新高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文新人教A版
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性名师课件 文 北师大版
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_(_－__1_,0_)_∪__(_1_，__＋__∞__)____。
解 析 画 草 图 ， 由 f(x) 为 奇 函 数 知 ： f(x)>0 的 x 的 取 值 范 围 为 ( － 1,0)∪(1，＋∞)。
③由 x＋ x2＋1>x＋|x|≥0 知 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为 R，
又 f(－x)＝ln(－x＋ －x2＋1)
＝ln x＋ 1x2＋1＝－ln(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
则 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)为奇函数；
④由11－ ＋xx>0，得－1<x<1，即 f(x)＝ln 11－ ＋xx的定义域为(－1,1)，
得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故
f(x)为非奇非偶函数。
②f(x)＝|lxg－1－ 2|－x22 ； 【解】 由1|x－－x22|>≠0，2 得，定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称。 ∴x－2<0。∴|x－2|－2＝－x。∴f(x)＝lg1－－xx2。 又∵f(－x)＝lg [1－x－x2]＝－lg1－－xx2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数。
22xx＋ －1a，即 1－a·2x＝－2x＋a，化简得 a·(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1，f(x)
＝22xx＋ －11。由 f(x)>3 得 0<x<1。故选 C。
【答案】 C
(4)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(x)的解
x2－x－1 x>0，
变式训练2 (1)(2016·九江模拟)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文
第三节 函数的奇偶性与周期性———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )【导学号：31222032】A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数.4分(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.12分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.8分 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.12分(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )【导学号：31222033】A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f (x )＝2x－x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x ).5分 故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.12分 [迁移探究2] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f x， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f x ＋1＝f (x ).5分故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)． [变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象( ) 【导学号：31222034】A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f(2 019)＝( )A．－2 B．2C．－98 D．98A [∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D [由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：31222035】－－x－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝ x＋2 x＋ax是奇函数，则实数a＝________.－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1 [由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x －x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x 2－ －x ＋1，3分 又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，6分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，9分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.12分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，3分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.5分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，9分综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈ 0，1 ，－2x 4x＋1，x ∈ －1，0 ，0，x ∈{－1，0，1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 【导学号：31222036】－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.5分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，9分所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].12分。
高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的
由题意知 f( － 2) ＝ f(2) ＝ 0 ，当 x ∈ ( － 2,0] 时，
f(x)<f( － 2) ＝ 0 ，由对称性知， x ∈ [0,2) 时， f(x) 为增函数， f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2,2)时，f(x)<0，故选 B.
x 4．若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( 2x＋1x－a 1 A.2 2 B.3 3 C.4 D．1
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) 2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件．( √ )
3．函数 y＝ 数．( × )
1 －x ＋
x－1 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函
解析
) B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)＝f(1)
∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)，又∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)>f(－2)，故选 B.
3．[2017· 福建模拟] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 在(－∞，0]上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的 取值范围是( ) B．(－2,2) D．(2，＋∞) A．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
第2章 函数、导数及其应用
第3讲 函数的奇偶性与周期性
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 函数的奇偶性
考点 2
函数的周期性
1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x f(x＋T)＝f(x) 取定义域内的任何值时， 都有 ， 那么就称 函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的 正数，那么这个
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案含解析.doc
