福建省福州市第八中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理
2016-2017年福建省福州市高二上学期数学期中试卷及参考答案
2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0 4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=575．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．3609．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1011．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b n是a n 的等比中项．和a n+1（Ⅰ）设，求证：{c n}是等差数列；（Ⅱ）设，求证：．2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：根据数列的前4项分别是，可得奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值等于||，故此数列的一个通项公式为，故选：C．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则【解答】解：若a＞b，且c=0，则ac2=bc2，A不正确；若a＞b，c＜d，比如a=1，b=0，c=﹣2，d=﹣1，则＜，则不成立；若a＞b，c＞d，比如a=0，b=﹣3，c=2，d=﹣6，则a﹣c＜b﹣d，a﹣c＞b﹣d不成立；若ab＞0，a＞b，则﹣=＜0，可得＜成立．故选：D．3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，可得a＞0，△≤0；若a＜0，抛物线开口向下，函数值不可能小于0，故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=57【解答】解：数列列{a n}是等差数列，则：当m+n=p+q时，则：a m+a n=a p+a q．由于等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则：a1+a101=a2+a100=a3+a99=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选：B．7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+【解答】解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选：B．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．360【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴=S3•（S9﹣S6），∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），解得S9=252．故选：C．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选：B．10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故选：D．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1∴a20=+1=571∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1），联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），∴|AB|=4，则．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，当n=3或4时，M n的最大值=2=64．故答案是：64．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=n2+5n+6．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，边共有12=3×4（条），n=2时，边共有20=4×5（条），n=3时，边共有30=5×6（条），n=4时，边共有42=6×7（条），…由此我们可以推断：第n个图形共有边（n+2）（n+3）=n2+5n+6条，故答案为：n2+5n+6．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=﹣，解得：a=﹣2；（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，可得或，解得：﹣2＜x＜﹣1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．【解答】解：（1）∵A为锐角，，且sin（A）=，∴=，…（4分）∴=．（2），bc=60，b=10，∴c=6…（6分），sinA=，cosA=…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，，∴=64，∴a=8…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n=b n+1﹣b n﹣1．﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【解答】解：（1）如图，a 1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；﹣T n=﹣=＞0，（3）T n+1∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，∴m=2．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为[﹣1，1]∪[5，+∞）．【解答】解：∵二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f （x ）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．∴不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0， 如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）． 故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N*，b n 是a n 和a n +1的等比中项． （Ⅰ）设，求证：{c n }是等差数列；（Ⅱ）设，求证：． 【解答】证明：（I ）∵b n 是a n 和a n +1的等比中项．∴=a n a n +1，∴c n =﹣=a n +1a n +2﹣a n a n +1=2da n +1．∴c n +1﹣c n =2da n +2﹣2da n +1=2d•d=2d 2， ∴{c n }是等差数列，公差为2d 2． （II ）T n =（﹣+）+（﹣）+…+（﹣+）=2d （a 2+a 4+…+a 2n ）=2d ×=2d 2n （n +1）．∴==＜．。
福建省福州市第八中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题理
福州八中2015—2016学年第一学期期中考试高二数学（理）考试时间：120分钟 试卷满分：150分2015.11.10第Ⅰ卷(100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.若a b >, 则下列正确的是A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->-2. 在等差数列{}n a 中，已知521,a =则456a a a ++等于A ．15B ．33C ．51 D.633.不等式2340x x -++<的解集为 A.{|14}x x -<< B.{|41}x x x ><-或C.{|14}x x x ><-或D.{|41}x x -<<4.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°5.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于A.1B.56 C.16D.1306.原点和点（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则a 的取值范围是A ．a<0或a>2B ．a=2或a>0C ．O<a<2D ．0≤a ≤27.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2-+-=，则A cos 的值为21.A 23.B 21.-C 23.-D 8.正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为A.4a =4bB.4a ＜4bC.4a ＞4bD.不确定9.等差数列｛n a ｝中，941,0s s a =>，则前n 项和n s 取最大值时，n 为A ．6B ．7C ．6或7D ．以上都不对10．对于R x ∈，式子112++mx mx 恒有意义，则常数m 的取值范围是A.40<<mB.40≤≤mC.40<≤mD.40≤<m二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，那么()tan A C +的值是______12.若设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为________13.设0,0.a b >>若3是a3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为 . 14. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若4,184==S S ，则=+++16151413a a a a _____________三、解答题（本大题共有3个小题，共30分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2016-2017年福建省福州八中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＜bc，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ac2＜bc2，则a＜b2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°4．（5分）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．5．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．266．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16 C．9 D．37．（5分）△ABC中，a=x，b=2，∠B=60°，则当△ABC有两个解时，x的取值范围是（）A．x＞ B．x＜2或x＞ C．x＜2 D．2＜x＜8．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．8日 B．9日 C．12日D．16日二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集为．10．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么b=，ac=．11．（5分）在△ABC中，，则角B=．12．（5分）下列命题中正确的有．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1；④若S n为数列{a n}的前n项和，则此数列的通项a n=S n﹣S n﹣1（n＞1）．三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（13分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．14．（13分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=6，且数列{a n﹣1﹣a n}{n∈N*}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为S n，求满足不等式S n＞的n的最小值．15．（14分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号，单位：米/秒）一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．（4分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A．p或q为假B．q假C．q真 D．不能判断q的真假17．（4分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件18．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（）A． B．C．D．19．（4分）大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于（注：年平盈利额=（总收入﹣总成本）×）（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．21．（4分）若∃x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（13分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．23．（13分）现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；≤1的点P所组成的集合，（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D（PO）点集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，求集合Q={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积．2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＜bc，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ac2＜bc2，则a＜b【解答】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则A不成立，对于B，若c＜0，则不成立，对于C，若a=2，c=1，c=2，d=﹣1，则不成立．对于D，根据不等式的基本性质，两边同除以c2，则成立，故选：D．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2 ．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，故选：A．4．（5分）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．【解答】解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选：B．5．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．26【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，所以S9===9a5，由S9=a4+a5+a6+72，得9a5=3a5+72，则a5=12．故a3+a7=2a5=24．故选：B．6．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16 C．9 D．3【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，∵a＞0，b＞0，=10+≥10+=16，当且仅当，即a=b时取等号．∴m≤16，即m的最大值为16．故选：B．7．（5分）△ABC中，a=x，b=2，∠B=60°，则当△ABC有两个解时，x的取值范围是（）A．x＞ B．x＜2或x＞ C．x＜2 D．2＜x＜【解答】解：当△ABC有两个解时，有asinB＜b＜a，∵a=x，b=2，∠B=60°，∴xsin60°＜2＜x，解得2＜x＜，故选：D．8．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．8日 B．9日 C．12日D．16日【解答】解：由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则a n=103+13（n﹣1）=13n+90，b n=97﹣0.5（n﹣1）=97.5﹣0.5n，则数列{a n}与数列{b n}的前n项和为1125×2=2250，又∵数列{a n}的前n项和为×（103+13n+90）=×（193+13n），数列{b n}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）=×（194.5﹣n），∴×（193+13n）+×（194.5﹣n）=2250，整理得：25n2+775n﹣9000=0，即n2+31n﹣360=0，解得：n=9或n=﹣40（舍），即九日相逢．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1} ．【解答】解：∵﹣x2﹣x+2＞0，∴x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，即不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．10．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么b=﹣3，ac=9．【解答】解：∵﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，由等比中项的概念，得b2=（﹣1）×（﹣9）=9，∴b=﹣3或b=3．当b=3时，得a2=﹣1×3=﹣3矛盾，∴b=3舍掉．∴b=﹣3．由b2=ac，得ac=9．故答案为：﹣3，9．11．（5分）在△ABC中，，则角B=60°或120°．【解答】解：∵，∴=，又cosB=，∴cosB==，即sinB=，∵B为三角形的内角，则B=60°或120°．故答案为：60°或120°12．（5分）下列命题中正确的有②③．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1；④若S n为数列{a n}的前n项和，则此数列的通项a n=S n﹣S n﹣1（n＞1）．