高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
空间向量及应用课件-2024届高三数学一轮复习
2
构成基底，排除D；C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a
＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a
＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C.
3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x
＝________．
－4
解析：∵a∥b，
−4
2
x
∴ ＝ ＝ ，
2
−1 2
∴x＝－4.
4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若
a，b，c三向量共面，则λ＝(
)
A．9
B．－9
C．－3
D．3
答案：B
解析：∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
u1∥u2⇔∃λ∈R，使得
(a1________________
，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
u1⊥u2⇔u1·u2＝
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔________________
u⊥n⇔u·n＝
直线l的方向向量为u＝ l∥α(l⊄α)
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔__________________
方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为
平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
6．空间位置关系的向量表示
位置关系
l1∥l2
直 线 l1 ， l2 的 方 向 向 量
分别为u1＝(a1，b1，c1)，
u2＝(a2，b2，c2)
空间向量在高考数学中的应用
空间向量在高考数学中的应用高考是每个中国学生的命运之战，数学考试是其中最为重要的一项。
而在数学考试中，空间向量是一个重要的知识点，与许多数学问题都有着密切的关联。
在本文中，我们将探讨空间向量在高考数学中的应用。
一、空间向量的定义和性质在开始探讨空间向量的应用之前，我们先来了解一下空间向量的定义和性质。
空间向量是指由起点和终点所组成的有向线段。
空间向量可以用一个三元组来表示，三元组的三个分量分别表示空间向量在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的投影。
如图1所示，空间向量$\vec{AB}$可以表示为$(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$。
空间向量有许多性质，其中最基本的性质是向量的共线性。
若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线，则存在实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。
此外，向量的模长、加法、减法、数量积和向量积都是空间向量的常见性质。
二、平面和空间的向量运算在高考数学中，我们经常会遇到平面和空间的向量运算。
这些运算包括向量的加、减、数乘和数量积。
向量的加、减和数乘都比较简单，其中向量的加和数乘遵循矢量运算的规则；向量的减就是向量加上它的相反数。
平面和空间向量的加、减和数乘计算方法都基本相同，只是空间向量的计算需要注意向量的方向。
向量的数量积也是平面和空间向量中的常见运算，它定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值。
以平面向量为例，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的数量积可以表示为$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
当两个向量共线时，它们的数量积为一个实数，可以用它们的模长和夹角来表示。
当两个向量不共线时，它们的数量积为零，两个向量垂直。
三、向量在平面几何中的应用向量是平面几何中的有力工具，它可以用来求解各种几何问题，比如求面积、角度、切线和垂线等。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。
高中数学空间向量应用教案
高中数学空间向量应用教案
教学目标：
1. 了解空间向量的定义和性质。
2. 能够应用空间向量进行问题的解答。
3. 培养学生的空间思维能力和数学解决问题的能力。
教学重点：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 能够应用空间向量解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入空间向量的概念，让学生了解空间向量在数学中的重要性和应用。
2. 导入空间向量的概念并展示一些实际问题，引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解（20分钟）
1. 空间向量的定义和性质。
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 解决一些简单的空间向量问题，让学生加深对空间向量的理解。
三、练习（15分钟）
1. 给学生一些空间向量的练习题，让他们独立完成并互相交流讨论。
2. 老师在一边指导学生解题思路和方法。