第三节函数的奇偶性与周期性课标要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题．2．题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1.周期性的四个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a.2．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且f(0)＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．(2)因为y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－x)，可知x＝a为对称轴．(3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性．(4)由周期函数的定义可知正确．2．小题热身(1)下列函数中为偶函数的是(B)A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2(3)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( D )A ．5B ．12C ．2D ．－2(4)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是13.(5)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝1. 解析：(1)根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.(3)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.(4)∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.(5)∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝－1＋2＝1.考点一 函数的奇偶性命题方向1 函数奇偶性的判断【例1】 (1)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 (2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x【解析】 (1)由函数奇偶性的定义知D 中的函数为偶函数．(2)对于A ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x )＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数．【答案】 (1)D (2)D命题方向2 利用奇偶性求函数值或解析式【例2】 (2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________.【解析】 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln2)＝e－a ln2＝(12)a ＝8，所以a ＝－3. 【答案】 －3命题方向3 利用奇偶性求参数【例3】 已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.【解析】 易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x 2－x －1＝－2x 2x －1－11－2x＝－1，所以a ＝－12.【答案】 －12方法技巧与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式.,(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值求解.对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解.1．(方向1)下列函数为偶函数的是( B ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x |C ．y ＝x |x |D ．y ＝ln|x |－sin x解析：对于A ，显然是非奇非偶函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝f (x )为偶函数；对于C ，f (－x )＝－x |－x |＝－f (x )为奇函数；对于D 为非奇非偶函数．2．(方向2)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a (x ≥0)，g (x )(x <0)，则f (－2)的值等于－8.解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1.∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8，因此f (－2)＝－f (2)＝－8.3．(方向3)若函数f (x )＝x 3⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 为偶函数，则a 的值为12.解析：解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x－1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．考点二 函数的周期性【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.【解析】 (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 【答案】 (1)C (2)1 010 方法技巧函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3. 同理可得，当4≤x <6时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5. 当x 7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．考点三 函数性质的综合应用命题方向1 函数奇偶性与单调性综合【例5】 (2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．f (log 314)>f (2－ 32)>f (2－ 23)B ．f (log 314)>f (2－ 23)>f (2－ 32)C ．f (2－ 32 )>f (2－ 23 )>f (log 314)D ．f (2－ 23 )>f (2－ 32 )>f (log 314)【解析】 根据函数f (x )为偶函数可知，f (log 314)＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<2－ 32<2－ 23 <20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－ 32 )>f (2－ 23 )>f (log 314)．【答案】 C命题方向2 函数奇偶性、周期性与单调性的综合【例6】 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b【解析】 ∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2.∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴a >c >b ，故选D.【答案】 D 方法技巧(1)函数单调性与奇偶性的综合，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系求解．(2)函数周期性与奇偶性的综合，此类问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解．(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．1．(方向1)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：由已知，得f (－1)＝1，使－1≤f (x )≤1成立的x 满足－1≤x ≤1，所以由－1≤x－2≤1得1≤x ≤3，即使－1≤f (x －2)≤1成立的x 满足1≤x ≤3.2．(方向2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11).合理推证 善于转化【典例】 已知函数f (x )＝x 23 ＋e x－1(x <0)与g (x )＝x 23＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，1e C ．(－∞，1)D ．(－∞，e)【解析】 解法1：设点(x 0，f (x 0))与点(－x 0，g (－x 0))关于y 轴对称，即f (x 0)＝g (－x 0)，其中x 0<0，所以＋e x 0－1＝(－x 0)23＋ln(－x 0＋a )，即ln(－x 0＋a )＝e x 0－1，化成指数式得a ＝e(e x 0－1 )＋x 0，当x 0<0时有解．令m (x )＝e (e x －1)＋x (x <0)，由指数函数及复合函数的单调性易知m (x )为增函数，所以m (x )<m (0)＝1，即a <1.解法2：假设存在x 0>0，g (x )图象上的点P (x 0，x＋ln(x 0＋a ))与f (x )图象上的点Q (－x 0，(－x 0) 23＋e －x 0 －1)关于y 轴对称，则方程ln(x 0＋a )＝e －x 0 －1有正数解，即函数y ＝e－x－1的图象与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在y 轴右侧有交点，如图所示，将y ＝ln x 的图象最多向左平移1个单位长度，故a <1.【答案】 C【素养解读】 (1)有关点的对称问题，往往要抓住图象进行必要的转化，或者转化为方程有解，通过计算解决，比如解法1；或者通过画图进行观察，比如解法2.两类方法需要掌握转化思想，提高计算能力，熟练图象变换的技巧．(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象上存在点关于y 轴对称，作出函数y ＝f (x )关于y 轴的对称图象，此图象必然与y ＝g (x )图象相交．将图形由远及近，体现了化归与转化思想．(3)解题时要弄清是一个函数图象的自身对称，还是两个函数图象间的相互对称． (4)平时所说的轴对称、中心对称，是指两个图形经过旋转或折叠后重合，而本例两个图形经过旋转或折叠后至少有一个点重合．已知函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，其中e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是[1，e 2－2]．解析：解法1：依题意，若存在1e ≤x 0≤e ，使得g (x 0)＝－h (x 0)成立，则a －x 20＝－2ln x 0，所以a ＝x 20－2ln x 0，构造函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，在⎝⎛⎭⎫1e ，1内f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(1，e)内f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )∈[1，e 2－2]，故a ∈[1，e 2－2]．解法2：若存在1e ≤x 0≤e ，使得g (x 0)＝－h (x 0)，则a －x 20＝－2ln x 0，只需函数y ＝x 2－a 与y ＝2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有公共点即可，借助函数的图象可得a ∈[1，e 2－2]．。
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 文
答案：D
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
第三节 函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）；
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，x，
x＜0， x＞0.