【解答】解：①常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形，正确；③因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞即：＞A＞﹣B＞0，所以sinA ＞cosB，同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=＞1，正确；④若S n为数列{a n}的前n项和，则此数列的通项a n=S n﹣S n﹣1（n＞1）；n=1，a1=S1，故不正确．故答案为：②③．三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（13分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．【解答】解：（1）由f（x）＞0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9当且仅当b=2a时取得等号∴的最小值是914．（13分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=6，且数列{a n﹣1﹣a n}{n∈N*}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为S n，求满足不等式S n＞的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）数列是首项为a2﹣a1=4，公差为2的等差数列，∴a n﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n∈N*）．+1∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=2+4+6+…+2n=n2+n．（Ⅱ），∴=，由得，n＞2015，又n∈N*，故n的最小值为2016．15．（14分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号，单位：米/秒）【解答】解、由条件可知∠ACB=45°，∠CBD=60°．…（1分）在△ABD中∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，AB=80∴…（4分）在△ABC中∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=80根据正弦定理有即…（7分）在△BCD中∴，，∠CBD=60°根据余弦定理有==…（10分）所以航模的速度米/秒．…（12分）一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．（4分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A．p或q为假B．q假C．q真 D．不能判断q的真假【解答】解：因为“¬p”为假，所以p为真；又因为“p∧q”为假，所以q为假．对于A，p或q为真，对于C，D，显然错，故选：B．17．（4分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，命题p的否定￢p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；故选：C．18．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（）A． B．C．D．【解答】解由题意可得S15==15a8＞0，∴a8＞0．而S16===8（a8+a9）＜0．∴a9＜0．故等差数列{a n}是递减数列．故a8是正项当中最小的，a9是负项当中最大的，∴S8最大，故最大，故选：C．19．（4分）大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于（注：年平盈利额=（总收入﹣总成本）×）（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设该汽车第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为T n=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故选：A．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S=，△ABC∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：21．（4分）若∃x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是a≤1．【解答】解：当x∈[﹣2，3]时，f（x）=2x﹣x2，在x=1时取最大值1，若∃x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则a≤1．故答案为：a≤1．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（13分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．=（n+1）a n+n（n+1），【解答】证明（Ⅰ）∵na n+1∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴23．（13分）现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；≤1的点P所组成的集合，（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D（PO）点集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，求集合Q={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积．【解答】解：（1）（0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，﹣1）、（0，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣2，0）、（﹣1，1）；（2）设定点坐标为（a，b），定值为r，则“圆”的方程为|x﹣a|+|y﹣b|=r．则．“圆”的方程为|x﹣2|+|y﹣2|=2．作其图象如下，．（3）B={（x，y）||x|+|y|≤1}，∵，∴，∵（x2，y2）∈B，∴|x2|+|y2|≤1，即|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，∵点集A表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部，∴点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．面积．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa+b45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+ba45°ABE挖掘图形特征：a+bb x-aa 45°D Ba+b45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°3．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=75．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，，π）C．（0，，π）6．设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．11．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．12．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=．14．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n 项和，则S5=．15．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2013春•越秀区期末）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（2011•韶关一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．（2012•乌兰察布学业考试）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．4．（2016秋•福州期中）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，那么把这两个点代入x﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，，π）C．（0，，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，hslx3y3h故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．6．（2016秋•福州期中）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．7．（2016秋•福州期中）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求出AB，可得车的速度，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选C．【点评】此题考查了解三角形的应用，考查余弦定理，比较基础．8．（2016秋•福州期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB 则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可得4a=3b，由，利用余弦定理整理可得（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．9．（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2016秋•福州期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知：S5==15，求得a1=1，则a5=a1+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a n=n，则==﹣，采用“裂项法”即可求得数列的前2016项和．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．11．（2013秋•深圳期末）定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a 的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）•（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（2016•桂林模拟）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（2016秋•福州期中）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=1．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可得BC2﹣2BC+1=0，进而即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．14．（2016秋•福州期中）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=62．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•福州期中）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（2014•烟台模拟）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=4．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】由题意设数列{C n}的前n项和为T n，可得==k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，由题意可得4﹣d=0，解之即可．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•福州期中）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；综合法；解三角形．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45°…（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．（12分）（2016秋•福州期中）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•福州期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．20．（12分）（2016秋•福州期中）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；（2）若a＜0，等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．（12分）（2016秋•福州期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，与原递推式联立可得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，然后利用定义证明数列{b n}是等比数列；（2）由数列{b n}的通项公式求出数列{c n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．22．（12分）（2016秋•福州期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1求解；（2）要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）==3n…（2分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）【点评】本题考察了数列中a n和s n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．。
【精编】2016-2017年福建省福州八中高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)
2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|2．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．3．（5分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥} 4．（5分）等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．D．65．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．6．（5分）若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（）A．B．C．4 D．57．（5分）已知是等比数列前20项的和为21，前30项的和为49，则前10项的和为（）A．7 B．9 C．63 D．7或638．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．（6分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．10．（6分）在数列{a n}中，a1=3且对于任意大于1的正整数n，点（a n，a n﹣1）在直线x﹣y﹣6=0上，则a3﹣a5+a7的值为．11．（6分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是．12．（6分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．14．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．=，c=2，A=60°，求a、b的值；（1）若△ABC面积S△ABC（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．15．（12分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间）一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．（4分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜100017．（4分）设x＜3，则x+（）A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是﹣1 D．最小值是﹣118．（4分）已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜B．0＜k＜C．k＜0或k＞D．0＜k≤19．（4分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n=﹣S n•S n﹣1（n≥2），则S n=（）A．n2B．C．n D．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）已知，则x2+y2的最小值是．21．（4分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（13分）已知数列{a n}和{b n}中，数列{a n}的前n项和记为S n．若点（n，S n）在函数y=﹣x2+4x的图象上，点（n，b n）在函数y=2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．23．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=﹣acosB．（1）确定角B的大小；（2）若∠ABC的角平分线BD交线段AC于D，且BD=1，设BC=x，BA=y．（ⅰ）试确定x与y的关系式；（ⅱ）记△BCD和△ABD的面积分别为S1、S2，问当x取何值时，+的值最小，最小值是多少？