四、应用（10分钟）
1. 设计一些实际问题让学生应用空间向量进行解答，培养学生的空间思维。
2. 学生展示解题过程和答案，进行讨论和总结。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相应的空间向量练习题作业，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生积极思考和总结今天的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间向量有了更深入的理解，能够熟练应用空间向量解决相关问题。
同时，通过实际问题的应用，培养学生的空间思维和解决问题的能力。
在以后的学习和生活中，学生能够更好地运用空间向量解决实际问题。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
浅谈向量在高中数学中的应用
浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】本文主要介绍了向量在高中数学中的应用。
文章首先介绍了向量的概念、性质和运算，为后文内容铺垫。
接着，详细讨论了向量在几何图形表示、平面和空间向量运算中的应用，以及在物理等其他学科中的实际应用。
结合实际解题案例，探讨了向量在高中数学中的重要性和广泛应用，强调向量为学生提供更加直观和灵活的解题方式。
通过本文的阐述，希望读者能更深入地理解向量在高中数学中的重要性及实际应用，从而更好地掌握相关知识，提升数学解题能力。
【关键词】向量的概念、向量的性质、向量的运算、几何图形、平面向量、空间向量、物理学、实际应用、重要性、广泛应用、直观、灵活解题方式1. 引言1.1 向量的概念向量是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以表示空间中的某个点到另一个点的位移，也可以表示一个力、速度或者加速度。
向量的概念最早由英国数学家威廉·测量提出，后来被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在数学中，向量可以用不同的形式来表示，比如坐标形式、分解形式等。
向量的大小叫做模长，方向由箭头指向表示。
向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
向量的性质有共线性、共点性、平行性等。
向量的运算包括模长运算、数量积、向量积等。
通过学习向量的概念，我们可以更好地理解和描述几何图形，解决各种几何问题。
向量在平面向量和空间向量的运算中也有重要应用，比如求向量的夹角、平行四边形的性质等。
向量还被广泛运用于物理等其他学科中，例如描述力的大小和方向、分析运动的轨迹等。
向量的应用使我们能够更加直观地理解和解决问题，为学生提供了更加灵活和直观的解题方式。
1.2 向量的性质向量的性质是向量运算中非常重要的概念，它们决定了向量在数学中的具体行为和特性。
在高中数学中，我们常常会接触到以下几种向量性质：1. 平行向量的性质：如果两个向量平行，则它们具有相同的方向。
这意味着它们乘以同一个数仍然平行，而且它们的夹角为0度或180度。
空间向量的复习与应用
空间向量的复习与应用教案主题：空间向量的复习与应用说明：本教案旨在对高中数学课程中的空间向量进行复习，并通过实际应用场景展示空间向量的作用。
教案共分为以下几个小节，分别介绍空间向量的基本概念、向量的运算、向量的坐标表示、向量的模和方向以及向量的应用。
通过这些内容的学习，学生将能够更好地理解和应用空间向量。
一、引入教师可以通过引用一个贴近学生生活的例子，如描述一个用空间向量来计算的问题，引起学生的兴趣和好奇心。
例如，描述一个飞机在空中沿不同方向飞行的场景，探讨如何利用空间向量计算飞机的位移。
二、空间向量的基本概念1. 向量的定义：通过引用实际例子，介绍向量的定义，以及向量的起点和终点的概念。
2. 向量的表示：通过几何图形和坐标表示，展示如何表示一个空间向量。
3. 向量的相等：引入向量的相等概念，即相同方向和相同大小的向量。
三、向量的运算1. 向量的加法：通过图形和坐标表示，介绍向量的加法规则，包括平行四边形法则和三角形法则。
2. 向量的减法：通过图形和坐标表示，介绍向量的减法规则，即加上负向量。
3. 向量的数量积：引入向量的数量积的概念，以及数量积的性质和计算方法。
四、向量的坐标表示1. 坐标系：介绍直角坐标系和空间直角坐标系，以及坐标表示的方法。
2. 向量的坐标计算：通过例子演示如何利用向量的起点和终点的坐标计算向量的坐标。
五、向量的模和方向1. 向量的模：介绍向量的模的概念和计算方法，并通过实际例子展示求解过程。
2. 向量的方向角：引入向量的方向角的概念，以及通过坐标表示和计算方向角的方法。
六、向量的应用1. 平面向量的投影：通过实际问题，介绍如何利用空间向量的投影计算，如飞机在空中的水平飞行距离。
2. 向量的垂直和平行关系：通过实际问题，介绍如何通过向量的数量积判断向量的垂直和平行关系，如判断两个物体的运动方向是否相互垂直。
七、总结与拓展教师可以对本节课所学内容进行总结，并给学生提供一些拓展问题，让学生继续思考和应用空间向量的知识。
高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
1
2
,试建立适当的坐标系.
解 以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所
示的空间直角坐标系,
则
1
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D( ,0,0),S(0,0,1).
设 Q(0,1,m).
(方法 1)因为 =
=
1
-1,0, 2
1 1 1
- ,- ,
2 2 2
, 1 =(-1,-1,1),所以 ∥ 1 ,于是 OP∥BD1.