解：(1)由3x－2－x32≥≥00得 x2＝3，所以 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)，
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋sin x
解析：A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函 数，故不符合题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符 合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数， 故不符合题意；
C．{x|x＜0，或 x＞4} D．{x|0＜x＜4}
解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性与周期性创新教学案(含解析)新人教
第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有01f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于02y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有03f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于04原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有01f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个02最小的正数，那么这个03最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0〞是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性〞的必要条件．( )(2)假设函数f(x)是奇函数，那么必有f(0)＝0.( )(3)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )(5)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，假设在(－∞，0)上是减函数，那么在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)假设T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．小题热身(1)以下函数中为奇函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x答案 A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)假设f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝________.答案－1解析因为f(x)是R上周期为2的函数，所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，那么f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，所以f(－2)＋f(0)＝－5.(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.答案 3解析因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，假设当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图，那么不等式f(x)＜0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型 一 函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1．(2020·成都市高三阶段考试)y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析 因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由f (|－x |)＝f (|x |)，知①是偶函数；由f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，知②是奇函数；由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝x 是定义在R 上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，知④是奇函数．2．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x ≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)， 所以函数f (x )是非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg1－x2－x.又f (－x )＝lg [1－－x2]x＝lg 1－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，那么f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，那么f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )； 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． 角度2 奇函数、偶函数性质的应用3．(2019·衡水模拟)f (x )是定义在R 上的奇函数，假设x ＞0时，f (x )＝x ln x ，那么x ＜0时，f (x )＝( )A ．x ln xB ．x ln (－x )C ．－x ln xD ．－x ln (－x )答案 B解析 设x ＜0，那么－x ＞0，所以f (－x )＝－x ln (－x )．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ln (－x )．4．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，那么(M ＋N －1)2020的值为( )A ．1B ．2C ．22020D ．32020解析 由x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2＝sinπx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sinπx ＋2e x x 2＋e 2＋1.令g (x )＝sinπx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2020＝1.5．假设f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，那么a ＝________. 答案 －32解析 解法一：因为f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln (e －3x＋1)－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 3x ＋1－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 3xe 3x －ax ＝ln (1＋e 3x )－3x －ax ＝ln (e 3x ＋1)＋ax ，所以－3－a ＝a ，解得a ＝－32.解法二：函数f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )， 即ln (e－3x＋1)－ax ＝ln (e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1e 3x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1e 3x ＝e 2ax，整理得e2ax ＋3x＝1.所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法(如举例说明2)(3)性质法(如举例说明1(③)，4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.注意：对于定义域为I 的奇函数f (x )，假设0∈I ，那么f (0)＝0.1．f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，那么f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3答案 A解析 由得，f (0)＝20＋m ＝0. 解得m ＝－1.当x ≥0时，f (x )＝2x－1，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3. 2．(2019·辽宁名校联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称答案 B解析 记f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )2lg －x －2－x ＋2＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象关于原点对称．3．(2020·武汉十校联考)假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，那么g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 ∵f (x )＋g (x )＝e x，① ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )－g (x )＝e －x，②由①②解得g (x )＝e x －e－x2.应选D.题型 二 函数的周期性1．(2019·温州模拟)定义在R 上的函数f (x )的最小正周期等于T ，那么以下函数的最小正周期一定等于T2的是( )A ．f (2x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2C ．2f (x )D ．f (x 2)答案 A解析 由得f (x ＋T )＝f (x )，所以f (2x ＋T )＝f (2x )，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以函数f (2x )的周期是T 2；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋2T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的周期是2T ；2f (x ＋T )＝2f (x )，所以函数2f (x )的周期是T .函数f (x 2)不一定是周期函数．2.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋e x，那么f(2020)＝________.答案 1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝1f x＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.1．求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数，如举例说明1递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：假设f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：假设f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，那么x＝t＋a，那么f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式2．函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：假设T是函数的周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．如举例说明2.1．(2019·绵阳模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x ＜3，f x －4，x ≥3，那么f (9)＝________.答案 1解析 f (9)＝f (9－4)＝f (5)＝f (5－4)＝f (1)＝2×1－1＝1.2．f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，那么f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．题型 三 函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1．(2019·成都模拟)函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，假设f (2a )＞f (1－a )，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 答案 C解析 因为函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2a )＞f (1－a )⇔f (|2a |)＞f (|1－a |)，又当x ≥0时，f (x )单调递减，所以|2a |＜|1－a |，所以(2a )2＜(1－a )2，即3a 2＋2a －1＜0，解得－1＜a ＜13.角度2 周期性与奇偶性结合2．(2018·全国卷Ⅱ)f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．假设f (1)＝2，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f [1－(x ＋3)]＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f [1－(x ＋1)]＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，应选C.角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3．(2019·青岛二中模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋2)＝f (x )；②f (x －2)为奇函数；③当x ∈[0，1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(x 1≠x 2)恒成立，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系正确的选项是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152B ．f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4) 答案 C解析 由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，所以f (x )＝f (x －2)， 又f (x －2)为奇函数，所以f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋2×4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝⎛⎭⎪⎫112－2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 又x ∈[0,1)时，f (x )单调递增．故奇函数f (x )在(－1,1)上单调递增．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.1．