-)(t e t εα-)(212t e t tεα-卷积和一览表∑∞-∞=-=i i k f i ft f t f )()()(*)(121 )(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(k f)(k δ)(k f)(k f)(k ε ∑-∞=ki i f )()(k ε )(k ε )()1(k k ε+ )(k k ε)(k ε)()1(21k k k ε+)(k a k ε)(k ε0),(111≠--+a k aa k ε )(1k a k ε )(2k a kε21211211),(a a k a a a a k k ≠--++ε )(k a k ε )(k a k ε)()1(k a k k ε+)(k k ε)(k a k ε)()1()1()(12k a a a k a k k εε--+- )(k k ε )(k k ε)()1()1(61k k k k ε-+)()cos(1k k a k εθβ+)(k a k ε⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+---++++2112122211211cos sin arctan )(cos )cos(])1(cos[a a a k a a a a a k a k k ββϕεβϕθϕθβ关于)(t δ、)(k δ函数公式一览表)()0()()(t f t t f δδ=)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ)()()()(t t t t δδδδ'-=-'=- )()0()()0()()(t f t f t t f δδδ'-'=')0()()(f dt t t f =⎰∞∞-δ)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ)(|)(|1)([1i ni i t t t f t f -'=∑=δδ)0()1()()()()(n n n f dt t t f -=⎰∞∞-δ)(||1)(t a at δδ=⎰⎰∞-∞∞-==tt d dt t )()(1)(εττδδ)()(0)(t d dt t tδττδδ='='⎰⎰∞-∞∞-)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ)(1||1)()()(t a a at n nn δδ⋅=)()()()(k k k ak δδδδ=-=∑∞-∞===k f k k f k f k k f )0()()()()0()()(δδδ)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰∞∞-δ。
拉普拉斯逆变换
即得
1 2π j
j
F
(
s)
e
st
d
j
s
n k 1
Res [
F (s)est ,
sk
].
(返回)
18
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
附：将实系数真分式 F (s) P(s) / Q(s) 化为部分分式
1. Q(s) 含单重一阶因子旳情况 若 Q(s) 含单重一阶因子 (s a) , 即 Q(s) (s a)Q1(s) ,
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解
(1) s1 2, s2 1 分别为 F (s) 旳一阶与二阶极点，
Res[ F (s)est,
2]
1 (s 1)2
est
s2
e2t,
Res[ F (s)est, 1] ( est ) et t et.
s 2 s1
(2) f (t ) Res[ F (s)est, 2 ] Res[ F (s)est, 1]
上面讨论了 Q(s) 含单重和多重一阶因子旳情况，假如是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
拉普拉斯变换公式证明
拉普拉斯变换公式证明拉普拉斯变换公式这玩意儿，听起来是不是感觉挺高大上的？其实啊，咱们一步步来，也没那么难搞懂。
咱先来说说啥是拉普拉斯变换。
简单讲，它就是一种数学工具，能把一些在时域里不太好处理的问题，转到复频域里去，变得好解决一些。
就像你有一堆乱七八糟的玩具在地上，你不好直接收拾，但是把它们装进不同的盒子里分类，就清晰多了。
那这拉普拉斯变换公式到底咋来的呢？咱一步步证明瞅瞅。
先给您列一下这个公式：$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ ，这里面的$f(t)$ 就是咱们原来时域里的函数，$F(s)$ 就是变换后的在复频域里的函数，$s = \sigma + j\omega$ 。
咱们从最基本的开始，假设$f(t)$ 是个简单的指数函数，比如说$f(t) = e^{at}$ ，这里的 $a$ 是个常数。
那拉普拉斯变换就变成了：$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s - a)t} dt$接下来算这个积分：\[\begin{align*}F(s)&=\left[-\frac{1}{s - a}e^{-(s - a)t}\right]_{0}^{\infty}\\&=-\frac{1}{s - a}(0 - 1)\\&=\frac{1}{s - a}\end{align*}\]您瞧，这就得出了一个简单情况下的拉普拉斯变换。
再比如说，咱考虑一个阶跃函数 $f(t) = u(t)$ ，当 $t < 0$ 时，$f(t) = 0$ ；当 $t \geq 0$ 时，$f(t) = 1$ 。
那它的拉普拉斯变换就是：$F(s) = \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}$这又搞定了一种常见的情况。
拉普拉斯反变换ppt
求得各个系数后，F(s)可用下式表示
Fs
A1
A2
s p1 s p2
An s pn
n Ai i 1 s pi
因为L 1[ 1 ]=e pit 从而可求得F(s)的原函数为 s-pi
n
f t L1 F s
Aie pit
i1
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
例 求F s
s2 s 2 的拉氏反变换。
机械工程控制基础
第2章 拉普拉斯变换
---拉氏反变换
2.5 拉普拉斯反变换
从Laplace变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为Laplace 反变换。Laplace 反变换的符号是 L1 可以通过下列反演 积分，从 F(s) 求得 Laplace 反变换
L1[F (s)]＝f (t)＝ 1 j F (s)estds