2016-2017学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|【解答】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1，=﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选：B．2．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．3．（5分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}【解答】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选：B．4．（5分）等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．D．6【解答】解：因为S15=15a1+d=15（a1+7d）=15a8=90，所以a8=6故选：D．5．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4∴可设a=3k，b=2k，c=4k由余弦定理可得，cosC===故选：A．6．（5分）若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（）A．B．C．4 D．5【解答】解：由题意可得，2m+3n=5，m，n＞0则=（）（2m+3n）=≥=25当且仅当即m=n=1时取等号则的最小值5故选：D．7．（5分）已知是等比数列前20项的和为21，前30项的和为49，则前10项的和为（）A．7 B．9 C．63 D．7或63【解答】解：根据题意：数列为等比数列，设前10项和为S10，公比为q，则∵等比数列前20项的和为21，前30项的和为49，∴（1+q10）S10=21，∴（1+q10+q20）S10=49两式相比，解得q10=或2，∴=63或7，故选：D．8．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①=3n+1﹣1，②∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，②﹣①得：a n+1∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．（6分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．10．（6分）在数列{a n}中，a1=3且对于任意大于1的正整数n，点（a n，a n﹣1）在直线x﹣y﹣6=0上，则a3﹣a5+a7的值为27．【解答】解：∵点（a n，a n﹣1）在直线x﹣y﹣6=0上，∴a n﹣a n﹣1﹣6=0，即a n﹣a n﹣1=6，∴数列{a n}是等差数列，公差为6．∴a3﹣a5+a7=2a5﹣a5=a5=3+4×6=27．故答案为：27．11．（6分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是﹣14．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；故答案为：﹣14．12．（6分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解．（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d∵a2=5，a4+a6=22，∴，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）∴a n=2n+1，．…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=，b n=f（a n），∴，…（7分）∵a n=2n+1，∴，∴=，…（9分）T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）…（11分）=（1﹣）=，所以数列{b n}的前n项和T n=．…（13分）14．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．（1）若△ABC面积S=，c=2，A=60°，求a、b的值；△ABC（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵，∴，得b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2•cos60°=3，所以．（2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2，所以∠C=90°；在Rt△ABC中，，所以，所以△ABC是等腰直角三角形．15．（12分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间）【解答】解：设这台机器最佳使用年限是n年，则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：0.2+0.3+0.4+…+0.1（n+1）=，∴总费用为：7+0.2+0.2n+，n年的年平均费用为：y=），∵=1.2，当且仅当即n=12时等号成立答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．（4分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜1000【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为∀n∈N，2n≤1000故选：A．17．（4分）设x＜3，则x+（）A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是﹣1 D．最小值是﹣1【解答】解：∵x+=（x﹣3）++3，x＜3，x﹣3＜0，∴基本不等式的运用：﹣（x﹣3）﹣≥4，（x=﹣1等号成立）∴（x﹣3）+≤﹣4，∴（x﹣3）++3最大值为：﹣1故选：C．18．（4分）已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜B．0＜k＜C．k＜0或k＞D．0＜k≤【解答】解：考虑k的特殊值：k=0，当k=0时，f（x）=，此时：∀x∈R，对照选项排除B，C，D．故选：A．19．（4分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n=﹣S n•S n﹣1（n≥2），则S n=（）A．n2B．C．n D．【解答】解：∵当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，又a n=﹣S n•S n﹣1（n≥2），=﹣S n•S n﹣1（n≥2），∴S n﹣S n﹣1∴﹣=1（n≥2），又=1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n．∴S n=．故选：D．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）已知，则x2+y2的最小值是5．【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是5．21．（4分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，则a的取值范围是（0，3] ．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，解得0＜a≤3．故答案为（0，3]．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（13分）已知数列{a n}和{b n}中，数列{a n}的前n项和记为S n．若点（n，S n）在函数y=﹣x2+4x的图象上，点（n，b n）在函数y=2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由已知得S n=﹣n2+4n∵当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣2n+5又当n=1是，a1=S1=3，∴a n=﹣2n+5（2）由已知得b n=2n，∴a n b n=（﹣2n+5）2n，∴T n=3×2+1×4+（﹣1）×8…+（﹣2n+5）2n，2T n=3×4+1×8+（﹣1）×16…+（﹣2n+5）2n+1，两式相减得T n=﹣6+（23+24+…+2n﹣1）+（2n+5）n﹣1=（﹣2n+7）2n+1﹣1423．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=﹣acosB．（1）确定角B的大小；（2）若∠ABC的角平分线BD交线段AC于D，且BD=1，设BC=x，BA=y．（ⅰ）试确定x与y的关系式；（ⅱ）记△BCD和△ABD的面积分别为S 1、S2，问当x取何值时，+的值最小，最小值是多少？【解答】解：（1）∵在△ABC中，根据正弦定理得，∴bsinA=asinB．又∵由已知得，∴sinB=﹣cosB，可得，∵在△ABC中，0＜B＜π，∴；（2）（ⅰ）∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=．=S△BCD+S△ABD，BD=1、BC=x且BA=y．∵S△ABC∴=x•sin+xy•sin，即，化简得xy=x+y，即为所求x与y的关系式；（ⅱ）由（i）可得：在△BCD中，S1=×1×x×=x，∴S12=x2，可得=．同理可得=．∴+=）=×=×=×=．又∵x＞0，y＞0．∴当且仅当x=y时等号成立．由此可得即xy≥4．∴，可得，整理得．因此，+=×≥×又∵当x=y时，△ABC为等腰三角形，∴此时∠A=∠C=∴在△BCD中，∠BDC=，∠C=，∴BC=2BD=2，可得x=2综上所述，当x=2时，+的值最小为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
福建省福州市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省福州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A . 对任意x∈R，使得x2＜0B . 不存在x∈R，使得x2＜0C . 存在x0∈R，都有D . 存在x0∈R，都有2. （2分）命题“若x≥1，则2x+1≥3”的逆否命题为（）A . 若2x+1≥3，则x≥1B . 若2x+1＜3，则x＜1C . 若x≥1，则2x+1＜3D . 若x＜1，则2x+1≥33. （2分）在空间中，有下列命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。
其中正确的命题个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A . m⊥n，n∥αB . m∥β，β⊥αC . m⊥β，n⊥β，n⊥αD . m⊥n，n⊥β，β⊥α5. （2分）(2017·盘山模拟) 已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A . ①④B . ②③C . ②④D . ①③6. （2分）已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A .B .C . 或D .7. （2分） (2019高一下·中山月考) 函数的图象为，则下列结论正确的是（）A . 函数在区间内是增函数B . 图象关于直线对称C . 图象关于点对称D . 将的图象向右平移个单位长度可以得到图象8. （2分）已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（）A .B .C . 3D .9. （2分） (2019高二上·遵义期中) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A . 14斛B . 22斛C . 36斛D . 66斛10. （2分） (2019高二上·南宁期中) 已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分）在四面体A﹣BCD，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=90°，A﹣BD﹣C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为（）A . 45°B . 90°C . 60°D . 30°12. （2分）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量，则________ ．14. （1分） (2016高三上·巨野期中) 对于函数f（x）= ，有下列5个结论：①任取x1 ，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1 ， x2 ，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是________．（请写出全部正确结论的序号）15. （1分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=6，，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．若∠DPR=∠CPR，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为________．16. （1分）(2019·湖南模拟) 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二上·郑州期中) 已知命题p：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a ﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式x2+2x+a＜0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．18. （5分） (2017高二下·黄山期末) （Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）设集合A={y| }，B={x|m+x2≤1，m＜1}．命题p：x∈A；命题q：x∈B．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．19. （15分） (2016高三上·常州期中) 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．20. （10分）(2017·镇海模拟) 在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．21. （10分）如图所示的三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；（2）若点D为BC中点，求点C到平面AB1D的距离．22. （5分）如图2，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）如图1给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）（文科做）若点P是线段A1C上的动点，求三棱锥P﹣AB1D的体积．（理科做）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。
福建省福州市八县一中2016-2017学年高中二年级上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年省市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2013春•越秀区期末）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（2011•一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．（2012•乌兰察布学业考试）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．4．（2016秋•期中）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，那么把这两个点代入x ﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值围．【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．（2011•）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的围，进而求得A的围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．6．（2016秋•期中）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．7．（2016秋•期中）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A 点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求出AB，可得车的速度，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选C．【点评】此题考查了解三角形的应用，考查余弦定理，比较基础．8．（2016秋•期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB 则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可得4a=3b，由，利用余弦定理整理可得（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．9．（2015•）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2016秋•期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知：S5==15，求得a1=1，则a5=a1+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a n=n，则==﹣，采用“裂项法”即可求得数列的前2016项和．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．11．（2013秋•期末）定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）•（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（2016•模拟）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（2016秋•期中）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC= 1 ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可得BC2﹣2BC+1=0，进而即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．