1
, =(-1,0,m),当 m=2时,
= ,即 AP∥BQ,有平面 PAO∥平
面 D1BQ,故当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
高中数学教材向量
高中数学教材向量
以下是一些常见的高中数学教材中包含的向量相关内容：
1. 向量的定义和性质：介绍向量的定义、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等基本概念，以及向量的加法、减法、数量积和向量积的性质。
2. 向量的表示和运算：讲解向量的几何表示、坐标表示和分解表示，以及向量的数量积和向量积的运算方法。
3. 平面向量的应用：探讨平面向量在几何问题中的应用，如几何图形的性质证明、向量的夹角、平行四边形的性质等。
4. 空间向量的应用：介绍空间向量的表示和运算，以及空间几何问题中的应用，如立体图形的性质证明、平面的方程、垂直向量的性质等。
5. 向量的线性相关性和线性无关性：讲解向量组的线性相关性和线性无关性的概念和判定条件，以及相关推论和应用。
6. 向量的数量积和正交投影：介绍向量的数量积的概念和计算方法，以及正交投影的概念和应用。
7. 向量的向量积和混合积：讲解向量的向量积的概念、计算方法和几何意义，以及向量的混合积的概念和应用。
除了以上内容，不同教材可能会有一些差异，可以根据教材的具体内容和学校的教学计划来进行学习和教学。
第3章 空间向量及其应用-高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
→
→
因为AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ →
→ →
所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
3 考点突破
考点2、利用空间向量证明位置关系
，0，
2
2
1
3
→
3
→
1 → 1
3
∴AC ＝ ， ，0， AB ＝ ，0， ，DC＝－ ， ，0，
2
2
2
2
2
2
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
→
3 1
n·
AB
＝
2 x＋2z＝0，
5
→ →
同理，DH·PF＝x＋ y－z＝0，
4
4
9
又 x＋y＋z＝1，解得 x＝y＝17，z＝17.
3
→ 3
→
所以DH＝ (2,2,3)，所以|DH|＝
17.
17
17
3
因此，点 D 到平面 PEF 的距离为17 17.
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解
由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离
3 考点突破
→
→
→ →
1
1
若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝___，y＝____.
高中数学空间向量的相关概念及解答方法
高中数学空间向量的相关概念及解答方法一、引言空间向量是高中数学中的重要概念之一，它是描述空间中点的位置和方向的工具。
在解题过程中，我们常常会遇到与空间向量相关的问题。
本文将介绍空间向量的相关概念，并提供解答方法和技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间向量。
二、基本概念1. 空间向量的定义空间中的向量是由起点和终点确定的有向线段，它具有大小和方向。
我们可以用字母加上箭头来表示一个空间向量，如AB→表示从点A到点B的向量。
2. 向量的模与方向角向量的模表示向量的长度，用|AB→|表示。
方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角，通常用α表示。
3. 向量的加法与减法向量的加法是指将两个向量的起点相连，构成一个新的向量。
向量的减法是指用一个向量的终点减去另一个向量的起点，得到一个新的向量。
4. 向量的数量积与向量积向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量的向量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、解答方法与技巧1. 利用向量的平行关系当两个向量平行时，它们的方向角相等或互补。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的方向角来求解未知向量的方向角。
例如，已知向量AB→与向量CD→平行，且α为AB→的方向角，β为CD→的方向角。
我们可以得到α=β或α+β=180°。
利用这一关系，我们可以求解未知向量的方向角。
2. 利用向量的共线关系当三个或多个向量共线时，它们的数量积为0。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。
例如，已知向量AB→与向量CD→共线，且|AB→|=a，|CD→|=b，α为AB→与CD→的夹角。
根据共线向量的性质，我们有a·b·cosα=0。
利用这一关系，我们可以求解未知向量的模或方向角。
3. 利用向量的垂直关系当两个向量垂直时，它们的数量积为0。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。
高中数学教学备课教案向量的应用空间向量的投影和向量积的计算
高中数学教学备课教案向量的应用空间向量的投影和向量积的计算高中数学教学备课教案-向量的应用：空间向量的投影和向量积的计算一、引言在高中数学教学中，向量是一个重要的内容，它既有理论上的推导，又有实际应用的意义。
本教案将重点讲解向量的应用，具体介绍空间向量的投影和向量积的计算方法，以帮助学生更好地理解和运用向量知识。
二、空间向量的投影1. 定义空间中的向量可以分解为两个相互垂直的部分，这两个部分分别称为向量在某一方向的投影和向量在与这一方向垂直的面上的投影。
向量的投影常用于求解空间几何问题，比如求解线段在某一方向上的长度、线段在某一平面上的长度等。
2. 计算方法（此处省略具体计算公式，请教师根据实际情况进行讲解）三、向量积的计算1. 定义向量积是向量运算中的一种重要形式，可以用于求解两个向量之间的关系，例如求解两个向量的夹角、判断两个向量的方向等。
向量积常用于解决平面几何问题，比如求解线段确定的平行四边形的面积、判断线段的位置关系等。
2. 计算方法（此处省略具体计算公式，请教师根据实际情况进行讲解）四、案例分析1. 投影的应用案例（此处给出一个具体的案例，要求学生根据已知条件计算出向量在某一方向上的投影，并解释投影的物理意义）2. 向量积的应用案例（此处给出一个具体的案例，要求学生根据已知条件计算出向量的向量积，并解释向量积的几何意义）五、总结与思考1. 总结本节课的主要内容，强调向量的应用在数学中的重要性。
2. 思考题：请学生思考向量的应用在生活中的实际意义，并列举相关例子。
鼓励学生对向量的应用进行更深入的研究。
六、作业（此处给出一道作业题目，要求学生应用所学的向量的应用知识进行解题）思考：请学生思考自己在学习向量的应用中遇到的问题，并准备下次课时提问。
通过本教案，学生将对向量的应用有更深入的理解，能够运用相关知识解决实际问题，并在课堂上展示自己的学习成果。
教师应重点关注学生对向量应用的理解和实际应用能力的培养，通过讲解和案例分析帮助学生克服困难，更好地掌握向量的应用知识。
新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角
解：由题设知 ABCD 是正方形，连接 AC，BD，交于点 O，则 AC⊥BD. 连接 PQ，则 PQ 过点 O.