函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，那么f (2－x )＞0的解集为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 f (x )＝(x －1)(mx ＋n )＝mx 2＋(n －m )x －n . ∵函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即mx 2＋(n －m )x －n ＝mx 2－(n －m )x －n ， 得－(n －m )＝(n －m )，即n －m ＝0，那么m ＝n ， 那么f (x )＝mx 2－m ，∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，∴m ＜0， 由f (2－x )＞0，得m (2－x )2－m ＞0， 即(2－x )2－1＜0，得x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，即不等式的解集为(1,3)．2．(2019·广东珠海模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫201912＝( )A.94 B.14 C ．－94D ．－14答案 D解析 因为f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数， 因为f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )是以4为周期的函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2020－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．组 基础关1．(2019·武威模拟)以下函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝e x－e －xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝|x |答案 A解析 f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ；f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x符合题意．2．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，那么函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为( )答案 A解析 因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，排除B ；由两函数的图象可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2时，y ＝f (x )·g (x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，y ＝f (x )·g (x )>0，所以只有选项A 符合题意，应选A.3．(2020·烟台适应性练习)定义在R 上的函数f (x )的周期为2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，那么f (5a )等于( ) A.716 B ．－25C.1116D.1316答案 B解析 由于函数f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，所以a ＝35，因此f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.应选B. 4．函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，那么f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (－x )＋(－x )＝f (x )＋x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，令x ＝2，那么f (－2)＝f (2)＋4＝5，应选D.5．(2019·成都模拟)假设函数f (x )＝1－a2x －1的图象关于原点对称，那么实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 由得，函数f (x )为奇函数，所以f (1)＋f (－1)＝0，即1－a 2－1＋1－a12－1＝0,1－a ＋1＋2a ＝0，解得a ＝－2.6．(2019·合肥模拟)偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，那么对实数a ，b ，“a >|b |〞是“f (a )>f (b )〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为f (x )是偶函数，所以f (|b |)＝f (b )．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，a ＞|b |≥0.所以f (a )＞f (|b |)＝f (b )．假设f (a )＞f (b )．举反例f (－3)＝f (3)＞f (1)，而－3＜|1|.故由f (a )＞f (b )无法得到a ＞|b |.所以“a ＞|b |〞是“f (a )＞f (b )〞的充分不必要条件．7．(2020·沈阳市高三质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，那么以下不等关系恒成立的是( )A ．b －a ＜2B ．a ＋2b ＞2C ．b －a ＞2D ．a ＋2b ＜2答案 C解析 由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－1＋2x1＋2x＝21＋2x －1，所以f (x )在R 上为减函数，由f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，得f (2a ＋b )＞－f (4－3b )＝f (3b －4)，故2a ＋b ＜3b －4，即b －a ＞2.应选C.8．函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝lg x ，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值为________． 答案 －lg 2 解析 由得f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2.f (－2)＝－f (2)＝－lg 2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－lg 2.9．奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x －2)，且当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，那么f (2021)＝________.答案 －4解析 因为函数f (x )(x ∈R )为奇函数满足f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 即函数f (x )是以6为周期的周期函数， 因为当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，所以f (2021)＝f (337×6－1)＝f (－1) ＝1－1＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－4.10．(2020·甘肃天水摸底)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，那么函数f (x )在[1,2]上的解析式是________．答案f(x)＝log2(3－x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．所以设x∈[1,2]，那么x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．组能力关1．p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析假设函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋a2＋x2)＋ln (x＋a2＋x2)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．2．函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，假设g(x)＝f(x)＋2019，那么g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1C．2019 D．4038答案 D解析因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，那么不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析假设x∈[－2,0]，那么－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0≤x ≤2，－x －1，－2≤x <0，假设x ∈[2,4]，那么x －4∈[－2,0]，即f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝－x ＋3，x ∈[2,4]，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象如图：那么当x ∈[－1,3]时，不等式xf (x )>0等价为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，即1<x <3或－1<x <0，所以不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．4．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＜0，记a ＝f 4.10.24.10.2，b ＝f 0.42.10.42.1，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1，那么( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a答案 A解析 设0<x 1＜x 2，由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，得f x 1x 1＞f x 2x 2，所以函数g (x )＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，因此a ＝f 4.10.24.10.2＝g (4.10.2)＜g (1)，b ＝f 0.42.10.42.1＝g (0.42.1)>g (0.42)>g (0.5)，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1＝g (log 0.24.1)＝g (log 154.1)＝g (－log 54.1)＝g (log 54.1)∈(g (1)，g (0.5))，即a <c <b ，应选A.5．假设函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，那么a ＝________. 答案 1或－1解析 令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1，根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，可知u (x )＝1－a 2＋1e x＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1. 6．(2019·河北重点中学联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－.2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正确的选项是________(正确的序号都填上)．答案①②④解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k ∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.专业.。
精选全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文新人教A版
第三节 函数的奇偶性与周期性———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )【导学号：31222032】A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )．∴该函数为奇函数.4分(2)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.12分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.8分 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.12分(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )【导学号：31222033】A．－3 B．－1C．1 D．3A [因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f(x)＝2x －x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.1 009 [∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[迁移探究2] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f x”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f x，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f x ＋＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x )．(3)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象( ) 【导学号：31222034】A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98A [∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.]5．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)D [由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z)对称．]二、填空题6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 【导学号：31222035】－－x －1 [∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.] 7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝x ＋x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数， ∴a ＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，3分又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，6分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，9分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.12分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，3分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.5分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，9分综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 A [∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．【导学号：31222036】－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.5分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，9分所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].12分。