14．（2016秋•期中）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5= 62 ．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•期中）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（2014•模拟）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d= 4 ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】由题意设数列{C n}的前n项和为T n，可得==k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，由题意可得4﹣d=0，解之即可．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•期中）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；综合法；解三角形．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．（12分）（2016秋•期中）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一如图所示的竖向贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…又∵C是三角形的角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．20．（12分）（2016秋•期中）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；（2）若a＜0，等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规每处扣（1分），最多累计扣2分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．（12分）（2016秋•期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，与原递推式联立可得a n+1=4a n ﹣4a n﹣1，然后利用定义证明数列{b n}是等比数列；（2）由数列{b n}的通项公式求出数列{c n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．22．（12分）（2016秋•期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，数m的取值围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1求解；（2）要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）【点评】本题考察了数列中a n和s n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．。
福建省福州市高二数学上学期期中试题
2015～2016学年第一学期期中考高二数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题“对任意的1sin ,≤∈x R x ”的否定是（ ）A ．不存在1sin ,≤∈x R xB ．存在1sin ,≤∈x R xC ．存在1sin ,>∈x R xD ．对任意的1sin ,>∈x R x 2．已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n 23-=，则它的公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 3．已知R c b a ∈,,，则下列推证中正确的是（ ） A ．22bm am b a >⇒> B ．b a cbc a >⇒> C ．b a ab b a 110,33<⇒>> D ．ba ab b a 110,22<⇒>> 4．在△ABC 中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对应边，且ac b c a =-+222，则角B 的大小为（ ）A ． 30B ． 60C ． 90D ． 120 5．设R x ∈，则“022>-+x x ”是“31<<x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在△ABC 中，若abB A =cos cos ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形7．命题0,:22≥++∈∀a ax x R x p ；命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．q p ∨B ．q p ∧C ．q p ∨⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝ 8．数列}{n a 的通项公式是)()1(1*∈+=N n n n a n ，若前n 项的和为1110，则项数=n （ ）A ．12B ．11C ．10D ．99．等差数列}{n a 的前n 项和满足4020S S =，下列结论正确的是（ ） A ．30S 是n S 中的最大值 B ．060=SC ．030=SD ．30S 是n S 中的最小值10．若实数y x ,满足不等式组22000++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩x y x y m y ，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 11．已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，20151-=a ，22012201420122014=-S S ，则=2015S （ ） A ．2014- B ．2014 C ．2015- D ．201512．设R x ∈，对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做x x 22+-的上确界．若+∈R b a ,，且1=+b a ，则ba 221--的上确界为（ ） A ．5- B ．4- C ．29 D ．29- 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知点)1,3(和)6,4(-在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是 ． 14．在△ABC 中， 120,30,6===C B a ，则△ABC 的面积为 ．15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或堆放小石子来表示数．他们研究过如图所示的三角形数和正方形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{}n a ，将正方形数1，4，9，…记为数列{}n b ，将三角形数的8倍加1按从小到大的顺序组成一个新的数列{}n c ．可以推测：（1）6c = ；（2）n c 是数列{}n b 中的第 项．（用n 表示） 16．下列说法：①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②△ABC 中，B A >是B A sin sin >成立的充要条件；③已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若57S S >，则39S S >；④若函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足2)1(1≤-≤f ，5)1(2≤≤f ，则30)3(9≤-≤f ．其中，正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知 60,3,2===A AC AB ． （1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a S n n 32-=对一切正整数n 成立． （1）证明：数列}3{+n a 是等比数列，并求出数列}{n a 的通项公式； （2）设n n a nb 3=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）设)0,0(>>+=b a y abx z ，其中y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-00048022y x y x y x ．（1）若1==b a ，求z 的最大值和最小值； （2）若y abx z +=最大值为8，求ba b a 41+++的最小值．20．（本小题满分12分）已知条件p ：函数x x f a 210log )(-=在),0(+∞上单调递增，条件q ：对于任意实数x ，不等式02212322>+-+-a a ax x 恒成立，如果“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数m x x f +=2)(，其中R m ∈．定义数列}{n a 如下：)(,011n n a f a a ==+，*∈N n ．（1）当1=m 时，求432,,a a a 的值；（2）是否存在实数m ，使432,,a a a 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由； （3）求证：当m 大于41时，总能找到N k ∈，使得2015>k a ．22．（本小题满分13分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*∈N n n f ． （1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式； （2）记nn n f n f T 2)1()(+⋅=，试比较n T 与1+n T 的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列}{n b 的前n 项和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由．福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高二数学答案卷一、选择题(60分)二、填空题(16分)13． ； 14． ； 15． 、 ； 16． ． 三、解答题(74分) 17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）．（本小题满分12分）21．（本小题满分13分）22．（本小题满分13分）福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高二数学试卷答案一、选择题(60分)二、填空题(16分)13． )24,7(- ； 14． 39 ；15． 169 、 12+k ； 16． ②③ ． 三、解答题(74分)17．解：（1）由余弦定理知，72132294cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=A AC AB AC AB BC ，所以7=BC ；（2）由正弦定理知，A BCC AB sin sin =，所以721760sin 2sin sin ==⋅= A BC AB C ， ∵BC AB <，所以C 为锐角，则772731sin 1cos 2=-=-=C C ， ∴C C C cos sin 22sin ⋅=7347727212=⨯⨯=． 18．解答：（1）3211+=-=++n n n n a S S a ，∴)3(231+=++n n a a ， 又∵0631≠=+a ，∴2331=+++n n a a ，∴数列}3{n a +是以6为首项，2为公比的等比数列．1263-⨯=+n n a ， ∴)12(3-=n n a ． （2）由（1）可得n n a nb n n n -⋅==23， )21(2222121n n T n n +++-⋅++⨯+⨯= ①， )21(2222212132n n T n n +++-⋅++⨯+⨯=+ ②，①-②得2)1()222(232++++++=-n n T n n ，化简得2)1(2)1(21+--+=+n n n T n n ．19．解：满足约束条件的可行域如右图（1）1==b a ，则y x z +=，从而z x y +-=， z 为平行直线系z x y +-=的纵截距．)0,0(O ，)0,21(A ，)2,0(B ，)4,1(C ．当z x y +-=过)0,0(O 时，z 有最小值0； 当z x y +-=过)4,1(C 时，z 有最大值5．（2）由题意知0>ab ，故目标函数z abx y +-=的最大值8在)4,1(C 处取到．将)4,1(C 代入y abx z +=得4=ab ．102522521441=⋅≥+=+++=+++aa a a a a a ab a b a ， 当且仅当5104,210==b a 取等号． 所以ba b a 41+++最小值为102． 20．解：p 真⇔331102<<-⇔>-a a ，q 真⇔<+---=∆⇔0)2212(4)3(22a a a240822<<-⇔<-+a a a ，∴q p ∧真⇔23<<-a ．21．解：（1）1=m ，1)(2+=x x f ．∵01=a ，∴1)0(2==f a ，211)1(23=+==f a ，512)(234=+==a f a ． （2）假设存在实数m ，使得432,,a a a 构成公差不为0的等差数列． 由（1）得到m m m a f a m m m f a m f a ++==+====2234232)()(,)(,)0(． ∵432,,a a a 成等差数列，∴4232a a a +=，∴m m m m m m +++=+222)()(2． 化简得0)12(22=-+m m m ，解得0=m （舍），21±-=m ． 经检验，此时432,,a a a 的公差不为0．所以存在21±-=m ，使432,,a a a 构成公差不为0的等差数列．（3）∵41)41()21(221-≥-+-=-+=-+m m a a m a a a n n n n n ，又41>m ，∴令041>-=m d ．由 d a a d a a d a a n n n n ≥-≥-≥----12211,,将上述不等式全部相加得d n a a n )1(1-≥-，即d n a n )1(-≥， 因此只需取正整数12015+>d k ，就有20152015)1(=⋅>-≥d dd k a k ． 22．解：（1）6)2(,3)1(==f f ．当1=x 时，y 取值为n 2,,3,2,1 ，共有n 2个格点； 当2=x 时，y 取值为n ,,3,2,1 ，共有n 个格点．∴n n n n f 32)(=+=．（2）nn n n n n T T n n n f n f T n n n n n n n 222)1(92)2)(1(92)1(92)1()(11+=+++=⇒+=+=++ 当2,1=n 时n n T T ≥+1；当3≥n 时，n n T T n n <⇒<++122． ∴1=n 时，91=T ．3,2=n 时，22732==T T ，4≥n 时，3T T n <． ∴}{n T 中的最大值为22732==T T ， 要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，只需m ≤227，∴227≥m ． （3）)18(7881)81(88223)(-=--=⇒===n n n nn n f n S b ，将n S 代入16111<-+++n n n ntb S tb S ， 化简得)(217187878878*<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n t t ，若1=t 时，2171787878<--n n ，即71578<n ， 显然1=n ；若1>t 时，)(071878*<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n t 式化简为715878>⎪⎭⎫ ⎝⎛-n t 不可能成立． 综上，存在正整数1,1==t n ，使得16111<-+++n n n n tb S tb S ．。