由正四棱锥的性质知 PQ⊥平面 ABCD，故以 O 为坐标原点，以直 线 CA，DB，QP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，
则 P(0，0，1)，A(2 2，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2 2，0)， ∴A→Q＝(－2 2，0，－2)，P→B＝(0，2 2，－1). ∴cos 〈A→Q，P→B〉＝|AA→→QQ|·|PP→→BB|＝ 93， ∴异面直线 AQ 与 PB 所成角的余弦值为 93.
0＋0＝1.
(2)不妨设 CA＝CC1＝2CB＝2，所以 B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，
0，0)，B1(0，2，1)，则A→B1＝(－2，2，1)，C→1B＝(0，－2，1)，所以 cos
〈A→B1，C→1B〉＝|AA→→BB11|··C|C→→11BB|＝－3×4＋51＝－ 55.所以直线 BC1 与直线 AB1 所
题型2 直线与平面所成的角 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面
PAB⊥ 底 面 ABCD ， AD∥BC ， ∠ ABC ＝ 90° ， ∠APB＝90°．
(1)求证：AP⊥PC； (2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB 与平面PCD所成角的正弦值．
(1)证明：因为平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平 面PAB，则BC⊥AP．
___[0_，__π_]_
【预习自测】
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面
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高中数学 - 空间向量及向量的应用空间直角坐标系的原则：规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设 ， ，空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离： ；1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2：利用空间向量求线线角、线面角1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线的方向向量，则则：空间线段的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则3 ：利用空间向量求二面角其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等，操作方法：1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角形, 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。
2．空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离2）直线与平面所成的角的范围是[0, ] 。
射影转化法2方法 3）二面角的范围一般是指（0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
作二面角的平面角常有三种1）异面直线所成的角的范围是bF如右图所示，a、b 是两异面直线，n是a和b 的法向量，点 E ∈a，F∈ b ，则异面直线 a 与b 之间的距离EF n 是dn2）用法向量求点到平面的距离AB n 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为d 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为d n（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（ 4 ）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（ 5 ）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝6）法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线 a 的夹角的余弦cos n,a ，易知θ= n,a或者2n,a向量的应用例题1.在四边形 ABCD 中， AB ·BC =0， BC = AD ，则四边形 ABCD 是A. 直角梯形B.菱形C. 矩形D. 正方形解析：由 AB · BC =0 知 AB ⊥ BC .由 BC = AD 知 BC AD .∴四边形 ABCD 是矩形 . 答案： C2. 已知 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求 t 的值； （2）求证： b ⊥（ a +tb ）. 