高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案文
高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案文2.3 函数的奇偶性与周期性[知识梳理]1．函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．(2)奇偶函数的性质①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，称T 为这个函数的周期．对于周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数周期的常见结论 设函数y ＝f (x )，x ∈R ，a >0.(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a ； (5)若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |； (6)若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； (7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |；(8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 6．掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x＋a －x为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为奇函数；(3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数． [诊断自测] 1．概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A1P 39A 组T 6)已知函数f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.故选A.(2)(必修A1P 39B 组T 3)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)内也单调递减，又∵f (－2)＝0， ∴f (2)＝0，函数f (x )的大致图象如右图，∴xf (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C. 3．小题热身(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0，∴a ＝1.(2)(2018·山西四校联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (2)＝3，则f (2018)＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝3.题型1 函数奇偶性的判断 典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(1－x )1＋x 1－x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.用定义法，性质法．解 (1)当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，所以－1≤x <1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(3)解法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数的定义域关于原点对称． 所以f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x ，又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x2x，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 解法二：求得函数f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]． 化简函数f (x )，可得f (x )＝4－x2x，由y 1＝x 是奇函数，y 2＝4－x 2是偶函数，可得f (x )＝4－x2x为奇函数．方法技巧判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f (x )±f (－x )是否为0.4．性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练1．(2018·广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 易知y ＝1＋x 2与y ＝2x＋12x 是偶函数，y ＝x ＋1x 是奇函数．故选D.2．判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，0(x ＝0)，－x 2＋x (x >0).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，所以f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. 因为f (－x )＝－lg [1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (2)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．又f (0)＝0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.题型2 函数奇偶性的应用角度1 已知函数奇偶性求值典例 (2018·湖南质检)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3本题用转化法，将f (x )－g (x )转化为f (x )＋g (x )．答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1.故选C.角度2 已知函数奇偶性求解析式典例设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|利用函数的周期性结合奇偶性转化求解．答案 D解析 ∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x ＋2)＝f (x )，故y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数．①当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4；②当x ∈(－1,0]时，－x ∈[0,1)，－x ＋2∈[2,3)，又函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝f (－x ＋2)＝－x ＋2，综合①②可知，f (x )＝3－|x ＋1|.故选D.角度3 已知函数奇偶性求参数典例 (2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x是奇函数，则实数a ＝________.根据f (x )＋f (－x )＝0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法．答案 －2解析 解法一：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋2a x ＝x ＋2ax＋a ＋2.因函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即－x －2a x＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a x＋a ＋2＝－x －2a x－(a ＋2)，则a ＋2＝－(a ＋2)，即a ＋2＝0，则a ＝－2.解法二：由题意知f (1)＝－f (－1)，即3(a ＋1)＝a －1，得a ＝－2.将a ＝－2代入f (x )的解析式，得f (x )＝(x ＋2)(x －2)x，经检验，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f (－x )＝－f (x )，故a ＝－2.角度4 函数性质的综合应用典例 (2017·合肥三模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)本题用平移法，利用图象的对称性结合函数的单调性进行判断．答案 A解析 因为函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移，a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．故选A.方法技巧1．利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )转化为已知区间上的函数值求解．见角度1典例．2．利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．见角度2典例．3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到含有待求参数的关于x 的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解．见角度3典例．4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．见角度4典例．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．见角度2典例．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．冲关针对训练1．(2017·河南模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案 B解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝3x＋m . ∴f (0)＝0，即m ＝－1. ∴f (x )＝3x－1(x ≥0)．f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log35－1)＝－(5－1)＝－4.故选B.2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.故选C.题型3 函数的周期性及应用典例1 (2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2本题综合奇偶性、周期性求解．答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2.故选D.典例2 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2017)＝________.综合用奇偶性、周期性解决．答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝2.方法技巧函数周期性的判定与应用1．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．见典例1.2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．见典例2.冲关针对训练1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)等于( )A ．336B ．339C ．1678D ．2012答案 B解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016)＝1×20166＝336.又f (2017)＝f (1)＝1，f (2018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝339.故选B. 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2017)＝________.答案 2解析 由已知可得f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.∴f (2017)＝f (6×336＋1)＝f (1)．∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－1f (－1)，所以f (1)＝f (－1)＝－1f (2)＝－1cos2π3＝2.∴f (2017)＝2. 题型4 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性典例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)利用奇偶性和周期性将自变量转化到已知单调区间，再利用函数的单调性比较大小．答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.典例2 (2018·南昌期末)已知函数f (x )对于任意m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且当x >0时f (x )>1.(1)求证：函数f (x )在R 上为增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.利用抽象函数的特殊条件，结合定义法解决函数的单调性，进而化抽象不等式为具体不等式求解．解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，则f (x 2－x 1)>1. ∵函数f (x )对于任意m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1成立，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，∴函数f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋f (1)＋f (1)－2＝3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2，即为f (a 2＋a －5)<f (1)，由(1)知，函数f (x )在R 上为增函数，a 2＋a －5<1，即a 2＋a －6<0， ∴－3<a <2.∴不等式f (a 2＋a －5)<2的解集是{a |－3<a <2}．把不给出具体解析式只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数．这类题目能全面考查学生对函数概念的理解，解答抽象函数的题目，掌握常见的基本函数及性质是关键．同时注意特殊值法、赋值法、图象法的应用．冲关针对训练1．(2018·太原检测)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上( )A ．有最小值f (a )B ．有最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2C ．有最小值f (b )D ．有最大值f (b )答案 C解析 令y ＝－x ，则由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )得f (0)＝f (x )＋f (－x )，① 再令x ＝y ＝0得f (0)＝f (0)＋f (0)得f (0)＝0，代入①式得f (－x )＝－f (x )． 