福建省福州八中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A． B．C．D．2．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列3．在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i]上的近似值（）+1A．只能是左端点的函数值f（x i）B．只能是右端点的函数值f（x i）+1C．可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i]）+1D．以上答案均正确4．设f（x）是可导函数，且，则f′（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣25．某个自然数有关的命题，如果当n=k+1（n∈N*）时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立．现已知当n=2016时，该命题成立，那么，可推得（）A．n=2015时，该命题成立B．n=2017时，该命题成立C．n=2015时，该命题不成立D．n=2017时，该命题不成立6．若p=+，q=+（a≥0），则p、q的大小关系是（）A．p＜q B．p=qC．p＞q D．由a的取值确定7．函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2]D．（1，4）8．设a，b∈（0，+∞），则a+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于29．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0；类比推出：z1、z2为复数，若z12+z22=0，则z1=z2=0．②若数列{a n}是等差数列，b n=（a1+a2+a3+…+a n），则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n=，则数列{d n}也是等比数列．③若a、b、c∈R．则（ab）c=a（bc）；类比推出：若、、为三个向量．则（•）•与•（•）④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab．上述四个推理中，结论正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④10．记f（n）（x）为函数f（x）的n（n∈N*）阶导函数，即f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n≥2，n∈N*）．若f（x）=cosx，且集合M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2017}，则集合M中元素的个数为（）A．1006 B．1007 C．503 D．504二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若纯虚数Z满足（1﹣i）z=1+ai，则实数a等于．12．计算定积分（x2+sinx）dx=．13．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）时，第一步应验证的不等式是．14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）15．复数z=（1+i）m2+（3﹣10i）m﹣（4﹣9i），（其中i为虚数单位，m∈R），（1）当m=0时，求复数z的模；（2）当实数m为何值时复数z为纯虚数；（3）当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？16．设点P在曲线y=x2上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线y=x2及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为S1、S2．（Ⅰ）当S1=S2时，求点P的坐标；（Ⅱ）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．17．已知函数f（x）=2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]，g（x）=，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）18．若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件19．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种20．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）等于（）A．B．C．﹣ D．﹣或21．已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定五、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）22．（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数为．23．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=（最后结果用m，n表示）六、解答题（本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）24．某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：学校准备从中选4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生，给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率；（Ⅱ）设文科组男生被选出的人数为X，求随机变量的分布列X和数学期望E（x）．25．已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a＞0）（Ⅰ）当a=1时，试求函数图象过点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解，试求实数b的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且不等式f（x1）＞mx2恒成立，试求实数m的取值范围．2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A． B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，求解即可．【解答】解：复数===．复数（i为虚数单位）的共轭复数是：．故选：D．2．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理．【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；∵由通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）可得D中推理为演绎推理．3．在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i]上的近似值（）+1A．只能是左端点的函数值f（x i）B．只能是右端点的函数值f（x i）+1C．可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i]）+1D．以上答案均正确【考点】56：二分法求方程的近似解．【分析】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题．在解答时，要结合二分法的分析规律对选项进行分析即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：对于函数y=f（x）在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i]上的近似值，+1]）可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i+1故选C．4．设f（x）是可导函数，且，则f′（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．【分析】由导数的概念知f′（x0）=，由此结合题设条件能够导出f′（x0）的值．【解答】解：∵，∴f′（x0）==﹣×．故选B．5．某个自然数有关的命题，如果当n=k+1（n∈N*）时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立．现已知当n=2016时，该命题成立，那么，可推得（）A．n=2015时，该命题成立B．n=2017时，该命题成立C．n=2015时，该命题不成立D．n=2017时，该命题不成立【考点】RG：数学归纳法．【分析】写出条件的逆否命题，即可推出n=2017时命题成立．【解答】解：∵如果当n=k+1（n∈N*）时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立，∴当n=k时，命题成立，可推得n=k+1时，命题成立．∵当n=2016时，该命题成立，∴n=2017时，命题成立．故选B．6．若p=+，q=+（a≥0），则p、q的大小关系是（）A．p＜q B．p=qC．p＞q D．由a的取值确定【考点】72：不等式比较大小．【分析】平方作差即可比较出大小关系．【解答】解：∵p2﹣q2=2a+9+2﹣=2（﹣），a2+9a+20＞a2+9a+18，∴p2＞q2，又p，q＞0，∴p＞q．故选：C．7．函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2]D．（1，4）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求函数f（x）=﹣x3+3x的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围【解答】解：解：由题f'（x）=3﹣3x2，令f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）=﹣x3+3x在R上的图象大体如下：故函数在x=﹣1处取到极小值﹣2，判断知此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a＜，又当x=2时，f （2）=﹣2，故有a ≤2 综上知a ∈（﹣1，2] 故选：C ．8．设a ，b ∈（0，+∞），则a +（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用反证法证明，假设a +，b +都小于或等于2，然后找出矛盾，从而得到结论．【解答】解：假设a +，b +都小于或等于2，即a +≤2，b +≤2，将两式相加，得a ++b +≤4，又因为a +≥2，b +≥2，两式相加，得a ++b +≥4，与a ++b +≤4，矛盾所以a +，b +至少有一个不小于2． 故选D ．9．下面给出了四个类比推理．①a ，b 为实数，若a 2+b 2=0则a=b=0；类比推出：z 1、z 2为复数，若z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0．②若数列{a n }是等差数列，b n =（a 1+a 2+a 3+…+a n ），则数列{b n }也是等差数列；类比推出：若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，d n =，则数列{d n }也是等比数列．③若a 、b 、c ∈R ．则（ab ）c=a （bc ）；类比推出：若、、为三个向量．则（•）•与•（•）④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab．上述四个推理中，结论正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【考点】F3：类比推理．【分析】逐个验证：①数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例；②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等；③向量要考虑方向；④根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确．【解答】解：①在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误；②在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n=，则数列{d n}也是等比数列．正确；③由若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）；类比推出：若，，为三个向量则（）=（），不正确，因为（•）•与共线，•（•）与共线，当、方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab．根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确．故选：D．10．记f（n）（x）为函数f（x）的n（n∈N*）阶导函数，即f（n）（x）=[f（n﹣1）（x）]′（n≥2，n∈N*）．若f（x）=cosx，且集合M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2017}，则集合M中元素的个数为（）A．1006 B．1007 C．503 D．504【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次求出f（2）、f（3）（x）、f（4）（x）、f（5）（x）的值，分析可得f（n）（x）=f （n+4）（x），分析M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2017}中m可取的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=cosx，f（2）（x）=（cosx）′=﹣sinx，f（3）（x）=（﹣sinx）′=﹣cosx，f（4）（x）=（﹣cosx）′=sinx，f（5）（x）=（sinx）′=cosx，…分析可得：f（5）（x）=f（x），f（6）（x）=f （2）（x），f（7）（x）=f （3）（x），…即有f（n）（x）=f （n+4）（x），集合M={m|f（m）（x）=sinx，m∈N*，m≤2017}，则m的值为5、9、13、…2017，共504个；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若纯虚数Z满足（1﹣i）z=1+ai，则实数a等于1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=1+ai，∴（1+i）（1﹣i）z=（1+i）（1+ai），化为2z=1﹣a+（1+a）i，即z=+i，∵z是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=1．故答案为：1．12．计算定积分（x2+sinx）dx=．【考点】67：定积分．【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．13．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）时，第一步应验证的不等式是．【考点】RG：数学归纳法．【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．，n＞1）时，【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+第一步应验证不等式为：；故答案为：14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=2πr4．【考点】F3：类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr4三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）15．复数z=（1+i）m2+（3﹣10i）m﹣（4﹣9i），（其中i为虚数单位，m∈R），（1）当m=0时，求复数z的模；（2）当实数m为何值时复数z为纯虚数；（3）当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知整理得：z=（1+i）m2+（3﹣10i）m﹣（4﹣9i）=（m2+3m﹣4）+（m2﹣10m+9）i．（1）当m=0时，z=﹣4+9i，利用模的计算公式即可得出|z|．（2）当，解出即可得出复数z为纯虚数．（3）当，解出即可得出．【解答】解：由已知整理得：z=（1+i）m2+（3﹣10i）m﹣（4﹣9i）=（m2+3m﹣4）+（m2﹣10m+9）i．…（1）当m=0时，z=﹣4+9i，∴|z|==．…（2）当，，即m=﹣4，复数z为纯虚数…（3）当，即，即﹣4＜m＜1时，复数z在复平面内对应的点在第二象限…16．设点P在曲线y=x2上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线y= x2及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为S1、S2．（Ⅰ）当S1=S2时，求点P的坐标；（Ⅱ）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．【解答】解：（Ⅰ）设点p的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=tx，s1=（tx﹣x2）dx=t3，S2=（x2﹣tx）dx=t3﹣t+，因为S1=S2，所以t=，点P的坐标为（，）．（Ⅱ）S=S1+S2=t3+t3﹣t+=t3﹣t+，S′=t2﹣1，令S′=0，得t2﹣1=0，∴t=，因为9＜t＜时，S′＜0；＜t＜2时，S′＞0，所以，当t=时，S min=，P点的坐标为（，1）．17．已知函数f（x）=2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]，g（x）=，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2﹣=，x∈（0，e]，当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．所以f（x）的极小值为f（）=1，故f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，e]，f（x）的极小值为f（）=1，无极大值．（Ⅱ）令h（x）=g（x）+=+，h′（x）=，x∈（0，e]，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，此时h（x）单调递增，所以h（x）max=h（e）=+＜1，由（Ⅰ）知f（x）min=1，所以在（Ⅰ）的条件下f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]有最小值3，f′（x）=2a﹣=，x∈（0，e]，①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，所以f（x）min=f（e）=2ae﹣ln（2e）=3，解得a=（舍去），②当0＜＜e，即a＞时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，所以f（x）min=f（）=1﹣ln=3，解得a=e2，满足条件，③当≥e，即0＜a≤时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，所以f（x）min=f（e）=2ae﹣ln（2e）=3，解得a=（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值为3．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）18．若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2）i，此时z1=z2，充分性成立．若z1=z2，则，即，则，即m=1或m=﹣2，此时必要性不成立，故m=1是z1=z2的充分不必要条件，故选：A19．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．20．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）等于（）A．B．C．﹣ D．﹣或【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．【解答】解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，且对称轴﹣a＞0，∴a=﹣1．则f（1）=﹣1+1=，故选：A．21．