f
(t)
对上式两端进行拉氏变换，得：
M s2 X (s) sx(0) x (0) f sX (s) x(0)
整理后得：
(k1 k2 )X (s) F(s)
X (s)
F (s) sMx(0)Mx (0) fx(0) Ms2 fs (k1 k2 )
2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程
代入已知参数及初始条件，且注意
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
如果A(s)的根具有共轭复根，为了方便，可不必将F(s)展成通常的 部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
例：求下列函数的拉氏反变换
2s 12 Fs
s2 2s 5
分母多项式可以进行下列因式分解：
s2 2s 5 (s 1 j2)(s 1 j2) F(s)有一对共轭极点。注意到 s2 2s 5 (s 1)2 22
拉普拉斯变换 复域积分
拉普拉斯变换复域积分拉普拉斯变换是数学中常用的一种变换方法，它可以将一个函数从时间域转换到复域。
在工程和科学领域，拉普拉斯变换被广泛应用于信号处理、电路分析、控制系统等领域。
拉普拉斯变换的定义为：$$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$其中，$F(s)$表示拉普拉斯变换后的函数，$f(t)$表示原始函数，$s$为复变量。
复域积分是指在复平面上进行的积分运算。
拉普拉斯变换中的复域积分是对原始函数在时间域上的每一个时间点进行积分，并乘以一个复指数函数$e^{-st}$，然后对所有时间点的积分结果求和。
这样的处理方式可以将原始函数在时间域上的信息转换到复域上，进而进行进一步的分析和处理。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个复杂的微分方程转换成一个简单的代数方程。
这是因为在复域上，微分运算可以转换成代数运算，从而简化了问题的求解过程。
此外，拉普拉斯变换还具有线性性质和平移性质，使得对信号进行处理更加方便。
在信号处理领域，拉普拉斯变换被广泛应用于信号的频域分析。
通过将信号从时间域转换到复域，可以得到信号的频谱特性，包括频率响应、相位特性等。
这样可以更好地理解信号的频率分布情况，并对信号进行滤波、降噪等操作。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以帮助我们分析电路的稳定性和响应特性。
通过将电路的微分方程转换为代数方程，可以方便地求解电路的频率响应、幅频特性等。
这对于设计和优化电路具有重要意义。
在控制系统中，拉普拉斯变换被广泛应用于系统的建模和分析。
通过将系统的微分方程转换为代数方程，可以得到系统的传递函数，进而进行系统的频率响应、稳定性分析等。
这对于控制系统的设计和性能评估非常重要。
拉普拉斯变换是一种强大的数学工具，可以将函数从时间域转换到复域，方便进行进一步的分析和处理。
它在信号处理、电路分析、控制系统等领域具有广泛的应用。
掌握和理解拉普拉斯变换的原理和性质，对于解决实际问题具有重要意义。
数学物理方法 6 拉普拉斯变换
拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域 中有着广泛的应用．由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里
叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的
适用面要广．
本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换
的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积
分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最
dt
0
f ( t )e ( i ) t dt
0
f ( t )e pt dt ,
( p i )
上式即可简写为
f ( p)
0
f (t )e pt dt
这是由实函数 f (t ) 通过一种新的变换得到的复变函数，
e pt 为核. 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件．
性质1 线性定理
若 则
,
为任意常数，且
f1 ( p) L [ f1 (t )], f 2 ( p) L [ f 2 (t )]
L [ f1 (t ) f 2 (t )] L [ f1( t )] L [ f 2 ( t )]
证明
L [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]e pt dt
0
0
f1 (t )e dt
pt
0
f 2 (t )e pt dt
L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )]
例6 求 L [shat ], L [chat ]
0
拉普拉斯变换拉普拉斯变换表
2.2.5 拉普拉斯反变换
(2) 部分分式展开法
在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函
数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s)L f(t)f(t)esd tt 0
函数 f(t) 积分的初始值
则： 证明：
Lf(t)d t1 sF (s)1 sf(0 )d t
L f( t ) d t f( t ) d te s d t t f( t ) d t1 d e st
0
0
s
f(t)dt estest f(t)dt s 0 s
0
1sf(0)dt1sF(s)
如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即
F ( s ) F 1 ( s ) F 2 ( s ) F n ( s )
假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变 换表查得，那么
f ( t ) L 1 [ F ( s ) L ] 1 [ F 1 ( s ( ) L ] 1 [ F 2 ( s ) ] L 1 [ F n ( s )] f1 (t)f2 (t) fn(t)
拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表
20210107
2. 数学模型与传递函数
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。