得f (x )是一个奇函数，图象关于原点对称． ∵当x <0时，f (x )>0，即f (x )在R 上是一个减函数，可得f (x )在[a ，b ]上有最小值f (b )．故选C. 2．(2017·池州模拟)已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 答案 B解析 根据题意，若对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则函数f (x )在区间[4,8]上为增函数，若f (x ＋4)＝－f (x )，则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8， 若y ＝f (x ＋4)是偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，a ＝f (6)，b ＝f (11)＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)＝f (7)，又由函数f (x )在区间[4,8]上为增函数， 则有b <a <c .故选B.1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.2．(2017·河南测试)已知函数f (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)－22x＋1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 D解析 令g (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)，则g (－x )＋g (x )＝ln (－2x ＋4x 2＋1)＋ln (2x ＋4x 2＋1)＝ln 1＝0，所以函数g (x )是奇函数，则f (－a )＝g (－a )－2×2a 1＋2a ＝－g (a )－2×2a1＋2a .又f (a )＝g (a )－22a ＋1，两式相加，得f (－a )＋f (a )＝－2×(2a＋1)1＋2a＝－2.又f (a )＝1，所以f (－a )＝－3.故选D.3．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．4．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析 函数y ＝x 3＋3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数y ＝e x＋e－x2是偶函数，排除B ；函数y ＝x sin x 是偶函数，排除C ；函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，且f (－x )＝log 23＋x3－x＝－f (x )，是奇函数，D 正确．故选D. 2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 函数f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，排除A ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，0)上单调递减，排除B ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝log 21|x |＝－log 2(－x )在(－∞，0)上单调递增，且函数f (x )在其定义域内是偶函数，C 正确；函数f (x )＝sin x 是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x ) B ．x 3＋ln (1－x ) C ．x 3－ln (1－x ) D ．－x 3＋ln (1－x )答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝( )A ．－0.5B ．0.5C ．－2.5D ．2.5答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．∴函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，∴f (2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f(x)在∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x，则f(2017)等于( )A.12B．－12C．1 D．－1答案 B解析由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－12.故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A．2 B．1C．－1 D．－2答案 A解析∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝( ) A．－2 B．－1C．0 D．2答案 D解析因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2答案 A解析∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f (x )是周期函数，且周期为4. ∴f (2018)＝f (2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.故选A.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点所构成的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3x ]＝－x 2－3x ，易求得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，当x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 1＝1，x 2＝3；当－x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7(舍去)． 故g (x )的零点为1,3，－2－7.故选D. 二、填空题11．(2018·武昌联考)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.答案 ±1解析 ∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x)(1＋k ·2x )(2x＋k ) ＝(k 2－1)(22x＋1)(1＋k ·2x )(2x＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0，可得k 2＝1，∴k ＝±1.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.13．(2017·郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则称f (x )为准奇函数．给出下列函数：①f (x )＝(x －1)2，②f (x )＝1x ＋1，③f (x )＝x 3，④f (x )＝cos x ，其中所有准奇函数的序号是________． 答案 ②④解析 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称．对于①，f (x )＝(x －1)2，函数图象无对称中心；对于②，f (x )＝1x ＋1，函数f (x )的图象关于(－1,0)对称；对于③，f (x )＝x 3，函数f (x )的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x )＝cos x ，函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称．所以所有准奇函数的序号是②④.14．(2018·太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案 3解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )，∴f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数，∵S n ＝2a n ＋n ①，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.三、解答题15．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解 (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)．∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y ＝f (x )在[0,2018]上有404个解， 在[－2018,0]上有403个解，所以函数y ＝f (x )在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0， 令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0. 证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x ， 则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3. 所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.所以实数m 的取值范围是[0,1)．。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案理新人教版
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0， 又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )， 故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立， 故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数； ②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]， 则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )， 又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )， 故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )， 即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数． 又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈Z 也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为( )A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(1)B (2)6 [(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.] 函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解(1)若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性(教师文档)教案 文
学习资料第三节 函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书第16页[基础梳理] 1．函数的奇偶性奇偶性 条件 图像特点 偶函数 对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f (x ) 关于y 轴对称 奇函数 对于函数f (x ）的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f （x ） 关于原点对称(1）周期函数：对于函数y ＝f （x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T ）＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x ）为周期函数，称T 为这个函数的周期．（2）最小正周期：如果在周期函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x ）的最小正周期．1．奇、偶函数的一个必要不充分条件奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f （－x ）＋f (x )＝0或错误!＝－1（f （x )≠0)，则f （x ）为奇函数，若f （－x )－f (x ）＝0或f （－x ）f （x ）＝1(f （x ）≠0），则f (x )为偶函数． 3．奇偶性的六个重要结论(1）如果一个奇函数f （x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f （0）＝0。
(2)如果函数f （x ）是偶函数，那么f (x )＝f （－x ）＝f （｜x ｜）．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0,x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小）值，取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．（6)设f （x )，g (x ）的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶,偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数周期性常用的结论对f （x ）定义域内任一自变量的值x ,（1）若f （x ＋a ）＝－f (x ）,则T ＝2a （a ≠0)．（2）若f (x ＋a )＝错误!，则T ＝2a （a ≠0）．（3）若f (x ＋a ）＝－错误!，则T ＝2a (a ≠0)．5．函数对称性问题的结论（1）若函数y ＝f (x ＋a ）是偶函数,即f （a －x ）＝f (a ＋x )，则函数y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝a 对称;（2）若对于R 上的任意x 都有f (2a －x ）＝f （x ）或f （－x ）＝f (2a ＋x ）,则y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝a 对称；(3）若函数y ＝f （x ＋b ）是奇函数，即f （－x ＋b )＋f （x ＋b )＝0，则函数y ＝f （x ）关于点(b ,0)中心对称．[四基自测］1．(基础点：函数奇偶性判断）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝错误!D ．y ＝x ｜x ｜答案:D2．(基础点：奇函数定义）设f（x）为奇函数，且当x≥0时,f（x）＝e x－1,则f(－1)＝________．答案:1－e3．（易错点：奇函数）（2018·高考全国卷Ⅰ改编）设函数f（x)＝x3＋(a－1）x2＋ax为奇函数,则a＝________．答案:14．(基础点：奇函数图像对称性）函数f(x)＝错误!的对称中心为________．答案：(0，0)授课提示：对应学生用书第17页考点一函数奇偶性的判断挖掘1判断具体函数的奇偶性/ 自主练透［例1]（1)已知函数f(x）＝3x－错误!错误!，则f(x)（)A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数,且在R上是减函数[解析］x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f（x)，f（x）为奇函数，又因y1＝3x为增函数，y2＝－错误!错误!为增函数,故y＝3x－错误!错误!为增函数,故选B.[答案] B（2)函数f（x)＝lg(x＋1）＋lg(x－1）的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数[解析]由错误!，知x＞1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．[答案］ C(3）函数f(x）＝错误!＋错误!，则f（x)为（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．非奇非偶函数［解析]由错误!得x＝±1，∴f（x）的定义域为｛－1，1}．又f(1)＋f(－1)＝0,f（1)－f（－1)＝0，故f（x)既是奇函数,又是偶函数，故选C.[答案］ C［破题技法］1。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教学案 理(含解析)新人教