已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定【考点】63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x），利用导数研究其单调性，注意到已知f′（x）+f（x）＜0，可得g（x）为单调减函数，最后由，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=e x f（x），∵f′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=e x（f′（x）+f（x））＜0∴函数g（x）为R上的减函数；∵，∴g（m﹣m2）＞g（1）即，∴＞f（1）故选：A．五、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）22．（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数为﹣10．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】求出（x+1）5展开式的x3与x2项的系数，由此求出（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数．=•x5﹣r，【解答】解：（x+1）5展开式的通项公式为T r+1令5﹣r=3，得r=2，∴x3的系数为；令5﹣r=2，得r=3，∴x2的系数为；∴（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数为：﹣2×=10﹣2×10=﹣10．故答案为：﹣10．23．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【考点】F1：归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知，=n2﹣m2．故答案为：n2﹣m2六、解答题（本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）24．某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：学校准备从中选4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生，给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率；（Ⅱ）设文科组男生被选出的人数为X，求随机变量的分布列X和数学期望E（x）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）使用组合数公式求出所有可能的选法和符合条件的选法，从而计算出概率；（II）利用组合数公式求出各种情况的概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）要求被选出的4人中理科组、文科组学生都有，共有++=194种选法，其中“理科组恰好记4分“的选法有两种情况：①从理科组选2男1女，文科组任选1人，有=36种选法，②从理科组中选2女，再从文科组任选2人，有=18种选法，∴理科组恰好记4分的概率P==．（Ⅱ）由题意可得X=0，1，2，3．P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==．X 的分布列为：∴E （X ）=0×+1×+2×+3×=．25．已知函数f （x ）=x 2﹣2x +alnx （a ＞0）（Ⅰ）当a=1时，试求函数图象过点（1，f （1））的切线方程；（Ⅱ）当a=2时，若关于x 的方程f （x ）=3x +b 有唯一实数解，试求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）有两个极值点x 1、x 2（x 1＜x 2），且不等式f （x 1）＞mx 2恒成立，试求实数m 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）问题转化为b=x 2﹣3x +lnx 有唯一实数解，（x ＞0），令g （x ）=x 2﹣3x +lnx ，（x ＞0），根据函数的单调性求出g （x ）的极值，从而求出b 的范围即可； （Ⅲ）函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a ＜，不等式f （x 1）＞mx 2恒成立即为＞m ，令h （x ）=1﹣x ++2xlnx （0＜x ＜），求出导数，判断单调性，即可得到h （x ）的范围，即可求得m 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f （x ）=x 2﹣2x +lnx ，∵f′（x ）=，∴f′（1）=1，∴过点（1，f （1））的切线方程为：y ﹣（﹣1）=x ﹣1，即x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）当a=2时，有f（x）=x2﹣2x+2lnx，其定义域为（0，+∞），从而方程f（x）=3x+b可化为：b=x2﹣5x+2lnx，令g（x）=x2﹣5x+2lnx，则g′（x）=，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，g′（x）＜0，得＜x＜2，∴g（x）在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，且g（）=﹣﹣2ln2，g（2）=﹣6+2ln2，又当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，∵关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解，∴实数b的取值范围是b＜﹣6+2ln2或b＞﹣﹣2ln2．（Ⅲ）f′（x）=2x﹣2+=（x＞0），令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，当△=4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜时，由2x2﹣2x+a=0，得x1，2=，由f'（x）＞0，得0＜x＜或x＞；由f'（x）＜0，得＜x＜，故若函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜，由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，x1=，x2=，由0＜a＜，可得0＜x1＜，＜x2＜1，==1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=﹣1﹣+2lnx，由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1，又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2，即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．2017年7月4日。
福建省福州市第八中学2017届高三上学期第二次质量检查数学(理)试题(附答案)
福州八中2016—2017学年高三毕业班第二次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.10.6第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设U =R ，已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，且()U A B =R ð，则实数a 的取值范围是A.(1)-∞，B.(1]-∞，C.(1)+∞，D.[1)+∞，2.下列命题中错误的是 A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0” B ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆命题为真命题 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题是真命题3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．223+5.已知定义域为R 的函数)(x f 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是A.)()(,x f x f R x -≠-∈∀B.)()(,x f x f R x =-∈∀C.)()(,0x f x f R x -≠-∈∃ D.)()(,0x f x f R x ≠-∈∃6.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点A ．1BCD7.，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为ABC ．4D ．68.要得到函数)33sin()(π+=x x f 的导函数)(x f ' 的图象，只需将)(x f 的图象A.向右平移3π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B.向右平移6π 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C.向左平移3π 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D.向左平移6π 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）9.若函数f （x ）＝3log (2)(0a x x a ->且1a ≠1）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递减区间为A ．（一∞，∞） B ．，∞）C ．，∞） D ．10.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A.32παβ-=B.22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=11.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时()()0f x f x x'+>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<12.已知定义域为R 的函数g （x ），当x ∈（﹣1，1]时，g （x ）=211,10132,01x x x x x ⎧--<≤⎪+⎨⎪-+<≤⎩，且g （x+2）=g （x ）对∀x ∈R 恒成立，若函数 f （x ）=g （x ）﹣m （x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是 A ．（25，23） B ．（﹣∞，25]∪（23，+∞） C ．[25，23）D ．[25，23]第Ⅱ卷（主观题90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.sin18sin 78cos162cos78⋅-⋅等于________14．若函数y ＝1--x m x 在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m 的取值范围是____． 15．设点P 在曲线xey=上，点Q 在曲线x y ln =上，则||PQ 的最小值为 ． 16.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 。
福州市高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
福州市高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，，如果，那么（）A .B .C .D . 42. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|﹣|PF2|=2 ，则双曲线C的方程为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·南宁期中) “若，则没有实根”，其否命题是（）A . 若，则没有实根B . 若，则有实根C . 若，则没有实根D . 若，则有实根4. （2分） (2019高三上·玉林月考) 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A . 8B . -4C . 6D . 无法确定6. （2分） (2019高三上·吉林月考) “ ，”的否定是A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·扶余月考) 已知椭圆与双曲线的渐近线有4个交点，则以这个交点为顶点的四边形的面积是（）A .B .C .D . 169. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 椭圆的焦距为，则m的值等于（）A . 5或﹣3B . 2或6C . 5或3D . 或10. （2分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·古县开学考) 若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2016高三上·兰州期中) 椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则离心率是（）A .B . -1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 圆x2+y2﹣x+2y=0的圆心坐标为________．14. （1分） (2018高二上·合肥期末) 如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．15. （1分） (2017高三上·北京开学考) 抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=________．16. （1分）直线y=k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高三上·渭南期末) 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.（1）求证:直线EF⊥平面PAC;（2）求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.18. （5分） (2018高二下·临泽期末) 已知椭圆过点，且离心率为 .（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）为椭圆C的左、右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于的动点，直线分别交直线l于E,F两点.证明：恒为定值.19. （10分） (2017高三上·唐山期末) 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，， .（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20. （10分） (2016高二上·鹤岗期中) 如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（1）求y1y2的值；（2）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：为定值．21. （5分）如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）若点G是的中点，证明：FG∥平面ACD；（Ⅱ）求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．22. （10分） (2018高二上·梅河口期末) 已知抛物线与直线相交于两点.（1）求证：；（2）当S △OAB=时，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
福建省福州市第八中学高二数学上学期期中试题 理
福建省福州市第八中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理1．为了解132名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为11的样本，则分段的间隔为 A.10B.11C.12D.132．下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1” B ．命题“若A ＝B ，则tanA ＝tanB ”的逆否命题为假命题C ．命题“∃x 0∈R，x 02＋x 0－1＜0”的否定是“∀x∈R，x 2＋x －1＞0”D ．若“p 或q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.85yx a =+，则a =x 0 1 3 4 y2.43.95.66.1A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.94．已知命题p ：若x >y ，则xye e >；命题q ：若a <|b |，则22a b >.下列四个命题： ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;，其中真命题的编号是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=﹣4xB ．y 2=﹣8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y6．已知3:1,:11p x k q x ≥+<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A. ),1[+∞B. ()1,+∞C. ),2[+∞D. ),2(+∞7．如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋139的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 A ．n ＝n ＋2，i>21? B ．n ＝n ＋2，i>20? C ．n ＝n ＋1，i ≥20?D ．n ＝n ＋1，i>21?8．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A.255B.5 C.23D.129．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A．23B．25C．35D．910三、解答题：（3小题，共34分）15．（本小题10分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，……，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题12分） 已知抛物线2:4E x y =.（Ⅰ）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；（Ⅱ）已知△ABC 的三个顶点在抛物线E 上运动.