解：（ 1 ） 设a 与b 的夹角为 θ，则θ， | a +tb | 2a +tb )2=| a | 2+t 2| b | 2+2a ·tb )=|a |2+t 2|b |2+2t |a || b |cos θ=| b | 2(t +|a|cos |b|θ)2+| a | 2sin 2所以当 t = ab 2 时， | a +tb | 有最小值 . |b|2 ab a +tb )=b ·( a － 2 ·b )=a ·b －a ·b =0，所以 b ⊥( a ⊥tb ). |b|2|a|cos θ=－ |a||b|cos |b|2）证明：因为 b ·已知 OA =a ， OB =b ， |b|2a ·b =| a － b |=2 ，当△ AOB 面积取最大值时，求 a 与 b 的夹角 . 解：因为 | a －b | 2=4 ， 11 S △AOB = OA · OB sin θ= | a || 22 所以 a 2－2a ·b +b 2=4.所以|a | 2+| b | 2=4+2 a ·b =8， 1 2 1 2 2 2 1 2 2 b | 1 cos = |a| |b| ( a b ) = |a| |b|≤12 (|a|2|b|2 )2 2当且仅当 | a |=| b |=2 时取等号）所以当 | a |=| b |=2 时，△ AOB 的面积取最大值， 这时， cosθ= a b1， |a||b| 2 2 2 ， 所以 θ=60 ° . 3. 如图，△ ABC 的 BC 边的中点为 M ， 利用向量证明： AB 2+AC 2=2 AM 2+BM 2). 证明：设 AM =m ， AB =b ， AC =c ，则 m =A BM Cb c c ，m ·m =2bc1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 = AB 2+ AC 2+ AB ·AC ·cos ∠BAC = AB 2+ AC 2+ AB ·AC · 44 1 2 1 2= AB 2+ AC 2+ 44又∵ BC 2=4 BM 2，24 2 AB 21 12 1 2 1 2 4 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (AB 2+AC 2－BC 2). ∴AM 2= AB 2+ AC 2－ BC 2.4∴ AB 2+ AC 2=2 ( AM 2 +BM 2). 22 4. 已知 A （4，0）， N （ 1 ， 0 ），若点 P 满足 ANAP=6| PN |.1 ）求点 P 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；21b 2+ b · 2 AC 212c + c 4 BC 2 2AB AC2）求| PN | 的取值范围；3）若 M （－ 1 ， 0），求∠ MPN 在［ 0，π］上的取值范围解：（1）设P （x ，y ），AP =（x －4，y ），PN =（1－x ，－y ），AN =（－3， 0 ），∵ AN · AP =6| PN | ，∴－3x －4） =6 （1 x ）2 （ y ）2 ，即 3x 2+4 y 2=12.2y 2=1. 3∴ P 点的轨迹是以（－ 1，0）、（ 1 ， 0 ）为焦点，长轴长为 4的椭圆 .2）N （1，0）为椭圆的右焦点， x =4 为右准线，设 P （ x 0，y 0），P 到右准线的距离为d ，d =4 － x 0，|PN |=e = 1 ， d = = 2，| PN |= 1d =4 x 0.∵－2≤x 0≤2，∴1≤|PN | ≤3. 当| PN |=1 时，P （2，0）22 ；当 | PN |=3 时， P （－2，0）. 3）令 | PN |= t （1≤t ≤3），则 | PM |=4 －t ，| MN |=2 ， cos ∠MPN =| PN | 2 | PN || PM ||PM |2 |MN |2 t 2 （4 t ）24 6 = － 1+ 2t （4 t ） t （4 t ） 由 1≤t ≤3，得 3≤t （4－t ）≤ 4，5. 如图，已知△ ABC 的顶点坐标依次为 其横坐标为 4 ，在 AC 上求一点 Q ，使线段 1π ≤cos ∠ MPN ≤1. ∴0≤∠ MPN ≤ . 23 A （1，0），B （5，8），C （7，－ 4），在边 AB PQ 把△ ABC 分成面积相等的两部分 .上有一点 P ，解：设 P 分 AB 的比为 λ1，则15 4=1又S ABCS APQ1| AB || AC |sin 1| AP || AQ |sin BACBAC | AB| | AP|设 λ2= AQQC则λ2=2.∴x Q = 1 7 2=5，212x ，x ）， b =（x ，3 1）求 f （x ）=a ·b 的表达式； 1 6. 已知 a =x －3） BOA Qλ1=3 ，即|AP||PB||AC|= 2=1| AQ | 42 y Q = Q 1 2， x ∈[－4 ， 2）求 f （ x ）的最小值， 1 2 1 3 2 解：（ 1）f （x ）=a ·b = x 2·x +x ·（ x －3）= x 3+x 2－322） f （x ）=x 2+2 x －3= （x +3）（ x －1）.=3 | AB| | AP||AC | |AQ |∴Q （5，并求此时 3x ，x ∈ 3，即 |AQ |=2.2 |QC |－ 83）. a 与b 的夹角 . － 4，4] .5 故当x=1 时，f （x）有最小值为－5.31此时a=（，1），b=（1，－2）.设θ为a与b的夹角，则cosθ3a b=－2. 又由θ∈[0，|a||b| 2 π］，得3πθ= .4。