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0， 又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )， 故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4.∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x e －3x＋1e－3x＋1＝e 3x， ∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立， 故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg1－x 2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－lg 1－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． [规律方法] 判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数； ②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]， 则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )， 又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )， 故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )， 即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数． 又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] [规律方法]1利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kTk ∈Z 且k ≠0也是函数的周期.(2019·泉州检测)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)＝________.2 [∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2， ∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2.]函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为( )A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(1)B (2)6 [(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法 1函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性. 2周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.(1)(2019·山师大附中模拟)函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，.由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]专业.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性学案 文-人教版高三全册数
第三节函数的奇偶性与周期性1.了解函数奇偶性的含义．2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称 奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称答案f(－x)＝f(x) y 轴 f(－x)＝－f(x) 原点1．(必修①P 39习题1.3B 组第3题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R解析：选项B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D 在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.答案：A2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：B3．(必修①P39A 组第6题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：A知识点二 周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个______的正数，那么这个________就叫做f (x )的最小正周期．答案1．f (x ＋T )＝f (x ) 2.最小 最小正数4．判断正误(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( )(2)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( ) 答案：(1)√ (2)√5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f (－52)＋f (1)＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f (－52)＝f (－2－12)＝f (－12)＝－f (12)＝－2，所以f (－52)＋f (1)＝－2. 答案：－2热点一 函数奇偶性的判断【例1】 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|； ②f (x )＝9－x 2＋x 2－9； ③f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；④f (x )＝(x －1)1＋x1－x，x ∈(－1,1)． 【解析】 (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，排除C ；因为y ＝f (x )＝e x－e －x，f (－x )＝e －x－e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，选D.(2)解：①函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1| ＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， 所以f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x 2－9≥0，得x ＝±3.所以f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数，又是偶函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0且x ≠－4.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0. 从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x ，这时有f (－x )＝1－－x2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，故f (x )是奇函数．④已知f (x )的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称． 因为f (x )＝(x －1)1＋x1－x ＝－1－x1＋x ，所以f (－x )＝－1＋x1－x ＝f (x )．即f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数． 【答案】 (1)D 【总结反思】1．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.(1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x－12xB ．f (x )＝x 3sin x C ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的奇偶性．解析：(1)对于A 选项，函数的定义域为R .f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x＝－f (x )，故A 正确；对于B 选项，函数的定义域为R ，函数y ＝x 3是奇函数，函数y ＝sin x 是奇函数，该函数为偶函数；对于C 选项，函数定义域为R ，f (－x )＝2cos(－x )＋1＝2cos x ＋1＝f (x )，f (x )为偶函数；对于D 选项，由f (1)＝3，f (－1)＝32，f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.(2)解：方法1：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．方法2：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数． 答案：(1)A热点二 函数周期性及应用【例2】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，所以f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 016)＝0.f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 015)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 【答案】 1 0081．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？ 解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1] ＝－f (x ＋1)＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 2．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？解：∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋1＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 【总结反思】(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期.(1)(2017·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，∴当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)＝0，∴f (－3)＝0，f (3)＝0，所以有f (x ＋6)＝f (x )，周期为6.故f (2 017)＝f (1)＝2.(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4， 从而a ＋3b ＝－10. 答案：(1)2 (2)－10 热点三 函数奇偶性的应用 考向1 利用奇偶性求值【例3】 已知f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)的值是____.【解析】 因为f (x )－1＝1－2x1＋2x ＋sin x 是奇函数，所以f (－x )－1＝－[f (x )－1]＝1－f (x )，故f (－x )＋f (x )＝2，且f (0)＝1，所以f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (－4)＋f (4)]＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝2×4＋1＝9.【答案】 9考向2 奇偶性与单调性的结合【例4】 (2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性， 得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A.【答案】 A考向3 奇偶性与周期性的结合【例5】(2017·内蒙古包头一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0,2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为( )A．8 B．－8C．0 D．－4【解析】∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，又由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于x＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选B.【答案】 B【总结反思】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A．2 B．1C．－1 D．－2(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中正确命题的序号是________．解析：(1)∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2.∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.(2)由已知条件得f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以2为周期的周期函数，∴①正确． 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1.f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象知②正确，③不正确．当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此④正确．答案：(1)A (2)①②④1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1 f x 或f(x＋a)＝－1f x(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数．。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性学案 理 北师大版