若点A 在坐标原点，BC 边过定点(0,2)N ，点M 在BC 上且0AM BC ⋅=u u u u r u u u r，求点M 的轨迹方程.17. （本小题12分）已知命题：“，使等式成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2小题，每小题5分，共10分） 18．下列命题中，真命题是 A ．""a b ≤是""a c b c +≤+的充分不必要条件B ．“已知,x y R ∈，若6x y +≠，则2x ≠或4y ≠”是真命题C ．二进制数(2)1010 可表示为三进制数(3)110D ．“平面向量a r 与b r 的夹角是钝角”的充要条件是“0a b ⋅<r r ”19．已知2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0），M 、N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若1k ＋2k 的最小值为1，且椭圆过点13,2⎫⎪⎭，{}|11x x x ∃∈-<<20x x m --=()(2)0x a x a -+-<则椭圆方程为A ．2212x y += B ．2214y x += C ．2214x y +=D ．22216x y +=二、填空题：（1小题，共4分）三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为25. （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b .(i)记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；(ii)在区间[0,4]内任取2个实数,x y ，记 22x y a b +>+” 为事件B ，求使事件B 恒成立的概率.22．（本小题12分）设命题:p 函数21()lg()16f x ax ax =-+的定义域R ，命题:q 不等式ax x +<+4163对一切正实数x 均成立，如果命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.23．（本小题12分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆C 的方程稿 纸福州八中2014—2015学年第一学期期中考试高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准第I 卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分） 11．3 12．43 13．80 14．78三、解答题：（3小题，共34分）高二数学（理）期中考试卷答案第1页 共4页 17．（本小题12分）【解析】 (1) 由题意知，方程在()1,1-上有解，即m 的取值范围就为函数x x y -=2在()1,1-上的值域，………………2分易得 …………………………4分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以N M ⊆当1=a 时，解集N 为空集，不满足题意 ………………………… 5分 当1>a 时，a a ->2，此时集合{}a x a x N <<-=2|则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2412a a ，解得49>a …………………………………… 8分 当1<a 时，a a -<2，此时集合{}a x a x N -<<=2|则11,4422a a a ⎧<-⎪⇒<-⎨⎪-≥⎩……………………………………………………11分综上, a 的取值范围是：9144a a ><-或 ……………………………… 12分20x x m --=124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分） 18．B 19．C 二、填空题：（共4分） 20．M N Q P e e e e <<<三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）【解析】（Ⅰ）由题意，2125n n =++，2n ∴=……………3分（Ⅱ）①将标号为1的小球记为1a ，2a ，将标号为2的小球记为1b ，2b ，两次不放回的取小球的所有基本事件为10个，事件A 包含的基本事件为3个.3()10P A ∴=.……………………………………7分 ②.∵a +b 的最大值为4，∴事件B 等价于:2216x y +>,………………8分 (,)x y 可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域{(,)04,04,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈,而事件B 的所构成的区域B=22{(,)16,,}x y x y x y +>∈Ω,………………10分444()1444B S P B S ππΩ⨯-∴===-⨯.…………12分 22．（本小题12分）【解析】p 为真2104ax ax <=>-+>恒成立， 当0a =，符合题意，…………………………1分当0a ≠ 时，由0010a a >⎧⇒<<⎨∆<⎩∴:01p a ≤< …………………… 5分q 为真<=>4a x >==对一切0x >均成立， …………………………7分又48> 8341633<++∴x 从而38a ≥………………………… 8分 又3018p q p p a a q q p q ∨⎫⎧⎧⇔⇔≤<≥⎬⎨⎨∧⎩⎩⎭为真真假，或，或假真为假. ………… 12分 （其他解法酌情给分）23．（本小题12分）【解析】解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =得1DF ==从而12211212DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =.……………………2分从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.高二数学（理）期中考试卷答案 第3页 共4页所以122a DF DF =+=，故2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=…………………………4分 （Ⅱ）如右图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且F P ⊥F P ，由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=，…………5分由（1）知(121,0,1,0F F -， 所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r，再由11F P ⊥22F P ，得()221110x y -++=，又由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. …………………………7分当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .………8分由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP=故圆C 的半径1121CP ===.……………………………10分 容易求得圆心坐标为(0，53)………………………………………………11分所以，所求的圆的方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ……………………12分。
福建省福州市第八中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试高二数学（理）考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.1.18第Ⅰ卷 （100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数2．“点P 到两条坐标轴距离相等”是“点P 的轨迹方程为||x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．不充分不必要条件3.平面内，到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 A ．椭圆B ．双曲线C ．线段D ．两条射线4.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为 A ．x 2＝±3yB ．x 2＝±12yC ．y 2＝±6xD ．y 2＝±6y5.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于A. 13AA ′→＋16AB →＋16AD →B. 12AA ′→＋12AB →＋12AD →C. 12AA ′→＋16AB →＋16AD →D. AA ′→＋12AB →＋12AD →6. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC所成角的余弦值是A.5 B.47.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是A ．082=-+y xB ．042=-+y xC ．01432=-+y xD ．02=-y x8. 己知直线l 的斜率为k ，它与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若F A＝2F B，则|k|＝A ．3B C ．4D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 命题”“02,2≤-∈∃x R x 的否定是 。
福建省福州市高二上学期期中数学试卷
福建省福州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 若一组数据x1 ， x2 ， x3 ，…，xn的平均数为2，方差为3，2x1+5，2x2+5，2x3+5，…，2xn+5的平均数和方差分别是（）A . 9，11B . 4，11C . 9，12D . 4，173. （2分）(2018·江西模拟) 如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（）A . 0.9B . 0.75C . 0.8D . 0.74. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2019高二下·佛山月考) 某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·韶关期中) 设函数f（x）=﹣x2+4x﹣3，若从区间[2，6]上任取﹣个实数x0 ，则所选取的实数x0 ．满足f（x0）≥0的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·大庆期末) 某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A .B .C .D .8. （2分）在刚召开的十二届全国人大一次会上，为了调查人大代表对“反腐倡廉”的意见，现从1000名代表中使用系统抽样，按以下规定获取样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为M ，那么第K组（组号K从0开始，K=0,1,2，，9）抽取的号码的百位数为组号，后两位数为M+32K的后两位数，若M=16，则k=4,k=7时所抽取的样本编号为（）A . 444 ，740B . 416，716C . 444，726D . 423，7269. （2分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·郴州期中) 下列各数中最小的数是（）A . 85（9）B . 210（6）C . 1000（4）D . 111111（2）11. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·河南月考) 甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则两支球队踢成平局的概率为________．14. （1分） (2018高二下·赤峰期末) 设随机变量服从正态分布，且，则 ________．15. （1分） (2017高三上·韶关期末) 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为________．16. （1分） (2017高二上·伊春月考) 数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二下·遵化期中) 某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.（1）根据以上数据建立一个列联表.（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？下面临界值表仅供参考：0.050.010.0013.841 6.63510.828参考公式： .18. （10分）(2017·揭阳模拟) 某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X ＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？19. （10分） (2016高一上·六安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．（2）若函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．20. （15分）(2017·宁化模拟) 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算．21. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．22. （5分）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。
福州市高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
福州市高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 459和357的最大公约数是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三下·淄博开学考) 设集合M= ； N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则N∩（CRM）=（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . [﹣1，1]D . （1，3）3. （2分） (2016高一下·西安期中) 为了得到函数y=sin（2x+ ）的图象，只需将y=sin2x的图象上每一个点（）A . 横坐标向左平移个单位B . 横坐标向右平移个单位C . 横坐标向左平移个单位D . 横坐标向右平移个单位4. （2分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④5. （2分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）下列四个函数中，同时具有：（1）最小正周期是；（2）图像关于对称的是（）A .B .C .D .8. （2分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 48B .C .D . 809. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A .B . 2C . 2D . 310. （2分） (2016高一下·吉林期中) 样本中共5个个体，其值分别为a，2，3，4，5，若该样本的平均值为3，则样本方差为（）A .B .C .D . 211. （2分）(2018·南宁模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）的三边之比为3：5：7，求这个三角形的最大角为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·武清期中) 过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是________．14. （1分） (2016高二上·南昌开学考) 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．15. （1分）(2018·临川模拟) 已知三棱锥的各顶点在一个表面积为的球面上，球心在上，平面， ,则三棱锥的体积为________.16. （1分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“萌点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（x∈（，π）的“萌点”分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是________ （从小到大排列）三、解答题 (共6题；共52分)17. （15分）(2018·长沙模拟) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？18. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知函数， .（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为________；（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为________.19. （10分） (2016高三上·成都期中) 已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn= ，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数n的值．20. （10分） (2015高二上·邯郸期末) 如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．（1）求证：AF⊥BD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．21. （10分） (2020高三上·贵阳期末) 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）判断直线与曲线C的位置关系；（2）设点为曲线C上任意一点，求的取值范围．22. （5分） (2017高一下·怀仁期末) 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
福建省福州市高二上学期期中数学试卷