第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反．即f (－x )＝－f (x )，反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )＝f (－x )，反之，满足f (－x )＝f (x )的函数一定是偶函数．2．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)． (2)在公共定义域内①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f (x )是奇函数且x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．4．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b .特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－xD [D 中，f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.](对应学生用书第14页)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； (3)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [规律方法] 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法(2)图像法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [跟踪训练] (1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝xC ．y ＝2|x |D ．y ＝|lg x |(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(1)C (2)C [(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B ，D ；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A ；y ＝2|x |是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C 正确，故选C.(2)A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](1)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【导学号：79140031】(2)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________．(1)－2 (2)1 347 [(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.(2)∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＋f (504×4＋3) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3－1 ＝1 347.] 判断函数的周期只需证明x ＋＝f xT 便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若k ∈也是函数的周期已知函数f (x 是周期为2的奇函数，当f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.1 [由函数f (x )是周期为2的奇函数， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]◎角度1 单调性与奇偶性结合(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]◎角度2 奇偶性与周期性结合(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]◎角度3 单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，当x∈[0,2]时，y＝f(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是________．①f(2)＝0；②x＝－4是y＝f(x)图像的一条对称轴；③y＝f(x)在[8,10]单增；④f(x)是周期函数；⑤若方程f(x)＝m在[－6，－2]上有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8.(1)D(2)①②④⑤[(1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．(2)令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，y轴是f(x)的对称轴，故x＝－4是y＝f(x)的一条对称轴，由函数的对称性和周期可判断y＝f(x)在[8,10]上单调递增，因[－6，－2]为f(x)的一个周期，x＝－4为f(x)在[－6，－2]上的对称轴，故x1＋x2＝－8，因此①②④⑤正确，③错误．]函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合间，然后利用奇偶性和单调性求解[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 2 5，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)(2018·青岛质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 017)＝________.【导学号：79140032】A ．0B ．1C ．－1D ．－2(3)偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. (1)C (2)B (3)3 [(1)∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c . 故选C.(2)由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 017)＝f (1)＝1，故选B.(3)∵函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (3)＝f (1)＝3，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)＝3.]。
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案文(2021年整理)
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2.3 函数的奇偶性与周期性[知识梳理］1．函数的奇偶性（1)定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f（x),那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝－f(x），那么f(x)就叫做奇函数．（2)奇偶函数的性质①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论（1)如果一个奇函数f(x）在x＝0处有定义，即f(0）有意义，那么一定有f(0）＝0。
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x）＝f（｜x｜)．(3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论（1）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f（a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称;(2）若对于R上的任意x都有f(2a－x）＝f（x)或f(－x）＝f(2a＋x)，则y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b）＋f（x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点（b,0）中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数f（x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T)＝f（x)，那么函数f（x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f(x），如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．5．函数周期的常见结论设函数y＝f(x），x∈R,a>0。
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新高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文新人教A版————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a 对称．( )(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a ＋b的值是( )【导学号：31222032】A．－ B.13C. D．－12B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋D．y＝x2＋sin xD [A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．] 4．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x ，则f ＋f(2)＝________.－2 [∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝f ＝－f ＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x ＜0时，f(x)＝________.x(1－x) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x)．](1)f(x)＝x3－2x ；(2)f(x)＝(x ＋1)；(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋x ，x ＞0，x2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x ＝－(x3－2x)＝－f(x)． ∴该函数为奇函数.4分(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f(x)＝x2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f(－x)＝x2－x ＝f(x)；当x ＜0时，f(x)＝x2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f(－x)＝x2＋x ＝f(x)，故原函数是偶函数.12分[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数f(x)＝＋的奇偶性．(1)C [A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．](2)由得x2＝3，∴x＝±，3分即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.8分因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.12分)为偶函数，则a＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.(1)1 (2) [(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式．[变式训练2] 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )【导学号：31222033】A．－3 B．－1C．1 D．3A [因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.1 009 [∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？[解] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[迁移探究2] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？[解] ∵f(x＋1)＝，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是( ) A．f(2.5) B．f(f(2.5))C．f(f(1.5)) D．f(2)D [由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0B [y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex ＋x2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y＝log2的图象( ) 【导学号：31222034】A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称A [由＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，∴函数y＝log2为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝( )A．－2 B．－1C．0 D．2D [由题意知当x>时，f＝f，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝( )A．－2 B．2C．－98 D．98A [∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D [由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x ＜0时，f(x)＝________. 【导学号：31222035】－－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1 [由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)的表达式．[解] 在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，3分又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝，6分联立方程9分两式相减得f(x)＝＝.12分10．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求f(x)在[－1,1]上的解析式．[解] (1)∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)，3分∴f(1)＝0，f(－1)＝0.5分(2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．由f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，9分综上，在[－1,1]上，f(x)＝12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2A [∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝2.] 2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．【导学号：31222036】－10 [因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.]3．已知函数f(x)＝是奇函数，(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．[解] (1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.2分又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.5分(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知9分所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].12分。