福建省福州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A . {x|0≤x≤1}B . {x|x＞0或x＜﹣1}C . {x|1＜x≤2}D . {x|0＜x≤2}2. （2分） (2017高一上·青浦期末) 设x∈R，“x＞1“的一个充分条件是（）A . x＞﹣1B . x≥0C . x≥1D . x＞23. （2分）某地区300家商店中，有大型商店30家，中型商店75家，其余的为小型商店，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的中型商店数是（）A . 4B . 5C . 10D . 264. （2分）下列选项叙述错误的是（）A . 命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B . 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C . 若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D . “x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件5. （2分） (2015高一下·正定开学考) 定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣4）=f（x）且x∈（﹣1，0）时，，则f（log220）=（）A . ﹣1B .C .D . 16. （2分）有如下程序运行后输出结果是（）A . 3 4 5 6B . 4 5 6C . 5 6D . 67. （2分）从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是（）A . 至少有一个白球；都是白球B . 至少有一个白球；至少有一个红球C . 恰好有一个白球；恰好有2个白球D . 至少有1个白球；都是红球8. （2分） (2016高一下·南充期末) 数列{an}中，已知对任意n∈N* ，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于（）A . （3n﹣1）2B .C . 9n﹣1D .9. （2分）若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1 ，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（）A .B .C .D .10. （2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，当=20时，点C的轨迹为（）A . 椭圆一部分B . 抛物线一段C . 线段D . 圆弧11. （2分）(2014·辽宁理) 将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A . 在区间[ ， ]上单调递减B . 在区间[ ， ]上单调递增C . 在区间[﹣， ]上单调递减D . 在区间[﹣， ]上单调递增12. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 已知函数f（x）= （a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ， ]C . [ ，]∪{ }D . [ ，）∪{ }二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高二上·孝感期中) 二进制数101101110（2）化为十进制数是________（10），再化为八进制数是________（8）．14. （1分）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2 ．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为________ ．15. （1分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________16. （1分）(2017·成都模拟) 已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，直线y=k（x﹣1）自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则|AB||CD|的值是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a2﹣ab+b2=c2 ．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，求 sinBcosB+cos2B的取值范围．18. （15分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：110，115，90，85，75，115，110．（1）这种抽样方法是哪一种？（2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定．19. （10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，PB=AB=BC=2，∠ABC=120°，，D为AC上一点，且AD=3DC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若E为PA中点，求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．20. （10分） (2016高二上·大连期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．21. （10分）(2018·延边模拟) 设数列的前项和为，满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求．22. （10分） (2015高三上·平邑期末) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1 ， F2 ，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2 ，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O 落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18、答案：略19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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福州八中2016—2017学年第一学期期中考试高二数学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ．若d b c a ->-，d c >，则bd ac >B ．若 bc ac <，则b a <C ．若b a >，d c >，则d b c a ->-D ．若22bc ac <， 则b a <2．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡236-，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-23-，C ．[]6,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡623-，3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =，则A = A ．30︒B ．045C ．060D ．01504．已知数列{}n a 中, 45n a n =-+,等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥,且12b a =,则12n b b b +++=A. 14n- B. 143n-C.41n-D. 413n -5．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a += A ．22B ．24C ．25D ．266．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为A ．4B ．9C ．12D ．167．ABC ∆中，0,2,60a x b B ==∠=，则当ABC ∆有两个解时，x的取值范围是A ．x>B ．2x <<C ．2x <D ．2x <或3x >8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．不等式022≥+--x x 的解集为 .10．如果9,,,,1--c b a 成等比数列，那么=b .11．在ABC ∆中，tan B =，则B =__________.12．下列命题中正确的有 . ①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在ABC ∆中，若222sin A sin B sin C +=,则ABC ∆为直角三角形； ③若B A ,为锐角三角形的两个内角，则1tan tan >B A ;④若n S 为数列{n a }的前n 项和，则此数列的通项)1(1>-=-n S S a n n n .三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．(本小题满分13分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，（1）若不等式0)(>x f 的解集)3,1(-．求b a ,的值； （2）若(1)2,00f a b =>>、求14a b+的最小值．14．(本小题满分13分)已知数列}{n a 中，21=a ，62=a ，且数列)}({1++∈-N n a a n n 是公差为2的等差数列.（1）求}{n a 的通项公式； （2）记数列}1{na 的前n 项和为n S ，求满足不等式20162015>n S 的n 的最小值. 15．(本小题满分14分)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A 、B ，且 AB = 80 米，当航模在 C 处时，测得 ∠ABC=105°和 ∠BAC=30°，经过20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得 ∠BAD=90°和 ∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号，单位：米/秒）第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 A ．p 或q 为假 B ．q 真 C ．q 假 D ．不能判断q 的真假17．下列说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．若命题2:,210p x R x x ∃∈-->，则命题2:,210p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，160S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的是A.1515S a B.99S a C.88S a D.11S a19．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n （n *∈N ）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于（注：年平均盈利额=（总收入-总成本）n1⨯）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．ABC ∆中060A =，1b =sin sin sin a b cA B C ++=++ .21．若[2,3]x ∃∈-，使不等式22x x a -≥成立，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22．（本小题满分13分）数列{}n a 满足()()*111,11,n n a na n a n n n N +==+++∈． （1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．23．（本小题满分13分）现代城市大多是棋盘式布局（如福州道路几乎都是东西和南北走向）。
在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。
在直角坐标平面内，我们定义),(),,(2211y x B y x A 两点间的“直角距离”为：2121)(y y x x D AB -+-=。
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点),3,3(),1,1(),3,1(C B A 求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；（3）设),(y x P ，集合B 表示的是所有满足1)(≤PO D 的点P 所组成的集合，点集{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x A ，求集合{}B y x A y x y y y x x x y x Q ∈∈+=+==),(,),(,,),(22112121所表示的区域的面积．图y福州八中2015—2016学年第一学期期中考试 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1-8. DDAC BDBB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.{}12≤≤-x x 10. -3 11. 060或0120 12.②③三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．解析：（1）因为不等式0)(>x f 的解集)3,1(-，所以-1和3是方程0)(=x f 的二实根，从而有：⎩⎨⎧=+-+==+-=-03)2(39)3(05)1(b a f b a f 即⎩⎨⎧=-+=+-01305b a b a 解得：⎩⎨⎧=-=41b a .----6分（2）由(1)2,00f a b =>>、得到1=+b a ,----------------------------8分所以14a b +942545)()41(=⋅+≥++=+⋅+=ba ab b a a b b a b a ,--------------11分 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=323114b a b a b a a b 即时“=”成立;所以14a b +的最小值为9．-----------13分 14．解：（1）数列)}({1++∈-N n a a n n 是首项为412=-a a ，公差为2的等差数列-1分 ∴22)1(241+=-+=-+n n a a n n ---------------------------3分∴n n n n a a a a a a a a n n n n n +=+++-+=+-++-+-=---211221124)1(22)()()( -6分（2）1111)(1112+-=+=+=n n n n n n a n ，---------------------------8分 ∴1111)111()3121()211(11121+=+-=+-++-+-=+++=n nn n n a a a S n n ，-11分 由20162015>n S 得201620151>+n n ，2015>n ，-------------------------------12分又+∈N n ，故n 的最小值为2016.---------------------------------------13分 15.解：在△ABC 中,∵∠BAD =90°,∠ABD =45°,∴∠ADB =45°……………2分280,80=∴==∴BD AB AD ……………5分在ABC ∆中，sin 30sin 45BC AB=180sin 30sin 45AB BC ⨯∴===………8分在DBC ∆中，DC 2=DB 2+BC 2-2DB ·BC cos60°22-2×12=9600 640=∴DC ………………12分航模的速度6220640==V （米/秒） ……………13分 答：航模的速度为26米/秒 ……………14分第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） CCCA二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 20．31≤a 三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22. （本小题满分13分）解析：（1）由1(1)(1)n n na n a n n +=+++得111n n a a n n +=++，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列.------------------4分 （2）由（1）得1(1)11n a a n n n =+-⨯=，所以2n a n =-------------6分33nn b n ==∙------------------7分所以231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ --------------9分①-②得：234113(13)2333333313n n n n n S n n ++⨯--=++++-⨯=-⨯-------11分所以113(13)3(21)334244n n n n n n S ++⨯-⨯-⨯=+=+.----------13分23.解析：（1）()2,0、()1,1、()0,2、()1,1-、()2,0-、()1,1--、()0,2-、()1,1---4分 （2）设定点坐标为),,(b a 定值为r ，“圆”的方程为.||||r b y a x =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧===⇒=-+-=-+-=-+-222|3||3||1||1||3||1|r b a r b a r b a r b a ． “圆”的方程为2|2||2|=-+-y x ．---------------------6分---------------------8分（3）}1|||||),{(≤+=y x y x B⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=+=12122121y y y x x x y y y x x x ,),(22B y x ∈ 1||||22≤+∴y x 即 1||||11≤-+-y y x x点集A 表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部， ∴点集Q 表示以点A 内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．面积144112144=⨯⨯⨯-⨯=S ．-----------------13分。